A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrendszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra"

Átírás

1 A Newton és Gauss-Newton módszerek alkalmazása egyenletrszerek megoldására és nemlineáris optimalizálásra Veress Krisztián július 10. 1

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Motiváció és háttér Egy példa a gyökkeresésre Az egyenletrszerek fontossága Egy optimalizálási példa A Newton-módszer A klasszikus módszer ismertetése A szelőmódszer A csillapított Newton-módszer A többdimenziós Newton-módszer A Jacobi mátrix definíciója A Jacobi-mátrix számítása A módszerek hibája és konvergenciája A Gauss-Newton módszer Alul és túlhatározott egyenletrszerek A minimalizálási alapfeladat A módszer elméleti háttere Egyéb algoritmusok A Hesse mátrix definíciója Nemlineáris optimalizálási problémák Megvalósítás MATLAB-ban A módszerek implementációja Az elemzésre használt MATLAB kód Zérushelykeresés és analízis A Gauss-Newton módszerek tesztelése Az Optimization Toolbox alkalmazása nemlineáris optimalizálásra Egyenletrszerek iterációs megoldása A Newton-módszer Az fsolve eljárás A módszerek összehasonlítása Összegzés Függelék Prezentációs MATLAB kódok newton convergence.m secant convergence.m MATLAB algoritmusok newton method.m secant method.m newton method2.m analyze.m analyze2.m Tesztfüggvények f1.m f2.m f3.m f4.m equationf1.m equationf2.m gnlmf1.m gnlmf2.m fsolvef1.m

3 fsolvef2.m fsolvef3.m fngnlm.m Segédfüggvények outfunc.m

4 1. Bevezetés Ezen dokumentum a Szegedi Tudományegyetemen a /2 -es tanévben tartott Nemlineáris programozás és Közelítő és szimbólikus számítások II. című kurzusokra készített esszé dolgozatok egyesített változata. Az esszé tematikája az egyenletrszerek megoldására és a nemlineáris optimalizálás területén alkalmazott gyökkereső eljárások ismertetése, tesztelése és példákon keresztüli bemutatása. Az ismertetett algoritmusokat MATLAB környezetben példaprogramokkal mutatom be, melyek elérhetőek a Függelékben Motiváció és háttér A matematikai számításaink során sokszor futunk olyan problémába, hogy adott egy f függvény (mely leír bizonyos viselkedést), és meg kell határoznunk, hogy milyen feltételek mellett lesz az adott függvény nulla. Azaz keresnünk kell egy x-t úgy, hogy f(x) = 0, ahol az f függvény ismert. Minden ilyen x-t az f függvény gyökének nevezünk. A fenti problémát numerikusan szeretnénk megoldani és tekintettel arra, hogy az f függvényre semmilyen feltételt nem kötöttünk ki (folytonos-e, differenciálható-e, lineáris/nemlineáris-e, stb.), egy általánosan használható algoritmust keresünk. Az optimum megtalálásához közelítő eljárásokat alkalmazunk, melyek iterációt használva olyan számsorozatokat számítanak ki, amelyek (remélhetőleg) egy pontba kovergálnak, s ez a pont lesz a keresett gyök. Az iterációt azonban el kell indítanunk valahonnan, ezért meg kell sejtenünk egy kiindulási pontot, majd a módszer a sorozat következő elemét az előző elem és az f függvényből kiszámítja Egy példa a gyökkeresésre A műszaki alkalmazások területén sokszor találkozhatunk Laplace-transzformált függvényekkel. Esetenként szükség lehet arra, hogy az adott Laplace-transzformált hol vesz fel nullát, azaz szeretnénk megkeresni a függvény zérushelyét. 1. ábra. Egy Laplace transzformált, és annak pár zérushelye 3

5 1.3. Az egyenletrszerek fontossága A műszaki alkalmazások területén (Robotika, Optimalizálás, Irányítástechnika, stb) sokszor futunk olyan problémába, hogy több ismeretlenünk van, és ezen változók között több összefüggés is fennáll. Ha az összefüggések (továbbiakban egyenletek) olyanok, hogy a változóink legfeljebb az első hatványon szerepelnek, lineáris egyenletrszerről beszélhetünk, melyet a következő alakban írhatunk fel: Ax = b ahol A R n m az együtthatómátrix, x R m a kereső vektor, b R n konstansokból álló vektor. Az ilyen típusú egyenletrszereket Gauss-eliminációval, LU felbontással vagy éppen QR transzformációval numerikusan megoldhatjuk. A probléma ott kezdődik, amikor az egyenletrszerben szereplő változóink fokszáma nincs 1-re maximalizálva, azaz nemlineáris egyenletrszerhez jutunk, melynek általános alakja: h i (x) = 0 (i = 1,..., m) ahol h 1,..., h m olyan R n -ből R-be képező függvények, amelyek közül legalább az egyik nemlineáris. Az ilyen típusú egyenletrszerek megoldására szinte kizárólag a többváltozós Newton-módszerek használatosak. Ennek magyarázata az, hogy már az első deriváltak megszerzése sem problémamentes, ugyanakkor a magasabb rű módszerek még az egydimenziós esetben sem feltétlenül hatékonyabbak Egy optimalizálási példa Gazdasági, fizikai vagy paraméter-meghatározási problémákból sokszor erednek szélsőérték-feladatok (minimalizálni kell a költségfüggvényt, maximalizálni a profitot, stb), így elmondhatjuk, hogy szoros kapcsolat van a szélsőérték feladatok és az egyenletrszerek megoldása között. Tekintsünk most egy olyan optimalizálási feladatot, melyben a célfüggvény egy f : R n R az n dimenziós Euklideszi térből a valós számokra képező függvény. Ekkor f minden szélsőértékére igaz, hogy az adott pontban a gradiensvektor eltűnik, azaz: ( ) f f f(x) =,..., = 0 T x 1 x n Láthatjuk, hogy a gradiensvektor elemei is nemlineárisak lehetnek, így egy n ismeretlenes n egyenletből álló nemlineáris egyenletrszerhez jutottunk. Ezen egyenletrszer megoldásai azok a pontok - másnéven stacionárius pontok -, ahol az f függvénynek szélsőértéke lehet. A továbbiakban közelítő numerikus eljárást adunk a nemlineáris egyenletrszerek megoldására, amely azt jelenti, hogy a megoldást legtöbb esetben csak megközelítjük. (Természetesen ez az eljárás használható lesz lineáris egyenletrszerek megoldására is, de nem feltétlenül hatékonyabb, mint a már említett módszerek.) 4

6 2. A Newton-módszer 2.1. A klasszikus módszer ismertetése A Newton-módszer valós, folytonos és differenciálható függvények zérushelyeinek meghatározására használható iteratív eljárás. Az eljárást használhatjuk függvények minimumának/maximumának meghatározására abban az esetben, ha létezik vagy meghatározható a függvény második deriváltja, ugyanis az első derivált zérushelyei azonosítják a függvény szélsőértékeit. A Newton-módszer alapötlete a következő: vegyünk egy olyan pontot, mely relatíve közel van a tényleges zérushelyhez (ez a sejtésünk ), ez lesz az iteráció kiindulási pontja: x i,i=0. Ezekután számítsuk ki az f függvény ismeretében f(x i )-t. Az (x i, f(x i )) pontban húzott érintő zérushelye általában jobb közelítése a függvény zérushelyének, mint x i. Egy adott (x 0, y 0 ) ponton áthaladó, m meredekségű egyenes egyenlete a következő: (y y 0 ) = m(x x 0 ) Tudjuk, hogy egy x i pontban az f (x i ) deriváltfüggvény megadja az adott pontban húzott érintő meredekségét, így m = f (x i ). Mostmár nincs más dolgunk, mint felírni az (x i, f(x i )) ponton áthaladó f függvényhez húzott érintő egyenletét, és meghatározni, hogy az hol metszi az abszcissza-tengelyt: f(x) f(x i ) = f (x i )(x x i ) f(x) = 0 A fenti egyenletrszerből algebrai átalakítások után megkapjuk az iterációt leíró egyenletet: x i+1 = x i f(x i) f (x i ) (1) 2. ábra. A Newton módszer illusztrálása ( newton convergence.m ) Láthatjuk, hogy az f(x i ) pontban húzott érintő és az abszcissza-tengely metszéspontja egy jobb közelítése a gyöknek. A klasszikus Newton-módszert ezen trükk használata miatt érintőmódszernek is szokták nevezni. 5

7 2.2. A szelőmódszer A most ismertetésre kerülő közelítő gyökkereső eljárás a Newton-módszer egy speciális változata. A Newton-módszer igényelte a kiindulási függvényünk első deriváltjának expliciten történő megadását, ezt szeretnénk valahogy kiküszöbölni. Ennek nagy jelentősége van, hiszen olyan eset is elképzelhető, mikor a deriváltfüggvényünk nem áll relkezésre, nem tudjuk kiszámolni, vagy legrosszabb esetben még az f függvényünk is ún. black-box 1 függvény. A feladatunk tehát nem más, mint a Newton-módszer iterációs képletében szereplő f (x i ) tagot kiküszöböljük, és annak valamilyen közelítésével helyettesítsük. Kalkulusból ismeretes, hogy egy f függvény x i helyen vett deriváltja (differenciálhányadosa) : f (x i ) = lim h 0 f(x i + h) f(x i ) h Ez a határérték kellően kicsi h-k esetén helyettesíthető a differenciahányadossal: f (x i ) f(x i + h) f(x i ) h Ha a h = x i 1 x i helyettesítést alkalmazzuk, megkapjuk, hogy: f (x i ) f(x i + x i 1 x i ) f(x i ) x i 1 x i = f(x i 1) f(x i ) x i 1 x i = f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 Ezt behelyettesítve az iterációs képletbe kapjuk, hogy: x i x i 1 x i+1 = x i f(x i ) f(x i ) f(x i 1 ) (2) 3. ábra. A szelőmódszer illusztrálása ( secant convergence.m ) A szelőmódszer geometriai jelentése a következő: az iteráció elkezdéséhez két pontra lesz szükségünk ( x 0, x 1 ) úgy, hogy f(x 0 ) = f(x 1 ). Ezekután egyenest húzunk az (x 0, f(x 0 ) és (x 1, f(x 1 )) pontokra. Ez az f egy szelője lesz, és ha a kezdeti x 0, x 1 pontjainkat közel választottuk az x zérushelyhez, ez a szelő metszeni fogja az abszcissza-tengelyt, legyen ez a pont (x 2, 0). Az eljárást ezekután folytatjuk (x 1, x 2 ) pontokra. A 3.ábrán az f(x) = x 3 + 3x 2 10x függvényt, és annak gyökének közelítését láthatjuk. Az ábrát a következőképpen rajzolhatjuk ki MATLAB-ban: 1 black-box függvény: egy függvényt black-box függvénynek nevezünk, ha a viselkedését csak bemenet-kimeneti párokkal tudjuk leírni és zárt képlete nem ismert 6

8 >> f=inline( x.^3+3*x.^2-10*x ); >> subplot(2,2,1) >> secant_convergence(x,f,4.7,-5.2,4) >> axis([ ]) >> subplot(2,2,2) >> secant_convergence(x,f,4.7,-5.2,4) >> axis([ ]) >> subplot(2,2,3) >> secant_convergence(x,f,4.7,-5.2,4) >> axis([ ]) >> subplot(2,2,4) >> secant_convergence(x,f,4.7,-5.2,4) >> axis([ ]) Vegyük észre, hogy itt csak egyetlen függvénykiértékelésre van szükségünk egy iterációban (az f(x i 1 ) -t az előző iterációban már kiszámoltuk ) szemben a hagyományos Newton-módszerrel, és ez már szélesebb körben használható eljárás, hiszen nincs szükségünk a deriváltra. Ha feltételezzük, hogy ugyanannyi költség kiértékelni f-t és f -t, és minden más járulékos költséget elhagyunk, ugyanannyi költségbe kerül két lépést végrehajtani a szelőmódszerrel, mint egyet a Newton-módszerrel. A differenciálhányados helyettesítése a differenciahányadossal megfelelően kicsi h érték esetén alkalmazható. Mivel h = x i 1 x i, ezért azt mondhatjuk, hogy a most kapott iterációs eljárásunk olyan esetekben fog a Newton-módszer-hez hasonló konvergenciát mutatni, amikor már a tényleges x gyök közelében vagyunk. A fent ismertetett eljárásokat használják megbízható számítású rszerekben is, ez általában intervallumos számítást jelent (lásd [5] Vinkó) A csillapított Newton-módszer Az imént ismertetett eljárások nagy hátránya, hogy csak lokálisan konvergensek (a konvergenciát részletesebben később vizsgáljuk), azaz egy x gyökhöz akkor és csakis akkor tart az iterációs sorozat, ha az iterációt egy, az x gyökhöz közeli pontból indítottuk. A célunk tehát nem más, mint elérni, hogy minél,,távolabbi kezdősejtéssel is elérhessük a konvergenciát, esetleg a teljes abszcisszatengelyre kiterjesszük a konvergencia-intervallumot, így globális konvergenciát érjünk el. Ehhez módosítsuk a (1) iterációs képletet a következőképpen: x i+1 = x i t i f(x i ) f (x i ) ahol a t i paraméter az ún. csillapítási paraméter. Nyilvánvaló, hogy az iteráció elindításához szükségünk van t 0 értékére. Ezt meghatározhatjuk a következő összefüggés segítségével: (3) ln f(x) t 0 = lim x x 0 ln f(x)f (x) ahol x 0 D f Hasonlóan, minden egyes iterációban a t i származtatva könnyen megtehetjük: paramétert frissítenünk kell, ezt az előbbi összefüggésből ln f(x) t i = lim x x i ln f(x)f (x) ahol x i az aktuális közelítésünk. Ha t értékét maximáljuk, akkor a konvergencia sebessége nő, azonban a konvergencia-intervallum szélessége csökken. Ellenkező esetben pedig a konvergencia sebessége csökken, a konvergencia-intervallum szélessége nő. Ha t < 1, akkor csillapított Newton-módszerről beszélünk. Ekkor a klasszikus Newton-módszer lokális konvergenciáját globális konvergenciává terjesztettük ki (ugyanakkor a konvergencia sebessége csökkent!). A gyakorlatban a csillapított módszer általában eléri azt a gyök-közelítést, amelyet a klasszikus Newtonmódszernek adtunk meg kezdősejtésnek, és ettől kezdve t = 1 teljesül, azaz a klasszikus Newton-módszer hajtódik végre. 7

9 2.4. A többdimenziós Newton-módszer Az eddig tárgyalt módszereket egyváltozós függvényekre definiáltuk. Lehetőség van a fenti iterációs eljárások használatára többváltozós függvények esetében is. Egyenletrszerek megoldására sem igazán használhatók az előbb ismertetett egydimenziós iterációs eljárások, hiszen ezeket csak akkor használhatjuk, ha egyetlen változónk és egyetlen egyenletünk van. Legyen most f : R n R leképezés az n-dimenziós Euklideszi térből a valós számokra. Ekkor minden dimenzióban kell venni a (1) egyenletet, de mivel a függvényünk többváltozós, a deriváltfüggvény helyét átveszik a parciális deriváltak : vagy átírva mátrix-alakra: f(x i ). = f(x i ) f(x i ) = f (x i )(x 1 x i,1 ) x 1.. f(x i ) = f (x i )(x n x i,n ) x n f (x i ) 0 0 x f 0 0 (x i ) x n x 1 x i,1.. x m x i,n A fenti egyenletből a gradiensvektort tartalmazó diagonális mátrix inverzével balról beszorozva, majd az x i vektort hozzáadva mindkét oldalhoz kapjuk, hogy: x i+1,1 = x i,1 f(x i) f x 1 (x i ). x i+1,m = x i,m f(x i) f x m (x i ) Láthatjuk, hogy az f függvény n-változós, így jelen esetben egy n-változós, egy egyenletből álló egyenletrszerhez készítettünk iterációs eljárást, mely az f(x) = 0 egyenlet megoldásának egy közelítését állítja elő. Legyen most f : R n R m az n dimenziós térből az m dimenziós térbe képező függvény. Ebben az esetben a derivált-függvényt a Jacobi-mátrixszal kell helyettesítenünk. A Jacobi-mátrix segítségével felírhatjuk az f függvényünk x i ponton áthaladó érintő hipersíkját: f(x i ) = J f (x i )(x x i ) A többdimenziós esetben használható iterációs algoritmusunk iterációs képletet pedig úgy kaphatjuk meg, ha a fenti egyenletet x -ra rezzük: A Jacobi mátrix definíciója x i+1 = x i J f (x i ) 1 f(x i ) (4) A Jacobi-mátrix megadja egy p R n pontban a p pontban differenciálható f : R n R m függvény deriváltját, mely a legjobb lineáris approximációja f-nek a p pont körül. Egy f : R n R m függvényt felfoghatunk m darab y i : R n R i = (1,..., m) függvényként, y 1 (x 1,..., x n )... y m (x 1,..., x n ). Ez utóbbi függvények parciális deriváltjait (feltéve, hogy azok léteznek) egy m n-es mátrixba rezhetjük, mely az f függvény ún. Jacobi-mátrixa : y 1 y 1... x 1 x n J f (x) =.. y m... x y m x n

10 Vegyük észre, hogy a Jacobi mátrix i-edik sora pontosan az y i függvény gradiensének transzponáltja A Jacobi-mátrix számítása A (4) iterációs egyenletben szereplő Jacobi-mátrix invertálása kapcsán kétségeink merülhetnek fel. A numerikus matematikából ismeretes (lásd Cses [6]), hogy egy mátrix invertálása egyrészt nehéz feladat, másrészt igencsak költséges. Ezért szükség lenne a Jacobi-mátrix inverzének egy hatékony kiszámítási módjára, nos erre több lehetőség is felmerül: A Jacobi-mátrix kiszámításának problémáját át lehet ruházni a majdani felhasználóra (programozza le ő maga a deriváltakat). Egy jobb megoldás az, ha a deriváltakat az eljáráson belül formulamanipulációval (pl szimbólikus számításokkal) számítjuk ki, ami elvileg és gyakorlatilag is megoldott feladat, bár nem egészen problémamentes. Speciális, f i (x) = a ij x j + b ijl x j x l = 0 j 1 a ij = c ij e dij/x1 j l>1 alakú egyenletek (Hik [12]) esetén hasznos ezt a megoldást választani. Ha a deriváltak pontos értékei relkezésünkre állnak, akkor érdemes figyelni a Jacobi-mátrix tárolására is. Ugyanis nagy n-re a nemlineáris egyenletrszerek Jacobi-mátrixai tipikusan ritkák, azaz a nemzérus elemek száma N jóval kisebb a mátrix méretéhez viszonyítva (N n). A ritka mátrix tárolása azért ennyire fontos, mert szeretnénk elkerülni a sok 0-val való szorzást és 0-val való összeadást. Egy járható út az is, ha a parciális deriváltakat a differenciaképlettel helyettesítjük (lásd a szelőmódszer esetében is). A többdimenziós esetben diszkretizált Newton-módszerről beszélünk, ha minden k iterációs lépésre a J f (x k ) Jacobi-mátrix elemeit a J f (x k ) = J ij = f i x j f i(x k + h ij x j ) f i (x k ) h ij, i, j = 1,..., n elsőrű közelítéssel számítjuk, ahol e j a j-edik koordináta menti egységvektor és h ij -k nemnulla valós számok. Egy numerikusan is könnyen számítható eljárás az, ha a J f (x i )s i = f(x i ) linearizált egyenletrszert s i -re megoldjuk, és így az x i+1 = x i + s i relációval egy, a (4) rekurzív összefüggéssel ekvivalens alakot kapunk, amely egyben a kiindulási nemlináris egyenletrszerünk megoldásának egy újabb közelítése lesz. 9

11 2.5. A módszerek hibája és konvergenciája Felmerül a kérdés, hogy vajon bármilyen x 0 pontból kiindulva megtalálhatjuk a zérushelyet? A válasz nemleges, a módszer csak lokálisan, de nem globálisan konvergens. Általában a konvergencia sebessége kvadratikus, azaz minden iterációs lépés után a közelítő megoldás pontos jegyeinek száma megduplázódik. Azonban a Newton-módszer nagy hátrányai, hogy az f függvény deriváltját expliciten meg kell adnunk, illetve ha a tényleges x gyöktől távoli x 0 pontot sejtünk meg, a módszer nem konvergál. A konvergencia részletesebb vizsgálatához vezessük be az osztott differenciák fogalmát: Definíció. Elsőrű osztott differencia : Definíció. Másodrű osztott differencia : f [x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) x i+1 x i f [x i, x i+1, x i+2 ] = f [x i+1, x i+2 ] f [x i, x i+1 ] x i+2 x i Ezekután vizsgáljuk meg a szelőmódszer hibáját az n + 1-edik lépésben : ε n+1 = x n+1 x x n x n 1 = x n f(x n ) f(x n ) f(x n 1 ) x Ha felhasználjuk az f(x ) = 0 tényt, és a fenti egyenlet jobboldalának középső tagját bővítjük x n x -al, akkor a következőhöz jutunk: ε n+1 = x n (f(x n ) f(x x n x n 1 x n x )) f(x n ) f(x n 1 ) x n x x = x n x f [x, x n ] f [x n 1, x n ] (x n x ) ( = ε n 1 f ) [x, x n ] f [x n 1, x n ] ( f [xn 1, x n ] f [x ), x n ] ε n 1 = ε n f [x n 1, x n ] x n 1 x f [x, x n 1, x n ] = ε n ε n 1 f [x n 1, x n ] x n x Használjuk fel az osztott differenciák és a deriváltak közötti összefüggést ([3] Hegedűs), mely szerint ha f n + 1-szer folytonosan differenciálható [a, b]-n, x [a, b], x x i, akkor létezik olyan ξ x [a, b], melyre: f [x, x 0, x 1,..., x n ] = f n+1 (ξ x ) (n + 1!) és ha alkalmazzuk az x n 1 x n határátmenetet, azt kapjuk, hogy: ε n+1 = ε 2 f (ξ) n 2f (x n ), ξ [x n, x ] amelyből már könnyen leolvasható, hogy a módszer konvergenciagyorsasága kvadratikus. Természetesen a kvadratikus konvergenciagyorsaság igaz a többdimenziós esetben is, ott a tényleges gyök egy δ sugarú hipergömb környezetében kell lennünk a konvergencia eléréséhez (lásd [11] HIK). A bizonyítást nyomon lehet követni a [6] Cses, [7] Mathworld, [9] HIK forrásokban is. 10

12 3. A Gauss-Newton módszer A természettudományi területeken végzett kutatások, mérések során illetve az iparban nagyon sokszor ütközünk paraméter-meghatározási problémákba. Tegyük fel, hogy egy összetett ipari robot dinamikai modelljét vizsgáljuk, amely egy m = g(t, x 1,..., x n ) alakban írható fel, ahol az m mennyiség egy mérhető érték (pl. az aktuátor által a munkadarabra kifejtett erő), x i -k pedig a modell belső változói, a robot paraméterei (forgatónyomatékok, elfordulási szögek, stb.), míg t az időt szimbolizálja. Ha különböző t j időpontokban k-szor megmérjük az m mennyiséget, megkapjuk az m k értékeket. Ezekután az a feladatunk, hogy a f i = g(t i, x 1,..., x n ) m i, i = 1,..., k függvényekkel megfogalmazott feladatot megoldjuk, azaz meghatározzuk a modell x 1,..., x k paramétereit, oly módon, hogy a lehető legkevesebbet tévedjünk. A most ismertető eljárásokat többek között paraméter-becslési feladatok és egyenletrszerek megoldására illetve többváltozós nemlineáris vektorfüggvények minimalizálására használhatjuk. Először vezessünk be pár fogalmat Alul és túlhatározott egyenletrszerek Meg kell említenünk azokat a speciális eseteket, mikor olyan egyenletrszerrel állunk szemben, mely alul vagy túlhatározott Definíció. Egy egyenletrszer túlhatározott, ha a benne szereplő független változók száma kevesebb, mint a változók között fennálló ekvivalenciák száma, azaz több egyenletünk van, mint változónk. Ezt megfeleltethetjük egy f : R n R m, n < m vektorfüggvénnyel Definíció. Egy egyenletrszert alulhatározottnak tekintünk, ha a benne szereplő független változók száma nagyobb, mint a változók között fennálló ekvivalenciák száma, azaz kevesebb egyenletünk van, mint változónk. Ezt megfeleltethetjük egy f : R n R m, n > m vektorfüggvénnyel. Nyilvánvaló, hogy a túlhatározottság jelentheti az egyenletrszer megoldásának hiányát, az alulhatározottság pedig végtelen sok megoldást. Ekkor mondhatnánk azt, hogy megállunk, hiszen nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás van, azonban a valós rszerekben (pl. ipari alkalmazások területén) ilyen viselkedés elkerülő. Értelmezhetjük tehát az alulhatározott egyenletrszerünk megoldását oly módon, hogy a lehetséges megoldások közül melyik tér el a legkevésbé az igazi megoldástól, míg a túlhatározott esetben is adhatunk olyan megoldást, mely ugyan nem elégíti ki az egyenletrszerünket, de legkisebb a hibája. A következő eljárásokat ilyen típusú egyenletrszerek esetén vethetjük be. Ahhoz, hogy egyenletrszerünkhöz ilyen megoldásokat keressünk, át kell azt transzformálni egy azzal ekvivalens minimalizálási feladatra A minimalizálási alapfeladat Tekintsük a következő minimalizálási feladatot: Adott f : R n R m, m > n függvényhez keressük az f(x) = 0 nemlineráris egyenletrszer megoldását legkisebb négyzetek értelmében, azaz f(x) = ( f 1 (x),..., f m (x)) T, f(x) 2 min x R n! (5) ahol a. az Euklideszi normát jelenti. A normát ilyenkor legtöbbször 11

13 m ( 2 f(x) 2 = f i (x)) vagy f(x) 2 = i=1 m i=1 ) 2 w i (f i (x) alapján szokták definiálni. A példaként említett paraméter-becslési feladatra a második definíció lenne a megfelelőbb választás, hiszen a w i súlyokkal jellemezhetjük az m i értékek mérési pontosságait. Jól látható, hogy a minimalizálási alapfeladatunkat és az egyenletrszert oda-vissza transzformálhatjuk egymásba. Azaz, ha egy egyenletrszert kell megoldanunk, megoldhatjuk azt minimalizálási feladatként is, és fordítva Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrszert: x 1 2x 2 = 0 x 1 4 = 0 3x 1 + x 1 x 2 2 = 0 Felfoghatjuk az egyenletrszerünket egy f : R 2 R 3 vektorfüggvényként, és így társíthatjuk a következő minimalizálási feladatot: f(x) = (x 1 2x 2 ) 2 + (x 1 4) 2 + (3x 1 + x 1 x 2 2) 2 min! Mivel f(x) teljes négyzetek összegeként áll elő, így minimumát akkor veszi fel, ha minden egyes négyzetes tag zérus. Azaz a társított minimalizálási feladat optimális megoldása egyben megoldása az egyenletrszerünknek is. Ha nincs optimális megoldás, az azt jelenti, hogy az egyenletrszerünk nem elégíthető ki, végtelen sok optimális megoldás esetén pedig végtelen sok megoldása van az egyenletrszerünknek is. Tekintettel arra, hogy az abszolút optimális megoldás (jelen esetünkben az x úgy, hogy f(x ) = 0) hiánya esetén is tudjuk minimalizálni a célfüggvényünket, így tudunk legkisebb négyzetes értelemben megoldást adni az egyenletrszerünkre. Levonhatjuk tehát azt a következtetést, hogy egyenletrszerek megoldása általában transzformálható olyan optimalizálási feladatra, amely optimális megoldása megegyezik az egyenletrszer megoldásával. Felismervén az alul és túlhatározott egyeletrszerek és a legkisebb négyzetes közelítési probléma közötti szoros kapcsolatot, a továbbiakban csak ilyen feladatokat vizsgálunk A módszer elméleti háttere A Gauss-Newton módszer egy iteratív közelítő eljárás, az optimumnak mindig csak egy közelítését állítja elő, azt nem feltétlenül éri el, minden egyes lépés után annak egy (várhatóan) jobb közelítését kapjuk, és támaszkodik az optimum egy kezdeti sejtésére. Az eljárás a megoldandó nemlineáris legkisebb négyzetes probléma (továbbiakban NLLS) megoldását visszavezeti a lineáris legkisebb négyzetes probléma (továbbiakban LS) megoldására. Minden egyes iterációban az adott x i közelítésnél linearizálni próbáljuk a minimalizálandó célfüggvényt, mégpedig a következő módon: f(x) f(x i ) + J f (x i )(x x i ) ahol J a Jacobi mátrix (6) Ezekután írjuk fel a lineáris közelítést a következőképpen: f(x i ) + J f (x i )(x x i ) = A i x b i ahol A i = J f (x i ) és b i = J f (x i )x i f(x i ) (7) Ilyen módon felírva az NLLS problémánkat, az A i és b i által leírt LS probléma megoldása egy közelítése lesz a kiindulási nemlináris problémánknak, azaz A fenti LS probléma megoldása az f(x) 2 = A i x b i 2 x i+1 = (A T i A i ) 1 A T i b i (8) 12

14 vektor. A (7) és (3.3) egyenletekből felírhatjuk a Gauss-Newton módszer iterációs képletét: mely leegyszerűsítve a következő alakban írható: x i+1 = (J f (x i ) T J f (x i )) 1 J f (x i ) T (J f (x i )x i f(x i )) x i+1 = x i (J f (x i ) T J f (x i )) 1 J f (x i ) T f(x i ) (9) A gyakorlatban az (9) iterációs egyenletben szereplő mátrixinverzet sosem invertálással számítjuk. Ehelyett az ezzel ekvivalens x i+1 = x i + δ i helyettesítéssel élve megoldjuk a következő lineáris egyenletrszert: J f (x i ) T J f (x i )δ i = J f (x i ) T f(x i ) A fenti helyettesítésre egy jobb megoldás, ha egyenesmenti keresést alkalmazunk, azaz a helyettesítésünket most x i+1 = x i + α i δ i alakban írjuk, ahol α i valamely értelemben optimális számunkra. Így lehetőségünk nyílik arra is, hogy az eljárást gyorsítsuk (pl. a függvénykiértékelések számát minimalizáljuk, vagy a futásidőt, tárigényt csökkentsük, stb.) Egyéb algoritmusok Klasszikus Newton-módszer A (5) probléma megoldására használhatjuk a klasszikus többváltozós Newton-módszert is, ha a célfüggvény deriváltjának keressük zérushelyeit. Ekkor szükségünk van a célfüggvény Jacobi és Hessemátrixára is. Egyenletrszerek vizsgálata esetén jusson eszünkbe, hogy most az alul- illetve túlhatározott esetre keresünk megoldást, így a kiindulási egyenletrszerünkre hiába alkalmaznánk a klasszikus többváltozós Newton-módszert, az nem konvergálna A Hesse mátrix definíciója A Hesse-mátrix megadja egy p R n pontban a p pontban differenciálható f : R n R m függvény második deriváltját a p pont körül. 2 f(x) 2 f(x) 2 f(x) x x 1 x 2 x 1 x n 2 f(x) 2 f(x) 2 f(x) H f (x) = x 2 x 1 x x 2 x n f(x) 2 f(x) 2 f(x)... x m x 1 x m x 2 x m x n A Hesse-mátrix (i, j) eleme megadja az f függvény i-edik változó szerinti elsőrű parciális deriváltjának a j -edik változó szerinti parciális deriváltját, azaz 2 f(x) x i x j = x j ( ) f(x) A Young-tétel értelmében pedig ha az f függvény másodrű parciális deriváltjai folytonosak egy nyílt tarományon (lásd még [4] Szabó), akkor x i 2 f(x) x i x j = 2 f(x) x j x i A Hesse-mátrix ismeretében felírhatjuk a Newton-iterációs egyenletet: 13

15 m ( 2 x i+1 = x i (H S (x i )x i ) 1 J S (x i ) ahol S(x) = f i (x)) azaz x i+1 = x i ( J f (x i ) T J f (x i ) + m i=1 i=1 ( ) 1 f i (x i ) H fi (x i )) J f (x i ) T f(x i ) Meg kell továbbá említenünk a DFP (Davidon-Fletcher-Powell) és a BFGS (Broyden-Fletcher - Goldfarb-Shanno) két igen hatékony kvázi-newton eljárást is. (A kvázi-newton eljárások olyan közelítő Newton eljárások, amelyekben nem használjuk a célfüggvény Hesse-mátrixát, hanem azt csak alkalmas módon közelítjük.) Ezekről több információt lehet találni az irodalomjegyzék elemei közt (lásd [4] Szabo, [10] Hik, [1] Wikipedia, [2] Mathworld ). Levenberg-Marquardt eljárás Egy jól használható algoritmus még az ún. Levenberg-Marquardt féle iterációs eljárás, mely ötvözi a Gauss-Newton módszer és a gradiensmódszer előnyeit. Ezt az eljárást a legkisebb négyzetes függvényközelítési probléma megoldására használják, így használható nemlináris függvények gyökösszegének minimalizálására is, azaz az feladat megoldására. F (x) = 1 2 m i=1 ( f i (x)) 2 min! (10) A Levenberg és Marguardt által javasolt iterációs eljárás egy p vektor által adott irány mentén keresi a minimumot ([1] Wikipedia,[2] Mathworld ): Először választanunk kell egy sejtést p-re, általában megfelelő választás a p T = (1, 1,..., 1). Minden iterációban a p irányt megpróbáljuk javítani p + q -ra, ahol p-t úgy számítjuk, hogy az f i (p + q) függvényeket helyettesítjük azok linearizált megfelelőikkel, azaz f i (p + q) f(p) + J f (q) ahol J f az f Jacobi-mátrixa Tudjuk, hogy ott lehet minimális F (x), ahol q F (x) = 0. Így kapjuk q-ra, hogy (J T f i (x i )J fi (x i ))q = J T f i (x i )f i (x i ) amelyből q-t a (J T f i J fi ) mátrix invertálásával megkaphatjuk. A Levenberg-Marquardt eljárás azonban a fenti egyenletet helyettesíti annak egy skálázott alakjával: (J T (x i )J(x i ) + λ i I)q i = J T (x i )F (x i ) ahol λ i -k skalárok, az I pedig az identikus mátrix. A λ -k ily módon való bevezetésével elérték azt, hogy teszőlegesen mozoghassunk a Gauss-Newtonmódszer és a gradiensmódszer között. Ha ugyanis azt tapasztaljuk, hogy F (x) minimumára adott közelítésünk gyorsan csökken, kis λ -t választva a Gauss-Newton módszer felé terelhetjük algoritmusunkat, míg lassú csökkenés esetén nagy λ-t választunk, így a gradiensmódszerhez hasonló algoritmust kapunk. A Gauss-Newton és Levenberg-Marquardt eljárások működését interaktívan meg lehet tekinteni a következő webcímeken: 14

16 4. Nemlineáris optimalizálási problémák 4.1. Megvalósítás MATLAB-ban Az előző fejezetben ismertetett gyökkeresési eljárásokra most implementációt adunk MATLAB környezetben. A klasszikus Newton-módszerhez szükségünk van a deriváltfüggvényre, amelyet az INTLAB Toolbox-ban megtalálható eljárásokkal fogunk számítani. A Toolbox-t le lehet tölteni a webcímen. A MATLAB-ban be kell állítani a File Set Path menüpontban a letöltött Toolbox elérési útvonalát, s ezekután elérhetőek lesznek a Toolbox által definiált függvények A módszerek implementációja A Függelékben megadott newton method.m MATLAB függvény tartalmazza a klasszikus Newtonmódszer míg a secant method.m a szelőmódszer implementálását a f : R R és f : R m R függvénycsaládokra. Mindkét függvény 4 paramétert vár : azt a függvényt, amelynek egy zérushelyét keressük (ezt külön MATLAB.m fájlban kell megvalósítani) a gyök egy sejtését (a szelőmódszer esetében két pontot) a maximális iterációk számát (ezzel tudjuk biztosítani az algoritmus végességét) egy kívánt pontosságot A két algoritmus keretrszere megegyezik, először megvizsgáljuk a függvények által kapott argumentumokat, és beállítjuk az iterációhoz szükséges értékeket (max iteration, epsilon változók). Ezekután megállapítjuk a gyök sejtéséből a feladat dimenzióját, és létrehozunk egy D (M + 1) méretű mátrixot (xv mátrix) (D (M + 2) méretűt a szelőmódszer esetében), ahol D a feladat dimenziója, M pedig a maximális iterációk száma. Ez a mátrix fogja tartalmazni az iteráció során előállított közelítéseket. A létrehozott mátrix első sorát beállítjuk a gyök sejtésére (szelőmódszer esetén az első két sorát). Az algoritmusok következő lépése az (1) illetve a (2) egyenletek által leírt iterációk megvalósítása. Az iteráció legfeljebb M lépésben megáll, ha azonban egy i M iterációs lépésben az xv mátrixra teljesül, hogy xv(i) xv(i 1) < epsilon, akkor az iteráció leáll, hiszen elértük a kívánt pontosságot. A függvények ezekután visszatérnek az iteráció során előállított közelítések mátrixával (xv) illetve az elért legjobb közelítéssel (xv mátrix legutolsó nem nulla sora). Az eljárásokhoz MATLAB segítséget is írtam, ezt megtekinthetjük a következő parancs kiadásával: >> help newton_method Függvények zérushelyének megtalálása Newton-iterációval NEWTON_METHOD(func_handle, initial_guess, max_iteration, epsilon) a func_handle függvény initial_guess pont közelében található zérushelyét közelíti meg epsilon pontossággal, legfeljebb max_iteration iterációt végrehajtva. func_handle : vektorizált függvény, pl (y = (x(1)-2.345).^2 + (x(2)-5.678).^2;) initial_guess : sorvektor, dimenziója megegyezik a func_handle dimenziójával max_iteration : egész szám, ha nem adjuk meg, alapértelmezetten 100 epsilon : lebeg}opontos szám, ha az eltérés két közelítés között kisebb, mint epsilon, az iteráció megáll. az alapértelmezés 1e-10 visszatérési érték : [ xv approxroot ]... 15

17 4.3. Az elemzésre használt MATLAB kód Ahhoz hogy a klasszikus Newton-módszer illetve a szelőmódszer viselkedését könnyen elemezhessük több függvényen és több dimenzióban, elkészítettem egy olyan MATLAB függvényt (analyze.m), mely az eljárások által visszaadott xv gyök-közelítéseket tartalmazó mátrixot elemzi, és grafikonon ábrázolja az abszolút hibát abszolút relatív hibát abszolút közelítési hibát illetve az abszolút relatív közelítési hibát. Abszolút hiba Legyen x az f függvény tényleges gyöke, x i pedig annak egy közelítése. Ekkor a x x i értéket az x i közelítés abszolút hibájának nevezzük. Ez az érték kifejezi a közelítés jóságát, megmondja, milyen távol vagyunk a tényleges gyöktől. Ha az abszolút hibát az iterációk függvényében ábrázoljuk grafikonon, akkor ha azt látjuk, hogy az abszolút hiba csökken, akkor egy re jobb közelítéseket állítunk elő nő, akkor egyre rosszabb közelítéseket állítunk elő oszcillál, akkor nem konvergens az iterációnk Abszolút relatív hiba Legyen x az f függvény tényleges gyöke, x i pedig annak egy közelítése. Ekkor a x x i x vagy x x i x 100 értéket a x i közelítés relatív hibájának nevezzük. A relatív hiba az eltérésnek a pontos érték nagyságrjéhez való viszonyát mondja meg. Ez már sokkal jobban jellemzi a közelítés pontosságát, mint az abszolút hiba. Minél kisebb ez az érték, annál közelebb vagyunk a pontos megoldáshoz. Ha a második százalékosan kifejezett abszolút relatív hiba 5% alá megy, azt mondhatjuk, hogy az aktuális közelítés 95%-os pontosságú. Abszolút közelítési hiba Legyen x az f függvény tényleges gyöke, x i illetve x i+1 pedig annak két egymás utáni közelítése. Ekkor az x i+1 x i értéket a közelítő eljárás abszolút közelítési hibájának nevezzük. Látjuk, hogy ez az érték két egymás utáni közelítés közötti különbséget adja meg, azaz ha ez az érték kicsi, feltételezhetjük, hogy a legutolsó közelítések már jól megközelítettek egy gyököt. Abszolút relatív közelítési hiba Legyen x az f függvény tényleges gyöke, x i illetve x i+1 pedig annak két egymás utáni közelítése. Ekkor a x i+1 x i x i+1 vagy x i+1 x i x i értéket a közelítő eljárás abszolút relatív approximációs (közelítési) hibájának nevezzük. A kifejezésekből láthatjuk, hogy ennek a hibafajtának a százalékos értékét is minimalizálni szeretnénk. Ehhez a függvényhez is készítettem MATLAB help-t (lásd help analyze). 16

18 4.4. Zérushelykeresés és analízis Példa. Keressük meg az alábbi függvény egy zérushelyét! f(x) = (x ) 2 1 Megoldás. Készítsünk egy f1.m nevű MATLAB függvényt, melynek tartalma legyen a következő: f1.m function z = f1(x) z = (x-2.345)^2-1; Most futtassuk a klasszikus Newton-módszert, majd az analizáló függvényt (tudjuk, hogy a fenti függvény két zérushelye a illetve ): >> [xr r] = performed_iteration = 8 approxroot = >> analyze(3.3450,xr); Láthatjuk, hogy 8 iteráció után elértük az alapértelmezett 1 10 pontosságot, és megtaláltuk a nagyobbik gyököt. 4. ábra. A klasszikus Newton-módszer hiba-karakterisztikája a (x ) 2 1 függvényen Ha a kisebbik gyököt szeretnénk megtalálni, egy olyan kezdőpontot kell választanunk, mely közelebb van ez utóbbihoz. Ennek vizsgálata során állítsunk be hosszú formázást, és maximalizáljuk az iterációk számát először 4-re, majd 10-re: >> format long >> [xr r] = performed_iteration = 4 approxroot = 17

19 >> [xr r] = performed_iteration = 7 approxroot = Látható, hogy az első 4 iteráció után még nem kaptunk pontos megoldást, ugyanakkor nem is kellett 10 iteráció a gyök 10 jegyre pontos értékének meghatározásához Példa. Adjuk meg az alábbi függvény egy zérushelyét! f(x) = e x 10 x2 Megoldás. A vizsgált függvény zérushelyeit keressük meg a MATLAB beépített solve függvényével: >> solve( exp(x)-10^(x^2) ) ans = 0 1/log(10) >> 1/log(10) ans = >> 5. ábra. Az e x 10 x2 függvény grafikonja Most a szelőmódszert alkalmazzuk a második gyök megtalálására. Ehhez szükségünk lesz két olyan x 1 és x 2 értékre, mely helyeken az e x 10 x2 függvény ellentétes előjelű értékeket vesz fel. Legyen ez a két pont x 1 = 0.25 és x 2 = Ellenőrizzük a kezdeti sejtésünket: >> [f2(0.25) f2(0.73)] ans = Látjuk, hogy ez a két inicializáló pont megfelel a szelőmódszernek. Indítsuk el az algoritmust, és kérjünk 5 jegy pontosságot, maximálisan 20 iterációval: >> [xr r] = performed_iteration = 10 approxroot =

20 Most vizsgáljuk meg az imént futtatott algoritmus közelítési hibáit az egyes iterációk során! Ha megnézzük a 6.ábrán az abszolút hiba grafikonját, látjuk, hogy nem monoton csökken. Ez egy fontos tulajdonsága a szelőmódszernek, de emlékezzünk arra, hogy a szelőmódszer esetében nem volt szükségünk a deriváltfüggvényre! >> analyze(1/log(10),xr) 6. ábra. Az approximációs hibák alakulása a szelőmódszer alkalmazása során Példa. Határozzunk meg egy olyan x vektort, mely zérushelye a következő vektorfüggvénynek! f(x) = (x ) 2 + x (x ) 2 + (x ) 2 + x 2 5; Megoldás. A most vizsgálandó függvény az 5 dimenziós Euklideszi térből képez a valós számokra. Egy triviális gyökét könnyen leolvashatjuk, ezt próbáljuk meg megtalálni a klasszikus Newton-módszerrel: >> [xr r] = ],20); performed_iteration = 20 approxroot = Columns 1 through Columns 4 through >> analyze([ ],xr); >> Az analyze függvény meghívása után a kapott grafikonokról szépen leolvasható, hogy a Newton-eljárásunk minden egyes lépésben egy adott dimenzióban,,lép egyet a megoldás felé. Az abszolút közelítési hiba is folyamatosan csökken az egyes dimenziókban, és 15 iteráció után már jól közelíti a nullát. Ez azt jelenti, hogy az iterációnk konvergens volt, tehát egy valódi gyökhöz közelítettünk. A grafikonokon a kvadratikus konvergencia is jól látható, az abszolút hiba diszkrét pontjaira egy 1 x 2 -es függvény illeszkedne. 19

21 7. ábra. Az abszolút (relatív) hibák alakulása az egyes dimenziókban 8. ábra. A közelítési hibák csökkenése többdimenziós gyökkeresés esetén Példa. Határozzunk meg legalább egy gyököt, ha a függvényünk a következő : f(x) = (x + ln20 + sin(x))e x2 2x Megoldás. A most megvizsgálandó függvény tartalmaz egy periodikus tagot, mely komoly ellensége lehet a Newton-módszereknek. 9. ábra. A (x + ln20 + sin(x))e x2 2x függvény grafikonja és egyetlen zérushelye Ha ugyanis a tényleges gyökhöz nem megfelelően közel választjuk az iteráció kezdőpontját, a közelítés divergálhat. Ha a gyök sejtésének x 0 = t választunk, a klasszikus Newton-módszer divergens lesz. >> solve( (x + log(20) + sin(x))*exp(-x^2/(2*x)) ) ans = 20

22 >> [xr r] = performed_iteration = 100 approxroot = e+02 >> >> analyze( ,xr) 10. ábra. A (x + ln(20) + sin(x))e x2 2x függvény zérushelyének megtalálásakor kudarcot vallunk Ha megnézzük a 10.ábrán található abszolút hiba grafikont, látjuk, hogy az lineárisan nő az iterációk előrehaladtával, ebből kifolyólag a relatív hiba is nő, tehát kijelenthetjük, hogy az x 0 = gyöksejtés nem vezethet minket helyes eredményhez. A konvergenciasebesség tárgyalásakor említettük, hogy a Newton-módszerek konvergenciasebessége a gyök közvetlen közelében a legjobb. Példának okáért az intervallumos globális optimalizálási feladatok esetében is csak kis szélességű intervallumok esetén hajtunk végre Newton-lépéseket. Széles intervallumok esetén nem érünk el szignifikáns eredményeket, míg a kis intervallumok esetén a pontos jegyek számát megduplázhatjuk. Ha a most vizsgált függvény egy valódi probléma leírása lenne, a gyök megkereséséhez más módszerekkel kellene keresni egy jobb gyök-sejtést. Tegyük fel, hogy ilyen módszerek relkezésünkre állnak, és találtunk egy jobb közelítést : x 0 = Ez már közel van a valódi gyökhöz, de a 2 tizedesjegyre pontos értékből 13 jegyre pontos értéket szeretnénk kapni. Ilyenkor igazán hatékony a Newton-módszer: >> [xr r] = performed_iteration = 4 approxroot = >> Ha mégsem állna relkezésünkre más gyök-közelítési módszer, használhatjuk a szelőmódszert felismervén azt, hogy a függvénynek egy zérushelye van, monoton nő, és az értékkészlete a valós számok halmaza: 21

23 >> [xr r] = performed_iteration = 9 approxroot = >> r ans = >> Példa. Keressük iterációs eljárással egy zérushelyét az függvénynek! f(x) = cos(x) Megoldás. Az cos függvény elég egyszerűnek néz ki ahhoz, hogy elfeledkezzünk arról, hogy a Newtonmódszerek nem globálisan konvergensek. Az előző függvény esetében láttuk, hogy a Newton-módszer divergálhat, ebben az esetben viszont egy újabb jelenséget tapasztalhatunk! Keressük meg a cos függvény zérushelyét klasszikus Newton-módszerrel, s legyen a kiindulási sejtésünk speciálisan ! >> [xr r] = performed_iteration = 10 approxroot = >> analyze(3/2*pi,xr) >> 11. ábra. A cos(x) függvényen a Newton-módszer oszcillációja Most az iterációk számát ne 10-re, hanem 30-ra maximalizáljuk: 22

24 >> [xr r] = performed_iteration = 15 approxroot = >> analyze(3/2*pi,xr) >> A 12.ábrán látható abszolút és abszolút relatív hiba grafikonjáról szépen leolvashatjuk, hogy egy szerencsétlenül választott sejtéssel elindított Newton-féle gyökkeresési eljárás az első pár lépésben oszcillál, majd 11 iterációs lépés megtétele után kezd konvergálni a függvény zérushelyéhez. 12. ábra. A cos(x) függvényen a Newton-módszer csak 10 lépés után konvergál Ez a megállapítás azért fontos, mert például az intervallumos globális optimalizálás területén alkalmazott ún. intervallumos Branch and Bound (Korlátozás és Szétválasztás) módszer is alkalmazza a Newton-módszert abból a célból, hogy a keresési teret szűkítse (esetünkben egy intervallum szélességét csökkentse). Tekintettel arra, hogy a módszer költségessége miatt csak egyetlen iteációs lépést hajt végre a B&B algoritmus, sokszor előfodulhat, hogy a keresési tér egyáltalán nem szűkül. Az előző függvényeken végzett tesztek alapján megállapíthatjuk, hogy a gyökkeresési problémák megoldására használt Newton-módszer igenis hatékonyan alkalmazható a valódi gyök közelében, ugyanakkor a globális konvergencia hiánya miatt fellépő divergencia és/vagy oszcilláció jelenségét is figyelembe kell vennünk. 23

25 4.5. A Gauss-Newton módszerek tesztelése Az esszé második részében ismertetett többdimenziós, feltétel nélküli optimalizáló eljárásokat a MAT- LAB kiegészítéseként elérhető Optimization Toolbox-al fogom bemutatni. Ez a Toolbox kiegészíti a MAT- LAB numerikus rszerét olyan optimalizáló eljárásokkal, melyek hatékonyan alkalmazhatóak többek között feltétel nélküli nemlineáris optimalizálásra lineáris és kvadratikus programozási feladatok megoldására nemlineáris egyenletrszerek megoldására legkisebb négyzetes függvényközelítésre Az Optimization Toolbox függvényeit nagyméretű optimalizálási feladatokra (Large Scale Optimization Problem) is felkészítették, és ez az alapértelmezett. Ha ezt ki szeretnénk kapcsolni (a tesztelés során nem ilyen feladatokat választottam), akkor a Toolbox által elérhető eljárások mindegyikének megadható LargeScale mezőt off -ra kell állítanunk a következőképpen: options = optimset( LargeScale, off ); majd a használni kívánt optimalizáló függvénynek paraméterül kell adnunk az options vektort Az Optimization Toolbox alkalmazása nemlineáris optimalizálásra A Gauss-Newton és Levenberg-Marquardt módszereket az lsqnonlin függvényben valósították meg. Ha a függvény LargeScale változatát használjuk, akkor egy prekondícionált konjugált gradiens- és ún. Trust-Region módszert használ a nagyméretű feladatunk megoldására. Ha a LargeScale opciót kikapcsoljuk a fent említett módon, akkor Levenberg-Marguardt és Gauss- Newton módszereket használ megfelelő egyenesmenti kereső algoritmusokkal egyetemben. Az alapértelmezett a Levenberg-Marquardt, ha azonban a Gauss-Newton módszer lenne számunkra optimális, a Levenberg-Marquardt opciót kell off -ra állítanunk Példa. Oldjuk meg a következő egyenletrszert közelítő eljárással (Gauss-Newton): x 2 1 4x 2 = 0 6x 1 x 2 2 = 4 3x 1 x 2 = 0 Megoldás. Ehhez a feladathoz társítsuk a következő, vele ekvivalens feladatot: F (x) = 1 ( (x x 2 ) 2 + (6x 1 x 2 2 4) 2 + (3x 1 x 2 ) 2) min! (11) amely feladat legkisebb négyzetes értelemben vett megoldását keressük. Nyilvánvaló, hogy a (11) feladat optimális megoldása egyben megoldása a kiindulási feladatunknak is. Nagyon fontos, hogy az lsqnonlin függvénynek nem f i (x) 2 alakú célfüggvényt kell megadnunk! A célfüggvényünket vektor-függvényként kell megadni, azaz el kell készíteni egy olyan MATLAB függvényt, mely az f 1 (x) f 2 (x) F (x) =. f n (x) vektor-függvényt számítja ki. A (11) feladathoz így a következő MATLAB függvényt kell elkészítenünk: gnlmf1.m function y = gnlmf1(x) y(1) = x(1).^2-4*x(2); y(2) = 6*x(1) - x(2).^2-4; y(3) = 3*x(1).*x(2); Ezekután futtassuk le a Gauss-Newton módszert a most definiált függvényünkön: 24

26 >> x0 = [ ] x0 = >> options = optimset( LargeScale, off, LevenbergMarquardt, off ); >> [r,resnorm,residual,exitflag,output] = Optimization terminated: directional derivative along search direction less than TolFun and infinity-norm of gradient less than 10*(TolFun+TolX). r = resnorm = residual = exitflag = 1 output = iterations: 8 funccount: 47 stepsize: cgiterations: [] firstorderopt: [] algorithm: medium-scale: Gauss-Newton, line-search message: [1x147 char] >> >> gnlmf1(r) ans = Láthatjuk, hogy az r vektorban megkapott minimum-közelítés elég jó közelítése a 0 vektornak, amely a valódi megoldás. Ezt megkaptuk 8 iterációból, és mindössze 47 függvénykiértékeléssel. 13. ábra. A Gauss-Newton módszer kezdő- és vég-közelítésének helyzete a célfüggvény felületén 25

27 Példa. Oldjuk meg az alábbi gyökkeresési feladatot! F (x) = x x 1 x 2 + 8y e (x1 4)2 + 40e x2 2 sin(x1 ) + e x1x2 = 0! Megoldás. A következő három MATLAB utasítással kirajzolhatjuk a kétváltozós függvény által a térben kifeszített kifejezetten szép felületet: >> [x,y] = meshgrid(linspace(-2.3,2.3,60)); >> surf(x,y,x.^2-12.*x.*y+8.*y.^2+40.*exp(-(x-.4).^2)+40.*exp(-y.^2).*sin(x)+exp(x.*y)) >> colormap hot 14. ábra. Az x x 1 x 2 + 8y e (x1 4)2 + 40e x2 2 sin(x1 ) + e x1x2 függvény grafikonja. Ahhoz, hogy F (x) egy gyökét megtaláljuk, minimalizálnunk kell az F (x) 2 függvényt. Válasszuk a minimum sejtésének az x 0 = ( 2.1, 2.1) pontot. >> x0=[ ]; Kapcsoljuk ki a LargeScale módot, viszont használjuk a Gauss-Newton módszer helyett a Levenberg- Marquardt algoritmust. >> options = optimset( LargeScale, off, LevenbergMarquardt, on ); És indítsuk el az optimalizálást: >> [r,resnorm,residual,exitflag,output] = Optimization terminated: directional derivative along search direction less than TolFun and infinity-norm of gradient less than 10*(TolFun+TolX). >> r r = >> gnlmf2(r) ans = e-06 Azaz 6 jegyre pontos megoldást kaptunk 8 iterációs lépés, és 56 függvénykiértékelés elvégzésével (ezeket az információkat az output.iterations és output.funccount mezőkből tudhatjuk meg). Az előző két tesztünkből levonhatjuk azt a következtetést, hogy még nagyon bonyolult függvények esetén sem reménytelen a gyökkeresési probléma megoldása, hiszen többdimenziós közelítő eljárásaink vannak a megoldás megtalálására, és az Optimization Toolbox függvényei igencsak hatékonyak. 26

28 5. Egyenletrszerek iterációs megoldása Egyenletrszerek vizsgálatát is a már megismert Optimization Toolbox, és a Symbolix Math Toolbox használatával fogom bemutatni. Ezen Toolboxok kiegészítik a MATLAB numerikus rszerét olyan optimalizáló eljárásokkal és szimbólikus számítási lehetőségekkel, melyek hatékonyan alkalmazhatóak többek között feltétel nélküli nemlineáris optimalizálásra lineáris és kvadratikus programozási feladatok megoldására nemlineáris egyenletrszerek megoldására legkisebb négyzetes függvényközelítésre automatikus differenciálásra egyenletrszerek algebrai megoldására 5.1. A Newton-módszer A klasszikus Newton-módszer bemutatására elkészítettem a Függelékben elérhető newton_method2.m MATLAB kódot. Ez a függvény a klasszikus Newton-iterációt hajtja végre. Paraméteréül meg kell adni a célfüggvényt, egy kezdeti sejtést (x 0 ), a kért pontosságot (ɛ), illetve az iterációk maximális számát. A célfüggvényt egy külön.m fájlban kell megvalósítani úgy, hogy egy adott x i helyen felvett függvényértéket, és az adott helyen vett Jacobi-mátrixot is kiszámítja. (Itt tehát nem az INTLAB automatikus differenciáló eljárásával számolunk!) Példa. Oldjuk meg az alábbi egyszerű egyenletrszert! 3x 1 4x 2 + x 3 = 7 5x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 3x 3 = 5 Az egyenletrszerünket most egy F : R 3 R 3 vektorfüggvényként kell kezelnünk. Ezen vektorfüggvény Jacobi mátrixa a következő lesz: [ Fi (x) J F (x) = x j ] 3 i,j=1 = Így a következőképpen kell egy MATLAB kóddal megvalósítanunk célfüggvényünket, és annak Jacobimátrixának kiszámítását: equationf1.m function [y,j] = equationf1(x) y(1) = 3*x(1)-4*x(2)+x(3)-7; y(2) = 5*x(1)+x(2)-4; y(3) = x(1)-x(2)-3*x(3)+5; J = [3-4 1; 5 1 0; ]; Az első három sorral már megbarátkoztunk, az számítja ki a vektorfüggvényt, míg a függvény negyedik sora a Jacobi-mátrixot adja. Most alkalmazzuk a Newton-módszert, és rajzoltassuk ki az abszolút közelítési és abszolút relatív közelítési hiba grafikonját: >> [xv r] = 4 5],1e-14,100); performed_iteration = 2 27

29 approxroot = >> equationf1(r) ans = >> analyze2(xv) Láthatjuk, hogy mindössze két iteráció elvégzése után megtaláltuk a pontos gyököt (onnan tudjuk, hogy pontos, hogy az ans vektor elemei 0-k, és nem k!). Nyilvánvaló, hogy az előbbi egyenletrszerünk túl egyszerű volt, és ezért kaptunk ilyen gyorsan pontos megoldást. Most nézzünk egy nehezebb feladatot! Példa. Adjunk közelítő megoldást az alábbi egyenletrszerre! 3x 2 1 5x 1 x 2 x x2 2x 3 = 0 sin(x 1 )x 2 + sin(x 2 )x 3 cos(x 3 )x 1 x 2 = 1 2 x 1 x 2 + (x 3 2x 1 ) 2 = 20 Az egyenletrszerünket most is F : R 3 R 3 vektorfüggvényként kezeljük. A Jacobi-mátrix a következő lesz: J F (x) = 6x 1 5x 2 x 2 3 5x 1 x x 2x 3 10x 1 x 2 x x2 2 x 2 cos(x 1 ) cos(x 3 )x 2 sin(x 1 ) + x 3 cos(x 2 ) cos(x 3 )x 1 sin(x 2 ) + sin(x 3 )x 1 x 2 x 2 + 4(x 3 2x 1 ) x 1 2(x 3 2x 1 ) Az ehhez tartozó MATLAB függvény a következőképpen kell, hogy kinézzen: equationf2.m function [F,J] = equationf2(x) y = x(2); z = x(3); x = x(1); F = zeros(1,3); F(1) = 3*x^2-5*x*y.*z^2 + 1/3*y^2*z; F(2) = sin(x)*y + sin(y)*z - cos(z)*x*y+.5; F(3) = x*y+(z-2*x).^2-20; j1 = [(6*x - 5*y*z^2) (-5*x*z^2 + 2/3*y*z) (-10*x*y*z+1/3*y^2)]; j2 = [(y.*cos(x)-cos(z)*y) (sin(x)+ z*cos(y)-cos(z)*x) (sin(y)+sin(z)*x*y)]; j3 = [(y+4*(z-2*x)) (x) (2*(z-2*x))]; J = [j1;j2;j3]; Az első sorral (x,y és z változók bevezetésével) csak az olvashatóságot javítjuk. A következő három sorral kiszámítjuk az adott x helyen felvett függvényértéket, majd pedig a j1,j2 és j3 változók segítségével felépítjük a Jacobi-mátrixot az utolsó sorban. Keressünk közelítő megoldást az egyenletrszerünkre: 28

30 >> [xv r] = 4 5],1e-14,100); performed_iteration = 21 approxroot = >> equationf2(r) ans = 1.0e-14 * >> analyze2(xv) >> Azt kaptuk, hogy 21 iteráció elvégzése után 14 jegyre pontos eredményt kaptunk. A grafikonokról szépen leolvasható, hogy az első 4-5 iteráció során még ténylegesen csak kerestük a gyököt, majd 7-8 iteráció után a megtalált közelítést csak finomítottuk. Azaz a gyök egy jó közelítését már 5-6 iteráció után megkaphattuk volna Az fsolve eljárás Az fsolve eljárás az Optimization Toolbox egyik fontos függvénye, nemlineáris egyenletrszert old meg közelítő eljárásokkal. Alapértelemezzen az ún. Trust-Region Dogleg módszer alkalmazza, azonban rá tudjuk bírni a Gauss-Newton és Levenberg-Marquardt módszerekre is a NonlEqnAlgorithm kapcsolóval. Teknikailag az F (x) = 0 egyenletet oldja meg x-re, ahol x egy vektor, míg F (x) egy vektorfüggvény, melynek visszatérési értéke is egy vektor Példa. Oldjuk meg a következő nemlineáris egyenletrszert: 4x 1 x 2 = e 2x1 x 1 + 2x 2 = e 1 2 x2 Rezzük át az egyenletrszert úgy, hogy minden egyenletet nullára redukálunk: 4x 1 x 2 e 2x1 = 0 x 1 + 2x 2 e 1 2 x2 = 0 Ezt az egyenletrszert szeretnénk megoldani az fsolve eljárással, mégpedig az x 0 = [ 5, 5] sejtésből kiindulva. Ehhez el kell készítenünk az F (x) vektorfüggvényt egy külön.m fájlban: fsolvef1.m function F = fsolvef1(x) F = [4*x(1) - x(2) - exp(-2*x(1)); -x(1) + 2*x(2) - exp(-.5*x(2))]; Ezekután hívjuk meg az optimalizálási eljárásukat: 29

31 >> global xv; >> x0 = [-5; -5]; % Kezd}opont beállítása >> options=optimset( Display, iter, NonlEqnAlgorithm, gn, >> [x,fval] = Directional Iteration Func-count Residual Step-size derivative e e e e e e e e e-15 Optimization terminated: directional derivative along search direction less than TolFun and infinity-norm of gradient less than 10*(TolFun+TolX). x = fval = 1.0e-11 * >> analyze2(xv) 45 függvénykiértékelés után egy gyököt talált az eljárás, amely egyben az egyenletrszerünk közelítő megoldását is adja. Az fval vektor mutatja a redukált egyenletrszerünk baloldalának helyettesítési értékét a közelítésnél. Láthatjuk, hogy a hiba enes nagyságrű. A grafikonokról leolvashatjuk, hogy az fsolve eljárásnak főleg az második dimenzióval ( piros értékek a grafikonon, és x 2 változó az egyenlerszerben) gyűlt meg a baja, hiszen ott volt az abszolút közelítési hiba lényegesen magasabb Példa. Oldjuk meg az alábbi egyenletrszert! x x 3 x 4 = 20 x 1 x 3 + x 2 x 3 = 14 x 1 x 4 + x 2 x 4 = 8 x 3 x 4 + x 2 2 = 6 30

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma

A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése. A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma A Riemann-Siegel zeta függvény kiugró értékeinek keresése A matematikai egyik legnehezebb problémája, avagy a prímszámok misztériuma 2013 A probléma fontossága és hatása a hétköznapi életre A prímszámok

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1

Newton módszer. az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x 0. )) pontbeli érintőjét, és jelölje x 1 Newton módszer A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk. Def.: Legyen x 0 az F(x) =

Részletesebben

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék

ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS. egyetemi docens. Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék FELTÉTEL NÉLKÜLI OPTIMALIZÁLÁS ALGORITMUSAI DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-4...B-0//KONV-00-000 jel½u projekt részeként

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató

Szakdolgozat. Miskolci Egyetem. Nemlineáris programozás. Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Szakdolgozat Miskolci Egyetem Nemlineáris programozás Készítette: Horváth Gábor Programtervező informatikus hallgató Témavezető: Dr. Nagy Tamás egyetemi docens, Alkalmazott Matematikai Tanszék Miskolc,

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI

MÉRÉSI EREDMÉNYEK PONTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI MÉRÉSI EREDMÉYEK POTOSSÁGA, A HIBASZÁMÍTÁS ELEMEI. A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x

1. feladatsor, megoldások. y y = 0. y h = C e x 1. feladatsor, megoldások 1. Ez egy elsőrendű diffegyenlet, először a homogén egyenlet megoldását keressük meg, majd partikuláris megoldást keresünk: y y = 0 Ez pl. egy szétválasztható egyenlet, melynek

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok.

A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. ZÁRÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK egyetemi szintű közgazdasági programozó matematikus szakon A) 1. Számsorozatok, számsorozat torlódási pontja, határértéke. Konvergencia kritériumok. 2. Függvények, függvények folytonossága.

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR

NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje

A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje A hiperbolikus síkgeometria Poincaré-féle körmodellje Ha egy aiómarendszerre modellt adunk, az azt jelenti, hogy egy matematikai rendszerben interpretáljuk az aiómarendszer alapfogalmait és az aiómák a

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió

Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Mérési adatok illesztése, korreláció, regresszió Korreláció, regresszió Két változó mennyiség közötti kapcsolatot vizsgálunk. Kérdés: van-e kapcsolat két, ugyanabban az egyénben, állatban, kísérleti mintában,

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Partíció probléma rekurzíómemorizálással

Partíció probléma rekurzíómemorizálással Partíció probléma rekurzíómemorizálással A partíciószám rekurzív algoritmusa Ω(2 n ) műveletet végez, pedig a megoldandó részfeladatatok száma sokkal kisebb O(n 2 ). A probléma, hogy bizonyos már megoldott

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Köszönetnyilvánítás. 1. Az alapok 1

Tartalomjegyzék. Köszönetnyilvánítás. 1. Az alapok 1 Köszönetnyilvánítás Bevezetés Kinek szól a könyv? Elvárt előismeretek A könyv témája A könyv használata A megközelítés alapelvei Törekedjünk az egyszerűségre! Ne optimalizáljunk előre! Felhasználói interfészek

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila

Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Nemlineáris optimalizálás Dr. Házy, Attila Miskolci Egyetem Kelet-Magyarországi Informatika Tananyag Tárház Kivonat Kivonat Nemzeti Fejlesztési Ügynökség http://ujszechenyiterv.gov.hu/

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése

Néhány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5. Fejezet Néány közelítő megoldás geometriai szemléltetése 5.. Iránymező Látattuk, ogy az explicit differenciálegyenletek rendelkeznek azzal az érdekes és kivételes tulajdonsággal, ogy bár esetenként

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban

M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban M-Fájlok létrehozása MATLAB-ban 1 Mi az M-fájl Annak ellenére, hogy a MATLAB rendkívül kifinomult és fejlett számológépként használható, igazi nagysága mégis abban rejlik, hogy be tud olvasni és végrehajtani

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Optimalizációs eljárások hatása a mért értékek megbízhatóságának a növelésére

Optimalizációs eljárások hatása a mért értékek megbízhatóságának a növelésére Optimalizációs eljárások hatása a mért értékek megbízhatóságának a növelésére Dr. Odry Péter, Kecskés István Workshop Miskolc, 2013. 09. 06. 2.2/a Altéma 2.2/a Altéma: Ferromágneses anyagok roncsolásmentes,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához

Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához Kereső algoritmusok a diszkrét optimalizálás problémájához A. Grama, A. Gupta, G. Karypis és V. Kumar: Introduction to Parallel Computing, Addison Wesley, 2003. könyv anyaga alapján A kereső eljárások

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között

Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között Átszámítások különböző alapfelületek koordinátái között A különböző időpontokban, különböző körülmények között rögzített pontok földi koordinátái különböző alapfelületekre (ellipszoidokra geodéziai dátumokra)

Részletesebben

Egyszerű programozási tételek

Egyszerű programozási tételek Egyszerű programozási tételek 2. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 15. Sergyán (OE NIK) AAO 02 2011. szeptember 15.

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok. c f

Gráfelméleti feladatok. c f Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai

1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 1. Előadás: Az alapfeladat Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz L.V. Kantorovics (1912-1986) Az optimalizálás a matematika legkülönfélébb területeinek találkozási

Részletesebben

6000 Kecskemét Nyíri út 11. Telefon: 76/481-474; Fax: 76/486-942 bjg@pr.hu www.banyai-kkt.sulinet.hu. Gyakorló feladatok

6000 Kecskemét Nyíri út 11. Telefon: 76/481-474; Fax: 76/486-942 bjg@pr.hu www.banyai-kkt.sulinet.hu. Gyakorló feladatok BÁNYAI JÚLIA GIMNÁZIUM 6000 Kecskemét Nyíri út 11. Telefon: 76/481-474; Fax: 76/486-942 bjg@pr.hu www.banyai-kkt.sulinet.hu Gyakorló feladatok I. LEGO Robotprogramozó országos csapatversenyre A következő

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben