Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat)"

Átírás

1 Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (előadás vázlat) Sinkovicz Péter PhD hallgató S t t

2 Sinkovicz Peter

3 BEVEZETÉS Statisztikai alapfogalmak Események valószínűségének értelmezése Adattípusok Kísérlettervezés, buktatók Sztochasztikus folyamatok áttekintése Sztochasztikus folyamatok Stacionárius folyamatok Markov folyamatok Chapman-Kolmogorov-egyenlet Homogén Markov folyamatok Az állapotok osztályozása 5 Definíciók Bolyongás során felmerülő alapkérdések 6 DISZKRÉT IDEJŰ MARKOV FOLYAMATOK Diszkrét idejű Markov folyamatok dinamikája 7 Dinamika megadása Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven P (n) mátrix analitikus meghatározása Egyensúlyi eloszlás 0 Egyensúlyi eloszlás meghatározása Átlagos visszatérési idő Google PageRank Elérési valószínűség, átlagos elérési idő Bevezető példa Definíció Elérési valószínűség meghatározásának módja Átlagos elérési idő meghatározásának módja RÉSZVÉNYPIAC EGYSZERŰ MODELLJE Alapfogalmak 5 Értékpapír jellemzése Portfólió választás a Markowitz-féle modellben 6 A Markowitz-féle modell feltevései Portfólió választás i

4 3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tőzsdén 8 Első lépés analízis Bolyongás várható ideje Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tőzsdén 0 Bolyongás várható ideje Konklúzió 3 DIFFÚZIÓS FOLYAMATOK Diffúziós folyamatok leírása 5 Fokker-Planck egyenlet Speciális diffúziós folyamatok 7 Wiener folyamat Ornstein-Uhlenbeck folyamat Langevin egyenlet 3 Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz 33 Egyváltozós eset Többváltozós eset DISZKRÉT IDEJŰ MASTER EGYENLET EGÉSZ VÁLTOZÓKRA Master egyenlet származtatása 35 Infinitezimális idő alatti átmeneti valószínűség Master egyenlet származtatása Részletes egyensúly 36 3 Bolyongás végtelen láncon 37 A bolyongás diffúzitása p i meghatározása Végtelen határeset Kontinuum limesz APPENDIX A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus 4 Tulajdonságai ii

5 Sinkovicz Péter

6 Sinkovicz

7 Előszó Az előadás alap valószínűségi fogalmakra épül melyekről egy jó áttekintés ad a [] könyv. Témáját négy nagyobb szerkezeti egység képzi; Az első részben a diszkrét idejű Markov folyamatok átmeneti mátrixos és első lépés analízises formalizmusaival ismerkedünk meg, melyek pontosabb elméleti háttere a [-6] irodalombakban részletesebben kibontakozik. A második gondolati egységben betekintést kaphatunk a tőzsdepiac elemi folyamataiba, ehhez a témakörhöz jó áttekintést adnak a [7-9] könyvek. A harmadik részben néhány speciális diffúz folyamatot tekint át, melyek megtalálhatóak a [0] könyvben. Majd az előadás utolsó témája a Master egyenlet konstrukciója egy adott gazdasági folyamathoz. A jegyzet a Markov Monte Carlo módszerek rövid ismertetésével válna teljessé, azonban az idő rövidsége miatt ez a téma kimaradt, viszont egy jó áttekintést ad ebben a témakörben a következő két hivatkozás [-]. Továbbá szeretném kiemelni Szám Anita hallgatómat, aki lelkesen és megbízhatóan segített a jegyzet bedigitalizálásában. Irodalomjegyzék [] Prékopa András: Valószínűségelmélet [] J. R. Norris: Markov Chains [3] J. R. Norris: Markov Chains lecture note [4] Aldous, D. and J. Fill: Markov Chains lecture note [5] B. Rozovskii, M. Yor: Stochastic Modelling and Applied Probability [6] Fazekas István: Markov-láncok és alkalmazásaik [7] R. E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance I-II [8] M. J. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications [9] P. Jorion: Financial Risk Manager Handbook [0] W. Gardiner: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences [] Charles J. Geyer: Introduction to Markov Chain Monte Carlo [] W. R. Gilks, S. Richardson: Markov Chain Monte Carlo in Practice iii

8 Sinkovicz Péter

9 Bevezetés Statisztikai alapfogalmak Események valószínűségének értelmezése Véletlen folyamatok esetén a (megismételhető) kísérletek kimeneteinek a valószínűségeit azonosíthatjuk a mérések során tapasztalt relatív gyakoriságaikkal: kedvező elemi események száma lehetséges elemi esetek száma p(a Ω) := k A n = Az így definiált valószínűség kielégíti a valószínűségi axiómákat: 0 p(a Ω) p(ω) = (egymást páronként kizáró események valószínűsége összeadódik) Adattípusok Az adatok nem mások, mint a kísérletek lehetséges kimenetei. Csoportosíthatjuk lehetséges kimenetei: Kvalitatív adatok (lehetséges értékei számok) a) Diszkrét adatok (megszámlálhatóan végtelen számosságú) b) Folytonos adatok (megszámlálhatatlanul végtelen számosságú /intervallum adatok/) Kvantatív adatok (melyek értékei nem számok) és szintjük szerint is:. Normális szintű: Az ilyen típusú adatokat nem lehet sorba rendezni (pl.: igen/nem/talán). Ordinális szintű: Sorba lehet rendezni, de a különbségnek nincs értelme (pl.: egyetemek sorrendje) 3. Intervallum szintű: Van értelme a különbségnek, de nincs nulla pont, ami valaminek a hiányára utal 4. Arányszintű: Van nulla pont is (pl.: vízállás) Kísérlettervezés, buktatók Ügyelnünk kell arra, hogy a kísérletezés során ne torzuljanak az adatok, azaz valóban a mért populációt jellemezzék. A típushibák elkerülése érdekében a következőket kell szem előtt tartanunk: Statisztikai hamisítás: Tilos rossz, hamis adatot a többi közé keverni, hogy igazoljuk a feltevésünket Túl kis elemszámú minta nem ad reális képet a teljes populációról Az ábrák torzíthatnak, a számokat nézzük Elemi eseményekből építkezzünk Ismernünk kell a teljes eseményteret

10 Sztochasztikus folyamatok áttekintése Sztochasztikus folyamatok Legyen x(t) egy valószínűségi változó (Ω halmazon értelmezett tetszőleges függvény), melyet időnként megmérünk. A mérés során az x(t n ),..., x(t ) adatsort kapjuk, ahol t n < t n <... < t. Több kísérlet elvégzése után, vagy elméleti jóslatból definiálhatunk egy valószínűségi sűrűséget: p n (x, t ;...; x n, t n ) mely megadja, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy t i -ben (x i, x i +dx i ) intervallumon belül lesz a mérési eredmény, azaz P(x (x, x + dx ),..., x n (x n, x n + dx n )) p n (x, t ;...; x n, t n )dx,..., dx n Ezen valószínűségi leírásban x(t)-t sztochasztikus valószínűségi változónak tekintjük, ha rendelkezik a következő két tulajdonsággal: Normáltság pn (x, t ;...; x n, t n )dx ;...; dx n Komplementaritás pn (x, t ;...; x i, t i ;...; x n, t n )dx i = p n (x, t ;...; x i, t i ;...; x n, t n ) Az x(t) valószínűségi változóink jellemzésére bevezethetjük a következő mennyiségeket: momentumok várhatóérték: < x(t) > E[x(t)] := dx xp (x, t) n. momentum: < x n (t) > E[x n (t)] := dx x n p (x, t) korrelációs függvények n. korrelációs függvény: E[x (t )...x n (t n )] = dx... dx n x ;...; x n p n (x, t ;...; x n, t n ) Stacionárius folyamatok A stacionárius folyamatok invariánsak az időeltolásra, azaz nem fejlődnek az időben, így egyensúlyi állapotként értelmezhetőek: p stac (x, t) p stac (x, t ) t, t p stac = p (x) Markov folyamatok Definiáljuk a p stac (x, t; x, t ) p stac (x t + t; x, t + t) t p stac (x, t; x, t ) = p stac (x, x, t t ) P(x, t x, t ;...; x n, t n ) = p n(x t ;...;x n t n ) p n (x t ;...;x n t n ) feltételes valószínűséget, mely megadja, hogy mekkora valószínűséggel mérünk x -et t -ben, ha előtte t, x ;...; t n, x n n db esemény bekövetkezett. Ezen feltételes valószínűség segítségével definiálhatjuk a Markov folyamatokat. Egy sztochasztikus folyamatot Markovinak tekintünk, ha P(x, t x, t ;...; x n, t n ) P(x t x t ) összefüggés fennáll, azaz a rendszernek nincs hosszútávú memóriája, csak a közvetlenül őt megelőző eseménytől függ.

11 Chapman-Kolmogrov-egyenlet A p n valószínűség felépíthető a feltételes valószínűségek segítségével: p n (x, t ;...; x n, t n ) = P(x t x t ;...; x n t n )p n (x t ;...; x n t n ) = P(x t x t )p n (x, t ;...; x n t n ) = = P(x t x t )P(x t x 3, t 3 ;...; x n, t n )p n (x 3 t 3 ; x n, t n ) =... = = P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )... P(x n t n x n t n )p (x n, t n ) mely n=3 esetén a Chapman-Kolmogorov egyenletre vezet: p 3 (x t ; x t ; x 3 t 3 ) = P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) p (x, t ; x 3 t 3 ) = dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) P(x t x 3 t 3 )p (x 3 t 3 ) = p (x 3 t 3 ) dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 ) P(x t x 3 t 3 ) = dx P(x t x t )P(x t x 3 t 3 ) azaz az x 3 t 3 pont úgy függ az x t ponttól, hogy valószínűségi értelemben kiátlagolunk az összes benső x t pontra: x x x3 t t3 t t x 3 t 3 x t átmenet valószínűségét úgy kapjuk meg, hogy statisztikusan kiátlagolunk az összes útra. Homogén Markov folyamatok Egy Markov folyamat homogén, ha: P(x t x t ) = P(x t t x ) (időeltolásra invariáns), ebből még nem következik, hogy ez egy stacionárius folyamat, hiszen akkor stacionárius, ha p (x, t) = p stac (x), azaz nincs időfüggés. Ergodikus Markov folyamatnak nevezzük az olyan Markov-folyamatokat, ahol lim P(x, t t x ) = p stac (x) 3

12 melyből és a Chapman-Kolmogrov egyenlet alapján: lim p (x, t) = lim t t = p stac (x) dx P(xt x )p (x,0) = azaz tetszőleges eloszlás a stacionárius állapotba tart, ha t -be. A diffúz folyamatok olyan homogén Markov folyamatok, ahol ( ) dx lim P(xt x ) p (x,0) = p stac (x) t v(x )t + ϑ(t) n = (x x ) n P(x, t x )dx = σ(x )t + ϑ(t) n = Ø n > mely integrál-egyenletrendszer megoldását azonnal leolvashatjuk dx p (x,0) = P(x, t x ) e (x x +v(x )t) σ (x )t Gauss-eloszlást követ A megoldásokat v(x ) és σ(x ) szerint tovább csoportosíthatóak (lsd. később). 4

13 3 Az állapotok osztályozása Ettől a ponttól kezdve diszkrét idejű bolyongásokkal foglalkozunk úgy, hogy a mérést stroboszkópikusan és egyenközűen végezzük. Definíciók A kísérlet lehetséges kimenetelét rendezzük gráfba. Például: kockadobás Minden él /6 valószínűséggel következik be annak a valószínűsége, hogy i dobása után j-t dobjak = /6 i, j {,...,6} A j állapotot az i állapotból elérhetőnek nevezzük (i j), ha valamely n > 0 időlépésre: P( j, n t i) 0 továbbá az i és j állapotok kölcsönösen elérhetőek (i j), ha i j és j i. Egy i állapotot lényegesnek nevezünk, ha az i-ből elérhető állapotokból vissza lehet térni i-be, ellenkező esetben i lényegtelen állapot. Az állapotok egy A halmazát zártnak nevezzük, ha i A állapot esetén: P i ( j, t i) = egy időlépés után A-ban maradunk. j A Egy zárt halmazt lényegesnek nevezünk, ha nincs valódi zárt részhalmaza. Egy Markov lánc irreducibilis, ha a teljes állapottér minimális zárt halmaz. Továbbá egy Markov-lánc akkor és csakis akkor irreducibilis, ha az egész állapottere egyetlen lényeges osztályt alkot (azaz minden állapot minden állapotból elérhető i j i, j) Láttuk, hogy az ergodikus Markov-folyamatok a p stac (i)-be tartanak, azonban ez a határérték nem biztos, hogy létezik. pl.: P(i t j) = δ i, j i, j {,} azaz az () és a () állapot közt oszcillál a rendszer. Ergodikus Markov-lánc, ha aperiodikus (létezik p stac (i)), irreducibilis és véges valószínűséggel visszatalál a kiindulási pontba. 5

14 4 Bolyongás során felmerülő alapkérdések Első átlagos visszatérési idő Például: A sakktáblán véletlenszerűen bolyong egy huszár. Átlagosan hány lépés után tér vissza a kezdőpontba? Átlagos fedési idő Például: Kisgyerek zsírkrétázik az aszfalton. Átlagosan hány órát kell kint hagyni, hogy az egész utcát lefedje? Relaxációs idő Például: Átlagosan mennyit kell keverni a paklit, hogy elveszítse a memóriáját? Monte-Carlos módszerek 6

15 Diszkrét idejű Markov folyamatok Diszkrét idejű Markov folyamatok dinamikája Dinamika megadása Egy időlépés valószínűségét jelöljük a következőképpen: P i (x t+ t ) P(x t+ t x t = i) ahol x t+ t a t + t időben a "részecske" helyzete a G(V, E) gráfon (azaz a rendszer állapota), ha ez a j-edik rácspont akkor tömören: a p ji átmeneti mátrix tulajdonságai: p ji 0 i, j V p ji = (sztochasztikus mátrix) j V p ji = P i (x t+ t = j) i, j V λ = (λ i : i V ) valószínűségi eloszlás, ha λ i = és λ i 0, i V -re i Ezen elemek segítségével a következőképpen definiálhatjuk a dinamikát egy λ 0 kezdeti eloszlásból: P λ (x t= t = j) P λ (x = j) = i V λ i p ji... P λ (x n = j) = λ i p (n) ji i V Például: időjóslás: Megfigyelések alapján ha ma esett akkor holnap p = 0.7 valószínűséggel nem esik és q 0 = 0.3 valószínűséggel esik. Hasonlóan, ha ma nem esett, akkor p = 0.6 valószínűséggel nem esik és q = 0.4 valószínűséggel esik. p p,, p, p, ahol nem esik és esik, így a rendszer átmeneti mátrixa [ ] [ ] p, p, P = = p, p, és a kezdeti valószínűségi eloszlásunk (mai nap időjárása) a következő: ( λ ) ( ) λ 0 = 0 esik λ = 0 0 nem esik Melyen a két nap múlvai állapot meghatározásához az átmeneti mártixot kétszer kell hatatnunk: [ ][ ]( ) [ ]( ) ( ) P λ 0 = = = tehát 0.37 valószínűséggel esni fog két nap múlva. 7

16 Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven Az előző példa rámutatott arra, hogy az n lépéses folyamat átmeneti mátrixa: P (n) = p (n) ji hatványa. Így a Chapman-Kolmogorov egyenlet: p (n+m) = P (n) ji ki p(m) jk k V ami igazából a mátrix szorzás kiírása. P (n) mátrix analitikus meghatározása Például: Két pontú markov lánc a P mátrix n-edik p p,, p, p, mely átmeneti mátrixát parametrizálhatjuk a következő képpen: határozzuk meg P sajátértékeit: [ ] α λ β det α β λ [ ] [ ] p, p, α β P = = p, p, α β = ( α λ)( β λ) αβ = α λ β + αβ + λβ + λ λ + λα αβ = = λ λ + (α + β)λ + ( α β) = 0 melynek megoldásai: λ = és λ = α β. Így az átmeneti mátrix a következő alakra hozható (bázistranszformációval): ( ) ( ) λ 0 P = U U UU = 0 ===== P u = U 0 λ 0 ( α β) n U melyből (P (n) ) = U U +U ( α β) n U legyen A = U U és B = U U. Mivel P0 =,így p (0) A + B másrészt P = P, így p () = α = A + B( α β) melyből A és B meghatározható: A = hasonlóképpen a többi mátrixelem is meghatározható β P n α+β + α β ( α β)n α+β = α α ( α β)n α α+β α+β β α+β és B = α α+β α+β β α+β α+β + β α+β ( α β)n ( α β)n n β α+β α α+β β α+β α α+β = 8

17 Például: Három pontú Markov lánc: p 3, 3 3 p, 3 p, p, p 3, mely a következő átmeneti mátrixot definiálja: melynek sajátértékei: λ i =,± i, a 0 0 P = 0 ( ) i n ( ) n ± = e ±in π = ( 0 azonossággal átalakítható az átmeneti mátrix elemei, például: felhasználva, hogy p (0) =, p() Recept: N pontú markov lánc ( i = A + B ( = A + p (n) ) ε...ε N sajátértékek meghatározása (ε = lesz) ) Ha a sajátértékek különböznek: ) n [ cos( n π ) ( ± i sin n π )] ) n + C ( i ) n = ) n [ B cos( n π ) ( + C sin n π )] = 0 és p() = 0 A,B,C meghatározható: p (n) = 5 + ( ) n [ 4 5 cos( n π ) 5 sin( n π )] n 5 p (n) i j = a + a ε n a nε n N ha az l-edik sajátérték k-szor ismétlődik, akkor azokat a tagokat helyettesíthetjük a következővel: (b 0 + b n b k n k )ε n l 3) A komplex sajátértékek párban jönnek (így kevesebb konstanst kell illesztenünk). 9

18 Egyensúlyi eloszlás Π = (Π i : i V ) valószínűségi eloszlás egyensúlyi eloszlás, ha: PΠ = Π hiszen ekkor a dinamikában nem fejlődik Például: két rácspontú példa p, p, p, p, mely átmeneti mátrixa: [ ] α β P = α β amit hatványozva határértékben eljutunk az egyensúlyi eloszlásokhoz P n lim n β α+β α α+β β α+β α α+β [ ] Π Π = Π Π tehát például α = β határesetben: Π = ( Π Π ) Π = p = α + β ( ) p = p ( ) β α ( ) Egyensúlyi eloszlás meghatározása Például: három rácspontú példa p 3, 3 3 p, 3 p, p, p 3, Mely átmeneti mátrixa 0 0 P = 0 0 ( ) 5 lim n ( ) 5 ( ) 5 0

19 Ezek azonban a következőképpen is meghatározhatók: Π = Π 3 Π = Π + Π megoldása Π 3 = Π + Π 3 Átlagos visszatérési idő Π = /5 Π = /5 Π 3 = /5 (Π + Π + Π 3 = ) Az m i átlagos visszatérési idő megadja, hogy átlagosan hány időlépés után érünk vissza a kiindulási i pontba. Az egyensúlyi eloszlásból meghatározható az egyes rácspontok visszatérési értékét: m i = π i ahol m i = E i (T i ) és E i ( ) olyan várhatóérték amihez a t = 0-ból i-be indított bolyongáshoz tartozik Például: két rácspontú gráf: Legyen α = β = p, ekkor E (az az idő ami alatt visszatér) = np(n időpontban tért vissza) = ( p) + p ( p) n n Google PageRank n=0 = = p + n= (m + ) p ( p) m = p + p (n + ) ( p) n = m= = p + p ( p) n + p n( p) n = p + p ( p) n = n= = p + p ( p) m m=0 } {{ } mértani sor Három szempont szerint kell optimalizálni a kereső motort: kereső megtalálja ami szeretne megfelelő reklámok legyenek reklámból származó bevétel maximalizálása n= } {{ } p "mértani sor" = p + p p = Toy modell erre az esetre: Legyen a web egy G = (V, E) gráf, ahol V a vertexek (itt: a weboldalak) és E a linkek halmaza (kapcsolatok). Az átmeneti valószínűség meghatározható egy lapról a kapcsolódóakra: p i j = { L(i) N az L(i) hivatkozásai közül egyenletesen választ egyet n= ha L(i)=0, akkor random választ egy lapot az összes közül Tovább finomíthatjuk ezt a modellt, hiszen lehet hogy nem a honlapról ágazik el, hanem bezárja, és nyit egy másikat: p i j = α p i j + ( α) N így valószínűséggel lép tovább. Az egyensúlyi eloszlása a rendszernek (Π) arányos azzal, hogy mennyi időt töltenek ott az emberek, azaz ha π i > π j akkor i weboldal "fontosabb" mint a j. PΠ = Π meghatározása nehéz lim n P n = (Π,Π...) ami gyorsan konvergál (gyorsabb mint a s.é. egyenlet megoldása). n=

20 3 Elérési valószínűség, átlagos elérési idő Bevezető példa Kétpontú gráf: p, p, p, mely átmeneti mátrixa: P = ( ) p 0 p Az egyes rácspontból indulva a kettesben való elnyelődés valószínűsége: P (-be jutás) = P ( elérése az n-edik lépésben) = ( p) n p = p ( p) n = n= = p [( p) ] ( p) = p p = Az egyes rácspontból a kettesen való elnyelődés várható ideje: E (-esbe jutás ideje) = np( elérése az n. lépésben) = n= n= n= n( p) n p = p d d p Mely első lépés analízissel meghatározható: legyen f = P (-be jutás) ekkor n= ( p) n = p( ) = p p f = ( p)p (-be jutás x = = először az -ben marad) + pp (-be jutás x = átment) = ( p)f + p n=0 amiből f = adódik és g = E (-esbe jutás ideje) = + ( p)g + p 0 amiből g = p Definíció Elérési ideje egy A V halmaznak: H A = inf{n 0 : x n A} Elérési valószínűség: f A i = P i (H A < ) Átlagos elérési idő: q A i = E i (H A ) = n< np i (H A = n) + " P(H A = )" Elérési valószínűség meghatározásának módja A f A = (f A i : i V ) elérési valószínűség az a; nem negatív, minimális megoldása a f A f A i = ha i A i = p ji f A ha i A j j egyenletrendszernek. A minimális megoldás azt jelenti, hogy ha x és f megoldások akkor x i f i x -re

21 Bizonyítás: a) f A i megoldja az említett egyenletet Ha x 0 = i A, akkor H A = 0 (nulla lépés alatt ott van) f A i = Ha x 0 A, akkor H A f A = P i i (H A < ) = P i (H A <, x = j) P i (H A < x = j) P j V j V } {{ } i (x = j) f A j } {{ } j-t érintve i-ből A-ba megy b) minimális megoldás Legyen x egy tetszőleges megoldás, ahol f A = x i i = i A-ra, így = } {{ } p ji p ji f A j j x i = p ji x j = p ji x j + p ji x j = p ji + p ji x j = p ji + ( p ji p k j x k + ) p k j x k = j j A j A j A j A j A j A k A k A = P i (x A) + P i (x A, x A) + p ji p k j x k =... = P i (x A) +P } {{ } i (x A, x A) + j,k A elsőre odament P i (x A,..., x n A, x n A) + p } {{ } j i p j j... p jn j n x jn { j} n.-re ment oda x i P i (H A n) x i lim n P i (H A n) = P i (H A < ) = f i Átlagos elérési idő meghatározásának módja A g A = (g A i : i V ) átlagos elérési idő az a; nem negatív, minimális megoldása a g A i = 0 i A g A i = + j p ji g A j i A egyenletrendszernek. (Bizonyítása hasonló, mint az elérési valószínűségnél látott). 3

22 Sinkovicz Peter

23 Részvénypiac egyszerű modellje Alapfogalmak Értékpapír: vételár ellenében szabadon átruházható Értékpiac: értékpapírok adásvételének színtere Árfolyam: az az ár, amennyiért az értékpapír egy egységét megvásárolhatjuk Időhorizont: Ha a piac diszkrét, egyenközű t időlépésekre osztható, akkor t a befektetések időhorizontja. Értékpapír jellemzése Az értékpapírok jövőbeli értékét, árfolyamát véletlenszerűnek tekinthetjük. Jelölje S(t) sztochasztikus változó egy adott értékpapír t időpontban vett árfolyama, melyhez a p n (s t ;...; s n t n ) valószínűségi sűrűség tartozik, így az egységnyi időlépés alatt szerzett egységnyi nyereség: X(t, t) = S(t + t) S(t) mely relatív megváltozása a hozam vagy lineáris hozam: r(t, t) = S(t+ t) S(t) S(t) exponenciális trend pl. kamatos kamat r(t, t) log = log S(t+ t) S(t) log r ahol r(t, t) log az úgynevezett logaritmikus hozam. 5

24 Portfólió választás a Markowitz-féle modellben A Markowitz-féle modell feltevései A Markowitz-féle modell az üzleti világra a következő egyszerűsítő feltevéseket teszi: A befektetők árelfogadóak: A piac szereplői nem befolyásolják a piacot az üzleteikkel (a forgalomban lévő részvényekhez képest kis tételben való kereskedés esetén jó közelítés, azonban a portfólió nyereségének realizációja tömeges eladáshoz vezet) Értékpapírok tetszőlegesen oszthatóak: nagy portfólióra jó közelítés Nincsenek tranzakciós költségek: sem időben sem pénzben Az árfolyamok stacionárius és normális eloszlásúak: azaz elegendő az átlagukat és szórásukat megadnunk, a centrális határeloszlás tétele miatt kb. jó közelítés A befektetések kockázatát a hozamuk szórásával mérjük: azaz a kockázat a befektetési periódus végén realizált hozam bizonytalansága. Azonban a kockázatát definiálása közel sem egyértelmű, ezt példázóan néhány fontos szempont amit figyelembe kell vennünk a kockázat definiálása során: Diverzifikációs elv: olyan kockázati mérték kell, mely több részvényre való szétosztott befektetésre kisebb Robosztusság: Kis zavarral szembeni ellenállás Összehasonlíthatósag: Valahogy össze kell tudnunk hasonlítani a különböző formájú befektetéseket Szokás megkülönböztetni a kockázatokat forrásaik szerint: (a) piaci kockázat (árfolyam ingadozás) (b) hitelkockázat (fizetésképtelenné válás) (c) működési kockázat (emberi hiba, csalás) A befektetők racionálisak: a vizsgált időtávon belül a legkisebb kockázat mellett a legnagyobb hozamot szeretnek (azonban hosszú távú befektetés során nem zavaró, ha az elején rosszul teljesít a befektetés) Portfólió választás Legyen N darab különböző fajta értékpapír a piacon, melyek árfolyamai S i (t) : i {,..., N}. Ekkor portfóliónak nevezzük a befektető egyes értékpapírjaiból meglévő w i (adott részvény-kombináció) mennyiségek összességét. Tehát a portfólió értéke: Y (t) = N w i S i (t) W S(t) melyből a portfólió megváltozásának értéke (nem váltunk csomagot), azaz a nyereségünk: i= X(t) = Y (t + t) Y (t) = N w i X i (t) ahol X i (t) = S i (t + t) S i (t). A Markowitz-modell feltevése miatt elegendő pusztán a portfólió átlagával és szórásával foglalkoznunk: i= µp := σ p := N w i µ i i= N σ i j w i w j i, j= ahol µ i = E[x i ] részvény várhatóértéke és σ i j = E[x i x j ] E[x i ]E[x j ] kovariancia mátrix. 6

25 A befektetőnk racionális, ha: azonos (µ p = µ p ) várható hozamok közül azt részesíti előnyben, melynek kisebb a szórása azaz a p, p portfóliók közül p -et válassza, ha σ p < σ p azonos szórás esetén a nagyobb várhatóértékűt választja Tehát a kedvező portfólió megtalálásához a következő optimalizációs feladatot kell megoldanunk:. min w R N. 3. N i j= σ i j w i w j N w i µ i = µ rögzített hozam mellett keressük a minimális portfóliót i= N w i = nem fektetünk be vagy vonunk ki részvényt a játék során i= mely Lagrange multiplikátoros formalizmussal megoldható: ahol a ( ) megoldásra utal és w i (µ) = N j= λ (µ) = C B µ AC B σ i j [λ (µ) + η (µ)µ i ] η (µ) = A µ B AC B A = N i j= σ i j a µ hozam melletti portfólió kockázata pedig: σ (µ) := Optimalizációs feladat vizualizációja: Μ N i, j= B = N i j= σ i j µ j σ i j w i (µ)w j (µ) C = N i j= σ i j µ iµ j A AC B (µ B A ) + A B A A Σ besatírozott terület: lehetséges portfóliók (a. és 3. egyenletet kielégítik, de nincsen minimalizálva a kockázat) határportfóliók: optimalizációs feladat szélsőértékei (kékkel és lilával jelölt portfóliók) hatékony portfóliók: optimalizációs feladat megoldásai (kékkel jelölt portfóliók) 7

26 3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tőzsdén Vegyük a következő gazdasági modellt: legyen x = {x i : i < } véletlen változók halmaza, mely a következő eloszlást mutatja: P(x i = ) = P(x i = ) = / (pl. pénzérme dobás) jelölje S 0 a játékos kezdeti tőkéje, mely az n. lépésben S n = S 0 + x + x x n, tehát M n = S n S 0 a játékos nyeresége (egyetlen portfólióval foglalkozunk,hiszen kiválasztottuk a legjobbat) Feltehetjük azt a kérdést, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy nyer A egységet, mielőtt B-t vesztene? A kérdés megválaszolásához vezessük be a τ := min{n 0 : M n = A vagy M n = B} időt, lépésszámot mely egészen addig fut, míg vagy S n = A nyereség vagy M n = B bukás bekövetkezik, így arra hajtunk tehát, hogy meghatározzuk a következőt P(S τ = A S 0 = 0) ahol az S 0 = 0 kezdeti feltétel arra utal, hogy a kezdő árfolyamhoz képest viszonyítjuk a mozgást. Első lépés analízis Elemi körökből, időlépésekből építjük fel a játékos pénzmozgását, úgy, hogy egy lépést ismételünk a játék végéig, addig amíg B < S n < A feltétel még nem teljesül. Legyen f (k) := P(S τ = A S 0 = k) B k A annak a feltételes valószínűsége, hogy ha k tőkénk van, akkor τ-ban nyerünk A-t. A már tanultak alapján f (k) kifejezhető a gráf szomszédos elemein vett értékével: f (k) = f (k ) + f (k + ) B k A mely egyenletetrendszert kell megoldanunk az f (A) = és f ( B) = 0 kezdeti feltételekkel. Ehhez a kapott egyenletet vezessük vissza rekurzió segítségével, majd oldjuk meg: legyen f ( B + ) α ekkor ) α = f ( B + ) = f ( B + ) + } {{ } f ( B + + ) α = f ( b + ) ) α = f ( B + ) = f ( B + ) + } {{ } f ( B + + ) α 3α = f ( B + 3)... j) jα = f ( B + j) ahol az α értékét az f (A) = kezdeti feltételből illeszthetjük: = f (A) = (A + B)α Tehát a keresett feltételes valószínűség: α = A + B f (0) = P(τ idő alatt elérüjük A-t, de még mielőtt elérnénk B-t S 0 = 0) f ( B + B) = B A + B 8

27 Bolyongás várható ideje A várható idő pontosabb meghatározása előtt meg kell bizonyosodnunk arról hogy a folyamatunk valóban véges ideig tart. Ezt indikátor függvény (A. Appendix) segítségével beláthatjuk. Induljunk ki a következő triviális algebrai állításból τ d ((k )(A + B) < τ k(a + B)) k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) mivel ez az összefüggés minden k-ra teljesül, így a -ra is teljesül: k τ d ((k )(A + B) < τ k(a + B)) k= } {{ } ((k )(A + B) < τ k(a + B)) τ d k= } {{ } a szumma olyan k-ra megy ahol (k )N<τ kn, és N=A+B azaz k < τ N k így k csak egy értéket vehet fel (többre nem teljesül az egyenlőtlenség), tehát ez k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) k= τ d k d (A + B) d ((k )(A + B) < τ) k= mindkét oldal várhatóértékét véve: τ d k d (A + B) d P((k )(A + B) < τ) k= } {{ } annak a valószínűsége, hogy (k-)(a+b) lépésből egyszer sem nyert, azaz ezt úgy becsülhetjük, hogy (A+B) lépésből egyszer sem nyertünk (k-)-szer:-p ahol p= (A+B) annak a valószínűsége, hogy pont A-t nyerünk egyféleképpen mivel a jobb oldal korlátos, így a bal oldal is. Első lépés analízis Jelölje g(k) = τ S 0 = k annak a bolyongásnak a várható idejét amit az S 0 = k-ból indítunk. Ez is kifejezhető a szomszédos gráfpontokbeli értékeivel g(k) = g(k ) + g(k + ) + ez esetben a két kezdeti feltétel g( B) = 0 = g(a) (mindkét esetben nulla a bolyongási idő, hisz vagy a nyerés vagy a vesztés miatt kiszálltunk). Vegyük észre, hogy az előző egyenlet átírható egy Laplace egyenletté: ahol melynek megoldása: így g(k ) = B < k < A g(k ) = g(k) g(k ) g(k ) = g(k + ) g(k) + g(k ) g(k) = (k A)(k + B) τ S 0 = g(k = 0) = A B 9

28 4 Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tőzsdén Legyen P(x i = ) = p és P(x i = ) = p = q ahol (p + q = ). Ekkor egy lépés után: melyet a következő differenciálegyenletbe írhatunk át: melyből: ) f (k + ) = ( q p ) f (k) ) f (k + ) = ( q p ) f (k + ) = ( q p ) f (k)... j) f (k + j) = ( q p ) j f (k) f (k) = p f (k + ) + q f (k ) 0 = p{f (k + ) f (k)} q{f (k) f (k )} f (k) = ( q ) f (k ) p ezt az előző egyenlettel analóg módon rekurzívan megoldatjuk, legyen megint és használjuk fel az α = f ( B) = f ( B + ) f ( B) = f ( B + ) } {{ } f (k) = k+b f ( j B) = j=0 f (k) kioltják egymást azonosságot így: f (k) = k+b j=0 f ( j B) = k+b melyben szereplő α-t az f (A) = kezdeti feltétel rögzíti f (k = 0) adja megint a kereset valószínűséget: j=0 f (0) = P(S n = A S 0 = 0) = ( ) q j k+b p f ( B) = α = α ( ) q A+B p q p j=0 q p ( q ( q p )A+B p )B q p = ( q p ) j = α ( q p ) k+b ( q p )B ( q p )A+B q p 0

29 Bolyongás várható ideje Megint be kéne látnunk, hogy τ véges, de ezt most nem tesszük meg, hanem rögtön megoldjuk az első lépés analízis egyenleteit g(k) = pg(k + ) + qg(k ) + mely a következő inhomogén lineáris differenciálegyenletre vezet ( ) q g(k) = g(k ) p p a probléma g( B) = 0 = g(a) kezdeti feltételekkel rendelkezik. homogén rész megoldása g(k) = ( q p ) g(k ) = ( q )[g(k) g(k )] p a megoldás alakja: ( q g(k) = α + β p melyet vissza írva azt kapjuk: ( ) [ q k+ ( ) ] [ q k ( ) q k+ ( ) ] q k g(k + ) g(k) = α + β α + β = β = p p p p ( ) [ ( ) q q k ( ) ] q k = β p p p inhomogén egyenlet megoldása, az állandók variálása helyett c k alakban keressük a megoldást: c (k + ) c k = q p (ck c(k )) p c = q p a kettő összegéből (lineáris kombinációjából) előáll a megoldás: g(k) = a kezdeti feltételek rögzítik az α, β konstansok értékét: ) k k q p + α + β( q p )k g(k = B) = B q p + α + β( q p ) B = 0 α = B q p β( q p ) B g(k = A) = A q p + α + β( q p )A = 0 α = A q p β( q p ) A+B q p = β(( q p ) B ( q p )A ) ebből a bolyongás várhatóértéke: g(k = 0) = + α + β = B q p A+B q p ( ( q p ) B ( q )(( q p )A p ) B ) = B q p A+B q p ( q p )B ( q p )A+B

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC 016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

Matematika III. harmadik előadás

Matematika III. harmadik előadás Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban. Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból

Részletesebben

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull

14 A Black-Scholes-Merton modell. Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright John C. Hull 14 A Black-choles-Merton modell Copyright John C. Hull 01 1 Részvényárak viselkedése (feltevés!) Részvényár: μ: elvárt hozam : volatilitás Egy rövid Δt idő alatt a hozam normális eloszlású véletlen változó:

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

A mérési eredmény megadása

A mérési eredmény megadása A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.

Differenciálegyenletek gyakorlat december 5. Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Diszkrét idejű felújítási paradoxon

Diszkrét idejű felújítási paradoxon Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Markov modellek 2015.03.19.

Markov modellek 2015.03.19. Markov modellek 2015.03.19. Markov-láncok Markov-tulajdonság: egy folyamat korábbi állapotai a későbbiekre csak a jelen állapoton keresztül gyakorolnak befolyást. Semmi, ami a múltban történt, nem ad előrejelzést

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Lineáris differenciaegyenletek

1. Lineáris differenciaegyenletek Lineáris differenciaegyenletek Tekintsük az alábbi egyenletet: f(n) af(n ) + bf(n + ), (K < n < N) f(k) d, f(n) d Keressük a megoldást f(n) α n alakban Így kajuk a következőket: α n aα n + bα n+ α a +

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia, Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus

Részletesebben