A nemlineáris jelenségek és a káosz oktatásának bevezetése az egyetemi alapkollégiumokba és a középiskolákba. Gruiz Márton

Átírás

1 Tézisfüzet A nemlineáris jelenségek és a káosz oktatásának bevezetése az egyetemi alapkollégiumokba és a középiskolákba Gruiz Márton Témavezetık: Dr. Tasnádi Péter egyetemi tanár Dr. Tél Tamás egyetemi tanár Eötvös Loránd Tudományegyetem Pedagógiai és Pszichológiai Kar Neveléstudományi Doktori Iskola Budapest

2 Bevezetés Az utóbbi néhány évtized jelentıs tudományos felfedezése az, hogy léteznek, sıt nagyon is gyakoriak olyan idıben bonyolult jelenségek, melyek egyszerő rendszerekben alakulnak ki. Az ilyen kaotikus jelenségekben a véletlenszerő viselkedés eredete bizonyíthatóan a kevés összetevı erıs és nemlineáris kölcsönhatása. Meglepı ez annak fényében, hogy olyan rendszerekrıl van szó, melyekben a jelen állapotból a törvények ismeretében elvileg teljes pontossággal következtethetünk a jövıre. Egész természetszemléletünk átértékelését követeli meg az a tény, hogy az ilyen determinisztikus rendszerek véletlenszerő viselkedést mutathatnak. A káosz egyszerő rendszerek bonyolult idıbeli viselkedése. E meghatározás szerint a káosz (a hétköznapi szóhasználattal szemben) nem térbeli, nem statikus rendetlenség. A káosz tehát egy mozgási típus, általánosabb értelemben idıbeli fejlıdés. Számos hétköznapi folyamat (a biliárd vagy a flipperautomata golyójának mozgása, áramkörök begerjedése, festékek keveredése) mellett szerepel mőszaki, kémiai, biológiai jelenségekben, betegségek lefolyásában, gazdasági részfolyamatokban, és jóval nagyobb léptékben: például a Föld mágneses tengelyének váltakozásában vagy a Naprendszer alkotóelemeinek mozgásában. A kaotikus mozgás lehetıségét elıször Henri Poincaré francia matematikus fogalmazta meg (természetesen a maitól erısen eltérı szóhasználattal) a Naprendszer stabilitásáról írott dolgozatában, az 1890-es években. Valamivel késıbb Szonja Kovalevszkája orosz matematikusnı bebizonyította, hogy a súlyos, aszimmetrikus pörgettyő (aszimmetrikus búgócsiga) mozgása általában kaotikus (csupán speciális tehetetlenségi nyomatékok mellett szabályos). Ezek az eredmények nagyrészt feledésbe merültek, s a XX. század elsı felében csak George Birkhoff amerikai és Eberhard Hopf német matematikusok statisztikus mechanikai, ergodelméleti munkáiban éltek tovább. E fejleményektıl függetlenül a második világháború idején kaotikus viselkedést találtak bizonyos nemlineáris áramkörökben, de az eredményt nem tudták értelmezni. A Birkhoff-Hopf-vonal folytatásaként az 1960-as évek közepére Andrej Kolmogorov és Vlagyimir Arnold orosz, valamint Jürgen Moser német matematikus megalkotta az azóta a nevük 4

3 kezdıbetői alapján KAM-tételnek nevezett állítást, mely megfogalmazza a gyenge kaotikus mozgás feltételét súrlódásmentes rendszerekben. A káosz széleskörő tanulmányozására a számítógépek megjelenése teremtette meg a feltételt. A súrlódásos rendszerbeli kaotikus attraktorhoz kapcsolódó viselkedést elıször Edward Lorenz amerikai meteorológus írta le 1963-ban. A róla elnevezett modell numerikus megoldása kapcsán felismerte a kaotikus viselkedés elırejelezhetetlenségét. Magát a káosz kifejezést egy 1975-ös cikkében James Yorke amerikai matematikus vezette be az egyszerő determinisztikus rendszerek véletlenszerő viselkedésére. A fogalom elterjedésében nagy szerepet játszott Mitchell Feigenbaum amerikai fizikus 1978-as munkája, melyben bizonyította a kaotikus viselkedés egyik lehetséges kialakulási módjának rendszerfüggetlenségét, univerzalitását. A káosz elıfordulásának lehetısége mára új gondolkodásmódot honosított meg a legkülönbözıbb területeken. Tél Tamással évek óta közösen tartunk alsóbb éves egyetemistáknak (fizikusoknak, fizikatanároknak, meteorológusoknak, geológusoknak stb.) bevezetı szintő speciális elıadásokat a káoszról és az ezzel kapcsolatos nemlineáris jelenségekrıl. Hamar kiderült: a témát átfogóan tárgyaló, de bevezetı szintő tankönyv nemcsak Magyarországon, de külföldön sem áll rendelkezésre. Felmerült bennünk, hogy az elıadásaink tapasztalatát felhasználva egy olyan hiánypótló könyvet írjunk, mely a képlet nélküli ismeretterjesztı könyvek és a fizikusoknak szóló szakkönyvek közötti rést töltené ki. Így született meg a Kaotikus Dinamika (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002), majd néhány évvel késıbb a Chaotic Dynamics, (Cambridge University Press, 2006). A utóbbi, angol nyelvő könyv tartalmazza a magyar nyelvő könyv alaposan átdolgozott anyagának a fordítását, valamint kiegészült a tranziens káoszt, a kaotikus szórást és a káosz alkalmazásait tárgyaló nagy fejezettekkel is. A két könyv tehát, a címazonosság ellenére, mind terjedelemben, mind tartalomban jelentısen különbözik. Értekezésként a szóban forgó két munkát adtam be. Könyveim célja, hogy egyetlen tudományterület, a klasszikus mechanika keretén belül mutassa be a káosszal kapcsolatos jelenségeket. Azért ezt a területet választottam, mert a Newtoni mechanika keretein belül legmeglepıbb az a tény, 5

4 hogy a valószínőségi szemlélet a folyamatok érdemi megértésében elkerülhetetlen. Az anyagot úgy építettem fel, hogy a könyvek olvasásához csak egyszerő fizikai és matematikai ismeretek szükségesek. Figyelmet fordítottam arra, hogy példáim a témakörön belül a lehetı legegyszerőbbek legyenek, egy részük akár középiskolában is bemutatható. Példaválasztásaim jól mutatják, hogy szinte minden középiskolában vagy általános fizika elıadásban megismert mechanikai folyamat kaotikussá válik, ha kissé általánosítjuk, vagyis szokásos megkötéseinek valamelyikétıl megszabadítjuk. Ez mutatja, hogy a káosz nem a kivételes, hanem a tipikus viselkedés. A könyvek elsısorban a felsıoktatás alsóéves hallgatóihoz szólnak. Bízom azonban abban, hogy általuk hozzájárulhatok a kaotikus jelenségek középiskolai tanításához és a hétköznapi szóhasználatban elıforduló néhány félreértés eloszlatásához is. 6

5 7

6 Tézisek 1. Kimutattam, hogy a harmonikusan rezgetett felfüggesztéső inga, mely fizikailag is jól megépíthetı rendszer és kiválóan alkalmas a kaotikus mozgás és a vele kapcsolatos attraktor bonyolultságának megmutatására ([1] fejezet, [2] fejezet, [3], [9]), különösen alkalmas a súrlódásos kaotikus rendszerekben elıforduló mozgások és struktúrák bemutatására és feltérképezésére. A rendszer paramétereit változtatva a hallgatók megismerkedhetnek még a kaotikus és a reguláris (periodikus) attraktorokkal, a permanens és a tranziens káosszal, a vonzási tartományokkal, a fraktál vonzási határokkal, a stabil és instabil sokaságokkal és a kaotikus nyereghalmazzal, de akár még a mozgás gyorsan oszcilláló erıtérben speciális eset is tanulmányozható a gerjesztett ingával. A gerjesztett rendszereket általában stroboszkópikus leképezéssel szokás ábrázolni, így ennél is így tettem. A stroboszkópikus leképezésen nem folytonos vonallal, hanem ugráló pontsorozattal követjük a mozgást, mert a gerjesztı periódusidınként jelöljük be egy-egy ponttal - a szög-szögsebesség síkon - az inga adott pillanatnyi kitérését és sebességét. 2. Megmutattam, hogy a mágneses inga ([2] fejezete) rendszerében létrehozott szimmetriasértés a vonzási tartomány mintázatában is szimmetriasértést okoz. A mágneses inga gyakorlatilag egy fonálra függesztett kis vasgolyó, mely alá (az asztallapra) három mágnest helyezünk úgy, hogy azok egy képzeletbeli, egyenlı oldalú háromszög csúcsaira essenek. Az ingát kitérítve, a golyó elıbb-utóbb az egyik mágnes fölött fog megállni. Ha a háromszög közepe nem az inga felfüggesztési pontja alatt áll, akkor szimmetriasértésrıl beszélhetünk. Megmutattam továbbá, hogy a vonzási tartomány mintázata rendkívül érzékeny a paraméterváltozásokra ([1] III-VI; [2] III-VI színes tablóit). A mágneses inga fraktál vonzási határai azért bírnak különös jelentıséggel a káosz oktatásában, mert fizikai jelentésének megértéséhez a hallgatóknak gyakorlatilag semmiféle elıképzettségre nincs szüksége. Ennek oka egyrészt az, hogy esetünkben a vonzási tartomány nem a fázistérben, hanem a valódi térben rajzolódik ki, másrészt a mágneses ingát, mint fizikai rendszert, illetve annak mozgását, egy laikusnak számára sem okoz gondot megérteni, fejben végiggondolni. Az említettek miatt ez a példa kitőnıen alkalmas arra is, hogy egyetemi alapkollégiumok és középiskolai szakkörök elsı óráin (de akár egy ismeretterjesztı elıadáson is) bemutassuk, s illusztráljuk vele az egyszerő 8

7 kaotikus rendszerek és azok bonyolult viselkedései közötti megdöbbentı kontrasztot. Ugyancsak mágneses ingával lehet a legkönnyebben olyan fraktálstruktúrát mutatni (ráadásul nagyon szépet), mely nem matematikai konstrukció eredménye, hanem egy valós fizikai rendszerhez kapcsolódik. A mágneses inga pedagógiai jelentısége tehát kiemelkedı. 3. Bemutattam, hogy a kicsit módosított matematikai ingával, az ún. rugós (vagy nyúlós) ingával demonstrálható a káosz megjelenése konzervatív rendszerben (lásd [1] fejezet és [2] fejezet). A nyújthatatlan fonálon súrlódásmentesen lengı tömegpontot matematikai ingának nevezzük. Ha a testet nem nyújthatatlan, hanem egy rugalmas fonálra (vagyis egy rugóra) függesztjük fel, akkor bizonyos paraméterek és kezdıfeltételek mellett kaotikus mozgás alakul ki. A rugóerıt fokozatosan csökkentve (távolodva a nyújthatatlan fonáltól) jól megmutatható az, ahogy az inga mozgásában (ami szigorúan periodikus) fokozatosan és egyre inkább megjelenik a kaotikus mozgás lehetısége. Az inga jellegzetes fázistérbeli mintázatának ([1] 6.23 ábra és [2] 7.22 ábra) változásában is szépen megfigyelhetı ugyanez a folyamat, amint az említett mintázat a matematikai ingától való távolódással lassan átalakul: fokozatosan megjelennek és fokozatosan híznak a kaotikus tartományok. Mivel a matematikai inga a fizikai tanulmányok minden középiskolás számára ismert egyik alapproblémája, ezért különleges pedagógiai jelentısége van annak, hogy ebben a rendszerben is be lehet mutatni a káosz megjelenését. A rugós inga ráadásul hazai fizikatörténeti jelentıséggel is bír, hiszen Magyarországon, 1966-ban, ennek a rendszernek a mozgását vizsgálták elıször számítógépes szimulációval, méghozzá nem más tette ezt, mint Vermes Miklós, a híres fizikatanár. Igaz, ıt még nem a káosz kutatása, hanem egy hibásan feladott OKTV versenyfeladat megoldásának kiszámítása motiválta. Az eredményeit mai szemmel elemezve értékes tanulsághoz juthatunk, például arról, hogy a Vermes Miklós által véletlenszerően kiválasztott paraméterek és kezdıfeltételek különbözı (kaotikus és kváziperiódikus) mozgásokhoz tartoztak, de akkoriban ezt még senki sem tudhatta. Tanulságos az is, hogy a mai gyors számítógépekkel (Vermes Miklós Ural II elektroncsöves gépet használt), numerikus módszerekkel és leképezésekkel mennyivel több információhoz juthatunk, mint Vermes Miklósnak sikerült. Mindezek kidomborítják azt a sokszor emlegetett tényt, hogy nagyon egyszerő rendszerek (pl. a rugós inga) is tudnak olyan rendkívül összetett és bonyolult 9

8 viselkedést mutatni, melyet csak valódi kutatói munkával lehet feltérképezni és megismerni (lásd még [8]). 4. Megmutattam, hogy a háromkorong probléma pedagógiai jelentısége abban áll, hogy a rendszer egyszerősége ellenére a káosz minden bonyolultsága könnyedén bemutatható vele. Például az instabil és stabil sokaságok, a végtelen számú (fraktálszerkezető) instabil pontok halmaza, az ún. kaotikus nyereghalmaz, sıt, még a vonzási tartományokra emlékeztetı kiszökési tartomány is definiálható és megrajzolható ([2] 8. fejezetet és XXI színes táblát). Azonos síkban, egymástól egyenlı távolságra elhelyezett három, azonos sugarú korongon történı szóródást vizsgálunk. Az ütközések tökéletesen rugalmasak, így a probléma konzervatív (hamiltoni), de tranziens, ugyanis a szórási tartományt (a három korongot) elıbbutóbb elhagyó részecske csak a korongok között végez kaotikus mozgást (kettı korong esetén még nincs káosz). A gyors szimuláció érdekében megalkottam korongokon szóródó részecskék iterálással való követésének egy lehetséges módját. A mozgás iterálással való követése azt jelenti, hogy a korongok között pattogó részecskérıl elég csupán azt tudni, hogy melyik korongot milyen szögben közelítette meg és csapódott be, s ezek ismeretében közvetlenül kiszámíthatók a következı ütközés hasonló adatai, majd ismét és ismét (ameddig el nem száll a korongok közül). A háromkorong probléma további pedagógia jelentıségét adja az, hogy az összes általam vizsgált rendszer közül a valódi térben ennél tehetık láthatóvá legkönnyebben és legérthetıbben az instabil pályák (ciklusok), melyek esetünkben tulajdonképpen a korongok közötti hosszú ideig való pattogások görbéi ([2] 8.9 ábra). Mint tudjuk, az ilyen ciklusokból a kaotikus rendszerekben végtelen sok van, s a káosz nem más, mint bolyongás az instabil pályák között. 5. Megmutattam, hogy a háromtestprobléma kaotikus mozgása nagyon hasznos példa a káoszelmélet széleskörő alkalmazásának bemutatására ([2] 9.1 fejezet). Háromtestproblémának nevezzük azokat a mechanikai rendszereket, amelyekben három, gravitációs kölcsönhatással egymásra ható test szabadon mozog a térben. A probléma klasszikusnak számít, számos tudós próbálta már a régmúltban is leírni a mozgásukat. Nemcsak általános esetben rendkívül bonyolult a viselkedésük, hanem bizonyos megkötések esetén is. Én is egy ilyen, a Poincaré által is vizsgált speciális és egyben legegyszerőbb esetet vizsgáltam, az ún. korlátozott síkbeli kör háromtestproblémát. Ilyenkor az egyik test olyan kicsi, hogy hatása elhanyagolható 10

9 a másik kettıre, a nagy testek pedig körpályán mozognak egymás körül, ráadásul úgy, hogy mindhárom test állandóan egy síkba esik. A kis részecske mozgása még az említett megkötésekkel is nagyon bonyolult marad. Ezt Poincaré is felismerte, de természetesen akkoriban még sem ı, sem más nem nevezte ezt káosznak. A kis részecske akár el is szökhet, azaz a rendszer (ami egyben Naprendszer egyszerősített modellje is) instabil. Azonos mechanikai energia mellett egyébként a kis test mozgása (ami őrhajót, vagy meteoritot is képviselhet) kezdıfeltételtıl függıen lehet periodikus, kváziperiodikus és kaotikus. A probléma ismerete alapvetı az őrkutatatás (égi mechanika) és a Naprendszer stabilitásának kutatásának szempontjából. Ezért a káosz iránt érdeklıdık mellett a csillagászok oktatásban is nagy jelentıséggel bír a rendszer tanulmányozása. 6. Bemutattam, hogy a súlyos pörgettyők (egy pontban rögzített merev testek) számos olyan érdekes esettel is rendelkeznek, mely a pörgettyőkrıl általában tanultakhoz képest nagyon szokatlan és meglepı mozgásokhoz vezet ([2] 9.2 fejezet; [10]). A súlyos pörgettyők csupán két speciális esetben mozognak szabályosan. Ha szimmetrikusak, azaz a rögzített és a súlyponton átmenı tengelyre merıleges két fıtehetetlenségi nyomaték megegyezik (a köznyelv ilyen testeket nevez pörgettyőnek, például a búgócsigát), illetve a Szonja Kovelevszkája által felfedezett, s róla elnevezett esetben. Utóbbinál egy ún. Kovakevszkája-konstans megmaradásának köszönhetı a szabályos mozgás, de a pörgettyőre rápillantva, a test alakja nem tőnik különlegesnek, ellentétben a könnyen felismerhetı szimmetrikussal. (Még az egyetemi oktatásban is csak a szimmetrikust szokás tanítani.) Áttekintı vizsgálat céljából Poincaré-metszeteket készítettem a szimmetrikus, a Kovelevszkaja és az általános esetekben. A különbözı típusú mozgásokat térben is ábrázoltam. A térbeli görbét egy átlátszatlan gömbön jelenítettem meg: a pörgettyő egyik tengelye (a szimmetrikusnál a szimmetriatengely) a rögzített pont köré rajzolt gömb felszínére karcolja a vonalat. A pörgettyők viselkedése a mechanikán belül az egyik legszebb terület, így a hallgatók között mindig nagy érdeklıdés övezi. A kaotikus pörgettyők pedagógiai jelentısége éppen ebben rejlik, hiszen egy kedvenc területrıl tudhatnak meg új dolgokat, új módszerek alkalmazásával. 7. Kimutattam, hogy a káoszra jellemzı valószínőség-eloszlások fázistérbeli, háromdimenziós ábrázolásai jelentıs betekintést nyújtanak a kaotikus folyamatok 11

10 lényegébe [5], [7]. A képeket elıadásaim során oktatási segédanyagként, a kaotikus rendszerek bonyolult idıbeli viselkedésének bemutatására rendszeresen felhasználom. Az ábrák segítenek megértetni, hogy a kaotikus mozgások vizsgálatához determinisztikus voltuk ellenére nélkülözhetetlen a statisztikus leírás és a különbözı valószínőségi fogalmak (eloszlás, tipikus viselkedés, átlag stb.) bevezetése és alkalmazása. A térbeli eloszlások áttekinthetıségét színezésekkel úgy javítottam, hogy a tartóra merıleges valószínőséget ábrázoló oszlopokat a magasságuk alapján különbözı színőre festettem, ekképpen láthatóvá téve azt a csak a kaotikus rendszerekre jellemzı tulajdonságot, a bonyolultság egyik okát, hogy a drasztikusan eltérı valószínőségek a tartón nagyon közel (akár végtelen közel is) kerülhetnek egymáshoz. Mivel nemcsak a tartó, hanem a tartón lévı eloszlás is fraktálszerkezető, ezeket a struktúrákat multifraktálnak nevezzük. Az ábrák többsége esztétikus élményt is nyújt, ezáltal (már bevezetı elıadások kezdetén megmutatva ıket) a hallgatók sokkal könnyebben motiválhatóak a témában való elmélyedésre, a szárazabb, elméleti részek kitartóbb tanulmányozására. Az említett ábrák közül sok megtalálható a könyveimnek a színes tabló függelékében ([1] XII- XVI; [2] XII-XVI, XXII, XXVII, XXVIII). 8. Kimutattam, hogy kaotikus attraktorokat folytonos idıben, filmszerően ábrázolva a káosz számos jellemzıje újszerő megvilágításban jelenik meg. Például láthatóvá válik a periodikusan mozgó attraktor, láthatóvá válik amint az ismételt betőrıdés, összenyomódás és kinyúlás folyományaként kialakul a szálas fraktálszerkezet. A periodikusan mozgó attraktor a folyadékok periodikus keveréséhez hasonló látványt nyújt. Konkrétan, a harmonikusan rezgetett felfüggesztéső inga attraktorának a filmjét készítettem el. Egy stroboszkópikus leképezésen az attraktor egy álló, mozdulatlan, szálas szerkezető fraktál. A filmnél azonban a kaotikus attraktort idıben folytonosan láthatjuk. Mintha több ezer ingát ábrázolnánk egyszerre a fázistérben! Ha egyszerre indítjuk ıket, akkor késıbb is egy síkban maradnak, az idıtengelyre merıleges szög-szögsebesség síkjában. Ebben az esetben a struktúra a gerjesztés periódusidejével megegyezı periodikus mozgást végez. Az [1] 5.56 és a [2] 5.52 ábráján hét lépésben követhetünk nyomon egyetlen ilyen periódust. A periodikusan örvénylı attraktor moziját úgy alkottam meg, hogy egyetlen periódust nem hét, hanem nyolcvan intervallumra osztottam, majd mindegyikrıl külön-külön készítettem egy-egy stroboszkópikus leképezést. Ennek a nyolcvan 12

11 képnek az egymás utáni vetítésével kaptam meg a mozgóképet. A film rendkívül látványos és gondolatébresztı, ezért egy-egy elıadássorozatnak kihagyhatatlan eleme. 9. Példák sorával mutattam be, hogy a középiskolák és az alsóbb éves egyetemi kollégiumok kísérleteiben vagy feladataiban elıforduló fizikai (elsısorban mechanikai) rendszerek kis módosítással kaotikussá válnak. Ide tartozik a fent említetteken kívül például az állandó és a helyfüggı amplitúdóval gerjesztett anharmonikus oszcillátor, a csigán lengı test (Atwood-féle ejtıgép), vagy a lejtıkön pattogó labda [6]. Ezek a példák alátámasztják azt, a könyveimben egyébként hangsúlyozott tényt, hogy a minket körülvevı világban a kaotikus viselkedés nem kivételes, hanem éppen ellenkezıleg: tipikus. A középiskolai és az alsóbb éves egyetemi oktatásban bemutatott fizikai problémákat addig egyszerősítették, míg matematikailag megoldatóvá és számolhatóvá nem váltak. Ennek egyik eszköze volt a linearizálás, sıt, a fizikai problémák zömét már eleve lineáris formában fogalmazták meg. Ezért a káosz és a nemlineáris jelenségek nem jelentek meg az oktatásban, immár tévesen azt sugallva, hogy a világ lineáris, szabályos mozgású és megjósolható. A minket körülvevı világ azonban ennél sokkal bonyolultabb, úgyhogy annak helyes megismeréséhez az oktatásban nélkülözhetetlen a káosz és a nemlineáris jelenségek problematikájának érintése. 10. Példák sorával mutattam be, hogy a természettudományoknak valószínőleg nincs még egy olyan területe, ahol annyira természetes és magától érthetı módon alkalmazható az oktatásban a számítógép, mint a szóban forgó jelenségek bemutatásakor [4]. A könyvemben lévı példák ismertetése közben az is világosan kiderül, hogy egy nemlineáris, kaotikus rendszer megismerése valódi kaland, igazi felfedezés, hiszen nagyon sok jelenség csak a konkrét szimuláció közben tárul föl, legtöbbször teljesen váratlanul, elıre nem látható módon, meglepetést okozva. A hallgatóknak a nemlineáris és kaotikus rendszerek vizsgálata tehát semmivel sem összehasonlítható módon tudja megmutatni a tudományos kutatás izgalmát. Megízlelhetik a felfedezés örömét, miáltal sokkal inkább motiváltak lehetnek. Ennek pedagógiai jelentısége pedig óriási. 13

12 Kitekintés A káosz oktatásának nemcsak az egyetemi alapkollégiumokba, hanem a középiskolákba való bevezetése mellett is számos érv sorakoztatható fel. Elsısorban természetesen nem a törzsanyagban, hanem szakkörök, fakultatív foglalkozások keretein belül kellene megvalósítani a tanítást. Az indokok gyakorlatilag megegyeznek az egyetemen belüli oktatás szükségességének érveivel (lásd a téziseket, különösen a 9. és a 10.). Marx György szerint a természettudományokban való jártasság a technikai civilizációnkban egyre fontosabb, ezért szerinte a fizika lehet az új idık latinja az iskolákban [12]. Marx találóan világított rá a nemlinearitás jelentıségére is: ha az Ohm-törvény hirtelen érvényessé válna a félvezetıkre is, akkor elnémulna minden rádió, megállna minden számítógép és elektronikus eszköz Külön kiemeli, hogy a gyorsan változó, a kezdıfeltételekre exponenciálisan túlérzékennyé vált világunkban a determinisztikus rendszerekben is meghiúsul az elırelátást. A jelen korunkhoz igazított oktatásunkban nélkülözhetetlennek tartja az efféle fogalmak megjelenését, köztük a káoszt is. Érdekesen rímmel ezekre a felvetésekre az a nemrég készült tanulmány [13], amelyben a szerzı felmérte, hogy a káoszhoz kapcsolódó fogalmakról mit gondolnak a középiskolai diákok, a témáról tartott órák elıtt, s után. Kiderült, kezdetben többnyire helytelen válaszokat adtak, de a tanulás után fordult a kocka: a vártnál nagyobb fejlıdést volt tapasztalható! Marx külön szól a játékosságról, a modellalkotás képességérıl, s az önálló kutatói munka fontosságáról is. Milyen más tevékenység érinti jobban eme fogalmak körét, mint egy egyszerő kaotikus mechanikai rendszer vizsgálata? Mivel számítógép használata mindennapos a középiskolákban, a diákok számára a téma kész programcsomagokkal való tanulmányozása magasabb rendő matematikai, vagy fizikai tudást nem igényel. Sokszor azonban még a számítógép használatától is eltekinthetünk, hiszen néhány kaotikus rendszer olyan egyszerő, hogy a valóságban is könnyen megépíthetı [14], [15], [16]. Érdekes módon a diákok gyakran könnyebbnek ítélik, ezért inkább választják az adott szerkezet elkészítését és a jelenség kísérleti tanulmányozását, mint a szimulációval való vizsgálatát. A pályaválasztás elıtt álló középiskolás diákok érdeklıdését könnyen a tudományok felé fordíthatja az, ha a passzív befogadás helyett, a maguk szintjén tudják megtapasztalni az ismeretlen önálló 14

13 kutatásának örömét. A káosz középiskolai oktatásának elterjesztéséért többedmagammal középiskolai tanároknak továbbképzést is tartottam néhány éve. A tanfolyam végén, a tanárok döntı többsége, egy-egy mechanikai rendszer saját készítéső programmal való vizsgálatáról sikeres beszámolót tartott. A tanfolyam tapasztalatai hozzájárultak a [11] programcsomag megszületéséhez. Napjainkban a kaotikus mozgásokkal több középiskolában is megismerkedhetnek már a tanulók, köszönhetıen néhány lelkes pedagógusnak. A téma aktualitását mutatja az is, hogy már több környezı ország fizikatankönyve, igaz röviden, de néhány bekezdést már szentel a témának [17], [18]. 15

14 Köszönetnyilvánítás Köszönettel illeti a témavezetıimet, Tasnádi Pétert és Tél Tamást, hogy mindig rendelkezésemre álltak és szívesen segítettek, ha bármi problémám adódott. További külön köszönettel tartozom még Tél Tamásnak, a hosszú évek óta tartó támogatásáért, nélkülözhetetlen szakmai útmutatásaiért. Köszönet illeti a doktori iskola vezetıjét, Bábosik Istvánt, hogy mindig segítségemre volt, amikor hozzá fordultam. Köszönet illeti továbbá Kárpáti Andreát a hasznos tanácsaiért. Köszönettel tartozom Kulacsy Katalinnak a tézisfüzet angolra fordításában nyújtott segítségéért. Végül, de nem utolsó sorban, köszönöm a doktori iskola ügyintézıjének, Egervári-Farkas Zsuzsannának, az ügyes-bajos problémáim megoldásában nyújtott sok-sok segítségéért. 16

15 17

16 A tézisekhez kapcsolódó publikációim Könyvek: [1] Tél Tamás, Gruiz Márton: Kaotikus Dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, [2] Tél Tamás, Gruiz Márton: Chaotic Dynamics, Cambridge University Press, Magyar nyelvő cikkek: [3] Gruiz Márton: A kaotikus mechanika kapcsolata Platónnal és a leveles tésztával, Természet Világa, Szeptember, 129. évf. 9. sz., oldal. [4] Tél Tamás, Gruiz Márton: Mi a káosz? (És mi nem az), Természet Világa, Július, 133. évf. 7. sz., oldal. [5] Tél Tamás, Gruiz Márton: A mozgások új arca: káosz és valószínőség, Természet Világa, Szeptember, 133. évf. 9. sz., 416. oldal. [6] Gruiz Márton, Tél Tamás: A káosz, Mindentudás az iskolában, Fizikai Szemle, Május, 55. évf. 5. sz., oldal. [7] Gruiz Márton, Tél Tamás: Káoszról, kicsit bıvebben, Fizikai Szemle, Június, 55. évf. 6. sz., oldal. [8] Gruiz Márton, Radnai Gyula, Tél Tamás: A Rugalmas Fonalú Ingáról Mai szemmel Vermes Miklós emlékezetére, Fizikai Szemle, október, 56. évf. 10. sz., oldal. Angol nyelvő cikk: T. Tél, Y-C. Lai, M.Gruiz Noise induced chaos: a consequence of long deterministic transients, Int. J. Chaos Bifurc nyomdában OTDK dolgozat: [9] A vízszintesen gerjesztett inga kaotikus mozgása, 1997, ELTE TTK. Szakdolgozat: [10] Pörgettyők kaotikus mozgása, szakdolgozat, 2000, ELTE. Témavezetı: Tél Tamás egyetemi tanár, ELTE Elméleti Fizikai Tanszék. Programcsomag: [11] Hóbor Miklós, Gruiz Márton, Gálfi László, Tél Tamás: Kaotikus Mozgások (szimulációs programcsomag elméleti és gyakorlati útmutatóval), ELTE Elméleti Fizikai Tanszék, Budapest,

17 19

18 A tézisfüzetben (kitekintésben) felhasznált egyéb irodalom [12] Marx György, Az iskola új feladata gyorsuló idı 4., Fizikai Szemle, 289 o., 1995/9. [13] Szatmári-Bajkó Ildikó, Káoszt? Azt!, Káoszelmélet a középiskolában, Fizikai Szemle, 376 o., 2006/11. [14] Sótér Anna, Lorenz modelljének kísérleti vizsgálata és a kaotikus vízikerék, Természet Világa 134, LXXIII (2003) [15] Biró István, Mágneses ingák kísérleti tanulmányozása, Fizikai Szemle, 13 o., 2006/1. [16] Békéssy László István, Bustya Áron, Fizikai kettısinga vizsgálata, Fizikai Szemle, 185 o., 2005/5. [17] Albert Jaros, Alfred Nussbaumer, Hansjörg Kunze, Basiswissen Physik-compact, Öbv&hpt, Wien, [18] Tellmann Jenı, Darvay Béla, Kovács Zoltán, Fizika Tankönyv a XI. osztály számára, Ábel kiadó, Kolozsvár,