1 Feles spin és fotonpolarizáció

Átírás

1 1 FELES SPIN ÉS FOTONPOLARIZÁCIÓ 1 1 Feles spin és fotonpolarizáció Stern és Gerlach kísérletének vázlatos leíráása: Kályha, ezüstatomok, kollimátor, inhomogén mágneses mező. Az ezüstatomok elektromosan semlegesek ezért egy homogén mágneses mező nem gyakorol rá erőt. Azonban mint kiderült ezek az atomok mágneses dipólusmomentummal rendelkeznek, azaz úgy viselkednek mint egy ki mágnestű vagy egy kis köráram. Az ilyen tulajdonságú részecskékre azz inhomogén mágneses mező erőt gyakorol.emiatt az ezüstatomok eltérülnek a berendezés mögött. Az eltérülés arányos a mágneses diplólus momentumnak az inhomogenitás fő irányába mutató komponensével. A mágneses dipólusmomentum mindig mechanikai momentumhoz, perdülethez azaz impulzsusnyomatékhoz kapcsolódik, azzal arányos. Mivel azt gondoljuk, hogy a perdület vektora akármilyen irányú is lehet a térben, azt várjuk, hogy mindenféle irányba jönnek ki az ezüstatomok, ehelyett lényegében csak két egymástól jól elkülönülő irányban történik eltérülés, az atomnyaláb ketté válik. Megelőlegezve itt a későbbi eredményeket, kiderült hogy a két nyaláb a kísérletek szerint /2 illetve /2 impulzusnyomatékú ezüstatomoknak felel meg. A lényeges eredmény szempontunkból egyelőre az, hogy két kimenő csatorna van, ha az inhomogenitás fő irányát választjuk a z tengelynek, akkor a kijövő atomok +z vagy z irányba térülnek el. Takarjuk ki most az egyik kimenő nyalábot, mondjuk a z irányba eltérülőt, és helyezzünk el egy másik SG berendezést az első után, amelynek az inhomogén tere ugyanolyan azaz z irányú, mint az elsőé. Ekkor ennek kimenetén már z már nem jelentkezik, ami érthetőnek látszik, hiszen azokat már kiszűrtük. Legyen azonban most a második berendezésünk olyan, hogy az IMM +x irányú, azt tapasztaljuk, hogy az elsőbőll kijövő +z típusú részecskék egyik fele a +x másik fele a x irányba jön ki. Nem meglepő. Tegyünk azonban most egy harmadik berendezést is be, a második után, amely ismét z irányú. azt találjuk, hogy azon megint van z. Tehát ha a dolgot úgy képzeltük volna, hogy az első berendezés már kiszűrte a z irányú részecskéket és azok már nem jelenkeznek a harmadikban ez nem felel meg avalóságnak. A dolog talán még meglepőbb ha úgy képzeljük el a dolgot, hogy a két z irányú közül az egyiknek a -z jét takarjuk ki, a másiknak a +z ját, ha csak ez a kettő van, akkor nincs kilépő részecske. tegyük most be az x irányút a kettő közé ekkor megjelenik a harmadik után a z (és a +z is). Úgy tűnik, hogy az x irányú berendezésen áthaladó részecskék elfelejtik az előző szűrés eredményét. A hagyományos részecskeképpel ez semmiképpen nem magyrázható. A jelenséget leíró kvantummechaniakai modell részletes tárgyalását későbbre hagyjuk, most az a célunk, hogy egy analógia segítségével egyáltalán fölvázoljuk azt a modellt amelyben a jelenség tárgyalható. A dolog megértése céljából hívjunk segítségül egy sok szempontból hasonló problémát. Fényforrás: célszerűen lézer, kalcit kristály, amely kettősen tör. A nyaláb ketté válik. Az egyik mondjuk vízszintesen, a másik függőlegesen polarizált. Kitakarhatjuk az egyik nyalábot vagy célszerűen a kitakarás helyett alkalmazhatunk egy olyan eszközt polarizátort amely eleve csak valamely irányba poláros fényt enged át. Az erre merőleges irányú polarizátort betéve nincs átmenő fény.

2 1 FELES SPIN ÉS FOTONPOLARIZÁCIÓ 2 Tegyünk közbe azonban egy 45 fokban álló polarizátort. Az átmenő fény ismét megjelenik. Hogyan magyarázhatjuk a jelenséget fény esetén? A lézerből kijövő fényhullám transzverzális és elektromos vektora E = E 0 cos(ωt kx). Itt E 0 iránya véletlenszerű, ezért átengedjük először egy x irányú polarizátoron, amely kiválasztja az x irányú rezgést ennek nincs y irányú komponense, ezért van az, hogy ha amásodik polrizátor y irányú akkor azon már nem megy át az x polarizált komponenes. Ha azonban beteszünk a kettő közé egy 45 fokos polarizátort, akkor mivel az x-est felbonthatjuk efgy 45 és -45 ös rezgésre, a 45 fokoson átmegy a fény de csak a fele viszont ezután a polarizátor után a fény már 45 fokos polarizációjú lesz azaz elfelejti a korábbi rezgését. a 45 fokosnak viszont már megint lesz y irányú összetevője, ezért ezután márt át fog menni a harmadikon is. Az intenzitása viszont ismét gyengülni fog. Ha meggondoljuk hasonló dolog történik az ezüstatomokkal a három SG berendezésen való áthaladás után. Azt kell föltételeznünk tehát, hogy a spin mérése szempontjából az ezüstatomok is valamiképpen hasonlóan viselkednek mint a fény, azaz mintha egy bizonyosirányú impulzusmomentum valami fajta rezgési iránynak felelne meg, s emiatt az impulzusmomentummal rendelkező részecskék hasonlóan viselkednek mint a polarizáció szempontjából a fény. De hogyan lehetne a spint úgy tekinteni mint egy valamilyen irányban rezgő vektort, hiszen itt diszkrét részecskék csapódnak be a detektorba. Mégis erről van szó, és valójában a fénypolarizációnál is föllép ez a meglepő jelenség, ha figyelembe vesszük, hogy ha a polarizátoros berendezést finomítjuk, a bejövő intenzitást gyengítjük, itt is diszkrétség van, a fotonokat számlálni lehet. Mivel a fény esetében a hullámképből már tudjuk hogy minek kell kijönni, a dolgot ennek segítségével elemezhetjük, és a kvantummechanika bizonyos törvényszerűségeit ennek alapján megállapíthatjuk. Tekinsünk tehát egy fényforrást, egy lézert amelyből kijövő fénysugarat, melynek terjedési iránya legyen a z tengely iránya. Ezt átengedünk egy polarizátoron amely egy a z-re merőleges ê p egységvektor által kijelölt irányba polarizál. Engedjük át ezt a polarizált fényt ezután egy kettősen törő kalcit kristályon, amelyből vízszintes ˆx és függőleges ŷ polarizációjú fény lép ki. Ha az ê p az x tengellyel θ szöget zár be, akkor az ê p irányú elektromos vektort fölbonthatjuk ê p = ˆxcos θ + ŷ sin θ alakba és így az x irányú amplitúdó cosθ arányban kisebb lesz, míg az y irányú sin θ arányban. Mivel a fény intenzitása (Poynting vektorának nagysága) az amplitúdó négyzetével arányos a megfelelő intenzitások I 0 cos 2 θ illetve I 0 sin 2 θ. Gyöngítsük most azonban az intenzitást. Detektorok stb., valószínűség. Sajátállapot. Mivel cos θ = x e, sin θ = y e belső vagy skaláris szorzat. Ennek alapján e = xcos θ + y sin θ = x x e + y y e írható. Egyesítsük újra a két nyalábot és engedjük át egy e -s berendezésen. Ha e merőleges e-re, akkor az előbbi elgondolás alapján 0-t várunk. Ha viszont a fotonokat a klasszikus részecskekép alapján gondoljuk, akkor a következőt kapnánk részecskekép alapján. A hullámkép adja a helyes eredményt. Azaz nem szabad a valószínűségeket összeadni, hanem a megfelelő amplitúdókat kell összeadni és a végén négyzetre

3 1 FELES SPIN ÉS FOTONPOLARIZÁCIÓ 3 emelni. Konklúzió: Minden e e höz hozzárendelünk egy valószínőségi amplitúdót, c(y e) = y e, ez egy szám, mint látni fogjuk komplex, ha a részecske több külön úton is mehet, akkor az amplitúdókat kell összeadni és a végén négyzetre emelni, ez adja a valószínűséget. Létezik olyan kristály, amely a ráeső síkhullámot két, ellentétes értelmű cirkulárisan poláros nyalábra bontja + és, az amplitúdó bármilyen lineárisan poláros beeső irányban. Ennek alapján ki lehet deríteni, hogy az amplitúdók komplex számok Stern Gerlachra visszatérve ezüst atomok esetén két kimenet volt, de ugyanez a helyzet Na, K atomok esetén is. Hasonló jelenséget tapasztaltak más atomok nyalábjainál is, azzal a különbséggel, hogy több kimenő csatorna is lehetséges, Pl. Hg esetén 1 V esetén 4 Mn 6 Fe 9 Az ok a kérdéses atomok sajátimpulzusmomentumával, spinjével van kapcsolatban és a magyarázatot később látni fogjuk. Ezekből a kísérletekből a következő szabályok vonhatók le: Van egy kezdő állapot jelöljük ezt ψ-vel ez bemegy egy olyan berendezésben, amelynek n különböző kimenete lehetséges, amely után a részecske egy, k = 1,2,...n állapotba kerülhet (egy részecske mindig csak egybe). Akkor minden kimenethez rendelhetünk egy komplex számot az u k ψ valószínűségi amplitúdót, amelynek abszolút érték négyzete megadja azt, hogy mekkora valószínűséggel megy a k-adik csatornába a részecske, de erről csak úgy tudunk meggyőződni, ha oda is tesszük a detektort. Mivel a részecske valahova biztosan megy: uk ψ 2 = 1 (1.1) Ha eleve valamelyik u k állapot volt a bejövő, akkor az eredmény biztosan ugyanez lesz csak a k adik csatornába történik kimenet, azaz u k u k = 1 és u k u l = 0. ha k l Emiatt az u k állapotokat az adott módon beállított berendezés sajátállapotainak nevezzük Ha a részecskét előbb beengedjük egy másik berendezésbe amelynek sajátállapotai v i -k, majd a csatornákból kijövő lehetséges részecskenyalábokat újra egyesítjük, és ezután engedjük az A berendezésbe, akkor az u k mérési eredmény amptúdóját a u k v i v i ψ (1.2) összeggel kell kiszámítani. i

4 2 YOUNG KÍSÉRLET, SCHRÖDINGER EGYENLET 4 2 Young kísérlet, De-Broglie hullámok, szabad részecske Schrödinger egyenlete A részecske térbeli elhelyezkedéséről akarunk valamit mondani. Forrás, ernyő intenzitáseloszlás. Young féle kettős rés. x ψ = x ϕ 1 ϕ 1 ψ + x ϕ 2 ϕ 2 ψ (2.3) ψ(x) = ϕ 1 (x) ϕ 1 ψ + ϕ 2 (x) ϕ 2 ψ = c 1 ϕ 1 (x) + c 2 ϕ 2 (x) (2.4) megtalálási valószínűség ρ(x) = ψ(x) 2, szuperpozíció, interferencia. Milyen egy konkrét esetben a ψ(x)? Akármi is lehet, csak annyi van előírva, hogy legyen négyzetesen integrálható. Pl. ψ(x) = Ne x2 /4σ 2, ahol N egy úgynevezett normálási tényező, amelyet úgy kell megválasztani, hogy a négyzetintegrál 1 legyen. Ezt majd még finomítjuk. Egy fontos esetet javasolt DeBroglie, legyen egy adott p impulzusú részecske esetén Ψ p (x,t) = Ce i(kx ωt), ahol k = p/, ω = E/, ahol egy m tömegű nemrelativisztikus részecske esetén E = p 2 /2m. Ebből következik, hogy most ω kc, hanem ω = k2 2m Mélyebben is meg lehet alapozni, hogy egy p impulzusú állapot amplitúdója éppen a fönti Ψ p (x,t), de ezt most nem tesszük. Komoly hátrány, hogy ez nem négyzetesen integrálható. Schrödinger olyan egyenletet keresett, amelynek ez megoldása, továbbá olyat amely időben elsőrendű. Állítás Ψ p (x,t) eleget tesz a következő egyenletnek: i Ψ t = 2 2 Ψ 2m x 2 (2.5) Bizonyítás... A DB hullám alakja adott t =? időpontban v p (x) = 1 2π e ikx,.ahol C-t szokásosan 1 2π nak választottuk a választás okát később látjuk majd. 3 Hilbert tér és lineáris operátorai, Dirac jelölés Az előző szakaszban láttuk, a mikrorészecskék tulajdonságai magyarázhatók egy matematikai képpel, melyben a részecske állapotváltozásait komplex számokkal, valószínűségi amplitúdókkal, írjuk le. Ezeket egy ψ absztrakt állapotból egy másik ϕ állapotba vaaló átmenethez rendeljük, és ϕ ψ -vel jelöljük. Ennek abszolút érték négyzete mondja meg azt, hogy mekkora az átmenet valószínűsége. Azonban ha jobban meggondoljuk, a dolgot tulajdonképpen meg kell fordítanunk, egy állapot megadása éppen azáltal történhet, ha ezeket az amplitúdókat megadjuk, oly módon, hogy megmondjuk, hogy egy adott mérőberendezés esetén

5 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 5 az egyes csatornákba mekkora amplitúdóval jut a részecske. Az állapotról akkor lehet konkrétan beszélni, tehát éppen azáltal tudjuk jellemezni, hogy megmondjuk, mekkorák ezek az amplitúdók valamilyen kiválasztott mennyiség mérése szempontjából. amelyek az egyik állapotból egy másik állapotba való átmenethez tartoznak. Megjegyezzük még, hogy mivel egy részecske állapota szükségképpen megváltozik a mérés során, a konkrét méréshez az szükséges, hogy sok azonos módon preparált részecskével végezzünk mérést. Ha a részecskén semmifajta mérést nem végeztünk, vagy nem minden lehetséges amplitúdóját ismerjük, az állapotot akkor is lehet alkalmas módon jellemezni, erről a későbbiekben lesz szó. Eme tapasztalatok alapján a kvantummechanika kialakulása után rövidesen kiformálódott az a matematikai keret, amely alkalmas a mikrorészcskék tulajdonságainak tárgyalására. P. Jordan majd általánosabban P. Dirac végül a matematikai egzaktság minden követelményének megfelelően Neumann János dolgozta ki ezt az keretet, amely a Hilbert terek lineáris operátorainak elméletén alapul. Ennek lényege, hogy a részecskék állapotait egy lineáris, belső szorzat struktúrával is ellátott vektortér elemeiként kell tekinteni, a jellemző fizikai mennyiségeknek pedig a téren értelmezett lineáris operátorok felelnek meg. Ezen megfeleltetés pontosabb részleteit a következőkben majd axiómaszerűen is ki fogjuk mondani, előbb azonban bevezetjük az állpottér azaz a Hilbert tér fogalmát. Jelölésünkben Dirac nyomán a vizsgálandó halmaz, a Hilbert tér elemeit a ψ, ϕ, φ, χ módon fogjuk jelölni, amennyiben ezekre a közönséges háromdimenziós vektorokhoz nagyon hasonló tulajdonságok érvényesek, azaz ezeket össze lehet adni és számmal szorozni és ezek ismét a tér elemei lesznek. így újabb vektorok elemek halmazát lineáris térnek vagy lineáris vektortérnek nevezzük, ha érvényesek két mûvelet definiálható, a kommutatív és asszociatív összadás és a számmal való szorzás, azaz ψ+ϕ és aψ is a tér eleme, ahol a egy komplex szám. Az elemeket vektoroknak fogjuk nevezni. Tetszőleges elemekre érvényes, hogy I. ψ+ϕ = ϕ+ψ kommutatív, ψ+(ϕ + χ) = (ψ + ϕ)+χ, asszociatív, létezik egyetlen olyan vektor, amelyre ψ + = ψ, II. a(ψ + ϕ) = aψ+aϕ, (a+b)ψ = aψ+bψ, a(bψ) = (ab)ψ, 1ψ = ψ, 0ψ = Az utolsó tulajdonság miatt a 0 szám és a vektor között a továbbiakban nem kell különbséget tenni. Lineáris függetlenség, bázis. Mivel c komplex is lehet, ennyiben bonyolultabb a vizsgált tér a közönséges vektorok terénél. A kavantummechanikai leírás a lineáris térnél gazdagabb struktúrát követel, ezért definiáljuk a vektorok belsõ szorzatát is, egy rendezett ψ, ϕ elempárhoz egy komplex számot rendelünk: ( ψ, ϕ ) melyet ψ ϕ -vel jelölünk vagyis ( ψ, ϕ ) ψ ϕ, (3.6) és amely a közönséges belsõ szorzathoz hasonló tulajdonságokkal rendelkezik: ψ aϕ = a ψ ϕ, (3.7)

6 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 6 ebbõl következõen ψ ψ valós, és posztuláljuk, hogy ψ ϕ = ϕ ψ (3.8) ψ ψ 0, és ψ ψ = 0 akkor és csak akkor, ha ψ = 0 (3.9) A vektor hossza, vagy normája ψ = ψ ψ. Az ily módon kapott tér egy belsõ szozat tér, vagy véges dimenziós esetben szokásos a komplex euklideszi tér elnevezés is. A belső szorzat segítségével értelmezhető két vektor, a ψ és ϕ távolsága, amelyet ψ ϕ definiál. Értelmezhetõ az elemek sorozata, illteve a távolság fogalmának fölhasználásával a konvergencia illetve a határpont is. Ha a vektortér véges dimenziós, akkor a valós számokra vonatkozó ismert tételhez hasonlóan meg lehet mutatni, hogy minden Cauchy sorozat konvergens a térben. Azaz, ha ϕ n egy olyan sorozat, hogy ϕ n ϕ m tetszõlegesen kicsivé válik valahányszor n és m is elegendõen nagy (ezt nevezzük Cauchy sorozatnak), akkor a sorozat konvergens, vagyis létezik olyan ϕ elem a térben hogy ϕ n ϕ. Végtelen dimenziós térben ez nem mindig van így. Ha így van, akkor az a tér egy további az elõzõektõl független tulajdonsága, és ekkor a teret teljesnek nevezzük. A lineáris belsõ szorzat teret, amelyben minden Cauchy sorozat konvergens, tehát ebben az értelemben teljes is, Hilbert térnek nevezzük. A véges dimenziós euklideszi tér teljes lévén automatikusan Hilbert tér is. Altér. Dirac jelölés: Dirac matematikus kortársainak eredményeitől függetlenül lényegében maga is megfogalmazta ezeket a tulajdonságokat. A lineáris tér elemeire a belsõ szorzat fönt használt jelöléséből kiindulva, magukat a vektorokat is ellátta a zárójel felével, azaz a ϕ vektorra a ϕ jelölést vezette be, és ezeket ket-nek nevezte. A ψ ϕ skaláris szorzatot pedig úgy tekintette mint egy a ketek halmazán vett komplex értékű lineáris függvényt, funkcionált. Az összes ilyen funkcionál halmaza a ketek terének duálisa, maga is lineáris tér. Ezen tér elemeit Dirac ψ -vel jelölte és ezeket bra vektoroknak nevezte el. A bra és a ket szavak a jel angol elnevezésének bracket megfelelő részeire utalnak. A bra vektorok a követekező tulajdonságúak: aψ + bϕ = a ψ + b ϕ (3.10) Míg a matematikban a tér belső szorzat struktúráját egy külön tulajdonságként fogták föl a Dirac jelölésben kezdettől fogva benne van ennek a struktúrának a jelenléte. Mindazonáltal ennek a jelölésmódnak, mint alább látni fogjuk, a formalizmus alkalmazásakor jelentős előnyei vannak. Érvényes a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség: ψ ϕ ψ ϕ (3.11) A ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n elemekről azt modjuk, hogy ortogonális és normált (röviden ortonormált) bázist alkotnak az n dimenziós térben, ha egyikük sem a nulla vektor, és { 1 ha i = j ϕ i ϕ j = δ ij = (3.12) 0 ha i j

7 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 7 Az így megadott vektorrendszer valóban bázist alkot, azaz lineárisan függetlenek. Tekintsük ugyanis a c 1 ϕ 1 +c 2 ϕ c n ϕ n = 0 egyenlőséget, és szorozzuk meg azt skalárisan ϕ k -val k = 1,2...n. Az ortonormáltság miatt kapjuk, hogy c k ϕ k ϕ k = 0 minden k-ra, azaz c k = 0, minden k-ra, ez pedig éppen azt jelenti, hogy a fönti vektorok lineárisan függetlenek. Ortogonális bázis, teljesség. Gram-Schmidt féle ortogonalizációs eljárás. 3.1 Lineáris operátorok: Egy mikrorészecskét egy valamilyen fizikai mennyiséget mérõ mérõberendezésbe juttatva, a mikrorészecske állapota megváltozik, ez az oka annak, hogy a mérõberendezéseket illetve az általuk mért fizikai mennyiségeket a kvantummechanikában operátorokkal írjuk le, amelyek a vektorokat egymásba transzformálják. Egy ϕ Aϕ = ψ leképezést amely H valamely D A részhalmazát (A értelmezési tartományát) H egy másik R A részhalmazára képezi le lineáris operátornak nevezünk, ha minden ϕ,χ D A elemre teljesül a következõ két összefüggés: A(ϕ + χ) = Aϕ + Aχ, és A(cϕ) = caϕ. Két operátor egyenlõ ha értelmezési tartományuk megegyezik, és minden ϕ-re Aϕ = Bϕ. A linearitásból következik, hogy a 0 vektorhoz minden lineáris operátor a 0 vektort rendeli hozzá. Megmutatható, hogy véges dimenzióban a lineáris operátorok értelmezési tartománya természetes módon kiterjeszthetõ a teljes térre, amennyiben nem lennének a H tér minden vektorán értelmezve. Végtelen dimenzióban ez csak az ugynevezett korlátos operátokra igaz (Az A operátort korlátosnak nevezzük, ha létezik olyan pozitív C szám, hogy tetszõleges ϕ-re Aϕ C ϕ. Egyszerû megmutatni, hogy az A operátor korlátossága ekvivalens azzal a tulajdonsággal, hogy tetszõleges ϕ-hez tartó ϕ n sorozatra az Aϕ n sorozat Aϕ -hez tart. Ez utóbbi tulajdonság a folytonosság.) Egyszerű megmutatni, hogy véges dimenziós térben minden lineáris operátor korlátos, tehát folytonos, így a teljes térben értelmezhetõ. A kvantummechanikai problémákhoz tartozó Hilbert terek általában végtelen dimenziósak és az előforduló fizikai mennyiségek operátorai nem korlátosak. Ezért az alább következő állítások további föltételek és általánosítások nélkül matematikai szigorúsággal csak véges dimenziós esetben érvényesek, de a föltételek alkalmas finomításaival (az értelmezési tartomány, megfelelő általánosítások és kiterjesztések segítségével ) lényegében végtelen dimenzióra is átvihetők, ezekről a matematikai irodalom tanulmányozásával tájékozódhatunk ld. Neumann János könyvét[?], illetve inkább tisztán matematikai és kevésbé a kvantummechanika szempontjából [?], és [?, Kérchy] könyveket. Operátorok összegét és számmal való szorzatát a következő formulák értelmezik: (A + B) ϕ = A ϕ + B ϕ (3.13) (ca) ϕ = ca ϕ (3.14) Az összeadás a linearitásból következően könnyen beláthatóan asszociatív

8 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 8 (AB)C = A(BC) és kommutatív: A + B = B + A továbbá a szorzásra nézve disztributív. Két operátor szorzata ABϕ = A(Bϕ). Általában ABϕ és BAϕ két különböző vektor, azaz AB BA : a két operátor általában nem fölcserélhető. Bevezetve az [A,B] := AB BA (3.15) definícióval két operátor kommutátorát, másképpen azt mondhatjuk, hogy két operátor kommutátora általában nem 0. Inverz operátor: Azt mondjuk, hogy az A operátornak van inverze, ha létezik olyan A 1 -el jelölt operátor, amelyre A = A 1 A = I. Ez az A 1 az A operátor inverze, továbbá láthatólag (A 1 ) 1 = A. Nem minden operátornak van inverze, de ha van, akkor az egyértelműen meghatározott. Ha u.i. A-nak B és C is inverze, akkor AB = I = AC lenne, így B C = B(AB AC) = 0, azaz B = C. Belátható, hogy az inverz létezésének szükséges és elegendő föltétele az, ha bármely ψ -hez egy és csak egy olyan ϕ vektor van amelyre A ψ = ϕ. 3.2 Reprezentációk, operátorok mátrixa Legyen u i egy ortonormált bázis a téren. Ekkor egy ψ vektor kifejthető ezek szerint valamilyen c i együtthatókkal ψ = c i u i. A c i együtthatók megkaphatók, ha megszorozzuk ezt a kifejtést skalárisan magukkal a bázisvektorokkal. A belső szorzat linearitása és a bázis ortonormáltsága miatt kapjuk, hogy: u j ψ = c i u j u i = c j. Ily módon a ψ kifejtése az alábbi módon is írható ψ = c i u i = i u i u i ψ (3.16) Az u j ψ = c j számokat a ψ vektor reprezentációjának szokás nevezni a az u i bázison, és ezeket gyakran egy oszlopba írva adjuk meg a ψ vektort. Két vektor skaláris szorzatát ψ ϕ -t az u i bázis segítségével a következőképpen számíthatjuk ki. Legyen ψ = c i u i és ϕ = b j u j, ekkor : ψ ϕ = ci u i b j u j = c i b j (3.17) A Dirac féle beszédmód erre: alkalmazzuk a ϕ -re a ψ = c i u i bra vektort...a c i sorvektor a ψ bra reprezentációja az u bázisban. A c i és b j kifejtési együtthatók egyenként függenek attól, hogy mi az a bázis amelyet használunk, de maga a c i b j skalárszorzat ettől független. Egy másik bázisban kiszámítva ugyanazt az eredményt adja. (feladat) Tekintsük most az előbb látott ψ = i u i u i ψ összefüggést. Ezt úgy is fölfoghatjuk, hogy ha a i u i u i vel skalárisan megszorozzuk a ψ -t, akkor ψ -t önmagát kapjuk vissza, azaz ez az összeg úgy viselkedik mint az egységoperátor: i u i u i = I (3.18) Most megmutatjuk, hogy egy ilyen típusú írásmód tetszőleges lineáris operátorra átvihető. Tekintsünk egy A lineáris operátort. Ennek hatását a ψ vektorra kétféleképpen is fogjuk írni: A ψ Aψ.

9 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 9 Az A lineáris operátor egyértelműen meg van határozva, ha egy u i ortonormált bázison megadjuk a hatását. Ugyanis A u i = φ i minden i-re maga is egy-egy vektor térben, tehát maga is kifejthető az u i bázison: A u i = φ i = k a ki u k (3.19) valamilyen a ki komplex számokkal, s így egy tetszőleges ψ = i c i u i = i u i u i ψ vektorra: A ψ = A u i u i ψ = a ki u k u i ψ. (3.20) i i,k Ezt az eredményt Dirac nyomán úgy szokás írni, hogy A = i,k a ki u k u i (3.21) Az u k u i menyiségeket, amelyek a föntiek szerint maguk is lineáris operátorok a bázisvektorok külső szorzatának (diádjának) is szokás nevezni, és látható, hogy ebben a belső szorzat struktúrával rendelkező térben minden lineáris operátor ilyen valamely bázisvektorokból alkototott összes lehetséges diád lineáris kombinációjaként írható. Az a ki számokat az A operátor mátrixelemeinek nevezzük az u i ortonormált bázisban, és ezeket explicit módon meghatározhatjuk az A u i = a ki u k összefüggés alapján. Az utóbbit skalárisan szorozva u j - k vel és a bázis ortonormáltságát fölhasználva kapjuk, hogy a ji = u j Au i u j A u i, azaz az 3.21-ban szereplő mátrixelemek közvetlenül kiszámíthatóak az a ki = u k Au i u k A u i (3.22) Az a ki mátrixot, amely nyilvánvalóan függ a választott ortonormált bázistól az A operátor reprezentációjának nevezzük az u i bázisban. A föntiek alapján a ϕ = A ψ transzformáció a ϕ = k b k u k és k b k u k = a ki u k u i ψ = i,k a ki u k c i egyenlőség alapján az u k reprezentációban b k = i a kic i alakú. i,k Azaz u reprezentációban: ϕ = A ψ b k = i a ki c i (3.23) Egyszerűen látható, hogy operátorok összegének mátrixa a megfelelő mátrixok összege, egy számmal szorzott operátor mátrixa a mátrix számszorosa. Két operátor szorzatának mátrixa a megfelelő mátrixok szorzatával egyezik meg. (Bizonyítsuk be!) Adjungált operátor Minden A lineáris operátorhoz hozzárendelhető egy másik A + operátor a következőképpen. Írjuk elő, hogy tetszőleges ϕ és ψ esetén álljon fönn a ϕ Aψ = A + ϕ ψ = ψ A + ϕ (3.24)

10 3 HILBERT TÉR, LINEÁRIS OPERÁTOROK 10 összefüggés. Az A + operátort A adjungáltjának nevezzük. Kiszámítva A + mátrixát az utóbbi összefüggés alapján az A mátrixa egyértelműen meghatározza. uk A + u i = ui Au k = a ik (3.25) Mivel A + hatása egy ortonormált bázison meg van határozva, következésképpen A + minden vektoron meg van határozva, és alakja a Dirac jelölés szerint: A + = a ik u k u i. Megcserélve itt az összegzési indexeket látható, hogy i,k A + = i,k a ki u i u k (3.26) Vagyis az ilyen alakban felírt operátor adjungáltját úgy kapjuk, hogy a mátrixelemeket komplex konjugáljuk és a ket és bra vektorokat megcseréljük. Az összeg adjungáltja az adjungáltak összege, számszorosnál a komplex konjugálttal kell szorozni, továbbá (AB) + = B + A + (3.27) Azokat az operátorokat, amelyekre A = A +, önadjungált, másnéven hermitikus operátornak szokás nevezni (C. Hermite francia matematikus után). Az önadjungált operátorok mátrixának transzponáltja megegyezik a komplex konjugáljukkal, és így a diagonálisban valós számok állnak. 3.3 Bázisváltás, más kifejtési együtthatók. Egy ψ vektort természetesen több különböző bázisban is megadhatunk. A kvantummechanika szóhasználatában ezt úgy mondjuk, hogy egy másik reprezentációt használunk, egy reprezentációt egy adott ortonormált bázis rögzít. Kérdés: mi a kapcsolat egy vektor kétfajta reprezentációja között? Ennek megvilágítása céljából bevezetjük az unitér operátor fogalmát: Definíció: Unitérnek nevezzük az operátort, ha U + U = UU + = I. Az unitér operátorok megőrzik a skaláris szorzatot, tetszőleges Legyen az egyik ON bázis φ i, a másik χ k.legyen ψ kifejtése ψ = ci φ i illetve egy másik bázisban ψ = b k χ k. Mivel χ k -k maguk is a tér elemei, kifejthetők a φ i bázis segítségével is: χ k = u ik φ i. (3.28a) Ekkor ψ = b k χ k = u ik b k φ i. Ezt szorozva φ i -vel, vagy arra hivatkozva, hogy a kifejtési együtthatók egyértelműek c i = u ik b k. A 3.28a alapján u jk = φ j χ k. Ezeket a mennyiségeket úgy tekinthetjük mint az U = i χ i φ i (3.29) operátor mátrixelemeit akár a χ k akár a φ k bázisban. Mivel U + = i, egyszerűen látható, hogy U unitér, azaz U + U = UU + = I. φ i χ i

11 4 ÖNADJUNGÁLT OPERÁTOROK SPEKTRÁLIS ELŐÁLLÍTÁSA Projekciós operátor Legyen M altér. Azoknak a vektoroknak a halmazát, amelyek minden M -beli vektorra ortogonálisak az M ortogonális komplementerének nevezzük és M -el jelöljük. Egyszerűen látható, hogy M is altér, azaz két M -beli vektor összege és egy ilyen vektor számszorosa is merőleges M-re. Legyen ϕ i, i = 1,2... bázis az altérben. Tekinsünk egy ψ vektort H-ban és a ψ M = ϕ i ϕ i ψ vektort amely nyilvánvalóan M-ben van. ezt a ψ M -et a ψ vetületének nevezzük az M altérre. Tekintsük most a ψ M = ψ ψ M = ψ ϕ i ϕ i ψ vektort. Ezt megszorozva skalárisan bármely ϕ k -val 0-t kapunk. Ezért ugyancsak 0-t kapunk, ha ϕ k bármely lineáris kombinációjával szorzunk, ami azt jelenti, hogy ψ M ortogonális M-re, azaz M -ben van. Másképpen tehát ψ = ψ M + ψ M, azaz a ψ-t fölbontottuk, az M-be és ortognális komplementerébe tartozó elemekre. Ez a fölbontás egértelmű. Ha ugyanis ψ = ψ M + ψ M = ψ M + ψ M lenne, akkor átrendezés után a ψ M ψ M = ψ M ψ M = ψ 0 mind M-ben mind a rá ortogonális M -ben benne van, tehát ψ 0 ψ 0 = 0, azaz ψ 0 a zéró vektor, amiből következik, hogy a fölbontás egyértelmű. A összefüggést Dirac nyomán úgy tekinthetjük mint az ψ M = ϕ i ϕ i ψ (3.30) E M = ϕ i ϕ i (3.31) operátor hatását a ψ vektorra, amely az E M ψ = ψ M összefüggés alapján előállítja a vetületet. Ezért az E M operátort projekciós operátornak nevezhetjük. Ez láthatólag önadjungált és egyszerűen megmutathatóan idempotens, azaz (E M ) 2 = E M. Ha M = H a teljes tér, akkor a megfelelő E H = 1 az egységoperátor. Ha viszont az összegben csak egy tag van, akkor az E ϕ = ϕ ϕ a ϕ vektor által generált egydimenziós altérre vetítő projekciós operátor. Az is megmutatható, hogy fordítva, minden önadjungált és idempotens operátor projekció. 4 Önadjungált operátorok spektrális előállítása Egy kvantumos kísérlet során az egyes mérési eredmények azt mutatják, hogy a bejövő állapot átalakul egy másik állapottá. Egy részecskén végzett kísérlet mindig valamelyik sajátállapotba megy át, de hogy melyikbe azt nem tudjuk. Egy mérés hatása tehát eredménye tehát ψ ϕ i, amit a ϕ i ϕ i projekció ψ ϕ i ϕ i ψ hatásával írhatunk le, amely magában foglalja annak az u i ϕ amplitúdóját is hogy éppen az u i állapotba jut a részecske. A berendezésben azonban benne van az összes lehetséges kimenet lehetősége, ezért a berendezést az összes lehetséges kimenethez tarozó projektorok halmazával célszeű jellemezni. Ezen kívül az egyes kimenetekhez tartozóan valamilyen fizikai mennyiség értéke más és más, pl. a spin z komponenese, vagy a spin x komponenese, vagy egy részecske koordinátája stb. A berendezést jellemző matematikai objektumba ezt is belefoglalhatjuk, úgy hogy a projektort megszorozzuk a mért fizikai mennyiség adott kimenetéhez tarozó megfelelő

12 4 ÖNADJUNGÁLT OPERÁTOROK SPEKTRÁLIS ELŐÁLLÍTÁSA 12 sajátértékkel α i és az egész apparátust egy A = α i ϕ i ϕ i operátorral írjuk le, amelyben a szumma az összes lehetséges kimenetet tartalmazza. A diszkrét összeg azt jelzi, hogy itt most diszkrét kimenetelekről lehet szó, mint a spin esetében, de később tárgyalni fogjuk azt az esetet is amikor az eredmények folytonosak. Ha a mért a i értékek valósak, akkor az operátor önadjungált. Ha a bejövő részecske éppen valamelyik sajátállapotban van, ami azt jelenti, hogy azt már egy azonos berendezéssel preparáltuk, akkor A hatása erre az állapotra saját maga egy számszorosa. Valóban, ha a bejövő részecske állapota ϕ k akkor A ϕ k = a i ϕ i ϕ i ϕ k = a k ϕ k (4.32) azaz A ϕ k = a k ϕ k (4.33) az eredmény. Ebben a bázisban egyszerűen láthatóan az A operátor mátrixa diagonális. Általában azonban közvetlenül nem tudjuk, hogy melyik a sajátállpotok bázisa, mert az operátor nem a fönti alakban hanem rendszerint egy másik bázisban van megadva. Alapvető feladat tehát, hogy megkeressük azokat az állapotokat, amelyek egy önadjungált operátor sajátállapotai, és megadjuk azt is, hogy mekkorák a megfelelő sajátértékek. Ha ezt tudjuk, akkor meg tudjuk mondani, hogy mekkorák lesznek az egy tetszőleges bejövő állapothoz tarozó kimenő amplitúdók, és ezek milyen számszerű eredmények tartoznak. Pl. egy z irányú Stern Gerlachból kijövő +z állapotot egy x irányúba vagy egy tetszőleges irányúba engedve milyen amplitúdókkal kerül az egyes állapotokba. Vagy, energiamérés után milyen amplitúdóval kerül egy részecske a tér egy adott helyére. Az alábbiakban be fogjuk bizonyítani, hogy n dimenziós térben minden önadjungált operátornak létezik n db páronként ortogonális sajátvektora, azaz létezik olyan ortogonális bázis, amelyet az adott önadjungált operátor sajátvektorai alkotnak. A tétel alkalmas általánosításokkal kiterjeszthető a végtelen dimenziós tér önadjungált operátoraira is, erre a következő pontban mutatunk példát. Invariáns alterek: A H tér H 1 alterét az A operátor invariáns alterének nevezük, ha bármely ψ H 1 esetén A ψ is H 1 ben van, azaz A nem visz ki H 1 -ből. Legyen H 1 egy egydimenziós altér, amelyet a ϕ vektor generál, azaz az összes c ϕ alakú vektorok altere, ahol c végigfut az összes komplex számon. Az A operátor linearitása miatt világos, hogy ahhoz hogy a H 1 invariáns legyen szükséges és elegendő, hogy A ϕ is H 1 -ben legyen, azaz A ϕ = λ ϕ valamilyen λ általában komplex számmal. Sajátvektorok: Azt a nem zéró ( ϕ ) vektort, amelyre A ϕ = λ ϕ, az A operátor sajátvektorának, a λ számot pedig A sajátértékének nevezzük. Így ha ϕ sajátvektor, akkor a c ϕ vektorok egydimenziós invariáns alteret alkotnak.

13 4 ÖNADJUNGÁLT OPERÁTOROK SPEKTRÁLIS ELŐÁLLÍTÁSA 13 Tétel: Véges dimenziós térben minden A lineáris operátornak van legalább egy sajátvektora. Bizonyítás: Vegyünk föl a térben egy tetszőleges v i ortonormált bázist, és tekintsük a keresett ϕ vektor kifejtését ebben a bázisban: ϕ = i c i v i. Ahhoz, hogy ϕ sajátvektor legyen, fönn kell állnia az A ϕ = λ ϕ összefüggésnek. Szorozzuk a kifejtést skalárisan balról v j -vel v j A ϕ = i azaz v j A v i c i = v j λ ϕ = λc j (4.34) (a ji λδ ji )c j = 0 (4.35) i annak szükséges és elegendő föltétele, hogy a fönti homogén és lineáris egyenletrendszernek az ismeretlen c j számokra nemtriviális (nem csupa 0 megoldása) legyen, az, hogy az egyenlet mátrixának determinánsa tűnjön el: det a ji λδ ji = 0 (4.36) A determináns a λ-ban egy n-ed fokú polinom lesz, amelynek mindig van legalább egy gyöke a komplex számok körében. Megkeresve ezt a λ 0 gyököt, majd megoldva az egyenletet a λ 0 nak megfelelő c 0 i számokra megkapjuk a ϕ sajátvektort mint a v i bázisvektorok lineáris kombinációját. Itt még nem használtuk ki, hogy A önadjungált. A fönti egyenlet a karakterisztikus v. szekuláris egyenlet. Most rátérünk az önadjungált operátorokra. Önadjungált operátor sajátértékei valósak. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok ortogonálisak. Spektráltétel: Egy n dimenziós térben egy önadjungált operátornak van n db. egymásra páronként merőleges sajátvektora. Egy adott sajátértékhez tartozó sajátvektorok a zéró vektort hozzávéve alteret alkotnak. Ez az altér invariáns altere az A operátornak, azaz nem visz ki belőle. A tétel bizonyításánál azt használjuk ki, hogy önadjungált operátor esetén egy adott sajátvektorra merőleges ortogonális vektorok halmaza is invariáns altér. Bizonyítás: Az előző szerint mindig van legalább egy sajátvektor u 1. Az erre merőleges vektorok egy n 1 dimenziós H 1 alteret alkotnak. megmutatjuk, hogy H 1 invariáns altere A-nak. Legyen ψ H 1, azaz ψ u 1 = 0, akkor Aψ u 1 = ψ Au 1 = a 1 ψ u 1 = 0, azaz Aψ is merőleges u 1 -re azaz benne van H 1 -ben, tehát H 1 invariáns altere A-nak. Tekinthetjük emiatt A-t a H 1 - ben. Itt ismét létezik legalább egy sajátvektor u 2. Tekintsük most H 1 azon H 2 alterét amely az u 2 -re merőleges vektorokból áll. Mivel ez H 1 altere az itteni vektorok u 1 re is merőlegesek lesznek. A fönti gondolatmenetet ismételve kapunk egy u 3 sajátvektort, stb. s végül szükségképpen kapunk egy u n sajátvektort, amely az összes előzőre merőleges. Ilyen módon kapunk páronként ortogonális u i vektorok halmazát. Mivel egy sajátvektor számszorosa ugyanahhoz a sajátértékhez tartozó sajátvektor, az u i -k normálhatók is.

14 4 ÖNADJUNGÁLT OPERÁTOROK SPEKTRÁLIS ELŐÁLLÍTÁSA 14 Az A önadjungált operátor mátrixa ebben az u i bázisban az a ik = u i Au k = a k u i u k = a k δ ik (4.37) összefüggés miatt diagonális, tehát csak a főátlóban vannak nem nulla elemek, és ezek éppen a sjátértékek. Ennek megfelelően a összefüggés alapján a A operátor alakja a következő: A = k a k u k u k = k a k E k (4.38) ahol E k = u k u k az u k sajátvektorra vetítő projekció. Ezt a formulát az A spektrális fölbontásának nevezzük, a sajátértékek összességét pedig az A önadjungált operátor spektrumának, amely szükségképpen valós számokból áll. Előfordulhat, hogy több különböző ortogonális sajátvektor ugyanahhoz a sajátértékhez tartozik. Ha az adott α k sajátértékhez tarozó különböző ortogonális vektorok száma g k > 1, akkor azt mondjuk, hogy a sajátérték g k - szoros, vagy g k -szorosan elfajult vagy degenerált. Világos, hogy egy adott α k hoz tartozó ortogonális vektorok minden lineáris kombinációja is ugyanehhez a sajátértékhez tartozó sajátvektor, ezek tehát egy g k dimenziós alteret alkotnak, amelyen belül bármely ortogonális bázis az A sajátvektorainak részhalmaza. Emiatt ha A sajátértékei között van többszörös, akkor az egymásra ortogonális sajátvektorok halmaza nem egyértelmű. A sajátreprezentációban fölírt karakterisztikus polinomból látszik, hogy az α k sajátérték a a karakterisztikus polinom g k szoros gyöke. Sajátreprezentációban, azaz abban a bázisban, amelyet az önadjungált operátor sajátvektoraiból áll az operátor mátrixa diagonális és az átlóban éppen a sajátértékek állnak. Feladatok: 1. Bizonyítsuk be, hogy egy A operátor képe és magja alterek a H-ban, méghozzá az A invariáns alterei. 2. Mutassuk meg, hogy egy n dimenziós térben a magtér és a képtér dimenziószámának összege kiadja az egész tér dimenziószámát. 3. Muatssuk meg, hogy egy unitér operátor sajátértkei egységnyi abszolút értékű komplex számok. 4. Mutassuk meg, hogy egy projekciós operátor sajátértéke a 0 vagy 1 lehet. 5. Pozitívnak nevezünk egy operátort, ha. Pozitív definit az operátor, ha. Mutassuk meg, hogy AA tetszőleges A esetén pozitív. 1. Mutassuk meg, hogy unitér operátorok sajátértékei egységnyi abszolút értékű komplex számok. 2. Mutassuk meg, hogy véges dimenziós térben minden unitér operátor diagonalizálható, azaz létezik a tér dimenziószámával megegyező számú páronként ortogonális egységvektora

15 5 FÖLCSERÉLHETŐ OPERÁTOROK CSCO 15 5 Fölcserélhető operátorok CSCO Mint korábban is jeleztük, két operátor általában nem fölcserélhető, azaz AB = BA. Fontos... Tétel: Ha A és B fölcserélhető önadjungált lineáris operátorok, akkor van olyan ortonormált bázis, amely mindkét operáror sajátvektoraiból áll, van közös sajátvektorrendszerük, illetve egyszerre diagonalizálhatók. Biz: Legyen ϕ A sajátvektora α 1 sajátértékkel. Aϕ = α 1 ϕ. ABϕ = BAϕ = Bαϕ = αbϕ (5.39) Azaz Bϕ is az α 1 sajátértékhez tartozik. (i) Ha α 1 nem degenerált, azaz a hozzátartozó invariáns altér egydimenziós,akkor két ugyanehhez az α-hoz tartozó sajátvektor csak egy konstansban különbözhet egymástól. Bϕ = β 1 ϕ (5.40) és ez azt jelenti, hogy ϕ a B-nek is sajátvektora. Legyen ebben az esetben u 1 := ϕ (ii) Ha α degenerált, akkor annyit mondhatunk, hogy minden az α 1 -hoz tartozó ϕ-vel együtt Bϕ is benne van A-nak az a α-hoz tartozó invariáns alterében, más szóval ez az altér B-nek is invariáns altere. Emiatt megszoríthatjuk B-t erre az altérre, és lévén B önadjungált, létezik olyan egymásra páronként ortogonális vektorrendszer, amelyek B-nek sajátvektorai ebben az altérben. Mivel minden ittlévő vektor A-nak is sajátvektora α sajátértékkel, a kapott vektorok A és B közös sajátvektorai. Válasszunk ezek közül egyet, legyen ez u 1. Ha α nem degenerált akkor u 1 = ϕ vagy annak egy számszorosa. Tekintsük ezek után az u 1 -re ortogonális alteret. Ez a spektráltétel igazolásánál látott érvelés szerint mind A nak mind B-nek invariáns altere. Tekinthetjük most már A-t és B-t ebben az invariáns altérben amelyben megint van A-nak valamilyen sajátvektora. és ezek közül megint lehet talalálni olyat, amely B-nek is sajátvektora. Folytatva az eljárást, a véges dimenziós térben végül elfogynak az ortogonális alterek. CSCO: Az A, B, C... operátorok halmazát CSCO-nak nevezzük, (i) ha páronként fölcserélhetők és (ii) ha a megadjuk a sajátértékeiket, azok egyértelműen (egy konstans szorzó erejéig) meghatározzák a közös sajátvektoraikat, más szóval létezik egy egyértelműen meghatározott ONB, amelyben minden operátor diagonális. Ha A és B CSCO, akkor hozzávehetünk még olyan C-t amely mind A-val mind B-vel kommutál, s ez továbbra is CSCO lesz, de általában egy olyan esetben beszélünk CSCO-ról ha az operátorok halmaza minimális abban az értelemben, hogy közülük bármelyiket elhagyva a maradék már nem CSCO. Megjegyezzük még, hogy ha A B és C CSCO és a sajátértékek α k,β l,γ m, akkor a megfelelő sajátvektorokat α k,β l,γ m -el is szokás jelölni, amelyek egyértelműen meg vannak határozva..

16 2 6 AZ L TÉR ÉS AZ L2-HÖZ NEM TARTOZÓ BÁZISOK Mutassuk meg, hogy tetszőleges A operátor fölbontható egy A = B + ic alakba, ahol A és B önadjungált operátorok. 2. Normálisnak nevezünk egy operátort, ha fölcserélhető az adjungáltjával. Mutassuk meg a?? alapján, hogy minden normális operátor diagonalizálható. 3. A fölbontás nélkül, az önadjungált operátorokra vonatkozó spektráltétel gondolatmenetének alkalmas módosításával mutassuk meg, hogy minden normális operátor diagonalizálható. 4. Mutassuk meg, hogy ha létezik a tér dimenziószámával megegyező számú egymásra páronként sajátvektor, akkor az operátor szükségképpen normális. 5. Mutassuk meg, hogy ha az A és B fölcserélhető önadjungált operátor, továbbá ϕ 1 és ϕ 2 A két különböző sajátértékéhez tartozó sajátvektor, akkor a ϕ 1 B ϕ 2 mátrixelem eltűnik. 6 A négyzetesen integrálható függvények tere, és az L 2 -höz nem tartozó bázisok Az L 2 tér definíciója, a belső szorzat értelmezése integrállal ϕ (x)ψ(x)dx Diszkrét bázis, ortogonalitás, teljesség. Példák: 1. Fourier rendsezr a a/2, a/2 intervallumon értelmezett periodikus függvények 1 terén: a 2, a cos 2π a jx, 2 a sin 2π 1 a jx, j=1,2..., vagy a e i 2π a jx, j=0, A szinusz rendszer a 0-ban és az L-ben eltűnő függvények terén. 3. A P l (x) Legendre polinomok a intervallumon értelmezett négyzetesen integrálható függvények terén: Az 1, x,x 2,x 3 rendszer ortogonlizálásával: P 0 (x) = 1,P 1 (x) = x, P 2 (x) = (3x 2 1)/2, Feladat normáljuk ezeket, mutassuk meg, hogy ez a három ortogonális, keressük meg a a harmad és negyedrendű polinomot. 4. A Hermite függvények: N n e x2 /2 H n (x) (6.41) a, intervallumon, ahol H n (x)-ek az úgynevezett Hermite féle polinomok, 1,2x, 4x 2 2, és N n ek alkalmasan választott normálási tényezők. A fönti példák mindegyike egyébként a kvantummechanikában előforduló fontos differenciáloperátorok sajátfüggvényei is. Lineáris operátorok: pl. paritás, szorzás, deriválás. Az utóbbiak nem fölcserélhetősége. 6.1 Az L 2 -höz nem tartozó, általánosított bázisok Síkhullámok Láttuk a korábbiakban, hogy a de Broglie által bevezetett p impulzusú állapotokhoz tartozó hullámfüggvények nem négyzetesen integrálhatóak, de belőlük egy folytonos

17 2 6 AZ L TÉR ÉS AZ L2-HÖZ NEM TARTOZÓ BÁZISOK 17 szuperpozícióval ilyenek építhetők föl. Egy dimenzióban : ψ(x) = 1 ψ(p) e ipx/ dp (6.42) 2π ahol mint a Fourier transzformáciok elméletéből tudjuk ψ(p) = 1 ψ(x) e ipx/ dx (6.43) 2π Jelöljük az itt szereplő De Broglie féle (nulla időpillanatban vett) síkhullámot a v p (x) = 1 2π e ipx/ -vel. Mint már volt szó róla a v p (x) 2 = 1 2π függvény nem integrálható a teljes, intervallumon és nem is lehet elérni hogy az legyen a teljes téren. Két ilyen bázisfüggvény skaláris szorzata a következő: v p(x)v p (x) = δ(p p ). (6.44) amely egy általánosított ortogonalitási reláció. Az inverz Fourier trafók oda és vissza is léteznek, és ha a ψ(x) = ψ(p)v p (x)dp (6.45) illetve a ψ(p) = v p(x)ψ(x)dx formában írjuk ezeket, akkor látható, hogy ezek hasonlóak az L 2 -beli diszkrét bázisok szerinti kifejtésekhez, és a teljesség a következőképpen írható: v p (x )vp(x) = δ(x x ). A p folytonos paraméter által indexelt v p (x) függvények halmazát ezért általánosított bázisnak tekinthetjük, a bázis elemei a p paraméter értékében különböznek egymástól. Két ilyen bázisfüggvény skaláris szorzata a következő: vp(x)v p (x) = δ(p p ). Három dimenzióban ugyanígy, csak v p (r) = 1 2π e ipr/ Delta függvények Egy hasonló folytonos paraméterrel illetve paraméterekkel indexelhető általánosított bázist nyerhetünk, ha tekintjük a következő azonosságokat a hármdimenziós térben mozgó részecskét leíró hullámfüggvényekre vonatkozóan. Legyen ψ(r) egy négyzetesen integrálható függvény, ekkor a δ(r r 0 ) Dirac delta definíciója

18 7 A KOORDINÁTA ÉS AZ IMPULZUS OPERÁTORA 18 szerint, nyilvánvalóan fönnáll,. ψ(r) = ψ(r 0 ) = ψ(r 0 )δ(x r 0 )d 3 r (6.46) ψ(r)δ(r r 0 )d 3 r 0 (6.47) Az első formula ezek közül úgy interpretálható, hogy a ψ(r) függvényt kifejtettük a δ(r r 0 ) általánosított bázisvektorok szerint, amelyeket az r 0 folytonos paraméter indexel, és a ψ(r 0 ) kifejtési együtthatók egybe esnek a kérdéses függvény értékeivel az r 0 helyeken. A második formulát az elsőből megkaphatjuk úgy is, hogy az elsőt megszorozzzuk a δ(r r 0) komplex konjugáltjával, amely valós lévén megegyezik önmagával és kihasználjuk a általánosított ortogonalitási relációt. δ(r r 0 )δ(r r 0)d 3 r 0 = δ(r 0 r 0) (6.48) Egyéb általánosított bázisok. A kvantummechanika használatakor előfrdul az az eset amikor egy négzyetesen integrálható hullámfüggvényt egy a föntiektől különböző az L 2 be nem tartozó általánosított bázisvektoroknak tekinthető w α (r) függvényekkel fejtünk ki, amelyek a következő tulajdonságúak, w α(r)w α (r)d 3 r = δ(α α ). (6.49) 7 A koordináta és az impulzus operátora, általánosított sajátvektorok Ha az A fizkai mennyiség spektruma diszkrét és a lehetséges mérési kimenetelek az α i eredményeket adják, akkor az A = α i ϕ i ϕ i operátornak megfelelő berendezésen való áthaladás (fizikai mennyiség mérése) során az egyes kimenetelek valószínűségi amplitúdóit a ψ = ϕ i ϕ i ψ kifejtésnek megfelelő ϕ i ψ számok adják. A fizikai mennyiségek között azonban a kvantumelméletben is vannak olyanok, amelyek folytonos értékeket vehetnek föl. Ilyen pl. a koordináta, amelynek most csak egyik derékszögű komponensét vizsgáljuk. Legyen ez x. Annak az amplitúdóját, hogy a ψ állapotban lévő részecskét az x 1 helyen találjuk a mérés után, x 1 ψ -vel jelöljük, és az összes lehetséges x esetén x ψ - nek írva az x függvényének tekintünk, akkor egy un. hullámfüggvényt kapunk.

19 7 A KOORDINÁTA ÉS AZ IMPULZUS OPERÁTORA 19 Dirac nyomán az x -et is szoktuk (általánosított) állapotnak nevezni, noha ez szigorúbb értelemben nem az, amint az alább kiviláglik. Az A = α i ϕ i ϕ i analogonjára bevezetjük az X helykoordináta operátort, amelynek az általánosított spektrális előállítása X = x x x dx (7.50) alakú. Ennek általánosított sajátvektorai az x -ek amelyekkel föltételezésünk szerint a ψ = x x ψ dx, összefüggés alapján minden közönséges állapot kifejthető. Valóban, ha ezt balról formálisan megszorozzuk a x -vel, akkor az x ψ = x x x ψ dx összefüggést nyerjük vagyis a ψ(x ) = x x ψ(x)dx integrális kapcsolatot. Látható, hogy ha kikötjük, hogy ez minden x re érvényes maradjon, akkor az x x belső szorzatra a δ(x x ) adódik, ami mutatja, hogy ezek a koordináta sajátállapotok a közönséges értelemben nem normálhatók. lmegköveteljük ekkor A belső szorzatot ebben a reprezentációban a ϕ ψ = ϕ x x ψ dx = ϕ (x)ψ(x)dx azaz a két függvény integráljának szorzataként lehet fölírni, ami valóban megfelel az L 2 térben vett belső szorzatnak, ha ψ(x) és ϕ(x) normálható függvények. Az X operátor hatása a koordinátareprezentációban a következő x X ψ = x x x x ψ dx = x δ(x x )ψ(x )dx = xψ(x) Hasonlóan be lehet vezetni az impulzus sajátállapotokat is mint a P = p p p dp operátor sajátállapotait. A ψ = p p ψ dp = p ψ(p)dp (7.51) Ebből: x ψ = x p p ψ dp = x p ψ(p)dp (7.52) amiből: x p = 1 2π e ipx/ (7.53) Valóban, De Broglie nyomán, mint a történeti részből tudjuk, annak az amplitúdója, hogy egy p impulzusú részecskét az x helyen találunk. Ebből következik, de a p ψ = p x x ψ dx ből is következik, hogy p x = 1 2π e ipx/ (7.54) Eszerint a ψ állapot koordináta és impulzusreprezentációban vett alakja között a következő kapcsolat van. ψ(p) = p ψ = p x x ψ = 1 e ipx/ ψ(x)dx. 2π

20 8 A KVANTUMMECHANIKA POSZTULÁTUMAI 20 ψ(x) = x ψ = x p p ψ = 1 2π e ipx/ ψ(p)dp. Vagyis látható, hogy a koordinátareprezentációban vett hullámfüggvény az impulzusreprezentációban vett hullámfüggvény Fourier transzformáltja.és fordítva, vagyis a szokásos Fourier transzformációs képletek úgy is tekinthetők mint a reprezentáció transzformáció speciális esete. Az impulzus operátora koordinátareprezentációban: 1 x P ψ = x P p p ψ dp = p e ipx/ ψ(p)dp = (7.55) 2π Általában: = i x 1 e ipx/ ψ(p)dp == i ψ(x) (7.56) 2π x r P ψ = i ψ(r) (7.57) X és P önadjungált. X és P sajátfüggvényei koordinátareprezentációban 7.1 X és P nem fölcserélhető: X,Y,Z egymás közt fölcserélhatő, hasonlóan P x P y P z. Vizsgáljuk (XP PX) ψ - t koordináta reprezentációban. Legyen χ := P ψ és φ := X ψ, ekkor így r χ χ(r) = r P ψ = ψ (7.58) i x r φ φ(r) = r X ψ = xψ(r) (7.59) r (XP PX) ψ = r XP ψ r PX ψ = r X χ r P φ (7.60) = = xχ(r) φ i x = x ψ i x (xψ(r)) = (7.61) i x = ψ(r) = i r ψ (7.62) Ebből (XP PX) ψ = i ψ minden ψ -re (amelyre a kommutátor értelmezve van). Így XP PX [X,P] = i (7.63) Feladat adjuk meg X-et p reprezentációban. 8 A kvantummechanika posztulátumai 1. A fizikai rendszer lehetséges (tiszta) állapotait egy alkalmasan választott Hilbert tér, az állapottér ψ vektorai adják meg. Ebben benne van a szuperpozíció elve, hiszen a vektorok lineáris kombinációi is vektorok, tehát ezek is a fizikai rendszer lehetséges állapotai. A tiszta jelző

21 8 A KVANTUMMECHANIKA POSZTULÁTUMAI 21 arra utal, hogy állapot szó azt jelenti, hogy a rendszerről lehetséges legtöbb információ a rendelkezésünkre áll, azt már preparáltuk. Az 1. szakaszban tárgyalt példa esetén pl. a foton már áthaladt egy polarizátoron és tudjuk, hogy ez után milyen a polarizációs állapota. Egy természetes, polarizálatlan forrásból érkező fotonok állapotáról nem tudunk mit mondani, azok polarizálatlanok, s így egy ilyen foton nincs tiszta állapotban, állapotát keveréknek nevezzük. A tiszta állapot elemzésére alább még visszatérünk, a keverék állapotok matematikai jellemzésésre pedig az X szakaszban kerül sor. 2. A fizikai mennyiségeknek az állapottéren értelmezett lineáris és önadjungált operátorok felelnek meg. Egy fizikai mennyiséget egy mérőberendezéssel állapítunk meg, az önadjungált operátorokra tehát úgy tekinthetünk, mint amelyek egy ilyen berendezés matematikai megfelelői. Egy fizikai mennyiséget ezért néha megfigyelhető mennyiségnek (observable) is szokás nevezni. 3. Az A operátorral jellemzett fizikai mennyiség lehetséges mért értékei az operátor valamelyik α sajátértéke. Ezek a sajátértékek, mint tudjuk valós számok, és lehetnek diszkrétek, azaz kvantáltak, de lehetnek folytonos változók is. 4. Ha az A fizikai mennyiséget mérjük a normált ( ψ ψ = 1 állapotban, akkor (i) diszkrét spektrum esetén annak a valószínűsége, hogy az α n sajátértéket kapjuk eredményül P(α n ) = ψ E n ψ, (8.1) ahol E n az A operátor α n sajátértékéhez tartozó sajátalterére vetítő projekciós operátor; (ii) folytonos spektrum esetén annak a valószínűsége, hogy a mért általánosított sajátérték α az (α 1 α 2 ) intervallumba esik P(α 1 < α < α 2 ) = α2 α 1 ψ E α ψ dα, (8.2) ahol E α az α általánosított sajátértékhez tartozó projekció. A fönti kijelentéseket.egy kissé másképpen is megfogalmazhatjuk Tekintsük először a diszkrét spektrum esetét. Ha un i az αn sajátértékhez tartozó sajátaltér egy ortonormált bázisa, azaz A un i = αn un i i=1, 2 gn azaz az α n sajátérték g n -szeresen degenerált, akkor E n = g n i u i n u i n s így 8.1 szerint P(α n ) = ψ E n ψ = g n i ψ u i n u i n ψ = g n i=1 u i n ψ 2. (8.3) A u i n ψ = c i n jelöléssel, amelyek a ψ állapot kifejtési együtthatói az altérben lévő bázisvektorok szerint P(α n ) = gn c i n 2. Az eredmény független az u i n i=1 bázis konkrét választásától, hiszen a 3.4 alpontban láttuk, hogy a projekció egyértelmű. A valószínűséget szemléletesen úgy kapjuk, hogy a ψ vektort levetítjük az E-nek megfelelő síkra, majd a vetület hosszának négyzetét vesszük.