Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével
|
|
- Marika Alíz Fülöp
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b vítménye segítségével Szakdolgozat Tóth Ádám Matematika B.Sc., elemz szakirány Témavezet : Mádi-Nagy Gergely, egyetemi adjunktus Operációkutatás Tanszék Budapest 2011
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Microsoft Excel Solver használata 4 3. Lineáris programozás Termelési feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Szállítási feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Hozzárendelési feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Minimális költség hálózati folyam problémák Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése Nemlineáris programozás Folytonos feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével
3 Megoldás elemzése Nem folytonos feladat Modell felírása Megoldás Solver segítségével Megoldás elemzése
4 1. fejezet Bevezetés Lehet ségeihez mérten az ember mindig törekedett a legjobb eredmény elérésére. Legyen az egy gyár autógyártásából származó bevétel, vagy a fogyasztó oldaláról nézve az autó ár-érték arányának minimalizálása. Nap mint nap optimalizációs problémákkal találjuk szembe magunkat, még ha nem is vesszük észre. Elég ha csak egy átlagos bevásárlásra gondolunk. Persze a megoldandó feladatok nagysága és súlya nem ugyanakkora. Világos, hogy a kisboltban vásárolható két tej között könnyebb választani, mintha egy lakást szeretnénk venni, vagy akár egy nagyvállalat vezetésével vagyunk megbízva és döntéseinken komoly bevételek múlnak. Itt jön a kérdés: hogyan is tudnánk deniálni ezt az egész folyamatot? Az optimalizálás a gazdasági er forrásokkal való ésszer gazdálkodás, a legjobb állapot illetve cselekvés kiválasztására alkalmas eljárás, valamely el re meghatározott feltételek alapján. A gyorsaság és pontosság mindig is nagy szerepet kapott az optimalizálásban. Számítógépünk segítségével hatékonyabban tudunk megoldani nagyméret problémákat, vagy akár olyanoknak is meg tudjuk adni eredményét, amelyeket szinte lehetetlen lenne papíron kiszámolni. Ezt a célt szolgálja a Microsoft Excel Solver b vítménye. Ennek a programnak az a m ködési elve, hogy a megszorítások gyelembevételével megvizsgálja a lehetséges megoldásokat, majd azok közül kiválasztja a számunkra legkedvez bbet. Egy feladatnak lehet egy, több vagy akár végtelen sok optimális megoldása, de el fordulhat az is, hogy egy sincs. A kés bbiekben minden problématípusnál ismertetni fogjuk a modell fontosabb tulajdonságait egy feladat segítségével, amelyet a Solverrel megoldunk, majd a kapott eredményeket, jelentéseket kielemezzük. A példafeladatokat Wayne L. Winston Operációkutatás - Módszerek és alkalmazások cím könyvéb l merítettem. 3
5 2. fejezet A Microsoft Excel Solver használata A Solver használatát egy feladat segítségével mutatjuk be a könnyebb megértés kedvéért Feladat. Giapetto fafaragó cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és el állításához 10$ érték nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14 dollárral növeli Giapetto bérben jelentkez változó költségét és az általásnos költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, el állításához 9$ érték nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10 dollárral növeli a változó- és általános költségeket. A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezel munkát. Egy katona el állításához 2 óra felületkezel munka és 1 óra fafaragó munka szükséges. Egy vonathoz 1 óra felületkezel és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiség nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezel munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek meg hetente. Maximalizáljuk Giapetto heti protját (bevétel - költségek)! 1 Els lépésként írjuk fel a feladatunk matematikai modelljét. Döntési változók: x 1 = ahány katonát gyárt egy héten x 2 = ahány vonatot gyárt egy héten Korlátozó feltételek: 2 x 1 + x Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 51. oldal 4
6 x 1 + x 2 80 x 1 40 El jelkorlátozó feltételek: x 1 0 x 2 0 Célfüggvény: max z = ( ) x 1 + ( ) x 2 = 3 x x 2 A matematikai modell felírása után nyissunk meg egy új Excel munkalapot. Az els sorban feltüntetjük a döntési változók jelöléseit. Ezt nem kötelez megtennünk, mivel a program nem fogja a táblázatnak ezt a részét használni, viszont nekünk hasznos lehet átláthatóság szempontjából. Az alatta lév sorban rögzítjük a kezd értékeket (pl. 0), a megoldás során ezek az értékek változnak meg. A modellünkb l kiszedjük az együtthatókat és rögzítjük a táblánkban. A relációkat csak az áttekinthet ség kedvéért tüntetjük fel. Kiszámoljuk a korlátozó feltételek baloldalának értékét az adott változóértékek mellett. 5
7 A célfüggvény értékét is a változók függvényében számoljuk ki. A feladatunkat rögzítettük a táblánkban, ezek után megoldást keresünk a Solver segítségével, amelyet az Adatok menü Solver parancsával futtathatunk. Az el ugró ablakban megadjuk a célcella valamint a módosuló cellák helyét, kiválasztjuk, hogy maximalizálni vagy minimalizálni szeretnénk a célfüggvényünket és rögzítjük a korátozó feltételeinket. 6
8 A feltételeket az alábbi párbeszédpanel segítségével vehetjük fel, amelyet a fenti ablakon lév Hozzáadás gomb segítségével hívhatunk el. A Beállítás gombra kattintva szintén egy párbeszédpanel ugrik el, amelynek segítségével kiválaszthajuk a számunkra legkedvez bb megoldó algoritmust. A Max. id nél megadjuk, hogy mennyi id után álljon le a megoldás keresésével a program. A Lépésszám mez nél beírjuk, hogy maximálisan hány közelítést szeretnénk végrehajtani. A Pontosság-nál minél kisebb számot tüntetünk fel, annál nagyobb lesz a pontosság. A kívánt t rést százalékban tudjuk megadni. A Konvergencia mez ben adjuk meg, hogy az utolsó öt iterációban mekkora relatív változást engedünk meg addig, amíg a Solver a megoldást megtalálva le nem áll. A jelöl négyzeteknél be tudunk állítani további tulajdonságokat: lineáris modell, nemnegatív feltételezése, nagyságrendek felismerése, kijelzés lépésenként, amelyek közül elnevezésükb l kifolyólag csak az utolsó kett szorul némi magyarázatra. A nagyságrend felismerésére akkor van szükségünk, ha bizonyos bemeneti értékek több nagyságrenddel különböznek, vagy pedig az input és az output tér el egymástól nagy mértékben. A lépések kijelzésével pedig minden lépés eredményét megvizsgálhatjuk. A Solver az általánosított redukált gradiens (GRG - Generalized Reduced Gradient) módszert használja nem lineáris problémák optimalizálása során, míg lineáris esetben a szimplex és a branch and bound (elágazás és korlátozás) módszereket alkalmazza. A rádiógombok segítségével tovább tudjuk alakítani megoldó algoritmusunkat. A Közelítés-nél az egydimenziós keresési eljárásokban az alapváltozók kezdeti értékének becslésére használt módszert határozhatjuk meg. Ha az érint t választjuk, akkor az értéket az érint lineáris függvényeként írjuk fel, ha a kvadratikusat, akkor négyzetes extrapolációt alkalmazunk. A Dierenciák beállítás segítségével meghatározhatjuk, hogy a cél- és a feltételfüggvények parciális deriváltjainak becslésére a haladó vagy centrális dierenciálás módszerét használja-e a program. El bbit alkalmazzuk, ha a korlátozó feltételek függvényértékei nem változnak túl gyorsan, utóbbit ha ennek ellentéte áll fenn. 7
9 A Keresés-nél a keresési irányt meghatározó módszert választjuk ki. A Newton módszer általában több memóriát, de kevesebb lépésszámot igényel, mint a konjugált gradiens módszer. Utóbbi nagyobb problémák esetén ajánlott, ahol számít a felhasznált memória. Az algoritmusunk beállítása után az OK gombra kattintva visszatérünk a paramétereket tartalmazó ablakhoz. Itt már nincs más teend nk, mint megnyomni a Megoldás gombot. Amennyiben jól állítottuk be eljárásunkat, a Solver közli velünk, hogy optimális megoldást talált, vagy az nem is létezik esetleg több is van bel le. Ha hibát vélünk felfedezni, mondjuk a program megállt, miel tt megoldást talált volna vagy nem az elvárt eredmény keletkezett, akkor érdemes visszatekinteni a beállításokhoz, és leellen rizni azokat. A jelentések közül kiválaszthatjuk, hogy melyeket szeretnénk megvizsgálni. Ezek részletes magyarázatára a példákon keresztül kerül sor. 8
10 Ezután az OK gomb megnyomásával a D16 cellában megjelenik Giapetto heti pro- tjának maximuma, az A2 és B2 mez kben pedig a katonák és vonatok gyártásának optimális száma. 9
11 3. fejezet Lineáris programozás Számos optimalizálási problémában segítségül szolgál a lineáris programozás. A gazdaság szinte minden területén alkalmazzák a legjobb eredmény elérésének érdekében, például pénzügyi, termelési, szállítási, munkaszervezési problémák esetén Deníció. A lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálási feladat, amelyben a következ k történnek: 1. Maximalizáljuk (vagy minimalizáljuk) a döntési változók egy lineáris függvényét. A maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük. 2. A döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Minden feltételnek vagy lineáris egyenletnek vagy lineáris egyenl tlenségnek kell lennie. 3. Minden változóhoz tartozik egy el jelkorlátozás (vagy annak hiánya). Bármely x i változóra az el jelkorlátozás vagy azt írja el, hogy x i csak nemnegatív lehet (x i 0), vagy azt írja el, hogy x i el jelkorlátozatlan. A megoldandó feladataink modelleinek el állításához a következ néhány alapfogalmat kell megismernünk: döntési változók, célfüggvény, korlátozó feltételek. A döntési változó azt a célt szolgálja, hogy le tudjuk írni a jöv ben meghozandó döntéseket. Például az évente el állított televíziók száma vagy a naponta betakarított búza mennyisége. A célfüggvényt a döntési változók súlyozásával állítjuk el, amelyet minimalizálni vagy maximalizálni szeretnénk. Például egy gyárnál a lehet legnagyobb prot elérése vagy a ráfordítások minimalizálása. A korlátozó feltételek megszabnak bizonyos határokat a feladatnak. Például a rendelkezésre álló nyersanyag mennyisége, a munkaid korlátozása. 10
12 3.1. Termelési feladat Modell felírása 3.1. Feladat. Jones farmernek el kell döntenie, hogy ebben az évben hány hold kukoricát és hány hold búzát ültessen. Egy hold hozama 25 mázsa búza, és ez az egy hold heti 10 óra munkát igényel. Egy hold hozama 10 mázsa kukorica, és ez az egy hold heti 4 óra munkát igényel. A búza mázsánként 4$-ért adható el, és a kukorica eladási ára 3$ mázsánként. A farmernak hét hold földje van és heti 40 munkaóra áll rendelkezésére. Kormányzati el írás értelmében ebben az évben legalább 30 mázsa kukoricát kell termelni. Maximalizáljuk a búzából és kukoricából származó teljes jövedelmet! 1 Döntési változók: x 1 = ahány hold búzát ültet x 2 = ahány hold kukoricát ültet Korlátozó feltételek: x 1 + x x x x 2 30 El jelkorlátozó feltételek: x 1 0 x 2 0 Célfüggvény: max z = 4 25 x x 2 = 100 x x Megoldás Solver segítségével A matematikai modellünket már elkészítettünk, keressünk optimális megoldást a Solver segítségével! A feljebb leírtak fényében töltsünk fel egy táblát az együtthatókkal, adjuk meg a Solver paramétereket (célcella, módosuló cellák, korlátozó feltételek), majd a megoldó 1 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 58. oldal 11
13 algoritmusunk beállítását is végezzük el. Esetünkben a jelöl négyzeteknél a lineáris modell és a nemnegatív feltételezéseket kell alkalmaznunk. El bbit használva megjegyzend, hogy a nemlineáris eszközök (közelítés, dierenciák, keresés) beállításai ekkor már nem mérvadóak. A Megoldás gombra kattintva elkészíthetjük a jelentéseket, valamint a megfelel cellákban megjelennek az optimális megoldáshoz tartozó értékek Megoldás elemzése A táblázatunkban mind a döntési változók, mind a célfüggvény optimális értéke megjelent. A megoldás szerint 2,8 hold búzát és 3 hold kukoricát kell Jones farmernek ültetni a teljes jövedelem maximalizálásához, amely 370$-t jelent. Az eredmény, érzékenység, határok jelentések három különböz munkalapra generálódtak. Az eredmény jelentés három kisebb táblázatból áll. A Célcella és a Módosuló cellák tartalmazzák a feladat megoldását, amelyet már az imént említettünk. A Korlátozó feltételek-nél a kritériumokra vonatkozó adatokat láthatjuk. A Status oszlopban két érték jelenhet meg. Az Éppen azt jelzi, hogy az adott feltétel határán vagyunk, tehát vagy estén teljesül az egyenl ség, egyéb esetben B ven jelenik meg. Az Eltérés 12
14 oszlopból kiolvashatjuk, hogy az optimális megoldáshoz tartozó baloldal és a jobboldal milyen mértékben tér el egymástól. Tehát ezek tükrében a következ ket állapíthatjuk meg: a farmer 7 hold földb l csak 5,8 holdat ültet be, amelyek különbségét az Eltérés-nél láthatjuk, számszerint 1,2. a rendelkezésre álló heti 40 munkaórának maximális a kihasználtsága. a kormányzati el írásnak megfelel en, Jones éppen eléri az elvárt, legalább 30 mázsányi kukorica termelést. Az érzékenység jelentésb l nyert adatok segítségével egy feladatot nem feltétlenül kell újra megoldanunk, ha egy paraméter megváltozik. Ez akkor lehet kifejezetten hasznos számunkra, amikor egy jóval nagyobb problémát kell optimalizálnunk. Az érzékenységvizsgálat elemzése lehet séget nyújt, hogy az eredeti megoldásból megállapítsuk, hogy a paraméterek változtatására miképp változik eredményünk. A Módosuló cellák táblázatban szerepl Redukált költség a szimplex tábla alsó sorának értékeire utal. A Megengedhet növekedés/csökkenés oszlopok a megfelel célfüggvény együttható változásainak azon határait adják meg, melyen belül a feladat optimális megoldása nem változik (természetesen a célfüggvény értéke igen), míg a másik táblázatban szerepl azonos elnevezés oszlopok a megfelel feltétel jobboldala változatásainak azon határait adják meg, melyen belül az optimális bázis nem változik. 13
15 3.2. Deníció. Ha az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalának növelése nem módosítja az optimális bázist, akkor egy LP feladat i-edik korlátozó feltételéhez tartozó árnyékár az az érték, amennyivel az optimális z érték javul (maximumfeladat esetén a javulás növekedést, minimumfeladat esetén pedig csökkenést jelent), amikor az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalát 1-gyel növeljük. Írjuk fel modellünket a következ alakban: Célfüggvény: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 Korlátozó feltételek: x 1 + x 2 k 1 10 x x 2 k 2 10 x 2 k 3 Ekkor a lenti táblázatokból a következ ket sz rhetjük ki: A feladat optimális megoldása nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 75 c 1 <. < c Az optimális bázis nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 5,8 k 1 <. 12 k k Ha az optimális bázis nem változik, akkor: k 1 = = 8 esetén max(z)= = 370. k 2 = = 41 esetén max(z)= = 380. k 3 = = 31 esetén max(z)= =
16 Csináljuk egy próba ellen rzést a Solverrel, hogy ténylegesen igazak-e a fenti állítások. Az együtthatókat tartalmazó táblánkban növeljük meg a rendelkezésre álló munkaórák számát 1-gyel. A többi paramatér változtatása nélkül a farmer így már heti 41 órát dolgozhat. 15
17 Az érzékenységjelentésb l kiolvasva a munkaóra feltétel árnyékára 10, tehát az alapfeladatra kapott maximális z értéknek ennyivel kellett n nie, amelyet az ellen rz táblánkban is láthatunk. A határok jelentésben az alsó, fels határ és a hozzájuk tartozó Cél eredmény oszlopok hordoznak számunkra érdekes információkat. Az alsó és fels határ elárulja, hogy az optimális megoldásból kiindulva a változóknak mekkora a legkisebb és legnagyobb felvehet értékük a korlátozó feltételek teljesülése mellett, a Cél eredmény pedig meghatározza, hogy az adott pontban milyen értéket vesz fel a célfüggvény. Például x 1 = 0 estén (természetesen a többi paraméter változtatása nélkül) z = Szállítási feladat A szállítási feladat megoldásához meg kell ismernünk néhány alapfogalmat. A kínálati pontok azon pontok halmaza, amelyekb l a szállítás történik, a keresleti pontok pedig azok, ahová a szállítás történik. A köztük zajló transzferálásnak költségét a változó költség írja le minden egyes kínálati-keresleti pontpárra külön-külön. Feladatunkban meghatározhatjuk, hogy a kínálati helyeinkr l hány egységet vagyunk képesek szállítani, felvev részr l pedig a szükséges mennyiséget tudjuk meghatározni. A szállítási feladatnak alapvet en három fajtája van. Az egyik amikor az összkínálat nagyobb az összkeresletnél, a másik amikor kisebb, a harmadik pedig ha megegyeznek. Utóbbi esetben kiegyensúlyozott szállítási feladatról beszélünk. Az els két esetben bevezethetünk egy ktív keresleti pontot, amelynek célja a fel nem használt készlet vagy a kielégítetlen kereslet jelzése. Utóbbi általában büntet költséget von maga után. 16
18 Modell felírása 3.2. Feladat. Egy vállalat három fogyasztónak szállít termékeket, mindegyiknek 30 egységet. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a második raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre. Az alább látható táblázatban szerepelnek a raktárakból a fogyasztókhoz történ szállítások egységköltségei ($-ban). Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vev nél 90$ bírságköltség van, a 2. vev nél 80$, a 3. vev nél 110$. Minimalizáljuk a szállítási és hiányköltségek összegét. 2 Döntési változók: x ij = az i-edik raktárból a j-edik vev höz szállított egységek száma, ha i = 1, 2 és j = 1, 2, 3. x 3j = a j-edik vev kielégítetlen keresletegységének száma, ha j = 1, 2, 3. Korlátozó feltételek: Kínálati feltételek: x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x Keresleti feltételek: x 11 + x 21 + x x 12 + x 22 + x x 13 + x 23 + x El jelkorlátozó feltételek: x ij 0 ha, i = 1, 2, 3 és j = 1, 2, 3 2 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 294. oldal 17
19 Célfüggvény: min z = szállítási költségek { }} { 35 x x x x x x x x x 33 } {{ } hiányköltségek Megoldás Solver segítségével Ahogy azt eddig is tettük, töltsünk fel egy excel táblát az együtthatókkal. Kiszámoljuk a korlátozó feltételek baloldalának és a célfüggvény értékét az adott változóértékek mellett. A K18 mez re kattintva ezt a képletet fogjuk látni a szerkeszt lécben: Adjuk meg a Solver paramétereket. A célcella a K18 (ezt szeretnénk minimalizálni), a módosuló cellák pedig az A2, B2,..., I2 lesznek. Felvesszük a korlátozó feltételeinket, majd beállítjuk a lineáris modell és a nemnegatív feltételezéseket. A Megoldás gombra kattintva táblázatunkban megjelenik feladatunk optimális eredménye: 18
20 Megoldás elemzése Megoldásunk szerint a költségünk akkor lesz minimális, számszerint 3200$, ha az els raktárból 10 egységet az 1-es, 30-at a 2-es vev nek, a második raktárból a teljes készletet a 3-as vev nek szállítjuk. Így 20 kiegyenlítetlen keresletegysége lesz az els vev nek, amely után járó büntetés a teljes költségünk 56,25%-át teszi ki. A továbbiakban eredmény jelentésb l csak a korlátozó feltételek táblázatot fogom taglalni, mivel a másik kett a kapott eredmény vizsgálata után már nem információérték. A Status oszlop minden sorában az éppen értéket láthatjuk, ez elárulja, hogy mindegyik feltételnek a határán vagyunk. Írjuk fel modellünket a következ alakban: Célfüggvény: min z = c 11 x 11 + c 12 x 12 + c 13 x 13 + c 21 x 21 + c 22 x 22 + c 23 x 23 + Korlátozó feltételek: +c 31 x 31 + c 32 x 32 + c 33 x 33 x 11 + x 12 + x 13 k 1 x 21 + x 22 + x 23 k 2 x 11 + x 21 + x 31 k 3 x 12 + x 22 + x 32 k 4 x 13 + x 23 + x 33 k 5 Ekkor az érzékenységvizsgálat segítségével a következ ket állapíthajuk meg: A feladat optimális megoldása nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 19
21 35 c c c c 21 <. 20 c 21 <. < c c c 32 <. 70 c 32 <. Az optimális bázis nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csak egy változtatható meg): 30 k k k 3 <. 10 k k Ha az optimális bázis nem változik, akkor: k 1 = = 41 esetén min(z)= = k 3 = = 31 esetén min(z)= = k 4 = = 31 esetén min(z)= = k 5 = = 31 esetén min(z)= = A k 2 nem véletlenül lett kihagyva a felsorolásból. A táblázatban látható, hogy a hozzá tartozó Megengedhet növekedés 0, így nem tudjuk növelni a jobb oldal értékét 1-gyel, mert az optimális bázis változik. Tehát ez esetben az árnyékár nem értelmezhet. 20
22 A határok jelentésb l kiolvashatjuk, hogy az x 11, x 12, x 13, x 21, x 22 és x 23 közül egyiknek sem tudnánk értékét úgy növelni vagy csökkenteni az optimális megoldásból kiindulva, hogy ne sérüljenek a korlátozó feltételek. Az x 31, x 32 és x 33 Fels határára és Cél eredményére azért kaptunk #HIÁNYZIK-ot, mert ezeket a változókat akárhogy növeljük, a feltételek mindig teljesülni fognak Hozzárendelési feladat A hozzárendelési feladat általában egy speciális esete egy kiegyensúlyozott szállítási feladatnak, amelyben minden kínálat és kereslet Modell felírása 3.3. Feladat. Doc Councillman a méteres vegyes váltóra válogatja össze úszócsapatát. Minden úszónak 100 métert kell úsznia vagy mellen, vagy háton, vagy pillangón, 21
23 vagy gyorson. Doc úgy gondolja, hogy mindegyik úszó tudja hozni az alábbi táblázatban leírt id ket (másodpercben). Ha a csapat összidejének minimalizálása a cél, akkor melyik úszó melyik úszásnemben induljon? 3 Legyen Gary Hall az egyes, Mark Spitz a kettes, Jim Montgomery a hármas és Chet Jastremski a négyes számú úszó. A gyors, mell, pillangó, hát pedig rendre az els, második, harmadik és negyedik versenyszám. Döntési változók: x ij = 1, ha az i-edik úszót indítjuk a j-edik versenyszámban x ij = 0, ha az i-edik úszót nem indítjuk a j-edik versenyszámban Korlátozó feltételek: Minden úszó csak egy versenyszámban indulhat: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 Minden úszásnemben csak egy versenyz indulhat: x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 El jelkorlátozó feltételek: x ij 0 ha, i = 1, 2, 3, 4 és j = 1, 2, 3, 4 3 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 323. oldal 22
24 Célfüggvény: min z = 54 x x x x x x x x x x x x x x x x Megoldás Solver segítségével Meglév paramétereinket rögzítsük egy excel táblázatban és használjuk az eddig alkalmazott Solver beállításokat! Az egyedüli különbség az el z feladatokhoz képest az az, hogy most a döntési változóink csak 0 vagy 1 értéket vehetnek fel. A korlátozó feltételeknél lév Hozzáadás gomb segítségével állítsuk be a megfelel cellákra a bin (bináris) feltételt. Esetünkben az összes második sorban szerepl mez re. Táblázatunkban az összetartozó sorokat azonos színnel jelöltem. 23
25 Megoldás elemzése Az optimális megoldás megjelent a táblázatunkban, amely szerint a csapat összideje a lehet legjobb esetben 207 másodperc. Ehhez az kell, hogy Gary Hall induljon pillangón, Mark Spitz háton, Jim Montgomery gyorson, Chet Jastremski pedig mellen. A Solver azon túl, hogy közölte velünk, optimális megoldást talált, a következ t is üzente, amikor a jelentéseket akartam elkészíteni: Az Érzékenység jelentés és a Határok jelentés nem bír jelentéssel egész érték korlátozó feltételek esetén. Ezt az okozta, hogy a módosuló cellákra bináris feltételt szabtunk. Létezik olyan algoritmus, amely nagyon hatékonyan megoldja a hozzárendelési feladatot. Ezt az algoritmust magyar módszernek hívjuk, három lépésb l áll: 1. lépés Keressük meg az m m-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet. Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméb l kivonjuk a legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban a legkisebb költségelemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrixnak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméb l kivonjuk a legkisebb költségelemet. 2. lépés Rajzoljuk be a lehet legkevesebb olyan vonalat (vízszintesen és/vagy függ legesen), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefedhet. Ha ehhez m fed vonal szükséges, akkor a mátrixban lév lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le az összes nullát, akkor a 3. lépés következik. 3. lépés Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet (nevezzük k-nak), amelyiket a 2. lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméb l, valamint adjunk hozzá k-t a kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza a 2. lépéshez. Ha a hozzárendelési feladat során maximalizálni szeretnénk, akkor a protmátrix minden elemét szorozzuk meg -1-gyel és ezután oldjuk meg minimum feladatként. Ha a sorok és oszlopok száma nem egyezik, akkor vezessünk be ktív pontokat, mert a magyar módszer kiegyensúlyozatlan feladatra nem feltétlenül ad helyes megoldást. A leírt algoritmus segítségével ellen rizzük le, hogy feladatunkra valóban optimális megoldást kaptunk-e a Solver által. Esetünkben a költségmátrix elemeit az egyes úszók úszásnemekben elért id eredményeik adják. Mátrixunk a következ képpen alakul: 24
26 A magyar módszer szerint a lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális megoldás (zölddel jelölve). Viszont vannak olyan sorok és oszlopok, amelyekben több nulla is szerepel. Keressünk olyanokat, amelyekben csak egyetlen nulla található. Esetünkben az els és harmadik sorban, valamint a második oszlopban egyetlen nulla van, így ezeken a helyeken szerepl költségelemek biztosan részei lesznek az optimális megoldásnak. Mivel minden sorból és oszlopból egy elemet választhatunk ki, így a már meglév három meghatározza a negyediket. Az algoritmusra hagyatkozva Gary Hallnak pillangón, Mark Spitznek háton, Jim Montgomerynek gyorson, Chet Jastremskinek pedig mellen kell indulnia ahhoz, hogy a csapat összideje a legkisebb legyen. Ez a megoldás megegyezik a Solver által kiszámolttal Minimális költség hálózati folyam problémák Egyes optimalizációs feladatoknál sokat használhat, ha grakusan tudjuk szemléltetni. A soron következ példánál egy hálózat segítségével fogunk modellezni Modell felírása Az eddig ismertetett feladatok mind speciális esetei a minimális költség hálózati folyam problémának (MKHFP). A modell felírása során a következ ket fogjuk használni: x ij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül haladó folyam mennyisége 25
27 b i = az i csúcs nettó kibocsátása (kiáramlás-beáramlás) c ij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül küldött egységnyi folyam szállítási költsége L ij = az (i, j) élen átmen folyam alsó korlátja (ha nincs alsó korlát, legyen L ij = 0) U ij = az (i, j) élen átmen folyam fels korlátja (ha nincs fels korlát, legyen U ij = ) Ezeket használva az MKHFP felírása: min x ij j k minden élre x ki = b i L ij x ij U ij c ij x ij ( i csúcsra) ( (i, j) élre) 3.4. Feladat. Az Oilco olajkútjai San Diego, illetve Los Angeles közelében vannak. A San Diego melletti mez b l napi legfeljebb hordó, a Los Angeles melletti mez b l napi legfeljebb hordó olaj termelhet ki. A nyersolajat a dallasi vagy a houstoni nomítóba küldik, amelyek közül egyik sem képes napi hordónál több olajat feldolgozni. Dallasban hordó nomítása 700$-ba, Houstonban 900$-ba kerül. A nomított olajat Chicagoba, illetve New Yorkba szállítják: Chicagoba hordónyit, New Yorkba hordónyit naponta. Az alábbi táblázat mutatja, hogy mennyi hordó (nyers vagy nomított) olaj szállítási költsége ($-ban) az egyes helyszínek között. Adjunk meg egy MKHFP-t, amellyel minimalizálható az igények kielégítésének összes költsége! 4 4 Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 381. oldal 26
28 A megoldás során egy egység alatt hordó olajat értünk. Egy irányított gráf segítségével szemléltetem a feladatot. A csúcsok számai mögött a városok kezd bet jét tüntettem fel zárójelben az átláthatóság kedvéért. Döntési változók: x ij = az i-edik városból a j-edikbe szállított olaj mennyisége Nettó kibocsátás: b 1 + b 2 = 7 b 3 = 0 b 5 + b 6 = 7 b 4 = 0 Az egyes pontpárokra vetített költségek (szállítási + nomítási): c 13 = = 1000 c 35 = 450 c 14 = = 1010 c 36 = 550 c 23 = = 1120 c 45 = 470 c 24 = = 1000 c 46 = 530 A városok közötti szállítások alsó korlátja: L ij = 0 ( (i, j) élre) A városok közötti szállítások fels korlátja: U i3 = U i4 = minden más esetben: U ij = 27
29 Korlátozó feltételek: Kínálati feltételek: x 13 + x 14 4 x 23 + x 24 5 A nomítók kapacitására vonatkozó feltételek: x 13 + x 23 5 x 14 + x 24 5 Keresleti feltételek: x 35 + x 45 = 3 x 36 + x 46 = 4 A nettó kibocsátásra vonatkozó feltételek: x 35 + x 36 x 13 x 23 = 0 x 45 + x 46 x 14 x 24 = 0 El jelkorlátozó feltételek: Célfüggvény: x ij 0 ( ij-re) min z = 1000 x x x x x x x x Megoldás Solver segítségével Az együtthatókkal feltöltött táblázat 4-5. sorában a kínálatra, 6-7-ben a kapacitásra, 8-9-ben a keresletre, ben pedig a nettó kibocsátásra vonatkozó feltételeket láthatjuk. A hozzájuk tartozó befüggvényezett mez ket velük azonos színnel jelöltem. Az eddig használt beállításainkon nem kell változtatni. 28
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai
Bevezetés az operációkutatásba A lineáris programozás alapjai Alkalmazott operációkutatás 1. elıadás 2008/2009. tanév 2008. szeptember 12. Mi az operációkutatás (operations research)? Kialakulása: II.
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenÉrzékenységvizsgálat
Érzékenységvizsgálat Alkalmazott operációkutatás 5. elıadás 008/009. tanév 008. október 0. Érzékenységvizsgálat x 0 A x b z= c T x max Kapacitások, együtthatók, célfüggvény együtthatók változnak => optimális
RészletesebbenOptimumkeresés számítógépen
C Optimumkeresés számítógépen Az optimumok megtalálása mind a gazdasági életben, mind az élet sok más területén nagy jelentőségű. A matematikában számos módszert dolgoztak ki erre a célra, például a függvények
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/
Operációkutatás I. 2018/2019-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
RészletesebbenA lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatika Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 2. Előadás LP alapfeladat A lineáris programozás (LP) alapfeladata standard formában Max c
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenFeltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével
Feltételes és feltétel nélküli optimalizálás Microsoft O ce EXCEL szoftver segítségével Az Excel Solver programcsomagjának bemutatásaként két feltételes és egy feltétel nélküli optimalizálási feladatot
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenNövényvédő szerek A B C D
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.
RészletesebbenEuroOffice Optimalizáló (Solver)
1. oldal EuroOffice Optimalizáló (Solver) Az EuroOffice Optimalizáló egy OpenOffice.org bővítmény, ami gyors algoritmusokat kínál lineáris programozási és szállítási feladatok megoldására. Szimplex módszer
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenKövetelmények Motiváció Matematikai modellezés: példák A lineáris programozás alapfeladata 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 1. Előadás Követelmények, teljesítés feltételei Vizsga anyaga Előadásokhoz tartozó diasor
RészletesebbenOperációkutatás példatár
1 Operációkutatás példatár 2 1. Lineáris programozási feladatok felírása és megoldása 1.1. Feladat Egy gazdálkodónak azt kell eldöntenie, hogy mennyi kukoricát és búzát vessen. Ha egységnyi földterületen
Részletesebben1/ gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI /. Legyen adott az alábbi LP-feladat: x + 4x + x 9 x + x x + x + x 6 x, x, x x + x +
RészletesebbenEgyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével. - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma
Egyes logisztikai feladatok megoldása lineáris programozás segítségével - bútorgyári termelési probléma - szállítási probléma Egy bútorgyár polcot, asztalt és szekrényt gyárt faforgácslapból. A kereskedelemben
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenAssignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete)
Assignment problem Hozzárendelési feladat (Szállítási feladat speciális esete) C költség mátrix költség Munkákat hozzá kell rendelni gépekhez: egy munka-egy gép c(i,j) mennyi be kerül i-dik munka j-dik
Részletesebben1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI
/ Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex
RészletesebbenA Markowitz modell: kvadratikus programozás
A Markowitz modell: kvadratikus programozás Harry Markowitz 1990-ben kapott Közgazdasági Nobel díjat a portfolió optimalizálási modelljéért. Ld. http://en.wikipedia.org/wiki/harry_markowitz Ennek a legegyszer
RészletesebbenOperációkutatás. 4. konzultáció: Szállítási feladat. A feladat LP modellje
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 2002/2003. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.
RészletesebbenNövényvédő szerek A 500 0 0 0 0 65000 B 0 0 50 500 500 60000 C 50 25 0 50 50 12000 D 0 25 5 50 0 6000
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Termelési és optimalizálási feladatok megoldása. Mátrixműveletek alkalmazása.
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenTovábbi programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás
További programozási esetek Hiperbolikus, kvadratikus, integer, bináris, többcélú programozás Készítette: Dr. Ábrahám István Hiperbolikus programozás Gazdasági problémák optimalizálásakor gyakori, hogy
RészletesebbenDualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 7. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát (vonat
RészletesebbenBranch-and-Bound. 1. Az egészértéketű programozás. a korlátozás és szétválasztás módszere Bevezető Definíció. 11.
11. gyakorlat Branch-and-Bound a korlátozás és szétválasztás módszere 1. Az egészértéketű programozás 1.1. Bevezető Bizonyos feladatok modellezése kapcsán előfordulhat olyan eset, hogy a megoldás során
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenOnline algoritmusok. Algoritmusok és bonyolultságuk. Horváth Bálint március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok március 30.
Online algoritmusok Algoritmusok és bonyolultságuk Horváth Bálint 2018. március 30. Horváth Bálint Online algoritmusok 2018. március 30. 1 / 28 Motiváció Gyakran el fordul, hogy a bemenetet csak részenként
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenMatematikai modellek megoldása számítógéppel Solver Lingo
Matematikai modellek megoldása számítógéppel Solver Lingo Készítette: Dr. Ábrahám István A matematikai modellek számítógépes megoldásait példákkal mutatjuk be. Példa: Négy erőforrás felhasználásával négyféle
Részletesebbenb) Írja fel a feladat duálisát és adja meg ennek optimális megoldását!
1. Három nemnegatív számot kell meghatározni úgy, hogy az elsőt héttel, a másodikat tizennéggyel, a harmadikat hattal szorozva és ezeket a szorzatokat összeadva az így keletkezett szám minél nagyobb legyen.
RészletesebbenLineáris programozási feladat megoldása Microsoft O ce EXCEL szoftverrel
Lineáris programozási feladat megoldása Microsoft O ce EXCEL szoftverrel 1. A lineáris programozási probléma de niálása Solverrel A Solver használatát három lineáris programozási feladaton keresztül fogjuk
RészletesebbenBevezetés Standard 1 vállalatos feladatok Standard több vállalatos feladatok 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 10. Előadás Vállalatelhelyezés Vállalatelhelyezés Amikor egy új telephelyet kell nyitni,
Részletesebben1. Előadás Lineáris programozás
1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és
Részletesebben3. előadás. Termelési és optimalizálási feladatok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
3. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak
RészletesebbenEllátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével
Ellátási lánc optimalizálás P-gráf módszertan alkalmazásával mennyiségi és min ségi paraméterek gyelembevételével Pekárdy Milán, Baumgartner János, Süle Zoltán Pannon Egyetem, Veszprém XXXII. Magyar Operációkutatási
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA II. B. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely február
MIKROÖKONÓMIA II. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA
SZDT-04 p. 1/30 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 8. Előadás Bevezetés Egy olyan LP-t, amelyben mindegyik változó egészértékű, tiszta egészértékű
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenSZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN
SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon
RészletesebbenPénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!
NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenS Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T
Döntéselmélet S Z Á L L Í T Á S I F E L A D A T Szállítási feladat meghatározása Speciális lineáris programozási feladat. Legyen adott m telephely, amelyeken bizonyos fajta, tetszés szerint osztható termékből
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenKétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei
5. gyakorlat Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei. Emlékeztető Standard alak, áttérés Standard alak Minden feltétel et tartalmaz csak. A célfüggvényünket maximalizáljuk. A b vektor (jobb oldalon
RészletesebbenMakroökonómia (G-Kar és HR) gyakorló feladatok az 1. és 2. szemináriumra
Makroökonómia (G-Kar és HR) gyakorló feladatok az 1. és 2. szemináriumra 1. Feladat Az általunk vizsgált gazdaságban 2018-ban és 2019-ben csupán két terméket állítanak el : X-et és Y-t. Az ezekre vonatkozó
RészletesebbenKonvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
RészletesebbenOperációkutatás vizsga
Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 9. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN I. Készítette: Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
KÖZGAZDASÁGTAN I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenKözgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 2. hét KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY
KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. KERESLET, KÍNÁLAT, EGYENSÚLY Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június Vázlat 1
Részletesebbeni=1 i+3n = n(2n+1). j=1 2 j < 4 2 i+2 16 k, azaz az algoritmus valóban konstans versenyképes.
1. Feladat Adott egy parkoló, ahol egy professzor a kocsiját tartja. A parkolóhelyeket egy n és n közötti szám azonosítja, az azonosító szerint helyezkednek el balról jobbra. A professzor kijön az egyetemr
RészletesebbenSZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS
Dr. Pál László, Sapientia EMTE, Csíkszereda SZÁMÍTÓGÉPES PROBLÉMAMEGOLDÁS 9.ELŐADÁS Lehetőségelemzés Lehetőségelemzés Egy olyan funkció, amely segítségével úgy tudunk megváltoztatni adatainkat, hogy a
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. Budapest október 10. First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu Budapest 200. október 10. Mit tanulunk ma? Szállítási feladat Megoldása Adott: Egy árucikk, T 1, T 2, T,..., T m termelőhely, melyekben rendre
RészletesebbenTovábbi forgalomirányítási és szervezési játékok. 1. Nematomi forgalomirányítási játék
További forgalomirányítási és szervezési játékok 1. Nematomi forgalomirányítási játék A forgalomirányítási játékban adott egy hálózat, ami egy irányított G = (V, E) gráf. A gráfban megengedjük, hogy két
Részletesebben1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével
1 GÖRBE ILLESZTÉS A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL 1. Görbe illesztés a legkisebb négyzetek módszerével Az el z gyakorlaton megismerkedtünk a korrelációs együttható fogalmával és számítási módjával. A
RészletesebbenSzámítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA
SZDT-03 p. 1/24 Számítógépes döntéstámogatás OPTIMALIZÁLÁSI FELADATOK A SOLVER HASZNÁLATA Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenSzimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:
Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy
RészletesebbenTartalom. Matematikai alapok. Fontos fogalmak Termékgyártási példafeladat
6. előadás Termelési és optimalizálási feladatok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapok Matematikai modell Fontosabb feladattípusok Érzékenységvizsgálat Fontos fogalmak
RészletesebbenÁttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Áttekintés Kezdjük újra a klasszikus erőforrás allokációs problémával (katonák,
RészletesebbenOperációkutatás vizsga
Operációkutatás vizsga A csoport Budapesti Corvinus Egyetem 2007. január 16. Egyéb gyakorló és vizsgaanyagok találhatók a honlapon a Letölthető vizsgasorok, segédanyagok menüpont alatt. OPERÁCIÓKUTATÁS,
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenEsettanulmányok és modellek 2
Esettanulmányok és modellek Kereskedelem Mezőgazdaság Készítette: Dr. Ábrahám István Kereskedelem. Kocsis Péter: Opt. döntések lin.pr. (. oldal) nyomán: Kiskereskedelmi cég négyféle üdítőt rendel, melyek
RészletesebbenKözgazdaságtan 1. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 3. hét A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK
KÖZGAZDASÁGTAN I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Közgazdaságtan 1. A KERESLETELMÉLET ALAPJAI. HASZNOSSÁG, PREFERENCIÁK Bíró Anikó, K hegyi Gergely, Major Klára Szakmai felel s: K hegyi Gergely
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat mindhárom célfüggvény esetén! a, x 1 + x 2 2 2x 1 + x 2 6 x 1 + x 2 1. x 1 0, x 2 0
Gyakorló feladatok Operációkutatás vizsgára 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat mindhárom célfüggvény esetén! a, b, c, d, x 1 + x 2 2 2x 1 + x 2 6 x 1 + x 2 1 x 1 2, 5 z 1 = 4x 1 3x 2 max; z
RészletesebbenFüggvények növekedési korlátainak jellemzése
17 Függvények növekedési korlátainak jellemzése A jellemzés jól bevált eszközei az Ω, O, Θ, o és ω jelölések. Mivel az igények általában nemnegatívak, ezért az alábbi meghatározásokban mindenütt feltesszük,
Részletesebben1. A k-szerver probléma
1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus
RészletesebbenOperációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás
Operációkutatás Vaik Zsuzsanna Vaik.Zsuzsanna@ymmfk.szie.hu ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás Operációkutatás Követelmények: Aláírás feltétele: foglalkozásokon való részvétel + a félév
RészletesebbenGráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére
Tamaga István Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére modell Készítsük el egy épít ipari kivitelezés gráfelméleti modelljét! Ekkor a kivitelezést megfeleltetjük egy gráfnak,
RészletesebbenGyakorló feladatok Alkalmazott Operációkutatás vizsgára. További. 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat mindhárom célfüggvény esetén!
Gyakorló feladatok Alkalmazott Operációkutatás vizsgára. További példák találhatók az fk.sze.hu oldalon a letöltések részben a közlekedési operációkutatásban 1. Oldja meg grafikusan az alábbi feladatokat
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 20. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenGráfokkal megoldható hétköznapi problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenÉrdekes informatika feladatok
A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket
RészletesebbenA szimplex algoritmus
. gyakorlat A szimplex algoritmus Az előző órán bevezetett feladat optimális megoldását fogjuk megvizsgálni. Ehhez új fogalmakat, és egy algoritmust tanulunk meg. Hogy az algoritmust alkalmazni tudjuk,
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
RészletesebbenKözfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója
Közfoglalkoztatás támogatás megállapítását segítő segédtábla használati útmutatója 1.) Általános tudnivalók: A segédtábla két méretben készül, 10, és 50 sort lehet kitölteni. A tábla megnevezéséből amit
RészletesebbenNem-lineáris programozási feladatok
Nem-lineáris programozási feladatok S - lehetséges halmaz 2008.02.04 Dr.Bajalinov Erik, NyF MII 1 Elég egyszerű példa: nemlineáris célfüggvény + lineáris feltételek Lehetséges halmaz x 1 *x 2 =6.75 Gradiens
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Részletesebben3. el adás. Hosszú távú modell: szerepl k, piacok, egyensúly. Kuncz Izabella. Makroökonómia. Makroökonómia Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem
Hosszú távú modell: szerepl k, piacok, egyensúly Makroökonómia Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Makroökonómia Mit tudunk eddig? GDP árindexek kamatok munkanélküliség Hol tartunk? Vannak releváns gazdasági
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek
MIKROÖKONÓMIA - konzultáció - Termelés és piaci szerkezetek Révész Sándor reveszsandor.wordpress.com 2011. december 17. Elmélet Termelési függvény Feladatok Parciális termelési függvény Adott a következ
RészletesebbenDöntéselőkészítés. I. előadás. Döntéselőkészítés. Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva. Informatika Tanszék A 602 szoba
I. előadás Előadó: Dr. Égertné dr. Molnár Éva Informatika Tanszék A 602 szoba Tárggyal kapcsolatos anyagok megtalálhatók: http://www.sze.hu/~egertne Konzultációs idő: (páros tan. hét) csütörtök 10-11 30
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenDöntéselőkészítés. VII. előadás. Döntéselőkészítés. Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat)
VII. előadás Legyenek adottak Egyszerű Kőnig-feladat (házasság feladat) I, I 2,, I i,, I m személyek és a J, J 2,, J j,, J n munkák. Azt, hogy melyik személy melyik munkához ért ( melyik munkára van kvalifikálva)
Részletesebben9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában
9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának
RészletesebbenAz érzékenységvizsgálat jelentősége
Az érzékenységvizsgálat jelentősége (Tanulmány) Egyéb olyan fontos szempontok mellett, mint a stabilitás, rugalmasság, társadalmi elfogadottság, stb., az ipari menedzser fő célja, hogy növelje cége nyereségét.
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Részletesebben