Útmutató az alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelmek összeállításához

Átírás

1 2004/3/II/3 sz. MAB határozat Útmutató Kérjük, hogy a beadásra kerülő kérelmeket a könnyebb kezelhetőség érdekében tartalomjegyzékkel és folyamatos oldalszámozással lássák el! Kérjük továbbá, hogy a kérelmeket kétoldalas nyomtatásban juttassák el hozzánk. A kérelem címzettje: az oktatási miniszter Véleményező: a Magyar Akkreditációs Bizottság I. Adatlap 1. A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe (amennyiben több intézmény együttesen nyújt be kérelmet, fel kell tüntetni valamennyi intézmény nevét és címét) Berzsenyi Dániel Tanárképző Főiskola, 9700 Szombathely, Károlyi Gáspár tér 4. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Bp. 1111, Műegyetem rkp. 3. Debreceni Egyetem, 4010 Debrecen, Egyetem tér 1. Eszterházy Károly Főiskola, 3300 Eger, Eszterházy tér 1. Eötvös Loránd Tudományegyetem, 1053 Budapest, Egyetem tér 1-3. Nyíregyházi Főiskola, 4400 Nyíregyháza, Sóstói u. 31/b. Pécsi Tudományegyetem, 7633 Pécs, Szántó Kovács János u. 1/b. Szegedi Tudományegyetem, 6725 Szeged, Dugonics tér A kérelem tárgya; alapképzési szak létesítési követelményeinek meghatározása 3. A szak megnevezése; matematika 4. A szakképzettség megjelölése; matematikus szakirány: alapszintű matematikus tanári szakirány: matematika-b szakos iskolai asszisztens 6. A továbblépésre lehetőséget nyújtó mester szakok megnevezése; matematikus, alkalmazott matematikus, matematika tanár (kétszakos) Megjegyzés: az anyag tartalmazza a matematika tanári alapképzés és mesterképzés leírását, csatoljuk a mesterszintű matematikus szak leírását

2 1. számú útmutató A felsőoktatási intézmények által benyújtott, alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelem 7. A szak javasolt képzési terület/ képzési ág szerinti besorolása; Természettudomány képzési terület Matematikatudomány képzési ág 8. A szak javasolt tudományági besorolása; (a 169/2000. (IX.29.) Korm. rendelet melléklete szerint) Természettudományok -- Matematika és számítástudományok 9. A szak megfeleltetése a korábbi végzettség és szakképzettség szerint; (a szak jelenleg meglévő, elfogadott képesítési követelményei rendeletszámának megadása.) 166/1997 (X.3.) rendelet: egyetemi szintű matematikus szak, egyetemi szintű matematika tanári szak, főiskolai szintű matematika tanári szak 193/2000 (XI.24.) alkalmazott matematikus szak 200/2000 (XI.29.) a kreditrendszer bevezetéséről 77/2002 (IV.13.) képesítési követelmények kreditrendszerű leírása 10. Dátum, és az intézmény(ek) felelős vezetőjének megnevezése, cégszerű aláírása, vagy az együttesen benyújtó intézmények elfogadó nyilatkozata. Mellékeljük a benyújtó intézmények elfogadó nyilatkozatát. 11 Az adatlap mellékletei; - az intézményi tanácsnak/tanácsoknak a szak létesítését kezdeményező határozata - ágazati feladatok ellátását érintő szak létesítése esetén az érdekelt szaktárca (pedagógus szak létesítésénél az OM közoktatási felügyeleti területének) véleménye - szakmai egyeztetés jegyzőkönyvi kivonata

3 II. A szaklétesítési kérelem indoklása (Legfeljebb 2-3 oldal terjedelemben) 1. A szak létesítésének előzményei; A matematika tanári szak, a matematikus szak (a később beindult alkalmazott matematikus szakkal együtt) évtizedek óta meghatározó felsőoktatási képzési forma a matematika tudományterületen. Ezen képzési formák legfőbb értékeit visszük át a lineáris, kétfokozatú képzési rendszerbe, amellett, hogy a képzés szerkezetét rugalmasabbá kívánjuk tenni. Ezen szakok oktatásának mind személyi, mind infrastrukturális, mind kutatási feltételei megvannak a kérelmező intézményekben, a matematika tanári és matematikus képzés hagyományosan, nemzetközi mércével mérve is magas színvonalon folyik. 2. A szakképzettség várható hasznosítási területe a munkaerő-piaci, társadalmi igény a bemutatásával; Mindkét szakirány egyik alapvető célja, hogy a hallgatókat felkészítse a megfelelő mesterképzésben való részvételre. Az alapképzés matematika tanári szakirányát végzett hallgatók részt vesznek az iskolákban a szakterületükhöz kötődően az oktatás előkészítésében, szervezésében, oktatási segédanyagok készítésében. A mesterképzésben részt vett matematika tanárok iránti igényt indokolja, hogy a matematika tárgy az általános iskolákban és középiskolákban a többi tárgyhoz képest magas óraszámban (heti 3-7 óra) kerül oktatásra, mint az alapműveltség egyik legfontosabb diszciplínája. Az alapszintű matematikusok műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen képesek szaktudásukat alkalmazni, melyre az egyre szigorodó gazdasági-piaci körülmények között a biztonsággal működni kívánó gazdasági egységeknek alapvető szükségük van. Továbbá a mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a korábbi matematikus, alkalmazott matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják egyrészt a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, másrészt a szakma kutatói utánpótlását és a felsőoktatás számára az oktatói utánpótlást. 3. Rövid nemzetközi összehasonlítás az új szak vonatkozásában - különös tekintettel az Európai Felsőoktatási Térségre Az Európai Felsőoktatási Térség alapvető eszméinek megfelelően az a célunk, hogy hazai és nemzetközi értelemben véve konvertibilis szakot hozzunk létre. Ezt a konvertibilitást hazai értelemben biztosítják az előzetes egyeztetések az ország összes egyeteme és főiskolája között, amelyek jelenleg részt vesznek a matematikus, illetve matematika tanári szak képzésében. Nemzetközi értelemben a konvertibilitást a magyar matematika oktatás tradicionálisan magas színvonala biztosítja. 4. A képzési időre vonatkozó javaslat indoklása, kamarák, a szakmai testületek állásfoglalásainak, ajánlásainak figyelembe vételével A képzési időre (7 félév) vonatkozóan az alapvető szempont az volt, hogy ennél rövidebb képzési időben nem biztosítható a szak képzésének két alapvető követelménye: egyrészt az, hogy a ráépülő mesterszakkal együtt megközelítően érje el ugyanazt a képzési színvonalat, amelyet a korábban működő matematikus szakok képviseltek, másrészt pedig az, hogy a kétfokozatú, lineáris képzési modell elvárásainak megfelelően az alapszak megfelelőképpen alkalmazásorientált, piacképes legyen. 5. A szak képzési céljának és követelményeinek a rokon szakokkal történő összehasonlítása, illetve a karakterisztikus különbségek (szaktávolság) bemutatása; A matematika tudományterületén ez az első alapképzési szak (BSC)

4 III. A szak képesítési követelményei (Az alapképzési (Bachelor) szak képesítési követelményeinek teljes körű kidolgozása szükséges a kormányrendeletben, ill. miniszteri rendeletben megjelentethető alábbi formában, az Ftv szerint) (Legfeljebb 4-5 oldal terjedelemben) 1. A képzési cél. Magas szintű szaktudással rendelkező szakemberek képzése. --A matematikus szakirányt végzett hallgatók olyan elméleti és alkalmazott matematikai ismeretekkel rendelkeznek, melyek képessé teszik őket arra, hogy alapszintű matematikai ismereteiket műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen alkalmazzák, továbbá megszerzett tudásuk alkalmassá teszi őket arra, hogy további két éves mesterképzés után matematikus, alkalmazott matematikus, gazdasági és pénzügyi matematikus, illetve műszaki matematikus diplomát kapjanak, --A tanári szakirányt végzett hallgatók képesek közreműködni a matematika oktatás előkészítésében, szervezésében, oktatási segédanyagok készítésében, és további két éves mesterképzés után alkalmasak arra, hogy matematikát tanítsanak különböző iskolatípusokban az 5-12 osztályos tanulóknak. Ennek megfelelően biztos és magas szintű szakmai tudással, nagy áttekintéssel rendelkeznek és megfelelő elméleti és gyakorlati jártasságot szereztek a matematika oktatásában. 2. A végzettség szintje (BA, BSc); alapképzés (BSc) 3. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése (ha szükséges, a szakirányok megjelölésével) Matematikus szakirány: alapszintű matematikus Tanári szakirány: matematika-b szakos iskolai asszisztens 4. A képzési idő, megszerzendő kreditek: - félévek száma: 7 - a tanórák (minimálisan szükséges kontaktórák) száma; 2000 óra - az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma; A képzés főbb tanulmányi területei és azok arányai: az egyes tanulmányi területekhez rendelt kredithatárok megadásával (tól ig) az alábbi bontásban:

5 Matematikus szakirány: Törzsanyag (kötelező ismeretkörök, a két szakirányban közösen): alapozó modul Informatikai és természettudományi alapismeretek 3-5 kredit Matematikai alapismeretek 9-15 kredit szakmai törzsmodulok Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Összesen: kredit Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek); Algebra és számelmélet 6-12 kredit Analízis kredit Geometria 4-12 kredit Kombinatorika 4-8 kredit A matematika alapjai 3-6 kredit Alkalmazott matematika kredit Informatika 3-25 kredit Összesen: kredit Egyéb, szabadon választható (részben gyakorlatorientált) szakmai ismeretek kredit Szakdolgozat 15 kredit Összesen: 210 kredit

6 Matematika tanári szakirány: A Természettudományi Karok közös állásfoglalása szerint (az alap- és mesterképzésben) kétszakos tanárokat képzünk, két azonos súlyú (diszciplináris) szakkal, az egységes tanárképzés szellemében, mely hallgatók a mesterképzés elvégzése után jogosultak az 5-12 osztályban tanítani. A matematika alapképzésre felvett hallgatók a második félév után dönthetnek arról, hogy tanárképzésben vesznek részt, és választhatják meg másik szakjukat (B szak). A alapképzésben és a mesterképzésben összességében az alábbi krediteket kell teljesíteniük: Alapképzés (210 kredit) oklevél megnevezése: matematika-b szakos iskolai asszisztens 90 kredit matematika, mely tartalmazza a törzsanyagot matematikából, valamint a differenciált szakmai anyag Algebra és számelmélet, Analízis, geometria, Valószínűségszámítás moduljaiból legalább 3-3 kreditet 75 kredit a B szak szakmai tárgyaiból, mely tartalmazza a B szak alapképzésének törzsanyagát 10 kredit a tanári modulból 15 kredit záródolgozat (matematikából) 20 kredit választható Mesterképzés (120 kredit) oklevél megnevezése: matematika-b szakos tanár 20 kredit matematika 35 kredit B szak 40 kredit tanári modul (ezen belül 7-7 kredit szakmódszertan matematikából és a B szakból) 15 kredit záródolgozat (matematikából vagy a B szakból) 10 kredit választható Az összesen 50 kredites tanárképzési modul tartalmát a 111/1997 (VI.27.) sz. rendelet rögzíti. Az alapképzésben 10 kredit erejéig 2-3 alapvető pszichológiai ill. neveléstudományi tárgy oktatását tervezzük. Az alábbiakban azon 110 matematika szakmai kredit tartalmát írjuk le, melyet a hallgatóknak az alap- és mesterképzésben összesen teljesíteniük kell matematikából

7 Törzsanyag (kötelező ismeretkörök, a matematikus szakiránnyal közösen): alapozó modul Informatikai és természettudományi alapismeretek 3-5 kredit Matematikai alapismeretek 9-15 kredit szakmai törzsmodulok Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Összesen: kredit Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek); Algebra és számelmélet Analízis Geometria Kombinatorika A matematika alapjai Valószínűségszámítás Informatika A matematika története Elemi matematika 4-8 kredit 5-10 kredit 7-12 kredit 3-6 kredit 3-6 kredit 4-8 kredit 2-4 kredit 2-4 kredit 6-12 kredit Összesen: kredit Egyéb, szabadon választható (részben gyakorlatorientált) szakmai ismeretek 5-39 kredit Összesen: 110 kredit

8 6. A szak törzsanyagának leírása; (Legfeljebb 1-2 oldal terjedelemben) A szak törzsanyagára jellemző ismeretkörök (alapozó modulok, szakmai törzsmodulok) összefoglaló kibontása a kredithatárok megadásával; Törzsanyag (kötelező ismeretkörök): alapozó modul: Informatikai és természettudományi alapismeretek 3-5 kredit Matematikai alapismeretek 9-15 kredit Vektortér, bázis, dimenzió, alterek. Faktortér, direkt összeg. Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér. Determináns, kifejtési tétel. A mátrixok algebrája, invertálhatóság, rang. Lineáris egyenletrendszerek, megoldhatóság, Cramer-szabály. Valós számok. Számsorozatok. Bolzano-Weierstrass tétel, Cauchy-féle konvergencia kritérium. Számsorok. Függvénysorozatok és függvénysorok. Hatványsorok, elemi függvények. Topológiai alapismeretek a számegyenesen. Valós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai. szakmai törzsmodulok: Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Természetes számok, egész számok, racionális számok. Rendezés. Komplex számok, egységgyökök. Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Egyértelmű irreducibilis faktorizáció a test feletti polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest. Többhatározatlanú polinomok gyűrűje, szimmetrikus polinomok. A számelmélet alaptétele. Lineáris kongruenciák, kongruencia rendszerek és lineáris diofantikus egyenletek. Euler- Fermat tétel. Klasszikus kongruencia tételek. Számelméleti függvények. Elemi prímszámelmélet, prímek száma, prímek reciprokainak összege. Irracionális és racionális számok kapcsolata, algebrai és transzcendens számok, nevezetes számelméleti problémák. Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Valós függvények differenciálszámítása. Elemi függvények differenciálhányadosai, differenciálási szabályok, középértéktételek. Magasabbrendű deriváltak, Taylor sorok. Függvényvizsgálat a differenciálszámítás eszközeivel. Primitív függvény, módszerek a primitív függvények meghatározására. Valós függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemann integrál alapvető tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Az euklideszi sík és tér. Egyenesek és síkok párhuzamossága, távolsága és szöge. Egybevágóságok osztályozása a síkon, és a térben. Hasonlóságok a síkban és térben, osztályozásuk. Poliéderek, szabályos testek. A terület- és térfogatmérés geometriai megalapozása. Affin sík és tér. Affin transzformációk. Az affin sík és tér projektív kibővítése. A projektív sík. Vektorműveletek az euklideszi vektortérben. Másodrendű görbék és felületek. Az n-dimenziós euklideszi vektortér. Ortogonális transzformációk. Síkok és hipersíkok az n-dimenziós térben. Az n-dimenziós affin tér és affin transzformációk

9 Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek) A várható főbb szakirányú modulok rövid leírása Matematikus szakirány Algebra és számelmélet 6-12 kredit Diofantikus problémák, a geometriai számelmélet elemei. Fejezetek a modern számelméletből, alkalmazások. Sajátérték, sajátaltér, invariáns altér. Karakterisztikus polinom. Bilineáris formák és kvadratikus alakok. Euklideszi terek, ortonormált bázis, altér ortogonális komplementuma. Önadjungált és ortogonális transzformációk. Főtengely-transzformáció. Algebrai struktúrák, faktorstruktúrák, homomorfizmusok. A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel. Permutációcsoportok, Cayley-tétel. Csoportok hatása halmazokon. Csoportkonstrukciók, a véges Abel-csoportok alaptétele. Gyűrűelméleti alapfogalmak. Kommutatív gyűrűk ideáljai és oszthatósági kérdései. Integritástartomány hányadosteste. Egyértelmű prímfaktorizáció integritástartományokban. Főideálgyűrűk, euklideszi gyűrűk. Testbővítések. Véges testek és alkalmazásaik: algebrai kódok. Az absztrakt algebra alkalmazásai. Analízis kredit Sorozatok R n -ben. Topológiai alapismeretek R n -ben. Többváltozós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai. Többváltozós függvények differenciálszámítása. Iránymenti és parciális derivált. A differenciálhatóság elegendő feltétele. Többváltozós függvények szélsőértékszámítása. Integrálfogalmak többváltozós függvényekre. Improprius integrálok. Az integrálok kiszámítása. Mérték, külső mérték, mértéktér. Lebesgue-féle mérték. Az integrál és tulajdonságai. Fubini-tétel. A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata. Függvényterek. Komplex függvények differenciálhatósága. Analitikus függvények és tulajdonságaik. Cauchy-Riemann-egyenletek. Cauchy-féle integráltétel. Reziduum tétel. Nevezetes egész függvények hatványsora. Közönséges differenciálegyenletek. Egzisztencia- és unicitás tételek. Elemi úton megoldható differenciálegyenletek. A lineáris differenciálegyenlet rendszerek és differenciálegyenletek elmélete. Geometria 4-12 kredit Konvex halmazok, konvex burok. Konvex halmazok elválasztási és metszési tulajdonságai. Differenciálható görbék. Görbület, torzió. A görbeelmélet alaptétele. Felületek az euklideszi térben, különböző megadási módjaik. Az érintősík. A felület metrikus alapformája. Párhuzamos eltolás felületen. Normálgörbület, főgörbületek, főirányok, szorzat és összeggörbület. Az ívhossz variációs problémája. Geodetikusok, geodetikus görbület. A geodetikusok minimalizáló tulajdonsága. Kombinatorika 4-8 kredit Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula. Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok. Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel. Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra és gráfok. Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben. A matematika alapjai 3-6 kredit Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok. Kiválasztási axióma. Transzfinit indukció és rekurzió. Rendszámok és összehasonlításuk. Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái, igazságfüggvényük. Konjunktív és diszjunktív normálforma. Boole-függvények. Levezetések. Az ítéletkalkulus teljességi tétele. Kompaktsági tétel. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. A predikátumkalkulus kifejezései és formulái. Levezetések. A prédikátumkalkulus ellentmondás mentessége

10 Alkalmazott matematika kredit Eseményalgebrák, Kolmogov-féle valószínűségi mező. Valószínűségi változók és vektorváltozók eloszlása, eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvény. Függetlenség: események, valószínűségi változók. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. Várható érték egy- és többdimenzióban, tulajdonságai. Szórás, kovarianciamátrix. Medián. 1 valószínűségű, sztochasztikus és Lp-konvergencia, kapcsolatuk, valószínűségi metrikák. Nagy számok gyenge és erős törvényei. A mértékek gyenge konvergenciája, kapcsolata a sztochasztikus konvergenciával. Karakterisztikus függvény és alapvető tulajdonságai. Inverziós formulák. Eloszlásbeli konvergencia, folytonossági tétel. A centrális határeloszlás-tétel A feltételes várható érték és feltételes valószínűség általános fogalma. Legegyszerűbb tulajdonságok, konvergencia-tételek. Jensen-egyenlőtlenség. Statisztikai minta, mintavételezés. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény, tapasztalati becslések, Glivenko-Cantelli-tétel. Fisher-féle információ, függetlenek együttes információja, statisztika információja, információ és átparaméterezés. Pontbecslések: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás. Rao- Blackwell-tétel. Teljesség. Cramér-Rao-egyenlőtlenség. Becslési módszerek: momentum-módszer, maximumlikelihood becslés. A ML-becslés aszimptotikus tulajdonságai. Statisztikai hipotézisvizsgálati alapfogalmak. A Neyman-Pearson-lemma. A próba erejének aszimptotikája. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák: u-, t- és F-próba, Fisher-Bartlett-tétel. Khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitásés függetlenségvizsgálatra. Becsléses illeszkedésvizsgálat. Többdimenziós normális eloszlás, paraméterek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió. Lineáris modell, becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellben. Szórásanalízis. Nevezetes mátrix transzformációk (lineáris rendszerek, illetve sajátérték feladatok megoldására). Gauss-elimináció és változatai (algoritmusai, műveletigénye, főelemválasztás; nem teljes Gauss-elimináció). Mátrixok felbontásai (Schur, LU, LDU, Cholesky, QR). Lineáris és nemlineáris rendszerek iterációs megoldása (Gauss-Seidel, konjugált gradiens; Newton-módszer, lokális és globális konvergencia, Broyden-módszer). Sajátérték feladatok (hatványmódszer, inverz iteráció, eltolás, QR). Interpolációs és approximációs feladatok (Lagrange, Hermite, spline; Csebisev-approximáció). Kvadratúraformulák (Newton-Coates, Gauss). Lineáris programozási feladatra vezető problémák; konvex poliéderek extremális pontjai; a szimplex módszer, érzékenységvizsgálat, dualitás, Farkas-tétel. Szállítási és hozzárendelési modell, hálózati modellek. Speciális lineáris programozási modellek. Informatika 3-25 kredit Matematikai programcsomagok: szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek ábrázolása. Lineáris algebrai, analízisbeli feladatok megoldása. Számelméleti, komputeralgebrai programcsomagok. A numerikus analízis eljárásai. Statisztikai programcsomagok. Matematika tanári szakirány Algebra és számelmélet 4-8 kredit Algebrai struktúrák, faktorstruktúrák, homomorfizmusok. A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel. Permutációcsoportok, Cayley-tétel. Csoportok hatása halmazokon. Csoportkonstrukciók, a véges Abel-csoportok alaptétele. Gyűrűelméleti alapfogalmak. Kommutatív gyűrűk ideáljai és oszthatósági kérdései. Integritástartomány hányadosteste. Egyértelmű prímfaktorizáció integritástartományokban. Főideálgyűrűk, euklideszi gyűrűk. Testbővítések. Analízis 5-10 kredit Sorozatok R n -ben. Topológiai alapismeretek R n -ben. Többváltozós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai. Többváltozós függvények differenciálszámítása. Iránymenti és parciális derivált. A differenciálhatóság elegendő feltétele. Többváltozós függvények szélsőértékszámítása. Integrálfogalmak többváltozós függvényekre. Improprius integrálok. Az integrálok kiszámítása. Közönséges differenciálegyenletek. Elemi úton megoldható differenciálegyenletek. Geometria 7-12 kredit Projektív geometria, projektív tér, projektív transzformációcsoport és nevezetes részcsoportjai. Geometriák és modelljeik. Nemeuklideszi geometriák

11 Differenciálható görbék. Görbület, torzió. A görbeelmélet alaptétele. Felületek az euklideszi térben, különböző megadási módjaik. Kombinatorika 3-6 kredit Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula. Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok. Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel. Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra és gráfok. A matematika alapjai 3-6 kredit Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok. Kiválasztási axióma. Transzfinit indukció és rekurzió. Rendszámok és összehasonlításuk. Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái, igazságfüggvényük. Konjunktív és diszjunktív normálforma. Boole-függvények. Levezetések. Az ítéletkalkulus teljességi tétele. Kompaktsági tétel. Elsőrendű nyelvek és struktúrák. A predikátumkalkulus kifejezései és formulái. Levezetések. A prédikátumkalkulus ellentmondás mentessége. Valószínűségszámítás 4-8 kredit Eseményalgebrák, Kolmogorov-féle valószínűségi mező. Klasszikus valószínűségi mező, valószínűségek meghatározása kombinatorikus és geometriai módszerekkel. Poincaré-formula. Feltételes valószínűség, események függetlensége. Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel. Valószínűségi változó és jellemzői: eloszlás- és sűrűségfüggvény, várható érték, szórás, medián. Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások (binomiális, Poisson-, negatív binomiális, Pascal-eloszlás, illetve egyenletes, exponenciális, normális eloszlás). Markov- és Csebisevegyenlőtlenségek. Generátor- és karakterisztikus függvény fogalma és alapvető tulajdonságai. Több valószínűségi változó együttes eloszlása, valószínűségi változók függetlensége. Eloszlások konvolúciója. Feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvény, Feltételes várható érték. Kovariancia és korrelációs együttható. Többdimenziós normális eloszlás. Lineáris regresszió. Konvergencia fogalmak, nagy számok törvénye, centrális határeloszlás tétel. Informatika 2-4 kredit Matematikai programcsomagok: szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek ábrázolása. A matematika története 2-4 kredit A matematika alapjainak lerakása. A görög matematika jellemzői, nagy görög matematikusok. A középkor matematikája: Kína, India, az arabok, Európa. A matematika főbb ágainak fejlődése: geometria, analízis, algebra, számelmélet, valószínűségszámítás. A magyar matematika története, Appendix. A matematika-b szakos alapszintű és mesterszintű tanári képzésben a korábbiaknak megfelelően formában jelenik meg a tanári képesítés követelményeiről szóló 111/1997 (VI.27.) Kormányrendelet előírásainak megfelelő pedagógiai, pszichológiai, szakmódszertani képzés és a megfelelő összetételű tanítási gyakorlat

12 7. A szakképzettségben elvárt kompetenciák; (kapcsolódva a szakirányokhoz) A matematika alapképzésben részesült hallgatók a képzés során elsajátítják a matematika alapvető módszereinek alkalmazását, olyan ismereteket szereznek, amelyek alapján a mesterképzésbe léphetnek. Ismerik további matematikai módszerek, elvek megszerzésének módjait és a kutatás fő módszereit. El tudják dönteni, hogy a birtokukban lévő módszerek milyen vonatkozásban alkalmasak egy bizonyos probléma megoldására. A felmerülő problémákra tudnak különböző megoldásokat javasolni. A matematikai elemzések eredményeit hatékonyan tudják kommunikálni, idegen nyelven és az informatika eszközeit is felhasználva. Képesek továbbképzések segítségével új kompetenciákat elsajátítani. Megérettek arra, hogy felelősségteljes állást töltsenek be, alkalmasak önálló döntéshozatalra, tevékenységüket minőségtudattal és sikerorientáltan végzik. A tanári szakirányon alapképzésében részesült hallgatók képesek önállóan részt venni az iskola alapvető oktatási és szabadidős tevékenységeinek szervezésében, igazgatási rendszerének adminisztratív segítésében, az oktatás előkészítésében, oktatási segédanyagok készítésében. A mesterképzésben részesült tanárszakos hallgatók önállóan és kreatívan képesek az 5-12 osztályokban szakjaiknak megfelelő oktatási tevékenységet végezni. Szakmailag alkalmasak az oktató-nevelő munkára. 8. Az elméleti és gyakorlati képzés arányai; A képzésben a gyakorlati órák aránya legalább 30%. A gyakorlati képzés az elméleti anyag mélyebb megértését szolgálja. A tanári szakon a gyakorlati képzés egyik fő célja a tanári mesterség elsajátítása, szakmódszertani órák és a tanítási gyakorlat keretében. 9. Az ismeretek ellenőrzési rendszere, ezen belül kiemelten; a) A vizsga előírások megadása. A szakokat indító intézmények saját hatáskörben szabályozzák az intézményi Tanulmányi és Vizsgaszabályzattal figyelembe véve a 77/2002 (IV.13.) rendelet előírásait. b) a szakdolgozat követelményei és a hozzá rendelt kreditek száma Alapképzésben a szakdolgozatban a hallgatónak tanúságot kell adni arról, hogy önállóan képes valamely (elméleti vagy gyakorlatorientált) összetett matematikai probléma megoldására, összefüggéseiben felhasználva a képzés során elsajátított egy- vagy többféle matematikai módszert. A szakdolgozat kreditszáma 15. c) a záróvizsgára bocsátás feltételei (az Ftv. 95. (3) szerint), A záróvizsgára bocsátás feltétele az előírt számú és összetételű kreditek alapján kiadott abszolutórium megszerzése, valamint az alapképzés szintjén középfokú A vagy B típusú, vagy alapfokú C típusú állami vagy azzal egyenértékű nyelvvizsga letétele valamely idegen nyelvből, melyen a matematikának tudományos irodalma van. (Mesterszinten C típusú középfokú, fentieknek megfelelő nyelvvizsga szükséges)

13 d) a záróvizsga, - részei (szóbeli) Matematika alapképzés, matematikus szakirány: A záróvizsga részei: szakmai felelet a differenciált szakmai anyagból (min. 20 kredit) a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint. Matematika alapképzés, B (másik szak) szakiránnyal: A záróvizsga részei: szakmai felelet matematikából (min. 20 kredit) szakmai felelet a B szakból (min. 15 kredit) tanári képesítő vizsga a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint. 10. A szak (szakterület) szempontjából lényeges más rendelkezések;

14 MELLÉKLET Útmutató A mesterszintű matematikus szak képesítési követelményei Az alábbiakban az alapszintű matematikus szakra épülő egy lehetséges mesterszak képesítési követelményeit írjuk le, melytől a későbbiekben ténylegesen megalapítandó mesterszintű matematikus szak eltérhet. A szak megnevezése: matematika Képzési szint: mesterképzés (MSC) Szakképzettség megnevezése: mesterszintű matematikus Besorolás képzési terület/képzési ág szerint: Természettudományos képzési terület, Matematikatudomány képzési ág A szak tudományági besorolása: Természettudományok Matematika és számítástudományok A szak megfeleltetése a korábbi végzettség és szakképzettség szerint: 166/1997 (X.3.) egyetemi szintű matematikus szak 77/2002 (IV.13.) kredites képesítési követelményeket leíró rendelet A szak létesítésének előzményei: A korábbi nemzetközi mércével mérve magas színvonalon folyó matematikus képzés legfőbb értékeit visszük át a lineáris (kétfokozatú) képzési modellbe. A szakképzettség várható hasznosítási területe: A mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a korábbi matematikus, alkalmazott matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják egyrészt a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, másrészt a szakma kutatói utánpótlását és a felsőoktatás számára az oktatói utánpótlást. Rövid nemzetközi összehasonlítás az új szak vonatkozásában - különös tekintettel az Európai Felsőoktatási Térségre; Az Európai Felsőoktatási Térség alapvető eszméinek megfelelően az a célunk, hogy hazai és nemzetközi értelemben véve konvertibilis szakot hozzunk létre. Ezt a konvertibilitást hazai értelemben biztosítják az előzetes egyeztetések az ország összes egyeteme és főiskolája között, amelyek jelenleg részt vesznek a matematikus, illetve matematika tanári szak képzésében. Nemzetközi értelemben a konvertibilitást a magyar matematika oktatás tradicionálisan magas színvonala biztosítja. A képzési időre vonatkozó javaslat indoklása, kamarák, a szakmai testületek állásfoglalásainak, ajánlásainak figyelembe vételével; A képzési idő 4 félév a mesterképzések szokásos képzési idejének megfelelően. Az alapszintű matematikus szakra építve ezen képzési idő alatt elérhető ugyanaz a képzési színvonal, amelyet a korábban működő matematikus szakok képviseltek. A szak képzési céljának és követelményeinek a rokon szakokkal történő összehasonlítása, illetve a karakterisztikus különbségek (szaktávolság) bemutatása; A matematika tudományterületén ez az első mesterképzési szak (MSC)

15 A képzési cél. Tudományos szintű szaktudással rendelkező szakemberek képzése, akik összetett elméleti és gyakorlati matematikai problémák kreatív, a matematikai módszereket eredeti formában felhasználó megoldására és ismereteik önálló továbbfejlesztésére képesek. A végzettség szintje: mesterképzés (MSc) Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése: mesterszintű matematikus A képzésbe való belépés előfeltétele: matematika alapképzési oklevél, matematikus szakirányon A képzési idő, megszerzendő kreditek: - félévek száma: 4 - a tanórák (minimálisan szükséges kontaktórák) száma; 1150 óra - az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma; 120 A képzés főbb tanulmányi területei Algebra és számelmélet (9-15 kredit) Szabad csoportok, definiáló relációk, Sylow tételek, kis elemszámú csoportok, feloldható csoportok. Permutációcsoportok, lineáris csoportok, a csoportreprezentáció alapjai. Testbővítések, felbontási test, Galois elmélet, magasabb fokú egyenletek megoldhatósága, a geometriai szerkeszthetőség elmélete. Az algebrai, geometriai és analitikus számelmélet elemei. Alkalmazások az additív és diofantikus számelméletben. Fejezetek a modern számelméletből. Algoritmusok a prímszámelméletben és a diofantikus egyenletek elméletében. A számelmélet alkalmazásai a kriptográfiában. Prímtesztek és prímfaktorizáció. Algebrai algoritmusok. Analízis (12-20 kredit) Lineáris topologikus és normált terek. Vektortopológiák generálása. Korlátosság, teljesség, kompaktság. Korlátos lineáris operátorok és funkcionálok. Baire-féle kategória tétel és alkalmazásai. Nyilt leképezés tétel. Zárt gráf tétel. Banach- Steinhaus-tételek. Hahn-Banach-tétel. Gyenge és gyenge*-topológiák. Reflexív terek. Hilbert terek. Ortonormált rendszerek. Ortogonális sorok. Ortogonális felbontási tétel. Riesz reprezentációs tétele. Adjungált operátor. Normális, unitér és önadjungált operátorok. Banach algebra. Spektrum, spektrálsugár. Kompakt operátorok, spektrum, spektráltétel. Hilbert-Schmidt-tétel, Fredholm-féle alternatíva. Fredholm- és Volterra-féle integráloperátorok. Alapfogalmak. Átviteli elv. Elemi módszerek. Gronwall-egyenlőtlenség, Lipschitz-függvények. Cauchy-feladat elsőrendű explicit vektor differenciálegyenletre. Elsőrendű lineáris vektor differenciálegyenletek. Magasabbrendű lineáris skalár differenciálegyenletek. Autonóm differenciálegyenletek és rendszerek. Első integrálok. Megoldások stabilitása. Ljapunov-függvény. Stabilis és instabilis sokaságok. Periódikus megoldások. Peremérték feladatok lineáris diff.egyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenlet. Alapfogalmak, elemi módszerek. Karakterisztikus függvénye, elsöintegrálok. Elsőrendű kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchy-feladat hiperbolikus egyenletekre. Szukcesszív approximáció, Riemann- függvény. Vegyes feladat hullámegyenletre, Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel, Fourier-módszer. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Fourier transzformáció. Peremérték feladatok potenciálegyenletre. Maximum-tétel. Harmonikus függvények. Green-függvény, Poisson-formula. Geometria (9-15 kredit) Topológikus terek, környezetbázisok, folytonosság, homeomorfizmus. Topológiák összehasonlítása. Konvergencia és folytonosság. Kompakt és lokálisan kompakt terek. Kompakt szorzatok. Kompaktifikáció. Kompakt-nyílt

16 topológia. Normális terek és parakompakt terek. Egységfelosztás. Teljesen reguláris terek. Metrizálhatóság. Uniform terek, egyenletes folytonosság. A differenciálható sokaság fogalma. Érintőtér, érintő nyaláb. Globális felületelmélet. Gauss-Bonnet tétel. Riemann sokaságok. Levi-Civita konnexió, párhuzamos eltolás. Görbület, konstans görbületű terek. A geodetikusok variációs elmélete. Jacobi vektormezők, a konjugált pontok elmélete. Projektív síkok és terek. Záródási tételek a síkon és koordinátázásuk. Az asszociativitás és kommutativitás geometriai feltételei. Kollineációk és korrelációk. Nevezetes kollineáció részcsoportok. A nem-euklideszi geometriák projektív modelljei. Véges projektív síkok. Oválisok és másodrendű görbék, Segre tétele. Halmazelmélet és matematikai logika (3-5 kredit) Elsőrendű nyelvek és struktúrák. Axiómarendszerek. Teljességi és kompaktsági tétel. A halmazelmélet axiomái. A rendszámok elmélete. A kiválasztási axióma és a jólrendezési tétel. A számosságoperáció. Számosság aritmetika. Alkalmazott matematika (12-20 kredit) Négyzetesen integrálható folyamatok. Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők. Az idősorok analízisének elemei. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik. Az Ito-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok. Többdimenziós normális eloszlás, határeloszlás tételek. Nemparaméteres próbák tulajdonságai, aszimptotikája, alkalmazásai <chi-négyzet, Mann-Whitney-, Kolmogorov-Szmirnov-próbák>. Többváltozós nemparaméteres próbák. Becslés és hipotézisvizsgálat a lineáris modellben, a lineáris modellek alkalmazásai. Kísérlettervezés. Idősorok analízise, trend, szezonalitás. Folyamatellenőrzés. A maximum likelihood becslés és a likelihood hányados próba asszimptotikájának bizonyítása. Nemlineáris programozási problémák és megoldási módszerek: hiperbolikus, kvadratikus, konvex programozás, gradiens módszer. Diszkrét programozás: leszámlálási algoritmusok, leszámlálási struktúrák, korlátozás és szétválasztás módszere. Vegyes matematikai programozási feladatok megoldási módszerei. Dinamikus programozás. Sztochasztikus programozás. Hálótervezéses módszerek: CPM, PERT. Készletgazdálkodási problémák. Differenciálegyenletek közelítő megoldása. Az eljárások konvergenciája, ill. hibájának becslése. Spline interpoláció. Szakdolgozat: Egyéb, szabadon választható szakmai ismeretek: 15 kredit kredit Összesen: 120 kredit A szakképzettségben elvárt kompetenciák: A mesterszintű matematikus képzésben a hallgatók tudományos igényű ismeretekre tesznek szert matematikából. Képesek a matematikában az ismeretek rendszerezett megértésére és elsajátítására, absztrakt fogalmi gondolkodásra. Képesek rendszerszerűen és kreatívan új és összetett témakörökkel foglalkozni, döntést hozni, hiányos adatok birtokában is helytálló véleményt alkotni. Munkájában a kezdeményezés és a személyes felelősség vállalása jellemzi. Az elméleti és gyakorlati képzés arányai A képzésben a gyakorlati órák aránya legalább 10%. A gyakorlati képzés az elméleti anyag mélyebb megértését szolgálja

17 Az ismeretek ellenőrzési rendszere, ezen belül kiemelten a) A vizsga előírások megadása: A szakokat indító intézmények saját hatáskörben szabályozzák az intézményi Tanulmányi és Vizsgaszabályzattal figyelembe véve a 77/2002 (IV.13) rendelet előírásait. b) a szakdolgozat követelményei és a hozzá rendelt kreditek száma A mesterképzésben a szakdolgozatban a hallgatónak tanúságot kell adni arról, hogy kreatívan képes valamely összetett elméleti matematikai probléma megoldására, alkotó módon felhasználva és továbbfejlesztve a képzés során elsajátított matematikai módszereket. A szakdolgozat kreditszáma 15. c) a záróvizsgára bocsátás feltételei (az Ftv. 95. (3) szerint), A záróvizsgára bocsátás feltétele az előírt számú és összetételű kreditek alapján kiadott abszolutórium megszerzése, valamint C típusú középfokú állami vagy azzal egyenértékű nyelvvizsga letétele valamely idegen nyelvből, melyen a matematikának tudományos irodalma van. d) a záróvizsga, - részei (szóbeli) A záróvizsga részei: szakmai felelet (min. 20 kredit) a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint