Relációs struktúrák Relációs elméletek Modális elméletek Gyakorlás Modellezés Házifeladatok MODÁLIS LOGIKAI ALAPOK

Átírás

1 DEONTIKUS LOGIKA MODÁLIS LOGIKAI ALAPOK Molnár Attila, Markovich Réka Eötvös Loránd University March 14, 2015

2 Relációs struktúrák

3 DEONTIKUS RENDSZER MINT RELÁCIÓS STRUKTÚRA Modellezni szeretnénk a cselekvéseket és a rájuk vonatkozó szabályokat.

4 DEONTIKUS RENDSZER MINT RELÁCIÓS STRUKTÚRA Modellezni szeretnénk a cselekvéseket és a rájuk vonatkozó szabályokat. Ötlet: Egy cselekvés valami olyasmi, ami változtat a világ jelenlegi állásán.

5 DEONTIKUS RENDSZER MINT RELÁCIÓS STRUKTÚRA Modellezni szeretnénk a cselekvéseket és a rájuk vonatkozó szabályokat. Ötlet: Egy cselekvés valami olyasmi, ami változtat a világ jelenlegi állásán. A világ jelenlegi állását, avagy röviden csak világot, reprezentálhatjuk úgy, mint valami olyan dolgot, amihez maximálisan konzisztens propozíciók egy halmaza társul. Ez a halmaz írja le azt, hogy milyen állítás igaz épp a világban. Propozíció: kijelentés. Maximálisan konzisztens propozícióhalmaz: Nincs benne ellentmondó kijelentéspár (konzisztens), és a legnagyobb ilyen (maximális), azaz minden formulára igaz, hogy vagy ő vagy annak tagadása benne van a halmazban. W 2 = W W = = { w, w : w, w W} = a W-beli elemekből alkotható összes lehetséges rendezett pár.

6 DEONTIKUS RENDSZER MINT RELÁCIÓS STRUKTÚRA Modellezni szeretnénk a cselekvéseket és a rájuk vonatkozó szabályokat. Ötlet: Egy cselekvés valami olyasmi, ami változtat a világ jelenlegi állásán. A világ jelenlegi állását, avagy röviden csak világot, reprezentálhatjuk úgy, mint valami olyan dolgot, amihez maximálisan konzisztens propozíciók egy halmaza társul. Ez a halmaz írja le azt, hogy milyen állítás igaz épp a világban. A változást reprezentálhatjuk úgy, mint két világ által alkotott rendezett párt: ha w az egyik világ, v a másik világ, akkor w, v az a cselekvés, ami w-ből v-be visz. Ha adva van világok egy W halmaza, akkor az összes lehetséges cselekvés W 2. Propozíció: kijelentés. Maximálisan konzisztens propozícióhalmaz: Nincs benne ellentmondó kijelentéspár (konzisztens), és a legnagyobb ilyen (maximális), azaz minden formulára igaz, hogy vagy ő vagy annak tagadása benne van a halmazban. W 2 = W W = = { w, w : w, w W} = a W-beli elemekből alkotható összes lehetséges rendezett pár.

7 DEONTIKUS RENDSZER MINT RELÁCIÓS STRUKTÚRA Modellezni szeretnénk a cselekvéseket és a rájuk vonatkozó szabályokat. Ötlet: Egy cselekvés valami olyasmi, ami változtat a világ jelenlegi állásán. A világ jelenlegi állását, avagy röviden csak világot, reprezentálhatjuk úgy, mint valami olyan dolgot, amihez maximálisan konzisztens propozíciók egy halmaza társul. Ez a halmaz írja le azt, hogy milyen állítás igaz épp a világban. A változást reprezentálhatjuk úgy, mint két világ által alkotott rendezett párt: ha w az egyik világ, v a másik világ, akkor w, v az a cselekvés, ami w-ből v-be visz. Ha adva van világok egy W halmaza, akkor az összes lehetséges cselekvés W 2. Egy szabályrendszert reprezentálhatunk úgy, mint ami kitünteti cselekvések egy halmazát; ezek lesznek a helyes/megengedett cselekvések, a többi pedig a meg nem engedett. Ez tehát W 2 egy részhalmaza lesz, amit általában R-rel jelöljük, tehát R W 2. Egy deontikus modellnek tehát fontos alkotórésze lesz a W és a rajta értelmezett R reláció. Ezért vizsgáljuk meg, mi egy relációs struktúra. Propozíció: kijelentés. Maximálisan konzisztens propozícióhalmaz: Nincs benne ellentmondó kijelentéspár (konzisztens), és a legnagyobb ilyen (maximális), azaz minden formulára igaz, hogy vagy ő vagy annak tagadása benne van a halmazban. W 2 = W W = = { w, w : w, w W} = a W-beli elemekből alkotható összes lehetséges rendezett pár.

8 PÉLDA: HELYES ÉLET MODELLJE A ZEBRÁNÁL

9 RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK W, R

10 RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK W, R w 1 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } w 2 w 4 w 5 w 6 W a világok halmaza.

11 RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK W, R w 1 w 2 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 2, w 2, w 2, w 4, w 4, w 3, w 4, w 5, w 5, w 3, w 5, w 4, w 5, w 6 } w 4 w 5 w 6 W a világok halmaza. R ezen értelmezett reláció.

12 RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK W, R, R w 1 w 4 w 2 w 3 w 5 w 6 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 2, w 2, w 2, w 4, w 4, w 3, w 4, w 5, w 5, w 3, w 5, w 4, w 5, w 6 } R = { w 1, w 1, w 1, w 2, w 4, w 1, w 4, w 5, w 5, w 6, w 6, w 3 } W a világok halmaza. R ezen értelmezett reláció.

13 RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK W, R, R, R w 1 w 4 w 2 w 3 w 5 w 6 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 2, w 2, w 2, w 4, w 4, w 3, w 4, w 5, w 5, w 3, w 5, w 4, w 5, w 6 } R = { w 1, w 1, w 1, w 2, w 4, w 1, w 4, w 5, w 5, w 6, w 6, w 3 } R = { w 1, w 3, w 2, w 3, w 3, w 6, w 5, w 6 } W a világok halmaza. R ezen értelmezett reláció.

14 KITEKINTÉS: MÁS INTERPRETÁCIÓK FILOZÓFIA W : Lehetséges világok halmaza. Ezek valódi fizikai valóságok, vagy mentális képződmények, vagy valamiféle propozícióhalmazok, amelyek miatt a lehetőségfogalmat tartalmazó kijelentéseknek jelentése van. R : Azon lehetséges világokat köti össze, amelyek alternatívái lehetnek egymásnak valamilyen lehetőségfogalom (fizikai/metafizikai/logikai) alapján

15 KITEKINTÉS: MÁS INTERPRETÁCIÓK PROGRAMOK W : Egy gép állapotainak halmaza. R α : Az α Program, ami a gépet az egyik állapotából a másikba viszi. Itt elég sok modalitás szokott lenni mindegyik programnak egy. Ha R függvényszerű, akkor determinisztikus programokról szokás beszélni.

16 KITEKINTÉS: MÁS INTERPRETÁCIÓK EPISZTEMIKUS LOGIKA W : a valóság különböző leírásai. R α : Azon leírásokat köti össze, amelyek közt az α ágens nem tud különbséget tenni (pl. ki tud zárni bizonyos világokat, mert tudja, hogy p, de nem tudja hogy olyan világban van, amiben q igaz, vagy olyanban, amiben q hamis.). Ezek az R α-k általában ekvivalenciarelációk (hogy külön fakkokba sorolhassuk azon világokat, amelyek közt információhiány miatt nem tud különbséget tenni).

17 INTERPRETÁCIÓK INTUICIONISTA LOGIKA W : Matematikai állításhalmazok halmaza R : Azon tudásállapotokat köti össze, amelyek egy bizonyítás folyamatában szerepelhetnek mint szóba jöhető állítások. Ez az R általában egy parciális rendezés, azaz reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív rendezés. Mivel a bizonyított állítások már biztosan igaznak tudhatók, a rendezés mentén zárt világhalmazok.

18 INTERPRETÁCIÓK TEMPORÁLIS LOGIKA W : Időpillanatok halmaza R : Azon időpillanatokat köti össze, amelyek egymás után következnek. Ez lehet totális rendezés (fatalizmus) parciális rendezés (indeterminizmus), lehet diszkrét vagy folytonos, stb.

19 Relációs elméletek

20 A RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK ELSŐRENDŰ ELMÉLETE Szokásos definíciók: ϕ ::= x = y xr 1 y xr 2 y... xr ny ϕ ϕ ψ xψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ xϕ ( y ( y R R x)ϕ x)ϕ def p p def p p def def def ( ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ψ ϕ) def def x ϕ y(xry ϕ) def y(xry ϕ)

21 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Reflexív x xrx ( w W) w, w R Példa: a b, a b, a osztható b-vel Nem példa: a < b, a b, a testvére b-nek

22 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Szimmetrikus x y (xry yrx) ( w 1, w 2 W) w 1, w 2 R w 2, w 1 R Példa: a testvére b-nek Nem példa: a szülője b-nek

23 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Tranzitív x y z (xry yrz xry) ( w 1, w 2, w 3 W) w 1, w 2, w 2, w 3 R w 1, w 3 R Példa: a testvére b-nek, a leszármazottja b-nek. Nem példa: a féltestvére b-nek, a szülője b-nek.

24 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Szeriális Példa: Nem példa: x yxry domr = W a anyja b-nek, b = a + 1 ahol a, b N a lánya b-nek, a = b + 1 ahol a, b N

25 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Irreflexív x xrx ( w W) w, w R Példa: a anyja b-nek Nem példa: a szereti b-t

26 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Antiszimmetrikus x y xry yrx x = y ( w 1 W)( w 2 W) w 1, w 2, w 2, w 1 R w 1 = w 2 Példa: a b, a osztója b-nek, ahol a, b N Nem példa: a testvére b-nek, a osztója b-nek, ahol a, b Z

27 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Univerzális x y xry R = W W

28 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 (parciális) Függvényszerű x y y (xry xry ) y = y R : W W Példa: b vér szerinti anyja a-nak. Nem példa: b vér szerinti lánya a-nak.

29 ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁGOK w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Üres x y xry R =

30 NEM ELSŐRENDŰ TULAJDONSÁG w 1 w 3 w 2 w 4 w 5 w 6 Példa: Nem példa: Inverz jólfundált: Nincs végtelen út a nyilak mentén P( xp(x) m(p(m) x(p(x) mrx))) ( V W)(V ( m V) ( x V)mRx) b apja a-nak, b kisebb mint a, ahol a, b N reflexív, szeriális, nem üres szimmetrikus relációk, nyilak alkotta köröket tartalmazó relációk

31 A RELÁCIÓS STRUKTÚRÁK MÁSODRENDRENDŰ ELMÉLETE Szokásos definíciók: ϕ ::= x = y xr 1 y xr 2 y... xr ny ϕϕ ψ xψ Pψ P = Q def x(p(x) Q(x)) A másodrendű logika nem axiomatizálható: nincs olyan véges szabályrendszer, amivel le lehetne írni következtetés szabályait.

32 Modális elméletek

33 FORMULÁK Klasszikus logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ

34 FORMULÁK Klasszikus logika: Modális logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ ϕ ::= p ϕ ϕ ψ ϕ

35 FORMULÁK Klasszikus logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ Modális logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ ϕ Multimodális logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ 1 ϕ 2 ϕ...

36 FORMULÁK Klasszikus logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ Modális logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ ϕ Multimodális logika: ϕ ::= p ϕ ϕ ψ 1 ϕ 2 ϕ... Polimodális logika (most nem részletezzük): ϕ ::= p ϕ ϕ ψ (ϕ 1, ϕ 2,... ϕ n)

37 INTUITÍV BEVEZETÉS Kibővítjük a nulladrendű logikánkat egy operátorral Filozófiai ϕ: Szükségszerű, hogy ϕ. Filozófiai ϕ: Lehetséges, hogy ϕ. Deontikus ϕ: Szabad, hogy ϕ. Deontikus ϕ: Kötelező, hogy ϕ. Deontikus ϕ: Tilos, hogy ϕ. Dinamikus α ϕ: Az α program ha lefut, akkor az lesz, hogy ϕ. Episztemikus A ϕ: Aladár tudja, hogy ϕ. Doxasztikus A ϕ: Aladár hiszi, hogy ϕ. Bizonyíthatósági ϕ: Bizonyítható, hogy ϕ. Temporális F ϕ: Mostantól mindig az lesz, hogy ϕ. Temporális P ϕ: Eddig mindig is az volt, hogy ϕ. Temporális Temporális F P ϕ: Majd valamikor ϕ. ϕ: Egyszer volt, hogy ϕ.

38 RÖVIDÍTÉSEK Klasszikus logika: ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ def p p def p p def def (ϕ ψ) ( ϕ ψ) def (ϕ ψ) (ψ ϕ) Modális logika: ϕ ϕ ϕ def def ϕ ( ϕ ϕ) def ( ϕ ϕ)

39 KRIPKE SZEMANTIKA Keret vagy frame: F def = W, R 1, R 2,..., R n. Értékelés: olyan v függvény, ami atomi mondatokhoz W-beli részhalmazt rendel, azaz v(p) W. v(p) = azon világok halmaza, ahol a p atomi mondat igaz Modell: M def = W, R 1, R 2,..., R n, v. Lokális igazság: M, w = p def w v(p) M, w = ϕ def M, w = ϕ M, w = ϕ ψ def M, w = ϕ és M, w = ψ def M, w = i ϕ ( w iw) M, w = ϕ M, w = i ϕ ( w iw) M, w = ϕ Globális igazság: M = ϕ def ( w W) M, w = ϕ Lokális érvényesség: F, w = ϕ def ( v) F, v, w = ϕ Globális érvényesség: F = ϕ def ( v) F, v = ϕ R R

40 GYAKORLÁS: LOKÁLIS IGAZSÁG { } w1, w2, w3, W = w4, w5, w6, w7 w1, w1, w5, w5, w1, w4, w6, w2, w2, w3, R = w6, w3, w3, w2, w6, w4, w4, w2, w6, w7 w4, w5, v(p) = {w1, w2, w3}, v(q) = {w1, w2, w6}, v(r) = {w2, w3, w4, w7} Igaz-e, hogy... v(q) v(p) w 1 w 3 w 2 w 6 w 4 w 5 v(r) w 7 M, w 6 = (p q) M, w 2 = p M, w 5 = q M, w 5 = p M, w 4 = ( p q r) M, w 1 = (p q) M, w 6 = (p r q) M, w 5 = M, w 5 = M, w 5 = M, w 5 = M, w 1 = (p q) M, w 1 = (p q) M, w 1 = (p q) (p r) (p r) (p r) (p r) M, w 7 = M, w 7 = M, w 5 = M, w 4 = M, w 6 = p M, w 6 = p M, w 6 = p q

41 LOKÁLIS IGAZSÁGFOGALMAK TULAJDONSÁGAI Tetszőleges F frame-re, v értékelésre, w világra és ϕ, ψ-re igaz: F, v, w = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F, w = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Ekvivalens formulák nem mindig cserélhetők fel egymással. (Klasszikus logikában igen!) M, w = ϕ ψ M, w = ϕ ϕ M, w = ϕ ψ F, w = ϕ ψ F, w = ϕ ϕ F, w = ϕ ψ Van Halldén-teljesség, azaz M, w = ϕ ψ M, w = ϕ or M, w = ψ F, w = ϕ ψ ϕ-nek és ψ-nek nincs közös atomi formulája F, w = ϕ or M, w = ψ Nincs modális generalizáció, azaz M, w = ϕ M, w = ϕ F, w = ϕ F, w = ϕ

42 GLOBÁLIS IGAZSÁGFOGALMAK TULAJDONSÁGAI Tetszőleges F frame-re, v értékelésre, w világra és ϕ, ψ-re igaz: F, v = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Ekvivalens formulák mindig felcserélhetők egymással. M = ϕ ψ M = χ M = χ[ϕ/ψ] F = ϕ ψ F = χ F = χ[ϕ/ψ] Nincs Halldén-teljesség, azaz M = ϕ ψ ϕ-nek és ψ-nek nincs közös atomi formulája M = ϕ or M = ψ F = ϕ ψ ϕ-nek és ψ-nek nincs közös atomi formulája F = ϕ or M = ψ Van modális generalizáció, azaz M = ϕ M = ϕ F = ϕ F = ϕ

43 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen!

44 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W w 1 w 2 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } w 4 w 5 w 6

45 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W, R w 1 w 2 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 4, w 5 } w 4 w 5 w 6

46 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W, R, v w 1 w 4 w 2 w 3 w 5 w 6 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 4, w 5 } v(p) = {w 4 }

47 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W, R, v w 3 w 1 w 2 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 4, w 5 } v(p) = {w 4 } w 4 w 5 w 6

48 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W, R, v w 3 w 1 w 2 w 3 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 4, w 5 } v(p) = {w 4 } w 4 w 5 w 6

49 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ Találjunk ki egy frame-et és illesszünk erre egy értékelést úgy, hogy a formula hamis legyen! W, R, v w 3 w 1 w 2 w 3 w 3 w 3 W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6 } R = { w 4, w 5 } v(p) = {w 4 } w 4 w 5 w 6

50 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy

51 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w

52 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w (ϕ ψ)

53 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w (ϕ ψ) ϕ

54 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w (ϕ ψ) ϕ ψ

55 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w (ϕ ψ) ϕ ψ

56 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w w (ϕ ψ) ϕ ψ ψ

57 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w w (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ

58 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w w (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ

59 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w w (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ, ψ

60 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (K) F = (ϕ ψ) ϕ ψ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van egy olyan M = W, R, v, hogy ott van egy olyan w W, hogy ott van egy ϕ és ψ, hogy w w (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ, ψ

61 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (MG) F = ϕ F = ϕ

62 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (MG) F = ϕ F = ϕ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ, de mégis F = ϕ: tehát van egy olyan v értékelés és egy F-beli w világ, hogy F, v, w = ϕ

63 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (MG) F = ϕ F = ϕ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ, de mégis F = ϕ: tehát van egy olyan v értékelés és egy F-beli w világ, hogy F, v, w = ϕ avagy F, v, w = ϕ

64 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (MG) F = ϕ F = ϕ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ, de mégis F = ϕ: tehát van egy olyan v értékelés és egy F-beli w világ, hogy F, v, w = ϕ avagy F, v, w = Ami viszont azzal jár, hogy van egy olyan w w, hogy F, v, w = ϕ azaz F, v, w = ϕ R ϕ

65 ÉRVÉNYESSÉG Lássuk be, hogy (MG) F = ϕ F = ϕ Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ, de mégis F = ϕ: tehát van egy olyan v értékelés és egy F-beli w világ, hogy F, v, w = ϕ avagy F, v, w = Ami viszont azzal jár, hogy van egy olyan w w, hogy F, v, w = ϕ azaz F, v, w = ϕ R ϕ holott azt állítottuk, hogy tetszőleges v esetén tetszőleges világban, így w -ben is F, v, w = ϕ

66 Tetszőleges F esetén F = (ϕ ψ) ϕ ψ F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = ( ϕ ψ) (ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = ϕ ψ ψ F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Szorgalmi: Bebizonyítani az összeset.

67 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Láttuk, hogy F = ϕ ϕ Mégis néhány fontos interpretáció megköveteli: Ami szükségszerű, az igaz. Amit Aladár tud, az igaz. Az, hogy min múlik ennek a formulának az érvényessége, rögtön kiderül a konverz sémából: ψ ψ Eszerint ha egy világban igaz egy ψ formula, akkor kell legyen is egy olyan alternatívája, ahol igaz ez a ψ formula. Ezt a legkönnyebb úgy elintézni, ha az alternatívák közt saját maga is szerepel. (ilyenkor szóba sem jön az értékelőfüggvény módosítása!) Ezzel elérkeztünk a modális definiálhatóság, avagy a korrespondenciaelmélet témaköréhez.

68 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív

69 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív : Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ ϕ, de R mégsem reflexív. Ez azt jelenti, hogy kell legyen legalább egy w világ, amelyik nem alternatívája magának.

70 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív : Indirekten bizonyítunk. Tegyük fel, hogy bár F = ϕ ϕ, de R mégsem reflexív. Ez azt jelenti, hogy kell legyen legalább egy w világ, amelyik nem alternatívája magának. w

71 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív A premissza nagyon erős: az ellentmondáshoz az értékelést mi választhatjuk meg!

72 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív A premissza nagyon erős: az ellentmondáshoz az értékelést mi választhatjuk meg! A bizonyítás innentől a következő matt-egy-lépésben-játékot jelenti:

73 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív A premissza nagyon erős: az ellentmondáshoz az értékelést mi választhatjuk meg! A bizonyítás innentől a következő matt-egy-lépésben-játékot jelenti: Te mondhatsz egy értékelést.

74 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív A premissza nagyon erős: az ellentmondáshoz az értékelést mi választhatjuk meg! A bizonyítás innentől a következő matt-egy-lépésben-játékot jelenti: Te mondhatsz egy értékelést. Az ellenfeled nekiáll igazolni, hogy a teáltalad adott értékelés szerint is bármelyik világban, akármelyik ϕ formulával igaz a ϕ ϕ formula.

75 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív A premissza nagyon erős: az ellentmondáshoz az értékelést mi választhatjuk meg! A bizonyítás innentől a következő matt-egy-lépésben-játékot jelenti: Te mondhatsz egy értékelést. Az ellenfeled nekiáll igazolni, hogy a teáltalad adott értékelés szerint is bármelyik világban, akármelyik ϕ formulával igaz a ϕ ϕ formula. Ha esélye sincs, nyertél: Be van fejezve a bizonyítás.

76 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Megfejtés: w

77 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Megfejtés: v(p) = W {w} w

78 MODÁLIS DEFINIÁLHATÓSÁG Theorem F = ϕ ϕ R reflexív : Indirekten bizonyítunk: Tegyük fel, hogy bár R reflexív, de F = ϕ ϕ, azaz van egy v értékelés, ami miatt egy w világban egy ϕ formulával a kérdéses formula érvényessége megfeneklik, azaz ahol vagyis F, v, w = ϕ ϕ F, v, w = ϕ F, v, w = ϕ Viszont mivel R reflexív, az elsőből következik, hogy és kész a baj. F, v, w = ϕ

79 Gyakorlás

80 GYAKORLÁS F, w = ( w W)( w, w R) w w

81 GYAKORLÁS F, w = ( w, w W)( w, w, w, w R) w 1 w 2 w 3

82 GYAKORLÁS F, w = w dom(r), azaz w nem lát senkit.

83 Modellezés Amőba

84 MODELLEZÉSI FELADATOK AMŐBA Lehetséges világok: Pályaállások Alternatívareláció: A játékosok lépései, amivel alakítják a pályát. Mivel két játékossal van dolgunk, két alternatívarelációval dolgozunk majd. modalitás nélküli formulák: Arról szóló kijelentések, hogy mi hol van a pályán. ϕ, ϕ: Arról szóló kijelentések, hogy a játékosoknak hogy szabad lépniük és hogy nem.

85 MODELLEZÉSI FELADATOK AMŐBA Atomi mondatok: p i,j, és p i,j,, ahol i, j Z, illetve. p 3, 2, : a 3. sor -2. oszlopában egy van. Az origótól 3-at fel és 2-t balra lépve egy : A játékos fog lépni. -t találunk. origó p 1, 1, p 1,0, p 1,1, p 0, 1, p 0, 1, p 0,0, p 0,1, p 1, 1, p 1,0, p 1,0, p 1,1, Szokásos nulladrendű logikai konnektívumok és a.

86 MODELLEZÉSI FELADATOK AMŐBA A győzelem definíciója: Gy def (p i,j, p i+1,j, p i+2,j, p i+3,j, p i+4,j, ) (p i,j, p i,j+1, p i,j+2, p i,j+3, p i,j+4, ) (p i,j, p i+1,j+1, p i+2,j+2, p i+3,j+3, p i+4,j+4, ) (p i,j, p i+1,j 1, p i+2,j 2, p i+3,j 3, p i+4,j 4, ) Gy def (p i,j, p i+1,j, p i+2,j, p i+3,j, p i+4,j, ) (p i,j, p i,j+1, p i,j+2, p i,j+3, p i,j+4, ) (p i,j, p i+1,j+1, p i+2,j+2, p i+3,j+3, p i+4,j+4, ) (p i,j, p i+1,j 1, p i+2,j 2, p i+3,j 3, p i+4,j 4, ) Az üres pozíció definíciója: p i,j, def = p i,j, p i,j,

87 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK

88 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni:

89 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, )

90 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek:

91 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( )

92 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni:

93 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j,

94 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak:

95 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy )

96 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy ) (A5) A jelek maradnak:

97 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy ) (A5) A jelek maradnak: (p i,j, p i,j, ) (p i,j, p i,j, )

98 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy ) (A5) A jelek maradnak: (p i,j, p i,j, ) (p i,j, p i,j, ) Igaz-e, hogy legfeljebb egy helyre lehet -t vagy -et írni?

99 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy ) (A5) A jelek maradnak: (p i,j, p i,j, ) (p i,j, p i,j, ) Igaz-e, hogy legfeljebb egy helyre lehet -t vagy -et írni? Előírható-e ez?

100 MODELLEZÉSI FELADATOK ALAPVETŐ DOLGOK (A1) Egy helyre csak egy jelet lehet írni: (p i,j, p i,j, ) (A2) játékosok felváltva lépnek: ( ) ( ) (A3) Üres helyre lehet írni: ( p i,j, ) p i,j, ( p i,j, ) p i,j, (A4) Győzelem esetén vége a játéknak: (Gy Gy ) (A5) A jelek maradnak: (p i,j, p i,j, ) (p i,j, p i,j, ) Igaz-e, hogy legfeljebb egy helyre lehet -t vagy -et írni? Előírható-e ez? Ez az eszköztár kevés, de a logika erősítésével és bizonyos más elköteleződések árán ez megoldható.

101 MODELLEZÉSI FELADATOK FOLTOZÁS EGY BIDIREKCIONÁLIS ÉS FÁKRA ÉPÜLŐ NYELVVEL: : egy előző világban igaz, hogy ϕ. Modellezzünk úgy, hogy a modellek mindig (intranzitív) fák: mindig csak egy megelőző világ, azaz hiába ugyanaz a játékállás két világban, különbséget teszünk ezek között, ha más úton jutottunk el a két játékállásba. Ez azt jelenti, hogy mindig legfeljebb egy megelőző világ van, de sok folytatás lehetséges. Más szóval: Ha van megelőző világ, akkor az az összes megelőző világ is egyben. ϕ ϕ A következő axiómák fűzik össze a két alternatívarelációt: ϕ ϕ ϕ És ezzel a következőképpen írhatjuk fel azt, hogy legfeljebb egy állítás igazságértéke változhat: (Ez az (A3) üres helyre lehet lépni axióma erősítése) ( p i,j, ) ( p i,j, ) ϕ (p i,j, ( p k,l, p k,l, )) ahol k i vagy l j. (p i,j, ( p k,l, p k,l, )) ahol k i vagy l j.

102 MODELLEZÉSI FELADATOK FOLTOZÁS BIDIREKCIONÁLIS NYELVVEL ÉS NOMINÁLISOKKAL: Itt nem ragaszkoduk a fa-szerkezethez. Cserébe viszont bővítjük a nyelvet nominális változókkal, amiknek az a szerepe, hogy mindig legfeljebb egy világban igazak így képessé válunk abba a világba visszamenni, amelyikből jöttünk, feltéve hogy megjegyezzük még a előtt, hogy hol vagyunk épp....

103 MODELLEZÉSI FELADATOK KÉRDÉSEK sem sem nem lehet igaz egyetlen modellen sem. Mutassuk meg, hogy ezeken a modelleken a reláció nem pusztán nem tranzitív, de intranzitív: xry yrz xrz Érvényes-e ezeken a modelleken a ϕ ϕ formula? Érvényes-e ezeken a modelleken a ϕ ϕ formula? Érvényes-e ezeken a modelleken a ( ϕ ϕ) formula? Érvényes-e ezeken a modelleken a ( ϕ ϕ) ϕ formula? (Hint: próbálj keresni egy végtelen ágat!)

104 Házifeladatok

105 HÁZIFELADATOK 1 Cáfold meg, hogy 2 Bizonyítsd be, hogy F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = ( ϕ ψ) (ϕ ψ) F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) F = ϕ ψ ψ F = (ϕ ψ) ( ϕ ψ) 3 Lássuk be, hogy F = ϕ ϕ R totális F = ϕ ϕ R tranzitív F = ϕ ϕ R szimmetrikus F = ϕ ϕ R euklideszi