Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. SODRATSZERKEZET VIZSGÁLATA p-verziós VÉGESELEM MÓDSZERREL

Átírás

1 Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR SODRATSZERKEZET VIZSGÁLATA p-verziós VÉGESELEM MÓDSZERREL Ph.D. értekezés KÉSZÍTETTE: Beleznai Róbert okleveles gépészmérnök SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA GÉPÉSZETI ALAPTUDOMÁNYOK TÉMATERÜLET SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA TÉMACSOPORT DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: Dr. Tisza Miklós a Műszaki Tudomány Doktora TÉMACSOPORT VEZETŐ: Dr. Kozák Imre az MTA rendes tagja TÉMAVEZETŐ: Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja TÁRS-TÉMAVEZETŐ: Dr. Tóth László a Műszaki Tudomány Doktora Miskolc,.

2

3 Beleznai Róbert SODRATSZERKEZET VIZSGÁLATA p-verziós VÉGESELEM MÓDSZERREL Doktori (Ph.D.) értekezés Miskolc,.

4 Tartalomjegyzék. BEVEZETÉS.... Rövid történeti áttekintés Irodalmi áttekintés Célkitűzések.... P-VERZIÓS VÉGESELEMES MODELL KIDOLGOZÁSA Geometriai leírás {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} Alakváltozások, belső erők és nyomatékok (Igénybevételek) {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} Az elmozdulás mezők közelítése {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} Az eredő erők és nyomatékok meghatározása {},{},{4},{5},{8},{9}....5 Kontaktfeltételek leírása {},{},{4},{5},{8},{9} Kontaktelem az első és a második réteg között {},{},{4},{5},{8},{9} Kontaktelem a maghuzal és az első réteg között {},{},{4},{5},{8},{9} A végeselemes modell további jellemzői, {},{},{4},{5},{8} A RÚDELEM PONTOSSÁGA NÉHÁNY FELADAT MEGOLDÁSÁNÁL Síkfeladat, kör keresztmetszetű gyűrű Térbeli szerkezet, spirális huzalban ébredő igénybevételek meghatározása különböző terhelési esetekben KÉTRÉTEGŰ SODRAT VIZSGÁLATA Egyszerűsített sodratszerkezet nem elforduló véggel, Egyszerűsített sodratszerkezet szabadon elforduló véggel, z szerkezetű sodrat vizsgálata Rögzített végű sodrat húzása Szabadvégű sodrat húzása Rögzített végű sodrat hajlítása A KIDOLGOZOTT MODELL VALIDÁLÁSA TERVEZÉSI GÖRBÉK ELŐÁLLÍTÁSA Rögzített végű sodrat, {},{5},{8} Szabadvégű sodrat KOPÁSI JELENSÉG VIZSGÁLATA z ii

5 7. Keresztező huzalok kopásának számítása A KUTATÁSI EREDMÉNYEK ALKALMAZÁSA ÖSSZEFOGLALÁS.... ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA.... TOVÁBBFEJLESZTÉSI IRÁNYOK, LEHETŐSÉGEK... SUMMARY... 3 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS... 4 A. függelék: Pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixának elemei... B. függelék: Térbeli spirális huzal rögzített és szabadvégű terhelési eseteire végzett konvergencia igazoló számítások eredményei... 5 B. Rögzített végű sodrat... 5 B.. F z =- N terhelés... 5 B.. Fx= N terhelés... B. Szabadvégű sodrat... B.. Normál irányú megoszló erő ( p.5 N / mm) terhelés... B.. Normál irányú megoszló nyomaték ( 5 Nmm / mm ) terhelés... 4 B..3 z-irányú megoszló erő ( p.5 N / mm) terhelés... 6 z C. függelék: Az input adatok definíciója... 8 D. függelék: Numerikus számítások eredményei... 3 D. +6+ szerkezetű sodrat Jiang példája alapján [3]... 3 D. Rögzített végű sodrat... 3 D. Szabadon elforduló végű sodrat E. függelék: Publikációk az értekezés témájában... 4 HIVATKOZÁSOK... 4 iii

6 Témavezető ajánlása Beleznai Róbert Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel című Ph.D. értekezéséhez A mindennapos mérnöki gyakorlat megköveteli, hogy a bonyolult felépítésű szerkezetek mechanikai viselkedéséről minél jobb modellek álljanak rendelkezésre. A sodratszerkezetek is ezek közé tartoznak. Számos munka foglalkozik ezek elméleti, numerikus és kísérleti vizsgálatával. Az értekezés a modellezés azon útját választja, amikor is a sodratot alkotó szálakat görberúd elmélettel írja le és a szálak közötti érintkezési kölcsönhatást a helyi jelleg miatt a jól ismert Hertz elmélet segítségével. Mivel a szálak között súrlódás is van, súrlódásos kontaktot kell megoldani. A megbízható eredményekhez a kontaktnyomás (erő) pontos ismerete szükséges. E miatt, egyrészt a görberudak nagypontosságú leírására van szükség, másrészt az érintkezési nemlineáris hatást megbízhatóan le kell tudni kezelni. A görberudak- nyírási energia elhanyagolása mellett - a Love elmélettel írhatók le, a végeselemes közelítésnél a p-verziójú lehetőséggel él a disszertáció. A geometria leírása pontos, a közelített mezőknél a merevtestszerű mozgásból alakváltozások nem származnak, az elmozdulás mezők és az érintőirányú szögelfordulás (csavarodás) közelítése pótlólagos állandók felvételével az elemszámot nem növelve, kényelmesen pontosíthatók. E munka során ezzel kapcsolatban egy teljesen új modell került kiépítésre. A másik jelentős eredmény a nemlineáris kontakthatást kezelő iterációs algoritmus megalkotása, a konvergenciát adó linearizált rugó használatának lehetősége. Ezekkel a jelölt a görberudak végeselemes tárgyalásához, az érintkezési problémák megoldásához tudott eredményeivel nem kis mértékben hozzájárulni. A munkájának fontos része továbbá a paramétervizsgálathoz szükséges számítógépi program megalkotása, az adatok grafikus felületen történő megadásának lehetősége, az adatok birtokában az elemek kiosztásának automatizálása. (A sodratszerkezet végeselemes modellje három fajta elemmel működik: görberudak, a mag és az első szál közötti érintkezési elemek, a belső és külső réteg közötti érintkezési rugó elemek). Végezetül a paramétervizsgálatok és a kopási számítások fontos információt adnak a tervezőknek a sodrat jövőbeli viselkedését illetően. Az értekezéshez kapcsolódóan Beleznai Róbert nagy szorgalommal, energiával és körültekintéssel végezte munkáját. Eredményeiről rendszeresen beszámolt különböző hazai és nemzetközi fórumokon eleget téve a Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori iv

7 Iskola publikációs követelményeinek. Elvégzett számításai, azok bemutatása a kidolgozott elvek helyességét bizonyítják, meggyőzően alátámasztják. Az értekezés gondos munkát tükröz, szövegezése jól érthető, ábrái a mondanivalójának megértését nagyban elősegítik, tézisei a PhD cím elnyeréséhez szükséges kívánalmakat messzemenően kielégítik. Miskolc,.. 3. Dr. Páczelt István akadémikus Dr. Tóth László a műszaki tudomány doktora v

8 Előszó Az értekezés témája egy különlegesnek mondható szerkezet elemzésére épül, ami nem más, mint az acélsodratok. Ezek a szerkezetek jelen vannak a mindennapjainkban, otthon a háztartásban, a közlekedésben és az ipari alkalmazásokban. Gondoljuk végig, mennyi helyen találkozhatunk velük kerti gépek (fűnyíró, kerti traktor bowdenje), kondicionáló gépek mozgató elemei, a közlekedésben szinte valamennyi járműben (autók, motorkerékpárok, hajók, stb.), villamos vezetékek, hidak tartókötelei, magas szerkezetek pányvázó kötelei, kötélpályák és felvonók kötelei, daruszerkezetek emelőkötelei, de alkalmazzák erősítő elemnek gumiipari szerkezetekben (olajtömlő), vagy pusztán dekorációs és biztonságtechnikai elemként (korlátok). A szerkezet nem egy új keletű dolog, már évezredes múlttal rendelkezik, igaz akkor még nem acélból készült. Először majd két száz éve jelent meg az első acélsodrat, majd rohamos fejlődésnek indult mind a gyártástechnológia fejlesztése, mind a kölönböző szerkezeti kialakítások fejlődése, akárcsak az elterjedése. Ennek a gyors és széleskörű elterjedésnek az alapját a szerkezethez kapcsolódó méretezési és számítási eljárások teremtették még. Elterjedése, ahhoz köthető, hogy kiváltott más szerkezeti elemeket, a munkát (pl. szállítás) sokkal hatékonyabbá tette. Egyrészt biztonsági (szilárdsági követelmények), másrészt gazdasági szempontok ösztönözték a sodratok és drótkötelek méretezési eljárásainak fejlesztését. Kezdetben kísérleti mérésekkel, majd különféle analitikus modellekkel igyekeztek olyan sodratokat előállítani, amelyek mind jobban megfeleljenek az egyre növekvő igényeknek. Néhány évtizeddel ezelőtt pedig megjelentek a numerikus módszerek (pl. végeselem módszer), mely újabb lökést adott a fejlesztésnek. Az értekezés ezen a vonalon halad tovább és igyekszik korszerű módszert adni a sodratszerkezetek elemzésére, ami megkönnyíti a sodartok fejlesztési munkáját. A bevezetés után áttekintést ad a sodratok történeti fejlődéséről, majd összefoglalóan tárgyalja az adott területre vonatkozó technika állását. Ezt követően bemutatásra kerül egy új típusú, p-verziós végeselemes modell kidolgozása, melyet később a sodratok analízisére fogunk használni. A kidolgozott modell megfelelőségének és pontosságának bizonyítására különböző feladatok megoldását mutatjuk be nagy hangsúlyt fektetve az eredmények konvergenciájára. Az értekezés negyedik fejezetében kétrétegű sodratszerkezetek vizsgálatát tárgyaljuk rögzített és szabadvégű megfogással, húzó és hajlító igénybevétel esetén. Ezt követően irodalomból vett példák megoldásával igazoljuk a kidolgozott modell alkalmazhatóságát és megfelelőségét. A disszertáció hatodik fejezete újszerűnek mondható, 3D-s tervezési görbéket tartalmaz rögzített és szabadvégű sodratokra vonatkozóan. Ezek egyszerre több paraméter hatását figyelembevéve nyújtanak segítséget a sodrattervezés során. Végül pedig, de nem utolsó sorban a sodratok keresztező huzaljai között fellépő kopás jelenségét elemezzük, hogy adott paraméterek (kontakt nyomás, relatív elmozdulás) mellett, hogyan változik a kopási karc mélysége az üzemelési ciklusszám függvényében. Az értekezés különböző fejezeteiben bemutatott eredményekhez nagyszámú számítás elvégzésére került sor, ehhez kapcsolódóan a Függelék tartalmaz további diagramokat és táblázatokat. vi

9 Alkalmazott jelölések = a hengerkoordináta-rendszer szöge R = a hengerfelület sugara H = a huzal menetemelkedése t = az érintő irányú egységvektor b = a binormális irányú egységvektor n = a normális irányú egységvektor = a menetemelkedési szög = a görbület = az egységnyi hosszra eső elcsavarodás L = a Lame-állandó F z = a tengelyirányú erő M z = a csavaró nyomaték K,K,K,K = a merevségi mátrix elemei T = a transzformációs mátrix I,I = a keresztmetszet -es és -es tengelyére számított másodrendű nyomatéka A = a keresztmetszet I p = a poláris másodrendű nyomaték E = a Young-féle rugalmassági modulus G = a csúsztató rugalmassági modulus Φ( ), Φ ( ) = az approximációs mátrixok a = az elmozdulás paraméterek vektora â = a pótlólagos állandók vektora B q, B a = az alakváltozásokhoz szükséges approximációs mátrixok u,u,u x y z ( u,u,u) 3 = az elmozdulás koordináták a globál- (lokál) koordinátarendszerben x, y, z (,, 3 ) = a szögelfordulás koordináták a globál- (lokál) koordinátarendszerben u u / z zz z = tengelyirányú nyúlás / zz z z = egységnyi hosszra eső szögelfordulás vii

10 . BEVEZETÉS A műszaki gyakorlatban számos helyen használnak fel különböző tulajdonságot mutató, terhet viselő sodratszerkezeteket. A sodratok elemi szálakból, huzalokból sodort gépelemek, melyek anyaga lehet kender, műanyag, illetve fém, ami leggyakrabban acél vagy alumínium. A sodratokat tovább sodorva drótkötelet, ezt tovább sodorva kábelt kapunk. A drótkötelek magja lehet rost vagy műanyag, nagy teherbírású kötél esetén fémsodrat. A nagyfeszültségű távvezetékek esetén például acél magsodratra sodornak több rétegben alumínium huzalokat. A sodratok jellemzője a nagy tengelyirányú szilárdság mellett a kiváló hajlékonyság, az alacsony csavaró és hajlító merevség. Ilyen sodratok kerülnek alkalmazásra a felvonóknál, a szállítóberendezéseknél, a teheremelő daruknál, a villamos távvezetékeknél, közlekedési eszközökben (autók, motorok, stb.), illetve erősítő elemként beépítésre kerülnek nagynyomású olajipari tömlőkbe (. ábra).. ábra: Sodratok ipari alkalmazása Az acélsodratok gyártására vonatkozó szabványok előírásai mind hazai, mind nemzetközi viszonylatban olyan tevékenység intervallumokat adnak meg a gyártás során részben a felhasználásra kerülő huzalok méreteire vonatkozóan, részben a menetemelkedés tekintetében, melyek ugyanazon típusú és névleges méretű acélsodratnál valójában igen eltérő, végső paraméterekkel rendelkező acélsodrat termékeket eredményeznek. Így előfordulhat, hogy ugyanazon gyártási megrendelésre a gyártó a vevő felé eltérő műszaki paraméterekkel rendelkező sodratokat szállít. Ez a felhasználások bizonyos részében nem okoz gondot - pl. az általános rendeltetésű acélsodratoknál - míg más részénél - mint pl. gumiipari acélsodratok - súlyos gondok adódhatnak az alkalmazásnál. A fentiek alapján szükséges tehát, hogy bizonyos acélsodrat termék csoportoknál olyan sodratgeometriával rendelkező termékek kerüljenek kifejlesztésre és legyártásra, melyek a felhasználói igényekhez jobban igazodnak, azaz olyan (optimális) sodrási paraméterekkel rendelkeznek (huzalátmérő, menetemelkedési szög), melyek az adott célra a legjobb végső műszaki paramétereket eredményezik az acélsodratnál.

11 Alapfogalmak a drótkötelekkel kapcsolatban A drótkötél felépítése [] Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A fogalmak mellé szemléletes segítséget nyújt az. ábra. Acélhuzal: Hőkezelt és hideghúzással megfelelő méretre alakított, belső és felületi hibáktól mentes acélhuzal. Sodrat (Pászma): Egyirányú, szabályos elrendezésű, egyszer sodrott huzalnyaláb, amelyben a huzalok egy vagy több rétegben koncentrikusan helyezkednek el, szűkebb értelemben, a kötélben a középen lévő betét (mag) köré sodort huzalok. Betét Kötélbetét: a drótkötél közepén elhelyezkedő szerkezeti elem, amely lehet sodrat, vagy önálló kötél. Anyagát tekintve lehet fémes vagy nemfémes anyag. Sodratbetét: A sodrat közepén elhelyezkedő szerkezeti elem (mag) általában acélhuzal, de lehet nemfémes anyag is. Drótkötél: Több acélhuzalból, egyenlő vagy különböző átmérőjű huzalokból sodrott fonatoknak (sodratoknak) egy központi betét köré sodrott fonata.. ábra: Drótkötél felépítése [] A sodratok, illetve kötelek viselkedését befolyásoló tényezők []: A maghuzal (magsodrat) típusa Az anyagminőség A huzalok (sodratok) száma és elrendezése a sodratban (kötélben) A sodrat (kötél) típusának további jellemzői A sodrás iránya A menetemelkedés nagysága A kötél sodrásának módja

12 Az anyagminőség befolyásoló szerepe A beépítésre kerülő huzalok anyaga szerint, lehet Horganyzott acélhuzal Sárgarezezett acélhuzal Al-huzal nagyfeszültségű vezetékekhez A huzalok elrendezése szerint többfajta csoportosítás lehetséges. A huzalok (kötelek) sodrási iránya szerint [] lehet: jobb sodrású bal sodrású A kötelek sodrásszerkezete szerint: egyszer sodrott kötelek: egy központi maghuzal köré egy (3. ábra), vagy több (4. ábra) réteg huzal van sodorva. Több réteg esetében váltakozó irányú a sodrás és a külső réteg a meghatározó kétszer sodrott kötelek: egy központi betét köré egy, vagy több réteg egyszer sodrott pászma van sodorva (5. ábra) háromszor sodrott kötél: egy központi betét köré kétszersodrott kötelet sodornak 3. ábra Egyrétegű, egyszer sodrott pászma 4. ábra Többrétegű, egyszer sodrott pászma 3

13 Jobb keresztsodrás Bal keresztsodrás Jobb hosszsodrás Bal hosszsodrás 5. ábra : Kétszer sodrott kötelek A külső rétegben elhelyezkedő huzalok szerkezete szerint [3] a. Egyrétegű (6. ábra) 6. ábra: +6 huzalos sodrat b. Többrétegű Az érintkezés típusa szerint: Pontérintkezésű sodratok: a sodratok egyes rétegei mind más-más menetemelkedésűek, így a sodraton belül az egyes rétegek huzaljai pontszerűen érintik egymást (7. ábra). A pontszerű érintkezés a terhelés hatására egyrészt nyírást ébreszt, másrészt a pontszerű érintkezési helyeken másodlagos (hajlító) igénybevételek ébrednek. 4

14 7. ábra: Pontszerű érintkezésű sodrat Vonalérintkezésű sodratok: Ezekben a sodratokban a huzalok teljes hosszukban, palástjuk egy vonala mentén fekszenek fel egymáson, mindezt azonban csak különböző átmérőjű huzalok egyidejű alkalmazásával lehet elérni (8. ábra). A huzalok elrendezése alapján különböző sodratszerkezetek kerültek forgalomba, melyekről rövid áttekintetést a 9. ábra nyújt. 8. ábra: Vonalérintkezésű sodrat Vonalérintkezésű sodratok jellemző típusai Seale típusú sodrat Warrington típusú sodrat Töltőhuzalos kivitelű sodrat Warrington-Seale típusú sodrat 9. ábra: Vonalérintkezésű sodratok típusai 5

15 Vegyes érintkezésű sodratok Az előzőkben felsorolt sodrat típusok kombinációjából képezhető szerkezet (. ábra).. ábra: Vegyes érintkezésű sodrat Mint látható, a sodratok szerkezete igen sokfajta lehet. Egy-egy alkalmazáshoz a legmegfelelőbb sodrat kiválasztása vagy megtervezése a sodratparaméterek mechanikai viselkedésre való hatásának ismeretét követeli meg. Sodratok analitikus modellezésével, különböző elméletekre támaszkodva (Love görbült rudak elmélete, ortotróp lemezelmélet, stb.) már többen is foglalkoztak. Az egészen egyszerű szerkezettől a bonyolult kötél szerkezetig szinte minden sodratra dolgoztak ki különböző modelleket. Ezek a globális viszonyokat, teherbírást és igénybevételeket többékevésbé jól leírják, azonban a nemlineáris hatások (kontakt deformáció, súrlódás, kopás, stb.) figyelembevétele rendkívűl bonyolult összefüggéseket eredményez, és minden hatást nem is lehet leírni zárt formulákkal. A kereskedelemben kapható h-verziós végeselemes szoftverek már több kutató által is alkalmazásra kerültek sodratszerkezetek analízisében (irodalmi hivatkozásokat lásd az. fejezetben), amikor is különféle szerkezetű sodrat típusok mechanikai elemzését végezték el. A megfelelően precíz modell felépítése egy adott szerkezetre több tényezőtől is függ: az egyik a szerkezetek geometriai leírása, a másik a különféle lineáris és nemlineáris hatások figyelembevétele. A modellfelépítést az is nehezíti, hogy egy egyszerű szerkezet esetében is nagy elemszámra van szükség, ami nagy számítógépi erőforrást és hosszú számítási időt igényel. A minél pontosabb modell azért szükséges, mert a sodratok mechanikai viselkedésének ismerete már a tervezés fázisában döntő szerepet kap. A szilárdsági paraméterek meghatározása mellett, a kopási tulajdonságok, illetve élettartam jellemzők ismerete is fontos tényezőként jelenik meg a fejlesztés alatt lévő sodrat tervezésében. Az irodalomban található analitikus és végeselemes modellekről átfogó és részletes képet az. fejezet ad. Jelen értekezésben a p-verziós végeselem módszerre alapozott modell és szoftver fejlesztéséről számolunk be egyszerű, egyenes, kétrétegű sodratszerkezet esetében, amelyben a huzalok közötti relatív elmozdulás, Poisson-féle hatás, érintkezés és súrlódás figyelembe van véve, továbbá a szerkezetet terhelő igénybevételek (húzás, hajlítás, csavarás) tetszőlegesek, a számítások során pedig lineárisan rugalmas anyagtörvényt alkalmazunk. Az új szoftver segítségével viszonylag rövid idő alatt, nagyobb számítógépi kapacitás nélkül végezhetőek el a számítások. Az értekezés tartalmazza a sodratparaméterek érzékenység vizsgálatához elvégzett nagyszámú számításnak az eredményét. Ez alapján tervezési görbék kidolgozására került sor, melyek a sodrat kiválasztást, illetve a tervezést segíthetik. A károsodási módszerek közül a huzalok kopását 6

16 vizsgáljuk. Végeselemes modell és az Archard kopási-egyenlet segítségével meghatározható a kopási mélység nagysága a relatív elmozdulás, a kontakterő és a ciklusszám függvényében.. Rövid történeti áttekintés A szálas anyagok sodrása évezredes múltra tekint vissza. Rostszálakból sodort kötelet már nagyon régóta használnak az iparban, a mezőgazdaságban és a hajózásban egyaránt. A Pompeji ásatások alkalmával talált kötél lehet az első fémből készült drótkötél. Ez egy 4,5 m hosszú, három sodratból álló bronzkötél, amelynek sodratait 9 darab,,7 mm átmérőjű huzal alkotja []. Szerkezeti elemként i.e. 7-ban, Babilonban is használtak az emberek rézből készült kötelet [4]. Ez azonban igen egyszerű szerkezetű volt, hiszen mindössze 3 huzalból állt. A kutatások alapján a középkorban is készítettek fémből készült köteleket, erre bizonyíték Leonardo da Vinci rajza []. Ténylegesen először 836-ban Németországban, a Harz-hegységben található bányákban alkalmaztak acélból készült kábeleket [5]-[6]. A bányák növekvő mélysége és a gyakori kötélszakadások késztették Albert bányafőtanácsost (ő publikálta az első kifáradással foglalkozó cikket 837-ben), hogy új, biztonságos kötelet tervezzen. Az első köteleket még kézzel sodorták nehéz fizikai munkával, így ez nem volt termelékeny. Három kovácsoltvas huzalból sodortak pászmát kézzel, majd 3-4 ilyen pászmát sodortak tovább kötélnek. A kötél nem tartalmazott magot, ami támaszthatta volna a sodratokat, és a huzalok is nagyok és merevek voltak, így a kötél nem volt elég hajlékony, azonban ennek ellenére is jobbnak bizonyult, mint a lánc vagy kenderkötél [6]. Később kifejlesztették az első sodrógépet, amely nagyban megnövelte a termelékenységet, és ezzel az acélból készült kötelek felhasznált mennyiségét. Németországból kiindulva, először Angliában indult be a kötélgyártás, majd később az USA-ban. Az ottani bányászat és szállítmányozás, beleértve a vasutat, nagy felvevő piacot jelentett az új szerkezetnek, és kiváltotta az addig használt kenderkötelet. Az első kötélsodrógép Robert Newall nevéhez fűződik. Roebling az Alberttől tanult technika alapján kézzel sodorta a köteleket, azonban alkalmazta Smith technikáját is, miszerint a kötél hat külső és egy magsodratot tartalmazott, egy sodrat pedig 9 huzalból állt. Később vizsgálta a gyártási eljárás hatását, ugyanis a kézzel gyártott kötelek hatszögletűek voltak, míg a géppel gyártott kötél sokkal kerekebb formájú. Később ő javasolta az ún. háromméretű konstrukciót, azaz a sodratokat három különböző átmérőjű huzalból állították elő (ez a mostani Warrington típusnak megfelelő sodrat). Azonban eredményeit nem védette le, így ez a sodrat típus Warrington nevéhez kötődik, aki csak később foglalkozott ezzel a konstrukcióval. A San Francisco-i kábel kocsinál alkalmazott kötelek tönkrementele járult hozzá a kötelek további fejlesztéséhez. Hallidie háromszög alakú sodratot fejlesztett ki, amely igen kedvező eredményeket mutatott, azonban gyártása nagyon költséges volt. Később Seale átdolgozta a három-méretű sodrat konstrukciót, oly módon, hogy a huzalok elrendezését változtatta meg. Szabadalma alapján (#35,77 April 7, 885) ezt nevezzük a Seale típusú sodratnak (9. ábra). Ennek a külső rétegében helyezkednek el a nagyobb átmérőjű huzalok, így a sodrat megtartja hajlékonyságát, ám ugyanakkor növekszik a kopásállósága. Nála jelent meg először egy olyan konstrukció, mely megoldást jelentett a belső keresztező szálak kopására. A Seale sodrat azonban a jó kopásállóság mellett, kevésbé hajlékony és kifáradásálló. James B. Stone vizsgálatokat végzett, mely alapján négy-méretű sodratot javasolt a háromméretű helyett, mely így jobb kitöltési tényezőt és koncentrikusságot eredményez. A negyedik huzalméret kis huzalátmérőt jelent. Ez a konstrukció a töltőhuzalos sodrat (8. 7

17 ábra), ahol a töltőhuzalok szerepe a rugalmas csillapítás. Ez alapján a 9 szálas sodrat kiegészült 6 töltőhuzallal, és így lett 5 szálas sodrat. Találmányát szabadalom védi (#46, 89 December 3, 889). Mindezek alapján elmondhatjuk, hogy a sodratok fejlődésének előremozdítója az amerikai szállítmányozás és közlekedés volt. Azóta felhasználási körük jelentősen kibővült, megtaláljuk őket a mindennapi használatban éppúgy, mint például a hidak szerkezeti elemeként vagy olajipari tömlők erősítő anyagaként.. Irodalmi áttekintés Az irodalomban fellelhető kutatásoknál két irányvonalat különböztethetünk meg: analitikus és végeselemes modellek. Az analitikus modellek tanulmányozása alapján az állapítható meg, hogy ezek a modellek általában elhanyagolják a nemlineáris hatásokat, mint a súrlódást és a kontaktot (érintkezést). Az egyik legjelentősebb kutató a sodratok területén G. A. Costello, aki igen behatóan tanulmányozta a különböző sodratszerkezeteket hosszú éveken keresztül. Analitikus modellt dolgozott ki a különféle terhelési esetekre, mint az axiális igénybevétel (húzás+csavarás) és a hajlítás [4]. Főleg az egyszerűbb sodratokra fektette a nagyobb hangsúlyt, de az összetettebb szerkezetekkel is foglalkozott, mint a 6x5 töltőhuzalos IWRC kötél [7]. A kontaktot általában elhanyagolja, de lehetőséget ad a kontaktfeszültség meghatározására a Hertz-elmélet alapján. A kontaktdeformációt, az érintkező testek közeledését és a súrlódást elhanyagolja, figyelembe veszi a Poisson-hatást. A globális mechanikai jellemzők meghatározására Love görbült rudak nemlineáris egyenletrendszere alapján dolgozott ki elméletet, melyet a világon bárhol elfogadnak, és hivatkoznak [4],[7],[8],[9]. Velinsky a Costello által kidolgozott elméletet linearizálta, és fejlesztette tovább a bonyolult szerkezetű, többrétegű kötélszerkezetekre []. Azonban a nagy huzalés rétegszám bonyolult összefüggéseket eredményezett, ezért a súrlódást és a huzalok érintkezését elhanyagolta, míg a Poisson-hatást, a hajlító merevséget és a duplagörbültséget figyelembe vette. A sodratokban a rétegek számának növelése csökkenti az axiális merevséget és növeli az adott nyúláshoz tartozó csavaró nyomaték nagyságát, ezáltal a sodrat egyre hajlamosabb lesz a kibomlásra. Kötélbe építve a sodratot az axiális merevség tovább csökken. ZZ rendszerű, azaz egyirányba sodort köteleknél nagyobb csavaró nyomaték ébred és kisebb az axiális merevségük, mint a keresztsodrású köteleknek. Ramsey [] Costello elméletéhez hasonlóan figyelembe veszi a Poissonhatást, a huzalokban fellépő súrlódás okozta hajlítást és a huzalok elfordulását. A különbség a két elmélet között, hogy az N nyíróerő komponenst Costello a mezőegyenletek alapján, míg Ramsey a peremfeltélelek alapján határozta meg. Vizsgálta a súrlódóerő változását a menetemelkedési szög függvényében []. Általánosságban elmondható, hogy egyszerűbb szerkezetű sodratok esetén a nemlineáris hatások közül általában a huzalok érintkezését a kutatók figyelembe veszik [7],[9],[3],[4],[5],[6], a súrlódást pedig elhanyagolják, azonban összetettebb szerkezetek esetén a nemlineáris hatásokat mind inkább elhanyagolják. A súrlódás elhanyagolása a globális viselkedés szempontjából elfogadható, mert hatása nem számottevő. Figyelembevétele a lokális viszonyok elemzése során fontos. A [3],[6] cikkekben a súrlódást figyelembe veszik, a [8],[9]-ben kifáradási vizsgálatot, a [9]-ben pedig kopás vizsgálatot is végeznek. Lanteigne [3] például acélmagos, alumínium 8

18 távvezeték sodratot elemez a kontakt figyelembevételével axiális és hajlító igénybevétel esetén, azonban a súrlódást és a relatív elmozdulást nem veszi figyelembe. Prakash [5] Costello elmélete alapján vizsgált három huzalból álló sodratot. A szerkezet egyszerűsége ellenére elhanyagolta a kontaktot és a súrlódást, azonban meghatározta a hajlítási merevséget nyomóterhelés esetére, valamint a hőmérsékletváltozás hatására bekövetkező kihajlást. Giglio és Manes [8] +6 magsodrat szerkezetű és 6 db 7 szálas sodratból álló szerkezetet vizsgált, a kontaktot és súrlódást elhanyagolva, húzás-hajlítás-kifáradás igénybevétellel, kis elmozdulás és kis alakváltozás feltételezésével. Az elméletüket mérési adatokkal verifikálták. Elvégezték a kötél hajlítási kifáradási vizsgálatát és Wöhler-görbét vettek fel. D. Elata és társai [7] tetszőleges kötél axiális igénybevételére dolgoztak ki analitikus modellt a kontakt elhanyagolásával (6x36 IWRC kötelet és 8x7 IWRC forgásmentes kötelet elemeztek). Kétfajta súrlódási esetet különböztet meg: súrlódásnélküli és végtelen nagyságú súrlódás esete. Rugalmas alakváltozást feltételez, figyelembe veszi a duplaspirálitást és a relatív elmozdulást, meghatározza a kontakterőket, azonban elhanyagolja a huzalok hajlító és csavaró merevségét és a Poisson-hatást. Kísérleti mérésekkel igazolta elmélete helyességét, illetve összehasonlította a Costello-elmélet alapján kapott értékekkel, és viszonylag jó egyezést kapott. Sodratok és kötelek geometriai leírásával foglalkozott Wang [], figyelembevéve a duplaspiralitást, a Poisson-hatást huzal és sodrat szinten és a menetemelkedési szög megváltozását. Leissa, Strakey és Cress [] voltak az elsők, akik felfedezték a kontaktfeszültségek jelentőségét, 959-ben. Kumar and Cochran [] Costello elméletét alapul véve levezette az összefüggéseket az effektív merevségi tényező meghatározásához rögzített és szabadvégű sodratokra, valamint meghatározta a forgásmentes kötél menetemelkedési szögének kiszámításához szükséges egyenletet, és erre vonatkozóan tevezési görbét is előállított. Kumar and Botsis [6] analitikus modelljével szintén n rétegű sodratot lehet elemezni axiális igénybevétel esetén, azonban ők kidolgozták a vonalmenti érintkezés esetén a kontaktfeszültség számítását is a Hertz-elmélet alapján. Számításaikat mérésekkel verifikálták, valamint paraméter vizsgálatot végeztek a menetemelkedési szögre azonos és ellentétes irányú menetemelkedés esetén. A számítások kimutatták, hogy a kontaktfeszültség vonalérintkezés esetén a maghuzalhoz közelebbi belső rétegekben a legnagyobb, kifelé haladva csökken, valamint, hogy a kontaktfeszültség arányos a merevségi modulus négyzetgyökével a maghuzal és az első réteg között, míg az első és második réteg között az arányossági tényező E /3 (ahol E - rugalmassági modulus). Az első és második réteg közötti pontérintkezés esetén természetesen itt lesz nagyobb a kontaktfeszültség. További következtetés, hogy a sodratok élettartama szempontjából a nagyobb menetemelkedési szög a kedvezőbb, mivel így kisebbek lesznek a kontaktfeszültségek, azonban vannak olyan alkalmazási területek, ahol az alacsonyabb menetemelkedési szögek ajánlottak. A Love görbült rudak elmélete mellett egy másik meghatározó elmélet is alkalmazásra került a sodratok esetén. Ez az ortotróp lemezelmélet, amivel Raoof és Kraincanic munkái [4],[],[3],[4],[5],[6] során találkozhatunk. Az általuk kidolgozott összefüggések a lemezelmélet miatt, csak akkor adnak megfelelő pontosságú eredményt, ha az adott rétegben nagyszámú huzal található. A kidolgozott modellel többrétegű (akár rétegű) sodratok elemzése is lehetséges a kontakt és a súrlódás figyelembevételével nemlineáris esetben, lineáris esetben viszont elhanyagolja a súrlódást. Az igénybevétel húzás-csavarás, meghatározza a helyreállítási hosszt (recovery length), valamint tervezési görbét állít elő a helyreállítási hosszra. A kontaktot nemcsak a rétegek között, de egy azonos rétegen belüli huzalok között is figyelembe veszi [4],[]. Meghatározza a sodrat merevségek alsó és felső határértékét különböző átmérőjű és menetemelkedésű sodratokra súrlódás nélküli és 9

19 végtelen súrlódás esetén [3]. A [4]-ben meghatározza a disszipált energia függését a menetemelkedési szögtől axiális igénybevétel esetén. A menetemelkedési szög már igen kismértékű változtatása is jelentős hatással van a disszipálódott energia nagyságára. Csökkentve a menetemelkedési szöget a disszipációs energia is csökken, azonban csökken az axiális merevség és az axiális kifáradási határ is. Meghatározta az axiális merevség terhelés függését []. A tengelyirányú terhelésen kívűl vizsgálta a hajlítás és a kifáradás igénybevételeket is, elemzi a hajlítás hatását a befogásnál. Azt a következtetést lehet levonni, hogy a kötelek csak kicsit hajlékonyabbak a sodratoknál axiális terhelés esetén, azonban jóval hajlékonyabbak hajlítás esetén. A kifáradási élettartamra jelentősen befolyással van a kontakt deformáció, a normál irányú terhelés és a relatív elmozdulás nagysága, ezért ezeket a számítások során erősen ajánlott figyelembe venni. Vizsgálja az axiális terhelés hatását a tengelyirányú kifáradási határra [5]. A növekvő axiális terhelés növeli az axiális kifáradási határt. Zárt külső profilú kötélszerkezetek merevségének meghatározásával is foglalkozott [6]. Ezek korrózióálló helyeken kerülnek beépítésre. A huzalok közötti kontakterőt és deformációt figyelembevéve számításokkal kimutatta, hogy a zárt konstrukció nem okoz jelentős szilárdságcsökkenést a szerkezetben, és ráadásul a kopással szemben még ellenállóbb is. Ha rövid időn belül van szükség előzetes eredményekre, akkor az analitikus modellek jól alkalmazhatók még bonyolult sodratszerkezetek esetén is, amelyek több rétegben nagyszámú huzalt tartalmaznak, mivel a nemlineáris hatásokat nem veszik figyelembe. Amennyiben pontosabb eredményekre van szükségünk, akkor végeselemes számítást kell végezni. A végeselemes számítások lehetőséget nyújtanak a szerkezetek pontos geometriai leírására, a mechanikai és egyéb igénybevételek vizsgálatára és a nemlineáris hatások figyelembevételére. Tekintsük most át az irodalomban fellelhető végeselemes módszeren alapuló modelleket. Az áttanulmányozott irodalom alapján a kutatók a h-verziós végeselemes módszert alkalmazzák, általában lineáris, 8 csomópontú hexagonális elemekkel. A számítások során rugalmas-képlékeny anyagmodellt használnak, figyelembe veszik a súrlódást és a kontaktot. A számítási idő csökkentése végett kihasználják a szimmetria viszonyokat és szektor-szimmetrikus modelleket alkalmaznak. Az egyik legjelentősebb alkotó ezen a területen W. G. Jiang és társai. Egy- [7],[8],[9] és kétrétegű [3] sodratokat modelleztek, figyelembe veszik a kontaktot és a súrlódást minden réteg között (vonal és pontérintkezés), sőt még az azonos rétegben lévő huzalok között is [9]. Axiális terhelés esetén vizsgálja a rögzített és a szabadvégű sodratokat is. Taktak [3] mindössze egy huzalt vizsgált tetszőleges terhelés esetén, így kontakt nincs a modellezésben, azonban egy új elméletet dolgozott ki, melyben alkalmazza a St. Venant-elvet és a Timoshenko-elméletet, és figyelembe veszi a nyírási alakváltozást. Egyrétegű sodratra fejlesztett ki végeselemes modellt Nawrocki [5],[33], ahol figyelembe vette a huzalok érintkezését és a relatív elmozdulások kölünböző típusát, azonban a kontaktdeformációt és a súrlódást elhanyagolta. Az igénybevétel axiális és hajlító terhelés, utóbbi esetén vizsgálta annak hatását a befogás környezetében. Az elemzések alapján az a következtetés vonható le, hogy axiális terhelés esetén a meghatározó relatív elmozdulás az elfordulás (pivoting), míg hajlítás esetén a csúszás. A számításokat rögzített és szabadvégű sodratokra is elvégezte, az eredményt pedig Utting és Jones [34],[35] munkái alapján verifikálta. Összehasonlítást végzett Machida és Durelli, valamint Costello elmélete alapján, azonban elég nagy eltérés adódott az analitikus modellekhez képest. A súrlódást figyelembevéve igazolta, hogy hatása nem jelentős a huzal feszültség állapotára nézve, (kevesebb, mint %).

20 Chiang [36] +6 szerkezetű sodrat esetén hat paraméter vizsgálatát végezte el (maghuzal sugara, külső huzal sugara, menetemelkedési szög, peremfeltétel, sodrathossz és kontaktfeltétel). Elemezte a menetemelkedési szög és a peremfeltételelek kölcsönhatását. Szerinte a külső huzalokban ébred a nagyobb feszültség, azonban ez ellentmond a korábbi tapasztalatoknak. A vizsgálatok alapján a következő következtetéseket vonta le: a nagyobb huzalátmérő növeli a merevséget és csökkenti a feszültséget; a maghuzal átmérő változása jelentősebb, mint a külső huzalé. A súrlódás csökkenti a feszültséget és növeli a merevséget a befogásnál, azonban a sodrat közepén ellentétes hatást vált ki. A szabadvégű sodratok esetén a nagyobb sodrási szög csökkenti a merevséget. Beleznai és társai h-verziós végeselemes modellt dolgoztak ki egyszerű, egyrétegű sodratok elemzésére, mérési eredmények validálásával [37],[38]. Ghoreishi és társai [39],[4],[4] munkássága szintén jelentős. Tanulmányozták az analitikus modelleket, kiváló összefoglalást készítettek róluk és meghatározták az érvényességi tartományukat. A rostszálas kötelekre nemlineáris kontinuum modellt dolgoztak ki, melyet később felhasználtak az +6 szerkezetű sodratok végeselemes modellezése során. A huzalok modellezése a Kirchoff-Love rúdelmélet alapján történt, lineárisan rugalmas, homogén, izotróp anyag, kis alakváltozás és kis elmozdulás, valamint statikus terhelés feltételezésével. Ez a modell az acélsodratokhoz is alkalmazható. Számításaikat az irodalomban található analitikus modellekkel és mérési eredményekkel is összevetették. Az axiális merevség esetén igen jó egyezés tapasztalható, míg a csavaró merevségben jelentős eltérések vannak a különböző modellek között [4]. Ghoreishi a számításokat különböző menetemelkedésű sodratokon végezte el, és arra a következtetésre jutott, hogy az analitikus modellek -os menetemelkedési szög értékig viszonylag pontosak, azonban e felett már 3D-s végeselemes modell alkalmazása szükséges. A számítások során a huzalok érintkezését figyelembeveszi, azonban eredményt nem közöl, mindössze annyit, hogy a sodrat globális mechanikai viselkedésére nincs jelentős hatással, akárcsak a súrlódás. Kötélszerkezet vizsgálatát végezték el Jun és társai [4] végeselemes szoftver segítségével. A szerkezet bonyolultsága miatt a súrlódást és az érintkezést elhanyagolták. A kötélben, illetve a sodratban lévő huzalok feszültség-alakváltozás állapotát határozták meg a kötél hossza mentén különböző terhelési szinteken. A kötél, mint több huzal- és sodratrétegből álló szerkezet rendkívűl bonyolult felépítésű. A külső sodratrétegek külső huzalrétegeiben található huzalokra a duplaspiralitás jellemző, tehát egyidőben két tengely körüli elfordulást is figyelembe kell venni, amelynek geometriai leírása jóval bonyolultabb, mint az egyszerű sodratoké. Egy ilyen szerkezet végeselemes modellezésénél problémát jelent már a geometria előállítása is, hiszen a legtöbb CAD és CAE rendszer legjobb esetben is csak az egyszerű hélix létrehozására képes. Ezért C. Erdönmez kifejlesztett egy algoritmust és szoftver modult, melynek segítségével tetszőleges geometriájú és hosszúságú kötélszerkezet geometriai modellje felépíthető [43],[44],[45]. A felépített geometriákat HyperMesh hálózó szoftver segítségével hálózta be, majd egy általános célú végeselemes szoftver segítségével elvégezte a különböző típusú kötélszerkezetek elemzését. Számításait Costello [4], Jiang [7],[8],[3], és Utting és Jones [34],[35] eredményei alapján verifikálta. A kereskedelemben kapható szoftverek többnyire a h-verziós technikát alkalmazzák. Ezek hátránya, hogy a nemlineáris hatások figyelembevételéhez rendkívűl sűrű háló generálása szükséges, ami nagy számítógépi erőforrást igényel és hosszú futási időt eredményez. Éppen ezért meglehetősen nehéz a bonyolult szerkezetek modellezése ezzel a

21 technikával, mivel nem áll mindenhol rendelkezésre a megfelelő erőforrás háttér, vagy adott esetben rövidebb idő alatt kell eredményhez jutni..3 Célkitűzések Jelen értekezés célja a sodratszerkezetek elemzésére alkalmas módszer kifejlesztése, amely figyelembe veszi a súrlódásos érintkezést, a Poisson-hatást, a huzalok közötti relatív elmozdulást, stb.), amelyek alapján tervezési görbék állíthatók elő, továbbá meghatározható a terhelés alatti sodratban a huzalok relatív elmozdulás hatására bekövetkező kopás okozta károsodás mértéke. Ennek lépései a következők: p-verziós végeselemes módszer kidolgozása az egy- és kétrétegű sodratok vizsgálatára, ahol a sodratra jellemző paraméterek tetszőlegesen definiálhatóak. Ilyen paraméterek a következők: huzalok darabszáma az egyes rétegekben, huzalok menetemelkedése és iránya, a huzalok sugarai, a vizsgált sodrat hossza, a végeselemes háló elemszáma és polinom fokszáma, az anyagjellemzők (rugalmassági-modulus, Poisson-tényező, súrlódási tényező), a befogás típusa (rögzített végű vagy szabadon elforduló végű sodrat) és az igénybevétel típusa (húzás, csavarás, hajlítás). Új típusú végeselemek kidolgozása, melyek alkalmasak a geometria pontos leírására és a huzalok közötti különböző típusú súrlódásos érintkezés figyelembevételére (pont- és vonalmenti érintkezés, tapadás-csúszás, relatív elmozdulás). Paramétervizsgálatok segítségével tervezési görbék definiálása, melyek megmutatják, hogy az egyes geometriai méretek vagy anyagi jellemzők változtatása hogyan befolyásolják a szerkezet teherviselő képességét, illetve hogyan hatnak a sodrat folyóméter súlyára. Kopásszámítás elvégzése keresztező szálak esetében, mely segítségével meghatározható, hogy adott ciklusszámhoz, relatív elmozduláshoz és igénybevételhez (kontakterőhöz), mekkora kopásmélység tartozik. Ez a mennyiség a sodrat élettartamával kapcsolatban is fontos információval szolgál. A kidolgozandó modell és szoftver segítségével a mérnökök egy olyan eszközt kapnak kézhez, amelyet viszonylag gyorsan és egyszerűen, egy normál számítógépen is használhatnak, akár a sodratok tervezési-fejlesztési fázisában, akár egy már üzemelő sodrat esetén, ahol a kérdés az üzemelésre való alkalmasság.

22 . P-VERZIÓS VÉGESELEMES MODELL KIDOLGOZÁSA A valóságos 3D-s feladatot egyváltozós feladatra vezetjük vissza görberudak felvételével, továbbá a testek közötti érintkezési kölcsönhatást, az érintkezési tartományok kicsiny volta miatt normális irányban Hertz elméletével modellezzük. Ezzel a szerkezeti modellben nyírási energiát elhanyagoló görberudak és az érintkezési helyi hatásokat modellező rugók, ill. a súrlódási hatás figyelembevételénél, a büntetőparaméteres technika miatt, további lineáris rugók szerepelnek. A sodratok viselkedése pontosan leírható egyszerű terhelés és geometriai peremfeltételek esetén, ha az elmozdulásokat és az alakváltozásokat kicsinek feltételezzük. A bemutatott sodratmodell esetén két befogási mód definiálására van lehetőség. A sodrat egyik vége mindig rögzített egy merev laphoz, a másik vége pedig vagy rögzített egy másik merev laphoz (rögzített végű sodrat), vagy szabadon elfordulhat (szabadvégű sodrat). Maga a sodrat nincs érintkezésben másik testtel, például kötéldobbal (ez esetben nagy elmozdulást kellene feltételezni), tehát nincs elcsúszás. Az elmúlt néhány évben több kutató is foglalkozott testek, héjak és rudak közötti nagy alakváltozás és csúszás témakörével, azonban figyelmen kívűl hagyva a helyi kontaktfeszültség meghatározását [46]-[53]. Jelen modell azt az esetet veszi alapul, amikor a sodratban lévő elemek között nincs nagy elcsúszás és kezdetben a kötél középvonala egy függőleges egyenes. Ha a terhelés függőleges erő, csavaró nyomaték és vízszintes erő, valamint az ébredő elmozdulás és szögelfordulás kicsi (nincs képlékeny alakváltozás), akkor a kidolgozott modell nagyon jól közelíti a szerkezet mechanikai viselkedését. A számítások alapján kapott kontakterő diagramok kiváló alapot adnak a sodrat értékelésére. A modellel nemcsak a végtelen hosszúságú sodrat közepében kialakuló viszonyok elemzésére van lehetőség, hanem egyéb hatások, mint a sodrat befogás vagy akadozó csúszás, illetve hatásuk a belső kopási folyamatokra is vizsgálható. A kopás jelensége kétféleképpen csoportosítható, van külső és belső. A külső kopás a sodrat vagy kötél és egy másik test, például kötéldob között fordulhat elő. A belső kopást a sodratban lévő huzalok érintkezése és egymáson való elmozdulása okozza. A kopás vizsgálatával többen is foglalkoztak, az irodalomban mérési és számítási módszereket egyaránt találhatunk. Cruzado és társai [54] egy kopási vizsgálatot végeztek két egymásra merőleges, azonos átmérőjű huzal koptatásával. Silva és társai [55] az abrazív kopás hatását vizsgálták a sodrat húzófeszültségére vonatkozóan. A huzalok közötti kölcsönhatás precíz meghatározása a kinematikai kontaktfeltételek pontos ismeretét kívánja meg. A kopási témakörrel bővebben a 7. fejezetben foglalkozunk. A.6 fejezetben részletesen bemutatásra kerülnek a kinematikai kontaktfeltételek a nemlineáris rugó normál irányában, melyeket a most kifejlesztett kontaktmodell és augmentációs technika segítségével teljesítünk. A p-verziós végeselem előnye, hogy a számítás pontosságát a polinomok fokszámával gyorsabban lehet növelni, mintha h-verziós végeselemes modellt használnánk [56],[57], amivel a számítás ideje lerövidíthető, a megoldás numerikus konvergenciájának bizonyítása egyszerűsíthető. A p-verziós végeselemre azért is esett a választás, mivel az élettartamra jelentős befolyással van a huzalok közötti súrlódásból származó kopás, és ezekkel az elemekkel az érintkezési (kontakt) feladatok is jól kezelhetők. Ezeket az elemeket és az erre alapozott módszert eddig még nem alkalmazták sodratszerkezetek analízisében, azonban a módszer, amint azt a későbbiekben bizonyítjuk, alkalmas a feladat elvégzésére megfelelő számítógépi programmal. A kifejlesztett elmélet és szoftver működését több mintapéldán, többek között egy +6+ szerkezetű sodrat modelljének 3

23 analízisével mutatjuk be axiális húzó és hajlító igénybevétel esetén. A vizsgálatok során az alakváltozásokat és az elmozdulásokat kicsinek tételezzük fel. A terhelések hatására a sodrat viselkedése kvázi-statikus jellegű. További feltételezés, hogy a huzalok homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyagból készülnek. A valóságban a huzalok általában nagy szilárdságú hidegen húzott, horganyzott vagy sárgarezezett anyagból készülnek. Ezeknek a huzaloknak a szakítószilárdsága - MPa között változik.. Geometriai leírás {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} Az R sugarú hengerfelületre rátekert H menetemelkedésű spirál huzal (lásd. ábra), mint görbe rúd középvonalának helyvektora a következőképpen írható le [4]: H r r( ) R (cos( ) ex sin( ) e y ) e () z ahol a φ - a hengerkoordináta-rendszer szöge. Jelölje s a középvonalon mért ívkoordinátát. Továbbá az s ívkoordináta és a φ központi szög közötti összefüggés: ds L d () ahol L a Lamme állandó L H R R cos A Serret-Frenet-féle összefüggésekkel a spirálhuzal helyi koordinátarendszerének normális, binormális és érintő irányú (n, b, t) egységvektorai előállíthatóak. A kísérő triédert meghatározó egységvektorok: r r R H t sin ex cos ey e z; s s L L t H R n (cos ex sin e y ) ; btn (sin ex cos ey) e z (3) s L L ahol a normális irányú görbület: cos továbbá, R H tg (4) R Az egységnyi hosszra eső elcsavarodás: sin db, n R ds (5) 4

24 . ábra: Spirális huzal a helyi koordináta-rendszer egységvektoraival. Alakváltozások, belső erők és nyomatékok (Igénybevételek) {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} Az alakváltozás leírásához Love görbült rudak elméletét használjuk [4]. Ennek értelmében három, a helyi koordinátarendszerben n, b, t irányú független elmozdulás mezővel ( u, u, u3 ) és a t érintő irányú elfordulás mezővel ( 3 ) jellemezzük a rúd középvonalának elmozdulását és keresztmetszetének elfordulását (elcsavarodását). A n, b, t kísérő triéder szögelfordulását a i, i,, 3-mal jellemezzük. A nyírási energiát elhanyagoljuk. Emiatt az alakváltozásokat az alábbi egyenletek jellemzik: du ds du ds u 3 u, u du, 3 u ds d ds 3 d,, ds d ds 3 3 (6) ahol a középvonal fajlagos nyúlása, ill. i, i,, 3 a görbületváltozások. Az igénybevételt hordozó normál erő, hajlító- és csavaró nyomaték homogén, lineárisan rugalmas, izotróp anyagot feltételezve: N AEε rúderő, M IEΔω, I EΔω 3 T c 3 M hajlító nyomatékok, M M I G csavaró nyomaték (7) 5

25 összefüggésekkel számolhatók. Továbbá a nyíróerők: Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel 3 M M 3, F F dm ds dm ds d ds d u ds M 3 d u ds d3 M ds (8) Itt A a keresztmetszet felülete, I, I a keresztmetszet n irányú -es és b irányú -es tengelyére számított másodrendű nyomatéka, I c csavarási másodrendű nyomaték, E Young-féle rugalmassági modulus, G csúsztató rugalmassági modulus, k, k=, a középvonalmentén ható terhelés megoszló nyomatékának intenzitása. Bevezetve az egymástól független u k, k,, 3 eltolódásokból és 3 szögelfordulásból felépített 3 3 u ~ T u u u (9) közelítendő elmozdulások vektorát és a belőlük származtatott alakváltozások 3 ~ T ε () vektorát, (T a transzponálás jele), az alakváltozásokat meghatározó geometriai egyenletek tömören az alábbi szerint írhatók fel a nyírási alakváltozás elhanyagolása mellett: ahol az operátor mátrix a következő alakú ~ ε u~ () d() L d d () L d d () L d d() L d d() L d d() L d d() L d d() L d () A modell felépítésénél lényeges szerepet tölt be a helyi ( n, b, t) és a globális ( e x, e y, ez ) koordinátarendszerek közötti transzformáció, azaz c Tc (3) ahol c a helyi koordináta-rendszerbeli vektor, c a globál koordináta-rendszerbeli vektor, T a transzformációs mátrix: 6

26 cos sin H H R T sin cos (4) L L L R R H sin cos L L L R Ha, d (a második réteg huzaljai) akkor L. cos. ábra: Két csomópontú görbült rúdelem.3 Az elmozdulás mezők közelítése {},{},{4},{5},{8},{9},{},{},{} A rúd végeselemet (. ábra) úgy kívánjuk felépíteni, hogy az két csomóponttal rendelkezzen, a magasabbfokú approximációt az elemen belüli belső paraméterek révén kívánjuk biztosítani. Így a szabadságfokok maximális száma 3 lesz, ugyanis, a csomóponti elmozdulás és elfordulás vektora csomópontonként 6 szabadságfokú, a pótlólagos állandók maximális száma mezőnként elhatározásunk szerint 5 lehet ( p 5) Mivel két csomópont van és négy független mező, ezek alapján az elem maximális szabadságfoka. Négy mezőt kell közelítenünk oly módon, hogy u 3, 3 C osztályú folytonossággal, míg az u, u C osztályú folytonossággal rendelkezzen az elemek között. A közelítést oly módon kell felépíteni, hogy a merevtestszerű mozgásból, aminek most hat a 7

27 szabadságfoka, ne keletkezzen alakváltozás. Ezt úgy tudjuk egyszerűen elérni, hogy a rúd kezdeti, továbbiakban i-jelű keresztmetszetében lévő G, T i x y z x y z i q u u u (5) általánosított globális koordinátarendszerbeli elmozdulás vektorból származó merevtestszerű mozgáshoz hozzáadjuk az i-hez relatívan képzett rugalmas elmozdulásokat. Vezessük be a következő jelöléseket: i, j i Q L( ) (6) j i Lokális rendszerben egy tetszőleges -vel jellemzett helyen a L, T L, T u u u u 3 3 (7) elmozdulás és szögelfordulás. Az elem középvonalának egy tetszőleges r x ex y e y z ez koordinátájú helyén az ri xi ex yi e y zi ez által kijelölt i- keresztmetszet mozgásából u G R r u Ω χ (8) G i G i merevtestszerű elmozdulás keletkezik a globális koordinátarendszerben, ahol z y r Ω z x, y x x x x, y y y, z z z i i i (9) A fentieket és a (3)-at figyelembevéve, a helyi koordinátarendszerben (L index) a L kérdéses r r( ) pontban a középvonal elmozdulása u és keresztmetszetének L elfordulása χ a következő kifejezéssel írható le: u L V LG G ( ) q Φ( ) a Φ ( ) a, Φ( ), Φ () Φ () () i ahol az első tag az i-keresztmetszet mozgásának hatását, míg a második és harmadik tag az i-hez képesti alakváltozásból származó elmozdulást és szögelfordulását hordozza. Itt V LG T T Ω T r () transzformációs mátrix, Φ ( ), Φ ( ) approximációs mátrixok, a az elmozdulási paraméterek vektora, â a pótlólagos állandók vektora. A Φ ( ) a és a Φ ( ) a tagok az i- dik csomóponthoz viszonyítva a rugalmas deformációból származó elmozdulást írják le. A pótlólagos állandók maximális száma összesen 4 p max lehet. 8

28 A Φ( ) approximációs mátrix a (6) alatti és -re vonatkozó kifejezésre tekintettel a Φ ( ) feltétel figyelembevételével az alábbi alakot ölti 3 3 Φ () 3 Q 3Q 3 Q 3Q Célunk az a paraméter vektor eliminálása a q G j vektor behozása révén. Felírva a j- keresztmetszetbeli csomóponti elmozdulásvektort G G u T LG G T L q j T ( j ) V ( j ) qi T ( j ) Φ ( j ) a χ (3) j ahol T ( j ) a transzformációs mátrix a globális és a lokális koordináta-rendszer között a j- dik csomópontban, a transzponáltja T G G és bevezetve a q q T T T T T T (4) T q i j a rúdelem csomóponti elmozdulás vektora jelölést, formálisan írható, hogy ahol a Gq (5) E G T G G R j Vj E (6,6), R j ( T ( j ) Φ( j )), Vj E( 3,3) diag[], E( 6,6) diag[] - diagonális egység mátrixok. (3,3) Ω E r ( j), (3,3) Az a paraméter vektorra kapott kifejezés felhasználásával annak ()-ba történő behelyettesítésével u χ L N( ) q Φa (6) közelítéshez jutunk. Itt N LG G ( ) V ( ) Φ ( ) RV Φ j j ( ) R j (7) a pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixa (p= pótlólagos állandó esetén) a következő alakban írható fel 9

29 3 4 Φ (8), Q Q, Q 3 4,, Q 3 4 ahol a mátrixban szereplő függvények a következők:, , 3, 3 4, 5 4 3, , , 5 8, 6 9,, 3, 4 6, 4, 5 9 4, 3,, 4, 3, 5 5, 6 6, 6 6, 7 5 8, 7 7, 8 8, 3 4 8, 4, 5 9, 5,, 6,,,, 3,, 8 4,. Itt az indexben lévő vessző (,) a szerinti egyszeres ill. (,,) esetén a kétszeres deriválást jelöli. A Φ pótlólagos állandók alakfüggvény mátrixa (p=5 pótlólagos állandó esetén) az A Függelékben található. Tovább rendezve a (6) egyenletet u χ L Nu Φ u Nq Φa q a Nχ Φ χ (9) amelyből a közelítendő elmozdulás vector a helyi koordináta rendszerben u u~ χ3 L N N u χ 3 Φ q Φ u χ 3 ~ ~ a Nq Φa (3) Az alakváltozási vektor ez alapján ~ ~ ~ ε u~ Nq Φa B q B a (3) q â ahol B, B a (33), (34) alatt található. q a.4 Az eredő erők és nyomatékok meghatározása {},{},{4},{5},{8},{9} A hajlító nyomaték komponenseket ( M, M ), az M 3 csavaró nyomatékot, és az N rúderőt mátrixos felírásban a következő formában adhatjuk meg: T N M M M DB q B a (3) 3 q a

30 ahol a diagae I E I E I G Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel D c az anyagállandók mátrixa, B q, B â az alakváltozásokhoz szükséges approximációs mátrixok. Ez utóbbiak a (), () felhasználásával állíthatók elő, pl. ahol ~ B ~ a B i, j B,, ~ Bq ( 4,6) Ba G (33) ~ ~ 3 B,, B ~ ~,5 Q, B, 4 Q, ~ B, 6 Q, B ~,3 Q, ~ 3 ~ ~ B,4 6 Q, B,5, B,6, B ~ 3, Q, ~ 3 ~ B3, 6 Q, B3,3 4 Q, B ~ 3,4 6 Q, B ~ ~ 3,5 Q, B 4,, ~ 3 ~ B, B, ~ 4, 4,3 Q ~ B4,4 Q 3, B4,6 Q A pótlólagos állandókhoz tartozóan azaz elemei p= esetén B,,,,, B Φ a (4,4 p) a (34) B, B,5 Q 3,, B,6 Q 4,, B, Q,, B Q, B, B,5 3, B,6 4, B,7 3, B,8 4, B 3, Q,,, B 3, Q,,, B 3,3 Q,, B 3,4 Q,, B 3,5 Q 3,, B 3,6 Q 4,, B 4,, B, B,3 Q,,,,4 Q,, 4, B 4,3 Q,, 4,4 Q, B, B 4,7 Q 3,, B 4,8 Q 4,. A Bâ approximációs mátrix (p=5 pótlólagos állandó esetén) az A Függelékben található. Írjuk fel a potenciális energiát egy rúdelemre p U W [ I E ( ) I E ( ) I G ( ) AE ( ) ] dsw c 3 (35) ahol U az alakváltozási energia, W a külső terhelés munkája.

31 ds G I E I E I AE U T T ε ε ~ ~, (36) Más alakban W ds p ε D ε T ~ ~ (37) Az integrálásokat elvégezve, mátrixos formában felírható a potenciális energia a q T T aa aq qa qq T T f f a q a q K K K K a q p (38) ami tömörebb formában f q Kq q T T ~ ~ ~~ ~ p (39) alakot nyeri. A számítást elemenként hajtjuk végre, numerikus integrálást végezve. A merevségi mátrixokat a (3), (33), (36) -ra is tekintettel az alábbi alakban célszerű kiszámolni ds ds ds a T a aa a T a T qa a T a T qq, ~, ~ ~ D B B K D B B G K G D B B G K (4) A redukált terhelési vektorokat a q f f, a rúd középvonala menti 3 3, p p p T L f (4) megoszló terhelésből, (ahol 3,,, /, / i mm Nmm mm N p i i mértékegységű) számolhatjuk a lokális rendszerben felírt () alatti közelítés, a (5) alatti transzformáció és a külső munka a T q T L T L ds W, f a f q f u (4) alakjának felhasználásával. Az i és j jelű csomópontokkal rendelkező elem esetén a szóbanforgó redukált terhelési vektorok j a i a G i q L T T j a i a a L T a L LG T G i ds ds ds,,,,,,,, f f f f f Φ G f f f f Φ f f V f (43)

32 Mivel a kötélnél a szálak között érintkezés lép fel és előzetesen az érintkezési feszültségek, erők nem ismertek az érintkező testek között, így a K ~ merevségi mátrix és az ~ f terhelési vektor a pótlólagos állandók miatt a q vektorra vonatkozóan nem redukálható..5 Kontaktfeltételek leírása {},{},{4},{5},{8},{9} A különböző rétegekben elhelyezkedő huzalok között az érintkezés is többféleképpen valósul meg. Feltételezzük, hogy egy rétegen belül elhelyezkedő huzalok egymással nem érintkeznek. A maghuzal és az első rétegben lévő huzalok között vonalmenti érintkezés, míg az első és a második réteg huzaljai között pontérintkezés jön létre. Az érintkezésnél fellépő helyi feszültségek hatását is a teljes szerkezet viselkedésénél közelítőleg figyelembe kívánjuk venni. A rúdmodellen belül a helyi érintkezési hatást a jól ismert Hertz elmélet [58],[59] segítségével fogjuk figyelembe venni. Mindezek figyelembevételére új típusú végeselemeket definiálunk. Mivel az érintkezés nem a rudak középvonalainál történik, hanem a paláston, ezért ezen pontok elmozdulását is ki kell számolni. Az érintkező felületeken lévő pontok ( Q, Q lásd 3. ábra - 4. ábra) elmozdulása a huzal keresztmetszetek középpontjának elmozdulása és szögelfordulása segítségével, a helyi koordinátarendszerben a következő összefüggéssel írható le a (6) figyelembevételével: u L Q L L L L rcq L u rcq χ uq u Ω χ (44) u L Q rcq N Ω N q Φ rcq Ω Φ L a N q Φ a u u Q Q (45) ahol r Ω CQ - a C Q pont között értelmezett forgató mátrix (lásd (9) egyenlet, ahol x x Q x C, ). A Q pont globális koordinátarendszerbeli ill. a Q érintkezési pontbeli érintősik és a normális rendszerbeli, helyi kordinátarendszerbeli elmozdulása G T L uq T uq, u cont, L Q cont, L L T uq (46) ahol cont,l T sin cos cos sin mivel az u, u, u3 elmozdulásokat az u, u,, u, z elmozdulásokba visszük át. Az érintkezési párt alkotó huzalok (belső mag és a belső réteg huzaljai) vagy a belső és külső rétegekben lévő huzalok érintkező felületi pontjai között, a huzalok húzó igénybevételéből és a huzalok közötti kopásból származóan rés alakul ki, ami a következő alakban írható fel ( e) ( e) ( e) N d g wn (47) ( e) ( e) A E e 3

33 ahol w n a normal irányú kopás mélysége, (e) A a huzal keresztmetszet, Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel (e) N a tengelyirányú erő a spirális huzalban, (e) E a rugalmassági-modulus, a Poisson-tényező, e=, az érintkező testek sorszáma. (e) d a huzal átmérő, (e) 3. ábra: Kontaktpontok értelmezése a) b) c) 4. ábra: Az alkalmazott koordinátarendszerek definíciója a) Az érintősík és a felület normálisának lokális koordinátarendszere, b) Globális koordinátarendszer az xy síkban, c) A huzal lokális koordinátarendszere 4

34 .6 Kontaktelem az első és a második réteg között {},{},{4},{5},{8},{9} Vizsgáljuk most a belső és a külső réteg egy-egy huzalját, amelyek valahol keresztezik egymást. Az érintkezésnél a normális irányú helyi alakváltozásokat Hertz elmélete [58],[59] szerint vehetjük figyelembe. Az érintkezési nyomás eredőjét jelölje F H erő. Legyen a belső szál -es jelű, a külső szál -es jelű. A huzalok húzásából és kopásából származó kezdeti rés g. A huzalok Q és Q pontja érintkezhet egymással. Az érintkezésből származó benyomódást nemlineáris jellegéből adódóan nemlineáris rugóval modellezzük, aminek linearizált értékét az alábbiakban ismertetett iterációval pontosítjuk. Az érintkezési modellünk az alábbi: az eredeti szálak Q és Q pontjai közti normális irányába helyezzük el, a helyi benyomódást reprezentáló rugót. A rugó egyik vége a Q, a másik vége a K pontban lesz. Az érintkezés-elválás feltételét kombinált (augmented) technikával fogjuk kézbentartani olymódon, hogy a modell szerint az érintkezési feltételt a kibővített rugalmas szerkezet K Q pontja között írjuk fel (5. ábra). Az érintkezési normális irányban (n ) az érintkezés feltételei d uk u g, F H, F H d (48) () () ahol u, u a Q és Q pontok n irányú elmozdulásai. A továbbiakban a következő jelöléseket alkalmazzuk: a belső huzalok esetén es index a külső huzalok esetén es () () index, u u, u u. A fenti feltételeket az ún. kombinációs technika alkalmazásával kívánjuk kielégíteni, vagyis a K Q pontok közé nagy merevségű, c rugóállandójú rugót helyezünk el (ha van érintkezés) és az F H d feltételt, mint Lagrange-féle tagot is szerepeltetjük, vagyis a Q -es és a K pontban az F H erőt is működtetjük. Hertz elmélete szerint a benyomódásnál keletkező erő a benyomódás nemlineáris függvénye. A benyomódásból a rugóban F ) m m H ch ch ( u uk (49) U H c H m d alakváltozási energia keletkezik. A vizsgált huzalok, mint görbe tartók potenciális energiáját jelölje Π p. Ekkor a normális irányú érintkezés vizsgálatára alkalmas minimalizálandó funkcionál a kombinált technika alkalmazásával (a harmadik tag a büntetőparaméteres, a negyedik a Lagrange-féle multiplikátoros tag) (5) L p U H c d F H d. (5) 5

35 6 5. ábra: Érintkezési modell Véve a K pontbeli K u elmozdulás szerinti variációt ) ( K H K K K K H u u F u g u u c u u U L K (5) A variációs egyenletünk első tagjának hatását az s-dik iterációban kapott (s) -nél helyettesíteni lehet egy (s) NL c linearizált rugóval (6. ábra), továbbá jelölje az érintkezési erő (s-)-dik iterációbeli értékét ( ) s H F. Vagyis ) ( ) ( ) ( ) ( s s NL s H c U (53) és így ] ) ( [ ) ( ) ( ) ( K s H K K K s NL u u F g u u c u u u c L K (54) A rudak potenciális energiájával nem foglalkozva, sorbavéve az Q -es és Q -es pontbeli elmozdulás szerinti variációkat ) ( ) ( u u u c L K s NL u (55) ) ( ) ( u F u g u u c L s H K u (56) A három variációs kifejezésből ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u u u g g c F F u u u c c c c c c c c u u u K s H s H K s NL s NL s NL s NL K (57) következik. A középső egyenletből ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u c c c u c c c g c c c c c F u s NL s NL s NL s NL s NL H K (58) A kapott elmozdulást visszahelyettesítve az (57) első és utolsó kifejezésébe

36 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s H s NL s NL s s s F c c c g c g c u u c c c c u u (59) ahol ) ( ) ( ) ( s NL s NL s c c c c c (6) Ily módon a teljes szerkezet vizsgálatánál a Q és Q pont közé (s) c rugót kell helyezni, illetve az ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c F g c c F g c s H s s H s s f (6) erőt kell működtetni. A kombinált (augmented) technikának megfelelően az érintkezési erőt ) ( ) ( ) ( ) ( s K s H s H g u u c F F (6) alapon számoljuk, ahol a Macaulay zárójel x = ) ( x x operációt fejezi ki. 6. ábra: Linearizált (s) NL c rugóállandó meghatározása Az iterációnál számolt érintkezési erőnek előbb-utóbb el kell érnie az elméleti értéket m s s K H m s H s T H u u c c F ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, (63)

37 Az iterációt mindaddig folytatjuk, amíg Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel F F. vagy ( s) F ( s) ( s) H H H F F ( s) ( s) HT, H F ( s) HT,. (64) korlát nem teljesül. Ezzel nagy pontosság és viszonylag kicsiny iterációszám érhető el. Az iteráció sebessége függ a c megválasztásától, de a végső megoldás gyakorlatilag ettől független. Az érintősíkban lévő relatív elmozdulás hatását a jól ismert büntetőparaméteres technikával [6] vesszük figyelembe. A szóbanforgó elmozdulást a 7. ábra szerint tangenciális és vertikális összetevőkre bontjuk fel. Ezekben az irányokban c nagyságú rugóállandójú rugókat helyezünk el olymódon, hogy a felületi érdességből származó érintő irányú rugalmas elmozdulást az irodalomból ismert szokásos módon, a normálirányú c büntetőparaméter %-val vesszük figyelembe, azaz c. c. Jelölje a Q Q pont közötti relatív sebességet u u u u u u u,,tan gential, vertical,, z u, e, u, z u, z ez, u. A maghuzal és az első rétegben lévő huzal közötti érintkezésnél fellépő vonalmenti megoszló terhelés normális irányú komponensét jelölje p n. A súrlódás hatását mindkét fajta elemre azonosan tárgyalva, a mostani elemnél is az F H erő helyett p n nyomással fogunk dolgozni. A súrlódás miatt a terhelést lépcsőzetesen kell felvinni. Amennyiben a relatív sebesség u zérus, a Coulomb-féle feltétel értelmében áll az alábbi egyenlőtlenség: f τ p, u u u (65) n A két huzal között csúszás, azaz relatív elmozdulás jön létre, ha f τ p n τ p n u u u u u (66) ahol a τ a jelű szálra ható csúsztató feszültség. Jelölje az n -dik terhelési lépcsőben kapott értékeket ( n) ( n) ( n) u u u, Q Q ( n) ( n) u u n u u n. (67) Q Q ( n) trial ( n) trial ( n) Az n -ik terhelésnél a csúszási feltételeket a f τ pn kiszámításával ellenőrizzük le. Itt ( n) trial ( n) ( n) ( n) τ τ c ( u u ), (68) 8

38 ahol ( n) ( n) ( n) u u, u, z, ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) u u e, u ( u u ) e,,,, ( n) ( n) ( n), z u, z ez u, z ( uq uq ez,, u ) továbbá a csúsztató feszültség felbontásával ( n) τ Q Q ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) τ τ z, τ e, τ e, τ z z ez, z τ ez ( n) ( n) ( n) ( n) τ z annak iránya ( n) z. arctan ( n ) ( n) trial ( n) trial ( n) Ha f τ p, akkor n τ τ ( n) ( n) trial, (69) ( n) trial ( n) trial ( n) trial ( n) ( n) ( n) τ Ha f τ pn, akkor τ pn (7) ( n) trial τ ( ) A kapott csúsztatófeszültségek a szálak d e /, e, sugarán keresztül megoszló hajlító és csavaró nyomatékot fejtenek ki a szálakra. Ezt az ( n, ez, e ) alkotta koordinátarendszerből a szál helyi rendszerébe ( n, b, t ) történő transzormációval előálló érintősíkba eső komponesekből tudjuk könnyen kiszámolni. A jelű szálra vonatkozóan állnak az alábbiak az érintőfeszültségekre ahonnan a megoszló nyomatékok ( n) () ( n) () ( n) () ( n) sin z cos ( n) () ( n) () ( n) () 3 cos z sin (7) ( n) () () ( n) () ( n) () () d /, d / (7) 3 ( n) ( n Az jelű testre a (7)-ben ), z helyettesítéssel élünk, továbbá mivel a Q pont a C ponthoz képest az n mentén a másik oldalra esik ( n) 3 () ( n) () () ( n) () ( n) () () d /, d / (73) 3 A fentiek szerint a pontérintkezés miatt az elem szabadságfoka a következőképpen adódik: a rugóelem két 6 szabadságfokú csomóponthoz csatlakozik, tehát maximális szabadságfoka. A rugóelemek normális, tangenciális és vertikális irányúak (lásd. 7. ábra). 3 () 9

39 .7 Kontaktelem a maghuzal és az első réteg között {},{},{4},{5},{8},{9} Ez az elem, egy Winkler-típusú rugalmas ágyazásnak felel meg (8. ábra), azaz a rúdelem teljes hossza mentén folyamatosan megoszló rugóként képzelhető el. Szabadságfokainak maximális száma ndof e ndofnod nod nfield pmax , ahol ndof nod a csomóponti általánosított elmozdulásvektor szabadságfoka, nod az elemhez tartozó csomópontok száma, nfield a közelített mezők száma, p a pótlólagos állandók száma. 7. ábra: Kontaktelem az első és a második rétegben lévő huzalok között 8. ábra: Kontaktelem normális irányban a maghuzal és az első rétegben lévő huzalok között Természetesen itt is a súrlódás hatása az érintősíkba elhelyezett rugalmas közeggel vehető figyelembe, hasonlóan az előző pontban leírtaknak megfelelően. A fentiekből jól érzékelhető, hogy a kontakthatások miatt a rudak mentén megoszló terhelések keletkeznek, aminek a pontosabb figyelembevétele, hatványozottabban indokolja a p-verziójú végeselemek használatát..8 A végeselemes modell további jellemzői, {},{},{4},{5},{8} A kifejlesztett p-verziós végeselem szoftverben a felhasználó adhatja meg a sodrat geometriai és anyagparamétereit. Egy- és kétrétegű sodrat számítására van lehetőség, ahol a két külső rétegben elhelyezkedő huzalok száma és menetemelkedésük nagysága tetszőleges lehet. Az elemek generálása néhány adat megadásával automatikusan történik. 3

40 Jelölje a belső réteg sugarát R a szálak menetmelkedési szögét és egy menet magasságát H. A második rétegnél ezek R, és H. A szerkezetek egy részénél a szálak ellentétes irányban vannak feltekerve, azaz pozitív, míg negatív. De vannak esetek, amikor a külső réteg ugyanazon irányba van feltekerve, ekkor mindkét szög pozitív. Az egyes rétegek szálai lehetnek azonos és külünböző menetemelkedésűek. A szálak metszési szögét abból a feltételből tudjuk meghatározni, hogy a keresztezési pont z koordinátája azonos. Az egyes rétegekben n s, s, szál van ( i ) / n, i,..., n ill. : ( i ) / n, i,..., n, : ( i ) / n, i,..., n szögkiosztással. H s Bevezetve Gs, s, R s mennyiséget, az alábbi eseteket fogjuk megkülönböztetni: A metszési szög. H H,, esetben i i : m G R ( m ) /( G R G R ), m,... i, i tetszőleges : ( GR ( i) / ng R ( m( i) / n)) / ( G RG R), m,... m. H H,, esetben i, i tetszőleges : ( GR ( i) / ng R ( m ( i) / n)) / ( GRG R), m,... m 3. H H,, esetben i, i tetszőleges : ( GR ( m ( i) / n) G R ( i) / n) / ( GRG R), m,... m Bármilyen típusú befogás definiálható (9. ábra), tehát rögzített és szabadvégű sodratok is modellezhetők az üzemelési körülményektől függően ( u x, u y, uz az elmozdulás koordináták, x, y, z a szögelfordulás koordináták a globális koordináta rendszerben) [46],{5}. A sodrat végén lévő csomópontok a mag keresztmetszetének közepén lévő ún. főcsomópontba vannak bekötve merev elemek segítségével, így a terhelés ezen a csomóponton keresztül történik (. ábra) [46],{5}. A terhelés típusa lehet: húzó, nyomó, csavaró, hajlító és ezek kombinációja. A feladat nemlinearitásából adódóan az érinkező elemeknél figyeljük a normál erő, feszültség ill. a súrlúdó erők, feszültségek változását. A belső mag és az első réteg szálai között a numerikus integrálás pontjaiban számoljuk az egyes iterációban az összes elemen 3

41 vett a nyomások és a tangenciális feszültségek abszolút értékének összegét Felhasználva az előző iterációban számolt értékeket, képezzük az alábbi hibákat,( s),( s),( s),( s) pn pn error p, error,( s),( s) p n,( s),( s) p n,. Hasonlóan járunk el az első és a második réteg szálainak érintkezési pontjaiban számolt érintkezési nyomóerőkkel és csúsztató erőkkel, azaz,( s),( s),( s),( s) FH FH TH TH error F, error,( s) T,( s) F T H Az iterációt egy terhelési lépcsőn belül befejezettnek tekintjük, ha állnak az egyenlőtlenségek. error p error., error F error T. H 9. ábra: Sodrat végének befogási típusai. ábra: A terhelés definiálásának módja 3

42 3. A RÚDELEM PONTOSSÁGA NÉHÁNY FELADAT MEGOLDÁSÁNÁL 3. Síkfeladat, kör keresztmetszetű gyűrű A szóbaforgó szerkezetre vonatkozó összefüggések, H behelyettesítéssel állnak elő. Vizsgáljunk egy síkbeli R sugarú d ~ átmérőjű körkeresztmetszetű szerkezetet.. eset: terhelés állandó p p konstans belső nyomás. Pontos megoldásnál az u radiális elmozdulás a körközépvonal mentén állandó, R u értéke u p, a keletkező feszültség E. AE R. eset: Az előbbi tartó helyen befalazott, helyen szabad. A terhelés. eset p p konstans,. eset p konstans,.3 eset konstans..4 eset 3 konstans.. esetben a keletkező igénybevételek N p R ( cos ), F p sin, M p R ( cos ), R. esetben a nyomatékok M p R ( cos ), M p R sin F p R ( ), míg a.3 esetben megoszló terhelésnél M 3 sin, M R ( cos ) függvény szerint változik, R 3 továbbá.4 esetben 3 megoszló terhelésnél M R ( cos ), M sin függvénnyel jellemzett lefutású R, továbbá 33

43 Numerikus számításokhoz a geometriai adatok: Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel ~ R mm, d mm : A.676 mm, I I Ic / 8 mm 4 34., Anyagállandók: E GPa,. 5. Terhelés= p N / mm.eset Egzakt megoldásnál u m, 5.69 MPa. u R A különböző nelem elemszámhoz és p fokszámhoz tartozó értékeket az. táblázat tartalmazza. Itt u R u ( / ) -nek felel meg. Láthatóan gyakorlatilag egzakt megoldást n elem 4, p 5, ill. n elem 8, p 4 esetén már megkapjuk, de n elem, p 5 esetén sem nagyobb a hiba, mint error u.9 %, error.63 %, sőt n elem, p 5 nél sem haladja meg a hiba 5.69 a 4%-ot: error 3.95 % táblázat: Az. eset eredményei p p p 3 p 4 p 5 nelem min max [ MPa] [ MPa] n elem u min max R [ MPa] [ MPa] [ m] n 4 elem u min max R [ MPa] [ MPa] [ m] n 8 elem u min max R [ MPa] [ MPa] [ m]

44 . eset: A többi eset közül számszerűsítve ragadjuk ki a. esetet. Ekkor,, értékeknél a p N / mm terhelés esetén az egzakt megoldások a. táblázatban láthatóak:. táblázat: A. eset pontos megoldása M M F A számítással kapott eredmények a helyen a 3. táblázatban találhatók, míg n elem 4, p 5 esetén a rúdmenti lefutásukat a. ábra tartalmazza.. ábra: A. p const terhelési esethez tartozó igénybevételek n elem 4, p 5 végeselemes közelítésnél 35

45 3. táblázat: A kifejlesztett szoftverrel kapott eredmények a. esetben p p p 3 p 4 p 5 M [ Nmm] n elem M 3 [ Nmm] F [ N] M [ Nmm] n elem M 3 [ Nmm] F [ N] M [ Nmm] n elem 4 M 3 [ Nmm] F [ N] M [ Nmm] n elem 8 M 3 [ Nmm] F [ N] A többi terhelési esetre vonatkozó eredmények a diagramokban láthatóak (. ábra - 3. ábra).. ábra: A. p p const tehelési esethez tartozó igénybevételek n elem 4, p 5 végeselemes közelítésnél 36

46 3. ábra: A.3 const terhelési esethez tartozó igénybevételek 4, p 5 végeselemes közelítésnél n elem Megállapíthatjuk, a kidolgozott rúdelem kítűnően viselkedik síkbeli geometria esetén. Hasonlóan igazolni lehet a rúdelem alkalmazhatóságát térbeli esetre is, amit közvetlenül a sodratoknál is befogunk majd bemutatni. A további hibaanalízist bemutató számításokat mellőzzük. 37

47 3. Térbeli szerkezet, spirális huzalban ébredő igénybevételek meghatározása különböző terhelési esetekben Mielőtt rátérnénk a sodratok elemzésére, nézzünk példát, hogyan működik a kidolgozott modell térbeli szerkezet elemzésekor. A szerkezet két, H menetemelkedésű, d átmérőjű spirális huzalból áll, melyek egy R sugarú képzeletbeli körhenger palástján helyezkednek el. Két esetet különböztetünk meg, az egyik a rögzített végű huzal, a másik a szabadvégű huzal. Numerikus számításokhoz a geometriai adatok: ~ R mm, d mm : A.676 mm, I I Ic / 8 mm 4 34., H mm Anyagállandók: E GPa,. 5.. eset: Rögzített végű huzal Ez esetben a két spirális huzal mindkét végén egy merev tárcsába csatlakozik, mely a szabad elfordulást hivatott megakadályozni. A huzalok végén lévő csomópontok excentrikus csatlakozással kapcsolódnak a merev tárcsa közepén definiált ún. főcsomópontba. A felső merev tárcsa teljesen fix. Az alsó merev tárcsa főcsomópontjában van lehetőség a terhelés definiálására, mely lehet húzás, csavarás, hajlítás. Most két terhelési esetet vizsgálunk, a tengelyirányú húzást és az egyik tengely körüli hajlítást. A szerkezet sematikus összeállítását a 4. ábra mutatja. Nézzük meg, hogy különböző nelem elemszámmal és p fokszámmal hogyan alakul az eredmény konvergenciája. A számítás során a szálak lokális koordináta rendszerében értelmezettek a húzó- és nyíró erő komponensek, a hajlító és csavaró nyomaték, a szerkezetet terhelő eredő erő és nyomaték, valamint ezek komponensei és az egyes irányokbeli elmozdulások és szögelfordulások mind meghatározásra kerültek. A számítások során felvett terhelések értékei olyanok, hogy csak rugalmas alakváltozások keletkezzenek a szerkezetben, mivel a kidolgozott modell ebben a tartományban érvényes. Tengelyirányú húzás esete: Terhelés: F N z Tekintsük a fent említett eredmények közül a szerkezetben ébredő eredő tengelyirányú erő és csavaró nyomaték (ami nulla kell legyen rögzített végű konstrukció esetén) alakulását, az értékeket a 4. táblázat-5. táblázat tartalmazza. Gyakorlatilag azt nézzük meg, hogy mennyire pontosan kapjuk vissza a peremfeltételeket. Láthatóan gyakorlatilag pontosan visszakapjuk az F z terhelő erő értékét és a zérus csavaró nyomatékot n 6, p 3, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén. elem 38

48 X tengely körüli hajlítás esete: Terhelés: F N Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel x Ez esetben vizsgáljuk meg a szerkezetben ébredő eredő x-irányú erő és elmozdulás változását, az értékeket a 6. táblázat-7. táblázat tartalmazza. Hasonlóan az előző terhelési esethez, pontosan visszakapjuk az F x terhelő erő értékét, valamint az x-irányú elmozdulás esetén is konvergált eredményt kapunk már nelem 6, p 4, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén. 4. ábra: Rögzített végű térbeli spirális huzal 4. táblázat: Az Fz Nterhelés hatására ébredő eredő tengelyirányú erő a szerkezetben Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés

49 5. táblázat: Az Fz Nterhelés hatására ébredő eredő csavaró nyomaték a szerkezetben Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az Fx N terhelés hatására ébredő eredő x-irányú erő a szerkezetben Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az Fx N terhelés hatására ébredő x-irányú elmozdulás a szerkezet végén Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés További eredményeket táblázatos, illetve diagram formában a B. Függelék tartalmaz. Az eredményeken kiválóan látható, hogy viszonylag alacsony elemszám és pótlólagos állandó szám esetén már konvergált eredményeket kapunk.. eset: Szabadvégű huzal Ez esetben a két spirális huzal egyik vége egy merev tárcsába van rögzítve, a huzalok másik vége szabadon elmozdulhat és elfordulhat. A szerkezet sematikus összeállítását a 5. ábra mutatja. A huzalokon koncentrált erő és nyomatékterhelés tetszőleges irányban megadható, valamint ez egyes koordináta irányokban ható megoszló erő és nyomatékterhelések szintén definiálhatóak. Vizsgáljuk most ez esetben a megoszló 4

50 terheléseket, még pedig a normál irányú megoszló erő ( p.5 N / mm), a normál irányú megoszló nyomaték ( 5 Nmm / mm ), valamint a z-irányú megoszló erő ( pz.5 N / mm) terheléseket. Minden terhelési esetben meghatározható a huzalokban ébredő erő és nyomaték komponensek nagysága. Ezeket az értékeket analitikus úton is meghatározhatjuk. A számítások elvégzése után nézzük meg, hogy különböző nelem elemszámmal és p fokszámmal végzett számítások milyen viszonyban vannak az analitikus összefüggésekkel kapott eredményekkel, azaz hogyan alakul az eredmények konvergenciája. Normál irányú megoszló erő esete: Terhelés: p.5 N / mm Ebben az esetben a huzal hossza mentén az n normális irányába mutató megoszló terhelés hat a huzalokra. A huzalokban ébredő erő (N, F, F ) és nyomaték (M, M, M 3 ) komponensek analitikus úton történő meghatározása az (), () és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével lehetséges: M eredő p cos sin x y F p n Ld L p e e d eredő F Lp sin cos p e x e y eredő N F Rp sin cos cos p t eredő F Fp n Lp cos sin cos sin eredő H F F psin coscos p b H r Rcoscosex Rsin siney e M r p nld eredő p Rsin sin ez Rcoscos ez H H Lp sin cos ey siney H H cos sinex cos e x H cos cos sin cos cos M n Lp sin sin cos sin eredő p z 4

51 Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel eredő H M Mp b p sincossin H H p sincos p cossin cos H p cossin plrcoscoscos p LR cossin cossin cossin cossin cos H eredő M3 Mp t pl coscos sin cos coscossin coscos cos cossin A p-verziós modell segítségével több felosztással is elvégezve a számítást az eredmények pontossága és konvergenciája elemezhető. A nagyszámú számítási eredmény bemutatására nincs mód az értkezés terjedelmében, ezért itt most az F és M 3 komponensek összehasonlítását mutatjuk be táblázatos (8. táblázat-9. táblázat) és diagram (6. ábra-7. ábra) formájában 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, hogy már akár nelem 4, p 5, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló sűrítésével pedig nelem 6, p3, felosztás és pótlólagos állandó számtól az eredmény pontossága már gyakorlatilag nem változik. 8. táblázat: Az p.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F erő a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az p.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M 3 nyomaték a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés

52 5. ábra: Szabadvégű térbeli spirális huzal p=.5n/mm terhelés, 4elem/h p=.5n/mm terhelés, 4elem/h 4, 4, 3,, F, [N],,,, Analitikus p= F, [N],, 4, 6, Analitikus p=, 8, 3,, [rad],, [rad] p=.5n/mm terhelés, 4elem/h p=.5n/mm terhelés, 4elem/h 4, 3, F, [N] 3,,,,,, Analitikus p=3 F, [N],,,,, Analitikus p=5 3,, [rad] 3,, [rad] 6. ábra: Az p.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő F erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében 43

53 p=.5n/mm terhelés, 4elem/h p=.5n/mm terhelés, 4elem/h, 8, M3, [Nmm] 8, 6, 4,,,, 4 6 8, [rad] Analitikus p= M3, [Nmm] 6, 4,,,, 4 6 8, [rad] Analitikus p= p=.5n/mm terhelés, 4elem/h p=.5n/mm terhelés, 4elem/h 8, 8, M3, [Nmm] 6, 4,,,, 4 6 8, [rad] Analitikus p=3 M3, [Nmm] 6, 4,,, 4 6 8, [rad] Analitikus p=5 7. ábra: Az p.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M 3 nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében Normál irányú megoszló nyomaték esete: Terhelés: 5 Nmm / mm Ebben az esetben a huzal hossza mentén az n normális irányába mutató megoszló nyomaték terhelés hat a huzalokra. A huzalokban most csak a nyomaték (M, M, M 3 ) komponensek kiszámítása lehetséges, melyek analitikus úton történő meghatározása szintén az (), () és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével végezhető el: eredő μ Ld L d L x y x M n cose sine sine cos e y eredő M Mμ n L sincos cos sin eredő H M M sin coscos μ b eredő M3 M R sin cos cos μ t Ebben a terhelési esetben is több felosztással van a számítás elvégezve az eredmények pontosságának és konvergenciájának bemutatására. A nyomaték komponensek összehasonlítását a. táblázat-. táblázat és az M vonatkozásában a 8. ábra mutatja 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, 44

54 hogy már akár nelem 4, p 5, minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló további sűrítésével pedig az eredmény pontossága már nem változik.. táblázat: Az 5 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M nyomaték a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az 5 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M nyomaték a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az 5 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M 3 nyomaték a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés

55 mu=5n/mm terhelés, 4elem/h mu=5n/mm terhelés, 4elem/h M, [Nmm] , [rad] Analitikus p= M, [Nmm] , [rad] Analitikus p= mu=5n/mm terhelés, 4elem/h mu=5n/mm terhelés, 4elem/h M, [Nmm] , [rad] Analitikus p=3 M, [Nmm] , [rad] Analitikus p=5 8. ábra: Az 5 Nmm / mm megoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M nyomaték megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében z-irányú megoszló erő esete: Terhelés: p.5 N / mm z Ez esetben a huzal hossza mentén tengelyirányba mutató megoszló terhelés hat a huzalokra. A huzalokban ébredő erő (N, F, F ) és nyomaték (M, M, M 3 ) komponensek analitikus úton történő meghatározása ismételten az (), () és (3) összefüggések felhasználásával levezetett alábbi képletek segítségével lehetséges: eredő p p z z zld pzl z F e e H N F eredő p t p z z F F eredő p n eredő p z z F F b R p z eredő p sin cos sin cos z pz Ld pz L R z x y M r e e e eredő M Mp n p cos sin cos sin sin cos z zlr 46

56 H M eredő M p b p sin sin cos cos sin cos z z R eredő M3 Mp t p cos sin sin cos cos sin cos z zlr Szintén több felosztással végezzük el a számítást az eredmények pontosságának és konvergenciájának bemutatására. Az N rúderő és az M 3 nyomaték komponens összehasonlítását a 3. táblázat-4. táblázat és a 9. ábra (az N vonatkozásában) mutatja 4 elemes felosztás mellett a hengerkoordináta szög függvényében. További eredmények és összehasonlítások a B. Függelékben találhatóak. Az eredmények alapján az tapasztalható, hogy már akár nelem 6, p 4 minimális felosztás és pótlólagos állandó szám esetén is konvergált eredményt kapunk, a háló további sűrítésével pedig az eredmény pontossága már nem változik. 3. táblázat: Az pz.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N rúderő a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés táblázat: Az pz.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő M 3 nyomaték a φ=4 -hoz tartozó helyen Pótlólagos állandók száma Huzalonkénti elemek száma/menetemelkedés

57 pz=.5n/mm terhelés, 4elem/h pz=.5n/mm terhelés, 4elem/h N, [N] , [rad] Analitikus p N, [N] , [rad] Analitikus p pz=.5n/mm terhelés, 4elem/h pz=.5n/mm terhelés, 4elem/h N, [N] , [rad] Analitikus p3 N, [N] , [rad] Analitikus p5 9. ábra: Az pz.5 N / mmmegoszló terhelés hatására a huzalban ébredő N erő megoszlása a huzal hossza mentén a hengerkoordináta szög függvényében 48

58 4. KÉTRÉTEGŰ SODRAT VIZSGÁLATA Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A program tesztelése céljából egy számítási feladatot végeztünk el Costello könyvének egyik példája alapján [4]. A sodrat adatait az 5. táblázat tartalmazza. Mielőtt a konkrét szerkezet számításának néhány eredményét bemutatnánk, vegyünk egy egyszerűbb szerkezetet, két belső és két külső szállal azonos geometriai adatokkal és anyagállandókkal. A vizsgált egyszerűsített szerkezetet F 5. 5 kn erővel terheljük. A tehelést négy lépcsőben visszük fel. 5. táblázat: A számításhoz alkalmazot adatok [4] Rugalmassági-modulus E=6843 MPa Poisson-szám ν=.5 Súrlódási tényező μ=;.5 A maghuzal sugara R =.66 mm A két külső rétegben lévő huzalok sugara R =.565 mm; R 3 =.438 mm Külső spirális huzalok száma m =6; m 3 = Menetemelkedési szög α =8.5 ; α 3 =-75.5 Axiális terhelő erő rögzített végű sodrat esetén.75 kn; (5.5 kn)* Axiális terhelő erő szabad végű sodrat esetén 8. kn; (5.5 kn)* * az F=5.5 kn nagyságú terhelés az ++ szerkezetre vonatkozik. 4. Egyszerűsített sodratszerkezet nem elforduló véggel, Az egymást keresztező szálaknál a súrlódás miatt olyan erők keletkeznek, amelyek a szálak csavaró, hajlító, húzó igénybevételeiben szakadást idéznek elő. Mivel a szimmetrikus felépítésből és a terhelésből adódóan az egyes rétegek szálaiban azonos állapotok uralkodnak, így csak az első szálakra vonatkozóan mutatjuk az eredményeket. A szálaknál keletkező érintkezési nyomóerő a belső szál és a maghuzal közötti érintkezési nyomásban is nagymértékű hullámzást okoz. (lásd 3. ábra). Ezen a diagramon láthatjuk, hogy számos helyen addhézió van, de több helyen csúszás lép fel a mag és a belső szál között. Az egyik legjelentősebb igénybevétel a szálak húzása, a keletkezett húzóigénybevételeket a 3. ábra mutatja. A mag viseli a legnagyobb igénybevételt, a külső a legkisebbet. A 3. ábran a külső szálak csavaró nyomatékának megoszlását szemlélhetjük. A szálak keresztezési helyén jól látható a szakadás, ami összhangban van a súrlódó erőből számolttal. A Mises redukált feszültség szálak menti megoszlása a 33. ábran látható. A legnagyobb értékek a külső szálak kezdeti és vég keresztmetszeteiben találhatók. Távol a befogástól természetesen a szálak kölcsönhatásából adódóan a feszültség nem állandó. A jelen szerkezetben a külső szálak nagyobb mértékben terheltek mint a belső szálak, illetve a mag szál. Vagyis a hajlítási, csavarási igénybevételek jelentősek a húzáshoz képest. z 49

59 Angular displacement in the first wire of the inner layer 3 [rad] 6 x F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, -4 = z p [N/mm]: -, *p n [N/mm]: * F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = ábra: Szögelfordulás az. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél : -, : --, 3: -., 4: -: a), a súrlódási határ feszültség a mag és a belső szál között ill a τ csúsztató pn feszültség a 4. terhelési lépcsőben: b). ahol τ pn adhézió van, ahol τ pn a mag és a belső szál között csúszás lép fel 8 F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = 6 F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = N [N] N [N] F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = N [N] ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban 5

60 F =55 N, nwires=,,nelemw=96, menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = 4 8 F =55 N, nwires=,,nelemw=96, menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = Csavaró nyomaték a belsõ szálra [Nmm] Load number : -o, : - -, 3: -, 4: - - * Csavaró nyomaték a külsõ szálra [Nmm] Load number : -o, : - -, 3: -, 4: - - * a) b) F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5,ipoisson=ikhi=, z = F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5,ipoisson=ikhi=, z = M 3 [Nmm] M 3 [Nmm] c) d) 3. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték a) belső szálra átadódó, b) külső szálra átadódó. A belső és a külső szálban keletkező csavaró nyomatékok a különböző terhelési lécsőknél : -, : --, 3: -., 4: - : c) ill. d) F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = 8 F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = e [MPa] 5 4 e [MPa]

61 F =55 N, nwire=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z = 6 4 e [MPa] ábra: Mises féle redukált feszültség a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban 4. Egyszerűsített sodratszerkezet szabadon elforduló véggel, z Az eredményeket a 34. ábra ábra szemléltetik. Jellegre hasonlókat kapunk, mint a 4. fejezetben, nyilván a szögelfordulás (34. ábra, a) diagram) teljesen más az alsó lap szabad elfordulásából adódóan. x -3 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free 5 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free Szögelfordulás az elsõ réteg elsõ szálában 3 [rad] p [N/mm]: -, *p n [N/mm]: * ábra: Szögelfordulás az. réteg szálaiban az egyes terhelési lépcsőknél : -,: --,3: -.,4: - : a), a súrlódási határ feszültség a mag és a belső szál között, ill a τ csúsztató pn feszültség a 4. terhelési lépcsőben: b), ahol τ pn adhézió van, ahol τ pn a mag és a belső szál között csúszás lép fel 5

62 8 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free 6 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free N [N] 8 N [N] F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free N [N] ábra: Húzóigénybevétel a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban 8 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free e [MPa] 5 4 e [MPa]

63 5 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free e [MPa] ábra: Mises féle redukált feszültség a) a mag, b) az első réteg, c) a második (külső) réteg szálaiban F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z free 4 8 F =55 N, nszal=,,nelemw=96,menet=,np=5, ipoisson=ikhi=, z free 3 6 Csavaró nyomaték a belsõ szálra [Nmm] Load number : -o, : - -, 3: -, 4: - - * Csavaró nyomaték a külsõ szálra [Nmm] Load number : -o, : - -, 3: -, 4: - - * a) b) 4 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free 7 F =55 N, nszal=,, nelemw=96, menet=, p=5, z free M 3 [Nmm] 8 6 M 3 [Nmm] c) d) 37. ábra: A keresztező szálaknál a súrlódásból származó csavaró nyomaték a) belső szálra átadódó, b) külső szálra átadódó. A belső és a külső szálban keletkező csavaró nyomatékok a különböző terhelési lécsőknél : -, : --, 3: -., 4: - : c) ill. d) 54

64 Megállapíthatjuk, hogy a befalazási végektől egy bizonyos távolságra az egyes igénybevételek periódikusan azonos értéket vesznek fel. A húzási igénybevételen túl a hajlítási, csavarási igénybevételeknek a szerepe jelentős. Ehhez a példához kapcsoltan bemutatjuk az érintkezési erőkre vonatkozó (59)-(64) alatti iteráció konvergenciáját. A vizsgált rugó, az első réteg jelű szálán a második. 6. táblázat: A kontakterő értékek konvergenciája s u K 5.69 u F H H F H / c / m H H, num u uk F m H, num ch H, num. 797 c NL F H H / c NL, num FH, num / H, num Az 6. táblázat szerinti számítás jól demonstrálja a konvergenciát. Elvileg az u K u - nek zérusnak kell lennie, ami igen kis hibával teljesül, továbbá az egész szerkezetre vonatkozó feladat megoldásából kapott, (6) szerint számolt, F H érintkezési erőnek meg kell egyeznie az F, erővel, ami az K pontok közzé helyezett nemlineáris rugóban, H num a Hertz képlete alapján számított H, num u uk összenyomódásból keletkezett. Az iteráció első tíz lépésében az egész szerkezet számításánál a Poisson hatás csak fokozatosan kerül bevezetésre, azaz g ( s) e e N A e e,( s) E e e d s /, s=,,. Mivel végezetül a H és a H, num érték azonos, a nemlineáris rugót helyettesítő lineáris rugó állandók c NL és c NL, num is gyakorlatilag azonosak. Hasonlóan, a mag és az első szál közti rugalmas közegnél az érintkezési nyomás meghatározására vonatkozó iteráció konvergenciája fenn áll. 55

65 szerkezetű sodrat vizsgálata Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel A p-verziós végeselemes szoftverhez kifejlesztésre került egy kezelőfelület a bemenő adatok definiálására (38. ábra), valamint egy megjelenítő felület, amelyen az elemek és csomópontok kapcsolódását lehet megfigyelni. A bemenő adatokhoz kapcsolódó input adat file-okról bővebben a C. függelékben található információ. A pontérintkezésnél használt diszkrét rugóelemek, valamint a vonalérintkezésnél definiált rugalmas ágyazás szintén láthatóvá tehető. A megjelenítés során az egyes huzalok ábrázolása, illetve az elemek számozása tetszőlegesen ki/bekapcsolható. A 39. ábra-n az +6+-es szerkezet megjelenítése látható, amikor a legkülső rétegben lévő huzalok közül csak egy van bekapcsolva. A 4. ábra az első és a második réteg egy-egy huzaljának érintkezését szemlélhetjük. A két huzal négy helyen érinti egymást, ezeken a pontokon diszkrét rugóelemek láthatóak. A maghuzal és az első réteg egy huzalja között definiált rugalmas ágyazást mutatja a 4. ábra, a legkülső réteg kikapcsolt állapota mellett. 38. ábra Az input adatok bevitelére szolgáló felület 4.3. Rögzített végű sodrat húzása A 7. táblázat tartalmazza az eredmények összevetését a Costello példában találtakkal rögzített végű sodrat esetére ( z ). Az egy huzalban lévő elemek száma, n elemw 96. Az axiális ébredő erőt és csavaró nyomatékot összehasonlítva az egyezés rendkívűl jónak mondható. A számítást egy Intel Pentium 4-es számítógépen végeztük, ami 3GHz-es processzorral és Gb memóriával rendelkezik. A számítási idő 47 perc volt. 7. táblázat: Eredmények összehasonlítása F z [kn] M z [Nm] Costello [4] p-verzió

66 39. ábra: +6+ szerkezetű sodrat megjelenítése 4. ábra: Két keresztező huzal érintkezése 4. ábra: Rugalmas ágyazás a maghuzal mentén A 4.a, 43.a és 44.a ábrákon lévő rúderő diagramokból látszik, hogy a maghuzalban ébred a legnagyobb húzóerő. Az első rétegben ennél kb. 5%-kal, a második réteg huzaljaiban pedig 5%-kal kisebb ébredő rúderő van jelen, ami nem egy jelentős eltérés. A redukált feszültség azonban más képet mutat. Az átlagos feszültség nagyjából azonos értékű mindhárom huzal esetén, azonban a két külső rétegben a keresztező szálak érintkezése miatt ébredő kontaktterhelés hatására itt az érintkezési helyeken magasabb 57

67 feszültség érték adódik. A maghuzalhoz képest az eltérés az első rétegben.5%, a külső rétegben 3.%. Ez a sodrat tervezés szempontjából fontos jellemző, főleg ha nagy igénybevételnek lesz kitéve a kötél. A diagramokból továbbá az is megfigyelhető, hogy nem teljesen simák az eloszlás görbék. Ez a huzalok kölcsönhatásából adódik. Ez a hatás különösen feltűnő a 4.c., 43.c. és 44.c. ábrákon látható M 3 csavaró nyomaték eloszlásoknál és a 4.e., 43.e. és 44.e. ábrákon látható e redukált feszültség eloszlásoknál. A periodikus lengés a második réteg ellentétes menetemelkedésből származik, ugyanis ahol keresztezi az első réteg huzaljait ott nagyobb terhelés éri az adott huzalt. Ez a hullámzás a további eredményeken (kontaktnyomás (45. ábra), csúsztató feszültség (46. ábra), stb.) is megfigyelhetők. Ahol a csúsztató feszültség eléri a határfeszültséget, ott a két huzal között relatív elmozdulás történik, és kopásra veszélyes lesz. A 4. ábrán ilyen hely a befogás közelében van, a további szakaszokon a huzalok egymáshoz tapadnak. F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 6 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 4 N [N] 8 6 M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = e [MPa] e) Redukált feszültség 4. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 58

68 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 4 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 5 N [N] 8 M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 5 M [Nmm] 5 M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = e [MPa] e) Redukált feszültség 43. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 59

69 N [N] F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = e [MPa] e) Redukált feszültség 44. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) A két réteg közötti kölcsönhatást adó Hertz-erőből számított határterhelés és a keletkező nyíró erő a 49. ábran látható. E diagramból kiderül, mely pontokban történik csúszás, és mely helyeken van tapadás a két külső rétegben lévő huzalok között. A folyamatos vonal a F H határterhelést, a pontok az adott helyen ébredő súrlódó erőt jelentik. Ahol a pontok a folyamatos vonal, azaz a határterhelés alatt vannak, ott tapadás, ahol a görbével egybeesnek, ott relatív elmozdulás, csúszás történik. Ezek lesznek a veszélyes helyek a súrlódásos kifáradás szempontjából. Jelen eset azt mutatja, hogy a veszélyes hely a befogás környezetében van. Amint már korábban is szóltunk róla a terhelés felvitele a szerkezetre több lépcsőben történt, ezért a diagramokban a 4 különböző görbe a 4 terhelési lépcsőnek 6

70 megfelelő állapotot mutatja. A kontaktfeladat megoldása során büntetőparamétert választottunk. c.5 6 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 8 6 F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 6 5 p n [N/mm] p [N/mm]: -, *p n [N/mm]: * ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z =.. F H [N] 5 Relativ elmozdula ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N] F =.75 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között 49. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között 6

71 A rugalmas ágyazás és a diszkrét rugók kontakt jellemzői a 8. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak. 8. táblázat: Kontakt jellemzők Kontakt jellemzők Rugalmas ágyazás a maghuzal és az első réteg között Diszkrét rugóelem az első és második réteg között Kontakt deformació, mm Kontakterő, N Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm -.3 Kontaktfelület, nagytengely, mm Kontaktfeszültség, MPa A 5.a és 5.b ábrákon a sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő és csavaró nyomaték konvergencia diagramja látható a pótlólagos állandók által meghatározott szabadságfokok számának függvényében. p 3, 4, 5 pótlólagos állandó számnál az értékek azonosak, konvergált eredményt kaptunk. Fz, [kn] F=,75kN;nszal=6,;nelem=96;menet=;χ=,8,7,6,5,4,3,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Szabadságfokok száma x 4 Mz, [Nm] F=,75kN;nszal=6,;nelem=96;menet=;χ= 6,3 6, 6, 6, 6,9 6,8 6,7 6,6 6,5,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Szabadságfokok száma x 4 5. ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=,,5 a) A sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő, b) A sodratban ébredő csavaró nyomaték 4.3. Szabadvégű sodrat húzása A 9. táblázat tartalmazza az eredmények összevetését a Costello példában találtakkal szabadvégű sodrat esetére ( z ). Az egy huzalban lévő elemek száma, n elemw 96. Az F=8. kn nagyságú axiális terhelő erő esetén az egységnyi hosszra eső elcsavarodást összehasonlítva az egyezés rendkívűl jónak mondható. 6

72 9. táblázat: Eredmények összehasonlítása F z [kn] τ [rad/mm] Costello [4] p-verzió Az 5.a. és 53.a. ábrákon lévő rúderő diagramokból látszik, hogy az első és a második réteg huzaljaiban ébredő rúderő igen jelentősen különbözik egymástól (~65%). Ez a sodrat tervezés szempontjából fontos jellemző, főleg, ha nagy igénybevételnek lesz kitéve a kötél. A diagramokból továbbá az is megfigyelhető, hogy nem teljesen simák az eloszlás görbék. Ez a huzalok kölcsönhatásából adódik. Ez a hatás különösen feltűnő az 5.c. és 53.c. ábrán látható M hajlító nyomaték és e redukált feszültség eloszlásánál. A periodikus lengés a második réteg ellentétes menetemelkedésből származik, ugyanis ahol keresztezi az első réteg huzaljait ott nagyobb terhelés éri az adott huzalt. Ez a hullámzás a további eredményeken (kontaktnyomás (54. ábra), csúsztató feszültség (55. ábra), stb.) is megfigyelhetők. Ahol a csúsztató feszültség eléri a határfeszültséget, ott a két huzal között relatív elmozdulás történik, és kopásra veszélyes lesz. A 55. ábra-n ilyen hely a befogás közelében van, a további szakaszokon a huzalok egymáshoz tapadnak. A két réteg közötti kölcsönhatást adó Hertz-erőből számított határterhelés és a keletkező nyíró erő az 58. ábra-n látható. A rögzített végű esethez hasonlóan, ahol a pontok a folyamatos vonal, azaz a határterhelés alatt vannak, ott tapadás, ahol a vonallal egybeesnek, ott relatív elmozdulás, csúszás történik. Ezek lesznek a veszélyes helyek a súrlódásos kifáradás szempontjából. Most is, a veszélyes hely a befogás környezetében 6 van. A kontaktfeladat megoldása során c.5 büntetőparamétert választottunk. A rugalmas ágyazás és a diszkrét rugók kontakt jellemzői a. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak.. táblázat: Kontakt jellemzők Kontakt jellemzők Rugalmas ágyazás a maghuzal és az első réteg között Diszkrét rugóelem az első és második réteg között Kontakt deformació, mm.69.9 Kontakterő, N Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm -.34 Kontaktfelület, nagytengely, mm Kontaktfeszültség, MPa

73 F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 8 F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 7 5 N [N] M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 5 5 M [Nmm] 5-5 M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free e [MPa] e) Redukált feszültség 5. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 64

74 F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 8 F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 5 7 N [N] M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 4 F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free M [Nmm] 8 6 M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free e [MPa] e) Redukált feszültség 5. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 65

75 N [N] F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free M [Nmm] F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free a) Rúderő b) Hajlító nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free M [Nmm] -5 M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték F =8. kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free e [MPa] e) Redukált feszültség 53. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) 66

76 F =8 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free 6 F =8 kn, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z free.6 p n [N/mm] ábra: A kontaktnyomás eloszlása a maghuzal és az első réteg huzalja között F =75 kn, nszal=6,,nelemw=74,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 3 p [N/mm]: -, *p n [N/mm]: * ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél.6 F =75 kn, nszal=6,,nelemw=74,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5.4 F H [N] 5 5 Relativ elmozdula ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között F =75 kn, nszal=6,,nelemw=74,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N] ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között A 59.a és 59.b ábrákon a sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő és a sodratvég szögelfordulásának konvergencia diagramja látható a pótlólagos állandók alapján adódó szabadságfokok számának függvényében. p 3, 4, 5 pótlólagos állandó számnál az értékek azonosak, konvergált eredményt kaptunk. 67

77 Fz, [kn] F=8kN;nszal=6,;nelem=96;menet=;χ 8,5 8, 79,95 79,9 χ z, [ ] F=8kN;nszal=6,;nelem=96;menet=;χ 9,9 9,88 9,86 9,84 9,8 79,85,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Szabadságfokok száma x 4 9,8,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 Szabadságfokok száma x ábra: A polinomok fokszámának hatása az eredmények pontosságára, p=,,5 b) A sodratban ébredő eredő tengelyirányú erő, b) A sodrat végének szögelfordulása Rögzített végű sodrat hajlítása Mind a sodratoknál, mind a köteleknél előfordulhat olyan helyzet, amikor a sodrat futása során ki van térítve egyenes helyzetéből, például egy nagyméretű dobon való áthaladáskor, vagy amikor például a függő terhet a szélterhelés kimozdítja síkjából. Ezekben az esetekben, a hajlítás sugara nagy, ezért alkalmazható a kis elmozdulás, kis alakváltozás feltételezés. Kötélhajtásoknál alkalmazott dobok és tárcsák esetén a sodrat (kötél) és dob átmérőviszonya ezt már nem teszi lehetővé, ott nagy elmozdulás figyelembevétele szükséges. A kutatás során kidolgozott modell ebben a tartományban már nem érvényes, viszont nagy hajlítási sugarak esetén, kis mértékű hajlítás elemzését lehetővé teszi. A vizsgált sodrat a húzó igénybevételnél elemzett sodrattal (4.3 fejezet) megegyező, viszont a terhelést kiegészítjük egy x-irányú F x =5 N erővel, ami a hajlítást fogja eredményezni. A húzó terhelést továbbra is működtetjük a sodraton, mint egy előfeszítést, ugyanis általában a hajlító terhelés ritkán fordul elő egymagában. A és 6-6. ábrákat összevetve látható, hogy a húzóterheléshez viszonyítva igen kis hajlító erő jelentősen megváltoztatja a huzalban ébredő igénybevételeket. Összehasonlítva a és ábrákat kiderül, hogy az x-irányú hajlító terhelés jelentős változást okoz az érintkező huzalok kölcsönhatásában is. A relatív elmozdulás már a sodrat teljes hossza mentén megjelenik, nemcsak a befogás környezetében és jelentősen nagyobb értéket képvisel. 68

78 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 6 6 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 4 4 N [N] 8 M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték 9 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 8 7 e [MPa] e) Redukált feszültség 6. ábra: A maghuzal igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 69

79 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z =.8 x 4 4 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = N [N] M [Nmm] a) Rúderő b) Hajlító nyomaték Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] M 3 [Nmm] c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték 4 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = e [MPa] e) Redukált feszültség 6. ábra: A belső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség e) 7

80 N [N] Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M [Nmm] Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = a) Rúderő b) Hajlító nyomaték M [Nmm] Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = M 3 [Nmm] Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = c) Hajlító nyomaték d) Csavaró nyomaték Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 8 e [MPa] e) Redukált feszültség 6. ábra: A külső réteg szálainak igénybevételei: a)-d) és a redukált feszültség: e) 7

81 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 5 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 6 p n [N/mm] 5 5 p [N/mm]: -, *p n [N/mm]: * ábra: Kontaktnyomás eloszlás a maghuzal és az első réteg huzalja között 5 Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = 64. ábra: A csúsztató feszültség és határfeszültség eloszlása a sodrat hossza mentén a 4-dik terhelési lépcsőnél. Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = F H [N] Relativ elmozdula ábra: Kontakterő eloszlás az első és második réteg huzaljai között Surlodo ero (*, o) hatar surlodas (- -, -) [N] Fx=5 N, nszal=6,,nelemw=96,menet=,np=3, ipoisson=ikhi=, z = ábra: Relatív elmozdulás az első és második réteg huzaljai között 67. ábra: A súrlódó erő és határerő eloszlása az első és a második réteg huzaljai között A pontérintkezés során kapott kontakt jellemzői a. táblázatban láthatóak. A bemutatott és konvergált értékek a számítás utolsó terhelési lépcsőjének utolsó iterációs ciklusából származnak. 7

82 . táblázat: Kontakt jellemzők hajlítás esetén Kontakt jellemzők Rugalmas ágyazás a maghuzal és az első réteg között Diszkrét rugóelem az első és második réteg között Kontakt deformació, mm Kontakterő, N Rugó merevség, N/mm Kontaktfelület, kistengely, mm -.9 Kontaktfelület, nagytengely, mm Kontaktfeszültség, MPa Mint látható, már egy igen kis értékű hossztengelyre merőleges terhelés (F x =5N) is a relatív elmozdulás majd -szeresét okozza a hossztengelyű terheléshez képest (66. ábra). A relatív elmozdulás a külső rétegben lévő huzalok között Δx=.93 mm. Mindeközben a kontaktterhelés szinte semmit sem változik. Az adott terhelési állapot mellett a vizsgált sodrat x-irányú elmozdulása u x =9.77 mm, z-irányú elmozdulása u z =.57 mm. Fontos megjegyezni tehát, hogyha a sodrat alkalmazása során kismértékű, a hossztengelyre merőleges, vagy azzal valamilyen szöget bezáró terhelésnek lehet kitéve, akkor a relatív elmozdulások jóval nagyobbak lehetnek a huzalok között. Ez azért fontos, mert ez kopáshoz vezethet, és egy bizonyos ciklusszám esetén tönkremenetelhez. Ugyanis a kopás mértéke függ a kontakterőtől, a relatív elmozdulás nagyságától, anyagi paraméterektől és a ciklusszámtól. A számítás konvergenciája hasonlóan igazolható, mint a rögzített és szabadvégű sodratok húzása esetán. 73

83 5. A KIDOLGOZOTT MODELL VALIDÁLÁSA Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Ebben a fejezetben bemutatásra kerül, hogy a kidolgozott p-verziós módszer milyen összhangban van az irodalomban található számítási és mérési eredményekkel. Három különböző példát választottunk a validáláshoz. Az első példa Costello könyvéből [4] való, mely egy +6 szerkezetű sodratot elemez, először tengelyirányú húzó igénybevétel esetén, külön vizsgálva a befogott végű és a szabadon elforduló végű sodratokat, majd hajlító igénybevétel esetére is. Az eredményeket a Costello-elméletben [4] található formulákkal elvégzett számításokkal hasonlítottuk össze. Costello példájára azért esett a választás, mert az ő általa elért eredményeket mindenki elismeri, könyve és cikkei alapműnek számítanak a sodratokkal foglalkozók körében. A számítást egy Intel Pentium 4-es számítógépen végeztük, ami 3GHz-es processzorral és Gb memóriával rendelkezik. A számítási idő perc volt. A Costello-elméletben a húzó terhelés, mint tengelyirányú fajlagos nyúlás van definiálva, (ε), és eredményként kapjuk meg a tengelyirányú erőt. A p-verziós végeselemes szoftverben a tengelyirányú erőt tudjuk definiálni, és eredményként a tengelyirányú fajlagos nyúlást fogjuk megkapni. A 3. táblázat-4. táblázatokban a húzó igénybevételre elvégzett számítás eredményeit hasonlíthatjuk össze mindkét befogási mód esetén. Az eredmények kiváló összhangban vannak egymással.. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok [4] Rugalmassági-modulus E=965 MPa Poisson-tényező ν=.5 A maghuzal sugara R =.66 mm Külső spirális huzal sugara R =.5654 mm Külső spirális huzalok száma m =6 A sodrat menetemelkedése H =47.65 mm Menetemelkedési szög α =8.5 Tengelyirányú fajlagos nyúlás ε=.3 A hajlításhoz alkalmazott dob sugara ρ=438.4 mm 3. táblázat: Eredmények összehasonlítása rögzített végű sodrat húzása esetén Húzás Eredmények Rögzített végű sodrat Costello-elmélet p-verziós VEM Tengelyirányú erő a sodratban: F z N N Csavaró nyomaték a sodratban: M z Nmm 4835 Nmm Tengelyirányú elmozdulás: u z.978 mm.966 mm Normálfeszültség a huzalban: σ MPa 58.7 MPa 4. táblázat: Eredmények összehasonlítása szabadon elforduló végű sodrat húzása esetén Húzás Eredmények Szabadon elforduló sodrat Costello-elmélet p-verziós VEM Tengelyirányú erő a sodratban: F z N N Tengelyirányú elmozdulás: u z.3659 mm.34 mm Szögelfordulás: Θ z.5 rad.5 rad Normálfeszültség a huzalban: σ 79 MPa 73. MPa 74

84 A p-verziós szoftver a Hertz-elmélet alapján számítja a kontakt paramétereket. A 5. táblázat tartalmazza az érintkező felületek között definiált rugó állandóját, az érintkezési sáv szélességét, a maximális kontaktnyomást és a kontakt deformáció értékét mindkét befogási mód esetén. 5. táblázat: Kontakt paraméterek Rögzített végű sodrat Szabadon elforduló sodrat Rugóállandó, c 9446 N/mm 8997 N/mm Érintkezési sáv szélessége, b.447 mm.37 mm Maximális kontaktnyomás, p 9.34 MPa 93.4 MPa Kontakt deformáció, δ.33 mm.3 mm A hajlító igénybevétel számításánál ugyanazokat a geometriai és anyagadatokat használtuk, mint a húzás esetében. A feladat egy ρ sugarú dobra történő hajlításként értelmezhető. A számítási eredmények a 6. táblázatban találhatóak, illetve 68. ábra-n láthatunk egy diagramot, ahol a külső huzalban ébredő hajlító nyomaték van ábrázolva a sodrat hosszának függvényében. 6. táblázat: Számítási eredmények összehasonlítása hajlítás esetén Eredmények Hajlítás Costello-elmélet p-verziós VEM Hajlító nyomaték a sodratban: M y 94 Nmm 94 Nmm Hajlító nyomaték egy spirális huzalban: M 7 Nmm 7 Nmm Normálfeszültség egy spirális huzalban: σ 4.5 MPa 4.6 MPa A számítások során a p-verziós szoftverrel négy menetemelkedés hosszúságú sodratot vizsgáltunk, az eredményeket pedig a sodrathossz közepének megfelelő helyről vettük ki. A szoftver nem csak egy végtelen hosszú sodrat közepén lejátszódó viselkedés elemzésére alkalmas, hanem a befogás hatását is képes figyelembe venni. A második példa Ghoreishi [4] cikkéből való. Ő elsősorban rostszálú sodratokkal foglalkozott, de acélból készült szerkezetet is elemzett. A [4] cikkében egy részletes összefoglalást ad az irodalomban található legjelentősebb analitikus modellekről és jellemzőikről, melyeket felhasználva összehasonlítást készít az általa kidolgozott h-verziós végeselemes modellel. Emiatt az összehasonlítás miatt választottuk ezt a példát, mert így nemcsak egy, hanem egyszerre több (egészen pontosan kilenc) modellel is összehasonlíthatjuk az eredményt. Ez szintén egy +6 szerkezetű sodrat a [4] irodalom adatai alapján (7. táblázat). A terhelés tengelyirányú húzás. 7. táblázat: Számításhoz alkalmazott adatok Rugalmassági-modulus E=979 MPa Poisson-tényező ν=.3 A maghuzal sugara R =.97 mm Külső spirális huzal sugara R =.865 mm Külső spirális huzalok száma m =6 Menetemelkedési szög α =.5-35 Tengelyirányú terhelő erő F=4 kn 75

85 A (74) egyenlet alapján, meghatároztuk a merevségi mátrix elemeit különböző menetemelkedési szögek esetére, és összehasonlítottuk az [4]-ban található diagramokkal (8. táblázat). Mint az a 69. ábra - 7. ábra-n is látható, az eredmények jó egyezést mutatnak egymással. A merevségi mátrix elemei dimenziótlanított mennyiségek. A (74) egyenletben szereplő jelölések a következők: F z a rúderő, M z a csavarónyomaték, K, K, K, K a merevségi mátrix elemei, uzz uz / z, zz z / z a tengelyirányú fajlagos nyúlás és szögelfordulás. Az uzz, zz meghatározásához a négy menetemelkedés hosszúságú sodrat azon szakaszát tekintettük csak, amely távol van a befogásoktól, tehát azok hatását nem vettük figyelembe, mivel az irodalmi eredmények végtelen hosszúságú kötél közepének megfelelő helyre vonatkoznak. A zavarásmentes hossz kezdeti és végpontjának elmozdulását, illetve szögelfordulását elosztva a zavarásmentes szakasz hosszával meghatározhatók az u, értékek. zz zz F M z z K K K K u zz zz (74) 8. táblázat: Merevségi mátrix elemek összehasonlítása Merevségi mátrix elemek α=73 K [kn] K =K [Nm] K [Nm ] M z [Nm] (rögzített végű sodrat) Θ zz [rad/m] (szabadon elforduló végű sodrat) p-vem D-VEM Mérés Hajlító nyomaték egy spirális huzalban M [Nmm] Analitikus modell p-verziós VEM - -3 Sodrathossz [mm] 68. ábra: Hajlító nyomaték eloszlás összehasonlítása a sodrat hossza mentén 76

86 ,5,8,6 p-version FEM LAB, HRU, McC, MAC, SAT COS, KU, RAM,45,4,35 K,4,,8 h-version FEM K,3,5,,5,,5 p-version FEM LAB, HRU, McC, MAC, SAT COS, KUM, RAM h-verion FEM,6 3 4 Menetemelkedési szög 69. ábra: K merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében,4 3 4 Menetemelkedési szög, [ ] 7. ábra: K =K merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében K,35,3,5,,5,,5 p-version FEM LAB, McC HRU COS, KUM, MAC SAT RAM h-version FEM 3 4 Menetemelkedési szög, [ ] 7. ábra: K merevségi mátrix komponens a menetemelkedési szög függvényében A validáláson kívűl még további eredményeket is sikerült elérni. Például a szabadon elforduló végű sodratoknál a menetemelkedés függvényében meghatároztuk az sodrat végének elfordulását (7. ábra). Ezenkívűl összehasonlító diagramokat szerkesztettünk a különböző befogási módok hatásának vizsgálatára a kontakt-paraméterekkel kapcsolatban (73. ábra. és 74. ábra). A diagramok elkészítéséhez az eredményeket a sodrathossz közepének megfelelő helyről vettük ki. A harmadik példában a számítási eredményeket mérési adatokkal is összehasonlítjuk. A mérési adatok viszonylagos hiánya miatt a kutatók nagy része Utting és Jones munkáira [34],[35] hivatkozik a publikációikban, amikor eredményeiket verifikálják. Ezt alapul véve, a [3] alapján egy +6+ szerkezetű sodrat vizsgálatát végeztük el, ahol a külső () () rétegekben lévő huzalok azonos irányban vannak feltekerve a maghuzalra,. () Ez alapján a második rétegben lévő huzalok menetemelkedése H nagyobb, mint az első rétegben lévő huzaloké. Emiatt a két réteg között pontérintkezés alakul ki. Definiáljuk a () () menetemelkedési tényezőt: np H / H. A számítás kiinduló adatait a 9. táblázat tartalmazza. 77

87 Elcsavarodás, [ ] Menetemelkedési szög, [ ] 7. ábra: Szabadon elforduló végű sodrat elcsavarodása a menetemelkedés függvényében Kontaktnyomás, [N/mm ] Kontaktnyomás - rögzített végű sodrat Kontaktnyomás - szabadvégű sodrat 3 4 Menetemelkedési szög, [ ] 73. ábra: Kontaktnyomás változása a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál Érintkező testek közeledése, [mm],4,,,8,6,4, Közeledés - rögzített végű sodrat Közeledés - szabadvégű sodrat 3 4 Menetemelkedési szög, [ ] 74. ábra: Kontaktdeformáció változás a menetemelkedés függvényében különböző befogási módoknál 9. táblázat: A számításhoz szükséges adatok, [3] Rugalmassági-modulus E= 88 MPa Poisson-tényező ν=.3 Súrlódási tényező μ=;.5 A maghuzal sugara () d / =3.66 mm A két külső rétegben lévő huzalok sugara () d / =3.33 mm () d / =3.33 mm Külső spirális huzalok száma m =6; m = Menetemelkedési szög () = ; () = Axiális terhelő erő kn és 75 kn A vizsgált sodrat belső rétege két teljes menetemelkedés hosszúságú, és tengelyirányú húzó erővel terhelt. A sodrat alsó vége lehet rögzített és szabadon elforduló egyaránt. A szerkezet hossza L 68.mm. A 3. táblázat-3. táblázat tartalmazza a szerkezet st 78

88 globális merevségére jellemző értékeket ( u z, z,,, M z ), melyeket a számítás során meghatároztunk. Nyilvánvalóan, a szabadon elforduló végű sodrat esetén a sodrat elfordulásával kell számolni, valamint nagyobb axiális nyúlással, ugyanakkor kisebb maximális feszültséggel, mint a rögzített végű sodratnál. A huzalok közötti kölcsönhatást a fentebb leírt módon vesszük figyelembe. A p-verziós modell és szoftver alkalmazhatóságának és pontosságának bizonyítása a szerkezetre meghatározott globális merevséghez tartozó értékek összehasonlítása alapján történt. 3. táblázat: Szabadvégű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények Szabadvégű sodrat u z [mm] z [rad] u z / L z / L L 68. mm F 5 kn F kn W, F 5 kn F kn W, F 5 kn F kn W, F 5 kn F kn , W súrlódási tényező a maghuzal és az első réteg huzaljai között súrlódási tényező az első és a második réteg huzaljai között W 3. táblázat: Rögzített végű sodrat globális merevségéhez tartozó eredmények Rögzített végű sodrat () u [mm] = z M z [knmm] u z / L st L st 68. mm F 87.5 kn F 75 kn W, F 87.5 kn F 75 kn , W A [3]-ban talált számítási eredményeket összehasonlítottuk a kidolgozott modell által szolgáltatott eredményekkel (75. ábra ábra). Az egyezés a görbék között nagyon jó. A diagramok mérési adatokat is tartalmaznak, Utting és Jones alapján [3]. Az eredmény azt mutatja, hogy a súrlódásnak elhanyagolható hatása van a sodrat globális viselkedésére. Azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a kifejlesztett modell jól leírja a szerkezet mechanikai viselkedését a rugalmas tartományban. Rugalmas-képlékeny deformáció csak nagyobb terhelés esetén fordul elő ( F 75 kn rögzített végű sodrat esetén), ebben az esetben a modellünk nem érvényes. A különböző rétegekben elhelyezkedő huzalokban ébredő egyéb jellemző igénybevételekről, valamint az egyes rétegek közötti kölcsönhatásról további diagramokat, hasonlóan a 4.3. és 4.3. fejezetekben közölt diagramokhoz, a C. függelék tartalmaz. 79

89 75. ábra: A tengelyirányú erő változása a sodrat tengelyirányú nyúlásának függvényében rögzített végű sodrat esetén 76. ábra: A tengelyirányú erő változása a csavaró nyomaték függvényében rögzített végű sodrat esetén 77. ábra: A tengelyirányú erő változása a elcsavarodás függvényében szabadon elforduló végű sodrat esetén 8

90 6. TERVEZÉSI GÖRBÉK ELŐÁLLÍTÁSA Sodratszerkezet vizsgálata p-verziós végeselem módszerrel Egy kétrétegű sodrat elemzését végeztük el a Costello-könyv [4] alapján. A 3. táblázat tartalmazza a vizsgált szerkezet geometriai és anyag adatait. Megvizsgáltuk, hogy az egyes geometriai paraméterek miként befolyásolják a szerkezet igénybevételét, és 3D-s tervezési görbéket szerkeszettünk a kapott eredmények alapján, melyek a 78. ábra ábrakon láthatóak. A 78. ábra - 8. ábra a különböző rétegekben lévő huzalokban ébredő maximális Mises redukált feszültséget mutatja a menetemelkedési szög és a huzal sugarak arányának függvényében. Öt különböző menetemelkedési szög értéket és sugárarányt vizsgáltunk, a számítások során alkalmazott értékek a 33. táblázatban láthatóak. A vizsgált szerkezet esetén rögzített és szabadvégű végű sodratot is vizsgáltunk. A tervezési görbék megszerkesztéséhez felhasznált eredmények (Mises redukált feszültség, kontaktfeszültség, kontakterő) a vizsgált sodrathosszúság közepének megfelelő helyről származnak. 3. táblázat: A sodrat számításhoz felhasznált kiinduló adatok Rugalmassági-modulus E=6843 MPa Poisson-tényező ν=.5 Súrlódási tényező μ=;.5 A maghuzal sugara R =.66 mm A két külső rétegben lévő huzalok sugara R =.565 mm; R 3 =.438 mm Külső spirális huzalok száma m =6; m 3 = Menetemelkedési szög α =8.5 ; α 3 =-75.5 Axiális terhelő erő rögzített végű sodrat esetén.75 kn Axiális terhelő erő szabad végű sodrat esetén 8. kn A külső rétegben lévő huzalok sugarának aránya, R /R táblázat: Módosított adatok a paraméter analízishez Menetemelkedési szög, [ ] A külső rétegben lévő huzalok sugarának aránya, R /R Rögzített végű sodrat, {},{5},{8} A 78. ábra - 8. ábra-n a Mises-féle redukált feszültség látható a különböző rétegek huzaljaiban. A maghuzal esetén a Mises feszültség kisebb értékű a menetemelkedési szög nagyobb, és a sugárarány alacsonyabb értékénél. Növelve a sugárarányt, a Mises feszültség is növekszik 3.%-kal az α=85 -nál, és.54%-kal az α=75 -nál. Állandó sugárarány esetén a Mises feszültség növekszik a menetemelkedési szög csökkentésével. Hasonló jelleg figyelhető meg a belső réteg huzaljaiban, azonban egy magasabb feszültség szinten. A feszültség.59%-kal nagyobb α=85 -nál, és közel állandó α=75 -nál. A külső huzalok esetén ez a tendencia megváltozik. A feszültség minimum értéke alacsony menetemelkedési szögnél és alacsony sugáraránynál található. Ennek magyarázata egyrészt a pontérintkezésben kereshető, másrészt a kontaktfelületek nagysága a magasabb sugárarány esetén kisebb, ezért a kontaktfeszültség itt nagyobb lesz. A sugárarány növelése 8

91 a feszültség 9.55%-os (α=85 -nál), illetve 7.%-os (α=75 -nál) növekedéséhez vezet. Állandó sugárarány esetén a feszültség növekszik a menetemelkedési szög növelésével. A legnagyobb feszültség a külső huzalokban van nagy menetemelkedési szög esetén kb. 8 ig, míg a legkisebb feszültség a maghuzalban ébred, azonban kisebb menetemelkedési szög esetén ez megváltozik, és a belső rétegben lesz nagyobb a feszültség értéke, és a külső huzalban lesz a legkisebb. Ez a tendencia a sugárarány változtatásával is megmarad. Nézzük a kontaktfeszültség alakulását a maghuzal és az első réteg között (8. ábra). Magas menetemelkedési szög esetén értéke nagyon alacsony, de csökkentve a szög értékét, a kontaktfeszültség meglehetősen gyorsan és nemlineáris módon növekszik. Állandó menetemelkedési szög esetén a kontaktfeszültség 3.3% (α=85 -nál) %-kal (α=75 nál) csökken a sugárarány függvényében. A külső rétegben, a keresztező szálak közötti kontakterő eloszlást láthatjuk az 8. ábra-n. Maximum értéke alacsony menetemelkedési szög és alacsony sugárarány értéknél található. Növelve a menetemelkedési szög értékét a kontakterő jelentősen csökken, és magasabb sugárarány esetén is alacsonyabb kontakterő értékek figyelhetők meg. A 83. ábra alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a redukált csavaró nyomaték kisebb menetemelkedési szög és kisebb sugárarány esetén magasabb, valamint a menetemelkedési szög nagyobb befolyásoló hatással van rá. Hasonló tendenciát tapasztalt Utting és Jones is [34],[35]. 6. Szabadvégű sodrat A 78. ábra - 8. ábra-n a Mises-féle redukált feszültség eloszlást vizsgálva a különböző rétegek huzaljaiban a következő megállapításokat tehetjük: a maghuzal esetén a Mises feszültség kisebb értékű a menetemelkedési szög nagyobb, és a sugárarány alacsonyabb értékénél. A sugárarányt növelve a Mises feszültség is növekszik 7.54%-kal az α=85 -nál, és 4.%-kal az α=75 -nál. Állandó sugárarány esetén a Mises feszültség növekszik a menetemelkedési szög csökkentésével. Hasonló jelleg figyelhető meg a belső réteg huzaljaiban, azonban egy magasabb feszültség szinten. A feszültség 5.98%-kal nagyobb α=85 -nál, és 3.9%-kal α=75 -nál. A külső huzalok esetén ez a tendencia megváltozik. A feszültség minimum értéke alacsony menetemelkedési szögnél és alacsony sugáraránynál található. Ennek magyarázata egyrészt a pontérintkezésben kereshető, másrészt a kontaktfelületek nagysága a magasabb sugárarány esetén kisebb, ezért a kontaktfeszültség itt nagyobb lesz. A sugárarány növelése a feszültség 3.5%-os (α=85 -nál), illetve 3.9%- os (α=75 -nál) növekedéséhez vezet. Állandó sugárarány esetén a feszültség növekszik a menetemelkedési szög növelésével. A legnagyobb feszültség a belső réteg huzaljaiban ébred a vizsgált menetemelkedési szögtartomány egészén, míg a legkisebb feszültség a külső huzalokban van jelen. Ez a tendencia a sugárarány változtatásával is megmarad. Elemezzük most a kontaktfeszültséget a maghuzal és az első réteg között (8. ábra). Magas menetemelkedési szög esetén értéke nagyon alacsony, de csökkentve a szög értékét, a kontaktfeszültség meglehetősen gyorsan és nemlineáris módon növekszik. Állandó menetemelkedési szög esetén a kontaktfeszültség.36% (α=85 -nál) -.97%-kal (α=75 nál) csökken a sugárarány függvényében. A külső rétegben, a keresztező szálak közötti kontakterő eloszlást láthatjuk az 8. ábra-n. Maximum értéke alacsony menetemelkedési szög és alacsony sugárarány értéknél található. Növelve a menetemelkedési szög értékét a kontakterő jelentősen csökken, és magasabb sugárarány esetén is alacsonyabb kontakterő értékek figyelhetők meg. 8

92 A 84. ábra alapján a sodrat szögelfordulása kisebb menetemelkedési szög és nagyobb sugárarány esetén alacsonyabb, valamint a menetemelkedési szög nagyobb befolyásoló hatással van rá. Hasonló tendenciát tapasztalt Utting és Jones is [34],[35]., [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány, [MPa] , [ ] 8,5 Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 78. ábra: Mises redukált feszültség a maghuzalban 85,3,,9,7,5 R/R3 arány, [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány, [MPa] , [ ] 8,5 Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 79. ábra: Mises redukált feszültség az első réteg egy huzaljában 85,3,,9,7,5 R/R3 arány 5 8 4, [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány, [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 8. ábra: Mises redukált feszültség a második réteg egy huzaljában 83

93 8 p n, [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány p n, [MPa] , [ ] 8,5 85,3,,9,7,5 R/R3 arány 5 Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 8. ábra: Kontaktfeszültség a maghuzal és az első réteg között 5 4 F H, [N] , [ ] 8,5 85,5,3,,9,7 R/R3 arány F H, [N] , [ ] 8,5 85,5,3,,9,7 R/R3 arány Rögzített végű sodrat Szabadvégű sodrat 8. ábra: Az első és második réteg között ébredő kontakterő Mz, [Nm] , [ ] 8 8,5 85,5,3,,9,7 R/R3 arány 83. ábra: Redukált csavaró nyomaték 84. ábra: Sodrat szögelfordulása z, [ ] , [ ] 8 8,5 85,5,7,9,3, R/R3 arány 84