Miskolci Egyetem. GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Ph.D. értekezés

Átírás

1 Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI- ÉS INFORMATIKAI KAR GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Ph.D. értekezés KÉSZÍTETTE: Mankovits Tamás okleveles gépészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA GÉPÉSZETI ALAPTUDOMÁNYOK TÉMATERÜLET SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA TÉMACSOPORT DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: Dr. Tisza Miklós egyetemi tanár TÉMACSOPORT VEZETŐ: Dr. Kozák Imre az MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐK: Dr. Szabó Tamás egyetemi docens Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja Miskolc, 2012.

2

3 Mankovits Tamás GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Doktori (Ph.D.) értekezés Miskolc, 2012.

4 Tartalomjegyzék TÉMAVEZETŐK AJÁNLÁSA... iii 1. BEVEZETÉS... 1 Célkitűzés... 1 Irodalmi áttekintés TENGELYSZIMMETRIKUS GUMI VIZSGÁLATA NEMFOLYTONOS ÉS FOLYTONOS VÉGESELEMES LEÍRÁSSAL KIS ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN Rugalmasságtani feladat kitűzése Nemfolytonos variációs elv alkalmazása Végeselemes diszkretizáció Folytonos variációs elv alkalmazása Az energia funkcionál Végeselemes diszkretizáció Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos és folytonos esetre Egytengelyű feszültségi állapot Nem egytengelyű feszültségi állapot A megoldás stabilitásának numerikus vizsgálata nemfolytonos esetben Az átemelő operátorral módosított nemfolytonos variációs elv alkalmazása Az átemelő operátor alkalmazása Végeselemes diszkretizáció Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos esetekben Számítási igények összehasonlítása TENGELYSZIMMETRIKUS GUMIALKATRÉSZ VÉGESELEMES VIZSGÁ- LATA NAGY ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN Nemlineáris rugalmasságtani összefüggések A gumiban ébredő feszültségek és az alakváltozási energiasűrűség Az anyagállandók tenzora Az energia funkcionál Végeselemes diszkretizáció Numerikus vizsgálat A mérési- és a numerikus eredmények összehasonlítása A gumibak kísérleti nyomóvizsgálata A gumibak nyomóvizsgálata végeselem-módszerrel A mérési- és számítási eredmények összehasonlítása AZ ALAKOPTIMALIZÁLÁSI FELADAT Az optimalizálási feladat kitűzése A célfüggvény...54 i

5 5. AZ OPTIMALIZÁLÁS ESZKÖZRENDSZERE Regressziós modellek Tartóvektor gépek Kernel függvények Érzéketlenségi sávval rendelkező hibafüggvényen alapuló regressziós modell Az RBF kernel optimális hiperparamétereinek meghatározása Az R programozási környezet NUMERIKUS PÉLDÁK Egydimenziós alakoptimalizálás Kétdimenziós alakoptimalizálás Háromdimenziós alakoptimalizálás Alakoptimalizálás érintkezés figyelembevételével ÖSSZEFOGLALÁS Új tudományos eredmények Továbbfejlesztési lehetőségek...87 SUMMARY KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A. függelék A jobboldali Green-Lagrange alakváltozási tenzor növekmény független elemei...92 B. függelék Az alakváltozási elmozdulás mátrix és a II. Piola-Kirchhoff feszültségi mátrix elemei...94 C. függelék C.1. A végeselemes programmal kapott erő értékek...96 C.2. A vizsgált gumibak méreteinek meghatározása...97 C.3. A gumibak nyomóvizsgálatának eredményei...98 C.4. A Shore-féle keménységmérés...99 C.5. Az ANSYS fejlesztők által javasolt Mooney-Rivlin paraméterek C.6. A VEM program eredményei különböző keménységhez tartozó anyagállandókhoz D. függelék D.1. A kernel függvények és azok tulajdonságai D.2. Lagrange-multiplikátoros technika E. függelék Publikációk az értekezés témájában HIVATKOZÁSOK ii

6 TÉMAVEZETŐK AJÁNLÁSA Mankovits Tamás Gumialkatrészek alakoptimalizálása című Ph.D. értekezéshez A járműiparban számos helyen használnak különböző kialakítású gumirugókat. Ezen nagyelmozdulással és alakváltozással rendelkező szerkezeti elemek mechanikai viselkedésének ismerete a tervező számára nagyon fontos. A terhelés-elmozdulás függvény meghatározása a működési körülményektől függően nem kis kihívás. A megkívánt karakterisztikájú rugók előállítása, egyrészt az anyag megválasztásától, másrészt a kialakítás formájától függ. A gumialkatrészekkel kapcsolatosan számos munka foglalkozik ezek elméleti, numerikus és kísérleti vizsgálatával. Az értekezés az optimalizálás azon útját választja, amikor is a megkívánt karakterisztikájú rugót néhány geometriai méret, mint tervezési paraméter megfelelő megválasztásával kívánja elérni. Fontos momentum az optimalizálási feladat célfüggvényének megválasztása, meghatározása. A cél minél jobban megközelíteni egy adott rugókarakterisztikát. E célból a jelölt által javasolt célfüggvény a megkívánt és az elért karakterisztika alatti munka különbség négyzetének a minimuma lesz. A megoldási eljárásra a gumirugóknál ezideig még nem használt módszert javasol a jelölt. Az optimalizálási feladat megoldása során nyilván a mechanikai állapot pontos ismerete is szükséges. Ezzel kapcsolatosan a jelölt széleskörű vizsgálatokat végzett el, lehetés célszerű-e a szakadásos mezőkkel dolgozó Galjorkin típusú variációs eljárásokat használni, vagy célszerűbb a folytonos elmozdulásmezővel felépített eljárásokat igénybe venni. A nemfolytonos mezőt alkalmazó variációs elvek szisztematikus ismertetésére, kritikai elemzésre került sor a disszertációban. A bemutatott numerikus példákból levont következtetések nagymértékben segítették az optimalizálásnál használatos végeselemmódszeren alapuló folytonos elmozdulásmezőre alapuló eljárás kiválasztását. A munkájának fontos része az egyes variációs elvhez tartozó számítógépi programok elkészítése, az alakoptimalizációs feladathoz tartozó algoritmus kidolgozása, a számítógépi programrendszer elkészítése, annak belövése, továbbá konkrét optimalizációs feladatok megoldása a kísérletekből nyert gumit jellemző anyagállandók felhasználásával. Ezekkel a jelölt a gumirugók egy osztályának végeselemes tárgyalásához, a hatékony optimalizációs algoritmus kidolgozásához, konkrét problémák megoldásához tudott eredményeivel nem kis mértékben hozzájárulni. iii

7 Az értekezéshez kapcsolódóan Mankovits Tamás nagy energiával, szorgalommal, igényességgel végezte munkáját. Eredményeiről rendszeresen beszámolt különböző hazai és nemzetközi fórumokon eleget téve a Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola publikációs követelményeinek. Elvégzett számításai, azok bemutatása a kidolgozott elvek eljárások helyességét bizonyítják. Az értekezés kivitele gondos munkát tükröz, szövegezése jól érthető, ábrái mondanivalójának megértését nagyban elősegítik, tézisei a PhD cím elnyeréséhez szükséges kívánalmakat messzemenően kielégítik. Miskolc, Dr. Páczelt István akadémikus Dr. Szabó Tamás PhD iv

8 1. BEVEZETÉS A gumirugók olyan szerkezeti elemek, amelyek külső erők munkáját képesek belső alakváltozási energia formájában felhalmozni és ezt a megfelelő körülmények között újra külső mechanikai munkává alakítani. Többek között ezen kiváló tulajdonság miatt alkalmazásuk az utóbbi évtizedekben nélkülözhetetlenné vált a jármű- és gépiparban. Az acélrugóval szemben számos előnye közül a kiváló hang- és rezgésszigetelő képessége emelkedik ki. Tönkremenetele hosszú folyamat és ez könnyen diagnosztizálható. A gumiból készült rugók egyszerű szerkezete és beépítési módja szintén különös előnyöket biztosít. A megfelelően méretezett gumirugókra szerelt szerkezetek növelik a komfortérzetet is. A gumi nagy alakváltozási energiát képes tárolni, akár többszáz %-os alakváltozást is elvisel, így járművek rugózására rendkívül előnyös. A vevő elvárásai - a számítástechnika, a gumikról való ismeretünk fejlettségi szintje és természetesen a piaci versenyhelyzet miatt - mára nagyon magasak lettek. Így a gumirugóknak a terhelés hatására gyakran előre meghatározott jelleggörbével (rugókarakterisztika) kell rendelkezniük, melynek elérése, kifejlesztése komoly kontinuummechanikai hátteret igényel. Ennek a célnak a megvalósítása egy optimalizálási feladatra vezet. Az előírt karakterisztikát leggyakrabban a megfelelő gumiösszetétel változtatásával kívánják elérni, de a gumirugó alakjának megváltoztatásával komplexebb viselkedés érhető el. A gumirugók alkalmazási területük szempontjából különböző igénybevételt kell, hogy kielégítsenek. Jelen értekezés kizárólag a nyomásra igénybevett gumirugókkal foglalkozik, mivel ezek előfordulása a leggyakoribb. Nyomásra a karakterisztika progresszív jelleget mutat, amely a legtöbb rugózási feladatnál előnyösen kihasználható. Egyidejűleg figyelembe kell vennie a tervezőnek azt, hogy a gumi összenyomhatatlan anyagnak tekinthető, így biztosítani kell a terhelésnél is a szabad alakváltozást. A gumirugó nagy alakváltozást szenved terhelések hatására, amely önmagában is nemlineáris viselkedést mutat. Az alkatrészek közötti változó érintkezési tartománya, a gumi összenyomhatatlansága ezt a nemlineáris viselkedést tovább fokozza. Az ilyen feladatokat a nemlinearitás miatt a hagyományos mérnöki tervezés csak nagy elhanyagolás árán tudott kezelni. A számítástechnika és a mérnöki tudományok fejlődésének köszönhetően ma már számos kereskedelmi szoftver segíti a mérnöki tervezést, bár a téma kutatása továbbra is aktuális maradt. A végeselem-módszerrel foglalkozó kutatók számára komoly kihívást jelent az, hogy hatékony, megbízható módszereket, eljárásokat dolgozzanak ki az adott, illetve általános problémákra, így a gumi összenyomhatatlanságának kezelésére, alakoptimalizálásra, stb. A disszertációban a kontinuummechanika lineáris és nemlineáris elméletét és a végeselem-módszer használatát fogjuk alkalmazni az általunk vizsgált feladatokra. Célkitűzés A szerkezetek, folyamatok optimalizálása alapkövetelmény műszaki feladatok során. Jelen disszertáció tengelyszimmetrikus gumirugók alakoptimalizálásával foglalkozik. Az alakoptimalizálás célja, hogy egy előírt karakterisztikát érjünk el a gumi geometriájának megváltoztatásával egy kezdeti rugókarakterisztikából kiindulva. Ehhez olyan végeselem program szükséges, amely gyorsan és megfelelő pontossággal határozza meg a rugókarakterisztikát adott peremfeltételekre, továbbá jól illeszthető egy korszerű optimalizálási eljáráshoz. Ezen gondolatmenet mentén haladva az alábbi célokat tűztük ki: 1

9 Gumialkatrészek alakoptimalizálása Az előzetes irodalomkutatás alapján a szakirodalomban az utóbbi időben megjelenő nemfolytonos Galjorkin-módszer (szakadásos mezők alkalmazása) bíztató eredményekkel szolgált kis- és nagy alakváltozások kezelésére, ezért első feladatunk a nemfolytonos Galjorkin-módszer megismerése és implementálása mechanikai feladatokra. A módszer számítási igényének és várható jóságának összevetése a folytonos Galjorkin-módszerrel. Az alakoptimalizáláshoz szükséges nagy mennyiségű adatszolgáltatást figyelembe véve vajon hoz-e annyi pluszt a módszer, hogy érdemes legyen azt használni. Ennek mentén egy olyan végeselem célprogram kidolgozása, amellyel numerikus vizsgálatokat lehet elvégezni. A következtetések levonása után a következő lépés olyan végeselem program fejlesztése, amely az alakváltozás nemlineáris elméletét alkalmazva elegendően pontos, gyors és megfelelő adatokat szolgál az alakoptimalizáláshoz. A numerikus számítások ellenőrzése laboratóriumi mérésekkel. Olyan alakoptimalizálási eljárás kidolgozása, amely a rendelkezésre álló adatokból pontosan és megbízhatóan tud kezelni egy- és többváltozós alakoptimalizálási feladatot. A lehetőségek közül olyan módszert kiválasztani, amely a tervező mérnöknek használható eredményt nyújt. Numerikus példákon keresztül elvégezni az alakoptimalizálást, lehetőség szerint ipari problémára is. A disszertáció ezen feladatok vizsgálatával és megoldási javaslataival foglalkozik. Megjegyzendő, hogy jelen dolgozat nem foglalkozik a súrlódással, kopással, kémiai- és hőhatásokkal, valamint nem vizsgál dinamikus terheléseket. Irodalmi áttekintés A nemfolytonos Galjorkin-módszer az elmúlt két évtizedben egyre szélesebb körben terjed. Ezt a módszert először parabolikus, hiperbolikus feladatok megoldására alkalmazták, de újabban a számunkra fontos elliptikus feladatokra is számos eljárás került kidolgozásra. BREZZI és ARNOLD Poisson típusú differenciálegyenlettel leírt peremérték problémát tárgyal vegyes mezők módszerével [5,6,16]. Az irodalomban előforduló szakadásos eljárásokat a funkcionálanalízis eszközeivel tárgyalja és értékeli a különböző eljárásokat. PÁCZELT akadémiai doktori disszertációjában és tankönyveiben variációs elveket vizsgál többek között szakadásos mezőkre is. Ezt bemutatja a vegyes mezők módszerére és tisztán elmozdulásmezőre alapozva is [75,76,77,78]. Gyakorlati alkalmazásként elsősorban érintkezési feladatok megoldására mutat be példát. A [75] munkában részletes irodalom található a szakadásos mezőkkel kapcsolatos irodalmakra, amelyek közül kiemelkedő az ez irányú kutatásokat elindító PRAGER munkája [85]. MERGHEIM és STEINMANN szilárdságtani feladatokra mutatják be a nemfolytonos Galjorkin-módszert [64,65,66,94]. Az elmozdulásra felírt gyenge alakból kiindulva nagy alakváltozásra mutatnak be példát. Ezekben a cikkekben bemutatásra kerül a nemfolytonos végeselem-módszer számítógépes modellezése az erős és gyenge nemlinearitásnak véges elmozdulásokat figyelembe véve. Az illesztés helye független a hálószerkezettől, így a nemfolytonos elemeket bevezetik, hogy feltárják az alakváltozásnál jelentkező szakadást, valamint annak gradiensét. EYCK és LEW bemutatja a nemfolytonos Galjorkin-módszer matematikai hátterét elliptikus feladatok esetén nemfolytonos rugalmasságot feltételezve [18,51,52]. Bemutatásra kerül a nemfolytonos Galjorkin-módszer elméleti háttere LIU és szerzőtársai, McBRIDE és REDDY, WANG és LAZAROV cikkeiben. LIU és szerzőtársai egy numerikus 2

10 példán keresztül mutatják be gumi anyagot feltételezve a Galjorkin-módszert saját fejlesztésű kóddal [56]. McBRIDE és REDDY numerikus példákat oldanak meg, amelyben vizsgálják a locking jelenséget is [20,62]. WANG [105] és LAZAROV [48] szintén numerikus példákat oldanak meg elliptikus problémákra. LARSON és szerzőtársai cikkeikben a nemfolytonos Galjorkin módszert alkalmazzák összenyomhatatlan és majdnem összenyomhatatlan anyagot feltételezve, valamint numerikus stabilitásvizsgálatokat végeznek [32,47]. NOELS és szerzőtársai hiperelasztikus anyagot feltételezve, a nemfolytonos Galjorkin módszer alkalmazva írják fel a vonatkozó formulákat és numerikus példákon keresztül mutatják be azt [71]. A gumi leírásához célszerű magasabb rendű approximációt alkalmazni a térfogatállandósági feltétel biztosításához. A ún. locking (bezáródás, befeszülés) jelensége léphet fel a térfogatállandósági mellékfeltétel miatt, de azt várjuk, hogy a nemfolytonos módszer alkalmazása során ez elkerülhető. A locking jelenségével részletesen többek között BABUSKA és SURI foglalkozik cikkeikben [7,8,96] és ezeket feldolgozva kínálnak lehetőséget locking -mentes végeselemekre DÜSTER és szerzőtársai [24,35], BERTÓTI [14], valamint QI és szerzőtársai [86]. SURI analitikusan és numerikusan is kiértékeli a hp-verzió alkalmazásánál fellépő locking jelenség okait majdnem összenyomhatatlan anyagot feltételezve. Azt az esetet vizsgálja BABUSKA és SURI cikkeikben, amikor a Poisson-tényező közel van a 0,5-höz. Az ebben az esetben fellépő locking problémát vizsgálják háromszög és négyszög elemeket feltételezve. Egy cikkben QI és szerzőtársai vizsgálják a locking jelenséget háromdimenziós esetekben, amikor a Lamé állandó a végtelenhez tart. Három fajta végeselemes közelítést vizsgálnak arra, hogy elmozdulási peremfeltételekkel közelítsék a háromdimenziós rugalmasságot. A végén numerikus eredményeket mutatnak be abban az esetben, amikor locking -mentes eredményeket tapasztaltak. A cikkek utalnak arra, hogy magasabb approximációnál ez az eljárás az ismeretlenek vonatkozásában kevésbé hátrányos a folytonos mezőjű megközelítéshez képest. A kétféle megközelítésnél (folytonos és nemfolytonos) a nemfolytonos Galjorkin-módszer esetén mindig magasabb lesz az ismeretlenek száma. A módszer alkalmazása akkor válik gazdaságossá, ha magasabb fokú approximációt alkalmazunk. A gumik nagy alakváltozást szenvedhetnek a terhelés hatására tönkremenetel nélkül, amely nemlineáris viselkedést mutat. Ez egyrészt következik az anyag nagymértékű alakváltozásából, a gumi összenyomhatatlanságából. BONET könyvében [15] a nagy alakváltozás nemlineáris elméletének vonatkozó egyenleteit írja le, amelyek jó alapul szolgálnak a végeselemes program kifejlesztésében. KOZÁK könyvében [45] tárgyalja az alakváltozások nemlineáris elméletét, továbbá a nemlineáris rugalmas testre vonatkozó anyagegyenletet, amelyek jó alapok adnak a gumiszerű anyagok mechanikai viselkedésének leírására. KOZÁK által taglalt virtuális munka elvet - kiegészítve a nemfolytonos Galjorkin taggal - használjuk a variációs elvünk alapjának. BATHE végeselem-módszer könyvében a Total-Lagrange formulára és a Newton-Raphson iterációs eljárásra vonatkozó összefüggések is szerepelnek többek között, amelyek szintén nagy segítséget nyújtottak a program megírásához [11]. A gumik viselkedésének leírására számos anyagmodell létezik. Ilyen például a Neo-Hooke, a Mooney-Rivlin, a Yeoh, az Arruda-Boyce, az Ogden anyagmodell. Ezek alkalmazhatósága nagymértékben függ az igénybevételtől. Az anyagmodellek paramétereinek meghatározásához mindenképpen szükséges a laboratóriumi mérés. Számos kutató foglalkozik paraméterillesztéssel hiperelasztikus anyagok vizsgálata esetén. Többek között OGDEN ezzel foglalkozik tanulmányaiban [72,73]. 3

11 GUO és SLUYS egy új, gumiszerű anyagokra vonatkozó anyagtörvény bevezetésével és annak elvi leírásával foglalkozik [29,30,31]. Összehasonlítják az Ogden és Mooney-Rivlin anyagmodelleket elméleti és numerikus példán keresztül. Numerikus vizsgálatok eredményeit elemzik gumiszerű anyagok ciklikus terhelési esetére is. Anyagmodellként a Neo-Hooke és Mooney-Rivlin modelleket építik be a saját fejlesztésű programjukba. ALTIDIS és WARNER vállalkozott gumiszerű anyagok végeselemes analízisére [2]. Az általuk használt anyagmodellek konstansait a Shore-féle keménységmérés eredményeiből állapították meg. Ezt a mérési módszert az ipari gyakorlatban is alkalmazzák a gumi keménységének meghatározására. A laboratóriumi mérés útján szerzett tapasztalatokkal a számunkra fontos numerikus paramétereket a valósághoz hűen tudjuk beállítani, igaz csak húzó igénybevételre. A cikk jó alapul szolgál a laboratóriumi mérések megismétlésére, a Shore-féle keménység meghatározására. Nyomóvizsgálatok alapján vizsgálja HORGAN és MURPHY a gumiszerű anyagokat [37]. A Mooney-Rivlin anyagmodellt alkalmazva saját fejlesztésű programjuk eredményeit a mérési eredményekkel összehasonlítják. SHANGGUAN és LU cikkében egy motortartó gumibakot vizsgálnak végeselem-módszer segítségével, továbbá javaslatokat tesznek a geometria optimalizálására [87]. Több anyagmodellt használnak a gumi leírására, majd az ADINA programrendszerrel nyomásvizsgálatokat végeznek és azokat összevetik a mérési eredményekkel. Szintén gumialkatrész végeselemes analízisével foglalkozik DOLWICHAI és LIMTRAGOOL [21]. Hiperelasztikus anyagok numerikus vizsgálatára általában a h-verziós végeselemeket alkalmazták, a p-verziós végeselemeket ilyen anyagtípusra csak az elmúlt években kezdték használni. MALKUS [60], SWANSON és szerzőtársai [99], ZIENKIEWICH és szerzőtársai [107], SUSSMAN és BATHE [97], SIMO és TAYLOR [89] és GADALA [26] mindannyian h-verziós végeselemeket alkalmaznak nemlineáris végeselemes vizsgálataikban. Az utóbbi években SZABÓ és szerzőtársai [100], NÁNDORI és szerzőtársai [68], HARTMANN és NEFF [33] és DÜSTER és szerzőtársai [23] végeztek összenyomhatatlan, vagy majdnem összenyomhatatlan anyagok végeselemes vizsgálatához p-verziós végeselemeket. A fenti könyvek és cikkek szolgálnak alapul a kidolgozandó végeselem programhoz. Optimalizálás témakörben számos alkalmazás található meg a szakirodalomban. Javarészt fémalkatrészeket, fémszerkezeteket optimalizálnak, ahol a célfüggvény a súly minimalizálása megtartva a vizsgált test, szerkezet szilárdságát. A hazai irodalomban ilyenek JÁRMAI és szerzőtársai tanulmányai, ahol fémszerkezetek optimalizálását végzik [40,101]. VIRÁG disszertációjában szintén fémszerkezet optimalizálását végzi, ahol a neurális hálózatokat is segítségül hívja [103]. KÖRTÉLYESI disszertációjában gépszerkezetek alakoptimalizálásával foglalkozik, ahol a célfüggvény valamilyen mechanikai jellemző [46]. Gumialkatrészek alakoptimalizálásával több kutató foglalkozik. Az optimalizálási feladat elvégzése előtt javarészt végeselemes vizsgálatokból nyerik ki az alapadatokat. FRIEDRICH és szerzőtársai kimondottan gumialkatrészek alakoptimalizálásval foglalkozik hagyományos optimalizálási eszközökkel [25]. JAVORIK és STANEK pneumatikus szelep alakoptimalizálását végzik [41]. PARK és szerzőtársai szintén gumialkatrész optimalizálásával foglalkoznak rezgést és tönkremenetelt figyelembe véve [81]. CHOI és DUAN cikkükben érzékenységvizsgálattal foglalkoznak hiperelasztikus anyagok vizsgálatára [17], csakúgy, mint SILVA és BITTENCOURT [88]. Végeselem analízist alkalmazva SUZUMORI és szerzőtársai optimális kialakítást fejlesztettek ki egy pneumatikus gumi aktuátoron [98]. SOHN és szerzőtársai ún. hibrid neurális hálózatot alkalmaz gumi-fém persely dinamikai szimulációjához [93]. A járműiparban alkalmazott gumibakok és gumirugók alakoptimalizálása témakörben is az utóbbi időben készültek tanulmányok. AHN és szerzőtársai cikkében egy iparban használatos motortartó bak (amely gumialkatrészt is tartalmaz) optimalizálását végzik, hagyományos 4

12 optimalizálási módszerrel [1]. Céljuk a rezonancia-átvitelt minimalizálni, a végeselemmódszert nem használják. LI és szerzőtársai kereskedelmi végeselem szoftvert alkalmazva végeznek optimalizálási feladatot egy motortartó gumibakon. Az optimalizálásra a neurális hálózatot és genetikus algoritmust használják [53,54]. MARZBANRAD és JAMALI kereskedelmi végeselem szoftvert használva motortartó gumibak alakoptimalizálását végzik el [61,69,70]. Az optimalizáláshoz genetikus algoritmus és az ún. single value decomposition módszereket használják. A gumi anyagtörvényének a Mooney-Rivlin anyagmodellt használják. SUN és szerzőtársai [95], KIM és szerzőtársa [44], valamint LEE és szerzőtársa [49] szintén motortartó gumibakon végeznek alakoptimalizálást neurális hálók, genetikus algoritmus és hagyományos optimalizálási módszerek alkalmazásával. A cikkek bátorítást adtak olyan tekintetben, hogy az informatikában elterjedt gépi tanulás módszerei optimalizálási feladatokra hatékonyan és megbízhatóan használható. Ezen cikkek javarészt az utóbbi 5 évben készültek, ebből is látható, hogy a gépi tanulás módszerek alkalmazása megjelent a műszaki problémák kezelésére is. Gumik vizsgálata esetén a nemlineáris jelleg adódhat az alkatrészek közötti változó érintkezési tartományból is. BAKSA disszertációjában részletesen foglalkozik fém-fém közötti érintkezés témakörével, figyelembe véve a súrlódást is [9]. Üveg és gumi érintkezés problematikájával foglalkozik ipari példán keresztül VOLA és szerzőtársai [104]. MERÉ és szerzőtársai végeselemes vizsgálatukban a járműiparban alkalmazott ajtó gumiszigetelést vizsgáltak, ahol az érintkezés figyelembevétele elengedhetetlen [63]. PERE gumitömítés érintkezési feladatát vizsgálta [83], PÁCZELT és szerzőtársai pedig légrugó analízisét végezte el, ahol szintén nagy szerepet játszik a fém-gumi érintkezés [79]. Korábban említettük, hogy a gumi súrlódási viszonyaival, esetleges kopásával nem foglalkozunk jelen disszertációban. Ilyen problémákat vizsgál részletesen PÁLFI a disszertációjában [80], valamint BÉKÉSI a disszertációjában [13]. A kopásból származó hőhatásokkal PERE foglalkozik disszertációjában és cikkében [82,84]. Gumialkatrész súrlódási viszonyait taglalja disszertációjában DELADI [19]. A gumialkatrészekre ható dinamikus igénybevételekkel OLSSON foglalkozik disszertációjában [74]. Számos kutató vizsgálja a gumikat érő dinamikus igénybevételeket, mint például BEIJERS és szerzőtársai [12], LIN és szerzőtársai [55] és SINGH [90]. A gumiról való klasszikus ismeretek feldolgozásánál és a Shore-féle keménységmérésnél BARTHA [10] és MAKHULT [59] munkáit tekintettük kiinduló pontnak. Az előzetes irodalomkutatás és a célkitűzés alapján az optimalizálási probléma megoldására a Magyarországon még kevésbé elterjedt VAPNIK által kifejlesztett ún. Support Vector Machines (továbbiakban: SVM, Tartóvektor gépek) módszert kívánjuk alkalmazni. Ez a módszer részben hasonlít a már elterjedt és korábban említett neurális háló alkalmazásra, ugyanis a tanulópontok alapján állítja elő a megoldást, de a nagy különbség az, hogy az SVM az ún. kernel térben keresi a megoldásfüggvényt. HAYKIN könyvében ugyan tárgyalja az SVM regressziót, de az elmélet mögött húzódó matematikai hátteret inkább osztályozási feladatokra részletezi [34]. GUNN és szerzőtársa összefoglalja az SVM osztályozást és regressziót, továbbá példákat old meg azokra [28], SMOLA és SCHÖLKOPF kizárólag az SVM regresszió matematikai hátterét és alkalmazásának lehetőségeit taglalja [92]. HORVÁTH könyveiben szintén tárgyalja az SVM regressziót és további mintapéldákat mutat be. Főleg villamosmérnöki feladatokat kezel a módszerrel [3,38,102]. Az SVM alkalmazásának egyik lehetséges eszköze az R statisztikai szoftver. Ez egyben programozási nyelv és interaktív környezet. Számos előnye közül részletes dokumentációja, gazdag eszköztára és a grafikus megjelenítési lehetőségei tűnnek ki. Számos csomag tölthető le, amely csomagok szabadon hozzáférhetőek és részletes használati útmutatóval rendelkezik. Az SVM R programozási nyelvben történő alkalmazásához nyújt segítséget MEYER és 5

13 szerzőtársai [43,67], valamint WICKHAM [106] összefoglalói. MEYER főleg az SVM-hez letölthető csomagok lehetőségeit és alkalmazási módjait taglalja, míg WICKHAM a grafikus megjelenítésekhez ad ötleteket. Az SVM-ben megjelenő és a megoldások, becslések jóságát befolyásoló paraméterek meghatározása szintén alapprobléma, valamint jelenleg is kutatott téma. Mivel numerikus példáink esetében a paraméter optimalizálását nekünk is el kell végezni, így számos hasznos információt és további motivációt nyújt HEERDEN és BARNARD [36], JENG és CHUANG [42], DUEN és szerzőtársai [22], valamint SMETS és szerzőtársai [91] cikkei, ahol kizárólag azokat a lehetőségeket taglalják és mutatják be, amellyel jó közelítéssel határozhatjuk meg a programunk bemenő paramétereit. Gyakorlati alkalmazásként LOPEZ és szerzőtársai a végeselem-módszert is használva egyszerű optimalizálási feladatot oldanak meg neurális hálózat és SVM segítségével. Az optimalizálási feladat alapproblémája nem gumiszerű anyag [57]. LU és szerzőtársai az SVM módszert alkalmazzák egy belsőégésű motor dinamikai modellezésére [58]. LEE és KIM az SVM regressziót használja szupergyors vonatok orralakjának megfelelő kialakítására [50]. ANGIULLI és DE CARLO pedig villamosmérnöki problémára alkalmazza az SVM regressziót [4]. A publikációkból jól látszik, hogy az SVM alkalmazása és lehetőségei jelenleg is intenzíven kutatott módszerek. Ezek áttanulmányozása során arra a következtetésre jutottunk, hogy tengelyszimmetrikus gumirugó alakoptimalizálási feladatára az SVM egy hatékonyan alkalmazható módszer. 6

14 2. TENGELYSZIMMETRIKUS GUMI VIZSGÁLATA NEMFOLY- TONOS ÉS FOLYTONOS VÉGESELEMES LEÍRÁSSAL KIS ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN Jelen fejezetben összefoglaljuk nemfolytonos és folytonos variációs elvekre alapozva tengelyszimmetrikus gumi tulajdonságú anyagok végeselemes vizsgálatához szükséges kontinuummechanikai leírást lineáris esetben. A folytonos variációs elv alatt olyan elvet értünk, amikor az elvben szereplő mezők közül minimum egy folytonos az elemek között, így például az elmozdulásmező. Nemfolytonos variációs elvek esetén az elemek között nincs a priori biztosítva folytonos mező. Ezután a két technikát összehasonlítjuk egymással. Az elemzésre azért van szükség, mert gumiszerű anyagok vizsgálatánál gyakran lép fel az ún. locking (bezáródás) jelenség, amely numerikus problémákat okoz. A szakirodalom a nemfolytonos végeselemes tárgyalásmódot ajánlja [16], mint lehetséges alternatívát a fent említett jelenség kiküszöbölésére. Az észszerűség azt kívánja, hogy először a nemfolytonos leírással foglalkozzunk, s a peremértékfeladatot célszerűen ehhez tűzzük ki, majd a folytonos leírásra is implementáljuk Rugalmasságtani feladat kitűzése Vizsgáljunk egy két rugalmas testből álló mechanikai rendszert háromdimenzióban (2.1 ábra). A megoldást a lineáris rugalmasságtan keretei között keressük. Feltételezzük, hogy nincsen hő- és kémiai jellegű kölcsönhatás. A vizsgált feladat tengelyszimmetrikus. 2 k 2 p 2 p 1 V 1 A p 1 n 1 1 k 1 2 A A 1 c c A p 2 A u 1 n c 1 n c 2 A u 2 V 2 n ábra Rugalmas szilárd test A felső index jelöli, hogy melyik testről van szó (e = 1,2). A V térfogatokon ρ k intenzitású térfogati terhelés működik, ahol ρ a testek sűrűsége, k pedig az egységnyi tömegen működő terhelés. Az A felületeken p intenzitású felületi terhelés működik, amelynek általános esetben normális és tangenciális irányú összetevői is vannak. Az A felületeken ismert az u elmozdulás. Az A kapcsolódási felület két azonos nagyságú felület, amelyeknek n a megfelelő normális irányú egységvektorai. A továbbiakban a skaláris szorzást, a kétszeres skaláris szorzást, a diadikus szorzást jelöli. A jelen vizsgálatban kétoldalú kapcsolatról van szó és az elemek között nincs kezdeti hézag. A testek között a felület mentén a céltól függően az elmozdulásmező lehet nemfolytonos, vagy folytonos. Feladatunk, hogy meghatározzuk azt az u = u (r), r V, (2.1) 7

15 elmozdulásmezőt, amely kielégíti a rugalmasságtani egyenletrendszert, ahol r a helyvektor. A kontinuummechanikai problémák variációs elvek felhasználásával történő vizsgálata számos előnnyel bír a differenciál-egyenletrendszer közvetlen megoldásával szemben. Így például a funkcionál alacsonyabb rendű deriváltakat tartalmaz, a közelítő mezők folytonossági feltételeit az alkalmazott variációs elv alapján könnyen meg lehet határozni. További előnye, hogy az alapvető peremfeltételek jól kézben tarthatók, míg a természetes peremfeltételekről maga a variációs elv gondoskodik. Egy variációs elv esetén beszélhetünk kötött és szabad egyenletekről. A kötöttségeket mi biztosítjuk. A Hooke-törvény alapján az anyagegyenlet T = D A, r V, (2.2) ahol T a feszültségi tenzor, A az alakváltozási tenzor, míg D az anyagállandók tenzora. Homogén, izotróp anyagoknál az anyagállandók tenzora csak az E rugalmassági modulusztól és a ν Poisson-tényezőtől függ. A geometriai egyenlet írja le a kapcsolatot az elmozdulásmező és az alakváltozás között lineáris esetben Az egyensúlyi egyenlet A = (u + u ), r V. (2.3) T + ρ k = 0, r V. (2.4) Vizsgálatainknál biztosítjuk továbbá azt, hogy a kinematikai peremfeltétel u = u, r A (2.5) az A felületen teljesüljön. A variációs elvnek tartalmaznia kell még a szabad egyenleteket is. Ilyen a dinamikai peremfeltétel T n = p, r A. (2.6) Ha nemfolytonos variációs elvet alkalmazunk, akkor a variációs elv biztosítja az elmozdulásés feszültségmező folytonosságát a kapcsolódó felületen, ha folytonos esetet tárgyalunk, akkor azt a priori kell kielégíteni. Az elmozdulásmező illesztési feltétele a kapcsolódási felületen a feszültségmező illesztési feltétele a kapcsolódási felületen u u = 0, r A, (2.7) T n + T n = 0, r A, (2.8) megjegyezve, hogy az n és n helyett az egyszerűbb jelölés miatt a továbbiakban n -et és n -őt használjuk. 8

16 2.2. Nemfolytonos variációs elv alkalmazása A nemfolytonos Galjorkin-módszer az elmúlt pár évben kezdett széles körben elterjedni. Ez a módszer alkalmas parabolikus, hiperbolikus és a számunkra fontos elliptikus feladatok leírására is. Elliptikus feladatokra viszonylag kevés alkalmazás található. Páczelt akadémiai doktori disszertációjában [75] a nemfolytonos Galjorkin-módszerrel hasonló gondolatmenetre épülő szakadásos mezők módszerét mutatja be, amelyre alapozva fogjuk vizsgálatainkat végezni. Mivel jelen esetben a folytonosság nincsen biztosítva, így az elmozdulás-, illetve a feszültségmezőben egyaránt szakadás léphet fel, azaz a testek elválhatnak, vagy akár egymásba is hatolhatnak A büntetőparaméteres tagot tartalmazó energia funkcionál Az általunk alkalmazott Π, funkcionál Π, = A D A dv u ρ k dv u p da + + u {ρ(u)}da + u da, (2.9) ahol a szögletes zárójelben a potenciális energia szerepel, majd rendre követi a diszlokációs (szakadásos) potenciál és a büntetőparaméteres tag. A h az elem mérete, a γ a büntetőparaméter. A kapcsos zárójel az átlagot jelöli. Az elmozdulásmező szakadása u = u u. (2.10) A {ρ(u)} feszültségvektor Lagrange-féle multiplikátornak tekinthető, amelyet az érintkezési felületen háromféle módon értelmezhetünk. Egyik, mikor csak az 1-es jelű testen, másik, mikor csak a 2-es jelű testen vesszük figyelembe a feszültségtenzort. A harmadik esetben a feszültségvektor a két testen értelmezett feszültségtenzor átlagából adódik. {ρ(u)} = T (u ) n = n D A, (2.11) {ρ(u)} = T (u ) n = n D A, (2.12) {ρ(u)} = [T (u ) n T (u ) n ] = [n D A n D A ]. (2.13) Ezeknek képeznünk kell a variációját is tenzoros formában, {δρ(u)} = δt (u ) n = n D δa, (2.14) {δρ(u)} = δt (u ) n = n D δa, (2.15) {δρ(u)} = [δt (u ) n δt (u ) n ] = [n D δa n D δa ]. (2.16) 9

17 Az indexes jelölést alkalmazva az alakváltozási tenzor a következő formában írható fel, amely átírható az alábbi alakra is, A = u + u, (2.17) A = δ + δ u, (2.18) ahol δ a Kronecker szimbólum. Az alakváltozási tenzor, valamint annak variációja egy három indexes differenciáló operátorral az alábbi módon írható fel, A = u, δa = δu. (2.19) A derivált tenzor a jól ismert módon felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus tagra, δu = δa + δψ. (2.20) A Ψ forgató tenzor ferde szimmetriájából következően a feszültségi tenzorral kétszeresen megszorozva 0 skalárt ad, azaz δψ T = 0. (2.21) Ezt a tulajdonságot a levezetésnél felhasználjuk. A variálás elvégzése után a funkcionál elmozdulás szerinti variációja az alábbi módon írható fel, + δ Π, = 0 = δa D A dv δu ρ k e dv δu p da + ( δu {ρ(u)} + {δ ρ(u)} u )da + δu u da. (2.22) Figyelembe véve a feszültségtenzor és a forgató tenzor kétszeres skaláris szorzatának eredményét az alakváltozási energia variációjának átalakításából kapjuk, hogy δa D A dv = (δu ) T (u )dv = = = δu T (u ) δu (T (u ) )dv = δu T (u ) n da δu (T (u ) )dv = = δu T (u ) n da δu (T (u ) )dv. (2.23) Az adott elmozdulású peremen az elmozdulás variációja 0. Behelyettesítve kapjuk, hogy δ Π, = 0 = δu (T + ρ k e )dv + δu (T n p )da + + δu T (u ) n da + (δu δu ) {ρ(u)} + {δ ρ(u)} (u u )da + + (δu δu ) (u u )da. (2.24) 10

18 A korábbiak alapján három féle módon értelmeztük a kapcsolódó felületek között a feszültségvektort. Az első esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk, δ Π, = 0 = δu (T + ρ k e )dv + δu (T n p )da + + δu T n T n + D n I (u u ) da + + δu T n + T n + (u u ) da. (2.25) A második sorban láthatjuk, hogy az elmozdulás tetszőleges variációja mellett az elmozdulás folytonossága teljesül, legalábbis integrál értelemben. Az utolsó sorban lehet látni, hogy a feszültség folytonossága olyan mértékben teljesül, mint ahogy az elmozdulás folytonossága. A második esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk δ Π, = 0 = δu (T + ρ k e )dv + δu (T n p )da + + δu T n + T n (u u ) da + + δu T n T n + D n I (u u ) da. (2.26) Az utolsó sorban láthatjuk, hogy az elmozdulás tetszőleges variációja mellett az elmozdulás folytonossága teljesül, legalábbis integrál értelemben. A második sorban lehet látni, hogy a feszültség folytonossága olyan mértékben teljesül, mint ahogy az elmozdulás folytonossága. A harmadik esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk, hogy δ Π, = 0 = δu (T + ρ k e )dv + δu (T n p )da + + δu T n T n + T n + D n I (u u ) da + + δu T n T n + T n + D n I (u u ) da. (2.27) Átlagos feszültségvektor esetén a két alsó sorban a feszültségmező folytonossága akkor biztosítható, ha az elmozdulásmező is folytonos. A végeselemes diszkretizáció előtt a tenzoros írásmódról áttérünk a mátrixosra, így az alakváltozási- és feszültségi tenzorok helyett a funkcionált független elemekből felépített alakváltozási- és feszültségi oszlopmátrixokkal írjuk le. Az elmozdulásmező elemeiből képzett elmozdulásvektor oszlopmátrixa u u, r V, (2.28) az alakváltozási tenzormező elemeiből képzett alakváltozási vektor oszlopmátrixa A ε, r V, (2.29) A feszültségi tenzormező elemeiből képzett feszültségi vektor oszlopmátrixa T σ, r V, (2.30) 11

19 A feszültségvektor átlagából képzett átlagos feszültségi vektor oszlopmátrix Ilyen módon átírva a funkcionál Gumialkatrészek alakoptimalizálása {ρ(u)} {σ}, r A. (2.31) (δε ) σ dv (δu ) ρ k e dv (δu ) p da + + [ δu {σ} + {δσ} u ]da + δu u da = 0. (2.32) Végeselemes diszkretizáció Egy végeselemes háló nemfolytonos mezők esetén úgy néz ki, mint egy fugázott csempefelület. Egy közös geometriai ponthoz több elem csomópontjai tartoznak (2.2 ábra). 5 1 z r 2.2 ábra A végeselemes háló nemfolytonos esetben Az approximációs mátrixban a négycsomópontú izoparametrikus elem [78] alakfüggvényeit alkalmaztuk (2.3 ábra). z (-1,1) (1,1) (-1,-1) (1,-1) 2 1 r 2.3 ábra Négycsomópontú izoparametrikus elem N = (1 ξ) (1 η), N = (1 + ξ) (1 η), (2.33) N = 1 (1 + ξ) (1 + η), 4 N = 1 (1 ξ) (1 + η). 4 A geometriai leképzése r(ξ, η) = N (ξ, η) r, (2.34) z(ξ, η) = N (ξ, η) z. (2.35) 12

20 Tengelyszimmetrikus feladatnál a vízszintes és függőleges elmozdulásokat közelítjük. Az alakfüggvényeket szokás interpolációs függvényeknek is nevezni, hiszen sarokpontokbeli értékek alapján a belső pontokban a mezőt interpolálja. u(ξ, η) = N (ξ, η) u, (2.36) w(ξ, η) = N (ξ, η) w. (2.37) Az elmozdulásvektor és az elmozdulásvektor variációjának közelítése u = N q, (2.38) δu = N δq, (2.39) ahol N az approximációs mátrix, q a csomóponti elmozdulásvektor. Az alakváltozást az elmozdulásmező deriváltjaként állítjuk elő ε = u = B q, (2.40) ahol B az alakváltozási elmozdulás mátrix az e-dik elem vonatkozásában. A feladatunkat hengerkoordináta-rendszerben vizsgáljuk, így a mátrixok kirészletezve az alábbi módon írhatók fel 0 = ε ε ε = 0 ε = γ = u 0 v = 0 A globális koordináta-rendszerbeli deriváltak kifejezhetők a lokálisbeliekkel, 0 u v u v 0 u = B q. (2.41) v u v = + + = = J. (2.42) A Jacobi-mátrix közvetlenül előállítható, abból pedig integrálással az itt szereplő mátrix is. A feszültséget a Hooke-törvényből számítjuk a jól ismert módon σ = D B q, (2.43) 13

21 amelyben az anyagállandók mátrixa az alábbi módon írható le Gumialkatrészek alakoptimalizálása D = () ()() (). (2.44) Az elemek között az elmozdulás szakadása és a szakadás variációja u = u u = [ N δu = δu δu = [δq N ] q q, (2.45) δq ] N. (2.46) N A merevségi mátrix a hagyományos elemekre a szokásos módon írható fel K = B DBbdrdz = B DBbdetJdξdη. (2.47) A térfogati terhelés tehervektora f = N ρkdv, (2.48) A felületi terhelés tehervektora f = N pda. (2.49) Tengelyszimmetrikus feladat esetén a peremen ható terhelés és az ívelem a 2.4 ábrán látható. z ds p z p r ds dz dr r 2.4 ábra Az ívelem és a peremen ható terhelés Az ívelem ds = ((dr) + (dz) ), (2.50) ahol dr = dξ, dz = dξ, (2.51) 14

22 így (2.51)-et behelyettesítve (2.50)-be kapjuk A p felületen megoszló terhelés munkája ahol a b = 2πr és ds = + dξ = detjdξ. (2.52) u pbds = q N (ξ, η = 1)p (ξ)bdetj dξ, (2.53) p (ξ) = p p. (2.54) A kapcsolódó felületen értelmezett integrálokból származtatható a merevségi mátrixok előállítása, amelyből csak az egyiket részletezzük, hiszen a másik ennek transzponáltját szolgáltatja. Ehhez szükség van néhány mennyiség részletezésére. Az egyszerűség és a jobb áttekinthetőség kedvéért kételemes hálófelosztáson mutatjuk be az egyenletrendszer összeállítását. A ρ feszültségvektor átírása a végeselemes feszültségi oszlopvektor segítségével σ 0 τ n σ n + τ n ρ = T n 0 σ 0 0 = 0 n 0 0 n τ 0 σ n 0 n τ n + σ n 0 n σ σ σ τ = A σ. (2.55) A számítások azt igazolták, hogy abban az esetben, amikor a két testen értelmezett feszültségtenzor átlagából adódik a feszültségvektor, akkor kapjuk a legjobb eredményt, ezért ezen esetet részletezzük. A feszültségvektor végeselemes megfogalmazásban a kapcsolódó felületen az alábbi módon számítható {σ} = (σ + σ ) = D B q + D B q. (2.56) A feszültségek átlaga, ebből a normális irányba eső feszültségi vektor felhasználva (2.56)-ot {σ} = A {σ} = A D B A D B q q. (2.57) Az 1-es testből kifelé mutató normálist választottuk közös normálisnak. Ezért fordul meg a negatív előjel. A feszültségek átlagának variációja {δσ} = [δq δq ] A D B A D. (2.58) B 15

23 Behelyettesítve a (2.32) variációs alakba az itt bevezetett mennyiségeket az integrálások elvégzése után a következő mátrixos formulát kapjuk, δq K q + δq f + δq f + [δq δq ] C C C q C q + +[δq δq ] K K K q K q + [δq δq ] (K ) (K ) (K ) (K q ) q = 0, (2.59) ahol a C büntetőparaméteres tagból származó mátrix C C N N C C = N N N N N N da, (2.60) a K mátrix a szakadásos tagból származik K K K = N A D B N A D B N A D B da. (2.61) N A D B K Végül összeépítve a két testből álló mátrixokat, az érintkezési feladatoknál megszokott alakot kapjuk K + C + K + (K ) C + K + (K ) C + K + (K ) K + C + K + (K ) q q [δq δq ] f = 0. (2.62) + f f + f A kinematikai peremfeltételek figyelembevétele után, az elmozdulások tetszőleges variációjából következik, hogy a csomóponti elmozdulások az alábbi egyenletrendszer megoldásából adódnak K + C + K + (K ) C + K + (K ) C + K + (K ) K + C + K + (K q ) q = f + f f. (2.63) + f Az egyenletrendszer megoldása után a feszültségeket a Hooke-törvényből számoljuk. Erre a képletsorra 3 végeselemes célprogram készült a kapcsolódó felületen értelmezett 3 különböző feszültségi vektor alapján. 16

24 2.3. Folytonos variációs elv alkalmazása A folytonos variációs elv alkalmazásakor (hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló módszer) az energia funkcionál csak a potenciális energiát tartalmazza. Ennek részletes tárgyalásmódjára nem térünk ki, mivel azt [75,77,78] részletesen tárgyalja Az energia funkcionál Az általunk alkalmazott Π funkcionál Π = A D A dv u ρ k dv u p da (2.64) alakban írható fel. Láthatjuk, hogy a nemfolytonos esethez képest a funkcionál nem tartalmazza a diszlokációs potenciált és a büntetőparaméteres tagot Végeselemes diszkretizáció A végeselemes háló folytonos esetben a hagyományos módon értelmezhető (2.5 ábra). 4 1 z r 2.5 ábra A végeselemes háló folytonos esetben Az approximációs mátrixban ismét a négycsomópontú izoparametrikus elem alakfüggvényeit alkalmaztuk. A célszerűség azt diktálja, hogy az 1-es és 2-es testen lévő ismeretleneket partícionáljuk oly módon, hogy külön választjuk a kapcsolódó felületre jutó csomópontokat a többi csomóponttól. Ennek megfelelően q = q q, q = q q, (2.65) ahol c jelöli a kapcsolódó felületre jutó csomópontokat, a b pedig a többi csomópontot. Nyilvánvaló, hogy a kapcsolódó felületen a csomóponti elmozdulások megegyeznek és azok variációja is q = q = q (2.66) δq = δq = δq. (2.67) 17

25 Az 1-es test merevségi mátrixa K = K K K K, (2.68) amíg a 2-es test merevségi mátrixa K = K K K K. (2.69) A csomóponti terhelésvektor az 1-es testen f = f, (2.70) f amíg a 2-es testen f = f. (2.71) Az energia variációja és a diszkretizálás után összeépítve a két testből álló mátrixokat az alábbi összefüggést kapjuk f [δq δq δq ] K K 0 K K + K K 0 K K q q q f f + f = 0. (2.72) f A kinematikai peremfeltételek figyelembevétele után, az elmozdulások tetszőleges variációjából következik, hogy a csomóponti elmozdulások az alábbi egyenletrendszer megoldásából adódnak K K 0 K K + K K 0 K K q q q f = f + f. (2.73) f Az egyenletrendszer megoldása után a feszültségeket a Hooke-törvényből számoljuk. Erre a képletsorra is készült végeselemes program. 18

26 2.4. Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos és folytonos esetre Gumialkatrészek alakoptimalizálása Az első feladatban egytengelyű feszültségi állapotot, a másodikban pedig nem egytengelyű feszültségi állapotot vizsgálunk rugalmas anyagjellemzőkkel (2.6 ábra), valamint gumihoz hasonló tulajdonságokkal. Az r tengely mentén görgős megtámasztást feltételezünk. A geometriai méretek, a megtámasztás és az anyagjellemzők mindkét példánál azonosak (2.1 táblázat). 2.1 táblázat Adattábla Rugalmassági modulusz (E) 20MPa Poisson-tényező (ν) 0,49 Felületen megoszló terhelés (p) 5MPa Az alkatrész átmérője (D) 20mm Az alkatrész magassága (h) 10mm z p z p D h r D/2 D h r 2.6 ábra Egytengelyű és nem egytengelyű feszültségi állapot Egytengelyű feszültségi állapot A 2.7 ábrán látható, hogy ha a funkcionál tartalmazza a diszlokációs energiát is, akkor sokkal kisebb pozitív nem zérus büntetőparaméter mellett is folytonos megoldást kapunk. Ha a diszlokációs energia nélkül, kizárólag a büntetőparaméteres taggal együtt írjuk fel a funkcionált, akkor jóval nagyobb büntetőparaméter mellett is szakadás lép fel, az elemek egymásba hatolnak. a) b) 2.7 ábra Az elmozdulásmező a) γ = E 5 10 A funkcionál tartalmazza a diszlokációs potenciált b) γ = E 1 A funkcionál nem tartalmazza a diszlokációs potenciált 19

27 Nem egytengelyű feszültségi állapot A 2.8 ábrán a hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló eredményt és a szakadásos mező módszerét alkalmazó eljárás eredménye látható alkalmasan megválasztott büntetőparaméter esetén. A két megoldás gyakorlatilag teljesen megegyezik. Ez azt mutatja, hogy a bemutatott eljárás alkalmas rugalmas peremérték feladatok vizsgálatára. a) b) 2.8 ábra Az elmozdulásmező a) Hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló módszer b) Szakadásos mezők módszere Azonos γ érték mellett a diszlokációs energiát is magába foglaló funkcionál lényegesen kedvezőbb eredményt szolgáltat, mint a tiszta büntetőparaméteres módszer (2.9 ábra). a) b) 2.9 ábra Az elmozdulásmező a) Hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló potenciál b) γ = E 1 Szakadásos mezők módszere Összességében elmondható, hogy büntetőparaméter alkalmazása nélkül a program nem futtatható, mert nem definit a mátrix, továbbá a diszlokációs energia figyelembevételével egytengelyű feszültségállapot esetén tetszőlegesen kis pozitív büntetőparaméter mellett is jó (folytonos) megoldást kapunk az elmozdulásmezőre. Nem egytengelyű feszültségállapot esetén a büntetőparaméter egy-két nagyságrenddel nagyobb kell, hogy legyen, mint a rugalmassági modulusz ahhoz, hogy kielégítően pontos megoldást kapjunk A megoldás stabilitásának numerikus vizsgálata nemfolytonos esetben A megoldás stabilitásának biztosítására az energia funkcionál tartalmazza a büntetőparaméteres tagot is. Az i a Gauss-pontokban vizsgált értékekre utal. A maximális elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibája u (max) = max u (i) u (i), (2.74) u (max) = max u (i) u (i). (2.75) 20

28 A közepes elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibája u (közép) = ( ) (2.76) u (közép) = ( ) (2.77) A különböző interfész feszültségek és különböző felosztások esetén a következő táblázat tartalmazza azon büntetőparamétereket, melyeknél az együttható mátrix pozitív definitté válik, ahol λ az együttható mátrix sajátértéke. 2.2 táblázat A büntetőparaméter értéke a három interfész feszültség esetre I. eset II. eset III. eset Hálósűrűség γ (λ > 0) 2x2 E*92 E*67 E*49 4x4 E*100 E*72 E*53 8x8 E*102 E*76 E* ábra A büntetőparaméter értéke a három interfész feszültség esetre A maximális és közepes elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibáját a következő táblázat tartalmazza. 2.3 táblázat A hibák mértéke a büntetőparaméter hatására I. eset II. eset III. eset γ=e*1 γ=e*200 γ=e*1 γ=e*150 γ=e*1 γ=e*100 u (max) x2 u (max) u (közép) u (közép) u (max) x4 u (max) u (közép) u (közép) u (max) x8 u (max) u (közép) u (közép)

29 2.11 ábra A hibák mértéke az I. esetben a büntetőparaméter hatására 2.12 ábra A hibák mértéke az II. esetben a büntetőparaméter hatására 2.13 ábra A hibák mértéke az III. esetben a büntetőparaméter hatására Ugyan a módszer stabilitása növelhető a büntetőparaméter növelésével, de a kondíciószám (a mátrix legnagyobb- és legkisebb sajátértékének a hányadosa) növekszik, amely a megoldás pontatlanságát eredményezheti nagy ismeretlenszám esetén. 22

30 2.4 táblázat A kondíciószám változása I. eset γ=e*0 γ=e*50 γ=e*102 γ=e*200 2x x x II. eset γ=e*0 γ=e*35 γ=e*76 γ=e*150 2x x x III. eset γ=e*0 γ=e*25 γ=e*54 γ=e*100 2x x x Az átemelő operátorral módosított nemfolytonos variációs elv alkalmazása A nemfolytonos Galjorkin-módszer irodalomban megjelenik az átemelő (lifting) operátor definíciója [16]. Értelmezése, a térfogaton vett feszültséget átemeli a kapcsolódó felületre. Az átemelő operátornak két változata ismert: lokális és globális. A mi esetünkben a lokálist használjuk, hiszen ez kevésbé számításigényes és implementáljuk a szakadásos mezők módszerébe. Numerikus megvalósítás szempontjából a globális átemelő operátor esetén a feladat méretével megegyező együttható mátrixokat szükséges invertálni, míg a lokális esetben két szomszédos elem méretének megfelelő együttható mátrixot. Mivel az elemek nincsenek a priori illesztve, az illesztést és a folytonossági követelményeket büntetőparaméteresen oldhatjuk meg, vagy az átemelő operátor segítségével. Az operátor alkalmazásával azt várjuk, hogy a feladat, a büntetőparaméteres technikától stabilabb megoldást eredményez. Mostani vizsgálatunkban a III. eset szerint végezzük a számításokat Az átemelő operátor alkalmazása Az átemelő operátort tartalmazó tagot a büntetőparaméteres tag helyett alkalmazzuk a funkcionálban, így Π, = A D A dv u ρ k dv u p da + + u {ρ(u)}da + [r ( u )] dv, (2.78) ahol γ az átemelő operátor paramétere. A matematikusok [6,105] az alábbi összefüggésben adják meg az operátort r( u )τdx = u {τ} da. (2.79) 23