Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével Szakdolgozat Tóth Ádám Matematika B.Sc., elemz szakirány Témavezet : Mádi-Nagy Gergely, egyetemi adjunktus Operációkutatás Tanszék Budapest 2011

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Microsoft Excel Solver használata 4 3. Lineáris programozás Termelési feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Szállítási feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Hozzárendelési feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Minimális költség hálózati folyam problémák Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Nemlineáris programozás Folytonos feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével

3 Megoldás elemzése Nem folytonos feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése

4 1. fejezet Bevezetés Lehet ségeihez mérten az ember mindig törekedett a legjobb eredmény elérésére. Legyen az egy gyár autógyártásából származó bevétel, vagy a fogyasztó oldaláról nézve az autó ár-érték arányának minimalizálása. Nap mint nap optimalizációs problémákkal találjuk szembe magunkat, még ha nem is vesszük észre. Elég ha csak egy átlagos bevásárlásra gondolunk. Persze a megoldandó feladatok nagysága és súlya nem ugyanakkora. Világos, hogy a kisboltban vásárolható két tej között könnyebb választani, mintha egy lakást szeretnénk venni, vagy akár egy nagyvállalat vezetésével vagyunk megbízva és döntéseinken komoly bevételek múlnak. Itt jön a kérdés: hogyan is tudnánk deniálni ezt az egész folyamatot? Az optimalizálás a gazdasági er forrásokkal való ésszer gazdálkodás, a legjobb állapot illetve cselekvés kiválasztására alkalmas eljárás, valamely el re meghatározott feltételek alapján. A gyorsaság és pontosság mindig is nagy szerepet kapott az optimalizálásban. Számítógépünk segítségével hatékonyabban tudunk megoldani nagyméret problémákat, vagy akár olyanoknak is meg tudjuk adni eredményét, amelyeket szinte lehetetlen lenne papíron kiszámolni. Ezt a célt szolgálja a Microsoft Excel Solver b vítménye. Ennek a programnak az a m ködési elve, hogy a megszorítások gyelembevételével megvizsgálja a lehetséges megoldásokat, majd azok közül kiválasztja a számunkra legkedvez bbet. Egy feladatnak lehet egy, több vagy akár végtelen sok optimális megoldása, de el fordulhat az is, hogy egy sincs. A kés bbiekben minden problématípusnál ismertetni fogjuk a modell fontosabb tulajdonságait egy feladat segítségével, amelyet a Solverrel megoldunk, majd a kapott eredményeket, jelentéseket kielemezzük. A példafeladatokat Wayne L. Winston Operációkutatás - Módszerek és alkalmazások cím könyvéb l merítettem. 3

5 2. fejezet A Microsoft Excel Solver használata A Solver használatát egy feladat segítségével mutatjuk be a könnyebb megértés kedvéért Feladat. Giapetto fafaragó cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és el állításához 10$ érték nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14 dollárral növeli Giapetto bérben jelentkez változó költségét és az általásnos költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, el állításához 9$ érték nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10 dollárral növeli a változó- és általános költségeket. A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezel munkát. Egy katona el állításához 2 óra felületkezel munka és 1 óra fafaragó munka szükséges. Egy vonathoz 1 óra felületkezel és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiség nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezel munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek meg hetente. Maximalizáljuk Giapetto heti protját (bevétel - költségek)! 1 Els lépésként írjuk fel a feladatunk matematikai modelljét. Döntési változók: x 1 = ahány katonát gyárt egy héten x 2 = ahány vonatot gyárt egy héten Korlátozó feltételek: 2 x 1 + x Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 51. oldal 4

6 x 1 + x 2 80 x 1 40 El jelkorlátozó feltételek: x 1 0 x 2 0 Célfüggvény: max z = ( ) x 1 + ( ) x 2 = 3 x x 2 A matematikai modell felírása után nyissunk meg egy új Excel munkalapot. Az els sorban feltüntetjük a döntési változók jelöléseit. Ezt nem kötelez megtennünk, mivel a program nem fogja a táblázatnak ezt a részét használni, viszont nekünk hasznos lehet átláthatóság szempontjából. Az alatta lév sorban rögzítjük a kezd értékeket (pl. 0), a megoldás során ezek az értékek változnak meg. A modellünkb l kiszedjük az együtthatókat és rögzítjük a táblánkban. A relációkat csak az áttekinthet ség kedvéért tüntetjük fel. Kiszámoljuk a korlátozó feltételek baloldalának értékét az adott változóértékek mellett. 5

7 A célfüggvény értékét is a változók függvényében számoljuk ki. A feladatunkat rögzítettük a táblánkban, ezek után megoldást keresünk a Solver segítségével, amelyet az Adatok menü Solver parancsával futtathatunk. Az el ugró ablakban megadjuk a célcella valamint a módosuló cellák helyét, kiválasztjuk, hogy maximalizálni vagy minimalizálni szeretnénk a célfüggvényünket és rögzítjük a korátozó feltételeinket. 6

8 A feltételeket az alábbi párbeszédpanel segítségével vehetjük fel, amelyet a fenti ablakon lév Hozzáadás gomb segítségével hívhatunk el. A Beállítás gombra kattintva szintén egy párbeszédpanel ugrik el, amelynek segítségével kiválaszthajuk a számunkra legkedvez bb megoldó algoritmust. A Max. id nél megadjuk, hogy mennyi id után álljon le a megoldás keresésével a program. A Lépésszám mez nél beírjuk, hogy maximálisan hány közelítést szeretnénk végrehajtani. A Pontosság-nál minél kisebb számot tüntetünk fel, annál nagyobb lesz a pontosság. A kívánt t rést százalékban tudjuk megadni. A Konvergencia mez ben adjuk meg, hogy az utolsó öt iterációban mekkora relatív változást engedünk meg addig, amíg a Solver a megoldást megtalálva le nem áll. A jelöl négyzeteknél be tudunk állítani további tulajdonságokat: lineáris modell, nemnegatív feltételezése, nagyságrendek felismerése, kijelzés lépésenként, amelyek közül elnevezésükb l kifolyólag csak az utolsó kett szorul némi magyarázatra. A nagyságrend felismerésére akkor van szükségünk, ha bizonyos bemeneti értékek több nagyságrenddel különböznek, vagy pedig az input és az output tér el egymástól nagy mértékben. A lépések kijelzésével pedig minden lépés eredményét megvizsgálhatjuk. A Solver az általánosított redukált gradiens (GRG - Generalized Reduced Gradient) módszert használja nem lineáris problémák optimalizálása során, míg lineáris esetben a szimplex és a branch and bound (elágazás és korlátozás) módszereket alkalmazza. A rádiógombok segítségével tovább tudjuk alakítani megoldó algoritmusunkat. A Közelítés-nél az egydimenziós keresési eljárásokban az alapváltozók kezdeti értékének becslésére használt módszert határozhatjuk meg. Ha az érint t választjuk, akkor az értéket az érint lineáris függvényeként írjuk fel, ha a kvadratikusat, akkor négyzetes extrapolációt alkalmazunk. A Dierenciák beállítás segítségével meghatározhatjuk, hogy a cél- és a feltételfüggvények parciális deriváltjainak becslésére a haladó vagy centrális dierenciálás módszerét használja-e a program. El bbit alkalmazzuk, ha a korlátozó feltételek függvényértékei nem változnak túl gyorsan, utóbbit ha ennek ellentéte áll fenn. 7

9 A Keresés-nél a keresési irányt meghatározó módszert választjuk ki. A Newton módszer általában több memóriát, de kevesebb lépésszámot igényel, mint a konjugált gradiens módszer. Utóbbi nagyobb problémák esetén ajánlott, ahol számít a felhasznált memória. Az algoritmusunk beállítása után az OK gombra kattintva visszatérünk a paramétereket tartalmazó ablakhoz. Itt már nincs más teend nk, mint megnyomni a Megoldás gombot. Amennyiben jól állítottuk be eljárásunkat, a Solver közli velünk, hogy optimális megoldást talált, vagy az nem is létezik esetleg több is van bel le. Ha hibát vélünk felfedezni, mondjuk a program megállt, miel tt megoldást talált volna vagy nem az elvárt eredmény keletkezett, akkor érdemes visszatekinteni a beállításokhoz, és leellen rizni azokat. A jelentések közül kiválaszthatjuk, hogy melyeket szeretnénk megvizsgálni. Ezek részletes magyarázatára a példákon keresztül kerül sor. 8

10 Ezután az OK gomb megnyomásával a D16 cellában megjelenik Giapetto heti pro- tjának maximuma, az A2 és B2 mez kben pedig a katonák és vonatok gyártásának optimális száma. 9

11 3. fejezet Lineáris programozás Számos optimalizálási problémában segítségül szolgál a lineáris programozás. A gazdaság szinte minden területén alkalmazzák a legjobb eredmény elérésének érdekében, például pénzügyi, termelési, szállítási, munkaszervezési problémák esetén Deníció. A lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálási feladat, amelyben a következ k történnek: 1. Maximalizáljuk (vagy minimalizáljuk) a döntési változók egy lineáris függvényét. A maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük. 2. A döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Minden feltételnek vagy lineáris egyenletnek vagy lineáris egyenl tlenségnek kell lennie. 3. Minden változóhoz tartozik egy el jelkorlátozás (vagy annak hiánya). Bármely x i változóra az el jelkorlátozás vagy azt írja el, hogy x i csak nemnegatív lehet (x i 0), vagy azt írja el, hogy x i el jelkorlátozatlan. A megoldandó feladataink modelleinek el állításához a következ néhány alapfogalmat kell megismernünk: döntési változók, célfüggvény, korlátozó feltételek. A döntési változó azt a célt szolgálja, hogy le tudjuk írni a jöv ben meghozandó döntéseket. Például az évente el állított televíziók száma vagy a naponta betakarított búza mennyisége. A célfüggvényt a döntési változók súlyozásával állítjuk el, amelyet minimalizálni vagy maximalizálni szeretnénk. Például egy gyárnál a lehet legnagyobb prot elérése vagy a ráfordítások minimalizálása. A korlátozó feltételek megszabnak bizonyos határokat a feladatnak. Például a rendelkezésre álló nyersanyag mennyisége, a munkaid korlátozása. 10

12 3.1. Termelési feladat Modell felírása 3.1. Feladat. Jones farmernek el kell döntenie, hogy ebben az évben hány hold kukoricát és hány hold búzát ültessen. Egy hold hozama 25 mázsa búza, és ez az egy hold heti 10 óra munkát igényel. Egy hold hozama 10 mázsa kukorica, és ez az egy hold heti 4 óra munkát igényel. A búza mázsánként 4$-ért adható el, és a kukorica eladási ára 3$ mázsánként. A farmernak hét hold földje van és heti 40 munkaóra áll rendelkezésére. Kormányzati el írás értelmében ebben az évben legalább 30 mázsa kukoricát kell termelni. Maximalizáljuk a búzából és kukoricából származó teljes jövedelmet! 1 Döntési változók: x 1 = ahány hold búzát ültet x 2 = ahány hold kukoricát ültet Korlátozó feltételek: x 1 + x x x x 2 30 El jelkorlátozó feltételek: x 1 0 x 2 0 Célfüggvény: max z = 4 25 x x 2 = 100 x x Megoldás Solver segítségével A matematikai modellünket már elkészítettünk, keressünk optimális megoldást a Solver segítségével! A feljebb leírtak fényében töltsünk fel egy táblát az együtthatókkal, adjuk meg a Solver paramétereket (célcella, módosuló cellák, korlátozó feltételek), majd a megoldó 1 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 58. oldal 11

13 algoritmusunk beállítását is végezzük el. Esetünkben a jelöl négyzeteknél a lineáris modell és a nemnegatív feltételezéseket kell alkalmaznunk. El bbit használva megjegyzend, hogy a nemlineáris eszközök (közelítés, dierenciák, keresés) beállításai ekkor már nem mérvadóak. A Megoldás gombra kattintva elkészíthetjük a jelentéseket, valamint a megfelel cellákban megjelennek az optimális megoldáshoz tartozó értékek Megoldás elemzése A táblázatunkban mind a döntési változók, mind a célfüggvény optimális értéke megjelent. A megoldás szerint 2,8 hold búzát és 3 hold kukoricát kell Jones farmernek ültetni a teljes jövedelem maximalizálásához, amely 370$-t jelent. Az eredmény, érzékenység, határok jelentések három különböz munkalapra generálódtak. Az eredmény jelentés három kisebb táblázatból áll. A Célcella és a Módosuló cellák tartalmazzák a feladat megoldását, amelyet már az imént említettünk. A Korlátozó feltételek-nél a kritériumokra vonatkozó adatokat láthatjuk. A Status oszlopban két érték jelenhet meg. Az Éppen azt jelzi, hogy az adott feltétel határán vagyunk, tehát vagy estén teljesül az egyenl ség, egyéb esetben B ven jelenik meg. Az Eltérés 12

14 oszlopból kiolvashatjuk, hogy az optimális megoldáshoz tartozó baloldal és a jobboldal milyen mértékben tér el egymástól. Tehát ezek tükrében a következ ket állapíthatjuk meg: a farmer 7 hold földb l csak 5,8 holdat ültet be, amelyek különbségét az Eltérés-nél láthatjuk, számszerint 1,2. a rendelkezésre álló heti 40 munkaórának maximális a kihasználtsága. a kormányzati el írásnak megfelel en, Jones éppen eléri az elvárt, legalább 30 mázsányi kukorica termelést. Az érzékenység jelentésb l nyert adatok segítségével egy feladatot nem feltétlenül kell újra megoldanunk, ha egy paraméter megváltozik. Ez akkor lehet kifejezetten hasznos számunkra, amikor egy jóval nagyobb problémát kell optimalizálnunk. Az érzékenységvizsgálat elemzése lehet séget nyújt, hogy az eredeti megoldásból megállapítsuk, hogy a paraméterek változtatására miképp változik eredményünk. A Módosuló cellák táblázatban szerepl Redukált költség a szimplex tábla alsó sorának értékeire utal. A Megengedhet növekedés/csökkenés oszlopok a megfelel célfüggvény együttható változásainak azon határait adják meg, melyen belül a feladat optimális megoldása nem változik (természetesen a célfüggvény értéke igen), míg a másik táblázatban szerepl azonos elnevezés oszlopok a megfelel feltétel jobboldala változatásainak azon határait adják meg, melyen belül az optimális bázis nem változik. 13

15 3.2. Deníció. Ha az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalának növelése nem módosítja az optimális bázist, akkor egy LP feladat i-edik korlátozó feltételéhez tartozó árnyékár az az érték, amennyivel az optimális z érték javul (maximumfeladat esetén a javulás növekedést, minimumfeladat esetén pedig csökkenést jelent), amikor az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalát 1-gyel növeljük. Írjuk fel modellünket a következ alakban: Célfüggvény: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 Korlátozó feltételek: x 1 + x 2 k 1 10 x x 2 k 2 10 x 2 k 3 Ekkor a lenti táblázatokból a következ ket sz rhetjük ki: A feladat optimális megoldása nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 75 c 1 <. < c Az optimális bázis nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 5,8 k 1 <. 12 k k Ha az optimális bázis nem változik, akkor: k 1 = = 8 esetén max(z)= = 370. k 2 = = 41 esetén max(z)= = 380. k 3 = = 31 esetén max(z)= =

16 Csináljuk egy próba ellen rzést a Solverrel, hogy ténylegesen igazak-e a fenti állítások. Az együtthatókat tartalmazó táblánkban növeljük meg a rendelkezésre álló munkaórák számát 1-gyel. A többi paramatér változtatása nélkül a farmer így már heti 41 órát dolgozhat. 15

17 Az érzékenységjelentésb l kiolvasva a munkaóra feltétel árnyékára 10, tehát az alapfeladatra kapott maximális z értéknek ennyivel kellett n nie, amelyet az ellen rz táblánkban is láthatunk. A határok jelentésben az alsó, fels határ és a hozzájuk tartozó Cél eredmény oszlopok hordoznak számunkra érdekes információkat. Az alsó és fels határ elárulja, hogy az optimális megoldásból kiindulva a változóknak mekkora a legkisebb és legnagyobb felvehet értékük a korlátozó feltételek teljesülése mellett, a Cél eredmény pedig meghatározza, hogy az adott pontban milyen értéket vesz fel a célfüggvény. Például x 1 = 0 estén (természetesen a többi paraméter változtatása nélkül) z = Szállítási feladat A szállítási feladat megoldásához meg kell ismernünk néhány alapfogalmat. A kínálati pontok azon pontok halmaza, amelyekb l a szállítás történik, a keresleti pontok pedig azok, ahová a szállítás történik. A köztük zajló transzferálásnak költségét a változó költség írja le minden egyes kínálati-keresleti pontpárra külön-külön. Feladatunkban meghatározhatjuk, hogy a kínálati helyeinkr l hány egységet vagyunk képesek szállítani, felvev részr l pedig a szükséges mennyiséget tudjuk meghatározni. A szállítási feladatnak alapvet en három fajtája van. Az egyik amikor az összkínálat nagyobb az összkeresletnél, a másik amikor kisebb, a harmadik pedig ha megegyeznek. Utóbbi esetben kiegyensúlyozott szállítási feladatról beszélünk. Az els két esetben bevezethetünk egy ktív keresleti pontot, amelynek célja a fel nem használt készlet vagy a kielégítetlen kereslet jelzése. Utóbbi általában büntet költséget von maga után. 16

18 Modell felírása 3.2. Feladat. Egy vállalat három fogyasztónak szállít termékeket, mindegyiknek 30 egységet. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a második raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre. Az alább látható táblázatban szerepelnek a raktárakból a fogyasztókhoz történ szállítások egységköltségei ($-ban). Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vev nél 90$ bírságköltség van, a 2. vev nél 80$, a 3. vev nél 110$. Minimalizáljuk a szállítási és hiányköltségek összegét. 2 Döntési változók: x ij = az i-edik raktárból a j-edik vev höz szállított egységek száma, ha i = 1, 2 és j = 1, 2, 3. x 3j = a j-edik vev kielégítetlen keresletegységének száma, ha j = 1, 2, 3. Korlátozó feltételek: Kínálati feltételek: x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x Keresleti feltételek: x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x El jelkorlátozó feltételek: x ij 0 ha, i = 1, 2, 3 és j = 1, 2, 3 2 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 294. oldal 17

19 Célfüggvény: min z = szállítási költségek { }} { 35 x x x x x x x x x 33 } {{ } hiányköltségek Megoldás Solver segítségével Ahogy azt eddig is tettük, töltsünk fel egy excel táblát az együtthatókkal. Kiszámoljuk a korlátozó feltételek baloldalának és a célfüggvény értékét az adott változóértékek mellett. A K18 mez re kattintva ezt a képletet fogjuk látni a szerkeszt lécben: Adjuk meg a Solver paramétereket. A célcella a K18 (ezt szeretnénk minimalizálni), a módosuló cellák pedig az A2, B2,..., I2 lesznek. Felvesszük a korlátozó feltételeinket, majd beállítjuk a lineáris modell és a nemnegatív feltételezéseket. A Megoldás gombra kattintva táblázatunkban megjelenik feladatunk optimális eredménye: 18

20 Megoldás elemzése Megoldásunk szerint a költségünk akkor lesz minimális, számszerint 3200$, ha az els raktárból 10 egységet az 1-es, 30-at a 2-es vev nek, a második raktárból a teljes készletet a 3-as vev nek szállítjuk. Így 20 kiegyenlítetlen keresletegysége lesz az els vev nek, amely után járó büntetés a teljes költségünk 56,25%-át teszi ki. A továbbiakban eredmény jelentésb l csak a korlátozó feltételek táblázatot fogom taglalni, mivel a másik kett a kapott eredmény vizsgálata után már nem információérték. A Status oszlop minden sorában az éppen értéket láthatjuk, ez elárulja, hogy mindegyik feltételnek a határán vagyunk. Írjuk fel modellünket a következ alakban: Célfüggvény: min z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + Korlátozó feltételek: +c 31 x 31 + c 32 x 32 + c 33 x 33 x 11 + x 12 + x 13 k 1 x 21 + x 22 + x 23 k 2 x 11 + x 21 + x 31 k 3 x 12 + x 22 + x 32 k 4 x 13 + x 23 + x 33 k 5 Ekkor az érzékenységvizsgálat segítségével a következ ket állapíthajuk meg: A feladat optimális megoldása nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 19

21 35 c c c c 21 <. 20 c 21 <. < c c c 32 <. 70 c 32 <. Az optimális bázis nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 30 k k k 3 <. 10 k k Ha az optimális bázis nem változik, akkor: k 1 = = 41 esetén min(z)= = k 3 = = 31 esetén min(z)= = k 4 = = 31 esetén min(z)= = k 5 = = 31 esetén min(z)= = A k 2 nem véletlenül lett kihagyva a felsorolásból. A táblázatban látható, hogy a hozzá tartozó Megengedhet növekedés 0, így nem tudjuk növelni a jobb oldal értékét 1-gyel, mert az optimális bázis változik. Tehát ez esetben az árnyékár nem értelmezhet. 20

22 A határok jelentésb l kiolvashatjuk, hogy az x 11, x 12, x 13, x 21, x 22 és x 23 közül egyiknek sem tudnánk értékét úgy növelni vagy csökkenteni az optimális megoldásból kiindulva, hogy ne sérüljenek a korlátozó feltételek. Az x 31, x 32 és x 33 Fels határára és Cél eredményére azért kaptunk #HIÁNYZIK-ot, mert ezeket a változókat akárhogy növeljük, a feltételek mindig teljesülni fognak Hozzárendelési feladat A hozzárendelési feladat általában egy speciális esete egy kiegyensúlyozott szállítási feladatnak, amelyben minden kínálat és kereslet Modell felírása 3.3. Feladat. Doc Councillman a méteres vegyes váltóra válogatja össze úszócsapatát. Minden úszónak 100 métert kell úsznia vagy mellen, vagy háton, vagy pillangón, 21

23 vagy gyorson. Doc úgy gondolja, hogy mindegyik úszó tudja hozni az alábbi táblázatban leírt id ket (másodpercben). Ha a csapat összidejének minimalizálása a cél, akkor melyik úszó melyik úszásnemben induljon? 3 Legyen Gary Hall az egyes, Mark Spitz a kettes, Jim Montgomery a hármas és Chet Jastremski a négyes számú úszó. A gyors, mell, pillangó, hát pedig rendre az els, második, harmadik és negyedik versenyszám. Döntési változók: x ij = 1, ha az i-edik úszót indítjuk a j-edik versenyszámban x ij = 0, ha az i-edik úszót nem indítjuk a j-edik versenyszámban Korlátozó feltételek: Minden úszó csak egy versenyszámban indulhat: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 Minden úszásnemben csak egy versenyz indulhat: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 El jelkorlátozó feltételek: x ij 0 ha, i = 1, 2, 3, 4 és j = 1, 2, 3, 4 3 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 323. oldal 22

24 Célfüggvény: min z = 54 x x x x x x x x x x x x x x x x Megoldás Solver segítségével Meglév paramétereinket rögzítsük egy excel táblázatban és használjuk az eddig alkalmazott Solver beállításokat! Az egyedüli különbség az el z feladatokhoz képest az az, hogy most a döntési változóink csak 0 vagy 1 értéket vehetnek fel. A korlátozó feltételeknél lév Hozzáadás gomb segítségével állítsuk be a megfelel cellákra a bin (bináris) feltételt. Esetünkben az összes második sorban szerepl mez re. Táblázatunkban az összetartozó sorokat azonos színnel jelöltem. 23

25 Megoldás elemzése Az optimális megoldás megjelent a táblázatunkban, amely szerint a csapat összideje a lehet legjobb esetben 207 másodperc. Ehhez az kell, hogy Gary Hall induljon pillangón, Mark Spitz háton, Jim Montgomery gyorson, Chet Jastremski pedig mellen. A Solver azon túl, hogy közölte velünk, optimális megoldást talált, a következ t is üzente, amikor a jelentéseket akartam elkészíteni: Az Érzékenység jelentés és a Határok jelentés nem bír jelentéssel egész érték korlátozó feltételek esetén. Ezt az okozta, hogy a módosuló cellákra bináris feltételt szabtunk. Létezik olyan algoritmus, amely nagyon hatékonyan megoldja a hozzárendelési feladatot. Ezt az algoritmust magyar módszernek hívjuk, három lépésb l áll: 1. lépés Keressük meg az m m-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméb l kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költségelemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméb l kivonjuk a legkisebb költségelemet. 2. lépés Rajzoljuk be a lehet legkevesebb olyan vonalat (vízszintesen és/vagy függ legesen), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhet. Ha ehhez m fed vonal szükséges, akkor a mátrixban lév lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a 3. lépés következik. 3. lépés Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k-nak), amelyiket a 2. lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméb l, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza a 2. lépéshez. Ha a hozzárendelési feladat során maximalizálni szeretnénk, akkor a protmátrix minden elemét szorozzuk meg -1-gyel és ezután oldjuk meg minimum feladatként. Ha a sorok és oszlopok száma nem egyezik, akkor vezessünk be ktív pontokat, mert a magyar módszer kiegyensúlyozatlan feladatra nem feltétlenül ad helyes megoldást. A leírt algoritmus segítségével ellen rizzük le, hogy feladatunkra valóban optimális megoldást kaptunk-e a Solver által. Esetünkben a költségmátrix elemeit az egyes úszók úszásnemekben elért id eredményeik adják. Mátrixunk a következ képpen alakul: 24

26 A magyar módszer szerint a lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás (zölddel jelölve). Viszont vannak olyan sorok és oszlopok, amelyekben több nulla is szerepel. Keressünk olyanokat, amelyekben csak egyetlen nulla található. Esetünkben az els és harmadik sorban, valamint a második oszlopban egyetlen nulla van, így ezeken a helyeken szerepl költségelemek biztosan részei lesznek az optimális megoldásnak. Mivel minden sorból és oszlopból egy elemet választhatunk ki, így a már meglév három meghatározza a negyediket. Az algoritmusra hagyatkozva Gary Hallnak pillangón, Mark Spitznek háton, Jim Montgomerynek gyorson, Chet Jastremskinek pedig mellen kell indulnia ahhoz, hogy a csapat összideje a legkisebb legyen. Ez a megoldás megegyezik a Solver által kiszámolttal Minimális költség hálózati folyam problémák Egyes optimalizációs feladatoknál sokat használhat, ha grakusan tudjuk szemléltetni. A soron következ példánál egy hálózat segítségével fogunk modellezni Modell felírása Az eddig ismertetett feladatok mind speciális esetei a minimális költség hálózati folyam problémának (MKHFP). A modell felírása során a következ ket fogjuk használni: x ij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül haladó folyam mennyisége 25

27 b i = az i csúcs nettó kibocsátása (kiáramlás-beáramlás) c ij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül küldött egységnyi folyam szállítási költsége L ij = az (i, j) élen átmen folyam alsó korlátja (ha nincs alsó korlát, legyen L ij = 0) U ij = az (i, j) élen átmen folyam fels korlátja (ha nincs fels korlát, legyen U ij = ) Ezeket használva az MKHFP felírása: min x ij j k minden élre x ki = b i L ij x ij U ij c ij x ij ( i csúcsra) ( (i, j) élre) 3.4. Feladat. Az Oilco olajkútjai San Diego, illetve Los Angeles közelében vannak. A San Diego melletti mez b l napi legfeljebb hordó, a Los Angeles melletti mez b l napi legfeljebb hordó olaj termelhet ki. A nyersolajat a dallasi vagy a houstoni nomítóba küldik, amelyek közül egyik sem képes napi hordónál több olajat feldolgozni. Dallasban hordó nomítása 700$-ba, Houstonban 900$-ba kerül. A nomított olajat Chicagoba, illetve New Yorkba szállítják: Chicagoba hordónyit, New Yorkba hordónyit naponta. Az alábbi táblázat mutatja, hogy mennyi hordó (nyers vagy nomított) olaj szállítási költsége ($-ban) az egyes helyszínek között. Adjunk meg egy MKHFP-t, amellyel minimalizálható az igények kielégítésének összes költsége! 4 4 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 381. oldal 26

28 A megoldás során egy egység alatt hordó olajat értünk. Egy irányított gráf segítségével szemléltetem a feladatot. A csúcsok számai mögött a városok kezd bet jét tüntettem fel zárójelben az átláthatóság kedvéért. Döntési változók: x ij = az i-edik városból a j-edikbe szállított olaj mennyisége Nettó kibocsátás: b 1 + b 2 = 7 b 3 = 0 b 5 + b 6 = 7 b 4 = 0 Az egyes pontpárokra vetített költségek (szállítási + nomítási): c 13 = = 1000 c 35 = 450 c 14 = = 1010 c 36 = 550 c 23 = = 1120 c 45 = 470 c 24 = = 1000 c 46 = 530 A városok közötti szállítások alsó korlátja: L ij = 0 ( (i, j) élre) A városok közötti szállítások fels korlátja: U i3 = U i4 = minden más esetben: U ij = 27

29 Korlátozó feltételek: Kínálati feltételek: x 13 + x 14 4 x 23 + x 24 5 A nomítók kapacitására vonatkozó feltételek: x 13 + x 23 5 x 14 + x 24 5 Keresleti feltételek: x 35 + x 45 = 3 x 36 + x 46 = 4 A nettó kibocsátásra vonatkozó feltételek: x 35 + x 36 x 13 x 23 = 0 x 45 + x 46 x 14 x 24 = 0 El jelkorlátozó feltételek: Célfüggvény: x ij 0 ( ij-re) min z = 1000 x x x x x x x x Megoldás Solver segítségével Az együtthatókkal feltöltött táblázat 4-5. sorában a kínálatra, 6-7-ben a kapacitásra, 8-9-ben a keresletre, ben pedig a nettó kibocsátásra vonatkozó feltételeket láthatjuk. A hozzájuk tartozó befüggvényezett mez ket velük azonos színnel jelöltem. Az eddig használt beállításainkon nem kell változtatni. 28

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai

Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.

Részletesebben

Érzékenységvizsgálat

Érzékenységvizsgálat Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális

Részletesebben

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével

Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot

Részletesebben

EuroOffice Optimalizáló (Solver)

EuroOffice Optimalizáló (Solver) 1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer

Részletesebben

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma

Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben

Részletesebben

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje

Operációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.

Részletesebben

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000

Növényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000 A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

A Markowitz modell: kvadratikus programozás

A Markowitz modell: kvadratikus programozás A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Lineáris programozási feladat megoldása Microsoft O ce EXCEL szoftverrel

Lineáris programozási feladat megoldása Microsoft O ce EXCEL szoftverrel Lineáris programozási feladat megoldása Microsoft O ce EXCEL szoftverrel 1. A lineáris programozási probléma de niálása Solverrel A Solver használatát három lineáris programozási feladaton keresztül fogjuk

Részletesebben

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS

Részletesebben

Operációkutatás vizsga

Operációkutatás vizsga Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,

Részletesebben

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK

Közgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely

Részletesebben

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:

Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

Az érzékenységvizsgálat jelentősége

Az érzékenységvizsgálat jelentősége Az érzékenységvizsgálat jelentősége (Tanulmány) Egyéb olyan fontos szempontok mellett, mint a stabilitás, rugalmasság, társadalmi elfogadottság, stb., az ipari menedzser fő célja, hogy növelje cége nyereségét.

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Esettanulmányok és modellek 2

Esettanulmányok és modellek 2 Esettanulmányok és modellek Kereskedelem Mezőgazdaság Készítette: Dr. Ábrahám István Kereskedelem. Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (. oldal) nyomán: Kiskereskedelmi cég négyféle üdítőt rendel, melyek

Részletesebben

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.

i=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes. 1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

KÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója

Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok

1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok 1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat

Részletesebben

Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére

Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére Tamaga István Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére modell Készítsük el egy épít ipari kivitelezés gráfelméleti modelljét! Ekkor a kivitelezést megfeleltetjük egy gráfnak,

Részletesebben

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan

Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan Menedzsment és vállalkozásgazdaságtan 4. ZH - számolós feladatok Tartalomjegyzék 1. Készletgazdálkodás 2 1.1. Egy keresked az új................................... 2 1.2. Egy üzem egyik terméke................................

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

1.1.1 Dátum és idő függvények

1.1.1 Dátum és idő függvények 1.1.1 Dátum és idő függvények Azt már tudjuk, hogy két dátum különbsége az eltelt napok számát adja meg, köszönhetően a dátum tárolási módjának az Excel-ben. Azt is tudjuk a korábbiakból, hogy a MA() függvény

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 8. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba

Döntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30

Részletesebben

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK

EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK dátum:... a mérést végezte:... EGYENÁRAMÚ TÁPEGYSÉGEK m é r é s i j e g y z k ö n y v 1/A. Mérje meg az adott hálózati szabályozható (toroid) transzformátor szekunder tekercsének minimálisan és maximálisan

Részletesebben

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport)

Tisztelt hallgatók! Farkas Péter egyetemi adjunktus, tananyagfejlesztõ, tutor (gyõri és pécsi csoport) egyetemi adjuntus, tutor (budapesti csoport) Tisztelt hallgatók! E-LEARNING KÉZÉS Az alábbiakban a Gazdálkodási szakos, e-learning rendszerben mûködõ képzés tananyagához készült hibalistát olvashatja. A visszajelzések és az anyag folyamatos gondozása

Részletesebben

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény

Részletesebben

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function)

értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) Genetikus algoritmusok globális optimalizálás sok lehetséges megoldás közül keressük a legjobbat értékel függvény: rátermettségi függvény (tness function) populáció kiválasztjuk a legrátermettebb egyedeket

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február

MIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása,

Részletesebben

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia

Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran

Részletesebben

Amortizációs költségelemzés

Amortizációs költségelemzés Amortizációs költségelemzés Amennyiben műveleteknek egy M 1,...,M m sorozatának a futási idejét akarjuk meghatározni, akkor egy lehetőség, hogy külön-külön minden egyes művelet futási idejét kifejezzük

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter

szemináriumi A csoport Név: NEPTUN-kód: Szabó-Bakos Eszter 3. szemináriumi ZH A csoport Név: NEPTUN-kód: A feladatlapra írja rá a nevét és a NEPTUN kódját! A dolgozat feladatainak megoldására maximálisan 90 perc áll rendelkezésre. A helyesnek vált válaszokat a

Részletesebben

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI

19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI 19. AZ ÖSSZEHASONLÍTÁSOS RENDEZÉSEK MŰVELETIGÉNYÉNEK ALSÓ KORLÁTJAI Ebben a fejezetben aszimptotikus (nagyságrendi) alsó korlátot adunk az összehasonlításokat használó rendező eljárások lépésszámára. Pontosabban,

Részletesebben

Mathematica automatikusan dolgozik nagy pontossággal, például 3 a 100-dik hatványon egy szám 48 tizedes jeggyel:

Mathematica automatikusan dolgozik nagy pontossággal, például 3 a 100-dik hatványon egy szám 48 tizedes jeggyel: Mathematica mint egy számológép Használhatja a Mathematica-t, mint egy közönséges számológépet, begépelve egy kifejezést, és a SHIFT + ENTER gombok egyidejű lenyomása után a Mathematica kiszámítja és megadja

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

Általános algoritmustervezési módszerek

Általános algoritmustervezési módszerek Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás

Részletesebben

VRV Xpressz Használati Útmutató

VRV Xpressz Használati Útmutató VRV Xpressz Használati Útmutató A programmal néhány perc alatt nem csak 5-6 beltéri egységes munkákat, hanem komplett, 3-400 beltéri egységgel rendelkez irodaházakat, szállodákat is meg lehet tervezni.

Részletesebben

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer

Aronic Főkönyv kettős könyvviteli programrendszer 6085 Fülöpszállás, Kiskunság tér 4. Internet: www.cin.hu E-mail: software@cin.hu Tel: 78/435-081, 30/9-573-673, 30/9-593-167 kettős könyvviteli programrendszer v2.0 Szoftverdokumentáció Önnek is jár egy

Részletesebben

Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása

Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása Ismétlődő műveletek elvégzésének automatizálása Adatfeldolgozás közben gyakran előfordul, hogy Önnek ugyanazt, az elemi lépésekből álló, összetett műveletsort kell sokszor, esetleg nagyon sokszor és ami

Részletesebben

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése

A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése 1 /11 (C) http://kgt.bme.hu/ A technológia és költség dualitása: termelési függvény és költségfüggvények. A vállalat optimális döntése Varian 20.3-6. 21. fejezet Termelési és hasznossági függvény (ismétlés

Részletesebben

Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási Mechanizmusok 2009-2014 pályázati kiírásaihoz

Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási Mechanizmusok 2009-2014 pályázati kiírásaihoz NFFKÜ - Nemzetközi Fejlesztési és Forráskoordinációs Ügynökség Zártkörűen Működő Részvénytársaság NFFKÜ Zrt. www.norvegalap.hu www.egtalap.hu Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási

Részletesebben

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2.

Pénzügyi számítások 1. ÁFA. 2015. december 2. Pénzügyi számítások 2015. december 2. 1. ÁFA Nettó ár= Tiszta ár, adót nem tartalmaz, Bruttó ár=fogyasztói ár=adóval terhelt érték= Nettó ár+ ÁFA A jelenlegi ÁFA a nettó ár 27%-a. Összefüggések: bruttó

Részletesebben

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI

A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI A DÖNTÉSELMÉLET ELEMEI Irodalom: Temesi J., A döntéselmélet alapjai, Aula, 2002, Budapest Lawrence, J.A., Pasternack, B.A., Applied management science, John Wiley & Sons Inc. 2002 Stevenson, W. J., Operation

Részletesebben

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát!

Rácsvonalak parancsot. Válasszuk az Elsődleges függőleges rácsvonalak parancs Segédrácsok parancsát! Konduktometriás titrálás kiértékelése Excel program segítségével (Office 2007) Alapszint 1. A mérési adatokat írjuk be a táblázat egymás melletti oszlopaiba. Az első oszlopba kerül a fogyás, a másodikba

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával

Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával Sztöchiometriai egyenletrendszerek minimális számú aktív változót tartalmazó megoldásainak meghatározása a P-gráf módszertan alkalmazásával * Pannon Egyetem, M szaki Informatikai Kar, Számítástudomány

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal

Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják

Részletesebben

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével. Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van

Részletesebben

Hasonlóságelemzés COCO használatával

Hasonlóságelemzés COCO használatával Hasonlóságelemzés COCO használatával Miért a CoCo?? Mire használhatom a CoCo-t?! Például megállapíthatom, hogy van-e a piacon olyan cég, amely az árhoz és a többiekhez képest kevesebbet vagy többet teljesít.?

Részletesebben

SZÁLLÍTÁSI FELADAT KÖRUTAZÁSI MODELL WINDOWS QUANTITATIVE SUPPORT BUSINESS PROGRAMMAL (QSB) JEGYZET Ábragyűjtemény Dr. Réger Béla LÉPÉSRŐL - LÉPÉSRE

SZÁLLÍTÁSI FELADAT KÖRUTAZÁSI MODELL WINDOWS QUANTITATIVE SUPPORT BUSINESS PROGRAMMAL (QSB) JEGYZET Ábragyűjtemény Dr. Réger Béla LÉPÉSRŐL - LÉPÉSRE SZÁLLÍTÁSI FELADAT KÖRUTAZÁSI MODELL WINDOWS QUANTITATIVE SUPPORT BUSINESS PROGRAMMAL (QSB) JEGYZET Ábragyűjtemény Dr. Réger Béla LÉPÉSRŐL - LÉPÉSRE KÖRUTAZÁSI MODELL AVAGY AZ UTAZÓÜGYNÖK PROBLÉMÁJA Induló

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN

REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Regionális gazdaságtan VON THÜNEN-MODELLEK Készítette: Békés Gábor és Rózsás Sarolta Szakmai felel s: Békés Gábor 2011. július Vázlat 1 Mai

Részletesebben

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell

Részletesebben

Szállítási feladat_1.

Szállítási feladat_1. Szállítási feladat_. Bevezetés, a vállalkozás bemutatása A vállalkozás 992-ben alakult, mint egyszemélyes vállalkozás, majd évek során kinőtte magát, tevékenysége és vevőköre egyre kiszélesedett, így 2002-ben

Részletesebben

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok

Mikroökonómia. Vizsgafeladatok Mikroökonómia Vizsgafeladatok Bacsi, Mikro feladatok 1 1, Marshall- kereszt, piaci egyensúly Mennyi a savanyúcukorka egyensúlyi mennyisége, ha a cukorka iránti kereslet és kínálat függvénye a következı:

Részletesebben

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez Bevezetés Ebben a fejezetben megismerkedünk a Logikai függvények típusaival és elsajátítjuk alkalmazásukat. Jártasságot szerzünk bonyolultabb feladatok megoldásában, valamint képesek leszünk a függvények

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

OK ra bezárja ezt az ablakot és ekkor megnyílik a rendszámokat tartalmazó ablak.

OK ra bezárja ezt az ablakot és ekkor megnyílik a rendszámokat tartalmazó ablak. #$K+ Mérlegelés A képernyı felsı részében a rendszám listában a telepen bent lévı szállító jármővek listája látható. Ezeknél a tételsoroknál már megtörtént a belépéskori elsı mérés de még nem volt kiléptetve

Részletesebben

Felhasználói leírás: STAHL Ex-Tool v1.0 rev101-2 -

Felhasználói leírás: STAHL Ex-Tool v1.0 rev101-2 - Felhasználói leírás: STAHL Ex-Tool v1.0 rev101-1 - Kezelési útmutató Tartalomjegyzék: Kezelési útmutató... 1 Tartalomjegyzék:... 1 Szoftver feladata:... 2 Szoftver telepítése:... 2 Els használat:... 3

Részletesebben

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. B. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. B AZ IDŽ KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack Hirshleifer, Amihai

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát

Részletesebben

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása

Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Alkalmazott operáiókutatás. elıadás 8/9. tanév 8. szeptemer 9. Maimumfeladat grafikus megoldása lehetséges megoldások + 4 + () 8 + Optimális

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő

2. szemináriumi. feladatok. Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 2. szemináriumi feladatok Fogyasztás/ megtakarítás Több időszak Több szereplő 1. feladat Egy olyan gazdaságot vizsgálunk, ahol a fogyasztó exogén jövedelemfolyam és exogén kamat mellett hoz fogyasztási/megtakarítási

Részletesebben

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád Dr. Katz Sándor: Lehet vagy nem? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád A kreativitás fejlesztésének legközvetlenebb módja a konstrukciós feladatok megoldása.

Részletesebben

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész

Mikroökonómia II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 5. hét AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész MIKROÖKONÓMIA II. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia II. AZ INFORMÁCIÓ ÉS KOCKÁZAT KÖZGAZDASÁGTANA, 1. rész Készítette: Szakmai felel s: 2011. február A tananyagot készítette: Jack

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ GYAKORLATI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ GYAKORLATI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 16. INFORMATIKA KÖZÉPSZINTŰ GYAKORLATI VIZSGA 2011. május 16. 8:00 A gyakorlati vizsga időtartama: 180 perc Beadott dokumentumok Piszkozati pótlapok száma Beadott fájlok száma

Részletesebben

REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN B

REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN B REGIONÁLIS GAZDASÁGTAN B ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Regionális gazdaságtan B A MONOPOLISZTIKUS VERSENY ÉS A DIXITSTIGLITZ-MODELL Készítette: Békés Gábor és Rózsás Sarolta Szakmai felel s:

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat

Tartalom. Matematikai alapok. Termékgyártási példafeladat. Keverési példafeladat Szállítási példafeladat Hátizsák feladat, egészértékű feladat 6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Termékgyártási

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Gyártórendszerek modellezése: MILP modell PNS feladatokhoz

Gyártórendszerek modellezése: MILP modell PNS feladatokhoz Gyártórendszerek modellezése MILP modell PNS feladatokhoz 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Számítástudomány Alkalmazása Tanszék Utolsó frissítés: 2008. november 16. 1 hegyhati@dcs.uni-pannon.hu

Részletesebben

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június

MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási Mechanizmusok 2009-2014 pályázati kiírásaihoz

Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási Mechanizmusok 2009-2014 pályázati kiírásaihoz NFFKÜ - Nemzetközi Fejlesztési és Forráskoordinációs Ügynökség Zártkörűen Működő Részvénytársaság NFFKÜ Zrt. www.egtalap.hu Pályázati űrlap kitöltési útmutató az EGT és Norvég Finanszírozási Mechanizmusok

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás

1. szemináriumi. feladatok. két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás 1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó

Részletesebben

Excel Hivatkozások, függvények használata

Excel Hivatkozások, függvények használata Excel Hivatkozások, függvények használata 1. Fejezet Adatok, képletek, függvények Adatok táblázat celláiba írjuk, egy cellába egy adat kerül lehet szám, vagy szöveg * szám esetén a tizedes jegyek elválasztásához

Részletesebben

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac

Mikroökonómia - Bevezetés, a piac Mikroökonómia szeminárium Bevezetés, a piac Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Tanszék 2011 szeptember 21. A témakör alapfogalmai Keresleti (kínálati) görbe - kereslet (kínálat) fogalma - kereslet

Részletesebben

(Kötelezően közzéteendő jogi aktusok)

(Kötelezően közzéteendő jogi aktusok) 2004.11.20. L 345/1 I (Kötelezően közzéteendő jogi aktusok) A BIZOTTSÁG 1973/2004/EK RENDELETE (2004. október 29.) az 1782/2003/EK tanácsi rendelet IV. és IVa. címeiben meghatározott támogatási rendszereket,

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30.

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál 1-2015.június 30. 1. Határozzuk meg, hány egybevágósága van egy négyzetnek! Melyek azonos jellegűek ezek között? Ez egy általános bevezető feladat tud

Részletesebben