GYAKORLÓ FELADATOK A VEKTORTEREK, MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK, LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK, KOMPLEX SZÁMOK témakörökhöz.

Átírás

1 GYAKORLÓ FELADATOK A VEKTORTEREK MÁTRIXOK LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK KOMPLEX SZÁMOK témakörökhöz. 6 taaszi. zárthelyihez gyakorlás Sok feladathoz an megoldás ezek az anyag égén találhatók. A komplex számokhoz an egy külön file is a honlapon. A feladatok közül néhány Scharnitczky Viktor Feladatgyűteményéből aló.az alábbi feladatsorban a. 8. feladat Őri Istántól (BMF BGK) származik a - feladatok és megoldásai Hegyi Barna gyakorlatanyagából alók és néhány feladat Gyimesi Gergely (példál. 8 ) Haasi László (példál ) Koács Dániel (pl ) Lázár Anna (példál 7) Szláik Zoltán (példál ) oldott meg mindannyian a PPKE ITK doktori iskoláának hallgatói.. Felírható-e a b ektor az a a a ektorok lineáris kombinációaként? b() a () a a ( ) (). ( pont). Lineárisan függetlenek-e az.-beli a a a ektorok?válaszát indokola! ( pont). Tekintse a a ; a ; a ektorokat. 6 Döntse el bázist alkotnak-e ezek a ektorok? ( pont). R -ben Egy lineáris transzformáció mátrixa az alábbi (a szokásos kanoniks bázisokat használa): A Ada meg a két legkisebb saátértékhez tartozó saátektor által bezárt szöget! ( pont).. Számítsa ki az alábbi A 6 -t ha az A mátrix a köetkező ( pont): a. Igaz-e hogy a x -es mátrixok ektorterében a fenti.-beli A mátrixok is ektorteret alkotnak? Indokola álaszát! ( pont)

2

3 . Egy R R homogén lineáris leképezést mátrixok szorzásának segítségéel adnk meg a köetkezőképpen: L(x)A.x A. (Feltesszük hogy mind a kiindlási mind a képtérben a szokásos i k bázist használk). Mi az ( ) T ektor képe?. Melyik az a ektor aminek a képe a ektor? ( pont). Mely ektor(ok) képe lesz a ektor? ( pont) 6. Bizonyítsa be hogy az alábbi determináns nem lehet nlla ( pont): A fenti determinánsban két szám egy nagy (német) matematiks neéhez kötődik. Melyik ez a két szám és ki ez a matematiks? ( Az első négy sor észámai többnyire magyar onatkozású történelmi eseményhez kapcsolódnak:) ( pont) Megolási útmtatás: Figyele meg milyen paritású számokat tartalmaz a determináns! Mely szorzat lesz páratlan? Hogyan öhet(ne) ki a nlla szám? 7. Egy Nap körül keringő űrszonda az energiaszükségletét egy háromszög alakú napelem panellel fedezi. A panelt három egymásra merőleges a háromszög csúcsaiba ftó kar tarta és egy mereítő rúd amelyik a háromszög közepe táán érintkezik a panellel és merőleges annak felületére. Mind a négy rúd a szonda oldalán egy pontban an rögzíte. Az egymásra merőleges karok hosszúsága m m illete m s ez tóbbi éppen a Nap irányába mtat. Azoknak a fotonoknak a flxsa amelyekre a napelem érzékeny azaz a Nap m s 8 irányára merőlegesen m felületre másodpercenként db hasznos foton érkezik. 8

4 Ha minden foton két elektront lök ki a napelem félezetőének paneléből akkor mennyi elektron termelődik egy másodperc alatt? Mekkora szögben esik a napfény a napelem felületére (azaz mekkora a felület normálisa és a Nap iránya által bezárt szög)? Milyen hosszú az a mereítő rúd amely a háromszög alakú panelre merőleges? Nap Panel Fotonok iránya m m m Űrszonda 8. Mekkora szöget zár be egymással egy kocka két kitérő helyzetű lap átlóának egyenese? ( pont) 9. Adottak a P () P (8) pontok és a (-) ektor. 9. Mekkora a P P ektor és a ektor által kifeszített háromszög területe? ( pont) 9. Ada meg a 9. beli háromszög síkának egyenletét! ( pont). Legyen V R ektortér. Adott három V -beli ektor: p ahol p alós paraméter... A p paraméter mely értékére lesznek a ektorok lineárisan összefüggőek? ( pont).. Az előző feladat alapán p értékét álasszk úgy hogy a ektorok bázist alkossanak a V térben. ( pont)

5 . L lineáris leképezés először a tér ektorait leetíti az XY síkra mad a keletkezett ektorokat tükrözi az X tengelyre. Határozza meg a leképezés mátrixát a szokásos bázisok esetén (térben: i k ; síkban: i ). Számítsa ki az R mátrixot: E B B B R * B. Határozza meg az ( ) x; y; a ektor ismeretlen koordinátáit ha a merőleges ( ) ;; b ektorra és az egy csúcsból indló a b és ( ) ;; c ektorok által meghatározott paralelepipedon térfogata 8 térfogategység!). c c c c c c A. Íra le a fenti mátrixegyenletnek megfelelő lineáris egyenletrendszert! Olda meg a.-ben Ön által megadott lineáris egyenletrendszert Gass-Jordan eliminációal (redkált lépcsős alakkal)!. Az mátrix inerzének kiszámítása NÉLKÜL döntse el hogy megoldható-e az eredeti mátrix egyenlet inerz mátrix segítségéel! Indokola álaszát! (indoklás nélkül pont)

6 . π 6 x π 7 x π 8 x π 9 x π x?. Mekkora lehet értéke ha az alábbi homogén egyenletrendszernek an triiálistól különböző megoldása? π 6 x π 7 x π 8 x π 9 x a π b c d x e 6. Alább adott egy homogén lineáris transzformáció A mátrixa. Számítsa ki a transzformáció saátértékeit ( pont) és a legkisebb saátértékhez tartozó saátektorát ( pont)! Igaz-e hogy a saátektorok bázist alkotnak? Indokola álaszát! ( pont) A ( i) 7.. Ada meg az ( i) komplex számpár? (6 p) komplex szám. gyökeit! Igaz-e hogy an ezek között kongált 8. A determináns azonnali kifetése nélkül a determináns tladonságainak felhasználásáal bizonyítsa be hogy a a b b a b ( pont)

7 9. Legyen az ABC háromszög három csúcsa: A() B(-6) C(-). Számítsa ki a a háromszög legnagyobb szögét és az X-Y síkra ett merőleges etületének területét! (6 pont).. Igaz-e hogyha e sík ektorait egy egyenesre etítük az homogén lineáris transzformáció? ( p). Ada meg annak a homogén lineáris transzformációnak a mátrixát az i bázisra onatkozóan amely a sik ektorait először az yx egyenesre tükrözi mad elforgata fokkal! Mi lesz e leképezés mátrixa ha az () (- ) bázisra térünk át? (8 p). Határozza meg az a és b ektorok áltak bezárt szöget! Bázist alkotnak-e R-ben az alábbi ektorok: a() b() c() d() (9 p). Határozza meg az alábbi mátrix saátértékeit saátektorait! A. Határozza meg az a és b ektorok áltak bezárt szöget! Bázist alkotnak-e R-ben az alábbi ektorok: a() b() c() d() (9 p). Olda meg inerzmátrix módszerrel az alábbi egyenletrendszert! x -y x y Gass eliminácóal olda meg az alábbi lineáris egyenletrendszert és ada meg az általános megoldást! x -x x -x x x - 8x -x 6x 6 x x 6x -x 7. Bontsa fel az a (;-;7) ektort a (-8;8;-6) ektorral párhzamos és merőleges komponensekre! 8.. Határozza meg az a ( x; y;) ektor ismeretlen koordinátáit ha a merőleges b ( ;; ) ektorra és az egy csúcsból indló a b és c ( ;; ) ektorok által meghatározott paralelepipedon térfogata 8 térfogategység! 8.. Ada meg p és q paraméterek értékét úgy hogy az a (;-;p) b (;;-) c (q;;) ektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata legyen és a legyen merőleges b-re!

8 9. Bizonyítsa a ektorok skaláris szorzatának kiszámítására onatkozó tételt az i k bázisban!. Monda ki és bizonyítsa a egyesszorzat geometriai elentésére onatkozó tételt!. Egy háromszög csúcspontainak koordinátái: A(-; -) B(; -) C(; ). A B csúcsból indló magasságonal az AC oldalt a T pontban metszi. Mekkora az AT szakasz hossza?. Az a (; ) és b ( ; y) ektorok 6 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora az y?. Legyen az ABC háromszög három csúcsa: A() B(-6) C(-). Számítsa ki a háromszög X-Y síkra ett merőleges etületének területét!. Határozza meg a köetkező mátrix saátértékeit és saátektorait! A saátektorokat normála úgy hogy egységnyi hosszúak legyenek! A. Egy homogén lineáris transzformáció az i k ektorokat rendre a ektorokba iszi.. Íra fel a leképezés A mátrixát! ( pont). Van-e olyan -nél nagyobb kiteőű hatánya a fenti leképezés A mátrixának amely egyenlő az A -al? ( pont) 6. ( ) ( )? 7. 7.Ada meg annak az R R lineáris transzformációnak a mátrixát amely a sík ektorait (pontait) az y x egyenesre tükrözi ( pont).

9 7. Ada meg a saátértékek kiszámítása nélkül a 7. transzformáció saátektorait. ( pont) 7. Ada meg a transzformáció értékkészletét alamint az összes olyan ektort melynek képe a nlla ektor! ( pont) 8. Adott két ektor ) 9 ( 8) ( b a. Bontsa fel a-t b-el párhzamos és b-re merőleges összeteőkre! ( pont) 9. Adottak a köetkező pontok: ) ( ) ( () ;) ; ( D C B A. 9. Íra fel az A ponton átmenő BCD síkkal párhzamos sík egyenletét: ( pont) 9. Mekkora a 8.-ben kiszámított sík és az z y x egyenlettel megadott sík által bezárt szög? ( pont). Számítsa ki az A mátrix determinánsát! A. Függetlenek-e az alábi ektorok? (mo) R felett hány dimenziós ektorteret generál a ektorrendszer ha a műeletek a komponensenkénti összeadás és komponensenkénti alós számmal történő szorzás?. Legyen az : R R L lineáris leképezés a köetkező: ahol

10 ; R R. a) Mely ektorok képe a nllektor? Hány dimenziós teret alkotnak ezek a ektorok? b) Mi a leképezés értékkészlete? c) Mi a 8 7 ektor L szerinti őse? d) Van-e L szerinti őse a ektornak?. Számítsk ki a 8 7 és a ektorok koordinátáit a bázisban.. Felírhatók-e a 8 7 és a ektorok

11 ektorok lineáris kombinációaként? Ha igen hányféleképpen?

12 MEGOLDÁSOK:. ( *s s) > ( * s s) >determinánsk nlla! 6 6 a homogén lin egyenletrendszernek VAN triiálistól különböző megoldása-> összefüggők a ektorok. Igy nem alkothatnak bázist.. megoldása: A megoldandó egyenlet:. Gass eliminációal: ~ ~ és innen a maradék egyenleteket megolda:. HA iszont már két ektor ősét kell kiszámítani érdemesebb az inerz mátrixot megkeresni! 7. Megoldás: A csúcspontokba mtató ektorok: a ( ); b (); c (). ( pont) Kiszámítk a háromszög területektorát az oldalektorok keresztszorzatáal: CA a c ( ); CB b c ( ); t CA CB (). ( pont) A napelem napirányú keresztmetszetét megkapk ha eszünk egy a Nap irányába mtató egységektort n ( ) és skalárisan megszorozzk a területektorral: t n (). Ez 8 8 tehát m azaz egy másodperc alatt elektron lép ki a lemezből. ( pont) t n A fénysgarak beesési szöge: cosϕ 6 amiből ϕ 676 o. ( pont) t n A mereítő rúd hossza a merőleges karok és a panel alkotta háromszög alapú gúla magassága. A gúla térfogata éppen fele a karok által kifeszített téglatestnek: JAVITANDO:!!

13 V 6m V?m m m 6m. A magasság: m 8m. ( pont) T m 8. Mekkora szöget zár be egymással egy kocka két kitérő helyzetű lapátlóegyenese? Megoldás: (kellene ábra ide is) Kitérő lapátlók két helyen találhatók. () Két szemközti oldalon. Ekkor a két egyenes által bezárt szög 9 ez ól látszik. () Két szomszédos oldalon. Ekkor a közös oldalon leő egyik csúcsból kiindló három oldalektorát a kockának elölük a b c -el. Ezek közül legyen b a közös oldal. A két lapátlót ezek segítségéel a köetkezőképpen írhatk fel: a b b c Az általk bezárt szöget skalárszorzattal számíthatk ki: ( a b) ( b c) a b a c b b c cosα A kocka oldalhossza legyen d a b c ekkor d. Az a b c ektorok páronként merőlegesek egymásra így a skalárszorzatk nlla. Ezeket felhasznála: d cosα d agyis a két lapátló által bezárt szög α 6. (erre elemi úton is rá lehet önni. HOGYAN? ) alap.. Látható hogy itt lehet determinánssal számolni. A p A lineáris összefüggőséghez az kell hogy det( A ) legyen. A második sor szerint kifete a determinánst: det( A ) p 6 p kell. Innen p. 6 Gass eliminációal is számolható: ehhez meg kell keresni hogy az A egyenletnek milyen p -re annak nemtriiális megoldásai. A obb oldal mindig ezért nem is érdemes kiírni.

14 p p p ~ ~ p Ahhoz hogy be kellen ezetnünk szabad paramétert agyis hogy legyen nemtriiális megoldás alamelyik ezéregyesnek -nak kell lennie. Elképzelhető hogy p de ez a második lépésben sorcseréel kiédhető lenne. Így az egyetlen lehetőség hogy. Ebből p. p 6 A többi ebből már könnyen adódik.. Leképezés mátrixa az adott bázisokra onatkoztata: (bázisektorok képei az oszlopok) A ab. Határozza meg az a ( x; y;) ektor ismeretlen koordinátáit ha a merőleges b ( ;; ) ektorra és az egy csúcsból indló a b és c ( ;; ) ektorok által meghatározott paralelepipedon térfogata 8 térfogategység!) Megoldás: a merőleges b : a b x y A paralelepipedon térfogata: a bc x 8y 8 x y ahonnan x y agy x y tehát x y agy x y. Az egyenletrendszer megoldása: x y és x y -. (Teles pontszám már az egyik megoldás megtalálásáért ár.) c A c c. c c c. Íra le a fenti mátrixegyenletnek megfelelő lineáris egyenletrendszert! Olda meg a.-ben Ön által megadott lineáris egyenletrendszert Gass-Jordan eliminációal (redkált lépcsős alakkal)!

15 .. π 6 x π 7 x π 8 x π 9 x π x?. Mekkora lehet értéke ha az alábbi homogén egyenletrendszernek an triiálistól különböző megoldása? π 6 x π 7 x π 8 x π 9 x a π b c d x e Megoldás:. Az első oszlopot kiona a többiből azonos oszlopokat kapnk ezért e determináns nlla.. Így x értéke bármi lehet az egyenletrendszernek an triiálistól különböző megoldása. 6. Alább adott egy homogén lineáris transzformáció A mátrixa. Számítsa ki a transzformáció saátértékeit ( pont) és a legkisebb saátértékhez tartozó saátektorát ( pont)! Igaz-e hogy a saátektorok bázist alkotnak? Indokola álaszát! ( pont) A Megoldás:. oszlop szerint kifete a det(a-e)-t: (-)(-)(-) (. pont) így a saátértékek:. (. pont) A legkisebb saátérték az : xyz x tetszőleges

16 xyz ebből y x z tetszőleges xyz ebből z x y tetszőleges összesíte: s(t ) T ( pont). A Megoldás: Saátértékek: ) )( )( ( ) det( E A A saátektorok: ~ : p ~ : p / ~ : p 8.. Határozza meg az ( ) x; y; a ektor ismeretlen koordinátáit ha a merőleges ( ) ;; b ektorra és az egy csúcsból indló a b és ( ) ;; c ektorok által meghatározott paralelepipedon térfogata 8 térfogategység! Megoldás: a merőleges b : y x b a

17 x y paralelepipedon térfogata: x 8y 8 ahonnan x y az egyenletrendszer megoldása: x y. Egy háromszög csúcspontainak koordinátái: A(-; -) B(; -) C(; ). A B csúcsból indló magasságonal az AC oldalt a T pontban metszi. Mekkora az AT szakasz hossza? Megoldás: (razolon ábrát!) Jelölés: legyen b AB c AC t AT. Ekkor a t ektort megkaphatk mint a b ektor c ektorra ett etületét. Ezt az alábbi módon tdk kiszámolni: t cˆ b cosα ahol a ĉ ektor a c irányába mtató egységektor α pedig a b és c ektorok által bezárt szög. Az egységektort behelyettesíte a maradék tényezőket pedig a két ektor skalárszorzatából kifeeze: c b c t ( b c) c c c c A ektornak most csak a hosszára an szükségünk: b c t ( b c) c c c A ektorokat koordinátáit kiszámolk mad ezekből a skalárszorzatot illete a c ektor hosszát: b ( 6; ) c (6; 6) b c 6 c Ezeket behelyettesíte: b c t c 6. Az a (; ) és b ( ; y) ektorok 6 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora az y? Megoldás: A két ektor skalárszorzatát kétféleképpen írk fel: a b a b a b y a b a b cos(6 ) Így kapnk y-ra egy másodfokú egyenletet: y

18 Ezt megolda: y 96 ± y. 6 8y 6 96y 6y 9y y 96y y 96 ± 78 y. A kettő közül azonban csak az első megoldás a ó mert a másodiknál a két ektor által bezárt szög (a négyzetre emelés miatt cos( ) ).. Legyen az ABC háromszög három csúcsa: A() B(-6) C(-). Számítsa ki a háromszög X-Y síkra ett merőleges etületének területét! 8 ± 9 Megoldás: A csúcsok helyektoraiból a háromszög oldalektorai meghatározhatók ezekből ektoriális szorzással kapk meg a háromszög területét (területektorát). Eztán az X-Y sík normálektorának az n() [agy akár az n(-)] ektort ée az imént meghatározott területektor és az n normálektor skaláris szorzata (pontosabban ennek abszolút értéke) éppen a kérdéses etület területét ada. Tehát a háromszög oldalektorai AB (--) AC (--8) a háromszög területektora pedig: t ( AB AC ) (-). Az X-Y síkra ett merőleges etület területe: t n 7.. Határozza meg a köetkező mátrix saátértékeit és saátektorait! A saátektorokat normála úgy hogy egységnyi hosszúak legyenek! A Megoldás: A karakterisztiks egyenletre a köetkező adódik: ( ) ( ) ( ) leolashatók a saátértékek:. Az ezekhez tartozó egyre normált saátektorok lehetnek pl.:. >> M [ ; ; ]' M. Innen

19 >> M^- ans - - >> A [ - ; ; - -] A >> M^- * A * M ans >> -

20 6. ( ) ( )? ( ) ( ) arctg arg ; arctg arg ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 7 cos 7 9 sin cos 9 sin 9 cos sin8 cos8 sin cos sin cos.függetlenek-e az alábbi ektorok? R felett hány dimenziós ektorteret generál a ektorrendszer ha a műeletek a komponensenkénti összeadás és komponensenkénti alós számmal történő szorzás? Megoldás. Vizsgálk meg hogy a ektorok függetlenek-e agyis azt hogy a egyenletrendszernek csak triiális agyis csak a megoldás létezik-e. A megoldást Gass-Jordan eliminációal kerese ~ ~ ~ ~ ~.

21 Miel a RLA-ban an olyan oszlop (a.) amelyikben nincs ezéregyes a hozzátartozó ismeretlen tetszőleges ezért égtelen sok megoldás an (a triiális megoldáson kíül) így a ektorrendszer ektorai nem függetlenek. De miért is olt ó ettől függetlenül hogy kiszámoltk az RLA-t? i) Azért mert ebből az RLA-ból leolasható a független ektorok száma is. Tegyük fel hogy eredetileg csak az első két ektornak a függetlenségét szerettük olna megizsgálni gyanilyen módon: ~... ~ Tehát az első két ektor független. De ez már az első RLA-ból is leolasható. Ez azért an mert a Gass-Jordan elimináció során a sorokat kombinálk lineárisan egymással ezért az elimináció során az egyes oszlopok egymástól függetlenül alakítódnak így az második Gass-Jordan eliminációt megkaphatk ha az első Gass-Jordan eliminációból a. oszlopot mindenhol elhagyk. Általánosan is igaz hogy a(z első) RLA-beli az ezéregyesekhez tartozó eredeti (tehát a kiindlási alakban gyanabban az oszlopban található) ektorok függetlenek. ii) Az RLA azért is hasznos mert leolasható belőle hogy hogyan írható fel a független ektorokkal a maradék ektorok. Tegyük fel hogy meg akartk olna határozni hogy hogyan lehet felírni (és hogy fel lehet-e írni) a harmadik ektort az első két ektor lineáris kombinációaként. Ezt is Gass-Jordan eliminációal izsgálk: ~... ~. Tehát a harmadik ektort megkapk ha az elsőt megszorozzk -mal mad ahhoz hozzáadk a második ( ) -szeresét. De ez is szintén leolasható már az első RLA-ból is. Ez azért an mert a Gass-Jordan elimináció során a sorokat kombinálk lineárisan egymással ezért az elimináció során az egyes oszlopok egymástól függetlenül alakítódnak így a harmadik Gass-Jordan eliminációt megkaphatk ha az első Gass- Jordan eliminációból a. oszlopot beírk a függőleges onal mögé mad a. oszlopot egyszerűen elhagyk. Általánosan is igaz hogy a (z első) RLA-beli az ezéregyest nem tartalmazó oszlopokhoz tartozó eredeti (tehát a kiindlási alakban gyanabban az oszlopban található) ektorok éppen az (első RLA-beli) oszlopban található együtthatókkal ett lineáris kombinációi a független ektoroknak (a ezéregyesekhez tartozó eredeti ektorok.) iii) A ezéregyesekhez tartozó eredeti ektorok így egyrészt generálák a teles ektorrendszer által generált alteret másrészt függetlenek így a teles ektorrendszer által generált altér egy bázisát alkoták így általánosan is elmondható hogy a ektorrendszer által generált altér dimenzióa éppen a (z első) RLA-beli ezéregyesek száma. Ez elen esetben. Az Gass-Jordan eliminációnál abból a kibőített mátrixból indltnk ki ahol az együtthatómátrixot éppen a izsgált ektorok mint oszlopektorok alkották ebből kaptk meg azt a (z első) RLA-t amiből aztán minden leolasható olt.

22 . Legyen az : R R L lineáris leképezés a köetkező: ahol ; R R. a) Mely ektorok képe a nllektor? Hány dimenziós teret alkotnak ezek a ektorok? b) Mi a leképezés értékkészlete? c) Mi a 8 7 ektor L szerinti őse? d) Van-e L szerinti őse a ektornak? Megoldás. a) egyenletrendszer megoldásai alkoták. Ezt Gass-Jordan eliminációal megolda (részletesen lásd az előző feladatban): ~ ~... agyis tetszőleges.

23 Tehát azok a ektorok melyeknek képe a nllektor: ektorok alkoták ahol tetszőleges. A dimenzióa hiszen darab független ektor generála. b) EZ nehéz ilyen nem lesz a zh-ban:..-ben láttk hogy a ektorok között annak függetlenek és a maradék többi felírható azok lineáris kombinációaként. A függetlenek ektorok a ektorokat mint oszlopektorokat tartalmazó együtthatómátrix (elen esetben éppen a szorzómátrix) RLA-ban található ezéregyest tartalmazó oszlopokhoz tartozó eredeti ektorok míg egy adott maradék ektornak a független ektorokra onatkozó koordinátáit (a független ektorok alkotta lineáris kombináció együtthatói) éppen a ektorokat mint oszlopektorokat tartalmazó együtthatómátrix (elen esetben éppen a szorzómátrix) RLA megfelelő oszlopa tartalmazza. Ez alapán itt ~ ~... miatt függetlenek míg ( ). Innét

24 ( ) ( ) ( ). Miel tetszőleges ezért és is tetszőleges így a és elölésekkel a leképezés képterét a ektorok alkoták ahol tetszőlegesek. A képtér dimenzióa hiszen független ektor generála azt. Általánosan is igaz hogy a (balról történő) mátrixszorzás mint lineáris leképezés képterének dimenzióa gyanannyi mint a mátrixot mint együtthatómátrixot tartalmazó kibőített mátrix RLA-ban található ezéregyest tartalmazó oszlopok száma. Fontos hogy a képtér dimenzióát nem a lineáris kombinációban szereplő tetszőleges paraméterek száma ( esetén) hanem a független ektorok száma határozza meg c) A 8 7 ősképét/ősképeit a 8 7 egyenletrendszer megoldásai szolgáltaták. Ezt Gass-Jordan eliminációal megolda ~ ~ kapk hogy a kérdéses ektor ősképei a

25 ektorok ahol tetszőleges. d) A ősképét/ősképeit a egyenletrendszer megoldásai szolgáltaták. A megoldást Gass-Jordan eliminációal kerese ~ ~ tiltott sorra tnk így a kérdéses ektornak nincs ősképe. A kérdéses ektor nincs benne a leképezés értékkészletében!!!.. Számítsk ki a 8 7