Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat) Sinkovicz Péter PhD hallgató

Átírás

1 Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat) Sinkovicz Péter PhD hallgató

2 Sinkovicz Peter

3 BEVEZETÉS Statisztikai alapfogalmak Események valószínűségének értelmezése Adattípusok Kísérlettervezés, buktatók Sztochasztikus folyamatok áttekintése Sztochasztikus folyamatok Stacionárius folyamatok Markov folyamatok Chapman-Kolmogorov-egyenlet Homogén Markov folyamatok Az állapotok osztályozása 5 Definíciók Bolyongás során felmerülő alapkérdések 6 DISZKRÉT IDEJŰ MARKOV FOLYAMATOK Diszkrét idejű Markov folyamatok dinamikája 7 Dinamika megadása Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven P (n) mátrix analitikus meghatározása Egyensúlyi eloszlás 0 Egyensúlyi eloszlás meghatározása Átlagos visszatérési idő Google PageRank Elérési valószínűség, átlagos elérési idő 3 Bevezető példa Definíció Elérési valószínűség meghatározásának módja Átlagos elérési idő meghatározásának módja RÉSZVÉNYPIAC EGYSZERŰ MODELLJE Alapfogalmak 4 Értékpapír jellemzése Portfólió választás a Markowitz-féle modellben 6 A Markowitz-féle modell feltevései Portfólió választás i

4 3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tőzsdén 8 Első lépés analízis Bolyongás várható ideje Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tőzsdén 0 Bolyongás várható ideje Konklúzió 3 DIFFÚZIÓS FOLYAMATOK Diffúziós folyamatok leírása 5 Fokker-Planck egyenlet Speciális diffúziós folyamatok 7 Wiener folyamat Ornstein-Uhlenbeck folyamat Langevin egyenlet 3 Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz 33 Egyváltozós eset Többváltozós eset DISZKRÉT IDEJŰ MASTER EGYENLET EGÉSZ VÁLTOZÓKRA Master egyenlet származtatása 35 Infinitezimális idő alatti átmeneti valószínűség Master egyenlet származtatása Részletes egyensúly 36 3 Bolyongás végtelen láncon 37 A bolyongás diffúzitása p i meghatározása Végtelen határeset Kontinuum limesz APPENDIX A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus 4 Tulajdonságai ii

5 Sinkovicz Péter

6 Sinkovicz

7 Előszó Az előadás alap valószínűségi fogalmakra épül melyekről egy jó áttekintés ad a [] könyv. Témáját négy nagyobb szerkezeti egység képzi; Az első részben a diszkrét idejű Markov folyamatok átmeneti mátrixos és első lépés analízises formalizmusaival ismerkedünk meg, melyek pontosabb elméleti háttere a [-6] irodalombakban részletesebben kibontakozik. A második gondolati egységben betekintést kaphatunk a tőzsdepiac elemi folyamataiba, érdeklődőknek a [7-9] könyveket ajánlom. A harmadik részben néhány speciális diffúz folyamatot tekint át, melyek megtalálhatóak a [0] könyvben. Majd az előadás utolsó témája a Master egyenlet konstrukciója egy adott gazdasági folyamathoz. A jegyzet a Markov Monte Carlo módszerek rövid ismertetésével válna teljessé, azonban az idő rövidsége miatt ez a téma kimaradt, viszont [-] irodalmakból kiindulva feltérképezhetitek az a témakört is. Továbbá szeretném kiemelni Szám Anita hallgatómat, aki lelkesen és megbízhatóan segített a jegyzet bedigitalizálásában. Irodalomjegyzék [] Prékopa András: Valószínűségelmélet [] J. R. Norris: Markov Chains [3] J. R. Norris: Markov Chains lecture note [4] Aldous, D. and J. Fill: Markov Chains lecture note [5] B. Rozovskii, M. Yor: Stochastic Modelling and Applied Probability [6] Fazekas István: Markov-láncok és alkalmazásaik [7] R. E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance I-II [8] M. J. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications [9] P. Jorion: Financial Risk Manager Handbook [0] W. Gardiner: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences [] Charles J. Geyer: Introduction to Markov Chain Monte Carlo [] W. R. Gilks, S. Richardson: Markov Chain Monte Carlo in Practice iii

8 Sinkovicz Péter

9 Bevezetés Statisztikai alapfogalmak Események valószínűségének értelmezése Véletlen folyamatok esetén a (megismételhető) kísérletek kimeneteinek a valószínűségeit azonosíthatjuk a mérések során tapasztalt relatív gyakoriságaikkal: kedvező elemi események száma lehetséges elemi esetek száma p(a Ω) := k A n = Az így definiált valószínűség kielégíti a valószínűségi axiómákat: 0 p(a Ω) p(ω) = (egymást páronként kizáró események valószínűsége összeadódik) Adattípusok Az adatok nem mások, mint a kísérletek lehetséges kimenetei, melyeket csoportosíthatunk fajtáik: Kvalitatív adatok (lehetséges értékei számok) a) Diszkrét adatok (megszámlálhatóan végtelen számosságú) b) Folytonos adatok (megszámlálhatatlanul végtelen számosságú /intervallum adatok/) Kvantatív adatok (melyek értékei nem számok) és szintjük szerint is:. Normális szintű: Az ilyen típusú adatokat nem lehet sorba rendezni (pl.: igen/nem/talán). Ordinális szintű: Sorba lehet rendezni, de a különbségnek nincs értelme (pl.: egyetemek sorrendje) 3. Intervallum szintű: Van értelme a különbségnek, de nincs nulla pont, ami valaminek a hiányára utal 4. Arányszintű: Van nulla pont is (pl.: vízállás) Kísérlettervezés, buktatók Ügyelnünk kell arra, hogy a kísérletezés során ne torzuljanak az adatok, azaz valóban a mért populációt jellemezzék. A típushibák elkerülése érdekében a következőket kell szem előtt tartanunk: Statisztikai hamisítás: Tilos rossz, hamis adatot a többi közé keverni, hogy igazoljuk a feltevésünket Túl kis elemszámú minta nem ad reális képet a teljes populációról Az ábrák torzíthatnak, a számokat nézzük Elemi eseményekből építkezzünk Ismernünk kell a teljes eseményteret

10 Sztochasztikus folyamatok áttekintése Sztochasztikus folyamatok Legyen x(t) egy valószínűségi változó (Ω halmazon értelmezett tetszőleges függvény), melyet időnként megmérünk. A mérés során az x(t n ),..., x(t ) adatsort kapjuk, ahol t n < t n <... < t. Több kísérlet elvégzése után, vagy elméleti jóslatból definiálhatunk egy valószínűségi sűrűséget: p n (x, t ;...; x n, t n ) mely megadja, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy t i -ben (x i, x i +dx i ) intervallumon belül lesz a mérési eredmény, azaz P(x (x, x + dx ),..., x n (x n, x n + dx n )) p n (x, t ;...; x n, t n )dx,..., dx n Ezen valószínűségi leírásban x(t)-t sztochasztikus valószínűségi változónak tekintjük, ha rendelkezik a következő két tulajdonsággal: Normáltság Komplementaritás p n (x, t ;...; x n, t n )dx... dx n p n (x, t ;...; x i, t i ;...; x n, t n )dx i = p n (x, t ;...; x i, t i ;...; x n, t n ) Az x(t) valószínűségi változóink jellemzésére bevezethetjük a következő mennyiségeket: momentumok várhatóérték: x(t) E[x(t)] := dx xp (x, t) n. momentum: x n (t) E[x n (t)] := dx x n p (x, t) korrelációs függvények n. korrelációs függvény: E[x (t )...x n (t n )] = dx... dx n x...x n p n (x, t ;...; x n, t n ) Stacionárius folyamatok A stacionárius folyamatok invariánsak az időeltolásra, azaz nem fejlődnek az időben, így egyensúlyi állapotként értelmezhetőek: p stac (x, t) p stac (x, t ) t, t p stac = p (x) Markov folyamatok Definiáljuk a p stac (x, t; x, t ) p stac (x t + t; x, t + t) t p stac (x, t; x, t ) = p stac (x, x, t t ) P(x, t x, t ;...; x n, t n ) = p n(x t ;...; x n t n ) p n (x t ;...; x n t n ) feltételes valószínűséget, mely megadja, hogy mekkora valószínűséggel mérünk x -et t -ben, ha előtte t, x ;...; t n, x n n db esemény bekövetkezett. Ezen feltételes valószínűség segítségével definiálhatjuk a Markov folyamatokat: egy sztochasztikus folyamatot Markovinak tekintünk, ha P(x, t x, t ;...; x n, t n ) P(x t x t ) összefüggés fennáll, azaz a rendszernek nincs hosszútávú memóriája, csak a közvetlenül őt megelőző eseménytől függ.

11 Chapman-Kolmogrov-egyenlet A p n valószínűség felépíthető a feltételes valószínűségek segítségével: p n (x, t ;...; x n, t n ) = P(x t x t ;...; x n t n )p n (x t ;...; x n t n ) = P(x t x t )p n (x, t ;...; x n t n ) = = P(x t x t )P(x t x 3, t 3 ;...; x n, t n )p n (x 3 t 3 ; x n, t n ) =... = = P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )... P(x n t n x n t n )p (x n, t n ) mely n=3 esetén a Chapman-Kolmogorov egyenletre vezet: p 3 (x t ; x t ; x 3 t 3 ) = P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) p (x, t ; x 3 t 3 ) = dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) = p (x 3 t 3 ) dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 ) P(x t x 3 t 3 ) = dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 ) azaz az x 3 t 3 pont úgy függ az x t ponttól, hogy valószínűségi értelemben kiátlagolunk az összes benső x t pontra: x x x3 t t3 t t x 3 t 3 x t átmenet valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy statisztikusan kiátlagolunk az összes útra. Homogén Markov folyamatok Egy Markov folyamat homogén, ha: P(x t x t ) = P(x t t x ) (időeltolásra invariáns), ebből még nem következik, hogy ez egy stacionárius folyamat, hiszen akkor stacionárius, ha p (x, t) = p stac (x), azaz nincs időfüggés. Ergodikus Markov folyamatnak nevezzük az olyan Markov-folyamatokat, ahol lim P(x, t t x ) = p stac (x) 3

12 melyből és a Chapman-Kolmogrov egyenlet alapján: lim p (x, t) = lim t t = p stac (x) dx P(xt x )p (x,0) = azaz tetszőleges eloszlás a stacionárius állapotba tart, ha t -be. A diffúz folyamatok olyan homogén Markov folyamatok, ahol ( ) dx lim P(xt x ) p (x,0) = p stac (x) t v(x )t + ϑ(t) n = (x x ) n P(x, t x )dx = σ(x )t + ϑ(t) n = Ø n > mely integrál-egyenletrendszer megoldását azonnal leolvashatjuk dx p (x,0) = P(x, t x ) e (x x +v(x )t) σ (x )t Gauss-eloszlást követ A megoldásokat v(x ) és σ(x ) szerint tovább csoportosíthatóak (lsd. Diffúziós folyamatok c. fejezet). 4

13 3 Az állapotok osztályozása Ettől a ponttól kezdve diszkrét idejű bolyongásokkal foglalkozunk úgy, hogy a mérést stroboszkópikusan és egyenközűen végezzük. Definíciók A kísérlet lehetséges kimenetelét rendezzük gráfba. Például: kockadobás Minden él /6 valószínűséggel következik be annak a valószínűsége, hogy s i dobása után s j -t dobjak = /6 i, j {,...,6} Az s j állapotot az s i állapotból elérhetőnek nevezzük (s i s j ), ha valamely n > 0 időlépésre: P( j, n t i) 0 továbbá az s i és s j állapotok kölcsönösen elérhetőek (s i s j ), ha s i s j és s j s i. Egy s i állapotot lényegesnek nevezünk, ha az s i -ből elérhető állapotokból vissza lehet térni s i -be, ellenkező esetben s i lényegtelen állapot. Az állapotok egy A halmazát zártnak nevezzük, ha s i A állapot esetén: P i ( j, t i) = egy időlépés után A-ban maradunk. j A Egy zárt halmazt lényegesnek nevezünk, ha nincs valódi zárt részhalmaza. Egy Markov lánc irreducibilis, ha a teljes állapottér minimális zárt halmaz. Továbbá egy Markov-lánc akkor és csakis akkor irreducibilis, ha az egész állapottere egyetlen lényeges osztályt alkot (azaz minden állapot minden állapotból elérhető s i s j i, j) Láttuk, hogy az ergodikus Markov-folyamatok a p stac (i)-be tartanak, azonban ez a határérték nem biztos, hogy létezik. pl.: P(i t j) = δ i, j i, j {,} azaz az () és a () állapot közt oszcillál a rendszer. Ergodikus Markov-lánc, ha aperiodikus (létezik p stac (i)), irreducibilis és véges valószínűséggel visszatalál a kiindulási pontba. 5

14 4 Bolyongás során felmerülő alapkérdések Első átlagos visszatérési idő Például: A sakktáblán véletlenszerűen bolyong egy huszár. Átlagosan hány lépés után tér vissza a kezdőpontba? Átlagos fedési idő Például: Kisgyerek zsírkrétázik az aszfalton. Átlagosan hány órát kell kint hagyni, hogy az egész utcát lefedje? Relaxációs idő Például: Átlagosan mennyit kell keverni a paklit, hogy elveszítse a memóriáját? Monte-Carlos módszerek 6

15 Diszkrét idejű Markov folyamatok Diszkrét idejű Markov folyamatok dinamikája Dinamika megadása Egy időlépés valószínűségét jelöljük a következőképpen: P i (x t+ t ) P(x t+ t x t = i) ahol x t+ t a t + t időben a "részecske" helyzete a G(V, E) gráfon (azaz a rendszer állapota), ha ez a s j -edik rácspont akkor tömören: a p ji átmeneti mátrix tulajdonságai: p ji 0 i, j V p ji = (sztochasztikus mátrix) j V p ji = P i (x t+ t = j) i, j V λ = (λ i : i V ) valószínűségi eloszlás, ha λ i = és λ i 0, i V -re i Ezen elemek segítségével a következőképpen definiálhatjuk a dinamikát egy λ 0 kezdeti eloszlásból: P λ (x t= t = j) P λ (x = j) = i V λ i p ji... P λ (x n = j) = λ i p (n) ji i V Például: időjóslás: Megfigyelések alapján ha ma esett akkor holnap p, = 0.7 valószínűséggel nem esik és p, = 0.3 valószínűséggel esik. Hasonlóan, ha ma nem esett, akkor p, = 0.6 valószínűséggel nem esik és p, = 0.4 valószínűséggel esik. p p,, p, p, ahol s nem esik és s esik, így a rendszer átmeneti mátrixa [ ] [ ] p, p, P = = p, p, és a kezdeti valószínűségi eloszlásunk (mai nap időjárása) a következő: ( λ ) ( ) λ 0 = 0 esik λ = 0 0 nem esik Melyen a két nap múlvai állapot meghatározásához az átmeneti mártixot kétszer kell hatatnunk: [ ][ ]( ) [ ]( ) ( ) P λ 0 = = = tehát 0.37 valószínűséggel esni fog két nap múlva. 7

16 Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven Az előző példa rámutatott arra, hogy az n lépéses folyamat átmeneti mátrixa: P (n) = p (n) ji hatványa. Így a Chapman-Kolmogorov egyenlet: p (n+m) = P (n) ji ki p(m) jk k V ami igazából a mátrix szorzás kiírása. P (n) mátrix analitikus meghatározása Például: Két pontú markov lánc a P mátrix n-edik p p,, p, p, mely átmeneti mátrixát parametrizálhatjuk a következő képpen: határozzuk meg P sajátértékeit: [ ] α λ β det α β λ [ ] [ ] p, p, α β P = = p, p, α β = ( α λ)( β λ) αβ = α λ β + αβ + λβ + λ λ + λα αβ = = λ λ + (α + β)λ + ( α β) = 0 melynek megoldásai: λ = és λ = α β. Így az átmeneti mátrix a következő alakra hozható (bázistranszformációval): ( ) ( ) λ 0 P = U U UU = 0 ===== P u = U 0 λ 0 ( α β) n U melyből (P (n) ) = U U +U ( α β) n U legyen A = U U és B = U U. Mivel P0 =,így p (0) A + B másrészt P = P, így p () = α = A + B( α β) melyből A és B meghatározható: A = hasonlóképpen a többi mátrixelem is meghatározható β P n α+β + α β ( α β)n α+β = α α ( α β)n α α+β α+β β α+β és B = α α+β α+β β α+β α+β + β α+β ( α β)n ( α β)n n β α+β α α+β β α+β α α+β = 8

17 Például: Három pontú Markov lánc: p 3, 3 3 p, 3 p, p, p 3, mely a következő átmeneti mátrixot definiálja: melynek sajátértékei: λ i =,± i, a 0 0 P = 0 ( ) i n ( ) n ± = e ±in π = ( 0 azonossággal átalakítható az átmeneti mátrix elemei, például: felhasználva, hogy p (0) =, p() Recept: N pontú markov lánc ( i = A + B ( = A + p (n) ) ε...ε N sajátértékek meghatározása (ε = lesz) ) Ha a sajátértékek különböznek: ) n [ cos( n π ) ( ± i sin n π )] ) n + C ( i ) n = ) n [ B cos( n π ) ( + C sin n π )] = 0 és p() = 0 A,B,C meghatározható: p (n) = 5 + ( ) n [ 4 5 cos( n π ) 5 sin( n π )] n 5 p (n) i j = a + a ε n a nε n N ha az l-edik sajátérték k-szor ismétlődik, akkor azokat a tagokat helyettesíthetjük a következővel: (b 0 + b n b k n k )ε n l 3) A komplex sajátértékek párban jönnek (így kevesebb konstanst kell illesztenünk). 9

18 Egyensúlyi eloszlás π = (π i : i V ) valószínűségi eloszlás egyensúlyi eloszlás, ha: Pπ = π hiszen ekkor a dinamikában nem fejlődik Például: két rácspontú példa p, p, p, p, mely átmeneti mátrixa: [ ] α β P = α β amit hatványozva határértékben eljutunk az egyensúlyi eloszlásokhoz P n lim n β α+β α α+β β α+β α α+β [ ] Π Π = Π Π tehát például α = β határesetben: ( ) π π = π π = p = α + β ( ) p = p ( ) β α ( ) Egyensúlyi eloszlás meghatározása Például: három rácspontú példa p 3, 3 3 p, 3 p, p, p 3, Mely átmeneti mátrixa 0 0 P = 0 0 ( ) 5 lim n ( ) 5 ( ) 5 0

19 Ezek azonban a következőképpen is meghatározhatók: π = π 3 π = π + π megoldása π 3 = π + π 3 Átlagos visszatérési idő π = /5 π = /5 π 3 = /5 (π + π + π 3 = ) Az r i átlagos visszatérési idő megadja, hogy átlagosan hány időlépés után érünk vissza a kiindulási s i pontba. Az egyensúlyi eloszlásból meghatározható az egyes rácspontok visszatérési értékét: r i = π i ahol r i := E i (T i ) és E i ( ) olyan várhatóérték amihez a t = 0-ból s i -ből indított bolyongás tartozik (biz.: B. Appendix) Például: két rácspontú gráf: E (az az idő ami alatt visszatér) = Google PageRank Legyen α = β = p, ekkor np(n időpontban tért vissza) = ( p) + p ( p) n n n=0 = = p + n= (m + ) p ( p) m = p + p (n + ) ( p) n = m= = p + p ( p) n + p n( p) n = p + p ( p) n = n= = p + p ( p) m m=0 } {{ } mértani sor Három szempont szerint kell optimalizálni a kereső motort: kereső megtalálja ami szeretne megfelelő reklámok legyenek reklámból származó bevétel maximalizálása n= }{{} p "mértani sor" = p + p p = Toy modell erre az esetre: Legyen a web egy G = (V, E) gráf, ahol V a vertexek (itt: a weboldalak) és E a linkek halmaza (kapcsolatok). Az átmeneti valószínűség meghatározható egy lapról a kapcsolódóakra: p i j = { L(i) N az L(i) hivatkozásai közül egyenletesen választ egyet n= ha L(i)=0, akkor random választ egy lapot az összes közül Tovább finomíthatjuk ezt a modellt, hiszen lehet hogy nem a honlapról ágazik el, hanem bezárja, és nyit egy másikat: p i j = α p i j + ( α) N így valószínűséggel lép tovább. A rendszer π egyensúlyi eloszlásának a komponensei arányos azzal, hogy mennyi időt töltenek ott az emberek az adott webhelyen, azaz ha π i > π j akkor s i weboldal "fontosabb" mint az s j. n=

20 Pπ = π meghatározása nehéz lim n P n = (π,π...) ami gyorsan konvergál (gyorsabb mint a s.é. egyenlet megoldása).

21 3 Elérési valószínűség, átlagos elérési idő Bevezető példa Kétpontú gráf: p, p, p, mely átmeneti mátrixa: P = ( ) p 0 p Az egyes rácspontból indulva a kettesben való elnyelődés valószínűsége: P (-be jutás) = P ( elérése az n-edik lépésben) = ( p) n p = p ( p) n = n= = p [( p) ] ( p) = p p = Az egyes rácspontból a kettesen való elnyelődés várható ideje: E (-esbe jutás ideje) = np( elérése az n. lépésben) = n= n= n= n( p) n p = p d d p Mely első lépés analízissel meghatározható: legyen f = P (-be jutás) ekkor n= ( p) n = p( ) = p p f = ( p)p (-be jutás x = = először az -ben marad) + pp (-be jutás x = átment) = ( p)f + p n=0 amiből f = adódik és g = E (-esbe jutás ideje) = + ( p)g + p 0 amiből g = p Definíció Elérési ideje egy A V halmaznak: H A = inf{n 0 : x n A} Elérési valószínűség: f A i = P i (H A < ) Átlagos elérési idő: q A i = E i (H A ) = n< np i (H A = n) + " P(H A = )" Elérési valószínűség meghatározásának módja A f A = (f A i : i V ) elérési valószínűség az a; nem negatív, minimális megoldása a f A f A i = ha i A i = p ji f A ha i A j j egyenletrendszernek. A minimális megoldás azt jelenti, hogy ha x és f megoldások akkor x i f i x -re 3

22 Bizonyítás: a) f A i megoldja az említett egyenletet Ha x 0 = i A, akkor H A = 0 (nulla lépés alatt ott van) f A i = Ha x 0 A, akkor H A f A = P i i (H A < ) = P i (H A <, x = j) P i (H A < x = j) P j V j V }{{} i (x = j) f A j }{{} j-t érintve i-ből A-ba megy b) minimális megoldás Legyen x egy tetszőleges megoldás, ahol f A = x i i = i A-ra, így = }{{} p ji p ji f A j j x i = p ji x j = p ji x j + p ji x j = p ji + p ji x j = p ji + ( p ji p k j x k + ) p k j x k = j j A j A j A j A j A j A k A k A = P i (x A) + P i (x A, x A) + p ji p k j x k =... = P i (x A) +P }{{} i (x A, x A) + j,k A elsőre odament P i (x A,..., x n A, x n A) + p }{{} j i p j j... p jn j n x jn { j} n.-re ment oda x i P i (H A n) x i lim n P i (H A n) = P i (H A < ) = f i Átlagos elérési idő meghatározásának módja A g A = (g A i : i V ) átlagos elérési idő az a; nem negatív, minimális megoldása a g A i = 0 i A g A i = + j p ji g A j i A egyenletrendszernek. (Bizonyítása hasonló, mint az elérési valószínűségnél látott). 4

23 Részvénypiac egyszerű modellje Alapfogalmak Értékpapír: vételár ellenében szabadon átruházható Értékpiac: értékpapírok adásvételének színtere Árfolyam: az az ár, amennyiért az értékpapír egy egységét megvásárolhatjuk Időhorizont: Ha a piac diszkrét, egyenközű t időlépésekre osztható, akkor t a befektetések időhorizontja. Értékpapír jellemzése Az értékpapírok jövőbeli értékét, árfolyamát véletlenszerűnek tekinthetjük. Jelölje S(t) sztochasztikus változó egy adott értékpapír t időpontban vett árfolyama, melyhez a p n (s t ;...; s n t n ) valószínűségi sűrűség tartozik, így az egységnyi időlépés alatt szerzett egységnyi nyereség: X(t, t) = S(t + t) S(t) mely relatív megváltozása a hozam vagy lineáris hozam: r(t, t) = S(t+ t) S(t) S(t) exponenciális trend pl. kamatos kamat r(t, t) log = log S(t+ t) S(t) log r ahol r(t, t) log az úgynevezett logaritmikus hozam. 5

24 Portfólió választás a Markowitz-féle modellben A Markowitz-féle modell feltevései A Markowitz-féle modell az üzleti világra a következő egyszerűsítő feltevéseket teszi: A befektetők árelfogadóak: A piac szereplői nem befolyásolják a piacot az üzleteikkel (a forgalomban lévő részvényekhez képest kis tételben való kereskedés esetén jó közelítés, azonban a portfólió nyereségének realizációja tömeges eladáshoz vezet) Értékpapírok tetszőlegesen oszthatóak: nagy portfólióra jó közelítés Nincsenek tranzakciós költségek: sem időben sem pénzben Az árfolyamok stacionárius és normális eloszlásúak: azaz elegendő az átlagukat és szórásukat megadnunk, a centrális határeloszlás tétele miatt kb. jó közelítés A befektetések kockázatát a hozamuk szórásával mérjük: azaz a kockázat a befektetési periódus végén realizált hozam bizonytalansága. Azonban a kockázatát definiálása közel sem egyértelmű, ezt példázóan néhány fontos szempont amit figyelembe kell vennünk a kockázat definiálása során: Diverzifikációs elv: olyan kockázati mérték kell, mely több részvényre való szétosztott befektetésre kisebb Robosztusság: Kis zavarral szembeni ellenállás Összehasonlíthatósag: Valahogy össze kell tudnunk hasonlítani a különböző formájú befektetéseket Szokás megkülönböztetni a kockázatokat forrásaik szerint: (a) piaci kockázat (árfolyam ingadozás) (b) hitelkockázat (fizetésképtelenné válás) (c) működési kockázat (emberi hiba, csalás) A befektetők racionálisak: a vizsgált időtávon belül a legkisebb kockázat mellett a legnagyobb hozamot szeretnek (azonban hosszú távú befektetés során nem zavaró, ha az elején rosszul teljesít a befektetés) Portfólió választás Legyen N darab különböző fajta értékpapír a piacon, melyek árfolyamai S i (t) : i {,..., N}. Ekkor portfóliónak nevezzük a befektető egyes értékpapírjaiból meglévő w i (adott részvény-kombináció) mennyiségek összességét. Tehát a portfólió értéke: Y (t) = N w i S i (t) W S(t) melyből a portfólió megváltozásának értéke (nem váltunk csomagot), azaz a nyereségünk: i= X(t) = Y (t + t) Y (t) = N w i X i (t) ahol X i (t) = S i (t + t) S i (t). A Markowitz-modell feltevése miatt elegendő pusztán a portfólió átlagával és szórásával foglalkoznunk: i= µp := σ p := N w i µ i i= N σ i j w i w j i, j= ahol µ i = E[x i ] részvény várhatóértéke és σ i j = E[x i x j ] E[x i ]E[x j ] kovariancia mátrix. 6

25 A befektetőnk racionális, ha: azonos (µ p = µ p ) várható hozamok közül azt részesíti előnyben, melynek kisebb a szórása azaz a p, p portfóliók közül p -et válassza, ha σ p < σ p azonos szórás esetén a nagyobb várhatóértékűt választja Tehát a kedvező portfólió megtalálásához a következő optimalizációs feladatot kell megoldanunk:. min w R N. 3. N i j= σ i j w i w j N w i µ i = µ rögzített hozam mellett keressük a minimális portfóliót i= N w i = nem fektetünk be vagy vonunk ki részvényt a játék során i= mely Lagrange multiplikátoros formalizmussal megoldható: ahol a ( ) megoldásra utal és w i (µ) = N j= λ (µ) = C B µ AC B σ i j [λ (µ) + η (µ)µ i ] η (µ) = A µ B AC B A = N i j= σ i j a µ hozam melletti portfólió kockázata pedig: σ (µ) := Optimalizációs feladat vizualizációja: Μ N i, j= B = N i j= σ i j µ j σ i j w i (µ)w j (µ) C = N i j= σ i j µ iµ j A AC B (µ B A ) + A B A A besatírozott terület: lehetséges portfóliók (a. és 3. egyenletet kielégítik, de nincsen minimalizálva a kockázat) határportfóliók: optimalizációs feladat szélsőértékei (kékkel és lilával jelölt portfóliók) hatékony portfóliók: optimalizációs feladat megoldásai (kékkel jelölt portfóliók) 7

26 3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tőzsdén Vegyük a következő gazdasági modellt: legyen x = {x i : i < } véletlen változók halmaza, mely a következő eloszlást mutatja: P(x i = ) = P(x i = ) = / (pl. pénzérme dobás) jelölje S 0 a játékos kezdeti tőkéje, mely az n. lépésben S n = S 0 + x + x x n, tehát M n = S n S 0 a játékos nyeresége (egyetlen portfólióval foglalkozunk,hiszen kiválasztottuk a legjobbat) Feltehetjük azt a kérdést, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy nyer A egységet, mielőtt B-t vesztene? A kérdés megválaszolásához vezessük be a τ := min{n 0 : M n = A vagy M n = B} időt, lépésszámot mely egészen addig fut, míg vagy S n = A nyereség vagy M n = B bukás bekövetkezik, így arra hajtunk tehát, hogy meghatározzuk a következőt P(S τ = A S 0 = 0) ahol az S 0 = 0 kezdeti feltétel arra utal, hogy a kezdő árfolyamhoz képest viszonyítjuk a mozgást. Első lépés analízis Elemi körökből, időlépésekből építjük fel a játékos pénzmozgását, úgy, hogy egy lépést ismételünk a játék végéig, addig amíg B < S n < A feltétel még nem teljesül. Legyen f (k) := P(S τ = A S 0 = k) B k A annak a feltételes valószínűsége, hogy ha k tőkénk van, akkor τ-ban nyerünk A-t. A már tanultak alapján f (k) kifejezhető a gráf szomszédos elemein vett értékével: f (k) = f (k ) + f (k + ) B k A mely egyenletetrendszert kell megoldanunk az f (A) = és f ( B) = 0 kezdeti feltételekkel. Ehhez a kapott egyenletet vezessük vissza rekurzió segítségével, majd oldjuk meg: legyen f ( B + ) α ekkor ) α = f ( B + ) = f ( B + ) + }{{} f ( B + + ) α = f ( b + ) ) α = f ( B + ) = f ( B + ) + }{{} f ( B + + ) α 3α = f ( B + 3)... j) jα = f ( B + j) ahol az α értékét az f (A) = kezdeti feltételből illeszthetjük: = f (A) = (A + B)α Tehát a keresett feltételes valószínűség: α = A + B f (0) = P(τ idő alatt elérüjük A-t, de még mielőtt elérnénk B-t S 0 = 0) f ( B + B) = B A + B 8

27 Bolyongás várható ideje A várható idő pontosabb meghatározása előtt meg kell bizonyosodnunk arról hogy a folyamatunk valóban véges ideig tart. Ezt indikátor függvény (A. Appendix) segítségével beláthatjuk. Induljunk ki a következő triviális algebrai állításból τ d ((k )(A + B) < τ k(a + B)) k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) mivel ez az összefüggés minden k-ra teljesül, így a -ra is teljesül: k τ d ((k )(A + B) < τ k(a + B)) k= }{{} ((k )(A + B) < τ k(a + B)) τ d k= } {{ } a szumma olyan k-ra megy ahol (k )N<τ kn, és N=A+B azaz k < τ N k így k csak egy értéket vehet fel (többre nem teljesül az egyenlőtlenség), tehát ez k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) k= τ d k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) k= mindkét oldal várhatóértékét véve: τ d k d (A + B) d P((k )(A + B) < τ) k= }{{} annak a valószínűsége, hogy (k-)(a+b) lépésből egyszer sem nyert, azaz ezt úgy becsülhetjük, hogy (A+B) lépésből egyszer sem nyertünk (k-)-szer:-p ahol p= (A+B) annak a valószínűsége, hogy pont A-t nyerünk egyféleképpen mivel a jobb oldal korlátos, így a bal oldal is. Első lépés analízis Jelölje g(k) = τ S 0 = k annak a bolyongásnak a várható idejét amit az S 0 = k-ból indítunk. Ez is kifejezhető a szomszédos gráfpontokbeli értékeivel g(k) = g(k ) + g(k + ) + ez esetben a két kezdeti feltétel g( B) = 0 = g(a) (mindkét esetben nulla a bolyongási idő, hisz vagy a nyerés vagy a vesztés miatt kiszálltunk). Vegyük észre, hogy az előző egyenlet átírható egy Laplace egyenletté: ahol melynek megoldása: így g(k ) = B < k < A g(k ) = g(k) g(k ) g(k ) = g(k + ) g(k) + g(k ) g(k) = (k A)(k + B) τ S 0 = g(k = 0) = A B 9

28 4 Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tőzsdén Legyen P(x i = ) = p és P(x i = ) = p = q ahol (p + q = ). Ekkor egy lépés után: melyet a következő differenciálegyenletbe írhatunk át: melyből: ) f (k + ) = ( q p ) f (k) ) f (k + ) = ( q p ) f (k + ) = ( q p ) f (k)... j) f (k + j) = ( q p ) j f (k) f (k) = p f (k + ) + q f (k ) 0 = p{f (k + ) f (k)} q{f (k) f (k )} f (k) = ( q ) f (k ) p ezt az előző egyenlettel analóg módon rekurzívan megoldatjuk, legyen megint és használjuk fel az α = f ( B) = f ( B + ) f ( B) = f ( B + ) }{{} f (k) = k+b f ( j B) = j=0 f (k) kioltják egymást azonosságot így: f (k) = k+b j=0 f ( j B) = k+b melyben szereplő α-t az f (A) = kezdeti feltétel rögzíti f (k = 0) adja megint a kereset valószínűséget: j=0 f (0) = P(S n = A S 0 = 0) = ( ) q j k+b p f ( B) = α = α ( ) q A+B p q p j=0 q p ( q ( q p )A+B p )B q p = ( q p ) j = α ( q p ) k+b ( q p )B ( q p )A+B q p 0

29 Bolyongás várható ideje Megint be kéne látnunk, hogy τ véges, de ezt most nem tesszük meg, hanem rögtön megoldjuk az első lépés analízis egyenleteit g(k) = pg(k + ) + qg(k ) + mely a következő inhomogén lineáris differenciálegyenletre vezet ( ) q g(k) = g(k ) p p a probléma g( B) = 0 = g(a) kezdeti feltételekkel rendelkezik. homogén rész megoldása g(k) = ( q p ) g(k ) = ( q )[g(k) g(k )] p a megoldás alakja: ( q g(k) = α + β p melyet vissza írva azt kapjuk: ( ) [ q k+ ( ) ] [ q k ( ) q k+ ( ) ] q k g(k + ) g(k) = α + β α + β = β = p p p p ( ) [ ( ) q q k ( ) ] q k = β p p p inhomogén egyenlet megoldása, az állandók variálása helyett c k alakban keressük a megoldást: c (k + ) c k = q p (ck c(k )) p c = q p a kettő összegéből (lineáris kombinációjából) előáll a megoldás: g(k) = a kezdeti feltételek rögzítik az α, β konstansok értékét: ) k k q p + α + β( q p )k g(k = B) = B q p + α + β( q p ) B = 0 α = B q p β( q p ) B g(k = A) = A q p + α + β( q p )A = 0 α = A q p β( q p ) A+B q p = β(( q p ) B ( q p )A ) ebből a bolyongás várhatóértéke: g(k = 0) = + α + β = B q p A+B q p ( ( q p ) B ( q )(( q p )A p ) B ) = B q p A+B q p ( q p )B ( q p )A+B

30 határeset: ez p = + ε és q = ε-ban visszaadja az előző eredményt g(k = 0) = B ε A+B ε [ (+ε) B ( ε) B ) (+ε) A+B ( ε) (A+B) ] = ( + x) n + nx + n(n )x ( x) n nx + n(n )x ( + ε) B ( ε) B ( + x) n nx + = [ + Bε + B(B )ε ]x[ + Bε + B(B + )ε ] n(n + )x ( x) n + nx + n(n + )x B ε + Bε + B ε B ε A+B ε B(+Bε) Bε+B ε = (A+B)ε+(A+B) ε B+B ε = B ε+(a+b)ε ε ε(+(a+b)ε) = B ε B ε [ Aε +(A+B)ε ] = AB +(A+B)ε AB (torzítatlan érmés eredmény) Vegyük észre, ha a kocka kicsit cinkelt(p=0.49), annak a valószínűsége, hogy hamarabb nyerünk 00$-t mint hogy 00$-t veszítünk: szemben a tiszta esettel: f (0) = ( q p )00 ( q 0.08 % p )300 f (0) = B A+B = %

31 5 Konklúzió Tehát egy példafolyamat a következőképpen néz ki p = 0.5, A = 50$ és B = 50$ paraméterek mellett. Nyújtsuk el a folyamatot, azaz legyen A = B = 00$, ekkor a nyerési/vesztési valószínűségek közti különbség jobban kiéleződik, ezt szemlélteti a következő táblázat p 50% 49.5% 49% 48% 47% τ f(0) 50%,9%.79% 0.03% % /Tehát mindent az első körben felrakni nem egy rossz statisztikájú játék (a többihez képest)/ és két nyerési plot mely az egy körben való p nyerési valószínűség függvényében pásztázza végig a teljes nyerési valószínűségeket: (a) A = 50 és B = (b) A = 00 és B = 50 3

32 Sinkovicz Peter

33 Diffúziós folyamatok Diffúziós folyamatok leírása Legyen P(x, t x ) homogén Markov folyamat (pl.: x(t) a nyereségünk az idő során), melyet akkor nevezünk diffúziósnak, ha a növekménymomentumok a következő képpen viselkednek: (x x ) n P(x, t x )dx = v(x ) t + ϑ( t) ha n = σ (x ) t + ϑ( t) ha n = ϑ( t) ha n 3 azaz a várhatóérték v(x ) driftsebességgel eltolódik (driftelődik) és az éles eloszlás σ diffóziósállandóval kiszélesedik: x x t t t x x = v(x ) t σ(x, t) = σ(x ) t Mivel csak az első és a második momentum különbözik nullától így az eloszlásunk leírható egy Gauss függvénnyel. P(x, t x ) e (x x v(x ) t) σ (x ) t Fokker-Planck egyenlet Véve a Chapmann-Kolmogorov egyenletet diffúziós folyamatokra vett határesetét kaphatunk egy drift egyenletet, amit minden diffúziós folyamatnak ki kell elégítenie. Fokker-Planck egyenlet levezetése során a dxf (x)p(x, t + t x ) dxf (x) [ P(x, t x ) + t P(x, t x ) t ] várhatóértéket fogjuk több lépésben átalakítani. Első lépésben használjuk fel a P(x, t + t x ) = dx"p(x, t + t x", t)p(x", t x ) }{{} = homogén dx"p(x, t x")p(x", t x ) 5

34 Chapmann-Kolmogorov egyenletet és hogy a bevezett f (x) függvény sorbafejthető minden x pont körül: így dxf (x)p(x, t + t x ) = f (x) f ( x) + f ( x)(x x) + f "( x)(x x), dxdx"f (x)p(x, t x")p(x", t x ) P(x, t x")p(x", t x ) = v(x") t dxdx" [f (x") + f (x")(x x") + ] f "(x")(x x") dx"p(x", t x ) f (x") dxp(x, t x") + }{{} = + f (x") dx(x x")p(x, t x") + f "(x") dx(x x") P(x, t x") = }{{}}{{} = =σ (x") t dxp(x, t x ) [f (x) + f (x)v(x) t + ] f "(x)σ(x) t Parciális integrálással tisztítsuk meg az f (x) függvényeket a deriválástól dxf (x)v(x) tp(x, t x ) = [ f (x)v(x) tp(x, t x ) ] + ( dxf (x) x v(x)p(x, t x ) ) t = ( = t dxf (x) x v(x)p(x, t x ) ) dxf "(x) σ (x) tp(x, t x ) = = t dxf (x) x ( σ ) (x) P(x, t x ) az integrálás során természetes határfeltételeket alkalmaztunk, azaz lim P(x, x ± t x ) = 0. A két oldal közti egyenlőség minden f (x)-re fennál, így az integrandusoknak meg kell egyezniük, mely a Fokker-Planck egyenletet adja: t P(x, t x ) = x ( v(x)p(x, t x ) ) + x ( σ (x)p(x, t x ) ). (Mivel p (x, t) = dx P(x, t x )p (x,0), így ezt az egyenlet p is kielégíti.) A Fokker-Planck egyenlet nem más mint egy kontinuitás egyenlet P(x, t x )-re, ahol v(x ) az áramlási sebesség és σ(x ) a valószínűség szétfolyásának mértéke 6

35 Speciális diffúziós folyamatok A diffúziós folyamatokat a v(x) driftsebesség és σ diffúziós állandó függvényében osztályozhatjuk: Wiener folyamat, ha v(x) = 0 és σ (x) = σ = D Lináris (vagy Ornstein-Uhlenbeck) folyamat, ha v(x) = γx és σ (x) = σ = D Langevin folyamat, ha v(x) "tetszőleges" és σ (x) = σ = D (rendelhető hozzájuk Langevin egyenlet) Általános diffúziós folyamat ha v(x) és σ (x) is "tetszőleges" Wiener folyamat Az olyan diffúziós folyamatokat, ahol v(x) = 0 és σ (x) = D Wiener folyamatoknak nevezzük. Ekkor a Fokker- Planck egyenlet a t P(x, t x ) = D x P(x, t x ) alakot ölti. Wiener folyamat átmeneti valószínűsége A Wiener folyamathoz tartozó diffúziós egyenletet a φ(z, t) := e zx = dxe zx P(x, t x ) generátor függvény (azaz a deriváltjai megadják a momentumokat) φ(z, t) = e zx = n=0 z n n! xn n z φ(z, t) z=0 = x n segítségével oldhatjuk meg. Ha a Fokker-Planck egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk e zx -szel, majd x-re kiintegrálunk akkor a generátor függvényre a következő összefüggést kapjuk: t φ(z, t) = Dz dxe zx P(x, t x ) = Dz φ(z, t) Tehát a generátor függvény bevezetésével sikerült egy szétválasztható differenciál egyenleté alakítani az egyenletünket, melyet már megoldhatunk: ( ) φ(z, t) ln = Dz t φ(z, t) = φ(z,0)e Dz t φ(z, 0) melyből a φ(z, 0) konstans értékét beállítja a kezdeti feltétel. Legyen kezdetben egy lokalizált állapotunk, ekkor P(x,0 x ) = δ(x x ) φ(z, t = 0) = dxe zx P(x,0 x ) = e zx. Nézzük meg, hogy a kapott generátor függvény milyen eloszlást generál (hátha megállapíthatjuk ebből a keresett eloszlást): Várhatóérték z φ(z, t) z=0 = z e zx +Dz t z=0 = ( x + D z t ) e zx +Dz t z=0 = x melyből a növekmény várhatóértéke: x x = v(x) t = 0 7

36 Szórás melyből a szórás: z φ(z, t) z=0 = = x + Dt σ = x x = D t Magasabb momentumok eltűnnek, így a teljes megoldás Gauss lesz Tehát a keresett egyenlet megoldása: n 3 : n z φ(z, t) z=0 = = 0 (x x ) n = 0 P(x, t x ) = e (x x ) D t e (x x ) 4Dt π D t mely t -re P(x, t x ) = δ(x x ) (hiszen nincsen driftelődés). Ornstein-Uhlenbeck folyamat Az olyan diffúziós folyamatokat nevezzük Ornstein-Uhlenbeck folyamatnak amelyekben v(x) = γx és σ = D. Ekkor a Fokker-Planck egyenlet ( t p (x, t) = x γxp (x, t) ) ( ) D + x p (x, t) = γ x (xp (x, t)) + D x p (x, t) alakot ölti. Ornstein-Uhlenbeck folyamat stacionárius eloszlása Az p stac (x) egyensúlyi eloszlás az időben nem fejlődik, így a diffúziós egyenlet a következőképpen módosul 0 = x ( γxp stac (x) + D x p stac (x) ) C = γxp stac (x) + D x p stac (x) ahhoz, hogy p stac (x) normált lehessen a C = 0 feltételt ki kell rónunk, így x p stac (x) = γx D pstac (x) γ p stac (x) = πd e ahol a p stac (0) értékét a dxp stac (x) = normálási feltétel adta meg. Ornstein-Uhlenbeck folyamat átmeneti valószínűsége A Fokker-Planck egyenlet az átmeneti valószínűségekre is fennáll. A Wiener folyamathoz hasonlóan most is a G(z, t) := e zx = dxe zx P(x, t x ) generátor függvény segítségével egyszerűsíthető a γ D x t P(x, t x ) = γ x ( xp(x, t x ) ) + D x P(x, t x ) Fokker-Planck egyenlet, ha mindkét oldalt megszorozzuk e zx -szel, majd kiintegráljuk dx szerint és [ γ dx x xp(x, t x ) ] e zx = γ [ xp(x, t x )e zx] γ dx [ xp(x, t x ) ] x e zx = 0 γz dxxp(x, t x )e zx [ ] = γz z dxp(x, t x )e zx = γzg(z, t) 8

37 parciális integrálással leválasszuk az átmeneti valószínűségekről a deriválást: dx t P(x, t x )e zx ( = dxγ x xp(x, t x ) ) e zx + dxd x P(x, t x )e zx t G(z, t) = γz z G(z, t) + Dz G(z, t) t G(z, t) + γz z G(z, t) = Dz G(z, t) mely megoldását keressük egy x -ből indított lokalizált állapotból, ami a generátor függvényre a G(z,0) = dxe zx P(x, t = 0 x ) = dxe zx δ(x x ) = e zx kezdeti feltételt adja. A generátor függvényre kapott differenciálegyenletet a karakterisztikák módszerével oldjuk meg, azaz a (z, t) megoldási síkról áttérünk egy s (ξ(s), τ(s)) egyparaméteres síkra, ekkor G(s) = G(ξ(s), τ(s)), melynek a teljes megváltozása: dg(s) = ξ G dξ(s) ds ds + τg dτ(s) ds. Válasszuk meg a karakterisztikus görbét úgy ξ = Ce γs dξ dτ = γξ és τ = s ds ds = hogy ezen paraméterezés segítségével a differenciálegyenletünk már megoldható legyen. Ekkor a parciális differenciál egyenletünk a következő egyszerű alakot ölti: dg(s) ds dg(s) G(s) = ξ G dξ(s) ds + τg dτ(s) = ξ G γξ + τ G Dξ G(s) ds = ξ Dds lng(s) lng(0) = D s 0 ds ξ (s ) = D s G(s) = G(0)e D γ C (e γs ) G(ξ(s),τ(s)) 0 ds C e γs = DC eγs γ melyet a ξ(s) = z és τ(s) = t helyen kell kiértékelni, azaz τ = s = t és ξ = Ce γs = z D G(z, t) = G(ξ(0), τ(0)) e γ z e γt (e γt ) } {{} G(C,0)= e cx s=t és C=ze γs =ezx e γt = exp [ zx e γt + z D ( e γt )] γ melyből leolvashatójuk (ugyanúgy generálja mint a Wiener folyamatnál) az eloszlás momentumait Várhatóérték Szórás x = x e γt σ (t) = x x = D γ ( e γt ) Magasabb momentumok eltűnnek, így a teljes megoldás is Gauss lesz 9

38 Tehát a megoldása az átmeneti valószínűségre a következő P(x, t x ) = e ( x x ) σ (t) πσ (t) ami egy ergodikus folyamatot definiál, hiszen t -re a stacionárius eloszlásba fut: lim P(x, t t x ) = p stac (x) = e γ D x πd/γ 30

39 3 Langevin egyenlet Egy mozgás, ami differenciálegyenlettel van megadva mindaddig determinisztikus (még ha kaotikus is), amíg valahogy nem csatolunk rá egy véletlen változót. Az ily módon származtatott differenciálegyenleteket sztochasztikus differenciálegyenleteknek nevezzük. A továbbiakban a folyamatok véletlen változását egy ξ t (x) Gauss típusú fehér zajjal adjuk meg: ξ t (x) = 0 és ξ t (x)ξ t (x ) = σ (x, x )δ(t t ) Véletlen zaj, hiszen a különböző időben lévő folyamatok nem korreláltak. A zaj Gauss típusa arra utal, hogy csak az első két momentumát kell megadnunk a jellemzésére, hiszen a magasabb momentumok eltűnnek. Továbbá attól fehér zaj, hogy a momentumok Fourier térben konstansak, azaz valós térben delta disztribúciót tartalmaznak (így mint egy általánosított sztochasztikus folyamatként is kezelhetjük őket, hiszen a delta következtében éles változások jelennek meg). Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet Legyen ξ t egy Gauss típusú fehér zaj, melynek szórása x független, ekkor t x t = v(x t ) + ξ t egyenletet Langevin egyenletnek nevezzük. Melyben ha nem szerepelne a ξ t véletlen zaj, akkor egy determinisztikus differenciálegyenletet kapnánk. A Langevin egyenlet egy infinitezimális időintervallumra vett lépés alatt a következő megváltozását eredményezi az x t változónknak: [x t ] t+dt t = v(x t )dt + t+dt t dtξ t := v(x t )dt + [W t ] t+dt t dx t = v(x t )dt + dw t ahol a jobb oldal első tagját elegendő volt csak az intervallum méretével megszorozni, hiszen szemben a második taggal ő "szépen viselkedik" (nincs ugrása). Mivel a t + dt állapot csak t-től függ, így ez egy Markov folyamat, továbbá a momentumok meghatározásával belétható, hogy diffúziós folyamat is: Növekmény (pl. nyereség) várhatóértéke Növekmény szórása dx t = v(x t )dt + dw t = v(x t )dt + t+dt t dt ξ t ) = v(x }{{} t )dt =0 t+dt dx t = (v(x t)dt + dw t ) = (v(x t )dt) + v(x }{{} t )dt dw t + dw }{{} t = d t ϑ(dt ) =0 nem korrelálnak t Növekmény magasabb momentumai dx n t = 0 ha n 3 Tehát az említett Langevin egyenlettel megadott folyamathoz a t p (x, t) = x (v(x)p (x, t)) + σ x p (x, t) t+dt t d t ξ tξ t }{{ = σ dt } σ δ( t t ) Fokker-Planck egyenlet tartozik. Ha a szórás x függő lenne, azaz σ σ(x) akkor elromlik az integrál, hiszen a zaj éles ugrásokat tartalmaz (emiatt nem folytonosan differenciálható), ekkor az integrált valahogy értelmeznünk kell (pl.: Itó integrál). 3

40 Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre Legyen x = (x, x,..., x n ) véges sok sztochasztikus változó, melyekre a Langevin egyenletek teljesülnek, ahol t x i = v i (x) + ξ i ξ i = 0 és ξ i (t)ξ j (t ) = D i, j δ(t t ) Gauss típusú fehér zajok (D i, j pozitív definit mátrix, mert diagonális rendszerben a főátló elemei a ξ i -et adják). Melyhez az n t P(x, t x ( ) = xi vi (x)p(x, t x ) ) n n + D i, j P(x, t x ) := xi J i xi x j i általánosított Fokker-Planck egyenlet tartozik, ahol J i az x i valószínűségi árama. i, j i 3

41 4 Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz Már láttuk, hogy egy Langevin egyenletet és egy Fokker-Plack egyenletet a zajkorrelációk jó megválasztásával összekapcsolhatunk. Most az fogom megmutatni, hogy ha ismerjük a stacionárius eloszlását a rendszernek, akkor ahhoz gyárthatunk egy Langevin egyenletet. Egyváltozós eset Idézzük fel a t p (x, t) = x (v(x)p (x, t) D x p (x, t)) ahol D = σ Fokker-Planck egyenletet. Stacionárius esetben p (x, t) = p stac (x) időfüggetlen, így azonban v(x)p stac (x) D x p stac (x) = konst. lim x ± pstac (x) = 0 = lim x p stac (x), így konst. = 0, tehát x ± x p stac (x) = D v(x)pstac (x) mely egyensúlyi differenciálegyenlet megoldható (szétválasztható): p stac (x) = Ce D dx(x) := Ce Φ(x) ahol Φ(x) az eloszlás potenciálja. Az egyensúlyi eloszlás ezen alakját vissza írva a differenciálegyenletbe Φ(x) és v(x) kapcsolatára a x Φ(x) = D v(x) v(x) = D x Φ(x) összefüggés adódik, melyből az ekvivalens Langevin egyenlet ahol ξ t = 0 és ξ t ξ t = Dδ(t t ). t x t = D x Φ(x) + ξ t Például: Ornstein-Uhlenbeck folyamat Ekkor v(x) = γx és σ = D és γx = D x Φ(x) mivel a végtelenben le kell, hogy csengjen a potenciál, így a Φ(x) = γ D x (v.ö. a korábbi számolással). Többváltozós eset Többváltozós esetben a Flokker-Planck egyenlet ( n t p n (x, t) = xi v i (x)p n (x, t) j i D i, j x j p n (x, t) ) mely stacionárius eloszlását keressük p stac (x) = Ce Φ(x) alakban, ekkor 0 = [( xi v i (x) + ) ] D i, j x j Φ e Φ(x) := div(j stac (x)) i j azaz azt kaptuk, hogy a J stac (x) divergenciája nulla, azonban abból, hogy egy vektor divergenciája nulla nem következik hogy a vektor egy konstans vektor, így nincs egyértelmű kapcsolat a Φ(x), v(x) és D i, j mennyiségek között. 33

42 Két lehetséges megoldása van az előző egyenletnek: A J stac (x) valószínűségi áram konstans (nulla) vektor stacionárius állapotban: 0 = v i (x) + j D i, j x j Φ(x) A J stac (x) valószínűségi áram antiszimmetrikus: v i (x) + j D i, j x j Φ(x) := j Q i, j x j Φ(x) ahol Q i, j = Q j,i antiszimmetrikus mátrix és D i, j a definíciójából fakadóan szimmetrikus. Ha felhasználjuk a t Φ = i Φ t x i egyenletet és beírjuk a t x i alakját a Fokker-Planck egyenletből akkor láthatjuk, hogy a Q i, j egy "konzervatív" mozgást ír le, azaz nem változtatja meg a potenciált ( t Φ = 0), míg a D i, j pedig egy disszipatív mozgást ad ( t Φ < 0). 34

43 Diszkrét idejű Master egyenlet egész változókra Master egyenlet származtatása Infinitezimális idő alatti átmeneti valószínűség Tekintsünk egy olyan Markov folyamatot, ahol az állapottér diszkrét (gráffal megadható), azaz p (i, t) és P(i, t j) i, j Z. Fejtsük sorba az átmeneti valószínűséget t szerint P(i, t j) p ji = P(i, t j) = P(i,0 j) + t + ϑ( t) := δ i, j + w j,i t t ahol w j,i az időegység alatt átmenés valószínűsége: ha i j akkor P(i, t j) = w j,i t, mivel t és P(i, t j) is nagyobb vagy egyenlő nullánál, így w j,i 0 ha i = j, akkor P(i, t i) = + w i,i t, mivel P(i, t i) 0, így w i,i 0 azonban a w j,i -k nem függetlenek, hiszen P(i, t j) = δ i, j + w j,i t / i = + i w j,i = 0 i w j,i t w i,i = i j w j,i Master egyenlet származtatása Végezzük el az előző sorfejtést a diszkrét folyamatok P(i, t + t j) = j P(i, t j )P( j, t j) Chapmann-Kolmogorov egyenletén: P(i, t + t j) j ( δ j, j + w j,i t ) P( j, t j) = P(i, t j) + t j w j,ip( j, t j) így t P(i, t j) P(i, t + t j) P(i, t j) = w j t,ip( j, t j) = w j,ip( j, t j) + w i,i P(i, t j) = j j i ( w j,ip( j, t j) w i, j P(i, t j) ) = ( w j,ip( j, t j) w i, j P(i, t j) ) j = j i melyet átírhatunk az egy esemény valószínűségekre is, ha p (i,0)-lal rászorzunk és kiszummázunk j-re, akkor t p (i, t) = j ( w j,i p ( j, t) w i, j p (i, t) ) a kapott egyenletet szemléletesen azt jelenti, hogy a valószínűség megváltozása az a befolyt, illetve a kifolyt valószínűségekből ered. 35

44 Részletes egyensúly Stacionárius esetben t p stac. (i) = 0, így ( w j,i p stac. ( j ) w i, j p stac. (i) ) = 0 j részletes egyensúly esetén az egyenlőség minden tagra fennáll, azaz w j,i p stac. ( j ) w i, j p stac. (i) = 0 w j,i w i, j p stac. (i) = p stac. ( j ) i, j V Belátható, hogy ha a rendszernek időtükrözési szimmetriája van (p (i, t; j,0) = p ( j, t; i,0)), akkor ez az összefüggés mindig teljesül: p (i, t; j,0) = p ( j, t; i,0) P(i, t j)p stac. ( j) = P( j, t i)p stac. (i) ( δi, j + w j,i ) p stac. ( j) = ( δ i, j + w i, j ) p stac. (i) w j,i p stac. ( j) = w i, j p stac. (i) w j,i w i, j = pstac. (i) p stac. ( j) 36

45 3 Bolyongás végtelen láncon Vegyünk egy páros N rácspontból álló láncot p N+ = p periodikus határfeltétellel. Az infinitezimális idő alatti átugrás valószínűsége legyen, első szomszédok között és homogén, jelöljük w-vel, ekkor a folyamatot a ( pi+ + p ) i t p i = wp i+ + wp i wp i = w p i Master egyenlet vezérli. Tehát a folyamat igyekszik kisimítani, egyenletesen kiosztani a rácspontokon való tartózkodás valószínűségeit, így p stac várhatóan p stac lesz. i A bolyongás diffúzitása Nézzük meg, hogy a várható értéke és a szórása hogyan adható meg a rendszernek. A pozíció várhatóértékének megváltozásának megállapításához szorozzuk be i-vel a Master egyenletet, majd összegezzünk ki i-re, ekkor N i= t p i = wp i+ + wp i wp i /n és i N i t p i = w t i = w i i= [ip i+ + ip i ip i ] [(i + )p i + (i + )p i+ ip i ] = w i [(i + )p i + (i )p i ip i ] = 0 Tehát a részecske pozíciójának várhatóértéke időben állandó. A pozíció szórásának megváltozásának meghatározásához az előzőhöz hasonló módon járhatunk el: t p i = wp i + wp i+ wp i /i és i t i = w [ i p i + i p i+ i ] p i i felhasználva a algebrai azonosságokat, azt kapjuk: t i = w i i = (i + ) = (i + ) (i + ) + = (i ) + (i ) + [ i p i ip i + p i + i p i + ip i + p i i ] p i = w p i = w Melyet közvetlenül integrálhatjuk, hogy megkapjuk a várhatóértéket: melyből a szórásnégyzet: i (t) = i (0) + wt σ (t) = i (t) i(t) = i (0) + wt i(0) Tehát ha p i (0) = δ i,0 éles kezdeti eloszlásból indítjuk a bolyongást, azaz i(0) = 0 és i (0) = 0, akkor egy diffúziós folyamatot kapunk. A szemléletesség kedvéért térjünk át hely reprezentációra: x = ia, ahol a a rácsállandó, így: x = 0 és x = wa t D = wa i 37

46 p i meghatározása A periodikus határfeltételek miatt áttérhetünk Fourier térbe, a következő transzformációval: p j = e iq ja p q és p q = e iq ja p j N N q a határok illesztéséből következik, hogy Naq = πm (m {,,..., N }), ezzel ekvivalens választás szimmetrikussá (később hasznos lesz az integrálok kiszámításához) transzformáljuk a Brillouin zónát: π a < q < π a Fourier térben diagonális a Master egyenlet: t p q = amit közvetlenül integrálhatunk j q = π a m N m { N/,..., N/} e iq ja w ( ) ( ) p j+ + p j p j = w e iqa p q + e iqa p q p q N = w(cos(qa) ) p q := γ(q)p q p q (t) = p q (0)e γ(q)t a p q (0) konstanst a p j (0) = δ j,0 kezdeti feltételből határozhatjuk meg: p q (0) = e iq ja δ j,0 = N N Elvégezve a vissza Fourier transzformálást megkaphatjuk a keresett p j valószínűséget: j p j (t) = e iq ja p q (t) = e iq ja e ( cos(qa))wt N N q (Analitikusan nehéz elvégezni az összegzést, így további vizsgálatokhoz sorfejtést fogunk alkalmazni.) Végtelen határeset Vegyük az N limeszt, ekkor az összegzést integrállá írhatjuk át = Na N N q π/a π/a q dq π = a Ebben a limeszben a p j (t) valószínűség már meghatározható: p j (t) = a = π/a π/a π π dq π eiq ja e ( cos(qa))wt = }{{} π π ϕ=qa π π/a π/a dϕ π cos( jϕ)ewtcosϕ e wt = e wt I j (wt) j dq π... dϕ ( ) cos( jϕ) + i sin( jϕ) e wtcosϕ e wt ahol a j. módosított Bessel függvény. π I j (wt) = π dϕ cos( jϕ)ewtcosϕ π 38