13. előadás: Vetületi átszámítások

Átírás

1 13. előadás: Vetületi átszámítások 13. előadás: Vetületi átszámítások Magarországon a geodéziai alapok többszöri (általában indokolt) megváltoztatása az alkalmazott vetületi rendszerek sokféleségét eredménezte. Geodéziai célokra két sztereografikus vetületi rendszert alkalmaztak (Budapesti és marosvásárheli) a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerekből is három rendszerre volt szükség (HÉR, HKR, HDR). A nemzetközi sávbeosztásnak megfelelően a Gauss Krüger és az UTM (Universal Transverse Mercator) vetület 6 o -os sávjából is kettő fedi le az ország területét, tehát egfajta vetületnek is több rendszere van. Előbbieken kívül a terület egészén az Egséges rszágos Vetületi rendszer (EV) is bevezetésre került. A magarországi sztereografikus és a ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek közös alapfelülete a Bessel-ellipszoidhoz simuló régi Gaussgömb, az EV alapfelülete az UGG67 ellipszoidhoz simuló új Gauss-gömb, a Gauss Krüger-vetület alapfelülete nálunk a Kraszovszkij-féle ellipszoid. A GPS-technika elterjedésével az utóbbi időkben WGS-84 ellipszoidi vag térbeli geocentrikus koordinátákat is kapunk eredménül. A nemzetközi kapcsolatokban egre gakrabban UTM-vetületet kell használnunk. A képet tovább árnalja, hog a fenti rendszereken kívül előfordulnak még katonai sztereografikus koordináták, Budapest területén városi sztereografikus koordináták (BÖV), sőt néhán községben vetület nélküli koordináták is. Amikor eg bizonos területen egidejűleg többfajta vetületi rendszert alkalmazunk, az eges rendszerek átfedési területein gakran felmerül az átszámítás szükségessége. Hasonló a helzet, amikor valamelik vetületi rendszernek több sávja van (Pl. a Gauss Krüger vag az UTM-vetületnek), mert ilenkor a sávok csatlakozása körnékén kell gakran koordinátákat átszámítani. Általánosságban; amikor térképünk vetületi rendszere más, mint a rendelkezésre álló alappontoké, akkor méréseink eredménét át kell transzformálnunk a térkép vetületi rendszerébe, hog azon ábrázolni tudjuk. Zárt matematikai összefüggésekkel történő szabatos átszámításra csak az azonos alapfelületekhez tartozó vetületi rendszerek esetében van lehetőség, de csak akkor, ha a két vetületi rendszerben uganazon háromszögelési hálózatnak, uganabból a kiegenlítésből származó pontjait ábrázoljuk. Ha uganis az egik vetületről olan pont koordinátáit számítunk át a másikra, amel más háromszögelési hálózathoz tartozik, akkor az átszámított koordináták nem illeszkednek megfelelően a kérdéses vetületi síkon ábrázolt háromszögelési hálózat pontjai közé, tekintetbe véve a két hálózat különböző elhelezéséből, tájékozásából, külön alapvonal-rendszeréből és egmástól teljesen független szögméréseiből adódó különbségeket. A háromszögelési hálózatnak újabb mérésekkel történő finomítása vag új kiegenlítése következtében uganis megváltoznak az alappontok alapfelületi és íg vetületi síkkoordinátái is. Hasonló következménekkel jár az alapfelület állandóinak megváltoztatása, még akkor is, ha a háromszögelési hálózatot egébként nem változtatjuk meg. A hálózat tájékozásának megváltoztatása nem akadála a szabatos átszámításnak. Minden olan esetben, amikor az előbbi feltételek közül bármelik is nem teljesül, az átszámítás csak korlátozott pontossággal, a mindkét rendszerben ismert koordinátájú ún. illesztő pontok (közös pontok, azonos pontok) felhasználásával végezhető. A kiválasztott illesztő pontoktól függően kis mértékben mindig más koordinátákat kapunk. 13-1

2 Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz Átszámítás koordináta-módszerrel Átszámítás a budapesti sztereografikus rendszer és a ferdetengelű érintő szögtartó hengervetületi rendszerek között A budapesti sztereografikus- és a három ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerünk alapfelülete és háromszögelési hálózata azonos, tehát a közöttük végezhető vetületi átszámításokra a koordináta-módszer alkalmazható. Ezzel szemben jelentkezik eg olan különleges körülmén, amit figelembe kell venni. A ferdetengelű érintő hengervetületek bevezetésekor (1908) a felsőrendű háromszögelési hálózatot újból tájékozták úg, hog a hálózat kiinduló oldalának azimutját 6,44"-cel csökkentették. Ennek következtében valamenni hálózati pont földrajzi koordinátái mind a gömbön, mind az ellipszoidon kismértékben megváltoztak. A hengervetületi rendszerekre azután az íg elforgatott hálózatot vetítették, de uganakkor a sztereografikus rendszerekben a síkkoordinátákat változatlanul hagták, ellenkező esetben az addig elkészült nagméretaránú térképek és a felméréshez felhasznált alappontok közötti összhang megszakadt volna. Ebből következik, hog ha uganannak a pontnak pl. a budapesti sztereografikus koordinátákból számítjuk ki a földrajzi koordinátáit, kissé eltérő értékeket kapunk, mint akkor, ha a pont hengervetületi koordinátáiból számítjuk ki azokat. A tájékozás különbségét és az abból adódó eltéréseket a legegszerűbben úg vehetjük figelembe, hog a hálózat elfordulása helett úg képzeljük el, mintha a Gellért-heg felsőrendű ponton átmenő meridián fordult volna el 6,44"-cel. Az egmáshoz viszonítva elfordult meridiánok és a Gellért-heg pontot eg A ponttal összekötő egenes szakasz képének sematikus rajzát az ábra mutatja. 1. ábra: A sztereografikus és a hengervetületi rendszerek tájékozási különbsége Szaggatott vonallal az előbbi szakasz hengervetületi képét jelöltük, a foltonos vonalak sztereografikus vetületi képek. Ez utóbbiak - a hengervetületi rendszerek közös x tengelét is beleértve - egenesek, mert azimutális vetület kezdőpontján átmenő gömbi geodéziai vonalak képei. A közöttük levő szögek uganakkorák, mint a gömbi megfelelőik. Az ábráról leolvashatóan: 13-

3 13. előadás: Vetületi átszámítások α α = 6,44" sz h A tájékozási különbség tehát az azimutok és nem az iránszögek között jelentkezik. Ez a különbség csak a Gellért-heg pontban 6,44", máshol ezzel közel egenlő, eg-eg pontban állandó érték. Az előbbiek miatt; ha budapesti sztereografikus vetületi rendszerben adott koordinátákból számítunk földrajzi helmeghatározókat, vag a budapesti rendszerből térünk át valamelik ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerre, akkor a sztereografikus iránszögből 6,44"-et le kell vonni. Ha viszont a hengervetületen adott koordinátákat számítjuk át a sztereografikus vetület budapesti rendszerére, vag a földrajzi koordinátákból számítunk a budapesti rendszeren síkkoordinátákat, akkor a sztereografikus iránszöghöz 6,44"-et hozzá kell adni. A. ábrán az A pont hengervetületi ϕ, λ segéd földrajzi koordinátái és a Gellértheg ponton átmenő segédegenlítőre, valamint a P P átmérőre vonatkozó ϕ, λ segéd földrajzi koordinátái között az A P P poláris gömbháromszög felhasználásával számíthatunk át.. ábra: Átszámítás a budapesti sztereografikus és az egik ferdetengelű érintő hengervetületi rendszer között Számítsunk először ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerből (pl. HKR) budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe: A ϕ, λ segéd földrajzi koordinátákból a Gellért-heg ponton átmenő segédegenlítőre vonatkozóan koordinátákat számítunk a transzverzális sztereografikus vetület összefüggéseivel: 13-3

4 Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz Eddig még a két vetületi rendszer közötti tájékozási különbséget nem vettük figelembe, ezért: = ( ) cos 6,44" + (x ) sin 6,44", x = - ( ) sin 6,44" + (x ) cos 6,44". A a vetületi rendszerek kezdőpontja ϕ földrajzi szélességének különbsége. Budapesti sztereografikus vetületi rendszerbe: HÉR-ből = -1 o 13 40,868", HKR-ből HDR-ből = + 0 1,137", = +1 o 54,137". Átszámítás budapesti sztereografikus vetületi rendszerből ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerbe Először számítjuk az átszámítandó pont β segéd pólustávolságát és a vetületi kezdőpontról az átszámítandó pontra menő irán δ iránszögét: + x β = arc tg R = arc tg δ. x A sztereografikus iránszögből számítható az új tájékozásnak megfelelő azimut: α = δ - 6,44" o, majd a hengervetületre vonatkozó segéd földrajzi koordináták. sinϕ = cosβ sin ϕ + sin β cos ϕ cosα, sin β sinα sin λ =. cosϕ A hengervetület vetületi egenleteivel: λ = R, ρ x = R ln tg 45 ϕ +. Budapesti sztereografikus vetületi rendszerből HÉR-be = +1 o 13 40,868", 13-4

5 13. előadás: Vetületi átszámítások HKR-be HDR-be = - 0 1,137", = -1 o 54,137". Átszámítás ferdetengelű érintő hengervetületek között 3. ábra: Átszámítás ferdetengelű érintő hengervetületi rendszerek között Az A P P poláris gömbháromszög felhasználásával két hengervetületi rendszer között közvetlenül a segéd földrajzi koordináták között számíthatunk át. Íg itt sincs szükség a valódi gömbi földrajzi koordináták kiszámítására. A a két vetületi kezdőpont földrajzi szélességének különbségét jelenti: ϕ = ϕ ϕ. A 3. ábra felhasználásával a vetületi átszámítás a következő lépésekben történik: 1. az. rendszer (pl. HKR) síkkoordinátáiból segéd földrajzi koordináták számítása: x R ϕ = arc tg e 90, λ = ρ. R. Átszámítás a. rendszer (pl. HÉR) segéd földrajzi koordináta-rendszerébe: sinϕ = sinϕ cos ϕ + cosϕ sin ϕ cos λ, cosϕ sin λ sin λ =. cosϕ 3. Síkkoordináták számítása a. rendszerben: 13-5

6 Óravázlat a Vetülettan előadásaihoz λ = R, ρ x ϕ = R ln tg HÉR-ből HKR-be HKR-ből HÉR-be HKR-ből HDR-be HDR-ből HKR-be = -1 o 34 ", = +1 o 34 ", = -1 o 34 1", = +1 o 34 1", Átszámítás Gauss Krüger és UTM (Universal Transverse Mercator) vetületi sávok között A feladat a gakorlatban úg jelentkezik, hog valamelik sáv szélének közelében levő pont koordinátáit kell átszámítani a szomszédos sáv koordináta-rendszerébe. Először a megfelelő sorokkal a pont. sávbeli síkkoordinátáiból számítjuk a közös alapfelületre vonatkozó földrajzi koordinátáit Gauss Krüger vetületnél a Kraszovszkij ellipszoid, UTM vetületnél a WGS84 ellipszoid az alapfelület. Φ = Φ T 4 4 Λ = B majd azokból a. sávon a síkkoordinátákat. x = B + A Λ + A Λ 4 4 = A Λ + A Λ + A Λ Λ = S, Λ sign Λ sign Λ 13-6