Kérelem matematika alapképzési szak létesítésére. Szakirányok: matematikus szakirány matematika-x szakos tanári szakirány

Átírás

1 2004/3/II/3 sz MAB határozat Útmutató Kérelem matematika alapképzési szak létesítésére Szakirányok: matematikus szakirány matematika-x szakos tanári szakirány

2 1 számú útmutató A felsőoktatási intézmények által benyújtott, alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelem Tartalomjegyzék I Adatlap 3 Benyújtó intézmények vezetőinek cégszerű aláírása 5 II Szaklétesítési kérelem indoklása 6 III A szak képesítési követelményei 8 Összefoglaló táblázat matematikus szakirány 9 matematika-x szakos tanári 10 szakirány Törzsanyag, differenciált szakmai anyag leírása Kompetenciák, elméleti-gyakorlati képzés aránya, ismeretek ellenőrzési rendszere A mesterszintű matematikus szak képesítési követelményei Szakmai egyeztetés jegyzőkönyve, A bizottságban résztvevők felhatalmazásai Jegyzőkönyv a felhasználói szférával történt egyeztetésről (MTA Matematikai Bizottságában)

3 1 számú útmutató A felsőoktatási intézmények által benyújtott, alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelem Kérjük, hogy a beadásra kerülő kérelmeket a könnyebb kezelhetőség érdekében tartalomjegyzékkel és folyamatos oldalszámozással lássák el! Kérjük továbbá, hogy a kérelmeket kétoldalas nyomtatásban juttassák el hozzánk A kérelem címzettje: az oktatási miniszter Véleményező: a Magyar Akkreditációs Bizottság I Adatlap 1 A kérelmező felsőoktatási intézmény neve, címe (amennyiben több intézmény együttesen nyújt be kérelmet, fel kell tüntetni valamennyi intézmény nevét és címét) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem,1111 Budapest, Műegyetem rkp 3 Debreceni Egyetem, 4010 Debrecen, Egyetem tér 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem, 1053 Budapest, Egyetem tér 1-3 Pécsi Tudományegyetem, 7633 Pécs, Szántó Kovács János u 1/b Szegedi Tudományegyetem, 6725 Szeged, Dugonics tér 1 Berzsenyi Dániel Főiskola, 9700 Szombathely, Károlyi Gáspár tér 4 Eszterházy Károly Főiskola, 3300 Eger, Eszterházy tér 1 Nyíregyházi Főiskola, 4400 Nyíregyháza, Sóstói u 31/b 2 A kérelem tárgya matematika alapképzési szak létesítése 3 A szak megnevezése matematika alapképzési szak 4 A szakképzettség megjelölése alapokleveles matematikus (matematikus szakirány, matematika-x szakos tanári szakirány) 6 A továbblépésre lehetőséget nyújtó mester szakok megnevezése matematikus, alkalmazott matematikus, matematika-x szakos tanár (kétszakos) Megjegyzés: az anyag tartalmazza a matematika-x szakos tanári alapképzés és mesterképzés leírását, csatoljuk a mesterszintű matematikus szak leírását

4 1 számú útmutató A felsőoktatási intézmények által benyújtott, alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelem 7 A szak javasolt képzési terület/ képzési ág szerinti besorolása Természettudomány képzési terület Matematikatudomány képzési ág 8 A szak javasolt tudományági besorolása (a 169/2000 (IX 29) Korm rendelet melléklete szerint) Természettudományok -- Matematika és számítástudományok 9 A szak megfeleltetése a korábbi végzettség és szakképzettség szerint (a szak jelenleg meglévő, elfogadott képesítési követelményei rendeletszámának megadása) 166/1997 (X3) rendelet: egyetemi szintű matematikus szak, egyetemi szintű matematika tanári szak, főiskolai szintű matematika tanári szak 193/2000 (XI24) alkalmazott matematikus szak 200/2000 (XI29) a kreditrendszer bevezetéséről 77/2002 (IV13) képesítési követelmények kreditrendszerű leírása 10 Dátum, és az intézmény(ek) felelős vezetőjének megnevezése, cégszerű aláírása, vagy az együttesen benyújtó intézmények elfogadó nyilatkozata Mellékeljük a benyújtó intézmények vezetőinek nyilatkozatát 11 Az adatlap mellékletei - Utólag fogjuk csatolni a benyújtó intézmények tanácsainak határozatát a szak létesítésének kezdeményezésére - Mellékeljük a szakmai egyeztetés jegyzőkönyvi kivonatát és az egyeztetésben résztvevő szakmai képviselők felhatalmazását - Mellékeljük a felhasználói szférával folytatott egyeztetés jegyzőkönyvi kivonatát (kivonat az MTA Matematikai Bizottságának ezzel kapcsolatos üléséről)

5 1 számú útmutató A felsőoktatási intézmények által benyújtott, alapképzési (Bachelor) szakok létesítésére irányuló kérelem Mint a benyújtó intézmények vezetői nyilatkozunk, hogy a matematika alapképzési szak alapítására vonatkozó kérelmet támogatjuk: Dr Detrekői Ákos rektor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Dr Imre László rektor Debreceni Egyetem Dr Klinghammer István rektor Eötvös Loránd Tudományegyetem Dr Lénárd László rektor Pécsi Tudományegyetem Dr Szabó Gábor rektor Szegedi Tudományegyetem Dr Gadányi Károly rektor Berzsenyi Dániel Főiskola Dr Hauser Zoltán rektor Eszterházy Károly Főiskola Dr Balogh Árpád rektor Nyíregyházi Főiskola

6 II A szaklétesítési kérelem indoklása 1 A szak létesítésének előzményei A matematika tanári szak, a matematikus szak (a később beindult alkalmazott matematikus szakkal együtt) évtizedek óta meghatározó felsőoktatási képzési forma a matematika tudományterületen Ezen képzési formák legfőbb értékeit visszük át a lineáris, kétfokozatú képzési rendszerbe, amellett, hogy a képzés szerkezetét rugalmasabbá kívánjuk tenni Ezen szakok oktatásának mind személyi, mind infrastrukturális, mind kutatási feltételei megvannak a kérelmező intézményekben, a matematika tanári és matematikus képzés hagyományosan, nemzetközi mércével mérve is magas színvonalon folyik 2 A szakképzettség várható hasznosítási területe a munkaerő-piaci, társadalmi igény a bemutatásával Mindkét szakirány egyik alapvető célja, hogy a hallgatókat felkészítse a megfelelő mesterképzésben való részvételre Az alapképzés matematika tanári szakirányát végzett hallgatók részt vesznek az iskolákban a szakterületükhöz kötődően az oktatás előkészítésében, szervezésében, oktatási segédanyagok készítésében A mesterképzésben részt vett matematika tanárok iránti igényt indokolja, hogy a matematika tárgy az általános iskolákban és középiskolákban a többi tárgyhoz képest magas óraszámban (heti 3-7 óra) kerül oktatásra, mint az alapműveltség egyik legfontosabb diszciplínája Az alapszintű matematikusok műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen képesek szaktudásukat alkalmazni, melyre az egyre szigorodó gazdasági-piaci körülmények között a biztonsággal működni kívánó gazdasági egységeknek alapvető szükségük van Továbbá a mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a korábbi matematikus, alkalmazott matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják egyrészt a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, másrészt a szakma kutatói utánpótlását és a felsőoktatás számára az oktatói utánpótlást 3 Rövid nemzetközi összehasonlítás az új szak vonatkozásában - különös tekintettel az Európai Felsőoktatási Térségre Az Európai Felsőoktatási Térség alapvető eszméinek megfelelően az a célunk, hogy hazai és nemzetközi értelemben véve konvertibilis szakot hozzunk létre Ezt a konvertibilitást hazai értelemben biztosítják az előzetes egyeztetések az ország összes egyeteme és főiskolája között, amelyek jelenleg részt vesznek a matematikus, illetve matematika tanári szak képzésében Nemzetközi értelemben a konvertibilitást a magyar matematika oktatás tradicionálisan magas színvonala biztosítja

7 4 A képzési időre vonatkozó javaslat indoklása, kamarák, a szakmai testületek állásfoglalásainak, ajánlásainak figyelembe vételével A Nemzeti Bologna Bizottság állást foglalt amellett, hogy az alapdiplomát 180 kredit teljesítésével (6 félév alatt) célszerű kiadni Megállapítható azonban, hogy ezen időkeretben/kreditmennyiségben csak egy alap -szakképzettség kompetenciái sajátíthatóak el Éppen ezért ugyanezen testület 30 további gyakorlati kredit megadását javasolja (+1 félév tanulmányi idő beiktatásával) abból a célból, hogy a hallgatók szakképesítését támogassa Így a szerezhető teljes kreditszám 210 Emellett szükséges, hogy az alapképzésre épülő mester képzések négy félévesek (120 kredit) legyenek A mester fokozat elérése ezzel az eddigiekhez képest összességében egy félévvel (30 kredit) megnő Megjegyezzük azonban, hogy a kétszakos tanárképzés kreditszáma eddig is 330 volt 5 A szak képzési céljának és követelményeinek a rokon szakokkal történő összehasonlítása, illetve a karakterisztikus különbségek (szaktávolság) bemutatása A matematika tudományterületén ez az első alapképzési szak (BSC)

8 III A szak képesítési követelményei (Az alapképzési (Bachelor) szak képesítési követelményeinek teljes körű kidolgozása szükséges a kormányrendeletben, ill miniszteri rendeletben megjelentethető alábbi formában, az Ftv 129 szerint) 1 A képzési cél Magas szintű szaktudással rendelkező szakemberek képzése --A matematikus szakirányt végzett hallgatók olyan elméleti és alkalmazott matematikai ismeretekkel rendelkeznek, melyek képessé teszik őket arra, hogy alapszintű matematikai ismereteiket műszaki, gazdasági, statisztikai és számítógépes területen alkalmazzák, továbbá megszerzett tudásuk alkalmassá teszi őket arra, hogy további két éves mesterképzés után matematikus, alkalmazott matematikus, gazdasági és pénzügyi matematikus, illetve műszaki matematikus diplomát kapjanak, --A tanári szakirányt végzett hallgatók képesek közreműködni a matematika oktatás előkészítésében, szervezésében, oktatási segédanyagok készítésében, és további két éves mesterképzés után alkalmasak arra, hogy matematikát tanítsanak különböző iskolatípusokban az 5-12 osztályos tanulóknak Ennek megfelelően biztos és magas szintű szakmai tudással, nagy áttekintéssel rendelkeznek és megfelelő elméleti és gyakorlati jártasságot szereztek a matematika oktatásában 2 A végzettség szintje (BA, BSc) alapképzés (BSc) 3 Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése (ha szükséges, a szakirányok megjelölésével) Alapokleveles matematikus, matematikus szakiránnyal Alapokleveles matematikus, matematika-x szakos tanári szakiránnyal A tanári szakirányban a matematika mellé más természettudományi, bölcsészettudományi, informatikai vagy társadalomtudományi alapszakok társíthatók 4 A képzési idő, megszerzendő kreditek: - félévek száma: a tanórák (minimálisan szükséges kontaktórák) száma: 2000 óra - az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma: A képzés főbb tanulmányi területei és azok arányai: az egyes tanulmányi területekhez rendelt kredithatárok megadásával (tól ig) az alábbi bontásban:

9 Matematikus szakirány: Törzsanyag (kötelező ismeretkörök, a két szakirányban közösen): alapozó modul Matematikai alapismeretek 9-15 kredit Informatikai alapismeretek 3 kredit Természettudományi alapismeretek 3 kredit szakmai törzsmodulok Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Összesen: kredit Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek) Algebra és számelmélet 6-12 kredit Analízis kredit Geometria 4-12 kredit Kombinatorika 4-8 kredit A matematika alapjai 3-6 kredit Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 8-15 kredit Alkalmazott matematika 7-15 kredit Informatika 3-25 kredit Összesen: kredit Egyéb, szabadon választható (részben gyakorlatorientált) szakmai ismeretek kredit Szakdolgozat 15 kredit Összesen: 210 kredit

10 Matematika-X szakos tanári szakirány: A Természettudományi Karok közös állásfoglalása szerint (az alap- és mesterképzésben) kétszakos tanárokat képzünk, két azonos súlyú (diszciplináris) szakkal, az egységes tanárképzés szellemében, mely hallgatók a mesterképzés elvégzése után jogosultak az 5-12 osztályban tanítani A matematika alapképzésre felvett hallgatók a második félév után dönthetnek arról, hogy tanárképzésben vesznek részt, és választhatják meg másik szakjukat (X szak) Az alapképzésben és a mesterképzésben összességében az alábbi krediteket kell teljesíteniük: Alapképzés (210 kredit) oklevél megnevezése:alapokleveles matematikus,matematika-x szakos tanári szakiránnyal 90 kredit matematika, mely tartalmazza a törzsanyagot matematikából, valamint a differenciált szakmai anyag Algebra és számelmélet, Analízis, Geometria, Valószínűségszámítás moduljaiból legalább 3-3 kreditet 75 kredit az X szak szakmai tárgyaiból, mely tartalmazza az X szak alapképzésének törzsanyagát kredit a tanári modulból 15 kredit záródolgozat (matematikából) kredit választható (melyből 10 kredit szabadon választható, 5-10 kredit szakmai kötelezően választható) Mesterképzés (120 kredit) oklevél megnevezése: matematika-b szakos tanár 20 kredit matematika 35 kredit X szak kredit tanári modul (ezen belül 7-7 kredit szakmódszertan matematikából és az X szakból) 15 kredit záródolgozat (matematikából vagy a B szakból) kredit választható A matematika-x szakos alapszintű és mesterszintű tanári képzésben összességében a korábbiaknak megfelelően formában jelenik meg a tanári képesítés követelményeiről szóló 111/1997 (VI27) Kormányrendelet előírásainak megfelelő, összesen 50 kredites pedagógiai, pszichológiai, szakmódszertani képzés és a megfelelő összetételű tanítási gyakorlat Az alapképzésben kredit erejéig 2-3 alapvető pszichológiai ill neveléstudományi tárgy oktatását tervezzük Az alábbiakban azon 110 matematika szakmai kredit tartalmát írjuk le, melyet a hallgatóknak az alap- és mesterképzésben összesen teljesíteniük kell matematikából

11 Törzsanyag (kötelező ismeretkörök, a matematikus szakiránnyal közösen): alapozó modul Matematikai alapismeretek 9-15 kredit Informatikai alapismeretek 3 kredit Természettudományi alapismeretek 3 kredit szakmai törzsmodulok Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Összesen: kredit Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek) Algebra és számelmélet Analízis Geometria Kombinatorika A matematika alapjai Valószínűségszámítás Informatika A matematika története Elemi matematika 4-8 kredit 5-10 kredit 7-12 kredit 3-6 kredit 3-6 kredit 4-8 kredit 2-4 kredit 2-4 kredit 6-12 kredit Összesen: kredit Egyéb, szabadon választható (részben gyakorlatorientált) szakmai ismeretek 5-39 kredit Összesen: 110 kredit

12 6 A szak törzsanyagának leírása; A szak törzsanyagára jellemző ismeretkörök (alapozó modulok, szakmai törzsmodulok) összefoglaló kibontása a kredithatárok megadásával Törzsanyag (kötelező ismeretkörök): alapozó modul: Matematikai alapismeretek 9-15 kredit Vektortér, bázis, dimenzió, alterek Faktortér, direkt összeg Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk Képtér, magtér Determináns, kifejtési tétel A mátrixok algebrája, invertálhatóság, rang Lineáris egyenletrendszerek, megoldhatóság, Cramer-szabály Valós számok Számsorozatok Bolzano-Weierstrass tétel, Cauchy-féle konvergencia kritérium Számsorok Függvénysorozatok és függvénysorok Hatványsorok, elemi függvények Topológiai alapismeretek a számegyenesen Valós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai Informatikai alapismeretek Szövegszerkesztés, az internet használata, matematikai programcsomagok kezelése Természettudományi alapismeretek 3 kredit 3 kredit szakmai törzsmodulok: Bevezetés az algebrába és számelméletbe 6-10 kredit Természetes számok, egész számok, racionális számok Rendezés Komplex számok, egységgyökök Polinomok gyökei Az algebra alaptétele Egyértelmű irreducibilis faktorizáció a test feletti polinomgyűrűkben Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében Test feletti racionális függvénytest Többhatározatlanú polinomok gyűrűje, szimmetrikus polinomok A számelmélet alaptétele Lineáris kongruenciák, kongruencia rendszerek és lineáris diofantikus egyenletek Euler- Fermat tétel Klasszikus kongruencia tételek Számelméleti függvények Elemi prímszámelmélet, prímek száma, prímek reciprokainak összege Irracionális és racionális számok kapcsolata, algebrai és transzcendens számok, nevezetes számelméleti problémák Bevezetés az analízisbe 5-10 kredit Valós függvények differenciálszámítása Elemi függvények differenciálhányadosai, differenciálási szabályok, középértéktételek Magasabbrendű deriváltak, Taylor sorok Függvényvizsgálat a differenciálszámítás eszközeivel Primitív függvény, módszerek a primitív függvények meghatározására Valós függvények Riemann integrálja Integrálhatósági feltételek A Riemann integrál alapvető tulajdonságai A Newton-Leibniz formula Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága Bevezetés a geometriába 3-10 kredit Az euklideszi sík és tér Egyenesek és síkok párhuzamossága, távolsága és szöge Egybevágóságok osztályozása a síkon, és a térben Hasonlóságok a síkban és térben, osztályozásuk Poliéderek, szabályos testek A terület- és térfogatmérés geometriai megalapozása Affin sík és tér Affin transzformációk Az affin sík és tér projektív kibővítése A projektív sík Vektorműveletek az euklideszi vektortérben Másodrendű görbék és felületek Az n-dimenziós euklideszi vektortér Ortogonális transzformációk Síkok és hipersíkok az n-dimenziós térben Az n-dimenziós affin tér és affin transzformációk

13 Differenciált szakmai anyag (kötelezően választandó szakirányú modul amennyiben az létezik, szabadon választható szakmai ismeretek) Matematikus szakirány Algebra és számelmélet 6-12 kredit Diofantikus problémák, a geometriai számelmélet elemei Fejezetek a modern számelméletből, alkalmazások Sajátérték, sajátaltér, invariáns altér Karakterisztikus polinom Bilineáris formák és kvadratikus alakok Euklideszi terek, ortonormált bázis, altér ortogonális komplementuma Önadjungált és ortogonális transzformációk Főtengely-transzformáció Algebrai struktúrák, faktorstruktúrák, homomorfizmusok A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel Permutációcsoportok, Cayley-tétel Csoportok hatása halmazokon Csoportkonstrukciók, a véges Abel-csoportok alaptétele Gyűrűelméleti alapfogalmak Kommutatív gyűrűk ideáljai és oszthatósági kérdései Integritástartomány hányadosteste Egyértelmű prímfaktorizáció integritástartományokban Főideálgyűrűk, euklideszi gyűrűk Testbővítések Véges testek és alkalmazásaik: algebrai kódok Az absztrakt algebra alkalmazásai Analízis kredit Sorozatok R n -ben Topológiai alapismeretek R n -ben Többváltozós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai Többváltozós függvények differenciálszámítása Iránymenti és parciális derivált A differenciálhatóság elegendő feltétele Többváltozós függvények szélsőértékszámítása Integrálfogalmak többváltozós függvényekre Improprius integrálok Az integrálok kiszámítása Mérték, külső mérték, mértéktér Lebesgue-féle mérték Az integrál és tulajdonságai Fubini-tétel A Riemann- és a Lebesgue-integrál kapcsolata Függvényterek Komplex függvények differenciálhatósága Analitikus függvények és tulajdonságaik Cauchy-Riemann-egyenletek Cauchy-féle integráltétel Reziduum tétel Nevezetes egész függvények hatványsora Közönséges differenciálegyenletek Egzisztencia- és unicitás tételek Elemi úton megoldható differenciálegyenletek A lineáris differenciálegyenlet rendszerek és differenciálegyenletek elmélete Geometria 4-12 kredit Konvex halmazok, konvex burok Konvex halmazok elválasztási és metszési tulajdonságai Differenciálható görbék Görbület, torzió A görbeelmélet alaptétele Felületek az euklideszi térben, különböző megadási módjaik Az érintősík A felület metrikus alapformája Párhuzamos eltolás felületen Normálgörbület, főgörbületek, főirányok, szorzat és összeggörbület Az ívhossz variációs problémája Geodetikusok, geodetikus görbület A geodetikusok minimalizáló tulajdonsága Kombinatorika 4-8 kredit Binomiális és polinomiális tétel Alapvető leszámlálási eljárások Szitaformula Generátorfüggvények módszere Rekurzív sorozatok Gráfelméleti alapfogalmak Speciális gráfok, tulajdonságaik Gráfok színezése, az ötszíntétel Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele Euler-vonal, Hamilton-kör Síkba rajzolható gráfok jellemzése Fák, Kruskal-algoritmus Lineáris algebra és gráfok Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben A matematika alapjai 3-6 kredit Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz Halmazok ekvivalenciája Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok Kiválasztási axióma Transzfinit indukció és rekurzió Rendszámok és összehasonlításuk Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái, igazságfüggvényük Konjunktív és diszjunktív normálforma Boole-függvények Levezetések Az ítéletkalkulus teljességi tétele Kompaktsági tétel Elsőrendű nyelvek és struktúrák A predikátumkalkulus kifejezései és formulái Levezetések A prédikátumkalkulus ellentmondás mentessége

14 Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 8-15 kredit Eseményalgebrák, Kolmogov-féle valószínűségi mező Valószínűségi változók és vektorváltozók eloszlása, eloszlásfüggvénye Abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvény Függetlenség: események, valószínűségi változók Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével Várható érték egy- és többdimenzióban, tulajdonságai Szórás, kovarianciamátrix Medián 1 valószínűségű, sztochasztikus és Lp-konvergencia, kapcsolatuk, valószínűségi metrikák Nagy számok gyenge és erős törvényei A mértékek gyenge konvergenciája, kapcsolata a sztochasztikus konvergenciával Karakterisztikus függvény és alapvető tulajdonságai Inverziós formulák Eloszlásbeli konvergencia, folytonossági tétel A centrális határeloszlás-tétel A feltételes várható érték és feltételes valószínűség általános fogalma Legegyszerűbb tulajdonságok, konvergencia-tételek Jensen-egyenlőtlenség Statisztikai minta, mintavételezés Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény, tapasztalati becslések, Glivenko-Cantelli-tétel Fisher-féle információ, függetlenek együttes információja, statisztika információja, információ és átparaméterezés Pontbecslések: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás Rao- Blackwell-tétel Teljesség Cramér-Rao-egyenlőtlenség Becslési módszerek: momentum-módszer, maximumlikelihood becslés A ML-becslés aszimptotikus tulajdonságai Statisztikai hipotézisvizsgálati alapfogalmak A Neyman-Pearson-lemma A próba erejének aszimptotikája A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák: u-, t- és F-próba, Fisher-Bartlett-tétel Khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitásés függetlenségvizsgálatra Becsléses illeszkedésvizsgálat Többdimenziós normális eloszlás, paraméterek becslése és azok tulajdonságai Regresszió, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió Lineáris modell, becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellben Szórásanalízis Alkalmazott matematika 7-15 kredit Nevezetes mátrix transzformációk (lineáris rendszerek, illetve sajátérték feladatok megoldására) Gauss-elimináció és változatai (algoritmusai, műveletigénye, főelemválasztás; nem teljes Gauss-elimináció) Mátrixok felbontásai (Schur, LU, LDU, Cholesky, QR) Lineáris és nemlineáris rendszerek iterációs megoldása (Gauss-Seidel, konjugált gradiens; Newton-módszer, lokális és globális konvergencia, Broyden-módszer) Sajátérték feladatok (hatványmódszer, inverz iteráció, eltolás, QR) Interpolációs és approximációs feladatok (Lagrange, Hermite, spline; Csebisev-approximáció) Kvadratúraformulák (Newton-Coates, Gauss) Lineáris programozási feladatra vezető problémák; konvex poliéderek extremális pontjai; a szimplex módszer, érzékenységvizsgálat, dualitás, Farkas-tétel Szállítási és hozzárendelési modell, hálózati modellek Speciális lineáris programozási modellek Informatika 3-25 kredit Matematikai programcsomagok: szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek ábrázolása Lineáris algebrai, analízisbeli feladatok megoldása Számelméleti, komputeralgebrai programcsomagok A numerikus analízis eljárásai Statisztikai programcsomagok Rendezés, keresés, alapvető gráfalgoritmusok, polinom idejű algoritmusok Matematika-X szakos tanári szakirány Algebra és számelmélet 4-8 kredit Algebrai struktúrák, faktorstruktúrák, homomorfizmusok A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel Permutációcsoportok, Cayley-tétel Csoportok hatása halmazokon Csoportkonstrukciók, a véges Abel-csoportok alaptétele Gyűrűelméleti alapfogalmak Kommutatív gyűrűk ideáljai és oszthatósági kérdései Integritástartomány hányadosteste Egyértelmű prímfaktorizáció integritástartományokban Főideálgyűrűk, euklideszi gyűrűk Testbővítések Analízis 5-10 kredit Sorozatok R n -ben Topológiai alapismeretek R n -ben Többváltozós függvények határértéke és folytonossága, a folytonos függvények alapvető tulajdonságai Többváltozós függvények differenciálszámítása Iránymenti és parciális derivált A differenciálhatóság elegendő feltétele Többváltozós függvények szélsőértékszámítása Integrálfogalmak többváltozós függvényekre Improprius integrálok Az integrálok kiszámítása Közönséges differenciálegyenletek Elemi úton megoldható differenciálegyenletek

15 Geometria 7-12 kredit Projektív geometria, projektív tér, projektív transzformációcsoport és nevezetes részcsoportjai Geometriák és modelljeik Nemeuklideszi geometriák Differenciálható görbék Görbület, torzió A görbeelmélet alaptétele Felületek az euklideszi térben, különböző megadási módjaik Kombinatorika 3-6 kredit Binomiális és polinomiális tétel Alapvető leszámlálási eljárások Szitaformula Generátorfüggvények módszere Rekurzív sorozatok Gráfelméleti alapfogalmak Speciális gráfok, tulajdonságaik Gráfok színezése, az ötszíntétel Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele Euler-vonal, Hamilton-kör Síkba rajzolható gráfok jellemzése Fák, Kruskal-algoritmus Lineáris algebra és gráfok A matematika alapjai 3-6 kredit Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz Halmazok ekvivalenciája Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal Rendezett halmazok, hasonlóság, rendtípus, jólrendezett halmazok Kiválasztási axióma Transzfinit indukció és rekurzió Rendszámok és összehasonlításuk Logikai műveletek, az ítéletkalkulus formulái, igazságfüggvényük Konjunktív és diszjunktív normálforma Boole-függvények Levezetések Az ítéletkalkulus teljességi tétele Kompaktsági tétel Elsőrendű nyelvek és struktúrák A predikátumkalkulus kifejezései és formulái Levezetések A prédikátumkalkulus ellentmondás mentessége Valószínűségszámítás 4-8 kredit Eseményalgebrák, Kolmogorov-féle valószínűségi mező Klasszikus valószínűségi mező, valószínűségek meghatározása kombinatorikus és geometriai módszerekkel Poincaré-formula Feltételes valószínűség, események függetlensége Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel Valószínűségi változó és jellemzői: eloszlás- és sűrűségfüggvény, várható érték, szórás, medián Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások (binomiális, Poisson-, negatív binomiális, Pascal-eloszlás, illetve egyenletes, exponenciális, normális eloszlás) Markov- és Csebisevegyenlőtlenségek Generátor- és karakterisztikus függvény fogalma és alapvető tulajdonságai Több valószínűségi változó együttes eloszlása, valószínűségi változók függetlensége Eloszlások konvolúciója Feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvény, Feltételes várható érték Kovariancia és korrelációs együttható Többdimenziós normális eloszlás Lineáris regresszió Konvergencia fogalmak, nagy számok törvénye, centrális határeloszlás tétel Informatika Matematikai programcsomagok: szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek ábrázolása A matematika története 2-4 kredit 2-4 kredit A matematika alapjainak lerakása A görög matematika jellemzői, nagy görög matematikusok A középkor matematikája: Kína, India, az arabok, Európa A matematika főbb ágainak fejlődése: geometria, analízis, algebra, számelmélet, valószínűségszámítás A magyar matematika története, Appendix

16 7 A szakképzettségben elvárt kompetenciák (kapcsolódva a szakirányokhoz) A matematikus szakirány alapképzésében részesült hallgatók a képzés során elsajátítják a matematika alapvető módszereinek alkalmazását, olyan ismereteket szereznek, amelyek alapján a mesterképzésbe léphetnek Ismerik további matematikai módszerek, elvek megszerzésének módjait és a kutatás fő módszereit El tudják dönteni, hogy a birtokukban lévő módszerek milyen vonatkozásban alkalmasak egy bizonyos probléma megoldására A felmerülő problémákra tudnak különböző megoldásokat javasolni A matematikai elemzések eredményeit hatékonyan tudják kommunikálni, idegen nyelven és az informatika eszközeit is felhasználva Képesek továbbképzések segítségével új kompetenciákat elsajátítani Megérettek arra, hogy felelősségteljes állást töltsenek be, alkalmasak önálló döntéshozatalra, tevékenységüket minőségtudattal és sikerorientáltan végzik A tanári szakirányon alapképzésében részesült hallgatók képesek önállóan részt venni az iskola alapvető oktatási és szabadidős tevékenységeinek szervezésében, igazgatási rendszerének adminisztratív segítésében, az oktatás előkészítésében, oktatási segédanyagok készítésében A mesterképzésben részesült tanárszakos hallgatók önállóan és kreatívan képesek az 5-12 osztályokban szakjaiknak megfelelő oktatási tevékenységet végezni Szakmailag alkalmasak az oktató-nevelő munkára 8 Az elméleti és gyakorlati képzés arányai A képzésben a gyakorlati órák aránya legalább 30% A gyakorlati képzés az elméleti anyag mélyebb megértését szolgálja A tanári szakon a gyakorlati képzés egyik fő célja a tanári mesterség elsajátítása, szakmódszertani órák és a tanítási gyakorlat keretében 9 Az ismeretek ellenőrzési rendszere, ezen belül kiemelten; a) A vizsga előírások megadása A szakokat indító intézmények saját hatáskörben szabályozzák az intézményi Tanulmányi és Vizsgaszabályzattal figyelembe véve a 77/2002 (IV13) rendelet előírásait b) a szakdolgozat követelményei és a hozzá rendelt kreditek száma Alapképzésben a szakdolgozatban a hallgatónak tanúságot kell adni arról, hogy önállóan képes valamely (elméleti vagy gyakorlatorientált) összetett matematikai probléma megoldására, összefüggéseiben felhasználva a képzés során elsajátított egy- vagy többféle matematikai módszert A szakdolgozat kreditszáma 15 c) a záróvizsgára bocsátás feltételei (az Ftv 95 (3) szerint) A záróvizsgára bocsátás feltétele az előírt számú és összetételű kreditek alapján kiadott abszolutórium megszerzése Az oklevél kiadásának feltétele az alapképzés szintjén középfokú A vagy B típusú, vagy alapfokú C típusú állami vagy azzal egyenértékű nyelvvizsga letétele valamely idegen nyelvből, melyen a matematikának tudományos irodalma van (Mesterszinten C típusú középfokú, fentieknek megfelelő nyelvvizsga szükséges)

17 d) a záróvizsga Alapokleveles matematikus, matematikus szakiránnyal: A záróvizsga részei: szakmai felelet a differenciált szakmai anyagból (min 20 kredit terjedelmű anyagból) a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint Alapokleveles matematikus, matematika-x szakos tanári szakiránnyal: A záróvizsga részei: szakmai felelet matematikából (min 20 kredit terjedelmű anyagból) szakmai felelet az X szakból (min 15 kredit terjedelmű anyagból) tanári képesítő vizsga a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint 10 A szak (szakterület) szempontjából lényeges más rendelkezések

18 MELLÉKLET Útmutató A mesterszintű matematikus szak képesítési követelményei Az alábbiakban az alapszintű matematikus szakra épülő egy lehetséges mesterszak képesítési követelményeit írjuk le, melytől a későbbiekben ténylegesen megalapítandó mesterszintű matematikus szak eltérhet A szak megnevezése: matematikus Képzési szint: mesterképzés (MSC) Szakképzettség megnevezése: okleveles matematikus Besorolás képzési terület/képzési ág szerint: Természettudományos képzési terület, Matematikatudomány képzési ág A szak tudományági besorolása: Természettudományok Matematika és számítástudományok A szak megfeleltetése a korábbi végzettség és szakképzettség szerint: 166/1997 (X3) egyetemi szintű matematikus szak 77/2002 (IV13) kredites képesítési követelményeket leíró rendelet A szak létesítésének előzményei A korábbi nemzetközi mércével mérve magas színvonalon folyó matematikus képzés legfőbb értékeit visszük át a lineáris (kétfokozatú) képzési modellbe A szakképzettség várható hasznosítási területe A mesterképzésben részt vett matematikusok (hasonlóan a korábbi matematikus, alkalmazott matematikus szakos hallgatókhoz) biztosítják egyrészt a szakember-utánpótlást az alapos matematikai ismereteket igénylő alkalmazási területeken, másrészt a szakma kutatói utánpótlását és a felsőoktatás számára az oktatói utánpótlást Rövid nemzetközi összehasonlítás az új szak vonatkozásában - különös tekintettel az Európai Felsőoktatási Térségre Az Európai Felsőoktatási Térség alapvető eszméinek megfelelően az a célunk, hogy hazai és nemzetközi értelemben véve konvertibilis szakot hozzunk létre Ezt a konvertibilitást hazai értelemben biztosítják az előzetes egyeztetések az ország összes egyeteme és főiskolája között, amelyek jelenleg részt vesznek a matematikus, illetve matematika tanári szak képzésében Nemzetközi értelemben a konvertibilitást a magyar matematika oktatás tradicionálisan magas színvonala biztosítja A képzési időre vonatkozó javaslat indoklása, kamarák, a szakmai testületek állásfoglalásainak, ajánlásainak figyelembe vételével A képzési idő 4 félév a mesterképzések szokásos képzési idejének megfelelően Az alapszintű matematikus szakra építve ezen képzési idő alatt elérhető ugyanaz a képzési színvonal, amelyet a korábban működő matematikus szakok képviseltek A szak képzési céljának és követelményeinek a rokon szakokkal történő összehasonlítása, illetve a karakterisztikus különbségek (szaktávolság) bemutatása A matematika tudományterületén ez az első mesterképzési szak (MSC)

19 A képzési cél Tudományos szintű szaktudással rendelkező szakemberek képzése, akik összetett elméleti és gyakorlati matematikai problémák kreatív, a matematikai módszereket eredeti formában felhasználó megoldására és ismereteik önálló továbbfejlesztésére képesek A végzettség szintje: mesterképzés (MSc) Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése: okleveles matematikus A képzésbe való belépés előfeltétele: alapokleveles matematikus, matematikus szakirányon A képzési idő, megszerzendő kreditek: - félévek száma: 4 - a tanórák (minimálisan szükséges kontaktórák) száma: 1150 óra - az oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma: 120 Algebra és számelmélet A képzés főbb tanulmányi területei 9-15 kredit Szabad csoportok, definiáló relációk, Sylow tételek, kis elemszámú csoportok, feloldható csoportok Permutációcsoportok, lineáris csoportok, a csoportreprezentáció alapjai Testbővítések, felbontási test, Galois elmélet, magasabb fokú egyenletek megoldhatósága, a geometriai szerkeszthetőség elmélete Az algebrai, geometriai és analitikus számelmélet elemei Alkalmazások az additív és diofantikus számelméletben Fejezetek a modern számelméletből Algoritmusok a prímszámelméletben és a diofantikus egyenletek elméletében A számelmélet alkalmazásai a kriptográfiában Prímtesztek és prímfaktorizáció Algebrai algoritmusok Analízis kredit Lineáris topologikus és normált terek Vektortopológiák generálása Korlátosság, teljesség, kompaktság Korlátos lineáris operátorok és funkcionálok Baire-féle kategória tétel és alkalmazásai Nyilt leképezés tétel Zárt gráf tétel Banach- Steinhaus-tételek Hahn-Banach-tétel Gyenge és gyenge*-topológiák Reflexív terek Hilbert terek Ortonormált rendszerek Ortogonális sorok Ortogonális felbontási tétel Riesz reprezentációs tétele Adjungált operátor Normális, unitér és önadjungált operátorok Banach algebra Spektrum, spektrálsugár Kompakt operátorok, spektrum, spektráltétel Hilbert-Schmidt-tétel, Fredholm-féle alternatíva Fredholm- és Volterra-féle integráloperátorok Alapfogalmak a közönséges differenciálegyenletek elméletében Átviteli elv Elemi módszerek Gronwallegyenlőtlenség, Lipschitz-függvények Cauchy-feladat elsőrendű explicit vektor differenciálegyenletre Elsőrendű lineáris vektor differenciálegyenletek Magasabbrendű lineáris skalár differenciálegyenletek Autonóm differenciálegyenletek és rendszerek Első integrálok Megoldások stabilitása Ljapunov-függvény Stabilis és instabilis sokaságok Periódikus megoldások Peremérték feladatok lineáris differenciálegyenletekre A variációszámítás alapfeladata Euler-Lagrange-differenciálegyenlet Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében Elemi módszerek Karakterisztikus függvény, elsöintegrálok Elsőrendű kvázilineáris egyenletek Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása Goursat- és Cauchyfeladat hiperbolikus egyenletekre Szukcesszív approximáció, Riemann- függvény Vegyes feladat hullámegyenletre, Fourier-módszer Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel, Fourier-módszer Cauchyfeladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Fourier transzformáció Peremérték feladatok potenciálegyenletre Maximumtétel Harmonikus függvények Green-függvény, Poisson-formula Geometria 9-15 kredit Topológikus terek, környezetbázisok, folytonosság, homeomorfizmus Topológiák összehasonlítása Konvergencia és folytonosság Kompakt és lokálisan kompakt terek Kompakt szorzatok Kompaktifikáció Kompakt-nyílt

20 topológia Normális terek és parakompakt terek Egységfelosztás Teljesen reguláris terek Metrizálhatóság Uniform terek, egyenletes folytonosság A differenciálható sokaság fogalma Érintőtér, érintő nyaláb Globális felületelmélet Gauss-Bonnet tétel Riemann sokaságok Levi-Civita konnexió, párhuzamos eltolás Görbület, konstans görbületű terek A geodetikusok variációs elmélete Jacobi vektormezők, a konjugált pontok elmélete Projektív síkok és terek Záródási tételek a síkon és koordinátázásuk Az asszociativitás és kommutativitás geometriai feltételei Kollineációk és korrelációk Nevezetes kollineáció részcsoportok A nem-euklideszi geometriák projektív modelljei Véges projektív síkok Oválisok és másodrendű görbék, Segre tétele Halmazelmélet és matematikai logika 3-5 kredit Elsőrendű nyelvek és struktúrák Axiómarendszerek Teljességi és kompaktsági tétel A halmazelmélet axiomái A rendszámok elmélete A kiválasztási axióma és a jólrendezési tétel A számosságoperáció Számosság aritmetika Alkalmazott matematika kredit Négyzetesen integrálható folyamatok Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők Az idősorok analízisének elemei Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik Az Ito-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok Többdimenziós normális eloszlás, határeloszlás tételek Nemparaméteres próbák tulajdonságai, aszimptotikája, alkalmazásai (chi-négyzet, Mann-Whitney-, Kolmogorov-Szmirnov-próbák) Többváltozós nemparaméteres próbák Becslés és hipotézisvizsgálat a lineáris modellben, a lineáris modellek alkalmazásai Kísérlettervezés Idősorok analízise, trend, szezonalitás Folyamatellenőrzés A maximum likelihood becslés és a likelihood hányados próba asszimptotikájának bizonyítása Nemlineáris programozási problémák és megoldási módszerek: hiperbolikus, kvadratikus, konvex programozás, gradiens módszer Diszkrét programozás: leszámlálási algoritmusok, leszámlálási struktúrák, korlátozás és szétválasztás módszere Vegyes matematikai programozási feladatok megoldási módszerei Dinamikus programozás Sztochasztikus programozás Hálótervezéses módszerek: CPM, PERT Készletgazdálkodási problémák Differenciálegyenletek közelítő megoldása Az eljárások konvergenciája, ill hibájának becslése Spline interpoláció Informatika 3 kredit Számítási modellek, a kiszámíthatóság elemei, nevezetes bonyolultsági osztályok, NP teljesség, algoritmus tervezési módszerek Szakdolgozat: Egyéb, szabadon választható szakmai ismeretek: 15 kredit kredit Összesen: 120 kredit A szakképzettségben elvárt kompetenciák A mesterszintű matematikus képzésben a hallgatók tudományos igényű ismeretekre tesznek szert matematikából Képesek a matematikában az ismeretek rendszerezett megértésére és elsajátítására, absztrakt fogalmi gondolkodásra Képesek rendszerszerűen és kreatívan új és összetett témakörökkel foglalkozni, döntést hozni, hiányos adatok birtokában is helytálló véleményt alkotni Munkájában a kezdeményezés és a személyes felelősség vállalása jellemzi Az elméleti és gyakorlati képzés arányai A képzésben a gyakorlati órák aránya legalább 10% A gyakorlati képzés az elméleti anyag mélyebb megértését szolgálja

21 Az ismeretek ellenőrzési rendszere, ezen belül kiemelten a) A vizsga előírások megadása: A szakokat indító intézmények saját hatáskörben szabályozzák az intézményi Tanulmányi és Vizsgaszabályzattal figyelembe véve a 77/2002 (IV13) rendelet előírásait b) a szakdolgozat követelményei és a hozzá rendelt kreditek száma A mesterképzésben a szakdolgozatban a hallgatónak tanúságot kell adni arról, hogy kreatívan képes valamely összetett elméleti matematikai probléma megoldására, alkotó módon felhasználva és továbbfejlesztve a képzés során elsajátított matematikai módszereket A szakdolgozat kreditszáma 15 c) a záróvizsgára bocsátás feltételei (az Ftv 95 (3) szerint) A záróvizsgára bocsátás feltétele az előírt számú és összetételű kreditek alapján kiadott abszolutórium megszerzése Az oklevél kiadásának feltétele C típusú középfokú állami vagy azzal egyenértékű nyelvvizsga letétele valamely idegen nyelvből, melyen a matematikának tudományos irodalma van d) a záróvizsga A záróvizsga részei: szakmai felelet (min 20 kredit terjedelmű anyagból) a szakdolgozat megvédése A záróvizsga eredményének kiszámítási módja: Az érvényes kormányrendelet szerint