2016, Diszkrét matematika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2016, Diszkrét matematika"

Átírás

1 Diszkrét matematika 3. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia 2016, őszi félév

2 Miről volt szó az elmúlt előadáson? A gyorshatványozás algoritmusa - iteratív, rekurzív változatok. Számtartományok: racionális számok, irracionális számok Racionális számok sorozatba rendezése legnagyobb közös osztó algoritmusa, rekurzív változat Lánctörtek racionális számok lánctört jegyei

3 Miről lesz szó? Számtartományok: valós számok, komplex számok racionális számok lánctört jegyei valós számok lánctört jegyei híresebb irracionális számok számjegyeinek a kigenerálása k-ik gyök meghatározása: Newton módszerrel logaritmus maghatározása másodfokú egyenlet komplex gyökei fraktálok: Mandelbrot, Julia

4 Lánctörtek (Continued fraction) A lánctört egy emeletes tört, amely kétféle alakban is megadható, ahol a két alak átalakítható egymásba: a 0 + a 1 + b 1 b 2 b3 a 2 + a d 0 + d d d A második alak esetében a [d 0, d 1, d 2, d 3,... ] számsorozatot a lánctört jegyeinek hívják. Megállapíthajuk, hogy: a racionális számok véges lánctörtek, az irracionális számok végtelen lánctörtek.

5 Algoritmusok Pythonban 1. feladat: határozzuk meg az x y def lanct(x, y): L = [] while 1: L += [x / y] r = x % y if r == 0: break x = y y = r return L racionális számnak megfelelő lánctört jegyeit >>> lanct(89, 63) [1, 2, 2, 2, 1, 3] >>> lanct(89, 55) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]

6 Algoritmusok Pythonban 2. feladat: határozzuk meg az x y átírjuk a maradékos osztást!! def lanct1(x, y): L = [] while 1: temp = x / y L += [temp] r = x - temp * y if r == 0: break x = y y = r return L racionális számnak megfelelő lánctört jegyeit, >>> lanct(61, 47) [1, 3, 2, 1, 4]

7 Valós számok a racionális és irracionális számok halmaza halmazjelölés: R = Q Q, egy szám egyszerre nem lehet racionális és irracionális is, a valós számokhoz hozzárendelhető, egy mindkét irányban végtelen egyenes egy-egy pontja, kommutatívitás, asszociatívítás, disztributívítás, az egész számokkal ellentétben a valós számok halmaza nem megszámlálható, a számítástechnikában nem valós mennyiségekkel dolgozunk, ezek egy közeĺıtő értéke lesz eltárolva: lebegőpontos ábrázolás,

8 Valós számok A valós számok halmaza nem megszámlálható: feltételezzük, az ellenkezőjét, ha a valós számok halmaza megszámlálható lenne, akkor, a 0 és 1 közötti valós számok halmaza is megszámlálható lenne, létezik egy számsorozat, amelyet a 0 és 1 közötti valós számok alkotnak : r 1, r 2,..., r n,..., alkalmazzuk a következő ábrázolási módot: r 1 = 0.d 11d 12d 13d r 2 = 0.d 21d 22d 23d r 3 = 0.d 31d 32d 33d r 4 = 0.d 41d 42d 43d ahol d ij {0, 1, 2,..., 9} ekkor az r = 0.d 1d 2d 3d 4... egy új valós szám lesz, { amely nem szerepel a 4 ha dii 4, fenti szabály szerint megadott listában, ahol d i = 5 ha d ii = 4.

9 Valós számok Példa: r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = A listában nem szereplő valós szám: , mert d 11 4, d 22 4, d 33 = 4, d 44 4,....

10 Algoritmusok Pythonban 3. feladat: határozzuk meg az a valós számnak megfelelő lánctört jegyeit from math import floor def lanctreal(a, prec): temp = floor(a) L = [int(temp)] i = 0 while i < prec and a!= temp: a = 1.0 / (a - temp) temp = floor(a) L += [int (temp)] i += 1 return L >>> lanctreal(61/47.0, 5) [1, 3, 2, 1, 3, 1]

11 Algoritmusok Pythonban 3. feladat: >>> import math >>> lanctreal(math.sqrt(2), 10) [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2] >>> lanctreal(math.sqrt(6), 10) [2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4] >>> lanctreal(math.pi, 15) [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 3, 3, 23] >>> lanctreal(math.e, 15) [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1]

12 Python sintaxis A Decimal típus: a Decimal típus a decimal modulban van definiálva, a felhasználó által óhajtott pontossággal ábrázolja a lebegőpontos (valós) számokat, a getcontext.prec() segítségével a tizedes jegyek számát adhatjuk meg, Az int, a float, a string típusokból egyaránt létre lehet hozni Decimal típusú értéket. >>> >>> e-17

13 Python sintaxis >>> Decimal(0.1) Decimal( ) >>> Decimal( 0.1 ) Decimal( 0.1 ) >>> Decimal( 0.1 ) + Decimal( 0.1 ) + Decimal( 0.1 ) - Decimal( 0.3 ) Decimal( 0.0 )

14 Algoritmusok Pythonban 4. feladat: a n érték meghatározása lánctörtek segítségével A kiinduló képlet a következő, ahol a értéke egy akármilyen szám: ha a = 1, akkor: n = n = a + n a n 1 n 1 a+ n n n

15 Algoritmusok Pythonban 5. feladat: a 2 értékének meghatározása lánctörtek segítségével: 2 = from decimal import Decimal, getcontext def lanct_sqrt(): p = 500 getcontext().prec = 30 # 30 szamjegy temp = Decimal(0) for x in range (0, p): temp = 1 / (2 + temp) return 1 + temp >>> lanct_sqrt() Decimal( )

16 A π szám a kör kerületének és átmérőjének hányadosa az eukleidészi geometriában más definíciók is léteznek, melyek kihagyják a kört irracionális és transzcendens szám (nincs olyan egész együtthatós polinom amelynek gyöke lenne) 6. feladat: a π értékének meghatározása lánctörtek segítségével π = π =

17 A π szám def lanct_pi(): p = 1000 getcontext().prec = 100 # 100 szamjegy temp = Decimal(0) for x in range (p + 1, 0, -1): a = x * x b = 2 * x + 1 temp = a / (b + temp) return 4 / (1 + temp) >>> lanct_pi() Decimal( )

18 Az e szám irracionális és transzcendens szám többféleképpen lehet értelmezni: ( e = lim ) n. n n Az e értékének meghatározása lánctörtek segítségével: e =

19 Algoritmusok Pythonban 7. feladat: a log e z értékének meghatározása lánctörtek segítségével log(1 + z) = 1 + def lanct_log(z, p, szj): z -= 1 getcontext().prec = szj temp = Decimal(0) for x in range (p, 0, -1): t = (x + 1) / 2 a = x + 1 b = t * t * z temp = b / (a + temp) return z / (1 + temp) z 1 2 z z 2 2 z 2 2 z z

20 Algoritmusok Pythonban 7. feladat: >>> lanct_log(2, 500, 20) Decimal( ) >>> import math >>> math.log(2) >>> lanct_log(decimal(math.e), 1000, 20) Decimal( ) >>> math.log(math.e) 1.0

21 Algoritmusok Pythonban 8. feladat: a sin(z) értékének meghatározása lánctörtek segítségével z sin(z) = z z z z z z def lanct_sin(z): p = 300 getcontext().prec = 50 temp = Decimal(0) for x in range (2*p, 0, -2): a = (x+2) * (x+3) - z*z b = x * (x+1) * z * z temp = b / (a + temp) temp = z*z / (2*3-z*z + temp) return z / (1 + temp)

22 Algoritmusok Pythonban 8. feladat: >>> lanct_sin(60) Decimal( ) >>> import math >>> math.sin(60) >>> math.sqrt(3)/ >>> math.sin(60 * math.pi/180)

23 Algoritmusok Pythonban 8. feladat: def lanct_sinr(z): p = 300 getcontext().prec = 50 z = Decimal(z * math.pi/180) temp = Decimal(0) for x in range (2*p, 0, -2): a = (x+2) * (x+3) - z*z b = x * (x+1) * z * z temp = b / (a + temp) temp = z*z / (2*3-z*z + temp) return z / (1 + temp) #atalakitjuk a szoget radianna >>> lanct_sinr(60) Decimal( )

24 Aranymetszés, aranyarány (Golden Ratio), a ϕ szám két mennyiség, a, b, a > b az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha fennáll: a b = a + b def = ϕ a a ϕ meghatározása érdekében feĺırhatjuk: a + b a = a, azaz fennáll: b ϕ = ϕ ϕ2 = ϕ + 1 megoldva a fenti egyenletet kapjuk, hogy ϕ = a ϕ irracionális szám = és ˆϕ = =

25 Aranymetszés, aranyarány (Golden Ratio), a ϕ szám építészet: Parthenon homlokzatának arányértékei: logok: Toyota, Mercedesz, stb. Pentagramma (szabályos ötszög): természet: napraforgó spirlajai piros zold = zold kek = kek lila = ϕ

26 Aranymetszés, aranyarány (Golden Ratio), a ϕ szám Kiindulva az alábbi összefüggésből: ϕ = 1 + 1, lánctörtek segítségével is ϕ feĺırhatjuk a ϕ értékét: ϕ =

27 Algoritmusok Pythonban 9. feladat: gyökvonás, a k-ik gyök meghatározása, Newton féle módszer alapján k n meghatározása: xi+1 = 1 [ (k 1) x i + n ], ahol x k x k 1 0 = 1 egy i kezdeti érték. ha k = 2, akkor a négyzetgyök meghatározásának képlete: x i+1 = 1 (x 2 i + n ) x i a beépített operátorral: >>> 10 ** >>> from decimal import Decimal, getcontext >>> getcontext().prec = 100 >>> 10 ** Decimal( 0.5 ) Decimal( )

28 Algoritmusok Pythonban 10. feladat: négyzetgyökvonás x i+1 = 1 (x 2 i + n ) x i x 0 = 1 from decimal import Decimal, getcontext def my_sqrt(n): getcontext().prec = 100 n = Decimal(n) x0 = 1 while True: xi = (x0 + n/x0)/2 if xi == x0: return xi x0 = xi

29 Algoritmusok Pythonban 11. feladat: természetes alapú logaritmus meghatározása. Használható összefüggések: ln (x) = (x 1) (x 1)2 2 ln (x) = lim n n (x 1/n 1) + (x 1)3 3 (x 1)4 4 = ( 1) n+1 (x 1) n n n=1 def ln(x): n = return n * ((x ** (1/n)) - 1)

30 Komplex számok A komplex számok a valós számhalmaz egy olyan bővítése, melyben negatív számok esetén is értelmezett a gyökvonás. halmazjelölés: C, és három modell alapján is értelmezhető: halmazelméleti, geometriai, algebrai modellek halmazelméleti modell: C = {(a, b) a R, b R}, azaz a számhalmazt rendezett számpárok alkotják, ahol az elemek valós számok, imaginárius rész: az a komplex szám amelynek négyzete -1, jele az i a komplex számok a + bi alakban írhatóak fel, ahol a valós rész, b az imarinárius rész ha b = 0, akkor valós számot kapunk a valós számok körében megismert műveleti tulajdonságok megmaradnak additív semleges elem: z = 0 + 0i multiplikatív semleges elem: z = 1 + 0i additív inverz elem: z = a bi, multiplikatív inverz elem: 1/z = a/(a 2 + b 2 ) b/(a 2 + b 2 )i, z 0

31 Műveletek komplex számokkal Műveleti szabályok: a = a 1 + a 2i abs(a) = a1 2 + a2 2 b = b 1 + b 2i a + b = (a 1 + b 1) + (a 2 + b 2)i a b = (a 1 + b 1) (a 2 + b 2)i a b = (a 1 b 1 a 2 b 2) + (a 2 b 1 + a 1 b 2)i 1 b 1 = b (b1 2 + b2 2 ) b 2 (b1 2 + b2 2 ) i a b = a 1 b (1)

32 Komplex számok Pythonban >>> a = complex(2, 4) >>> a.imag 4.0 >>> a.real 2.0 >>> abs(a) >>> b = complex(1,10) >>> a + b (3 + 14j) >>> a - b (1-6j) >>> a * b ( j) >>> a / b ( j)

33 Algoritmusok Pythonban 12. feladat: Határozzuk meg egy másodfokú egyenlet gyökeit def megyenlet2 (a, b, c): if a == 0: return egyenlet(b, c) delta = b*b - 4*a*c if delta < 0: valosr = -b / (2*a) imagr = math.sqrt( abs (delta)) / (2 * a) gy1 = complex(valosr, imagr) gy2 = complex(valosr, -imagr) return (gy1, gy2) if delta == 0: gy = -b/(2*a) return (gy, gy) if delta > 0: gy1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a) gy2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a) return ( gy1, gy2 )

34 Mandelbrot fraktál Fraktálok: kiindulva egy komplex számból, egy iterációs folyamat eredményeként a képernyőre kirajzolt pontok fraktál alakzatokat hozhatnak létre minél nagyobb az iteráció szám, annál jobb a kirajzolt kép minősége a Mandelbrot halmaz iterációs képlete: z n+1 = (z n) 2 + c, ahol a kezdeti z 0 értéket és a c értéket a programozó álĺıtja be a Mandelbrot halmaz azokat a c komplex számokat fogja tartalmazni, amelyekre a z n sorozat nem tart a végtelenbe, és z 0 = 0 a z n sorozat a végtelenbe tart, ha az abszolútértéke nagyobb lesz mint 2.

35 Algoritmusok Pythonban 13. feladat: Határozzuk meg a Mandelbrot halmaz elemeit. Egy halmazbeli elem esetén rajzoljunk #-t a képernyőre, másképp space-t. def fman(): L1 = [a*0.07 for a in range (-15, 16)] L2 = [a*0.04 for a in range (-50, 26)] for y in L1: L = "" for x in L2: z = 0 c = complex(x, y) for i in range (40): z = z ** 2 + c if abs(z) > 2: L += " " break if abs(z) <= 2: L += "#" print L

36 Julia fraktál 14. feladat: Határozzuk meg a Julia halmaz elemeit. A Julia halmaz iterációs képlete ugyanaz, mint a Mandelbrot halmazé, azzal a különbséggel, hogy a c értéke itt konstans, legyen c = i def fjulia(): L1 = [a*0.07 for a in range (-15, 16)] L2 = [a*0.04 for a in range (-40, 36)] c = complex (-1, -0.25) for y in L1: L = "" for x in L2: z = complex(x, y) for i in range (40): z = z ** 2 + c if abs(z) > 2: L += " " break if abs(z) <= 2: L += "#" print L

37 Megjegyzések az L1, L2 intervallumokat módosíthatjuk, a kirajzolt alakzat nagyobb lesz: L1 = [a*0.05 for a in range (-20, 21)] L2 = [a*0.02 for a in range (-80, 31)] a grafikus megjelenítéshez használjuk a pygmae csomagot (lehet mást is): a grafikus megjelenítés forrása:

38 Mandelbrot fraktál, grafikus megjelenítés from pygame.locals import * import pygame def mainma(): width, height = 800, 800 screen = pygame.display.set_mode((width,height),doublebuf) xaxis = width/1.5 yaxis = height/2 scale = iterations = 40 for iy in range(height/2+1): for ix in range(width): z = 0 c = complex((ix - xaxis)/scale, (iy - yaxis)/scale)

39 Mandelbrot fraktál, grafikus megjelenítés for i in range(iterations): z = z**2 + c if abs(z) > 2: v = 765*i/iterations if v > 510: color = (255, 255, v%255) elif v > 255: color = (255, v%255, 0) else: color = (v%255, 0, 0) break if abs(z) <= 2: color = (0, 0, 0) #end for screen.set_at((ix, iy), color) screen.set_at((ix, height-iy), color) #end for, for

40 Mandelbrot fraktál, grafikus megjelenítés pygame.display.update() while True: event = pygame.event.poll() if (event.type == QUIT or (event.type == KEYDOWN and event.key == K_ESCAPE)): break #end def mainma() pygame.quit()

41 Mandelbrot fraktál

42 Julia fraktál, grafikus megjelenítés from pygame.locals import * import pygame def mainju(): width, height = 800,1000 #width, height = 320, 320 screen = pygame.display.set_mode((width,height),doublebuf) xaxis = width/2.0 yaxis = height/3.7 scale = iterations = 40 c = complex (-0.824, ) for iy in range(height/2 + 1): for ix in range(width): z = complex((ix - xaxis)/scale, (iy-yaxis)/scale) for i in range(iterations): z = z**2 + c if abs(z) > 2.0: color = (i % 8 * 32, i % 16 * 16, i % 32 * 8) break

43 Julia fraktál, grafikus megjelenítés if abs(z) <= 2: color = (0, 0, 0) screen.set_at((ix, iy), color) screen.set_at((width, height), color) #end for, for pygame.display.update() while True: event = pygame.event.poll() if (event.type == QUIT or (event.type == KEYDOWN and event.key == K_ESCAPE)): break #end def mainju() pygame.quit()

44 Julia fraktál c = complex (-0.824, )

45 Julia fraktál További c értékek a Julia fraktálhoz: c = complex (0.285, 0.013) c = complex (-0.295, -0.55) c = complex (-0.63, ) c = complex (-0.624, 0.435) c = complex (-1, -0.25) c = complex (-1, -0)

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Számtartományok:

Részletesebben

2015, Diszkrét matematika

2015, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 5. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtani, mértani,

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 7. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? az ord, chr függvények

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? legnagyobb közös

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A-9.C-9.D OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam

Matematika. Specializáció. 11 12. évfolyam Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Typotex Kiadó. Bevezetés

Typotex Kiadó. Bevezetés Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9 Komplex számok Wettl Ferenc 2010-09-10 Wettl Ferenc () Komplex számok 2010-09-10 1 / 9 Tartalom 1 Számok Egy kis történelem A megoldóképlet egy speciális esetre Lehet számolni negatív szám gyökével Műveletek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Negatív alapú számrendszerek

Negatív alapú számrendszerek 2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A vizsga formája Középszinten: írásbeli. Emelt szinten: írásbeli és szóbeli. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI A matematika érettségi vizsga célja A matematika érettségi vizsga célja

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból

Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból Az osztályozó, javító és különbözeti vizsgák (tanulmányok alatti vizsgák) témakörei matematika tantárgyból A vizsga formája: Feladatlap az adott évfolyam anyagából, a megoldásra fordítható idő 60 perc.

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Funkcionális és logikai programozás. { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem }

Funkcionális és logikai programozás. { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem } Funkcionális és logikai programozás { Márton Gyöngyvér, 2012} { Sapientia, Erdélyi Magyar Tudományegyetem } http://www.ms.sapientia.ro/~mgyongyi ` 1 Jelenlét: Követelmények, osztályozás Az első 4 előadáson

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! Részletes követelmények Matematika házivizsga Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag! A vizsga időpontja: 2015. április

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,

Részletesebben

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro

Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék. mgyongyi@ms.sapientia.ro Kriptográfia és Információbiztonság 4. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2015 Miről volt szó az elmúlt előadáson? blokk-titkosító

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény

Részletesebben

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára

Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

2016, Funkcionális programozás

2016, Funkcionális programozás Funkcionális programozás 11. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, tavaszi félév Miről volt szó? Haskell I/O műveletek, feladatok:

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

A Python programozási nyelv

A Python programozási nyelv A Python programozási nyelv Takács Gábor Széchenyi István Egyetem Matematika és Számítástudomány Tanszék 1 / 47 Jellemzők + értelmezett nyelv + típusai dinamikusak + szintaxisa tömör,

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás

Programozás BMEKOKAA146. Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Programozás BMEKOKAA146 Dr. Bécsi Tamás 2. előadás Szintaktikai alapok Alapvető típusok, ismétlés C# típus.net típus Méret (byte) Leírás byte System.Byte 1Előjel nélküli 8 bites egész szám (0..255) char

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az

Részletesebben

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat

NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben