Korszerű mobil vevőalgoritmusok

Átírás

1 Korszerű mobil vevőalgoritmusok Balázs Ferenc, Imre Sándor, Jeney Gábor Híradástechnikai Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Budapest,

2 2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezető Jelölésrendszer A komplex alapsávi ekvivalens modell Sávhatárolt átviteli rendszer alapsávi modellje Rendszermodell Az adó oldala A szimbólumok Aláírási hullámforma Kisugárzott és vett jel A csatorna modelljei A vevő oldala Általános vevőszűrő A csatornához illesztett szűrő Matematikai háttér Statisztika Valószínűségi változók Valószínűségi eloszlások és sűrűség függvények Momentumok Feltételes valószínűség Magasabb rendű statisztika Becslés A többfelhasználós csatorna A többfelhasználós csatorna problémája Többfelhasználós vs. egyfelhasználós vevők A többfelhasználós vétel A dekorrelátor Minimális átlagos négyzetes hibájú vevő Az optimális megoldás Nemlineáris megoldások Kétszintű vevő Többszintű vevő párhuzamos frissítéssel Többszintű vevő soros frissítéssel Interferencia-törlő eljárások Visszacsatolt neurális hálózatok A visszacsatolt neurális hálózatok energiafüggvénye

4 4 TARTALOMJEGYZÉK A visszacsatolt neurális hálózat, mint többfelhasználós vevőstruktúra Továbbfejlesztett visszacsatolt neurális hálózatok Csatorna Kiegyenlítés Bevezető Kiegyenlítők osztályozása Nemlineáris ellenőrzötten tanított kiegyenlítők Csatorna állapotok, a kiegyenlítési probléma geometriai megközelítése Bayes-tétel, MAP kritérium, az optimális szimbólumbecslés Radiális bázis függvény (RBF) kiegyenlítő Fuzzy kiegyenlítő MLSE-Viterbi kiegyenlítő (GSM) Fractionally Spaced DFE Független komponens analízis Definiciók Általános definíció Zajos ICA modell Zajmentes ICA modell Az ICA költségfüggvényei Több komponenses költségfüggvények Egy komponenses költségfüggvények Általános költségfüggvények Az ICA algoritmusok Előfeldolgozás Hérault-Jutten algoritmus Nem lineáris dekorrelációs algoritmus Entrópikus vagy maximum likelihood algoritmus Nem lineáris PCA algoritmusok Bigradiens algoritmus Neurális egykomponenses tanulási szabályok Fix pontos algoritmus Sajátértékeken alapuló algoritmusok

5 1. fejezet Bevezető Napjaink meghatározó tendenciája a távközlés, az informatika és a média világának technológiai alapon megvalósuló konvergenciája. A közös nevezőt a hálózati rétegben alkalmazott Internet Protokoll jelenti. Ugyanakkor az IP mobilitási problémáinak feloldása szükséges, de nem elégséges feltétele a korszerű infokommunikációs hálózatok kiépítésének. Ennek oka, hogy a vég-vég összeköttetések vonatkozásában valamennyi szűk keresztmetszetet fel kell számolni. Ilyen, a jövő hálózatainak hatékonyságát döntően befolyásoló jelenlegi szűkkeresztmetszet a mobil terminált a hálózathoz illesztő rádiós interfész. A rádiócsatorna rendkívül rapszodikus viselkedése (fading) és a terminálok mozgása (Doppler-hatás) következtében fellépő bithibák egyfelől csökkentik az átviteli sebességet, másfelől a hibamentes átvitelt biztosító újraadások jelentősen növelik a késletetést, sőt ami sokkal súlyosabb probléma a valós idejű szolgáltatások szempontjából: a késleltetés ingadozását is. A helyzetet tovább nehezíti a kódosztásos többszörös hozzáférés (CDMA) tömeges elterjedése a mobil távközlő rendszerekben. Számos előnyük mellett (lágy korlát a felhasználók számában, szoft handover, stb.) gyakorlatilag egyöntetűvé tették azt a szabályt (mely már a 2. generációs rendszereket is részben érintette, lásd cellás struktúra - klaszterezés), hogy rendszereink interferencia limitáltak. Azaz nemcsak a rádiócsatorna zaja, fading, stb. befolyásolják a vevő hatékonyságát, hanem a többi felhasználó rádiós tevékenysége is. Ezen hatások ellen csak korszerű modulációs technikák és többszörös hozzáférési módszerek kifejlesztésével védekezhetünk, melyek képesek nagy fokú mobilitás és nagy számú interferáló felhasználó jelenlétében is megfelelő adatátviteli sebességet elérésére, korlátos késleltetés mellett. Ahhoz, hogy a jegyzetünkben ismertetett vevő-stratégiák működése tágabb összefüggéseiben is értelmezhető legyen a következőkben röviden áttekintjük a digitális rádiók blokkvázlatát rámutatva mindazon jelenségekre, funkcionalitásokra, melyek figyelembe veendő hatást gyakorolnak a detektorokra. Információ forrás: a tipikusan analóg (pl. beszéd, video) jeleket mintavételezés és kvantálás segítségével alakítjuk digitális információvá. Természetesen léteznek digitális források is, pl. adatbázis szerver. Forráskódolás: információ forrásaink általában meglehetősen redundán- 5

6 6 FEJEZET 1. BEVEZETŐ sak. Pl. az emberi beszéd a PCM-ben bevált 64 kbps helyett, akár 2,4 kbps-ra is tömöríthető az érthetőség megtartása mellett (természetesen senkinek sem ajánljuk, hogy Mozartot ilyen formátumban hallgassa!). A forráskódolás feladata, hogy tömörítő algoritmusok alkalmazásával megszabadítsa a digitális forrásinformációt a redundanciától. Csatornakódolás: a rádiócsatorna hatásai ellen való védekezés alapja, hogy segédinformációval (redundanciával) egészítjük ki az előzőleg tömörített bitfolyamot. Ezzel biztosítva a vételi oldalon a hibajelzést és esetlegesen hibajavítást. Megjegyezzük, hogy az utóbbi opcionális, hiszen újraadási protokollok használata esetén elegendő a hibadetektálás, ami kevesebb redundanciát jelent. Ugyanakkor az újraadás növeli a redundanciát, tehát egy komoly mérnöki optimalizálási feladattal állunk szemben. Ráadásul az átvitt információs bitek nem egyformán fontosak a számunkra, pl. mozgó kép átvitelénél a képszinkron sokkal fontosabb, mint egy képpont fényerőssége. Ennek következtében a gyakorlatban bizonyos biteket hibajavítással védenek, másokat újraadással. Végezetül ne feledkezzünk meg arról sem, hogy az újraadás lényegesen növeli a késleltetést is a rádiós interfészen. Interleaving: a rádiócsatorna által okozott csomósodott hibákat hivatott kiküszöbölni azáltal, hogy az információs bitfolyamot blokkokra bontjuk és a blokkok sorrendjét adott szabályrendszer szerint felcseréljük. Így a rádiócsatornában egymás mellett fellépő bithibák valójában az interleaving visszaállítása után többé kevésbe egyenletesen oszlanak meg a bitfolyamban, lehetőséget adva a hibadetektálásra és javításra. Scrambling (zagyválás): elsődleges feladata a spektrum fehérítése, amit a logikai 0 és 1 bitek csomósodásának megszüntetésével érnek el. Magyarán az interleaving blokkokon belül is összekeverik a biteket. Training bitek beszúrása: célja, hogy a vevő oldalon is ismert bitsorozatokkal egészítsük ki a bitsorozatunkat. Ezáltal a vevőben nyomon követhetők a rádiócsatorna hatásai (tudjuk mit kellene kapjunk, ha nem azt kapjuk, akkor feltehetőleg a többi bittel is az történt, mint a training bitekkel). Használatuk opcionális. Ha mellőzzük őket, vak (blind) vételről beszélünk. Ezt követően a modulátor segítségével alakítjuk át a digitális bitfolyamot a rádiócsatornába küldhető analóg jellé. A moduláció lehet két vagy többszintű annak megfelelően, hogy 1 vagy több bithez rendelünk egy analóg modulációs jelalakot. Természetesen a tényleges adás előtt az analóg jelet még a megfelelő vivőfrekvenciára kell ültetni és az adószűrőn is át kell engedni. A mobil távközlésban alkalmazott modulációkról bővebben a [1] jegyzetben olvashatunk. A rádiócsatorna, mint az előismereteinkből tudható számos hatással terheli meg jelünket. Ezek közül számunkra a legfontosabbak a termikus zaj, a késleltetés (és szórása), a csillapítás, a többutas terjedés, többi felhasználó interferenciája. Ezen mennyiségek sajnos statisztikus viselkedésűek, azaz egy helyben állva is időben folyamatosan változnak a vett jel jellemzői. A vételi oldalon természetesen a vevőszűrő és az alapsávi lekeverés várja a jelet. Ez után kezdődhet a dektekció, amely részben az adóoldali műveletek inverzének végrehajtását jelenti, részben pedig a redundáns információ alapján hozott statisztikai elvekre épülő döntéshozásból áll. Szemleletesen példázza a vevőben alkalmazott megoldások sokféleségét a következő: ha az a feladatunk, hogy vigyünk fel a második emeletre egy bútort, akkor az úgy is elérhetjük, ha felsétálunk a lépcsőn a másodikra, de úgy is, hogy beszállunk

7 1.1. JELÖLÉSRENDSZER 7 a liftbe, felmegyünk a tizedik emeletre és onnan visszajövünk a másodikra. A két megoldás ekvivalens még sem ugyanaz, mindkettőnek vannak előnyei és hátrányai. Ennek analógiájára nyilvánvaló, hogy vevőinkben is többféleképpen valósíthatjuk meg a detekciót. A jelenleg széles körben ismert vevőalgoritmusokat kívánjuk megismertetni az olvasóval ebben a műben. A tárgy alapvető célkitűzése, hogy átfogó képet nyújtson a hallgatóságnak mindazon technikák elméleti és gyakorlati hátteréről, melyek meghatározó szerepet töltenek/tölthetnek be a közeljövő korszerű vezeték nélküli távközlő rendszereiben Jelölésrendszer Sajnos komoly matematika szükséges a vevőalgoritmusok leírásához. Ahhoz, hogy tiszta, könnyen értelmezhető képleteket használhassunk, feltétlenül fontos, hogy egységes jelölésrendszert alkalmazzunk. Az alkalmazott jelölések szabályszerűségeit foglaljuk össze ebben a fejezetben. A változók utáni szögletes zárójel mindig azt fogja jelenteni, hogy az argumentum csak diszkrét értékeket vehet fel. Így például a d k [i] jelölés használatával a d k [1], d k [2],... sorozatot jelöljük. A hagyományos kerek zárójel viszont folytonos idejű változót jelöl, tehát az s k (t) egy folytonos idejű függvény. Függetlenül attól, hogy az argumentum értéke folytonos-e, avagy diszkrét, a változó maga lehet diszkrét és folytonos értékkészletű is. Tehát a d k [i] jelölés önmagában nem jelenti azt, hogy a d maga diszkrét értékkészletű. A tilde ( ) és a kalap (ˆ) az adott változóhoz kapcsolódó értékeket jelöl. Rendszerint tildével a diszkrét változó folytonos értékkészletű leképzését jelöljük, a kalapos verzió pedig a becsült értékekre szolgál. Így például a d k [i] diszkrét változó amely a szimbólumokat jelöli folytonos értékkészletű párja d k [i] kapcsolatban van d k [i]-vel (ahogyan azt az illesztett szűrőnél látni fogjuk), ˆd k [i] pedig a d k [i] szimbólumok becsült értéke a vevő kimenetén. Hasonlóképpen ˆR-rel jelöljük majd a diszkrét csatornamátrix (R) közelített értékét. A komplex számok imaginárius egységének jelölésére a mérnöki gyakorlatban alkalmazott j szimbólumot fogjuk használni, ahol j = 1. A karakter a konvolúciós operátort fogja jelölni, de felső indexben a komplex konjugált értékre utal majd. A vektorokat (v) és mátrixokat (M) félkövér betűkkel jelöljük majd, a vektorokat kis betűvel, a mátrixokat pedig naggyal fogjuk jelölni, hogy könnyebben elkülöníthetőek legyenek egymástól. A v T a v vektor transzponáltjára utal, hasonlóképpen a M H az M mátrix Hermit transzponáltja azaz komplex konjugáltja és transzponáltja. A vektorok, mátrixok elemeit szögletes zárójelben [.] adjuk meg, a diagonális mátrixokat pedig lúdláb. jelekkel kerítjük be. Az I mátrix az egységmátrix. Jelöléseinkkel I = 1, 1,..., 1. A diag [R] az R mátrix diagonális elemeit tartalmazó diagonális mátrix: diag [R] = R 11, R 22,... R MM. Diagonálisnak nevezünk minden olyan A mátrixot, melyre A = A. Az egységmátrix nyilvánvalóan diagonális mátrix: diag [I] = I. Egy A mátrixot hermitikusnak tekintünk, ha Hermit transzponáltja megegyezik az eredeti mátrixszal: A H = A.

8 8 FEJEZET 1. BEVEZETŐ A halmazokat kapcsos zárójellel {.} fogjuk jelölni, így például az A = { 1 j, 1 + j, +1 j, +1 + j} halmaz elemei rendre a (1 + j), (j 1), (1 j), (1 + j) elemek. Gyakran fogjuk A betűvel jelölni a lehetséges szimbólumok halmazát. Előfordulhat majd a {±1} jelölés a {+1, 1} helyett, helytakarékossági megfontolásokból. Az előző halmaz például A = {±1 ± j} alakban röviden is leírható. A zárójelek további funkciója, hogy sorozatokat és intervallumokat is jelölhetünk a segítségükkel. A sorozatokat (.) tehát az különbözteti meg majd a vektoroktól, hogy kerek zárójel határolja őket. Az intervallumokat, melyeket vesszővel elválasztott számpár jellemez, kerek és szögletes zárójel is határolhatja mindkét oldalon. A kerek nyitott intervallumot jelent, a szögletes pedig zártat. Így az [a, b) intervallum az a és b közé eső terület, melynek eleme a, de nem része b A komplex alapsávi ekvivalens modell Mielőtt az alkalmazott rendszermodellt felírnánk, átismételjük a komplex alapsávi ekvivalens leírás alapjait [1]. A komplex alapsávi leírás alkalmazásával a vivőfrekvencia hatását figyelmen kívül hagyhatjuk a képletekben. Ezáltal az egyenletek jelentősen egyszerűbb alakot öltenek. Vegyük az alábbi általános sávhatárolt jelet s(t) = a(t) cos(ω 0 t + ϕ(t)), (1.1) ahol ω 0 a vivő körfrekvencia értéke, a(t) és ϕ(t) tetszőleges folytonos idejű amplitudó és fázisfüggvények. A komplex alapsávi ekvivalens értékét az alábbi egyenlet s ekv (t) megoldása adja meg: s(t) = 2 Re { s ekv (t)e jω0t}, (1.2) ahol s ekv (t)e jω0t -t az s(t) függvény komplex előburkolójának hívjuk. Meg kell jegyezzük, hogy bizonyos irodalmak [1, 2] a kettes szorzó nélkül írják fel a komplex alapsávi jel definícióját, azonban ez bizonyos inkonzekvenciához vezet. Ekkor ugyanis a rendszer impulzusválaszát másképpen kell transzformálni, mint egy tetszőleges bemeneti, vagy kimeneti jelet. Az eltérő műveletek okát viszont nehéz megmagyarázni. Az itt közölt megközelítés szerint viszont mindkét transzformáció azonos alakban adható meg, mint azt a későbbiekben látni fogjuk, így nincs szükség magyarázkodásra. A komplex alapsávi ekvivalenst (1.1) és (1.2) alapján kifejezhetjük az a(t) amplitudó- és ϕ(t) fázisfüggvény segítségével is: s ekv (t) = 1 2 a(t)ejϕ(t). Végül az eredeti s(t) függvény az alábbi módon írható fel a komplex alapsávi ekvivalens függvény segítségével: s(t) = s ekv (t)e jω0t + s ekv(t)e jω0t. (1.3) Mivel s ekv (t) Fourier transzformáltja S ekv ( f), az eltolási tétel alkalmazásával az alábbi egyenlőséget kapjuk a spektrális sűrűségfüggvényekre vontakozóan S(f) = S ekv (f f 0 ) + S ekv( (f + f 0 )),

9 1.2. A KOMPLEX ALAPSÁVI EKVIVALENS MODELL 9 ahol f 0 = 2πω 0. A komplex alapsávi ekvivalens elméleti és gyakorlati előállításáról [1]-ban olvashatunk részletesen. Számunkra az a fontos, hogy az alapsávi modell alkalmas arra is, hogy átviteli rendszereket modellezzünk. Erről olvashatunk a következő alfejezetben. Mielőtt azonban a sávhatárolt átviteli rendszer alapsávi modelljét elemeznénk, érdemes megjegyezni, hogy a komplex alapsávi ekvivalens jel energiája nem egyezik meg az eredeti jel energiájával. Ugyanis a E = s 2 (t) dt egyenletbe (1.2)-t helyettesítve E = 2 s ekv (t) 2 (1 + cos(2ω 0 t)) dt (1.4) lesz, amelyben a koszinuszos tag integrálja zérus. Mégpedig azért, mert az s ekv (t) függvény jóval lassabban változik, mint a (2ω 0 t) fázis. Ebből következően minden t 1 -től t 2 -ig teljes perióduson, amikor ω 0 (t 2 t 1 ) = π, az s ekv (t) kifejezés konstansnak vehető, azaz a t 1 és t 2 közötti integrál zérus. Mivel minden t 1, t 2 érték párosra elmondható az állítás, a teljes intervallumra számított integrál is nulla lesz. Az (1.4) tehát a következőképpen alakul: azaz E = 2 s ekv (t) 2 dt, s 2 (t) = 2 s ekv (t) 2. Eredményünk alapján kijelenthetjük, hogy az alapsávi ekvivalens jelteljesítménye az eredeti jel teljesítményének felével egyezik meg Sávhatárolt átviteli rendszer alapsávi modellje Vegyük az 1.1. ábrán látható lineáris modellt, melyben a rendszer impulzusválasz függvénye h(t)-vel egyezik meg. Alaptanulmányaink során megtanultuk, hogy lineáris rendszer tetszőleges s(t) függvényre a rendszer válasza r(t) = h(t) s(t) lesz. A kérdés az, hogy ugyanez elmondható-e a komplex alapsávi ekvivalensekről is, azaz r ekv (t) = h ekv (t) s ekv (t) (1.5) egyenlőség vajon teljesül-e. Ha igen, akkor elegendő a komplex alapsávi ekvivalensekkel felírni egyenleteinket, mert az egyenlőségek az eredeti függvényekre is teljesülni fognak. A kérdés az, hogy hogyan értelmezhetjük egy rendszer komplex alapsávi ekvivalensét azaz hogyan állíthatjuk elő h ekv (t)-t h(t)-ből úgy, hogy az (1.5) egyenletet ki lehessen elégíteni. Miután az r(t) is ugyanolyan folytonos idejű függvény, mint s(t) volt, ezért komplex alapsávi ekvivalensét is ugyanúgy értelmezhetjük, mint az s(t) esetében, azaz R(f) = R ekv (f f 0 ) + R ekv( f f 0 )). (1.6)

10 10 FEJEZET 1. BEVEZETŐ s(t) h(t) r(t) s ekv (t) h ekv (t) r ekv (t) 1.1. ábra. Sávhatárolt rendszer modellje és komplex alapsávi megfelelője Miután az (1.5) alapján az R ekv (f) = H ekv (f)s ekv (f) (1.7) és az R(f) = H(f)S(f) egyenleteket is ki kell elégíteni. Az utóbbi a komplex alapsávi ekvivalensekkel az alábbi formában írható R(f) = H(f) [S ekv (f f 0 ) + S ekv( f f 0 )]. (1.8) Ha a bemeneti jel sávhatárolt, azaz S(f) = 0, ha f f 0 > B, ahol B a jel sávszélessége, akkor az alacsony és magas frekvenciás komponensek különkülön egyenlővé tehetőek. Azaz az (1.6) és az (1.8) feltételeket az alábbi két egyenlet kielégítésével megoldhatjuk. R ekv (f f 0 ) = H(f)S ekv (f f 0 ) R ekv( f f 0 ) = H(f)S ekv( f f 0 ) Az egyenleteket kielégíti a H(f) = H ekv (f f 0 ) + H ekv( (f + f 0 )), vagy a súlyfüggvényre vonatkozóan a h(t) = 2 Re { h ekv (t)e jω0t} (1.9) összefüggés, ha a rendszer impulzusválasza is sávhatárolt, azaz H(f) = 0, ha f f 0 > B r, ahol B r a rendszer sávszélessége. Ekkor ugyanis R ekv (f f 0 ) = H ekv (f f 0 )S ekv (f f 0 ) R ekv( f f 0 ) = H ekv( f f 0 )S ekv( f f 0 ), azaz (1.7) és így (1.5) is teljesül. Az eredményt szavakba öntve, ha a rendszer komplex alapsávi súlyfüggvényét az (1.9) egyenlettel definiáljuk, akkor a komplex alapsávi ekvivalens modell alkalmas lesz arra, hogy segítségével a vizsgált rendszereket leírjuk és modellezzük. Vegyük észre, hogy az impulzusválaszra vonatkozóan ugyanazt a transzformációt (1.9) kell végrehajtani, mint a bemeneti és kimeneti jelre vonatkozóan (1.2). A komplex alapsávi ekvivalens előállítása tehát egységesen elvégezhető tetszőleges folytonos idejű jelre. A komplex alapsávi modell általános jellege miatt a következőkben az ekv szócskát ugyan elhagyjuk, de egyenleteink a komplex alapsávi ekvivalenseket jelölik, és így nem tartalmazzák a vivőfrekvenciát. Ugyanakkor az egyenleteink általános érvényűek, segítségükkel minden sávhatárolt rendszer és jel leírható. Miután a gyakorlatban használt jelek és rendszerek mindig sávhatároltak, ezért a sávhatároltság feltételének teljesülését külön nem vizsgáljuk, hanem elfogadjuk axiómaként.

11 2. fejezet Rendszermodell Az általános rendszermodell a 2.1. ábrán látható. Először egy gyors vázlattal végignézzük, hol mi található, azután fejezetenként a modell alrendszereit vizsgáljuk külön-külön. A változókban megjelenő k index minden esetben a k. felhasználóra utal. Feltételezésünk szerint az adóban egy diszkrét forrás állítja elő az átvinni kívánt információt, amit egy megfelelő forráskódoló tömörít, hogy sávszélesség hatékony legyen az átvitel. A tömörített bináris információt b k [i]-vel jelöljük az ábrán. A bináris információból egy csatorna kódoló és egy átszövő után d k [i] szimbólumokat kapunk. A csatornakódoló eljárást és az átszövést nem részletezzük, egy fekete doboznak tételezzük fel, amelynek kimenetén a kódolt, átszőtt szimbólumok jelennek meg. A d k [i] szimbólumokat az elemi jelalakkal moduláljuk, az így előállított x k (t) immár folytonos idejű jel kerül a csatornára. A csatorna torzító hatását a csatorna h k (t) impulzusválasz függvényével írhatjuk le. A csatornán azonban nem csak torzítást szenved a k. felhasználó jele, hanem más forrásokból érkező, illetve a csatornán jelen lévő zaj is zavarja azt. A vevőbe e massza érkezik, melyet y(t)-vel jelöltünk az ábrán. A kérdés az, hogy hogyan demoduláljunk, illetve detektáljunk a három vonallal { bekeretezett dobozban, a lehető legkisebb hibával (azaz úgy, hogy Pr ˆdk [i] d k } [i] minimális legyen). Ha minimális hibával tudunk demodulálni, akkor a csatorna dekódoló és visszaszövő után is minimális lesz a hibás bitek száma a bi- adó b k [i] csat. kódoló interleaver s k (t) d k [i] elemi jelalak moduláció x k (t) más felhasználók jelei csatorna h k (t) + n(t) csatorna y(t) ˆb k [i] csat. dekódoló deinterleaver ˆd k [i] demoduláció vétel vevő 2.1. ábra. A mobil kommunikációs rendszer blokkvázlata 11

12 12 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL } náris adatfolyamban (azaz Pr {ˆbk [i] b k [i] is minimális lesz). Vegyük észre, hogy az utóbbi állítást nem bizonyítottuk. Nem is lehet bizonyítani, mert nem mindig igaz. Manapság kerülnek a tudományos érdeklődés előterébe olyan megoldások, melyekben a vételi és csatorna dekódoló, visszaszövő funkciók egyidejű megvalósításával jobb hatásfokot tudnak elérni. Egy bevezető kurzusnak azonban nem lehet{ célja ilyen, nagy } bonyolultságú eljárások részletezése. Ezért csupán a Pr ˆdk [i] d k [i] valószínűség minimalizálására törekedünk a jegyzet keretein belül és elfogadjuk, hogy ezáltal a bithibaarány is minimális lesz. Így mentesülünk a csatorna kódoló-dekódoló és átszövővisszaszövő eljárások ismertetésétől Az adó oldala A 2.1. ábra bal felső sarkában szaggatott vonallal bekeretezett három blokk részletezése helyett két matematikai szimbólum, a d k [i] szimbólumok és az s k (t) aláírási hullámforma leírásával foglalkozunk. A fejezet végén felírjuk az adóból távozó jel matematikai alakját is A szimbólumok Tételezzük fel, hogy K darab felhasználó ad aktívan a csatornában. A felhasználók bináris adatokat kívánnak a mobil csatornán átjuttatni. Legyen b k [i] az k-adik felhasználó i-edik bitje (k = 1, 2,..., K, b k [i] { 1, +1}). Az adatbiteket először csatornakódolásnak vetjük alá, majd egy úgynevezett interleaver keveri meg a szimbólumokat, hogy a burst-ös hibák ellen védettebb legyen az adatfolyam [1]. A kódolt, megkevert szimbólumokat d k [i]-vel jelöljük, ahol k továbbra is a felhasználót jelöli, i pedig az időpillanatra vonatkozik. Vegyük észre, hogy a d k [i] már nem bináris elemeket (biteket) takar, szimbólum: az elemi hanem komplex értékű szimbólumokat. A szimbólum szó használatát ezért adategység neve hangsúlyozzuk ebben a kontextusban. szimbólumidő: az az időintervallum, amíg egy szimbólum tart konstellációs diagram: a komplex számsíkon ábrázolt lehetséges szimbólumértékek halmaza Egy szimbólum tartási idejét T -vel jelöljük, és szimbólumidőnek hívjuk. A d k [i] szimbólumok lehetséges értékeinek halmazát A-val jelöljük. Az A halmaz elemeit az alkalmazott modulációs technika határozza meg, A -val jelöljük az A halmazban lévő különböző elemek számát. Az A halmazt a lehetséges szimbólumok halmazát a legszemléletesebben a konstellációs diagramon lehet ábrázolni. Mivel a komplex alapsávi ekvivalenssel dolgozunk, a konstellációs diagram is két dimenziós; a valós tengelyt fázisban lévő (In phase I), a képzetes tengelyt kvadratúra (Quadrature Q) összetevőnek nevezzük. Az A halmaznak ki kell elégítenie a normalizáltság feltételét: 1 A d i A d i 2 = 1. Néhány példát tekintünk át a következő alfejezetekben. Bináris fázisbillentyűzés A bináris fázisbillentyűzés (Binary Phase Shift Keying BPSK) moduláció esetében két értéke lehet a szimbólumoknak d k [i] = ±1. Nem a 0 és az

13 2.1. AZ ADÓ OLDALA 13 Q 1 1 I 2.2. ábra. A BPSK moduláció konstellációs diagramja Q 1 1 I 2.3. ábra. A 3ASK moduláció konstellációs diagramja 1 értékeket rendeljük hozzá a lehetséges szimbólumok halmazához, hanem a +1, 1 értékeket. Ennek az oka az, hogy az egyenleteinkben szorzótagként jelenik meg a szimbólum, mindkét lehetséges szimbólumértéknek azonos energiát biztosítva. A 2.2. ábrán láthatjuk a BPSK rendszerek konstellációs diagramját. A tengelyeket metsző rövid szakasz az egység helyét jelöli, az üres karikák pedig a lehetséges szimbólumokat. Amplitudóbillentyűzés Az amplitudóbillentyűzés (Amplitude Shift Keying ASK) még valós, de már többértékű modulációs technika. Lényegét tekintve az amplitudószintek különbözősége hordozza az információt. Az ASK elé írt szám határozza meg, hogy hány darab amplitudószint lehetséges, a szomszédos szintek közötti távolság pedig egyenlő kell legyen. E két tulajdonság a normalizáltság feltételével együtt meghatározza a lehetséges szimbólumértékek halmazát. 3 Például 3ASK esetében A = { 11, 3 11, }, vagy 4ASK estében A = { 3 5, 1 1 5, 5 3, 5 }. A 2.3. ábrán láthatjuk a 3ASK rendszer konstellációs diagrammját. Kvadratúra amplitudómoduláció A kvadratúra amplitudómoduláció (Quadrature Amplitude Modulation QAM) több különböző modulációt takar és már komplex értékkészletű. Úgy, mint az ASK esetében, a QAM-nél is egy számmal jelöljük, hogy hány eleme

14 14 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL Q 1 1 I 2.4. ábra. A 8QAM moduláció konstellációs diagramja Q 1 1 I 2.5. ábra. A 32QAM moduláció konstellációs diagramja A felhasználók a közös csatornán a hullámforma aláírásuk alapján kü- lönböztethetőek meg. A k-adik felhasználó komplex alapsávi hullámformáját s k (t)-vel jelöljük, ahol t a folytonos időt jelöli. A hullámforma lehetséges hullámforma aláírás: olyan folytonos idejű jel, mely minden felhasználót egyértelműen azonosít van az A halmaznak. A szomszédos elemek közötti távolság továbbra is állandó. Ha nem kerül szám a QAM rövidítés elé, akkor a 4QAM az alapértelmezés. A 4QAM esetében A = { 1 2 (1 + j), 1 2 (1 j), 1 2 ( 1 + j), } 1 ( 1 j), 2 8QAM esetében pedig { 1 A = (±1 ± j), ± 1 + 3, ± 1 + } 3 j A 8QAM modulációhoz tartozó konstellációs diagram a 2.4. ábrán látható. A nagyobb bonyolultságú több halmazelemet tartalmazó QAM modulációs halmazokat hasonlóképpen kell előállítani. A teljesség igénye nélkül a 32QAM modulációt jellemző konstellációs diagramot a 2.5. ábrán ábrázoltuk. A kvadratúra fázisbillentyűzés (Quadrature Phase Shift Keying QPSK) moduláció esetében d k [i] {±1, ±j}. Vegyük észre, hogy a QPSK gyakorlatilag a 4QAM moduláció 45 fokkal elforgatott verziója, így nem kell külön tárgyalnunk Aláírási hullámforma

15 2.1. AZ ADÓ OLDALA 15 konkrét matematikai alakjait a későbbi alfejezetekben részletezzük. A hullámforma lehet véges és végtelen tarjójú. A hullámforma véges tartójú, ha véges tartó: időben véges létezik véges A szám és véges T s (tartó)érték, amire intervallumon különbözik nullától s k (t) = 0 t / [A, A + T s ). A véges tartójú hullámforma aláírás egy speciális esete az, amikor az s k (t) tartója azonos a szimbólumidővel, azaz T s = T. A szimbólumidő tartójú rendszerek jelentős egyszerűsítésekkel tárgyalhatók, viszont nem realisztikusak. A könyebb érthetőség érdekében azonban a későbbiekben alkalmazzuk őket. Adott esetben azonban előfordulhat, hogy végtelen tartója van a hullám- végtelen tartó: nem forma aláírásnak. Ekkor nincs olyan intervallum, melyen kívül nullának tekinthető a hullámforma értéke. Bár véges sávszélességhez csak végtelen tartó tartozhat, a valós rendszereket véges tartójúnak szoktuk tekinteni. A valós rendszerekben ugyanis egy előírt ε értéknél kisebb függvényértékeket nem veszünk figyelembe, zajnak tekintjük. A véges tartó méretét az előírt ε értékhez a T s = max { s k (t) > ε} min { s k (t) > ε} t t kifejezés alapján kaphatjuk meg. Az s 1 (t), s 2 (t),..., s K (t) folytonos idejű és komplex értékű függvények. A hullámformák normalizáltak az L 2 térben, azaz fennáll a s i (t), s i (t) = 1 (2.1) egyenlőség, ahol a (??) egyenletben definiáltuk a komplex skaláris szorzás műveletét. Természetesen ha a hullámformák véges tartójúak, akkor az integrálást is elég a véges intervallumon elvégezni. Ideális körülmények esetén a csatornák között nincs áthallás. A csatornák elkülönítését a hullámformák közötti korrelálatlanság biztosítja. A hullámformák közötti korrelálatlanságot matematikailag az alábbi egyenlet írja le: s i (t), s k (t) = 0, ha i k. (2.2) Sajnos valós körülmények között a (2.2) feltétel nem, vagy csak nehezen teljesíthető. létezik zárt intervallum, melyen kívül nulla a függvényérték Frekvenciaosztásos többszörös hozzáférés Ha a felhasználóknak különböző frekvenciasávokat osztunk ki azaz a felhasználókat frekvenciájuk alapján különböztetjük meg egymástól, akkor több felhasználót is kiszolgálhatunk ugyanazon a csatornán. Az s k (t) hullámforma aláírás impulzus amplitudó moduláció (Pulse Amplitude Modulation PAM) esetén FDMA rendszerben a következő alakot ölti: s k (t) = e jk( ω)t Ts (t), (2.3) ahol k egész szám, ( ω) pedig egy minimálisan előírt frekvenciatávolság, amelyet a későbbiekben ki is számítunk. A kifejezés jobb oldalán szereplő Ts (t) egy tartó, amely 0 és T s között különbözik nullától. A függvény ezen az intervallumon konstans értéket vesz fel, mellyel egységnyi energiájú lesz az s k (t)

16 16 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL függvény (azaz mellyel az s k(t) 2 dt = 1 feltétel teljesíthető). Nem bonyolult kiszámolni, hogy az Ts 1 érték esetén a feltétel teljesíthető. A τ (t) függvényt a későbbiekben is alkalmazni fogjuk, ezért külön egyenletben is definiáljuk: { τ 1, ha 0 t < τ, τ (t) = (2.4) 0 egyébként. A ( ω) sávszélességet úgy kell megválasztani, hogy a szomszédos felhasználók elkülöníthetőek legyenek egymástól. Ha a (2.2) egyenlet alapján matematikailag akarjuk ugyanezt megfogalmazni, akkor tetszőleges k-ra s k (t), s k+1 (t) = 0 kell, hogy legyen. A módosított (2.2) egyenletbe (2.3) képletet behelyettesítve azt kapjuk, hogy e jk( ω)t Ts (t), e j(k+1)( ω)t Ts (t) = 0, ami integrál alakban (a véges tartók miatt csak 0 és T s között kell integrálni): Ts 0 e jk( ω)t e j(k+1)( ω)t dt = 0 Ts 0 e j( ω)t dt = 0 1 ( ) e j( ω)ts 1 = 0 j( ω) 2 1 ( ( ω) e j( ω)ts/2 e j( ω)ts/2 e j( ω)ts/2) = 0 2j 2 ( ω) e j( ω)ts/2 sin ( ω)t s = 0. 2 Az utóbbi egyenlőség csak úgy biztosítható, ha sin ( ω)ts 2 = 0, azaz ( ω)t s = lπ, 2 ahol l egész szám. Hogy a lehető legkisebb sávszélességet kapjuk l értékét a lehető legkisebbre kell választani, hiszen ( ω) egyenesen arányos l-lel. Ezért l = 1 választással élünk (l nem lehet nulla, hiszen akkor ( ω) = 0 lenne, azaz minden felhasználó ugyanazt a frekvenciát használná), melyre ( ω) min = 2π T s, avagy f min = 1 T s. A (2.3) képletben T s értékét azért kell véges értéken tartani, mert az egymást követő szimbólumok nem elkülöníthetőek el egymástól, ha véges a tartó. Gyakorlatban előfordul ugyan, hogy (elvileg) nem véges a tartó például GSMben, ekkor azonban nem egy konstans értékű függvényt alkalmazunk, hanem egy megfelelő tulajdonságokkal rendelkező ɛ(t) elemi jelalakot. Az alkalmazott függvénynek teljesíteni kell az alábbi kritériumokat:

17 2.1. AZ ADÓ OLDALA 17 könnyen detektálható, az értékkészlete véges (lineáris erősítő!), a szimbólumközi áthallás valamilyen módon könnyen kezelhető, az elemi jelalak ɛ(t) sávszélessége kisebb, mint a csatornák közötti frekvenciatávolság ( ω). Ortogonális frekvenciaosztásos multiplexálás Egy pillantást vetve a (2.3) képletre egy olyan rendszer vázlata is eszünkbe juthat, melyben csak egyetlen felhasználó ad, de párhuzamosan több ortogonális csatornán. Az ortogonális frekvenciaosztásos multiplexálás (Orthogonal Frequency Division Multiplexing OFDM) lényege az, hogy a fading hatások ellen több vivő alkalmazásával próbálunk védekezni. Mindegyik vivőn külön információt viszünk át; a keskenysávú fading csak néhányat tud zavarni, így a csatornadekódolóval együttműködő vevő hatékonyabban tudja visszaalakítani az átvitt csomagokat. Az OFDM rendszert leíró hullámforma aláírást a modellünk segítségével nem lehet felírni, mert az nem támogatja a párhuzamosítást. Helyette az OFDM adó kimenetén megjelenő folytonos idejű jel alakját írjuk itt fel, amely a következő alakot ölti: x k (t) = C 1 i=0 e jωit Ts (t)d k [i + 1]. (2.5) Kódosztásos többszörös hozzáférés A kódosztásos többszörös hozzáférésnek négy alapvető típusa van: a direkt szekvenciális és a többvivős kódosztásos hozzáférés, a gyors és a lassú frekvenciaugratásos kódosztás. Míg az utóbbi kettő alapvetően egyfelhasználós rendszereket jellemez, az első kettő széles körben alkalmazott többszörös hozzáférésű rendszerekben (pl. IS 95, UMTS). A direkt szekvenciális és többvivős, valamint a gyors frekvenciaugratásos rendszereket ebben a fejezetben tárgyaljuk. Direkt szekvenciális (Direct Sequence DS-CDMA) esetben a hullámforma aláírás az alábbi alakot ölti: s k (t) = C 1 i=0 S k [i] ɛ(t it c ), (2.6) ahol C a chipek számát jelöli, és gyakran azonos a feldolgozási nyereséggel (Processing Gain PG). A képlet közepén látható S k [i] chipek sorozata a k- adik felhasználó kódját adja. Az ɛ(t) függvény az elemi jelformát jelképezi, az argumentumában látható T c pedig a chipidő jele. A gyakorlati megvalósításokban a szimbólumidő egyenlő a chipidő és a chipek számának szorzatával (T = C T c ). A (2.6) képletet úgy egyszerűsíthetjük, hogy ɛ(t) helyére Tc (t)-t írunk. Ezzel könnyebben vizualizálhatóvá válik a DS-CDMA hullámforma. A kereszt-

18 18 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL korrelációra előírt feltétel, melyet (2.2) képletben láthatunk az alábbi alakra egyszerűsödik ebben az esetben: C 1 i=0 S k [i]s l [i] = 0. Egy jól ismert bináris kódcsalád a Walsh-Hadamard féle, amely kielégíti ezt a feltételt. A Walsh-Hadamard kódokat tartalmazó W k mátrixot az alábbi mátrixrekurzióval állítjuk elő: [ ] Wk W W k+1 = k, (2.7) W k W k ahol W k egy 2 k 2 k mátrix, melynek soraiban vagy oszlopaiban egy kód chipjei (S k [i]) találhatóak. A rekurzió kiindulási mátrixa W 0 = 1 alakban adott. Például k = 2-re az alábbi módon néz ki a mátrix: W 2 = (2.8) A lehetséges kódok a sor- vagy oszlopvektorok elemeiből olvashatóak ki. Így például érvényes kód a [+1, 1, 1, +1], amely a legalsó sorvektorból, vagy az utolsó oszlopvektorból olvasható ki. A (2.2) egyenletet a mátrix önmagával vett szorzatával bizonyítjuk. Ha minden k értékre igaz a W k W T k = K I (2.9) egyenlőség, ahol K egy konstans, I pedig az egységmátrix, akkor a (2.2) teljesül (gondoljunk bele!). A (2.7) egyenletet behelyettesítve azt kapjuk, hogy [ ] 2 W W k Wk T 2 = k Wk 1 2, minden k-ra. Mivel a mátrix hatványozás nem változtat a [ ] A 0 0 A típusú mátrixok szerkezetén (a nullák helyén továbbra is nullák lesznek), csak a diagonálisban lehetnek nullától különböző elemek, illetve K értéke a (2.9) egyenletben egyenlő lesz 2 k -nal. Többvivős (Multi-Carrier MC-CDMA) kódosztás esetében a hullámforma aláírás alakja az alábbi formára módosul: s k (t) = C 1 i=0 S k [i]e jωit ɛ(t), (2.10) ahol C az alvivők számát jelöli. Minden alvivőhöz egy S k [i] chip tartozik, az i-edik alvivő frekvenciáját pedig ω i -vel jelöltük. A gyakorlatban ω i = i( ω), ahol ( ω) az alvivők közötti frekvenciatávolság. Az ɛ(t) függvény itt is az elemi jelformát jelöli. A hatékony működés érdekében ɛ(t) sávszélessége tipikusan

19 2.1. AZ ADÓ OLDALA 19 kisebb, mint ( ω), de előfordulnak olyan rendszerek is például a többtónusú (Multi-Tone MT-CDMA) kódosztásos rendszer, ahol ez a feltétel nem teljesül. Ekkor a vevőben az átlapolódó sávok problémáját is kezelni kell. A gyors frekvenciaugratásos rendszert alapvetően egyfelhasználós csatornákon alkalmazzák, de nem kizárt a többfelhasználós alkalmazása sem. A gyors és lassú frekvenciaugratás között az a különbség, hogy a frekvenciaváltás ütemezése kisebb, vagy nagyobb-e a jelzési sebességnél. Mivel modellünkben az s k (t) hullámformát minden szimbólum alatt azonosnak tételezzük fel, csak olyan hullámformát tudunk felírni, melynek periódusa T. A hullámforma aláírás a gyors frekvenciaugratás esetében, ha T = C T c : s k (t) = C 1 i=0 e js k[i]( ω)t ɛ(t it c ), ahol C a kód hossza, ɛ(t) az elemi jelalak Kisugárzott és vett jel Attól függően, hogy az uplink, vagy a downlink csatornán sugárzott jel- uplink: a mobil ről van szó, két külön esettel kell foglalkoznunk. A downlink esetben a jelek először összegződnek, majd az szuperpozíciójuk kerül a csatornára. Az bázisállomás felé állomástól a összegzett jel egységesen torzul, a vevő bemenetére a szuperponált jel torzult irányuló kommunikációs alakja érkezik. Uplink esetben az adók külön-külön kisugározzák saját adásukat, azok külön torzulnak a csatornán, majd a torzult jelek szuperpozíciója downlink: a csatorna kerül a vevő bemenetére. A különbség abban rejlik, hogy a jel összegzés előtt, bázisállomástól a mobil vagy az után torzul a csatornán. A kétféle megközelítés kétféle modellt fog állomás felé irányuló eredményezni, ahogyan azt a későbbiekben látni fogjuk. A továbbiakban is a kommunikációs csatorna rövidség kedvéért uplink és downlink szavakkal hivatkozunk e két esetre. Először nézzük meg, hogy mit sugároz ki az adó. A k-adik felhasználó által kisugárzott komplex alapsávi jelet x k (t)-vel jelöljük ami a következő formában írható: x k (t) = A k d k [i]s k (t it ), (2.11) i ahol az A k a k-adik felhasználót jellemző komplex amplitudóérték. A komplex alapsávi modell miatt eltekinthetünk a vevőfrekvenciát jelképező tag kiírásától, és a fáziscsúszást is egyetlen komplex szorzótényezőbe tudjuk kiírni. Uplink esetben a folytonos idejű h ul k (t) függvény írja le a k-adik felhasználót jellemző időinvariáns csatornát. Downlink esetben minden felhasználót ugyanaz a csatorna jellemez, így h dl k (t)-vel jelölhető a bázisállomás és a k-adik vevő közötti időinvariáns csatorna. A vevő bemenetére érkező jel amelyet y(t)-vel jelölünk a bázisállomáson és y k (t)-vel a k-adik mobil állomáson uplink esetben a következő: y(t) = ( h ul k (t) x k (t) ) + n(t), (2.12) k ahol n(t) a csatornán lévő fehér Gauss zajt jelöli. Downlink esetben: ( ) y l (t) = h dl l (t) x k (t) + n(t). (2.13) k

20 20 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL Az n(t) zajt kétoldalas N 0 spektrális sűrűségű, fehér folyamatnak tételezzük fel. Fehérségét vagy korrelálatlanságát a következő matematikai egyenlettel fejezhetjük ki: E {n(t)n (t + τ)} = N 0 δ(τ), (2.14) ahol δ(τ) a Dirac-delta, azaz nullát ad eredményül, ha argumentuma nem egyezik meg nullával, és egyet ad, ha argumentuma nulla. Bár modellünkben a csatornát időinvariánsnak tételezzük fel, a modell könnyedén kiterjeszthető az idővariáns esetre is, ekkor a h(t) függvények argumentumában megjelenik még egy idő jellegű paraméter. Erről a 2.2. fejezetben olvashatunk bővebben. Ha az uplink és downlink csatornákat időben megosztott módon különítik el egymástól, akkor időosztásos duplexálásról (Time Division Duplexing TDD) beszélünk. Ekkor az időinvariáns uplink és downlink csatornák megegyeznek, azaz h ul k (t) = hdl k (t). A TDD módon kívül előfordulhat, hogy az uplink és downlink kommunikáció különböző frekvenciasávokban zajlik, ezt nevezzük frekvenciaosztásos duplexálásnak (Frequency Division Duplexing FDD). FDD esetben általában a downlink és uplink csatornák különbözőek, azaz általában h ul k (t) hdl k (t). Kódosztásos duplexálást nem szoktak rádiós berendezésekben alkalmazni a gyakorlatban, mert nagyon nehéz lenne elektronikailag megvalósítani az egyidejú adást és vételt ugyanabban a frekvenciasávban A csatorna modelljei A csatornát egyértelmű módon leírhatjuk a h k (t) függvénnyel, amely a csatorna impulzusválaszát jelenti. A h k (t) függvény alakja alapján különböző csatornamodellekről beszélhetünk. Itt nem célunk a csatornamodellek részletes leírása, csak egy rövid bemutatót kívánunk adni, hogy a későbbiekben alkalmazott levezetéseknél ne érjék meglepetésként az olvasót az alapvető modellek. Ebben a részben a csatorna természetéről fogunk szólni, amely csatorna lehet uplink és downlink egyaránt. Ezért az ul és dl rövidítéseket elhagyjuk a következőkben, állításaink mindkét esetben megállják helyüket. Az additív fehér gaussi zajjal terhelt csatorna (Additive White Gaussian Noise AWGN) a legegyszerűbb modell. Gyakorlatilag rádiós csatornán soha nem fordul elő, de segítségével rengeteg levezetésben lényegesen egyszerűbb formára juthatunk egyenleteinkkel. Szinkron AWGN esetben a csatorna impulzusválaszát a h k (t) = α k δ(t) (2.15) kifejezés adja meg minden k értékre, ahol α k a k-adik felhasználót jellemző csillapítás. Miután a h k (t) értékkel konvolúciót hajtunk végre, ez annyit jelent, hogy a bejövő jellel nem csinálunk semmit csak csillapítjuk egy α k szorzóval, a kimeneten a csillapított jel jelenik meg. A csatorna hatása persze a gaussi zajban is megnyílvánul. Eggyel bonyolultabb, de mobil környezetben még mindig nem realisztikus modell az aszinkron AWGN csatorna, amely az alábbi képlettel írható le: h k (t) = α k δ(t τ k ), (2.16)

21 2.2. A CSATORNA MODELLJEI 21 h k(t) τ k1 α k1 α k2 α k3 τ k2 τk3 τ k4 α k4 t 2.6. ábra. Példa időinvariáns csatorna-impuzlusválaszra azaz az előző esethez képest egy τ k késleltetés is jellemez minden felhasználót. A felhasználók jele nem egy időben szinkron módon érkezik a vevő bemenetére, hanem mindegyik felhasználóé más és más késleltetéssel aszinkron módon. Ezért nevezzük a (2.16) csatornát aszinkron AWGN csatornának. A következő modell, amely mobil környezetben már realisztikus lehet, az időinvariáns, többutas, fadinges csatorna, melyet az alábbi egyenlettel definiálhatunk L k h k (t) = α kl δ(t τ kl ), (2.17) l=1 ahol az l változóval jelzett szumma a jelutakat gyűjti össze, melyekből L k darab van. A k-adik felhasználó l-edik jelútjára α kl csillapítás és τ kl késleltetés jellemző. A (2.17) egyenletben szereplő paraméterek nem függenek az időtől, ezért a csatornát időinvariánsnak nevezzük. Az időinvariáns csatornamodell alkalmas rövid csomagok átvitelét torzító csatornák leírására, például a GSM rendszer börsztös átvitelének modellezésére. Egy lehetséges valós csatorna reprezentációját láthatjuk a 2.6. ábrá Az idővariáns csatornamodellre akkor van szükség, amikor az adatátvitel ideje alatt a csatorna nem tekinthető állandónak. Példaként az FDD módban üzemelő UMTS berendezés folytonos adatátvitelét említhetjük. Idővariáns csatorna esetében a csatornát leíró impulzusválasznak nem csak egy időargumentuma van; szükségünk lesz egy időparaméterre a konvolúcióhoz (ezt τ- val fogjuk jelölni) és egy paraméterre az időfüggőség leírásához (amely marad t). Ezért az elkövetkezőkben h k (t) helyett h k (t, τ)-t írunk majd. A konvolúció műveletét például az uplink esetben (2.12) az alábbi módon kell végrehajtani: y(t) = k = k h k (t, τ) x k (t) + n(t) (2.18) h k (t, τ)x k (t τ) dτ + n(t). A downlink eset hasonlóképpen kezelhető. Az idővariáns többutas fadinges csatorna minden mobil alkalmazásban megfelelő modell lehet, alakja h k (t, τ) = L k (t) l=1 α kl (t)δ(τ τ kl (t)). (2.19) Mint az az egyenletből látható nem csak a csillapítás és késleltetés értékek változhatnak t-vel, hanem az utak száma (L k (t)) is lehet időben változó. Matematikailag egy rendszert nagyon nehéz leírni ilyen bonyolultságú csatornamodellel, ezért levezetésekben nem alkalmazzuk a (2.19) képletet. A könnyebb

22 22 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL t h k (t, τ) τ 2.7. ábra. Példa idővariáns csatorna-impuzlusválaszra érthetőség kedvéért a 2.7. ábrán láthatjuk a 2.6. ábra idővariáns verzióját. Itt azonban nem tüntettük fel a paramétereket, hogy elkerüljük a káoszt az ábrán. Vegyük észre, hogy a késleltetés és csillapítás értékek is változnak az idő (t) függvényében. Sőt, ahogy telik az idő, megjelenik egy új terjedési komponens (azaz L k értéke négyről ötre növekszik) A vevő oldala Mivel az uplink és downlink kommunikációt két külön egyenlettel jellemezhetjük (lásd (2.12) és (2.13) egyenleteket), további vizsgálatainkban is két ösvényt kellene járnunk. E helyett azonban csak az uplink esetre írjuk fel egyenleteinket, melynek két oka van: A downlink csatorna lényegesen egyszerűbben kezelhető a valóságban. Például pilot-jel alkalmazásával koherens vétel valósítható meg minden mobilállomáson. Egyenleteink könnyen átalakíthatóak a downlink esetre. Ott ugyanis a szuperponált jeleket torzította egy egységes csatorna. Az utóbbi állítást matematikailag úgy bizonyíthatjuk, hogy ha minden k-ra az h ul k (t) = hdl l (t) helyettesítéssel élünk a (2.13) egyenlet esetében, akkor a (2.12) alakot kapjuk vissza. A két eset tehát azonosan kezelhető. Ezért a továbbiakban egységesen az uplink esetre vonatkoznak egyenleteink, bár az ul rövidítést elhagyjuk. A vevő bemenetére érkező jel a következő alakban írható fel, ha K aktív felhasználó van a rendszerben: y(t) = = K h k (t) x k (t) + n(t) (2.20) k=1 K A k d k [i](h k (t) s k (t it )) + n(t). k=1 i Nevezzük most el c k (t)-nek a h k (t) s k (t) értékét. A c k (t) segítségével ugyanis (2.20) a következő alakra egyszerűsíthető: y(t) = K A k d k [i]c k (t it ) + n(t). (2.21) k=1 i

23 2.3. A VEVŐ OLDALA 23 Mint látható c k (t) bevezetése ügyes trükk volt, hiszen a csatornamodelltől függetlenül mindig ugyanazt az alakot kapjuk, így nem kell külön-külön bajlódni a különböző csatornákra vonatkozó egyenletekkel. Célunk egy szűrő építése, mellyel a kimeneten diszkrét, folytonos értékkészletű jeleket állíthatunk elő a bemeneten érkező folytonos idejű jelből. A diszkretizálás módja a következő: veszünk egy folytonos ψ i (t) jelet, melyből előállítjuk az y i = y(t), ψ i (t) diszkrét jelet. A diszkrét formára azért van szükség, mert a folytonos idejű jelek nagyon nehezen kezelhetőek. A diszkrét jel viszont már feldolgozható különböző matematikai algoritmusokkal. Ugyanakkor nem szabad elfelejteni, hogy a diszkrét formára alakítás információvesztéssel jár. Két esetet fogunk alaposabban megvizsgálni. Az egyik az általános vevőszűrő a fejezetben, amely minden esetet leír, de éppen emiatt nincsenek speciális tulajdonságai. A másik a csatornához illesztett szűrő a fejezetben, amely rengeteg kellemes tulajdonsággal rendelkezik, viszont idealista feltételezések szükségesek a működéséhez Általános vevőszűrő Legyen {ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ M (t)} C(, ) folytonos idejű, komplex értékkészletű, lineárisan független, folytonos függvények halmaza. A halmazban lévő függvények számát a halmaz dimenzióját M-mel jelöljük. A halmazt akkorára választjuk, hogy az megfelelően kis hibával írja le a {c 1 (t), c 2 (t),..., c K (t)} hullámformák halmazát. Például minden i-re létezzen (a ij ) sorozat mellyel c i(t) a ij ψ j (t) dt < ε, (2.22) j ahol ε egy előre rögzített konstans (a maximális hiba mértéke). Általánosan igaz, hogy tetszőlegesen kicsi ε értékhez létezik {ψ i (t)} halmaz, melyre a (2.22) feltétel teljesíthető. A legrosszabb esetben M >> K lesz. A ψ k (t)-k lineáris függetlenségét úgy kell elképzelni, hogy ψ j (t), ψ k (t) = 0, ha j k. Egy lehetséges és a gyakorlatban gyakran alkalmazott választási lehetőség a következő: ( ψ i (t) = T/M t (i 1) T ), (2.23) M ahol τ (t)-t a (2.4) egyenletben definiáltuk. A (2.23) egyenlet gyakorlatilag nem jelent mást, mint mintavételezést az adatfolyamból T/M időközönként. Minél nagyobb az M mértéke, annál sűrűbben veszünk mintát, és annál pontosabban írhatjuk le a folytonos jelfolyamot. Természetesen nem muszáj a (2.23) egyenlet függvényét alkalmazni. Tetszőleges más lineárisan független függvényrendszer alkalmas lehet a feladatra. OFDM demodulátorokban gyakran inverz Fourier-transzformációt alkalmaznak, mely szerint ψ i (t) = e ji( ω)t. Az ortogonalitás természetesen itt is biztosított lesz. A következő jelöléseket vezetjük be: y i [l] = y(t), A i ψ i (t lt ), (2.24)

24 24 FEJEZET 2. RENDSZERMODELL szimbólumközi áthallás: a szimbólumok egymásra lapolódnak és így zavarják egymást többszörös hozzáférésből adódó interferencia: több felhasználó adása zavarja egymást ρ ik [l] = c i (t), A k ψ k (t lt ), (2.25) n i [l] = n(t), A i ψ i (t lt ). (2.26) Az adaptív és a vak eljárások, amelyekben nincsen csatornához illesztett szűrő az y i [l] értékeket alkalmazzák arra a feladatra, hogy becslést adjanak az elküldött d k [i] szimbólumokra. Behelyettesítve a (2.24), a (2.25) és a (2.26) értékét (2.21)-be a következő alakra jutunk: y i [l] = K ρ ik [l j]d k [j] + n i [l], (2.27) k=1 j amely M diszkrét értéket állít elő K felhasználó minden egyes szimbólumához. Ha a ρ il [k] 0 feltétel teljesül k 0 esetén, akkor azt mondhatjuk, hogy szimbólumközi áthallás (intersymbol interference ISI) van a csatornán. A többszörös hozzáférésből adódó interferencia (multiple access interference MAI) a ρ il [0] 0, i l feltétel teljesülése esetén fordul elő. Az esetek többségében mindkét interferenciahatás megtalálható a csatornán. A további matematikai analízis érdekében vezessük be az alábbi vektorokat és mátrixokat: d[l] = (d 1 [l], d 2 [l],..., d K [l]) T, (2.28) y[l] = (y 1 [l], y 2 [l],..., y M [l]) T, (2.29) n[l] = (n 1 [l], n 2 [l],..., n M [l]) T, (2.30) ρ 11 [l] ρ 12 [l]... ρ 1K [l] ρ 21 [l] ρ 22 [l]... ρ 2K [l] R[l] = (2.31) ρ M1 [l] ρ M2 [l]... ρ MK [l] A fent definiált vektorokkal és mátrixokkal (2.27) a következő alakra hozható: avagy y[l] = R[l] d[l] + n[l], (2.32) y[l] = i R[l i]d[i] + n[l]. (2.33) Ha blokkokban továbbítjuk az adatainkat, azaz létezik hossza a d k [i] sorozatnak i-ben, akkor egy egyszerűbb egyenlethez juthatunk el. Legyen N a szimbólumok száma a blokkban. A vektorokat hipervektorokba, a mátrixokat hipermátrixokba rendezve d = (d T [1], d T [2],..., d T [N]) T, (2.34) y = (y T [1], y T [2],..., y T [N]) T, (2.35) n = (n T [1], n T [2],..., n T [N]) T, (2.36) R[0] R[ 1]... R[ N + 1] R[1] R[0]... R[ N + 2] R = , (2.37) R[N 1] R[N 2]... R[0] a következő egyszerű alakra juthatunk: y = Rd + n, (2.38)