SZUPERFINISELŐ BERENDEZÉS DINAMIKAI

Átírás

1 MIKOLCI EGYETEM GÉPÉZMÉRNÖKI É INFORMATIKAI KAR ZUPERFINIELŐ BERENDEZÉ DINAMIKAI VIZGÁLATA PhD értekezés KÉZÍTETTE: zilágyi Attila okleveles gépészmérnök ÁLYI ITVÁN GÉPÉZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI IKOLA, GÉPEK É ZERKEZETEK TERVEZÉE TÉMATERÜLET, ZERZÁMGÉPEK TERVEZÉE TÉMACOPORT DOKTORI IKOLA VEZETŐ: Dr. habil Tisza Miklós egyetemi tanár a műszaki tudomány doktora TÉMATERÜLET VEZETŐ: Dr. habil Döbröczöni Ádám egyetemi tanár TÉMACOPORT VEZETŐ: Prof. Emeritus Tajnafői József a műszaki tudomány doktora TÉMAVEZETŐ: Dr. habil Patkó Gyula egyetemi tanár Miskolc,

2 Tartalomjegyzék. BEVEZETÉ.... ELŐZMÉNYEK, CÉLKITŰZÉEK..... AZ ÉRTEKEZÉ ZAKMAI ELŐZMÉNYEI..... A PROTOTÍPU BERENDEZÉ AZ ÉRTEKEZÉ TUDOMÁNYO ELŐZMÉNYEI AZ ÚJ TÍPUÚ BERENDEZÉ ALAPELVE, CÉLKITŰZÉEK A DINAMIKAI MODELL MECHANIKU REZGÉKELTŐ BERENDEZÉEK Útgerjesztéses mechanizmusok Erőgerjesztést alkalmazó berendezések Rugós rezgéskeltő Tehetetlenségi erővel történő gerjesztés Centrifugális rezgéskeltő HIDRAULIKU É PNEUMATIKU REZGÉKELTŐ BERENDEZÉEK VILLAMO ELVEN MŰKÖDŐ REZGÉKELTŐ BERENDEZÉEK Elektromágneses rezgéskeltő Elektrodinamikus rezgéskeltő ÁLTALÁNO ELVEK É ÖZEFÜGGÉEK A MOZGÁEGYENLET-RENDZER FELÍRÁA AZ ENERGETIKAI VIZONYOK VIZGÁLATA Az energetikai állapot megítélésének szempontjai Kapcsolódó fogalmak, összefüggések A LINEÁRI MOZGÁEGYENLET-RENDZER A LINEÁRI MODELL VIZGÁLATA A PROTOTÍPU BERENDEZÉ VIZGÁLATA Az egyenletrendszer megoldása Energetikai viszonyok AZ ÚJ TÍPUÚ BERENDEZÉ MOZGÁEGYENLET-RENDZERE Az egyenletrendszer megoldása Energetikai viszonyok... 4 i

3 6.3. AZ ÚJ TÍPUÚ É A PROTOTÍPU BERENDEZÉEK ENERGETIKAI VIZONYAINAK ÖZEVETÉE A NEMLINEÁRI MODELL VIZGÁLATA A NEMLINEÁRI MOZGÁEGYENLET-RENDZER A FÁZIGÖRBE FELETTI LINEARIZÁLÁ MÓDZERE A LINEÁRI KÖZELÍTÉ PONTOÁGÁNAK ELŐZETE MEGÍTÉLÉE A LINEARIZÁLT MOZGÁEGYENLET-RENDZER A LINEARIZÁLT MOZGÁEGYENLET-RENDZER MEGOLDÁA A megoldások előállítása Az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia görbék függvényvizsgálata A LINEÁRI KÖZELÍTÉ PONTOÁGÁNAK VIZGÁLATA A közelítés pontosságának a priori becslése A közelítés pontosságának numerikus ellenőrzése AZ AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA GÖRBÉK TABILITÁVIZGÁLATA A pozitív görbeág függvényvizsgálata A negatív görbeág függvényvizsgálata A stabilitás numerikus ellenőrzése A numerikus ellenőrzés értékelése AZ ENERGETIKAI VIZONYOK VIZGÁLATA Az összefüggések felírása Numerikus ellenőrzés A kis teljesítményű rendszer A közepes teljesítményű rendszer A nagy teljesítményű rendszer Értékelés A prototípus és a közepes teljesítményű berendezések energetikai viszonyainak összevetése ÖZEFOGLALÁ ÚJ TUDOMÁNYO EREDMÉNYEK TOVÁBBFEJLEZTÉI IRÁNYOK UMMARY... 6 ii

4 Ábrajegyzék. ÁBRA. AZ ALAPGÉPRE ZERELT PROTOTÍPU BERENDEZÉ...3. ÁBRA. KÜLŐ HENGERE FELÜLET ZUPERFINIELŐ MEGMUNKÁLÁA ÁBRA. A KŐTARTÓ EGYÉG (JOBBRA) MOZGATÁA ÁBRA. A PROTOTÍPU BERENDEZÉ ÁBRA. ÚTGERJEZTÉE MEREV KINEMATIKA ÁBRA. ERŐGERJEZTÉ RUGÓ EGÍTÉGÉVEL ÁBRA. GERJEZTÉ TEHETETLENÉGI ERŐVEL ÁBRA. REZGÉKELTÉ CENTRIFUGÁLI ERŐVEL ÁBRA. ZUPERFINIELŐ PNEUMATIKU REZGÉKELTŐVEL ÁBRA. ELEKTROMÁGNEE REZGÉKELTŐ A HANGZÓRÓBAN ÁBRA. AZ ELEKTRODINAMIKU REZGÉKELTŐ FELÉPÍTÉE ÁBRA. AZ ÚJTÍPUÚ FINIELŐ BERENDEZÉ MECHANIKAI MODELLJE ÁBRA. AZ ÁRAMERŐÉG-AMPLITÚDÓ ZÉLŐÉRTÉKE ÁBRA. A RENDZER ÖZENERGIA-FELVÉTELE ÁBRA. A VILLAMO EGYÉG ENERGIAFELVÉTELE ÁBRA. A CILLAPÍTÁ ENERGIAFELVÉTELE ÁBRA. A VILLAMO EGYÉG VILLAMO VEZTEÉGÉNEK HATÁFOKGÖRBÉJE ÁBRA. A MECHANIKAI CILLAPÍTÁ HATÁFOKGÖRBÉJE ÁBRA. A FELVETT ENERGIAMENNYIÉG MEGOZLÁA ÁBRA. AZ ÁRAMERŐÉG-AMPLITÚDÓ MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ÁBRA. E R MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ÁBRA. E be MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIA KÖZELÉBEN ÁBRA. A TELJEÍTMÉNYTÉNYEZŐ MAXIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. AZ 5. ÁBRA. AZ i FÜGGVÉNY KÖRNYEZETÉBEN E R FÜGGVÉNY KÖRNYEZETÉBEN ÁBRA. A COULOMB-FÉLE ÚRLÓDÁI MODELL ÁBRA. NUMERIKUAN ELŐÁLLÍTOTT DOMINÁN REZGÉKÉPEK ÁBRA. A DOMINÁN REZGÉEK ZÁRT HATÁRCIKLU GÖRBÉI ÁBRA. PEKTRUMDIAGRAM A DOMINÁN FREKVENCIÁVAL... 5 iii

5 3. ÁBRA. A PEKTRUM MÁODIK LEGNAGYOBB É A DOMINÁN FREKVENCIA AMPLITÚDÓINAK HÁNYADOA ÁBRA. JELLEGFELÜLET É KIEGYENLÍTŐ ÍK A FÁZIGÖRBE FELETT ÁBRA. A VIZGÁLT JELLEGFELÜLET É A KIEGYENLÍTŐ ÍK A FÁZIGÖRBE FELETT ÁBRA. A CILLAPÍTÁ NÉLKÜLI RENDZER AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA FÜGGVÉNYE ÁBRA. A COULOMB-FÉLE CILLAPÍTÁ HATÁA ÁBRA. A HATÁRGÖRBÉK É AZ 36. ÁBRA. AZ a GÖRBÉK a GÖRBÉK ÉRTELMEZÉI TARTOMÁNYÁNAK FELŐ HATÁRA ÁBRA. A NEMLINEARITÁ MÉRTÉKÉNEK MINIMUMA -NÉL ÁBRA. A NUMERIKU É AZ ANALITIKU AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA GÖRBÉK ÖZEVETÉE ÁBRA. A RELATÍV HIBÁNAK É A NEMLINEARITÁ MÉRTÉKÉNEK MINIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. AZ AKADOZÓ CÚZÁ JELENÉGE NUMERIKU ZÁMÍTÁOKNÁL ÁBRA. A CILLAPÍTÁ AMPLITÚDÓ-FREKVENCIA FÜGGVÉNYEKRE GYAKOROLT HATÁA ÁBRA. A,, EETEKHEZ TARTOZÓ GÖRBEÁGAK ÁBRA. AZ a GÖRBEPÁR A ;F H INTERVALLUMON ÁBRA. AZ EGYE TERHELÉEKHEZ TARTOZÓ FÁZIGÖRBÉK ÁBRA. A TABIL REZGÉEK HATÁRCIKLUAI ÁBRA. A NUMERIKU É AZ ANALITIKU EREDMÉNYEK ÖZEVETÉE ÁBRA. AZ a GÖRBEPÁR A ;F H INTERVALLUMON ÁBRA. DOMINÁN LENGÉKÉP ZÁRT HATÁRCIKLU GÖRBÉVEL ÁBRA. HATÁRCIKLU GÖRBÉK ÁBRA. A NUMERIKU É AZ ANALITIKU EREDMÉNYEK ÖZEVETÉE ÁBRA. AZ a GÖRBEPÁR A ;F H INTERVALLUMON ÁBRA. DOMINÁN LENGÉKÉP ZÁRT HATÁRCIKLU GÖRBÉVEL ÁBRA. A TABIL REZGÉEK HATÁRCIKLU GÖRBÉI ÁBRA. RUNGE-KUTTA MÓDZERREL É LINEARIZÁLÁ ÚTJÁN KIZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK ÖZEVETÉE ÁBRA. A TELJEÍTMÉNYTÉNYEZŐ MAXIMUMA REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. A HATÁFOK MENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. AZ ENERGIAMENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI ÁBRA. A HATÁFOK MENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. AZ ELMOZDULÁ AMPLITÚDÓ É AZ ENERGIAMENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. A TELJEÍTMÉNYTÉNYEZŐ ZÉLŐÉRTÉKE REZONANCIA FREKVENCIA KÖRNYEZETÉBEN ÁBRA. A HATÁFOK MENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL ÁBRA. AZ ELMOZDULÁ AMPLITÚDÓ É AZ ENERGIAMENNYIÉGEK ZÉLŐÉRTÉKEI REZONANCIA FREKVENCIÁNÁL iv

6 Táblázatok jegyzéke. TÁBLÁZAT. ZÉLŐÉRTÉKHELY-FREKVENCIÁK TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGE É KÖZELÍTŐ ZÉLŐÉRTÉKHELYEK ÖZEVETÉE TÁBLÁZAT. A PROTOTÍPU É AZ ÚJ TÍPUÚ BERENDEZÉ LINEÁRI MODELLJEINEK ENERGETIKAI ÁLLAPOTA TÁBLÁZAT. RUNGE-KUTTA MÓDZERREL É LINEARIZÁLÁ ÚTJÁN KIZÁMOLT AMPLITÚDÓ ÉRTÉKEK TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGE É KÖZELÍTŐ ZÉLŐÉRTÉKHELYEK ÖZEVETÉE TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGE É KÖZELÍTŐ ZÉLŐÉRTÉKHELYEK ÖZEVETÉE TÁBLÁZAT. A TÉNYLEGE É KÖZELÍTŐ ZÉLŐÉRTÉKHELYEK ÖZEVETÉE TÁBLÁZAT. A PROTOTÍPU É AZ ÚJ TÍPUÚ BERENDEZÉ NEMLINEÁRI MODELLJEINEK ENERGETIKAI ÁLLAPOTA... v

7 Jelölések jegyzéke Latin betűs jelölés A, a elmozdulás-amplitúdó b, c, d a kiegyenlítő sík paraméterei D disszipációs függvény e az f(x, x ) jellegfelület és a kiegyenlítő sík közötti eltérés E kinetikai energia E a rendszer által felvett villamos energia E be h E f R a mechanikai csillapítás által felvett energia az ohmos csillapítás által felvett villamos energia frekvencia f x,x nemlineáris jellegfelület F F g F, u F i lineáris motor vonóerő amplitúdója gerjesztő erő általános erőkoordináta súrlódási erő abszolút értéke áramerősség koordináta I, i áramerősség amplitúdó I effektív áram eff I m j k L m M p P h, P m, P q Q meddő áram képzetes egység rugóállandó önindukciós tényező tömeg kölcsönös indukciós tényező pillanatnyi teljesítmény hatásos-, meddő- és látszólagos teljesítmény paraméter villamos töltés koordináta r, r F paraméterek R ohmos ellenállás s ívhossz vi

8 t T U U U u eff súrlódási erő időkoordináta periódusidő potenciális energia villamos feszültség amplitúdója egyenfeszültség váltakozó feszültség U effektív feszültség v w W x Görög betűs jelölés sebesség sebességkoordináta egyfázisú váltakozó áram munkája elmozdulás koordináta erőkonstans nemlinearitás mértéke, paraméterek sebességkonstans relatív hiba az értelmezési tartomány egy pontjának kis környezete paraméter,, dimenziótlanított frekvenciák Lehr-féle csillapítás fázisszög lineáris csillapítás együtthatója,, indexek saját-körfrekvencia dimenziótlanított időkoordináta R, h, Rh hatásfok mennyiségek az elmozdulás-amplitúdó fázisszöge nemlineáris rendszernél A i A i Alkalmazott matematikai jelölések az áramerősség-amplitúdó fázisszöge nemlineáris rendszernél paraméter dimenziótlanított időkoordináta az elmozdulás-amplitúdó fázisszöge lineáris rendszernél az áramerősség-amplitúdó fázisszöge lineáris rendszernél gerjesztő körfrekvencia időszerinti deriválás dimenziótlanított időkoordináta szerinti deriválás komplex mennyiség vii

9 ... eleme a és a... és a Arc arctg const Re... sgn th... intervallumnak... mennyiségek azonos nagyságrendűek komplexszám arkusza arkusz tangens állandó mennyiség (konstans) a... komplex mennyiség valós része szignum függvény tangens hiperbólikusz A felsorolásban nem szereplő jelöléseket a szövegben értelmezzük. viii

10 Köszönetnyilvánítás Az értekezés a Miskolci Egyetem zerszámgépek Tanszékén 5-ben kezdett kutatómunkám eredményeit foglalja össze. A téma illeszkedik a tanszéken évtizedek óta a koncepcionális géptervezés és a gépek dinamikája terén folyó kutatásokhoz, valamint ezeken a területeken kifejtett oktatási tevékenységhez. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálatán keresztül azonban szorosabban kapcsolódik a tanszéken előbb DR. FARAGÓ KÁROLY egyetemi docens, majd később DR. PATKÓ GYULA egyetemi tanár vezetésével folyó programhoz, ami szíjhajtású szerszámgép fő- és mellékhajtóművek dinamikai vizsgálatával foglalkozik. Ezúton szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik a disszertáció elkészültét támogatták, illetve ahhoz segítséget nyújtottak. Külön köszönet illeti DR. PATKÓ GYULA egyetemi tanárt, témavezetőmet, aki kutatásaimat irányította és rendszeresen konzultálta, és DR. TAKÁC GYÖRGY tanszékvezető egyetemi docenst, aki PATKÓ Professzor Úrral együtt bíztatott egyetemi oktatói pályafutásom folytatására, útmutatást nyújtottak szűkebb kutatási területem kiválasztásához, bevezettek engem a tudományos életbe, és folyamatos biztatásukkal hozzájárultak az értekezés elkészítéséhez. Külön köszönet illeti egykori oktatóimat DR. TAJNAFŐI JÓZEF professzor emeritust a szerszámgépek témacsoport vezetőjét, és DR. MOLNÁR LÁZLÓ főiskolai docenst nagyfokú támogatásukért. Köszönöm továbbá DR. MAKÓ ILDIKÓ és DR. CÁKI TIBOR kollégáim szakmai segítségét és folyamatos bíztatását, valamint közvetlen kollégáim, DEMETER PÉTER és HEGEDŰ GYÖRGY egyetemi adjunktusok és BARAK ANTAL tanszéki mérnök hardver- és szoftveralkalmazások területén nyújtott segítségét. Köszönetemet fejezem ki a zerszámgépek Tanszéke valamennyi munkatársának, akik támogatásukkal, biztatásukkal, értékes megjegyzéseikkel hozzájárultak az értekezés elkészítéséhez. Köszönetemet szeretném kifejezni DR. ZABÓ TAMÁ egyetemi docensnek, a Robert Bosch Mechatronikai Tanszék vezetőjének, DR. KOVÁC ERNŐ egyetemi docensnek, az Elektrotechnikai-Elektronikai Tanszék vezetőjének és VÁRADINÉ DR. ZARKA ANGÉLA egyetemi docensnek az értekezés írása során nyújtott értékes kritikai észrevételekért. Köszönet illeti a szerző családját, akik folyamatos érdeklődésükkel, biztatásukkal és türelmetlenségükkel segítették az értekezés megírását. Nem utolsó sorban pedig köszönöm feleségemnek, zilviának a türelmet és az értekezés folyamatos nyelvi lektorálását. A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4..-8/-8-6, A Miskolci Egyetem Technológia- és Tudástranszfer Centrumának Kialakítása és Működtetése című, valamint a TÁMOP 4...B-//KONV, A Felsőoktatás Minőségének Javítása a Kutatás-Fejlesztés- Innováció-Oktatás fejlesztésén keresztül című projektek részeként valósul meg. ix

11 . Bevezetés A szuperfiniselés más néven tükörsimítás befejező finomfelületi megmunkálás, általában hengeres felületek, például tengelyek, dugattyúk, szelepek, gördülőcsapágyak futófelületeinek megmunkálására használják. A műveleti ráhagyást a csiszolókövek szemcseélei távolítják el: ennek következtében javul a felület minősége, miközben a munkadarab mérete lényegesen nem változik. Tükörsimítással Ra,5 m -es felületi érdesség is elérhető. A tükörsimítást egy erre a célra készített célgép vagy esztergára, ritkábban palástköszörűre szerelt finiselő berendezés végzi, amely általában pótlólagosan kerül az alapgépre. Ilyenkor a felület simaságát az alapgépbe fogott gyártmány forgatásával és a kövek rövid löketű rezgőmozgásával érik el. A kövek mozgatása történhet közvetett módon: mozgásátalakító merev kinematikával, vagy közvetlenül: pneumatikus, hidraulikus, valamint villamos hajtás segítségével. A szuperfiniselés rezgés- és hőmérsékleti zavaroktól mentes megmunkálói környezetet igényel, ezért ilyen berendezéseknél már tervezési fázisban gondolni kell a rezgésmentes működést befolyásoló dinamikai problémák, például a tömegkiegyensúlyozás megoldására. Az adaptálhatóság következtében a rezgő egységek tömege mellett a berendezés befoglaló méreteit is körültekintően kell megválasztani. Ezeket alapvetően a hajtás jellege és annak energetikai viszonyai határozzák meg, melyek feltárását szintén a dinamikai vizsgálat teszi lehetővé. Ultraprecíz a továbbiakban UP megmunkálás során, ahol a munkatér viszonylag kicsi, és követelmény a nagy alak- és méretpontosság, az előző szempontok figyelembevétele különösen fontos. A berendezés dinamikai vizsgálatát sokféle modell alapján végezhetjük. A gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon először a lineáris modell vizsgálatát végezzük el. ok esetben már ez is lényeges dinamikai jelenségekre irányítja rá a figyelmet. Ehhez képest nemlineáris modellek segítségével dinamikai jelenségek jóval szélesebb körét tárhatjuk fel: előre jelezhetünk és elkerülhetünk káros rezgéstani jelenségeket, pontosabbá és gazdaságosabbá tehetjük a berendezés működését. A nemlineáris mozgásegyenlet-rendszert általános elmélet hiányában valamilyen közelítő analitikus vagy numerikus módszer segítségével oldjuk meg. A megoldások ismeretében megfogalmazhatjuk a stabil működés feltételeit, feltárhatjuk az energetikai viszonyokat, majd körvonalazhatjuk a berendezés főbb méreteit Jelen értekezés egy UP keményesztergáló berendezésre pótlólagosan felszerelhető egyfázisú, villamos hajtású szuperfiniselő berendezés lineáris, és egy lehetséges nemlineáris modelljének energetikai viszonyaival, és ebből eredő konstrukciós kérdéseivel foglalkozik.

12 . Előzmények, célkitűzések.. Az értekezés szakmai előzményei A Miskolci Egyetem az elmúlt évek során konzorciumi tagként részt vett egy új típusú, kombinált szuperfiniselési eljárás és az azt megvalósító berendezés kifejlesztésében. Az eljárás azért újszerű, mert a szuperfiniselést és az azt megelőző keményesztergálást ugyanazon alapgépen, egy felfogásban végzi. A nemzetközi konzorciumban, amely az EU6-os program keretében alakult, a német CEROBEAR és a HWG Wälzlager csapágygyártó, a holland székhelyű Hembrug és a román Diasfin cégekkel együtt az Aacheni Fraunhofer Intézet Gépgyártás-technológiai Osztálya és a Miskolci Egyetem zerszámgépek Tanszéke is helyet kapott. A CEROBEAR és a HWG Wälzlager cégek acél vagy kerámia alapanyagú csapágytermékei extrém körülmények között például Forma--es gépjárművekbe, űrtechnikai eszközökbe építve üzemelnek: ebből fakadó különleges felhasználói igények indokolták a téma létjogosultságát. Ezek közül néhány [34] mélyen a szubmikronos felületi érdesség nagyságrendjébe sorolva írja elő ilyen csapágygyűrűk futófelület-minőségét, melynek sorozatnagyságtól függetlenül minden egyes darabra teljesülni kell [6]. Emellett a gyártástechnológia termelékenységének növelése is állandó kihívást jelent a gyártó felé. Az előző követelmények egyidejű megvalósítása és ipari alkalmazhatóságának vizsgálata jelentette a két évet áthidaló keretprogram fő célkitűzését. A konzorcium az új típusú eljárás optimális paramétereit egy kísérleti szuperfiniselő berendezés segítségével kívánta feltárni. A berendezés megtervezése és kivitelezése a Miskolci Egyetem zerszámgépek Tanszékének feladata volt. A prototípus berendezést úgy kellett megtervezni, hogy adaptálható legyen egy Hembrug 5CNC típusú UP keményeszterga-gépre, valamint széles frekvencia és amplitúdó tartományt tegyen lehetővé a megmunkálási kísérletsorozathoz. A prototípus berendezés a gyártását követően az Aacheni Fraunhofer Intézetbe került. A keményesztergáló-berendezést a holland Hembrug, a különböző minőségű szuperfiniselő köveket a bukaresti Diasfin, a kellő mennyiségű próbadarabot pedig a fent említett csapágygyártó cégek biztosították. A részleteiben is aprólékosan megtervezett kísérletsorozat egy éves időtartamot ölelt fel. A kísérletsorozat eredményei [4], [5] igazolták a kombinált szuperfiniselő eljárással, valamint a prototípus berendezéssel szembeni előzetes elvárásokat [3], vagyis: a Miskolci Egyetem zerszámgépek Tanszékén tervezett és gyártott berendezés maradéktalanul alkalmas volt a kombinált eljárás legkedvezőbb megmunkálási paramétereinek széles frekvencia és amplitúdó sávon belüli feltárására, a feltárt paraméterekkel elvégzett kísérletsorozat elérhető pontosság és gazdaságosság tekintetében jobbnak bizonyult a jelenleg csak több felfogásban végezhető finiselő eljárásokhoz képest.

13 .. A prototípus berendezés A szuperfiniselő egységet radiális hengergörgős csapágygyűrűk külső és belső futófelületeinek megmunkálására használják. A berendezést sík lineáris villamos motor működteti, és az alapgépre építve, befogásváltás nélkül végzi az esztergálást követő finiselő műveletet (. ábra).. ábra. Az alapgépre szerelt prototípus berendezés A csiszoló kövek a berendezés kőtartó egységén, egymással szemben helyezkednek el (. ábra).. ábra. Külső hengeres felület szuperfiniselő megmunkálása 3

14 A külső vagy belső hengeres felületnek megfelelően bevágott köveket pneumatikus hengerek állandó nyomóerővel szorítják a megmunkálandó felületre. A felületminőség az esztergagép forgó mozgásának, valamint a kövek ezzel egy időben végzett a megmunkálandó felület alkotóival párhuzamos irányú rezgő mozgásának az eredménye. A kőtartó egység a dinamikus kiegyensúlyozást is megvalósítja; mozgatását billenőkaros mechanizmus végzi (3. ábra). A prototípus berendezés viszonylag széles f 7 Hz frekvenciatartományt biztosított az aacheni kísérletsorozat elvégzéséhez. 3. ábra. A kőtartó egység (jobbra) mozgatása A rezgő tömegek gyorsítását és lassítását jelentős teljesítmény és energia felhasználása mellett kizárólag a lineáris motor végzi. Az energiafelhasználást tovább növeli a hengeres vezetékek mentén fellépő, jelentős mértékű súrlódási erő, amely jóval nagyobb a szuperfiniseléshez szükséges erőnél. A megnövekedett teljesítményigény miatt nagy méretű és tömegű lineáris motort kellett választani. Emiatt, valamint a tömegkiegyensúlyozás következtében a kőtartó egység tömege, és így az egész berendezés mérete megnőtt. (4. ábra). 4. ábra. A prototípus berendezés 4

15 A nemzetközi projekt záró értekezletén a konzorcium további jellemzően piaci szempontú elvárásokat fogalmazott meg, melyek a szuperfiniselő berendezés befoglaló méretének, tömegének és energiafelhasználásának csökkentésével kapcsolatosak. A legkedvezőbb megmunkálási paraméterek ismeretében, valamint az értekezésben foglalt elméleti megfontolások alapján a megfogalmazott követelmények teljesíthetőnek látszanak..3. Az értekezés tudományos előzményei Az értekezésben felhasznált irodalom a téma jellegéből adódóan számos területre bontható. Általános elméleti vonatkozásban a matematikai irodalom közönséges differenciálegyenletekkel és ezek megoldásával foglalkozó [5], [35], [38], [43], [46], [5], [69], [7], [95], [97], [7] műveit vesszük alapul. Alapvető fizikai és mechanikai elvek alkalmazásakor, valamint mozgásegyenlet-rendszerek felírásakor a [], [6], [7], [3], [4], [7], [75], [96], [4] művekre támaszkodunk. Az elektrotechnikának a mozgási indukcióval, valamint a váltakozó áramok teljesítményviszonyaival foglalkozó [], [6], [7], [3], [54], [63], [7], [77], [], [9], [], [7], [9] művei, a műszaki rezgéstannak pedig a [], [4], [], [9], [3], [3], [37], [5], [56], [57], [8], [83], [86], [6], [5] művei kapcsolódnak az értekezéshez. Az értekezésben előforduló általános gépészeti fogalmakhoz a [9], [], [33], [3], [3] művek jelentettek támpontot. A numerikus analízishez használt szoftvert az [53], [87] művek alapján tanulmányoztuk. Az elektromechanikai berendezések közös jellemzője, hogy villamos és mechanikai elemeket egyaránt tartalmaznak [49], [77], [8]. Egy ilyen berendezésben egy időben lépnek fel egymással kölcsönható villamos és mechanikai jelenségek, a rendszer üzemviszonyait a villamos és mechanikai jellemzők együttesen határozzák meg. Ezek szabatos vizsgálatakor a mechanika törvényei mellett a villamos törvényeket is fel kell írni, és a kapcsolatok figyelembevételével kell előállítani a rendszer mozgásegyenleteit [43], [77], [8]. Elektromechanikai rendszernek tekintjük például a mechanikai és villamos elemet egyaránt tartalmazó mérőműszereket, a villamosenergia-termelő berendezéseket, valamint a mechatronikai rendszerek széles körét. Egyszerűbb rendszerek például a Deprez-jellegű műszerek villamos körének állapota függetlennek tekinthető a mechanikai elemekétől. Ezzel szemben a villamos köztük a lineáris motorok jelenségeinek szabatos tárgyalása a mozgásegyenletek mellett a hurokegyenletek felírását is megköveteli [8], [], [36], [43], [49], [77], [8], [4]. A villamos motorok köztük a lineáris motorok szakirodalma rendkívül kiterjedt. Ezek közül csak olyan művekre hivatkozunk, amelyek a mozgásegyenlet-rendszer közlése mellett azok levezetését is ismertetik [3], [4], [77], [8]. A [7], [77], [8] művekhez hasonlóan mi is a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletekből származtatjuk az elektromechanikai modell először lineáris, majd később nemlineáris mozgásegyenlet-rendszerét. Az egyenletek felírásához szükséges általános koordinátákat a [8], [], [9], [9] művekben is előforduló mennyiségek közül választjuk. Kis elmozdulásokat tételezünk fel, ezért a mozgásegyenletek felírása során egyszerűsítő feltevésekkel élünk. Látni fogjuk, hogy az így felírt egyenletrendszer a benne szereplő rugalmas tagtól eltekintve alakilag megegyezik egy külsőgerjesztésű villamos motor mozgásegyenlet-rendszerével, és ezt a rövid löket miatt lineáris motornál is érvényesnek tekintjük [], [3], [4], [36], [43], [8], []. A berendezés energetikai viszonyainak feltárásához szükséges fogalomrendszert és számításmódot a [3], [6], [], [7], [48], [49], [54], [63], [66], [77], [9], [], [4], [8], [], [9] művekre támaszkodva alkalmazzuk. A csillapítások figyelembevétele során különbséget teszünk mechanikai és villamos csillapítás között. Ennek megfelelően a mozgásegyenlet-rendszer felírása során a rendszer ohmos 5

16 ellenállását villamos csillapításnak tekintjük, melynek disszipációs függvénye a villamos kör ohmos ellenállását és áramerősségét tartalmazza [7], [77], [8]. Mechanikai csillapítás a szuperfiniselés során fellépő súrlódási erő. Azért hangsúlyozzuk a két csillapítás közötti különbséget, mert a finiselési folyamatból származót hasznos munkavégzésként vesszük figyelembe. A mozgó tömegekre ható közegellenállástól és a rugalmas elemek belső csillapításától a továbbiakban eltekintünk. A gépészmérnöki gyakorlatban előforduló problémák nagy része sebességgel arányos, lineáris mechanikai csillapítást tételez fel: ez jelentősen megkönnyíti a számítás menetét [], [3], [4], [43]. E miatt a finiselésből származó csillapításról első közelítésben mi is feltételezzük, hogy lineáris. Jobb közelítést érhetünk el nemlineáris csillapítási modellek használatával. Az [55], [76], [8], [] művek átfogóan tárgyalják ezeket a modelleket. [76] az egyes csillapítási típusok mellett azok gyakorlati alkalmazásait is felsorolja. Az [55], [8] művek a csillapítások mellett egyéb, a rendszer nemlineáris viselkedését előidéző elemet geometria, rugó karakterisztika, gerjesztés is bemutatnak. Egy nemlineáris csillapítási modell karakterisztikája rendszerint a sebesség nemlineáris függvénye (v.ö. pl. [9] o., [5] o., [57] 473.o. [76] I. táblázat, [8] o., [] 5.o.). úrlódási modellek csillapítási karakterisztikájában egymáson elcsúszó merev felületek relatív sebessége fordul elő [76]. Ilyen csillapításokra a frictional damping mellett a slip damping elnevezés is használatos []. Mi a továbbiakban a súrlódásos csillapítás elnevezést alkalmazzuk. Mivel a súrlódás mechanizmusának jelenleg még nincs egységes leírási módja, ezért számos eltérő modell fordul elő a műszaki gyakorlatban. E miatt a súrlódásos csillapítású rezgőrendszerek vizsgálatának bő szakirodalma van. A [], [4], [5], [6], [], [39], [4], [47], [64], [65], [98], [] művek részletesen áttekintik ezeket a modelleket. A [], [39], [64] művek fenomenológiai és kvantitatív módon, érintkezés mechanikai, tribológiai, valamint nemlineáris dinamikai szempontból foglalják össze a jelenleg alkalmazott súrlódási mechanizmusok eltérő típusait. A [39] tanulmány a súrlódási modellek mellett a súrlódás fogalmának és alkalmazásának tudománytörténeti fejlődését is bemutatja. Az idézett művekben számos példát találunk eltérő csillapítási modellek jelleggörbe szerinti rendszerezésére. A dinamikus súrlódási modellek karakterisztikája a sebesség mellett annak rendszerint idő vagy elmozdulás szerinti deriváltját is tartalmazza. Amikor a karakterisztikában változóként csak a sebesség fordul elő, statikus súrlódási modellről beszélnek [], [6]. Más szerzők a jelleggörbe folytonos vagy szakadásos jellege alapján tesznek különbséget súrlódási modellek között. A szakadásos rendszereket a szakirodalom más néven Filippovrendszerként is említi [5]. Létezik a műszaki szemlélethez közelebb álló, inkább fenomenológiai szempontú rendszerezés is: ez nyugvó és mozgó, valamint száraz és nedves súrlódási modelleket különböztet meg. Egyes szerzők a nyugalmi súrlódási modelleket statikus, míg a mozgókat kinetikus jelzőkkel látják el. FERRI [4]-ben sgn típusú és hiszterézises száraz súrlódási modelleket különböztet meg. Az utóbbi modelltípus a megcsúszás előtti deformációkról is számot ad. Végül olyan példa is említhető, amikor a szerző az elmozdulás nagyságának függvényében rendszerezi a súrlódásos csillapítások karakterisztikáit és egyúttal javaslatot tesz alkalmazási területekre is []. A továbbiakban a statikus és dinamikus, valamint a szakadásos és folytonos karakterisztikával rendelkező súrlódási modellek szakirodalmát vizsgáljuk. A [], [4], [5], [6], [34], [47], [73], [98] dolgozatokban számos példát találunk ilyen rendszerekre, valamint ezek kombinációira is. 6

17 A [], [4], [6], [34], [45], [47], [98], [99] művek eltérő karakterisztikájú dinamikus súrlódási modelleket és azok alkalmazási területét mutatják be. Ezeket a modelleket a megcsúszás előtti pillanatok más néven presliding tartomány vizsgálatakor alkalmazzák. [6]- ban ilyen modellt alkalmaznak szervoautomatika esetén; a modell az érintkező felületek deformációit is figyelembe veszi. Vizsgálataink során eltekintünk a presliding hatásoktól, és feltételezzük, hogy a sebességirány-váltás zérus időtartamú. Ilyenkor célszerűbb a gépészmérnöki gyakorlatban elterjedt statikus súrlódási modellek egyikét alkalmazni. Megjelenésük időrendi sorrendjét tekintve először a Coulomb-féle súrlódási modellt említjük meg. Ez a modell feltételezi, hogy a súrlódási erő független az érintkező felületek nagyságától, és a kontaktfelületek relatív sebességének is csak az irányától függ. Karakterisztikája az F, ha v v F, ha v, ha v (.) függvényekkel adható meg, ahol a súrlódási erő, F annak abszolút értéke, v pedig az egymással érintkező felületek relatív sebessége. A Coulomb-féle csillapítási modellt gyakran kombinálják lineáris csillapítással. A kombinált modell karakterisztikája az v F v sgn v (.) alakban írható fel, ahol F a Coulomb-féle súrlódási erő abszolút értéke, a lineáris csillapítási együttható, v pedig az érintkező felületpár relatív sebessége [6], [98], [99]. Jobb közelítés érdekében a (.)-ben előforduló v helyett szokás a v exponenciális alakot használni, amelyben az alkalmazott geometriától függő konstans. A fenti modellek nem tesznek különbséget nyugvó és mozgó súrlódás között [8]. Ezek megkülönböztetését elsőként MORIN javasolta az 83-as években [89]. Az angolszász szakirodalom stiction-ként említi azt a modellt, amely ezt a megkülönböztetést figyelembe veszi. Ennek karakterisztikája az F E F, ha v F F F sgn F, ha v F F E E C E E C (.3) alakban adható meg, ahol F C a nyugalmi súrlódási erő, F E pedig a külső erő. Ez a karakterisztika csak a nyugalmi súrlódási állapotra érvényes: első sora a tartós nyugalmi állapotra, a második pedig az elmozdulást közvetlenül megelőző pillanatra vonatkozik, amikor a külső erő éppen meghaladja a nyugalmi súrlódási erőt. Ha (.3)-et a F v, ha v v F, ha v F F F sgn F, ha v F F E E C E E C (.4) kifejezésnek megfelelően kiegészítjük, akkor a csúszási állapot is figyelembe vehető. A (.)- (.4) modelleket száraz súrlódási modelleknek is nevezik. Ha a (.4)-ben előforduló F v helyére az ún. tribeck-görbe függvényét helyettesítjük, a tribeck-féle klasszikus súrlódási 7

18 modell karakterisztikáját kapjuk. A tribeck-görbét részben az előző karakterisztikák felírása során alkalmazott mennyiségek felhasználásával az v v F v F FC F e v (.5) alakban szokás közelíteni, ahol v a tribeck-féle sebesség. A (.5)-ben szereplő paramétereket mérések útján határozzák meg [98]. Ez a modell kenőanyag jelenlétét is figyelembe veszi. Az előző jelleggörbék közös jellemzője, hogy értékük v -nál zérus vagy függvényük ugyanitt többértékű. Zérus esetén a (.)-(.4) kifejezések v -nál szakadással rendelkezhetnek. A szakadás és a többértékűség problémáját küszöböli ki a KARNOPP-féle statikus súrlódási modell, amely a v környezetben definiál egy T zérussebesség-tartományt. Ha v T, a rendszer belső állapota változhat ugyan, a tartomány outputsávja mégis zérus. Ilyen tartomány valós súrlódásos rendszerekben nem létezik, szimulációs szempontból azonban előnyős és hatékony [7]. Az imént bemutatott modellekkel szemben ARMTRONG 7-paraméteres statikus modellje figyelembe veszi a pillanatnyi nyugalmi állapot, valamint a tribeck-jelenség hatását is [98]. Tanulmányában ARMTRONG eltérő karakterisztikákat alkalmaz nyugalmi és mozgó állapotokra, de nem vesz figyelembe presliding tartományt. Az Armstrong-modellt egyes szerzők a karakterisztikában előforduló időszerinti sebességderivált miatt dinamikus súrlódási modellként említik [45], [99]. Láttuk, hogy a statikus modellek karakterisztikája a sebesség folytonos vagy szakadásos, egy vagy több értékű, esetenként bonyolult függvénye; megoldásuk az ismert matematikai nehézségekbe ütközik. Az általunk vizsgált nemlineáris modell Coulomb-féle súrlódás formájában veszi figyelembe a szuperfiniselésből származó csillapítást. Úgy véljük, hogy ez az egyszerű statikus súrlódási modell is fontos dinamikai problémákra irányítja rá figyelmünket. A gépészmérnöki gyakorlat két jellegzetes problémája vezethet Coulomb-féle csillapítással ellátott dinamikai rendszer vizsgálatára. Az egyik a súrlódást kihasználó csillapító berendezések modellezésével kapcsolatos. Tipikus alkalmazási területe a repülőgépipar, valamint az energetikai ipar [4], [9]. A másik az egymással érintkező alkatrészek relatív elmozdulása során nemkívánatos hatásként fellépő súrlódás vizsgálatához kapcsolódik. Ennek keretében tárgyalják az egy- vagy többszabadságfokú, periodikusan gerjesztett rezgőrendszerek, valamint a öngerjesztett (self-excited) vagy más néven súrlódásgerjesztésű (friction-induced) rezgőrendszerek (pl. [], [6], [65]) dinamikai viszonyait. Az értekezésben egy harmonikusan gerjesztett, több szabadságfokú, Coulomb-féle csillapítással ellátott rezgőrendszer vizsgálatát mutatjuk be, így a továbbiakban az ezekkel kapcsolatos szakirodalmat tekintjük át, kezdve az egyszabadságfokúval. Ennek mozgásegyenlete az mx F sgn x kx Acos t (.6) alakban írható fel, ahol F az állandó nagyságúnak feltételezett súrlódási erő abszolút értéke, m, k, A, pedig rendre a tömeg, a rugóállandó, a gerjesztő erő amplitúdója és a gerjesztő körfrekvencia. [5], [6], [7] alapján látható, hogy (.6) analitikus vizsgálata jóval körülményesebb, mint a lineáris egyenletrendszereké, ezért (.6) vizsgálatát analitikus módszerek mellett rendszerint kísérleti vagy numerikus módszerekre, valamint ezek kombinációjára 8

19 támaszkodva szokták végezni [3]. A nem egységes vizsgálati módszereknek köszönhetően (.6) vizsgálatával igen kiterjedt szakirodalom foglalkozik. Mi ezek közül csak azokat emeljük ki, amelyek (.6) vizsgálatát egzakt és közelítő analitikus eszközökre támaszkodva végzik. (.6) egzakt megoldásainak előállítása során az eredeti mozgásegyenletet az mx F kx Acos t, ha x mx F kx Acos t, ha x (.7) mozgásegyenlet-rendszer alakjában írják fel, majd ezeket megoldva állítják elő (.6) szakaszonként folytonos függvények sorozatából álló egzakt megoldását (v.ö. pl. [4], [9], [5] és [4] 98.o.). A (.7)-tel kapcsolatos első mélyreható, igényes leírás az 93-as évek elejéről, J. P. den HARTOG tollából származik [8]. Tanulmányában den HARTOG olyan harmonikusan gerjesztett rezgőrendszert vizsgál, amely Coulomb-féle súrlódás mellett viszkózus csillapítást is tartalmaz. A megoldás során első közelítésben figyelmen kívül hagyja a letapadást, és feltételezi, hogy a megoldásfüggvény periodikus úgy, hogy frekvenciája megegyezik a gerjesztés frekvenciájával. Vizsgálja továbbá periódusonként legfeljebb kettő, véges ideig tartó irányváltás hatását, és szakaszonként előállítja (.6) egzakt, állandósult állapotához tartozó megoldását. A szakaszonként folytonos megoldások időbeli csatolása mindig transzcendens egyenletek megoldására vezet. A den HARTOG által bemutatott módszert alkalmazza LEVITAN [8]-ban egy egyszabadságfokú, Coulomb-féle súrlódással csillapított, harmonikus útgerjesztést tartalmazó rezgőrendszer vizsgálatára. den HARTOGHOZ hasonlóan előállítja a mozgásegyenlet-rendszer egzakt megoldását, valamint az amplitúdó-frekvencia függvényt. A modellben előforduló súrlódási erő az útgerjesztés és a tömegpont között helyezkedik el. A súrlódási erőt Fourier-sor alakjában veszi figyelembe, miközben a letapadást figyelmen kívül hagyja. Ugyancsak den HARTOG módszerét alkalmazza YEH [37]-ben egy LEVITAN-féle útgerjesztéses, kétszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálata során. YEH modelljében csak az egyik tömegpontra hat Coulomb-féle súrlódásos csillapítás. LEVITANÉHOZ hasonló rendszert vizsgál HUNDAL [6]-ben. A súrlódást LEVITANTÓL eltérően a tömegpont és talajfelszín között tételezi fel. Vizsgálatai során folyamatos és letapadásos mozgások egzakt megoldásait állítja elő. PRATT és WILLIAM []-ben kétszabadságfokú, harmonikus útgerjesztéssel rendelkező rezgőrendszert vizsgálnak. Modelljükben a Coulomb-féle súrlódás két tömegpont között ébred. Vizsgálataik során periódusonként több véges idejű nyugalmi ciklust tételeznek fel. A nyugalmi és mozgó ciklusokra előállított egzakt megoldások illesztését numerikusan oldják meg. Az imént bemutatott irodalom olyan szempontból egységes, hogy a hangsúlyt a mozgásegyenlet egzakt megoldására és az amplitúdó-frekvencia függvény meghatározására helyezi. Ehhez viszonyítva HAW [7] műve jelentős mérföldkőnek tekinthető. Munkájának jelentősége kettős: egyrészt mozgó és nyugvásbeli súrlódást különböztet meg, másrészt stabilitásvizsgálaton keresztül megmutatja, hogy az állandósult állapothoz tartozó megoldás aszimptotikusan stabil. Megállapítja továbbá, hogy negatív viszkózus csillapítás esetén lebegés, pozitív viszkózus csillapítás esetén pedig stabil, aszimmetrikusan periodikus megoldások jelenhetnek meg. Megfogalmazza továbbá tapadásos és tapadás nélküli rendszerek instabil viselkedésének egyes feltételeit. HAW módszerét alkalmazza NATIAVA [93]-ban olyan rendszer vizsgálatára, amelyben egyidejűleg van jelen Coulomb-féle és viszkózus csillapítás. Az eddigiektől eltérően 9

20 aszimmetrikus jelleggörbét tételez fel. E mellett tetszőleges számú letapadást vesz figyelembe periódusonként. A nyugalmi és mozgási időintervallumokra előállított egzakt megoldásokat numerikusan illeszti, és ennek révén állítja elő szakaszonként a rendszer mozgásegyenletének megoldását, melynek aszimptotikus stabilitását egy alkalmasan felírt mátrix vizsgálatán keresztül igazolja. Elméletének alkalmazhatóságát többszabadságfokú rendszerek vizsgálatára is felveti. den HARTOG eredményeire támaszkodva sajátjait azokkal összevetve vizsgálja Coulomb-csillapítással ellátott rezgőrendszerek stick-slip állapotait HONG [58]-ban. Ciklusonként változó számú, véges idejű letapadási intervallumot feltételez, és a paraméterek függvényében kategóriákat állít fel a letapadás jellegére vonatkozóan. Különbséget tesz normális és abnormális zérusidejű letapadások között is. HONG más szempontból is megvizsgálja den HARTOG rendszerét [59]. A vizsgálatok részben alátámasztják den HARTOG eredményeit, részben pedig túlmutatnak azon: zárt formulát ad meg arra az időtartamra vonatkozóan, amely alatt a tömegpont eléri maximális sebességét; közelítő formulát állít elő, amellyel megbecsülhető a tiszta csúszási súrlódáshoz szükséges minimális vonóerő értéke; igazolja, hogy létezik olyan gerjesztő frekvencia, amely mellett a vonóerő egy periódusra vonatkozó disszipációs energiája maximális. Tanulmányukban TÉPÁN és CERNÁK bizonyítják (.7) mozgásállapotának idő- és térbeli szimmetriáját szinte a teljes frekvencia tartományon [6]. A vizsgálat során tisztán csúszást és ciklusonként két zérus idejű irányváltást feltételeznek. Az analitikus eredményeket numerikusan ellenőrzik. A szerzőpáros (.6) szubharmonikus megoldásait is előállítja, majd elvégzi azok nemlineáris stabilitásvizsgálatát 3-ad fokú tagig bezárólag, és igazolják a megoldások határstabilitását [5]. Az analitikus eredményeket numerikusan ellenőrzik. Ennek során olyan a letapadási jelenséget is magába foglaló megoldásokat tárnak fel, melyeket analitikus vizsgálatok előre nem jeleztek. Az imént hivatkozott művek egységesek abban a tekintetben, hogy (.6) megoldását szakaszonként állítják elő, és ezeken keresztül tárják fel a rendszer lényeges viselkedését. E megoldások alkalmazása a gépészmérnöki gyakorlat számára mégis bonyolultnak tűnik, mivel a paraméterekben beállt változások rezgő rendszerre gyakorolt hatása nehezen követhető. Ezek a nehézségek kettőnél több szabadságfokú rendszerek vizsgálatakor fokozottan jelentkeznek. Ezért a gépészmérnöki szemmel esetenként nehézkes elméletek helyett célszerű a mérnöki gondolkodáshoz jobban illeszkedő és könnyebben kezelhető analitikus közelítő módszereket alkalmazni. Ezek segítségével (.6) és a hozzá hasonló egy- vagy többszabadságfokú rendszerek megoldásait a paraméterek egyenletesen folytonos függvényében állíthatjuk elő. Az egyik ilyen eljárás során a rendszer mozgásegyenletében, egyenletrendszerében előforduló szakadásokat folytonos függvények bevezetésével közelítjük. zámos közelítő analitikus módszer perturbációszámítás különböző típusai, különféle átlagoló (averaging) módszerek, lassan változó paraméterek módszere, aszimptotikus módszerek mellett egyes numerikus módszerek alkalmazása is igényli a szakadások egyenletesen folytonos függvényekkel történő megszüntetését (pl. [], [4], [3]). Más eljárások a mozgásegyenletben előforduló szakadásos karakterisztika helyett a megoldást tételezik fel folytonos függvény alakjában (pl. [], [9], [6]). A szakadások megszüntetését célzó eljárásokat egyes művek összefoglalóan simításként (smoothing) említik [], [79], [8]. Elsőként a csillapítási karakterisztika simítására vonatkozó szakirodalmat tekintjük át. zakadásos csillapítási karakterisztikák közelítésére általában trigonometrikus vagy hiperbólikus függvényt alkalmaznak. VRANDTE [3] tanulmányában arctg -alakú közelítést alkalmaz egy- és többszabadságfokú autonóm rendszer torziós rezgéseinek vizsgálatára. Ezt az általa alkalmazott numerikus eljárás követeli meg. A simítás használatát heteronom rendszerek vizsgálatához is

21 javasolja. BERGER is megállapítja, hogy a csillapítási karakterisztika arc tg -alakú közelítése biztosíthatja a numerikus megoldás stabilitását []. zakadásos rendszerek bifurkációs jellemzőit tárgyalják LEINE és szerzőtársai [79]-ben. Megállapítják, hogy az arc tg -alakú helyettesítés komplett bifurkációs diagram előállítására alkalmatlan, mert a diagram egyes instabil tartományokat nem jelez előre. DUPONT és szerzőtársai arc tg helyett th -alakú karakterisztikát alkalmaznak a szakadás közelítésére [34]. Megállapítják, hogy az a közelítés a letapadás mellett a megcsúszást megelőző (presliding) állapotot sem veszi figyelembe. Így ez a modelljük meglehetősen pontatlanul viselkedik, szemben a szintén általuk bevezetett elaszto-plasztikus modellel. TEIN és társai szintén th -típusú karakterisztikát vizsgálnak [], melyről megállapítják, hogy csak kis Coulomb-féle súrlódási erő és nagy gerjesztő erő amplitúdó mellett ad jó közelítést. MAKKAR és szerzőtársai több tagból álló th -alakú karakterisztikát alkalmaznak [84], [85]- ben. Ez a karakterisztika többféle súrlódási környezetben is alkalmazható, mivel a viszkózus, a Coulomb- és a tribeck-féle csillapításokat egyaránt tartalmazza. MOTAGHEL a csillapítási karakterisztika mellett a szakadást tartalmazó gerjesztő erőt is th alakban közelíti [9]. Megállapítja, hogy ilyenkor a megoldás érzékennyé válik a gerjesztő függvényben előforduló paraméterekre. Az előzőekben bemutatott, és elterjedten használt közelítő függvényalakok mellett kevésbé gyakoriakat is említhetünk. WIERCIGROCH [33] például exponenciális alakú közelítő függvényt alkalmaz vibroimpakt rendszerek rugókarakterisztikájának helyettesítésére. GUO [5] művében egy differenciálegyenlet megoldásfüggvényével közelít sgn jellegű csillapítási karakterisztikát. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a statikus súrlódási modellek tárgyalása során említett KARNOPP-féle modell szintén a v környezetben végzett simítási módszerek közé sorolható []. A fellelt irodalom alapján elmondható, hogy a szakadásos karakterisztika egyenletesen folytonos függvénnyel történő helyettesítése a szakadási hely környezetében viszonylag pontatlan, mivel az itt előforduló letapadás jelenségét teljes mértékben figyelmen kívül hagyja. Ennek következtében előfordulhat, hogy az így előállított analitikus közelítő megoldások nem jelzik előre az összes instabil tartományt. A továbbiakban azon simítási technikák szakirodalmát tekintjük át, amelyek meghagyják a karakterisztikában előforduló szakadást, és egyenletesen folytonos függvény alakjában tételezik fel a mozgásegyenlet megoldását. Ilyenek például azok a fokozatos közelítő módszerek, amelyek a megoldás feltételezett függvénysorát helyettesítik az eredeti nemlineáris mozgásegyenletbe, majd a függvénysorban előforduló ismeretlen együtthatókat valamilyen minimalizálási elv segítségével határozzák meg. Ebbe a csoportba sorolhatjuk például a Galjorkin- és Ritz-módszereket, a harmonikus egyensúly módszerét, a különféle trigonometrikus kollokációs módszereket. Manapság leginkább a harmonikus egyensúly módszerének különböző típusai terjedtek el: hagyományos harmonikus egyensúly módszere (harmonic balance method) [4], [94], [], többszörös harmonikus egyensúly módszere (multi harmonic balance method) [9], [74] és az inkrementális harmonikus egyensúly módszere (incremental harmonic balance method) [4], [78], [5]. Ilyenkor a közelítő megoldás véges tagból álló függvénysorként adódik, ezért időigényessé válhat a sor ismeretlen együtthatóinak meghatározása. Emiatt sokszor már a sorozatos közelítés első tagjának figyelembevételével is megelégszünk, mivel gyakran már ez a közelítő megoldás is viszonylag pontos eredményt szolgáltat.

22 A fokozatos közelítő módszerek első közelítése sok esetben egy linearizálással egyenértékű eredményre vezet. A linearizálási módszerek nem törekszenek pontos megoldásra, csupán a megoldásoknak a gyakorlatban jól hasznosítható első közelítéseit kívánják előállítani úgy, hogy az eredeti nemlineáris mozgásegyenlethez valamilyen meggondolással egy ekvivalens lineáris egyenletet rendelnek hozzá [], []. Linearizálás során a nemlineáris mozgásegyenletrendszerhez úgy rendelünk hozzá egy ekvivalens lineáris egyenletrendszert, hogy a két rendszer közötti eltérést valamilyen elv szerint minimalizáljuk [55], [67], [68], [8], [88], [], [3]. Az így linearizált egyenletrendszer megoldásait tekintjük az eredeti nemlineáris probléma közelítő megoldásainak. A linearizálás egyik előnye az, hogy a linearizált modell hagyományos analitikus eszközökkel jól kezelhető. Emellett a gépészmérnöki gyakorlatban elvárt módon többszabadságfokú rendszerek esetén is gyorsan analitikus összefüggéseket biztosít, amely a konstrukciós paraméterek befolyását könnyen áttekinthetővé teszi. Az ilyen linearizálási módszerek viszonylagos egyszerűsége és szemléletessége illeszkedik a mérnöki gondolkodásmódhoz. A [6], [55], [] művek szakaszosan folytonos rendszerek linearizálására mutatnak példát. Jelen értekezés egy, a [], [] művekben részletezett linearizálási eljárásra, a fázisgörbe feletti linearizálás módszerére mint szemléletes mérnöki módszerre támaszkodva állítja elő a Coulomb-súrlódással csillapított, kétszabadságfokú elektromechanikai rezgőrendszer ekvivalens lineáris egyenletrendszerét. Ezt követően hagyományos analitikai eszközökkel meghatározza a rendszer amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia függvényeit. Az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia görbék stabilis szakaszainak feltárását a [4] (7-7.o.), valamint a [69] (67-7.o.) művekben is megtalálható módszer segítségével végezzük: függvényvizsgálat alapján megnézzük, hogy a súrlódási erő értékének kicsiny megváltozása az amplitúdó-gerjesztő körfrekvencia függvény milyen változását idézi elő. Az általunk alkalmazott Coulomb-féle súrlódási modell hűtő-kenőanyag jelenlétét nem veszi figyelembe, és eltekint a súrlódási erő szuperfiniselési folyamat közben történő változásától..4. Az új típusú berendezés alapelve, célkitűzések A rezgő rendszerek általában rezgő tömegeket, rugalmas elemeket, valamint legalább egy gerjesztő egységet tartalmaznak. Amennyiben a rezgő tömegek mozgási energiája a rugalmas elemekben felhalmozódó potenciális energiává, majd ismét mozgási energiává alakul, és ez az átalakulás periodikusan megy végbe, akkor a rendszer rezgőmozgást végez [4]. Az energiaátalakulás ütemét csillapítatlan rendszernél annak sajátfrekvenciája, gerjesztett rezgéseknél pedig a gerjesztő hatás frekvenciája szabja meg. Csillapított rendszerek állandósult rezgése már külső energia bevezetését igényli: a rendszert külső erő alkalmazásával periodikusan kell gerjeszteni. Ilyen csillapított gerjesztett rezgőrendszernek tekintjük az értekezésben vizsgált szuperfiniselő berendezéseket. Kimutatható, hogy adott frekvenciára hangolt és ehhez közeli frekvenciával gerjesztett rendszer kedvező energetikai viszonyok mellett működhet. A fentiek szerint tehát, a prototípus berendezést alkalmasan megválasztott rugalmas taggal kiegészítve az a kísérletsorozat eredményeként feltárt munkapontra hangolható, melytől a legkedvezőbb energetikai viszonyok kialakulását várjuk. Jelen értekezés a szuperfiniselő berendezés ilyen irányú továbbfejlesztésének dinamikai vizsgálatát, energetikai viszonyainak feltárását tűzi ki céljául. A vizsgálat szempontjából lényeges dinamikai és energetikai tulajdonságok feltárását az elektrodinamikus rezgéskeltő berendezés modelljét felhasználva végezzük [8]. A vizsgált modellek mozgásegyenlet-rendszerét a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletekből származtatjuk [7], [77], [8].

23 A gépészmérnöki gyakorlatban megszokott módon első lépésben a szuperfiniselő berendezés lineáris modelljét alkotjuk meg. Ennek megfelelően a szuperfiniselési folyamatot sebességgel arányos, lineáris csillapításként vesszük figyelembe. A lineáris modell segítségével állandósult rezgésállapotot figyelembe véve először elvégezzük a prototípus, majd azt követően az új típusú berendezés dinamikai vizsgálatát, energetikai viszonyainak feltárását. Ennek során igazoljuk az alkalmasan megválasztott rugalmas elem energetikai viszonyokra gyakorolt kedvező hatását. Második lépésben a lineáris modellt finomítjuk: feltételezzük, hogy a kövek és a munkadarab között Coulomb-féle csillapítás ébred. Figyelmen kívül hagyjuk a mozgás- és nyugvásbeli súrlódás közötti különbséget és a stick-slip jelenségét. A súrlódási erő nagyságát a szuperfiniselési folyamat időtartama alatt végig állandónak tételezzük fel. Feltételezzük továbbá, hogy a mozgó tömegek elmozdulása a berendezés méretéhez képest kicsi. A nemlineáris mozgásegyenlet-rendszer megoldását a fázisgörbe feletti linearizálás módszerével közelítjük. Elvégezzük a közelítés eredményeként adódó amplitúdó-frekvencia függvények stabilitás vizsgálatát. A stabil görbeág ismeretében megvizsgáljuk a nemlineáris rendszer energetikai viszonyait. A kapott analitikus eredményeket néhány esetben numerikus kísérletekkel ellenőrizzük. Megvizsgáljuk, melyik gerjesztő frekvencia esetén kedvezőbb a nemlineáris modell viselkedése. Megvizsgáljuk továbbá, milyen lehetőség adódik egy olyan szuperfiniselő berendezés tervezésére, amely a prototípuséhoz képest kisebb teljesítményű lineáris motorral is működtethető. A vizsgálatoktól azt várjuk, hogy a kísérletek során meghatározott megmunkálási paraméterek mellett a prototípushoz képest kisebb méretű és tömegű, gazdaságosabban működő, az alapgép munkaterében kedvező pozícióban elhelyezhető szuperfiniselő berendezés megépítésére nyílik lehetőség. 3