KEFENÉLKÜLI EGYENÁRAMÚ MOTORRÓL MŰKÖDTETETT AKTUÁTOR KAOTIKUS VISELKEDÉSÉNEK VIZSGÁLATA

Átírás

1 KEFENÉLKÜLI EGYENÁRAMÚ MOTORRÓL MŰKÖDTETETT AKTUÁTOR KAOTIKUS VISELKEDÉSÉNEK VIZSGÁLATA Abstract KOVÁCS Ernő 1, FÜVESI Viktor 2 1 Ph.D., egyetemi ocens; 2 Ph.D. hallgató 1,2 Elektrotechnikai és Elektronikai Tanszék, Miskolci Egyetem HU-3515 Miskolc-Egyetemváros tel.: +36-(46) mellék: 12-16, 12-18, fax : +36-(46) elkke@uni-miskolc.hu 1, elkfv@uni-miskolc.hu 2 This paper is about an actuator system s investigation where some nonlinear methos applie. The target system inclues a BLDC motor rive with a planetary gear. We searche the equilibrium points of the system an investigate the chaotic behavior of the complex system. For the analyses of the chaotic behavior we use some wiely applie methos of the nonlinear vibrations such as Pointcaré maps an Lyapunov exponents. In this paper those situations were analyze where the loa, the excitation an furthermore some selecte system parameters were changing. Összefoglaló A cikkben egy olyan nemlineáris renszert vizsgálunk, amelyik egy kefenélküli egyenáramú (BLDC) motorból és a hozzá csatlakozó bolygóműből áll. Vizsgáljuk a renszer egyensúlyi helyzeteit és kaotikus viselkeésre való hajlamát. A vizsgálathoz a nemlineáris rezgéseknél alkalmazott mószereket hasznosítjuk, mint Pointcaré térkép vagy Lyapunov spektrum. Megvizsgáljuk a gerjesztés illetve a renszerben szereplő paraméterek változásnak a megolásra gyakorolt hatását. Kulcsszavak: elektromechanikus aktuátor, káosz, szimuláció, Lyapunov kitevő 1.BEVEZETŐ A különféle hajtásláncok alkalmazása mérnöki gyakorlatban igen széleskörű. A legtöbb alkalmazásban arra törekszünk, hogy kézben tartsuk a hajtásunkat minen körülmények között, egyébként nagy anyagi kár vagy emberi sérülés következhet be. A maximális kézben tarthatóság eléréséhez egy mószer lehet a renszer esetleges kaotikus viselkeésre való hajlamának feltérképezése és ennek az állapotnak az elkerülése, bár a mérnöki gyakorlatban előforulnak olyan esetek is, ahol irekt a renszer kaotikus viselkeésének előiézése a cél, pélául folyaékok kevereésekor. Cikkünkben egy mechatronikai renszer, egy hajtáslánc viselkeését vizsgáljuk egyrészről annak kaotikus viselkeésének tükrében illetve keressük a renszer egyensúlyi helyzeteit. A vizsgálathoz több, a nemlineáris rezgéstanból ismert

2 mószert használunk fel, mint a Pointcaré térkép használata vagy a Lyapunov kitevők spektruma. A matematikai szimulációkhoz a Scilab/Scicos matematikai programrenszert alkalmaztuk ([4]). 2. RENDSZEREGYENLETEK A renszerben a meghajtást egy kefenélküli egyenáramú (BLDC) motor képviseli, aminek a tengelyére egy kétfokozatú, lassító áttétellel renelkező bolygómű kapcsolóik. A vizsgálat során a bolygóművet vegyük hézagtalannak. A renszeren különféle terhelések és gerjesztések mellett vizsgáljuk annak esetleges kaotikus viselkeést. Az iroalomban számos BLDC motor moell ismert [1-3]. Most egy az [1] iroalomban gyakran használt moellt választottunk. A három armatúra egyenletet és egy mozgásegyenletet tartalmazó leírás helyett a renszer inamikai tulajonságait jobban kezelhető formában visszaaó -q moellt alkalmaztuk. Egy másik előnye ennek a moellnek, hogy explicite nem tartalmazza a szögelforulást. Ahhoz hogy megkapjuk a -q moellt Park transzformációt hajtunk végre az egyenleteken. A transzformáció segítségével a motor paramétereit egy, a forgórészhez kapcsolt koorináta renszerben írjuk le [1]. Normalizálás után a következő tömör egyenletrenszert kapjuk (1)-(4). t x t x 1 uq x1 x2x3 ax3 x t (1) 2 u x1x3 bx2 (2) x x x x e x 3 c x4 (3) t x3 x4 gx Tl x4 e 4 (4) Az (1) és (2) egyenletek az elektromechanikus aktuátor villamos köregyenletei. A (3) jelű képlet a motor forgórészére felírt mozgásegyenlet. Az utolsó (4) egyenlet a bolygómű mozgásegyenlete. A bolygómű rugalmas tulajonságait egy merev rugóval vesszük figyelembe, aminek merevségét az e paraméter tartalmazza. A g paraméter a bolygómű veszteségeit, mint pl. súrlóási veszteségek, csapágyveszteségek veszi figyelembe. Bár a renszer egyenletei imenziótalanítottak, azok fizikai jelentése megmarat. Az első két egyenlet ismeretlene a forgó koorináta renszer q-tengelyének irányába eső árama (x 1 ) illetve a -tengely irányú áram (x 2 ). Az x 3 és x 4 renre a motor és a bolygómű tengelyének a forulatszáma. u és u q a gerjesztő feszültségek nagysága. 3. A RENDSZER EGYENSÚLYA

3 Egy renszer stabilitásának vizsgálathoz az (5) vektoregyenletnek kell teljesülnie. Ahol f vektor a (1)-(4) egyenletek 0-ra renezett alakjából képzett vektor. Fizikailag egy renszernek ott van egyensúlyi helyzete, ahol a renszer sebessége eltűnik. f x, x, x, x ) 0 (5) ( A vizsgált során kapott egyensúlyi helyzetek (1. ábra) közül 1 bizonyult stabilnak és 3 instabilnak (1. táblázat). 1. táblázat A renszer egyensúlyi helyzetei x 1 x 2 x 3 x 4 stabilitás instabil instabil instabil 3, ,269 11, ,809 stabil Az egyensúlyi helyzet stabilitásának megállapításához a renszer karakterisztikus egyenletéből nyert sajátértékeit határozzuk meg. Egy egyensúlyi helyzet stabilitásakor a renszer kitérítve onnan, kis iő után visszatér a korábbi egyensúlyi helyzetébe. 1. ábra A renszer egyensúlyi helyzetei 4. KAOTIKUS VISELKEDÉS VIZSGÁLATA A vizsgálatokhoz a nemlineáris renszerek vizsgálatához gyakran alkalmazott mószereket alkalmaztuk. A renszerváltozók kaotikus viselkeésének vizsgálatára szolgál a Lyapunov kitevő. Az iroalomban [5] közölt mószer segítségével

4 megállapítható a renszerről, hogy kaotikus viselkeésre hajlamos-e vagy sem. Egy renszernek a szabaságfokával megegyező számú Lyapunov kitevője van. Kaotikus viselkeés akkor lép fel, ha a legnagyobb exponens zérusnál nagyobb. Ennek a mószernek a segítségével lehet tanulmányozni a renszer kaotikus viselkeését, illetve kaotikus viselkeésre való hajlamát. A bemeneti paraméterek finom változtatásának hatására a vizsgált renszer kaotikus viselkeése lép fel vagy szűnik meg. A vizsgálatok során a következő normalizált paraméterek maratak állanók: a = 60; b = 0.875; = 0.26; e = 8; g = 0.1. Ezek a konstansok a vizsgált renszer fizikai paramétereiből kaphatók meg. A c paramétert választottuk fő paraméternek, amelynek változtatása hatást gyakorol a renszer viselkeésére Konstans terhelés változtatása Itt azt vizsgáltuk, hogy milyen hatással van a renszer viselkeésére a renszeren ható terhelés változtatása. Ha a hajtásláncra viszonylag kis terhelést aunk, akkor az figyelhető meg, hogy a renszer a kezeti tranziens-bolyongás után 2 egyensúlyi helyzet körül mozog úgy, hogy közben távoloik az egyensúlyi helyzetet jelentő pontoktól. A 2. ábrán, ami a renszer 2 Pointcaré térképét mutatja, ez jól látható. Ekkor a hajtást (T l = 0.53 Nm) nagyságú terhelőnyomatékkal terheltük. 2. ábra Pointcaré térképek konstans terhelés mellett Ha változtatjuk a hajtásláncon a terhelő nyomaték nagyságát és figyeljük a nemlineáris renszer Lyapunov spektrumának változását, azt tapasztaljuk, hogy a renszer legnagyobb Lyapunov kitevője előjelet vált. Ezt a jelenséget a 3. ábra szemlélteti. A renszer kaotikus viselkeésében található pár stabil szakasz. A paraméter változtatása mellett stabil műköés jelenik meg 3.11 Nm körüli értéktartományon.

5 3. ábra Lyapunov kitevők alakulása a terhelés növekeésének függvényében 4.2. Vezérlőjel változtatása Itt azt vizsgáltuk, hogy ha egy konstans értéken hagyjuk a terhelőnyomatékot a hajtásláncon, hogyan változik meg a renszer viselkeése a vezérlőjeletek változtatása mellett. Milyen vezérlőjelet kell a berenezésre ani ahhoz, hogy elkerüljük a renszer kaotikus viselkeését. Egy konstans terhelés mellett keressük azt a vezérlőjel-szintet, ahol stabil műköés alakul ki. A Lyapunov kitevős vizsgálat azt mutatta, hogy renszer elveszti kaotikus viselkeését u q > 29 értéknél illetve u > 12, ahogy ezt a 3. ábra is mutatja. 4. ábra Konstans terhelés mellett a legnagyobb Lyapunov kitevő negatívba megy át az u (balra) és u q (jobbra) változtatása mellett

6 ÖSSZEFOGLALÁS A vizsgálatok során egy elektromechanikus kinematikai láncú aktuátor viselkeését vizsgáltuk a kaotikus állapotok szempontjából. A renszer egy BLDC motorból és egy hozzá hézagtalanul kapcsolóó bolygóműből áll. A renszer leíró egyenletek felírása után megvizsgáltuk a renszer egyensúlyi helyzeteit. Ezt követően azt analizáltuk, hogy a renszerparaméterek változtatás mellett, mennyire hajlamos a renszer kaotikus viselkeésre. Vizsgálat elvégzéséhez a Lyapunov kitevőket használtuk fel, hogy elkerüljük az esetleges káoszjelenség kialakulását. A jelen cikkben konstans terhelés esetén vizsgáltuk a kaotikus állapot kialakulását illetve változó terhelés esetén vizsgáltuk annak elkerülhetőségét. A továbbiakban egyrészt a most elhanyagolt hibák (pl. hézag) illetve összetettebb mechanikai moellek mellett a renszerparaméterek változásának együttes hatását kívánjuk vizsgálni, amelynek gátja elsősorban a renkívül nagy számítási kapacitás igény. A vizsgálatok ereményeként lehetőség lesz a renszer moelljének finomhangolására, maj valós renszeren keresztüli valiálására. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A szerzők köszönetet monanak a román-magyar tuományos és technológiai együttműköés (TéT) Ro-9/2007 programjának (Ipari automatizálási renszerekben alkalmazott forgó és lineáris elektromechanikus aktuátorok fejlett irányítási, állapot-felügyeleti és iagnosztikai mószereinek kutatása), amely részben támogatta a tuományos kutatások első fázisát. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] Z.-M, GE, C.-M. CHANG, Y.-S. CHEN: Anti-Control of chaos of single time-scale brushless DC motor, Royal Society of Lonon, Transactions Series A, vol. 364, Issue 1846, p , 2006 [2] R. ISERMANN: Mechatronic Systems, Funamentals, Springer, 2005 [3] J. CHIASSON: Moelling an High-Performance Control of Electric Machines, John Wiley & Sons, Inc. New York, 2005 [4] S.L. CAMPBELL, J.P. CHANCELIER, R. NIKOUKHAH: Moelling an Simulation in Scilab/Scicos, Springer, [5] J. F. GIERA, M. WING: Permanent Magnet Motor Technology, Design an Application, Marcel Dekker, Inc., [5] A. WOLF, J. B. SWIFT, H. L. SWINNEY, an J. A. VASTANO: Determining Lyapunov Exponents from a Time Series, Physica D, Vol. 16, pp , [6] S. BANERJEE: Dynamics for Engineers, Wiley & Sons, Lt, 2005 [7] B. BAZEJECZYK, T. KAPITANIAK, J. WOJEWODA: Controlling chaos in mechanical systems, Appl. Mech. Rev. 7, pp , 1993.