Kvantum rendszerek allapotrekonstrukcioja

Átírás

1 Kvantum rendszerek allapotrekonstrukcioja tudomanyos diakkori dolgozat Szanto Andras matematikus hallgato BME Analzis tanszek Temavezet}ok: Hangos Katalin es Petz Denes Kivonat Egy osszetett kvantum rendszer allapota rekonstrualhato az egyik reszrendszeren vegzett meresekb}ol, ha a ket reszrendszer kozott kolcsonhatasokat kapcsolunk be. A dolgozatban ket kvantum bit}ol allo osszetett rendszert vizsgalunk, es celunk annak megallaptasa, hogy minimalisan hany kolcsonhatasra van szukseg a hatekony es teljes rekonstrukciohoz. A kerdes arra a matematikai problemara vezethet}o vissza, hogy az eredeti rendszerhez tartozo matrixalgebra hogyan bonthato fel olyan reszalgebrakra, melyek szinten matrixalgebrak. A problema a komplementaris meresek fogalmanak reszalgebrakra valo kiterjesztesehez is elvezet. A dolgozatban reszletesen targyaljuk a ket kvantum bit}ol allo rendszert lero 4x4-es matrixalgebra esetet. Megmutatjuk, hogy legalabb hat reszalgebra szukseges a teljes 4x4-es matrixalgebra linearis kifesztesehez, ha a reszalgebrakat elemi tenzorokkal lehet generalni. Mind a hat reszalgebra nem lehet (paronkent) komplementaris, de negy paronkent komplementaris reszalgebra konnyen konstrualhato. A linearis kifeszteshez egy otodik reszalgebrat veletlen uniterrel is generalhatunk. Erdekessegkeppen azt is megmutajuk, hogy az otodik reszalgebra Hadamard-matrixokkal is kifeszthet}o. Petz es Kahn bizonytottak, hogy ot paronkent komplememtaris reszalgebra nem letezik. Erre az eredmenyre uj bizonytast adunk, es azt is megmutatjuk, hogy ha a negy komplementaris reszalgebrat elemi tenzorok generaljak, akkor az ortogonalis komplementumuk kommutatv algebra. SZTAKI Rendszer- es Iranytaselmeleti Kutato Laboratorium BME Analzis tanszek

2 Tartalomjegyzek. Bevezetes 3. Alapfogalmak 3.. Veges kvantummechanikai rendszerekr}ol Kvantum bit es allapotanak reprezentacioja Ket kvantum bit allapotanak rekonstrukcioja Absztrakt Pauli-matrixok Elemi tenzorok esete Rekonstrukcio elemi tenzorokkal Minimalis rekonstrukcio Minimalis rekonstrukcio veletlen uniter transzformaciokkal Komplementaritas Hasznos uniterek Konstrukcio Komplementaritas ket kvantum bit eseteben Paronkent komplementaris algebrak ortokomplementuma Osszefoglalas Tovabbi kutatasi iranyok

3 . Bevezetes A kvantum rendszerek lerasanak, allapot reprezentaciojanak es iranytasanak matematikai problemai napjaink meltan nepszer}u, elmeletileg erdekes es gyakorlati szempontbol is fontos kutatasi teruletei. A kvantum rendszerek kezelesenek matematikai problemait az informacioatvitel ujfajta modjai es a kvantumszamtogep elmeleti megjelenese is motivalja [3, ]. Az iranytashoz is szorosan kapcsolodo problemakor a kvantumrendszerek allapotbecslese, masszoval a kvantumtomograa []. Amennyiben a rendszer egeszere vonatkozo mereseket vegzunk, akkor egy erdekes, es az irodalomban alaposan vizsgalt kerdes az, hogy hany es milyen obszervabilis kell ahhoz, hogy az allapotot hatekonyan rekonstrualni tudjuk. Konny}u latni, hogy egy N szint}u rendszer allapotrekonstrukciojahoz legalabb N =(N ) = N + obszervabilisra van szukseg. Termeszetesen az obszervabiliseket tobbszor is meg kell merni, a rendszer azonos modon preparalt peldanyain, mivel a meres kimenetele sztochasztikus. A dolgozatban vizsgalt problemak olyan kvantumtomograai kerdesek vizsgalatakor vet}odtek fel, amikor egy tobb kvanrum bitb}ol allo rendszernek csak az egyik bitjen vegzett meresekb}ol probalunk kovetkeztetni a rendszer allapotara. Ez volt a szerz}o hallgatoi temalaborja, amely aztan a [9] publikaciohoz vezetett. A hatekony allapotbecsleshez kapcsolodik a meresek komplementaritasanak fogalma, amely szeles irodalommal rendelkezik [4]. Amennyiben a reszleges informaciot a kvantum rendszerr}ol nem meressel, hanem egy reszrendszer ismeretevel kapjuk, akkor mas, de hasonlonak mondhato komplementaritasi fogalom jelenik meg.. Alapfogalmak Az alabbiakban osszefoglaljuk azokat a kvantummechanikai alapismereteket, melyek szuksegesek a dolgozat megertesehez. A reszletes targyalas standard, matematikai szemlelet}u kvantummechanikai tankonyvekben megtalalhato, lasd peldaul [7, 8]... Veges kvantummechanikai rendszerekr}ol Minden veges kvantummechanikai rendszerhez tartozik egy Hilbert-ter. A rendszer allapotait a Hilbert-teren ertelmezett statisztikus operatoroknak, azaz nyomu, pozitv operatoroknak feleltethetjuk meg. Veges dimenzios esetben, azaz veges rendszerek eseteben a statisztikus operatorokat s}ur}usegi matrixoknak is nevezik. Egy allapotot tisztanak nevezunk, ha felrhato D = jxihxj alakban, ahol x egy egysegvektor. Minden rangu matrix felrhato ilyen alakban. A nem tiszta allapotokat keverteknek nevezzuk. A kevert allapotok mer}olegesseget a Hilbert-Schmidt bels}o szor- 3

4 zattal ertelmezzuk: ha; Bi = Tr(A B): Egy rendszert N-szint}unek nevezunk, ha a hozza tartozo Hilbert-ter C N. Egy osszetett rendszerhez tartozo Hilbert-ter az alrendszerekhez tartozo terek tenzorszorzata. A merest egy obszervabilis, azaz egy onadjungalt operator segtsegevel ertelmezhetjuk. A meres eredmenye az obszervabilis sajatertekeinek egyike, es a meres utan a rendszer tiszta allapotba kerul. Ha A = P i ie i egy obszervabilis spektralis felbontasa, akkor a i sajatertek valoszn}usege TrDE i, ahol D az allapot s}ur}usege a meres el}ott, a meres varhato erteke pedig TrAD, melyre az hai D jelolest is hasznaljak. Egy H : : : H n szorzatteren az A i = i z } { I : : : I A I : : : I obszervabilist felfoghatjuk egy, az i-edik komponensre koncentralt meresnek. Ennek segtsegevel bevezethetjuk a redukalt s}ur}usegeket : D i az i-edik redukaltja D-nek, ha TrDA i = TrD i A. A redukalt s}ur}useg a marginalis eloszlas analogiaja, es ahhoz hasonloan egy konkret felbontashoz tartozo redukalt s}ur}usegek egyuttesen sem adnak teljes informaciot az allapotrol. A redukalt s}ur}usegek kiszamolasahoz hasznos m}uvelet a parcialis nyom. Ha egy H : : : H n szorzatteren hato onadjungalt operatorok kozott rogztunk egy fb i : : : Bn in g i ;:::;i n bazist, akkor a Tr k (B i : : : B in n ) = Tr(B i k k ) B i : : : B i k k Bi k+ : : : k+ Bin n kiterjed egy linearis lekepezesse, es D i = Tr : : : Tr i Tr i+ : : : Tr n D.. Kvantum bit es allapotanak reprezentacioja Az egyik legegyszer}ubb kvantummechanikai rendszer a kvantum bit (roviden qubit, vagy masneven feles spin). A hozza tartozo Hilbert-ter C. A C teren hato onadjungalt matrixok tereben ortogonalis bazist alkotnak az I = 0 identitas es a Pauli-matrixok. = 0 0 ; = 0 i i 0 ; 3 = 0 0 : 4

5 A Pauli-matrixok onadjungaltak, nulla nyomuak, es teljesul rajuk a kovetkez}o oszszefugges: ahol ijk a Levi-Civita tenzor: i i :::i n = 8 < : i j = ij I + i 3X k= ijk k ; 0 ha 9j; k, hogy i j = i k, ha (i i : : : i n ) paros permutacio, ha (i i : : : i n ) paratlan permutacio. Egy feles spin allapota felrhato 3X (I + x i i ) i= alakban, ahol x i R. Ekkor a pozitivitas kriteriuma ekvivalens P P 3 a i= x i 3 egyenl}otlenseggel, es tiszta allapotot kapunk pontosan akkor, ha i= x i =. Igy az allapotok egy-egyertelm}uen megfeleltethet}oek az R 3 -beli egyseggomb pontjainak, es ez a megfeleltetes linearis. Ezt a reprezentaciot nevezzuk Bloch-gombnek. A Bloch-gombbel torten}o abrazolas nagy el}onye, hogy konnyen kepszer}usthet}o. Ennek a reprezentacionak egy altalanostasahoz, az altalanostott Bloch-vektorhoz jutunk, ha egy N-szint}u rendszer eseten rogztunk egy f i g N i= bazist a C N nulla nyomu onadjungalt operatorai kozott, es a D = N I + N X i= i i ; i R allapotnak a = f i g N i= R N vektort feleltetjuk meg. A Bloch-vektorok tere N 3 esetben nem olyan egyszer}u, mint a Bloch-gomb, de mindig resze az N-dimenzios egyseggombnek, es tetsz}oleges N-re a valasztott bazis bizonyos strukturalis konstansaitol fugg}o egyenl}otlensegek formajaban pontosan megadhato [6]. 3. Ket kvantum bit allapotanak rekonstrukcioja Legyen a ket kvantum bitb}ol allo rendszerunk s}ur}usege D 0. Ekkor az M (C) M (C) szorzatteren kepezhetjuk a D 0 = Tr D redukalt s}ur}useget. A rendszeren bekapcsolt kolcsonhatas egy uniter transzformacionak felel meg: D i = U i D 0 U i valamely U i uniter transzformacioval, es az ehhez tartozo redukalt D i = Tr D i. Igy redukaltak egy fdg i k i= sorozatahoz jutunk. A kerdes az, hogy mekkora legyen k minimalisan, hogy az eredeti s}ur}useget mar meg tudjuk hatarozni. Megmutatjuk, hogy ez a minimum 5. 5

6 A s}ur}useg helyett az algebrat is transzformalhatjuk, azaz M 4 (C) algebranak olyan A i reszalgebrait keressuk, melyek izomorfak az M (C) algebraval, es kifesztik a teljes M 4 (C) algebrat. Mivel dim M 4 (C) CI = 5, es dim M (C) CI = 3, ezert legalabb 5 reszalgebrara mindenkepp szukseg van. Azt kell tehat megmutatni, hogy ennyi eleg is. 3.. Absztrakt Pauli-matrixok Egy S = fs i g 3 i= M 4 (C) harmast absztrakt Pauli-matrix harmasnak, vagy egyszeruen csak Pauli-harmasnak nevezunk, ha nulla nyomuak, onadjungaltak, es teljesul rajuk a Pauli-matrixok szorzasszabalya, azaz S i S j = ij I + i 3X k= ijk S k Egyszer}u szamolasbol kovetkezik, hogy ez ekvivalens a egyenletekkel. S = I; S = I S S + S S = 0 S 3 = is S Az S i M 4 (C) absztrakt Pauli-matrixok eseten a i 7! S i megfeleltetes kiterjed az M (C) algebranak az M 4 (C) algebraba valo beagyazasava. 3.. Elemi tenzorok esete Elemi tenzornak nevezzuk a k() : : : k(n) alaku szorzatokat. A kovetkez}o tetel mutatja, hogy ket feles spin eseteben elemi tenzorokbol nem letezik minimalis rekonstrukcio.. Tetel. Tegyuk fel, hogy a ket feles spinhez tartozo rendszer minden redukaltjat elemi tenzorokbol allo absztrakt Pauli-matrix harmasokkal adunk meg. Ekkor legalabb 6 redukalt szukseges a rekonsrukciohoz. Bizonytas. Legyen egy ilyen redukalt a ft ; T ; T 3 g Pauli harmas. Ha T = i j es T = k l ; i; j; k; l f; ; 3g, akkor a T i -kre vonatkozo szorzasi szabalyok alapjan i T 3 = T T = ( i k ) ( j l ) 6

7 es az i -kre vonatkozok alapjan X X X i T 3 = ( ikm jln m n )+i( ik ( jln 0 n )+ jl ( ikm m 0 ))+ ik jl 0 0 m;n n amib}ol (mivel T 3 onadjungalt, de i i j nem az) latszik, hogy i = k es j = l kozul pontosan az egyiknek kell fennallnia, es minden ilyen redukaltban legalabb az egyik tagnak 0 j vagy j 0 alakunak kell lennie. Viszont nyilvan az sem lehet, hogy pontosan ket ilyen tag van, mert m ( i 0 )( j 0 ) = i k 0 is ilyen alaku, azaz harom ilyen tagot kapunk, illetve ( i 0 ) es ( 0 j ) kommutalnak, gy nem alkothatnak Pauli-matrix harmast. Ekkor viszont a skatulya elvb}ol es abbol, hogy osszesen harom-harom 0 j es j 0 alaku elemi tenzor van, kovetkezik, hogy ha a redukaltak elemei kifesztik a teret, akkor legalabb hat ilyen redukaltra van szukseg. A tetel egy altalanostasat Sz}oll}osi Ferenc mutatta meg [9] az alabbi tetel formajaban:. Tetel. Ha az n feles spinb}ol allo rendszer minden redukaltjat elemi tenzorokbol allo absztrakt Pauli-matrix harmasokkal adunk meg, akkor tobb, mint n redukaltra van 3 szukseg. Bizonytas. Vilagos, hogy egy elemi tenzor matrix minden eleme tisztan valos vagy tisztan kepzetes, mert az egyetlen Pauli-matrixnak, amelynek kepzetes elemei is vannak, minden eleme tisztan kepzetes. Ebb}ol kovetkezik, hogy egy ft ; T ; T 3 g Pauli harmasnak vagy egy vagy harom tisztan kepzetes tagja van. Legyen egy rekonstrukcioban az el}obbiek szama N, az utobbiake M. Ekkor, mivel a tisztan kepzetes onadjungalt matrixok altere n n dimenzios, ezert N + 3M = n n ami nem allhat egyszerre fent a minimalitasbol kovetkez}o egyenl}oseggel. N + M = n 3 7

8 3.3. Rekonstrukcio elemi tenzorokkal A. tetel szerint ot elemi tenzorokkal generalt reszalgebrakkal nem letezik rekonstrukcio, hattal viszont mar igen. Az alabbi hatos egy lehetseges megoldast mutat. f ; ; I 3 g f ; 3 ; I g f 3 3 ; 3 ; I g f ; 3 ; Ig f 3 3 ; 3 ; Ig f ; ; 3 Ig Ez a rekonstrukcio nem minimalis, de jol attekinthet}o a strukturaja, tovabba nem egyertelm}u, peldaul a Pauli-matrixok indexeit testsz}olegesen permutalva egy masik kaphato. () 3.4. Minimalis rekonstrukcio A kovetkez}o negy Pauli-harmast 0 nyomu elemi tenzorok alkotjak: fi ; ; 3 g fi ; 3 ; g f I; ; 3 g f I; 3 ; g Ha talalunk hozza egy olyan otodik Pauli-harmast, hogy az azt alkoto matrixok f}oatloja fuggetlen, akkor egy teljes, es minimalis rekonstrukciot kapunk. Erre egy peldat Sz}oll}osi Ferenc talalt szamogepes keresessel [9]: 0 C A ; 0 i i i i i i i i C A ; 0 i i i i i i i i Az otodik reszalgebrat a fenti Hadamard-matrixok [3] fesztik ki linearisan. C A : Egy masik megkozeltesben az otodik reszalgebrat veletlen uniter generalasaval is kereshetjuk [] Minimalis rekonstrukcio veletlen uniter transzformaciokkal Konnyen lathato, hogy azok a W ; W ; : : : ; W 5 uniter transzformaciok, amelyekre az W i (I M (C))W i reszalgebrak nem feszitik ki linearisan a 4 4-es matrixok algebrajat egy alacsonyabb dimenzios reszhalmazat alkotjak az U() Lie-csoport otodik hatvanyanak. Ezert ez a halmaz a Haar-mertekre nezve 0 mertek}u kell, hogy legyen. 8

9 Ha tehat a W i unitereket a Haar-mertek szerint veletlenul valasztjuk, akkor a fw i (I j )W i g 3 j= Pauli-harmasok valoszn}useggel linearisan fuggetlenek lesznek, es gy az identitassal egyutt linearisan kifesztik az egesz M 4 (C) algebrat [9, ]. Ez a modszer tetsz}oleges szamu feles spin eseteben alkalmazhato. 4. Komplementaritas A komplementaris, vagy kolcsonosen torztatlan bazisok fontos szerepet jatszanak a peldaul kvantumtomograaban [4] es a kvantummechanika mas teruletein [5]. A kolcsonosen torztatlan meresek paronkent komplementaris, maximalis kommutatv algebraknak felelnek meg [5]. A kovetkez}o tetel ennek egy analogiaja: 3. Tetel. [9] Legyenek az A es az A reszalgebrai az M n (C) algebranak, es legyenek izomorfak az M k (C) algebraval. Ekkor az A CI es az A CI alterek pontosan akkor ortogonalisak, ha minden P A es P A minimalis projekciora TrP P = n k. A hasonlosag indokolja a kovetkez}o elnevezest: azt mondjuk, hogy a fenti tetelben szerepl}o A es az A reszalgebrak komplementarisak, ha az A CI es az A CI alterek ortogonalisak. A komplementaris meresek hatekonyabb allapotrekonstrukciot tesznek lehet}ove [4], ez az oka annak, hogy komplementaris reszalgebrakat igyekszunk talalni. 4.. Hasznos uniterek Felmerul a kerdes, hogy mikor lesz ket reszalgebra komplementaris. Valojaban eleg a CI M n (C) algebraval valo komplementaritast vizsgalni, hiszen tetsz}oleges U; W M n (C)M n (C) uniter transzformaciok eseten ha a CI M n (C) es W (CI M n (C))W algebrak komplementarisak, akkor nyilvan az algebrak is azok. U(CI M n (C))U es UW (CI M n (C))W U P 4. Tetel. [0] Legyen W = = E ij ij U ij uniter matrix, ahol E ij ; U ij M n (C), es (E ij ) kl = ik jl. A W (CI M n (C))W algebra pontosan akkor komplementaris a CI M n (C) algebraval, ha fw ij g ortonormalt bazist alkot a M n (C) matrixok kozott. A tetelbeli W uniter matrixokat hasznos unitereknek nevezunk. 9

10 Hasznos uniterre egy jo pelda a I 3 p i blokkmatrix alakban rt transzformacio. A tetel szerint k paronkent komplementaris reszalgebra letezese ekvivalens hasznos uniterek olyan W 0 = I; W ; W ; : : : ; W k csaladjanak letezesevel, hogy W i W j is hasznos uniter Konstrukcio Hasznos uniterek konstrukciojara jol hasznalhato az alabbi modszer. i egy bazis, q = e n es legyenek X es Y a kovetkez}o uniter transz- jei+ i; ha i f0; ; : : : ; n g Xje i i = je 0 i; ha i = n Legyen fje i ig n i=0 formaciok: Y = X i q i je i ihe i j: Lathato, hogy Y X = qxy, vagy altalanosabban Y j X k = q jk X k Y j teljesul. Legyen S j;k = Y j X k = n X i=0 q ij je i ihe i+k j; ahol az indexbeli osszeadas modulo n ertend}o. Ekkor S j;k S l;m = q kl S j+l;k+m ; es TrS j;k = 0, kiveve, ha j = 0, vagy k = 0, gy a fs j;k : 0 j; k n matrixok paronkent ortogonalisak. Legyen g uniter U ij = c ij S i;j ; ahol (c ij ) uniter. Ha W = X ij = E ij U ij ; akkor (W W ) ik = X j U ij U kj = X j c ij c klx i k = ik I es W uniter matrix. Masreszt TrU ij U ij = jc ij j TrI = njc ij j. Ha ez, akkor W egy hasznos matrix lesz. 0

11 4.. Komplementaritas ket kvantum bit eseteben Ha W M 4 (C) hasznos uniter, akkor letezik W Cartan felbontasa []: W = (L L )N(L 3 L 4 ); ahol L i M (C); i = ; : : : ; 4 uniter matrixok, es uniter. N = e i P j j j j M 4 (C) Egyszer}u behelyettestesb}ol latszik, hogy a W (CI M n (C))W algebra nem fugg az L 3 ; L 4 matrixoktol, a CI M n (C) algebraval valo komplementaritas pedig az L ; L matrixoktol. ahol Igy feltehetjuk, hogy Li = I. A 4. tetel alapjan kapjuk, hogy N = 3X i=0 c i i i ; c 0 = cos cos cos 3 + i sin sin sin 3 c = cos sin sin 3 + i sin cos cos 3 es c = sin cos sin 3 + i cos sin cos 3 c 3 = sin sin cos 3 + i cos cos sin 3 ; jc i j = 4 ; azaz a (4.) kepletben szerepl}o i parameterek kozul kett}o =4+k= alaku, a harmadik tetsz}oleges [0]. Legyen N a felteteleket kielegt}o uniter matrixok halmaza, es N i = fn N : i tetsz}oleges, a masik kett}o =4 + k= alakug. Lemma. Ha N i N i ; akkorn i (I i )N i = i I Bizonytas. Jeloljuk N elemeit N( ; ; 3 )-al a parameterek fuggvenyekent. parameterek szimmetriajabol adodik, hogy ha egy permutacio, akkor N( () ; () ; (3) ) = 3X c (i) i i = 3X i=0 i=0 c i (i) (i) ; A c i ezert eleg a tetel alltasat egy konkret i-re belatni.

12 0 Legyen N k;l () = N(=4 + k=; =4 + l=; ) N 3. Ekkor N k;l () az alabbi alaku: cos( (k l))ei 0 0 sin( (k l))iei 0 sin( (k + l))e i cos( (k + l))ie i 0 0 cos( (k + l))ie i sin( (k + l))e i 0 sin( (k l))iei 0 0 cos( (k l))ei Mivel N k;l () = N (k+);l (), illetve N k;l () = N k;(l+) (), ezert elegend}o az fn k;l () : (k; l) f0; g g transzformaciokat vizsgalni, az alabbiak szerint: C A : N 0;0 ()(I )N 0;0() = sin() I + cos() 3 ; N 0;0 ()(I )N 0;0() = sin() I cos() 3 ; N 0;0 ()(I 3 )N 0;0() = 3 I N 0; ()(I )N 0;() = sin() I cos() 3 ; N 0; ()(I )N 0;() = sin() I cos() 3 ; N 0; ()(I 3 )N 0;() = 3 I N ;0 ()(I )N ;0() = sin() I + cos() 3 ; N ;0 ()(I )N ;0() = sin() I + cos() 3 ; N ;0 ()(I 3 )N ;0() = 3 I N ; ()(I )N ;() = sin() I cos() 3 ; N ; ()(I )N ;() = sin() I + cos() 3 ; N ; ()(I 3 )N ;() = 3 I Az egyenl}osegekb}ol lathato, hogy valoban teljesul a lemma alltasa. Lathato az is, hogy az N k;l ()(CI M n (C))N k;l () algebra nem fugg k es l valasztasatol. A. lemma egy fontos kovetkezmenye a kovetkez}o ket tetel: 5. Tetel. Ha A az M 4 (C) algebra reszalgebraja az M (C) algebraval izomorf, es az CI M (C) algebraval komplementaris, akkor A es M (C)CI metszete nem trivialis. Bizonytas. Van olyan W = (L L )N hasznos uniter es i f; ; 3g, hogy N N i, es A = W (CI M n (C))W. Ekkor (L L )N(I i )N (L L ) = L i L I; es L i L 6= ci, hiszen i spektruma f; g.

13 6. Tetel. Az M 4 (C) algebranak nincs 5 paronkent komplementaris, az M (C) algebraval izomorf reszalgebraja. Bizonytas. Legyenek az fag 4 i= algebrak a tetel felteteleben szerepl}o tulajdonsaguak. Ekkor az A i algebra metszete a (M (C)CI) C(I I) terrel legalabb dimenzios, es mivel dim(m (C) CI) C(I I) = 3, ezert az A i algebrak nem lehetnek paronkent komplementarisak. A 6. tetel els}o bizonytasat Petz Denes es Jonas Kahn adta [0] Paronkent komplementaris algebrak ortokomplementuma Erdekes kerdes az, hogy a 4 reszalgebra ortogonalis komplementuma (az identitast hozzaadva) algebra strukturaval is rendelkezik-e, es ha igen, milyennel? Azt talaltuk, hogy elemi tenzorok eseteben ez egy kommutatv algebra lesz, es azt sejtuk, hogy ez mindig gy van. 7. Tetel. Ha az A i M 4 (C); i = ; : : : ; 4 elemi tenzorokkal generalt reszalgebrak az M (C) algebraval izomorfak es paronket komplementarisak, akkor az ortogonalis komplementumuk egy kommutatv algebra. Bizonytas. Minden az A i reszalgebrahoz tartozo Pauli-harmas tartalmaz pontosan egy vagy harom k I vagy I k alaku elemet (lasd az.tetel bizonytasaban). Tegyuk fel, hogy az egyik, peldaul A 0 az CI M reszalgebra. Ekkor az 5. tetel miatt minden j I; j = ; ; 3 benne van pontosan az egyik reszalgebrahoz tartozo Pauli-harmasban, legyen ez A j. Tehat az A j reszalgebrat generalo Pauli-harmas f kj nj ; lj nj ; j Ig alaku, ahol rogztett j-re k j ; l j ; j kulonboz}ok, nem nullak, es ugyan ez teljesul az n ; n ; n 3 indexekre is. Tehat a harom kimarado elemi tenzor a f j nj g 3 j=, es ezek az indexek kulonboz}osege miatt egy kommutatv algebrat generalnak. Az A 0 = M CI eset ugyangy bizonythato. Tegyuk fel most azt, hogy nincs a negy reszalgebra kozott CI M. Ekkor, mivel osszesen hat k I vagy I k alaku elemi tenzor van, ezert ezek kozul kett}o olyan van, amelyik nem eleme egyik A i reszalgebranak sem. Belatjuk, hogy az nem lehet, hogy a ket kimarado elemi tenzorban az identitas ugyan abban a tenzorfaktorban van. Tegyuk fel indirekt, hogy az A 0 reszalgebrahoz tartzo Pauli-harmas a f r I; y x ; z x g; x 6= 0, es az A k ; k = ; ; 3 reszalgebrahoz tartzo pedig a fi k ; lk mk ; lk nk g, ahol m k ; n k ; k kulonboz}ok, nem nullak, es ugyanez teljesul az r; y; z indexekre is. Nyilvan ha p 6= q, akkor l p 6= l q, hiszen csak harom lk s ; s 6= 0 alaku elemi tenzor van, es gy lm x = A k 8k pontosan akkor, ha m = x. Ekkor viszont az A 0 reszalgebranak a tobbi reszalgebraval valo komplementaritasahoz az z = l x = y egyenl}osegnek teljesulnie kell, ami viszont ellentmondas, mert z 6= y. 3

14 Ezek alapjan feltehetjuk, hogy f r I; I s g \ A k = ;; k = 0; ; ; 3, ahol r; s nem nullak. r s nem lehet benne egyik A k reszalgebraban sem, mert ha peldaul az A 0 algebrahoz tartozo Pauli-harmas a f n I; r s ; m s g lenne, ahol n; r; m kulonboz}ok, nem nullak, akkor, mivel abban a ket reszalgebraban, melyek Pauli-harmasaban van I p alaku tag, kell lennie q (p) s alaku tagnak is, mar negy x s ; x 6= 0 alaku elemi tenzort kapnank, ami ellentmond az A k reszalgebrak komplementaritasanak. Ekkor viszont r s = A k, es a f r I; I s ; r s g Pauli-harmas egy kommutatv reszalgebrat general. 5. Osszefoglalas Az allapotrekontstrukciot abban az esetben vizsgaltuk, amikor a meresek csak az egyik biten hajthatok vegre a ket kvantum bitb}ol allo rendszerben. Belattuk, hogy ket kvantum bit eseteben elemi tenzorokbol legalabb hatra van szukseg a rekonstrukciohoz, es megadunk egy Hadamard matrixokat hasznalo rekonstrukciot is. Ezen tulmen}oen mutattunk egy algoritmust veletlenul generalt minimalis rekonstrukcio el}oalltasara [9], ahol az utobbi tetsz}oleges meret}u rendszerre kiterjeszthet}o. Vizsgaltuk a komplementaritast ket kvantum bit eseteben, es uj bizonytast adtunk a komplementaris algebrak maximalis szamarol szolo tetelre [0], valamint megmutattuk, hogy ha a negy komplementaris algebrat elemi tenzorok generaljak, akkor az ortogonalis komplementumuk kommutatv algebra. 5.. Tovabbi kutatasi iranyok A tovabbi kutatasok soran szeretnenk meghatarozni ket qubit eseteben a paronkent komplementaris algebrak ortokomplementumat az altalanos esetben, es megbecsulmi a komplementaris reszalgebrak szamat tobb kvantum bit eseten. Vilagos, hogy az n kvantum bitb}ol allo rendszer n dimenzios, gy legfeljebb n ilyen algebra lehet, 3 de a. Tetel alapjan arra kovetkeztethetunk, hogy a fels}o korlat altalaban nem erhet}o el. Hivatkozasok [] C. W. Helstrom: Quantum Decision and Estimation Theory, Academic Press, New York, 976. [] M. A. Nielsen, I. L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press,

15 [3] M. Ohya, D. Petz: Quantum Entropy and its Use, Springer-Verlag, Berlin, 993. nd ed [4] A. Klappenecker, M. Rotteler: Constructions of mutually unbiased bases, arxiv:quant-ph/03090, 003. [5] K. R. Parthasarathy: On estimating the state of a nite level quantum system, arxiv:quant-ph/ , 004. [6] G. Kimura: The Bloch-vector for N-level systems, Physics Letters A, 34, 5-6, , 003. [7] D. Petz: Lectures on Quantum Information Theory, kezirat, 005. [8] Petz D.: Linearis Analzis, Akademiai Kiado, Budapest, 00. [9] D. Petz, K. M. Hangos, F. Szoll}osi, A. Szanto: State tomography for two qubits using reduced densities, J. Phys. A: Math. Gen. 39(006) [0] D. Petz, J. Kahn: Complementary reductions for two qubits, arxiv:quantph/06087, 006. [] J. Zhang, J. Vala, K. B. Whaley, S. Sastry: A geometric theory of non-local two-qubit operations, Phys Rev. A, 67, [] Hangos K. M.: Systems and control methods for quantum systems, [3] W. Tadej, K. Zyczkowski: A concise guide to complex Hadamard matrices, arxiv:quant-ph/0554, 005. [4] W. K. Wooters, B. D. Fields: Optimal state determinationby mutually unbiased measurements Ann. Phys., NY, , 989. [5] K. Kraus: Complementarity and uncertainty relations Phys. Rev. D ,