Az új tudás alapja A középfokú matematikaoktatás felelőssége a felsőoktatás alapozó

Átírás

1 Az új tudás alapja A középfokú matematikaoktatás felelőssége a felsőoktatás alapozó tárgyainak tanításában Kozákné Székely Ildikó József Attila Gimnázium és Közgazdasági Szakközépiskola Monor, 2010

2 1. Problémafölvetés - a téma vizsgálatának szükségessége 2. Az új tudás alapja az előzetes tudás 3. A középfokú matematikaoktatás felelőssége 4. A problémamegoldó képesség fejlesztése fejlesztő tanítási kísérlet 5. Középiskolai matematikafeladatok, melyek alapjai lehetnek a felsőoktatás alapozó tantárgyainak 6. Tapasztalatok, vélemények a felsőoktatásban tanuló volt diákjainktól 7. Összegzés 8. Felhasznált irodalom Kozákné Székely Ildikó 2

3 1. Bevezetés - Problémafölvetés A téma vizsgálatának szükségességéről - NAT Az iskola alapfeladata a tanulók valamennyi értelmi képességének, az egész személyiségének fejlesztése, a konstruktív gondolkodás, az analógiák használatának megtanítása. Általános fejlesztési követelmény a jártasság, logikus gondolkodás, gyakorlottság a matematikai problémamegoldásban, a matematikai bizonyításigény kialakítása. [18] - tankönyvek, feladatgyűjtemények - tehetséggondozás, átlagtanulók - tudásukat új helyzetben (felméréskor, felsőoktatásban) alkalmazni Kozákné Székely Ildikó 3

4 PISA-vizsgálat - nemzetközi tanulói tudásszintmérő program [19] ban a matematikát állították a középpontban. A mért matematikateljesítmény alapján hazánk a 25-dik helyen áll a mért 40 országból. Matematikából a magyar diákok teljesítménye a nemzetközi átlag alatti. Elgondolkodtató az a tény is, hogy nincs pozitív elmozdulás a 2000-es adatokhoz képest, a teljesítményskálán szereplő országokban tapasztalt fejlődés tovább növelte a különbségeket az OECD felmérést jól és rosszul teljesítő országok között ban a természettudományok kaptak kiemelt figyelmet. Az eredmény: szövegértésnél és matematikánál szignifikánsan gyengébb az OECD országok átlagánál, a természettudományoknál statisztikailag egyenértékű az OECD országok átlagával. Kozákné Székely Ildikó 4

5 2. Az új tudás alapja az előzetes tudás Az előzetes tudás hiánya kudarcra ítéli a következő tanulási folyamatot, legyen az: a középszintű oktatás bármilyen formája felsőoktatás felnőttoktatás szakképzés új képzettség megszerzése Kozákné Székely Ildikó 5

6 A tanulók egy része hiányos tudással fejezi be az oktatás egyik periódusát, nem rendelkezik alapfogalmakkal, olyan általános képességekkel, mint az analógiás és induktív gondolkodás, amelyek előfeltételei az új készségek kialakulásának. Például: - Ha nem elég fejlettek az elemi számolási készségei, nem tud szöveges feladatot megoldani - Ha nem tud százalékot számítani, akkor komoly nehézségei lesznek kémiában az oldatok keverésével kapcsolatos számításoknál - Ha nem tud határértéket számolni, akkor a függvényábrázolásnál lesznek problémái Kozákné Székely Ildikó 6

7 Az előzetes tudás felmérésére szükség van az oktatás bármely területén. Amit a tanuló nem tud, de a továbbhaladáshoz szükséges, azt meg kell tanítani. A tanulóknak is motiváltnak kell lenniük. Metakogníció javíthatja a tanulási technikák és módszerek alkalmazását. Tudástöbblet feltárása is fontos lenne. Kozákné Székely Ildikó 7

8 3. A középfokú matematikaoktatás felelőssége Tudástranszfer: az ismeretanyagot és a hozzá kapcsolódó készségeket alkalmazni tudja új, különböző helyzetekben.[6] A tudás transzferálását is tanítani, illetve tanulni kell. Kozákné Székely Ildikó 8

9 A középfokú oktatásban meg kell(ene) tanítani a megszerzett tudás alkalmazását. Néhány objektív tényező, ami akadályozza ezt: - tömeges oktatás, - nagy, fős létszámú osztályok, - kevés (3-4, csak emelt szinten 5) heti óraszám, - csak az alapkövetelmények teljesítéséhez elegendő a 45 perces óra, - a számonkérés egyre inkább elterjedő feleletválasztós formája, - igénytelen középszintű érettségi feladatsorok, stb. Kozákné Székely Ildikó 9

10 4. A problémamegoldó képesség fejlesztése fejlesztő tanítási kísérlet 4.1. A kísérlet fő kérdése A problémamegoldó stratégiák explicit tanítása mennyibe járul hozzá a tanulók problémamegoldó képességének fejlesztéséhez Hipotézis A problémamegoldó stratégiák taníthatóak, és ezek explicit tanítása jelentősen fokozza a tanulók problémamegoldó képességeit. Kozákné Székely Ildikó 10

11 A probléma fogalma a matematikában Problémamegoldás a matematikaoktatásban (célratörő gondolkodást jelent; eszközök keresése valamely kitűzött cél eléréséhez; a problémamegoldó folyamat kulcskérdése egy megfelelő megoldási ötlet megtalálása; egy szubjektív kategória) Problémamegoldási stratégiák a középiskolai matematikaoktatásban: - célirányos gondolkodás - fordított irányú gondolkodás - szisztematikus próbálkozás Kozákné Székely Ildikó 11

12 4.3. A kísérletről röviden Alkalmazott kutatási módszerek: - tanulók megfigyelése, - fejlesztő oktatási kísérlet, - előteszt - utóteszt, - tanulói dokumentumok elemzése, - tanulókkal való beszélgetés, - kérdőíves tanulói vizsgálat, - tanulói feladatmegoldások ismertetése, megvitatása. A kísérlet menete: - előteszt megírása - fejlesztő tanítási kísérlet - utóteszt megírása - eredmények feldolgozása és értékelése - egy kérdőíves tanulói vizsgálat Kozákné Székely Ildikó 12

13 A fejlesztő kísérlet résztvevői Kozákné Székely Ildikó 13

14 Előteszt feladatai 1. Egy ékszerész hétfőn eladta a készlet felét és még 4 darabot, kedden a maradék készlet felét és még 2 darabot, szerdán 5 darab ékszert adott el, és így elfogyott az összes ékszere. Hány ékszer volt az üzletben hétfőn reggel? 2. Három játékos sakkozik. A játék feltételei a következők: a) mindegyik játszmában ketten nyernek, egy veszít; b) a vesztes köteles a nyerők meglévő pénzét megkétszerezni. Mennyi pénzzel kezdtek hozzá a játékhoz, ha három játszma után, amiből mindegyik játékos egyet vesztett, egyformán Ft-juk volt? 3. Bizonyítsa be,hogy ha a és b nemnegatív számok, akkor a + 2 b a b! 4. Bizonyítsa be, hogy ha PT a kör érintője, PB a kör szelője, az A pont a szelőnek a körrel a másik metszéspontja, akkor PA PB = PT 2! Kozákné Székely Ildikó 14

15 Tanulói munkák Kozákné Székely Ildikó 15

16 Tanulói munkák Kozákné Székely Ildikó 16

17 Utóteszt feladatai 1. Egy anya három gyermekének úgy oszt el bizonyos számú almát, hogy Péter kapja az almák felét és még két almát, Pista a megmaradt almák felét és még kettőt, Mari kapja az ezután megmaradt almák felét és még kettőt. Egy alma még maradt. Hány alma volt és mennyit kapott egy-egy gyerek? 2. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b. A derékszög csúcsát az átfogó egy pontjával összekötő d hosszúságú szakasz az a 1 cosδ sin δ = + d a b befogóval δ szöget zár be. Igazoljuk, hogy! 3. Bizonyítsuk be, hogy ha a, b, c valós számok, akkor érvényes az 1 a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c) 3 2 összefüggés! Mikor van egyenlőség? 4. Az ABC háromszög köré írt körét az A-ból induló szögfelező D-ben, a háromszög BC oldalát E-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy BD = AD ED Kozákné Székely Ildikó 17

18 Tanulói munkák Kozákné Székely Ildikó 18

19 Kozákné Székely Ildikó 19

20 Kozákné Székely Ildikó 20

21 Nem jeleníthető meg a kép. Lehet, hogy nincs elegendő memória a megnyitásához, de az sem kizárt, hogy sérült a kép. Indítsa újra a számítógépet, és nyissa meg újból a fájlt. Ha továbbra is a piros x ikon jelenik meg, törölje a képet, és szúrja be ismét. Kozákné Székely Ildikó 21

22 Kozákné Székely Ildikó 22

23 Eredmények Elő- és utóteszt eredményei Elért eredmények pontokban Sikeres megoldások száma Célirányos (1) - Fordított irányú gondolkodás (2) Előteszt Utóteszt Elért eredmények pontokban feladat 2. feladat 3. feladat 4. feladat Előteszt Utóteszt Kozákné Székely Ildikó 23

24 Kozákné Székely Ildikó 24

25 5. Középiskolai matematikafeladatok, melyek alapjai lehetnek a felsőoktatás alapozó tantárgyainak A tantervek szerint: - a gimnáziumi osztályok középszintű képzésénél heti 3 vagy 4 óra, - szakközépiskolai osztályoknál heti 3 óra, - emelt szintű fakultációs csoportoknál plusz heti 2 óra áll rendelkezésünkre. Kozákné Székely Ildikó 25

26 Szélsőérték-feladatok Tizedik osztályban, ahol több mint heti 4 órában tanulják a matematikát, emelt szintű tananyag. [12]( o.) Egy 10 cm nagyságú szakaszt két részre osztunk, és a részek fölé négyzeteket rajzolunk. Mikor lesz a két négyzet területének összege a legkisebb? t (x)=x 2 +(10-x) 2 =...=2(x-5) x=5 Kozákné Székely Ildikó 26

27 Két egymásra merőleges úton a kereszteződés felé egyenletes sebességgel halad két kerékpáros. Egyszerre indultak, az egyik 30 km/h sebességgel 20 km távolságból, a másik 40 km/h sebességgel 10 km távolságból. Mikor és hol lesznek egymáshoz a legközelebb? d(x)= 2 ( 20 30x) + (10 40x d 2 (x)=(20-30x) 2 +(10-40x) 2 = = 2 5 =2500(x- ) x= -nél lesz a minimuma Minimális távolság 100=10 km ) 2 A drágakövek ára egyenesen arányos a tömegük négyzetével. Egy 1 gramm tömegű követ, melynek az ára 100 euró, kettévágunk. Mennyire csökkenhet le így a drágakő értéke? Kozákné Székely Ildikó 27

28 Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek Az alapszinten tanulóknak is tudni kell megoldani [12](73.o.): x 4-5x 2 +4=0 8(x-1) 6-215(x-1) 3-27=0 (x 2 +x+3)(x 2 +x+1)-15=0 Az x 4 +x 3-7x 2 -x+6=0 és a 2x 4-3x 3 -x 2-3x+2=0 egyenletek valós megoldásainak megkeresése már emelt szintű feladat. A paraméteres másodfokú egyenletek tanítása szintén emelt szintű tananyag. Kozákné Székely Ildikó 28

29 Trigonometrikus függvények ábrázolása és tanulmányozása Alapszinten olyan tulajdonságokat is megtanítunk, mint például a következő dián is látható. Ennek igazolása már emelt szintű igény. [12](201.o.) Kozákné Székely Ildikó 29

30 Kozákné Székely Ildikó 30

31 Az addíciós tételek és más, ezekből is következő azonosságok felhasználásával összetettebb függvényeket is tudni kell ábrázolni és jellemezni a 11. osztályban [13]( o.): Kozákné Székely Ildikó 31

32 Kozákné Székely Ildikó 32

33 Kozákné Székely Ildikó 33

34 Kozákné Székely Ildikó 34

35 A koordináta-geometria gyakorlati alkalmazását láthatjuk a következő dián: [13](258.o.) Kozákné Székely Ildikó 35

36 Kozákné Székely Ildikó 36

37 Kozákné Székely Ildikó 37

38 Kombinatorika Kiegészítő anyagként néhány összeszámlálási feladat a 11. osztályban: [13](34-36.o.) Hányféleképpen lehet egy bástyával a sakktábla bal alsó sarkából a jobb felső sarokba jutni, minden lépéssel a célhoz közeledve: a) 14 lépéssel; b) 13 lépéssel; c) 12 lépéssel? Egy 52 lapos francia kártyacsomagban 4-féle színű (kör, káró, pikk, treff), és 13-féle figurájú (2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A) lap van. Hányféleképpen lehet kiválasztani 5 lapot úgy, hogy a sorrend nem számít és a) nincs két egyforma figura; b) pontosan két egyforma figura van c) pontosan 2-2 egyforma figura van; d) egy figurából három, egy másikból két darab van; e) a figurák sorban egymásmellettiek, de a színük nem számít? Kozákné Székely Ildikó 38

39 A gráfokról alapfogalmakat kell tudni. Igényesebb feladatok kiegészítő anyagként szerepelnek a tankönyvben. Bizonyítási módszerek közül alapkövetelmény a teljes indukció módszerének tanítása. [14](28-34.o.) A számsorozatok fejezetben a számtani és mértani sorozatokat és ezek közvetlen alkalmazását tanítjuk, például kamatszámításnál vagy törlesztőrészletek kiszámításánál. [14](61-64.o.) Kozákné Székely Ildikó 39

40 András 2005 elején Ft-ot tesz be a bankba 10%-os kamatra, és 2010 végén veszi csak ki a teljes összeget. Béla 2005 elején először, azután minden év elején egészen 2010-ig b Ft-ot tesz be a bankba ugyancsak 10%-os kamatra végén ő is kiveszi teljes betétjét, ami ugyanannyi lett, mint András betétje. Számítsuk ki b értékét (ezer Ft-ra kerekítve)! A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft-ot 20 évre, évi 6%-os kedvezményes kamatra. Minden év végén törlesztik a kölcsönt és a kamatait, méghozzá 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora lesz az összeg? Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel: minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában (ha akkor még él) 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8%-kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? Kozákné Székely Ildikó 40

41 Emelt szinten, fakultációs csoportoknál: Komplex számok Határérték-számítás Deriválás, integrálás Függvényábrázolás Integrálás alkalmazása Kozákné Székely Ildikó 41

42 6. Tapasztalatok, vélemények a felsőoktatásban tanuló volt diákjainktól Megkérdeztem a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (10), a gödöllői Szent István Egyetem (10), a Szolnoki Főiskola (5), az ELTE Tanító- és Óvóképző Főiskolai Karának (5) hallgatóit: - Milyen problémával néznek szembe első évben? - Előzetes középiskolai matematikatudásuk mennyiben segítette őket az új tudás megszerzésében? Kozákné Székely Ildikó 42

43 Vélemények és tapasztalatok: Problémamentes az egyetemen és főiskolán az első félév, ha - emelt szinten érettségiztek matematikából és/vagy fizikából, - emelt szintű fakultáción tanultak a 11. és 12. osztályban, - az alapfogalmak, definíciók, tételek, bizonyítási stratégiák birtokában vannak ( nem függvénytábla-függőek ). A kezdeti kudarc egyik okát az előbbiek hiányának tulajdonítják. Az előzetes ismeretek hiányának pótlása jelentős többlet erőfeszítéssel jár, így kisebb az esélyük az alapozó tantárgyak megértésénél. Egy másik ok a tanulási szándék hiánya. Önmagukat okolják a kezdeti kudarcért, mert ellazsálták az első heteket az egyetemen. Kozákné Székely Ildikó 43

44 7. Összegzés A problémamegoldó képesség fejlesztéséhez az iskolai oktatás a legmegfelelőbb keret. Fontos szerepe van a motivációnak: - a tanuló akar-e tanulni, - érez-e indíttatást valaminek az elsajátításához, - érzi-e szükségét, hogy tanuljon. Nagy felelősség hárul a középiskolákra a tanulással kapcsolatos pozitív hozzáállásnál, illetve a természettudományok megkedveltetésénél. Kozákné Székely Ildikó 44

45 A középszintű érettségi alacsony színvonala, a kimeneti vizsga követelménye visszahat a tanításra. Következésképpen a bemutatott problémák alátámasztják azt a véleményt, hogy a felsőfokú oktatás alapozó tárgyai eredményes tanításának egyik útja az emelt szintű érettségi megkövetelése matematikából azon tanulóktól, akik műszaki vagy közgazdasági vagy természettudományos vonalon tanulnak tovább. Kozákné Székely Ildikó 45

46 8. Felhasznált irodalom [1] Dr. Ambrus András, Dr. David Gunter (Friedrich Schiller Egyetem, Jéna)(1984): Bizonyítási stratégiák az iskolai matematikaoktatásban (A Matematika Tanítása, 1984, V.) [2] Ambrus András (1995): Bevezetés a matematikadidaktikába, Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, [3] Ambrus András: A konkrét és vizuális reprezentációk szükségessége az iskolai matematikaoktatásban, [4] Ambrus András: A problémamegoldás (feladatmegoldás) tanításának elméleti alapjai, [5] B. Németh Mária (2002): Iskolai és hasznosítható tudás: a természettudományos ismeretek alkalmazása. In: Csapó Benő (szerk.): Az iskolai tudás, Osiris Kiadó, Budapest [6] Csapó Benő: Az iskolai tudás, Osiris Kiadó, Budapest o. [7] Csapó Benő (2006): A formális és nem-formális tanulás során szerzett tudás integrálása. Iskolakultúra, 2006/2 [8] Falus Iván Ollé János: Statisztikai módszerek pedagógusok számára, Okker Kiadó, [9] Gerőcs László-Orosz Gyula-Paróczay József-Szászné Simon Judit (2005): MATEMATIKA, Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest [10] Haumataki, J. és mtsai (2002): Assessing Learning to learn. A framework. Helsinki University- National Board of Education in Finnland, Helsinki. [11] Matematika - Tanári Kincsestár, Raabe Tanácsadó és Kiadó Kft., Budapest, szeptember [12] Kosztolányi József-Kovács István-Pintér Klára-Urbán János-Vincze István (2009): Sokszínű Matematika tankönyv 10, Mozaik Kiadó - Szeged, Kozákné Székely Ildikó 46

47 [13] Kosztolányi József és mtsai (2009): Sokszínű Matematika tankönyv 11, Mozaik Kiadó Szeged, [14] Kosztolányi József és mtsai (2007): Sokszínű Matematika tankönyv 12, Mozaik Kiadó Szeged, [15] Kozákné Székely Ildikó (2009): Teaching Mathematics and Computer Science, 7/ by University of Debrecen, Hungary, [16] Magyar Nagylexikon: Tizenharmadik kötet, Magyar Nagylexikon Kiadó, Budapest, 2001, (38. o.) [17] Molnár Gyöngyvér (2001): A tudás alkalmazása új helyzetben, Iskolakultúra, 2001/10, (15-25.o.) [18] Oktatási Minisztérium: Nemzeti Alaptanterv 2003, e-print Magyarország Rt., Budapest, o. [19] PISA-Vizsgálat [20] Pólya György (1970): A problémamegoldás iskolája, I. kötet, Tankönyvkiadó, Budapest,1970 [21] Révai KIS LEXIKONA, Révai Budapest, 1936 kiadás után, HASONMÁS KIADÁS, ÉSZ_ÉRV BT, ) PISA-vizsgálat nemzetközi tanulói tudásszintmérő program (Programme for International Student Assessment). A Gazdasági Együttműködési és Fejlesztési Szervezet (Organisation for Economic Cooperation and Development, OECD) által kezdeményezett felméréssorozat, amelynek célja a éves korosztály feltérképezése abból a szempontból, hogy mennyire képesek tudásukat hasznosítani, új ismereteket befogadni és alkalmazni. A vizsgálatot háromévenként ismétlik meg ben 32 ország részvételével az olvasás-szövegértést, 2003-ban már 40 államban a matematikát állították a középpontba, 2006-ban pedig a természettudományok kaptak kiemelt figyelmet. 2) Metakognició emberi képesség, amelynek segítségével az egyén saját gondolati működését gondolkodásának tárgyává teszi, reflektál rá. [16] Kozákné Székely Ildikó 47

48 Köszönöm megtisztelő figyelmüket! Kozákné Székely Ildikó 48