Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?

Átírás

1 ,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja, mi az atomi formula. 5. Definiálja, mi az alapterm. 6. Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek közvetlen részformulája? 7. Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája? 8. Mikor mondjuk, hogy az x változó egy előfordulása kötött az F formulában? 9. Mikor mondjuk, hogy az F formula mondat? 10. Legyen L egy elsőrendű nyelv. Definiálja az L típusú struktúra fogalmát! 11. Legyen t term, A pedig egy struktúra. Mit jelöl ekkor A(t)? Definiálja. 12. Ha F = p(t 1,..., t n ) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 13. Ha F = (G H) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 14. Ha F = (G H) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 15. Ha F = ( G) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 16. Ha F = ( xg) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 17. Ha F = ( xg) alakú formula, A = (A, I, ϕ) pedig egy struktúra, hogyan definiáljuk A(F )-et? 18. Ha A = (A, I, ϕ) egy struktúra, x egy változó és a A, mit jelöl A [x a]? 19. Ha F egy formula, mit jelöl a Mod(F )? 20. Ha Σ formulák egy halmaza, mit jelöl a Mod(Σ)? 21. Ha F és G formulák, mikor mondjuk, hogy F = G? 22. Ha Σ formulák egy halmaza és F egy formula, mikor mondjuk, hogy Σ = F? 23. Ha F és G formulák, mikor mondjuk, hogy F G? 1

2 24. Írja fel a leválasztási következtetést Írja fel az indirekt következtetést. Írja fel a rezolúciós következtetést. 27. Mikor mondjuk mondatok egy Σ halmazára, hogy elmélet? 28. Mikor mondjuk egy Σ elméletre, hogy ellentmondásos? 29. Mikor mondjuk egy elméletre, hogy teljes? 30. Ha K struktúrák egy osztálya, mit jelöl Th(K)? 31. Ha Σ mondatok egy halmaza, mit jelöl a Cons(Σ)? 32. Mikor mondjuk egy T elméletre, hogy axiomatizálható? 33. Mikor mondjuk egy T elméletre, hogy gyengén axiomatizálható? 34. Mikor mondjuk egy T elméletre, hogy végesen axiomatizálható? Írja fel a rendezett halmazok egy axiómarendszerét. Írja fel a csoportelmélet egy axiómarendszerét. Írja fel a rákövetkezés függvényre vonatkozó Peano axiómákat. Írja fel az összeadásra vonatkozó Peano axiómákat. Írja fel a szorzásra vonatkozó Peano axiómákat. Írja fel a rendezésre vonatkozó Peano axiómákat. Írja fel az indukciós axiómasémát. 42. Mi az az ítéletváltozó? 43. Definiálja, mi az a literál. 44. Definiálja, mi az a klóz. 45. Definiálja, mi a literál ellentettje. Hogy jelöljük? 46. Definiálja, mi a konjunktív normálforma. 47. Definiálja, mi a diszjunktív normálforma. 48. Mikor mondjuk, hogy teljes egy konjunktív normálforma? 49. Definiálja az F ítéletkalkulus-beli formula által indukált Boole-függvényt. 50. Definiálja a függvényt. 51. Definiálja a függvényt. 52. Mondja ki az ítéletkalkulus kompaktsági tételét. 53. Mondja ki az ítéletkalkulus kompaktsági tételének egy fontos következményét. 2

3 54. Mondja ki Kőnig lemmáját. 55. Soroljon fel három fontos eldöntési kérdést az ítéletkalkulusban. 56. Definiálja, mi az a Horn-formula. 57. Hajtsa végre a Horn-formulák kielégíthetőségét eldöntő algoritmust a következő formulán: (ide egy megfelelő alakú formula kerül, pl. (p q) ((q s) p) ( p) (s )) 58. Definiálja két ítéletkalkulus-beli klóz rezolvensét. 59. Ha Σ ítéletkalkulus-beli klózok egy halmaza és n 0, mit jelöl Res(Σ), Res n (Σ) és Res (Σ)? 60. Legyen Σ ítéletkalkulus-beli klózok egy halmaza. Mi az összefüggés Res (Σ) és a Res n (Σ) halmazok között? 61. Mondja ki az ítéletkalkukus rezolúciós algoritmusára vonatkozó helyességi és teljességi tételt. 62. Írja fel Hilbert rendszerének axiómáit. 63. Definiálja a Hilbert-féle levezetés fogalmát. 64. Definiálja, mikor bizonyítható az F formula Hilbert rendszerében. Hogy jelöljük? 65. Definiálja a Σ feletti Hilbert-féle levezetés fogalmát. 66. Definiálja, mikor bizonyítható az F formula a Σ formulahalmazból Hilbert rendszerében. Hogy jelöljük? 67. Mondja ki a Hilbert-kalkulus dedukciós tételét. 68. Mondja ki Hilbert rendszerének helyességi és teljességi tételét. 69. Legyenek u, t termek, x változó. Definiálja az u[x/t] termet! 70. Legyen F = p(t 1,..., t n ), x változó és t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 71. Legyen F = G, x változó és t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 72. Legyen F = (G H), x változó és t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 73. Legyen F = xg, ahol x változó és legyen t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 74. Legyen F = xg, ahol x változó és legyen t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 75. Legyen F = yg, x y változó és t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 76. Legyen F = yg, x y változó és t term. Definiálja az F [x/t] formulát! 77. Hajtsa végre a következő helyettesítést: (ide egy formula és egy azon elvégzendő helyettesítés kerül, pl. ( y(p(x)) x(p(x)) ) [x/f(y)]) 3

4 78. Mondja ki a termekre vonatkozó helyettesítési lemmát. 79. Mondja ki a formulákra vonatkozó helyettesítési lemmát. 80. Mikor nevezünk egy formulát kiigazítottnak? 81. Adjon meg egy, a következő formulával ekvivalens kiigazított formulát: (ide egy formula kerül, pl. xp(x, y) x y q(x, y)) 82. Mikor nevezünk egy formulát prenex alakúnak? 83. Mikor nevezünk egy formulát Skolem alakúnak? 84. Hozza Skolem alakra a következő formulát: (ide egy formula kerül, pl. x y(p(f(x), y)) 85. Definiálja Post megfelelkezési problémáját. 86. Hozzon egy olyan példát Post megfelelkezési problémájára, melynek van megoldása. Mutassa meg, hogy valóban van megoldása. 87. Hozzon egy olyan példát Post megfelelkezési problémájára, melynek nincs megoldása. Mutassa meg, hogy valóban nincs megoldása. 88. Mondja ki Church tételét. 89. Mondja ki Church tételének két következményét. 90. Mikor mondjuk, hogy az F és G formulák s-ekvivalensek? 91. Mit jelöl a T 0 jelölés? 92. Definiálja, mi a Herbrand-struktúra. 93. Mondja ki a Herbrand modell létezésére vonatkozó tételt. 94. Mondja ki a Herbrand modell létezésére vonatkozó tétel egy következményét. 95. Ha F egy zárt Skolem normálforma, definiálja F Herbrand kiterjesztését. 96. Ha Σ zárt Skolem normálformák egy halmaza, mit jelöl E(Σ)? 97. Mondja ki az elsőrendű logika kompaktsági tételét. 98. Mondja ki az elsőrendű logika kompaktsági tételének egy fontos következményét. 99. Ha Σ zárt Skolem normálformák halmaza, mit jelöl E (Σ)? 100. Mondja ki az alap rezolúciós tételt Mutassa meg alap rezolúcióval, hogy a következő formula kielégíthetetlen: (ide egy formula kerül, pl. x y(p(x, y) p(y, y))) 102. Definiálja a ts termet, ha t term, s = [x 1 /t 1 ]... [x n /t n ] pedig helyettesítések sorozata Definiálja az ls literált, ha l literál, s pedig helyettesítések sorozata! 4

5 104. Definiálja a Cs klózt, ha C klóz, s pedig helyettesítések sorozata! 105. Definiálja a C klóz egyesítőjének fogalmát Mikor mondjuk az s helyettesítésre, hogy a C klóz legáltalánosabb egyesítője? 107. Írja le az egyesítési algoritmust Hajtsa végre az egyesítési algoritmust a következő klózon: (ide egy klóz kerül, pl. {p(x, f(x), z), p(c, y, f(y))}) 109. Ha C 1 és C 2 az elsőrendű logika klózai, mikor nevezzük az R klózt C 1 és C 2 rezolvensének? 110. Adja meg a következő klózok egy rezolvensét: (ide két, elsőrendű logikai klóz kerül, pl. {p(x), q(f(x))} és { p(f(x)), r(x)}) 111. Ha Σ az elsőrendű logika klózainak egy halmaza, definiálja, mi Res 0 (Σ), Res n+1 (Σ), ahol n 0 egész, és Res (Σ)! 112. Mondja ki az elsőrendű logika rezolúciós tételét Mondja ki a lift lemmát Mikor mondjuk, hogy a C klóz lineáris rezolúcióval levezethető a Σ klózhalmazból? 115. Mit nevezünk a lineáris rezolúcióban oldal klóznak? 116. Mit nevezünk a lineáris rezolúcióban bázis klóznak? 117. Mondja ki a lineáris rezolúció tételét Definiálja, mi a Horn klóz Definiálja, mi a negatív klóz Definiálja, mi a program klóz Definiálja, mi a definit klóz Definiálja, mi az SLD rezolúciós levezetés Mondja ki az SLD rezolúció tételét Írja fel a logikai programozás alapfeladatát Mit nevezünk logikai programnak? 126. Mit nevezünk kérdés klóznak? 127. Ha Σ egy logikai program, akkor mit nevezünk Σ egy konfigurációjának? 128. Ha (G, s) és (G, s ) egy Σ logikai program konfigurációi, mikor mondjuk, hogy (G, s) (G, s )? 129. Ha Σ egy logikai program, mit nevezünk egy Σ fölötti kiszámításnak? 5

6 130. Ha (G, []) (G 1, s 1 ) (G m, s m ) egy Σ logikai program fölötti kiszámítás, mikor nevezzük sikeresnek? 131. Ha (G, []) (G 1, s 1 ) (G m, s m ) egy Σ logikai program fölötti sikeres kiszámítás, mi az eredménye? 132. Hogyan módosul a függvény- és a predikátumjelek,,aritásának fogalma heterogén elsőrendű logikában? 133. Ha s S egy típus, akkor hogyan definiáljuk az s-típusú termek halmazát heterogén elsőrendű logikában? 134. Mik a heterogén elsőrendű logika atomi formulái? 135. Mik a heterogén elsőrendű logika formulái? 136. Ha L egy heterogén elsőrendű logikai nyelv, amiben S a típusok halmaza, mit értünk S típusú struktúra alatt? 137. Mik a másodrendű logika atomi formulái? 138. Mik a másodrendű logika formulái? 139. Hogyan bővítjük ki az elsőrendű struktúrafogalmat, hogy a másodrendű logika struktúrafogalmát kapjuk? 140. Ha A = (A, I, ϕ) másodrendű struktúra, R pedig n-rangú predikátumváltozó, mikor igaz A = R(t 1,..., t n )? 141. Ha A = (A, I, ϕ) másodrendű struktúra, F másodrendű formula, R pedig n-rangú predikátumváltozó, mikor igaz A = RF? 142. Ha A = (A, I, ϕ) másodrendű struktúra, F másodrendű formula, R pedig n-rangú predikátumváltozó, mikor igaz A = RF? 143. Írja fel az indukciós axiómát, másodrendű logikai formulával Definiálja, mi egy Kripke struktúra Ha A az alaptulajdonságok halmaza, mik a CTL formulái? 146. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = p, ha M Kripke struktúra, s egy állapota és p A alaptulajdonság Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = F, ha M Kripke struktúra, s egy állapota és F a CTL egy formulája Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = F G, ha M Kripke struktúra, s egy állapota és F, G a CTL egy-egy formulája Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = AX F, 150. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = EX F, 151. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = AG F, 6

7 152. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = EG F, 153. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = AF F, 154. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = EF F, 155. Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = A(F U G), ha M Kripke struktúra, s egy állapota és F, G a CTL egy-egy formulája Definiálja (formálisan vagy informálisan), hogy mikor igaz M, s = E(F U G), ha M Kripke struktúra, s egy állapota és F, G a CTL egy-egy formulája Írja fel a CTL modalitásainak egy adekvát halmazát. Mutassa meg, hogy valóban adekvát halmazt adott Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F =, mivel egyenlő S F? 159. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F =, mivel egyenlő S F? 160. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F = G, mivel egyenlő S F? 161. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F = G H, mivel egyenlő S F? 162. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F = AF G, mivel egyenlő S F? 163. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F = EX G, mivel egyenlő S F? 164. Ha M = (S,, L) véges Kripke-struktúra és F = E(G U H), mivel egyenlő S F? 165. Kielégíti-e a következő Kripke-struktúra az s állapotban a következő CTL formulát? Válaszát indokolja. (ide egy Kripke struktúra és egy CTL formula kerül) 166. Határozza meg az S F halmazt a következő F -re és M-re: (ide egy F CTL formula és egy M Kripke-struktúra kerül) 167. Definiálja az L elsőrendű nyelv fölötti while programok halmazát Ha P = x := t egy while program, A egy elsőrendű struktúra, ϕ és ψ változóértékelések, mikor igaz ϕ[[p ]]ψ? 169. Ha P = P 1 ; P 2 egy while program, A egy elsőrendű struktúra, ϕ és ψ változóértékelések, mikor igaz ϕ[[p ]]ψ? 170. Ha P = if r then P 1 else P 2 egy while program, A egy elsőrendű struktúra, ϕ és ψ változóértékelések, mikor igaz ϕ[[p ]]ψ? 7

8 171. Ha P = while r do P 1 egy while program, A egy elsőrendű struktúra, ϕ és ψ változóértékelések, mikor igaz ϕ[[p ]]ψ? 172. Definiálja, mi egy parciális helyességi kifejezés Definiálja, mikor elégíti ki egy (A, I) struktúra az {F }P {G} parciális helyességi kifejezést Adjon egy példa A struktúrát, P while programot és F, G formulákat úgy, hogy A = {F }P {G} fennálljon! 175. Definiálja, mi egy totális helyességi kifejezés Definiálja, mikor elégíti ki egy (A, I) struktúra az [F ]P [G] totális helyességi kifejezést Adjon egy példa A struktúrát, P while programot és F, G formulákat úgy, hogy A = [F ]P [G] fennálljon! 178. Mit jelöl a Floyd-Hoare logikában, hogy [F ]P? Írja fel az értékadás Hoare-féle szabályát. Írja fel a kompozíció Hoare-féle szabályát. Írja fel a feltételes utasítás Hoare-féle szabályát. Írja fel a ciklus Hoare-féle szabályát. Írja fel a monotonitás Hoare-féle szabályát Mikor mondjuk, hogy az {F }P {G} parciális helyességi kifejezés levezethető Th(A)-ból, ahol A egy struktúra? 185. Hogyan módosul a Hoare-féle ciklus szabály, mikor a totális helyesség szabályait írjuk fel? 8

9 ,,Gondolkodtató kiskérdések 1. Mutassa meg, hogy ekvivalencia-reláció. 2. Mutassa meg, hogy F G = (F G). 3. Mutassa meg, hogy F = G = (F G). 4. Mutassa meg, hogy ha (F G) = H, akkor F = (G H). 5. Mutassa meg, hogy ha F = (G H), akkor (F G) = H. 6. Mutassa meg, hogy F = F kielégíthetetlen. 7. Mutassa meg, hogy tetszőleges F formulára = F. 8. Mutassa meg, hogy = F F tautológia. 9. Mutassa meg, hogy tetszőleges F formulára F =. 10. Mutassa meg, hogy = F = F. 11. Mutassa meg, hogy x(f G) xf xg általában nem teljesül. 12. Mutassa meg, hogy x(f G) xf xg általában nem teljesül. 13. Mutassa meg, hogy ha F F, akkor F F. 14. Mutassa meg, hogy ha F F és G G, akkor (F G) (F G ), ahol {,,, }. 15. Mutassa meg, hogy ha F = F, akkor ( F ) = ( F ). 16. Mutassa meg, hogy Σ = F pontosan akkor teljesül, ha Σ { F } kielégíthetetlen. 17. Mutassa meg, hogy F G pontosan akkor igaz, ha F = G és G = F. 18. Igazolja vagy cáfolja, hogy a következő ekvivalencia tetszőleges F (, G, H) formulára teljesül: (ide egy ekvivalencia kerül, például (F G) F G vagy xf x F ) 19. Mutassa meg, hogy {F, F G} = G. 20. Mutassa meg, hogy {F, G F } = G. 21. Mutassa meg, hogy {F G, F H} = G H. 22. Mutassa meg, hogy ha Σ ellentmondásos elmélet, akkor Σ =. 23. Mutassa meg, hogy ha a Σ elméletre Σ =, akkor Σ. 24. Mutassa meg, hogy ha a Σ elméletre Σ, akkor van olyan F mondat, amire F, F Σ. 25. Igaz-e a következő állítás: ha Σ ellentmondásos elmélet, akkor Σ az összes formulák halmaza? Válaszát indokolja. 9

10 26. Igaz-e a következő állítás: struktúrák tetszőleges K osztályára Th(K) egy elmélet? Válaszát indokolja. 27. Igaz-e a következő állítás: tetszőleges F formulára Th(Mod(F )) egy elmélet? Válaszát indokolja. 28. Lehet-e Th(K) ellentmondásos valamilyen K struktúraosztályra? Válaszát indokolja. 29. Lehet-e Th(K) ellentmondásos valamilyen K = struktúraosztályra? Válaszát indokolja. 30. Mutassa meg, hogy mondatok tetszőleges Σ halmazára Cons(Σ) elmélet. 31. Igaz-e, hogy ha Σ kielégíthető, akkor Cons(Σ) ellentmondásmentes? Válaszát indokolja. 32. Igaz-e, hogy ha Σ kielégíthető, akkor Th(Mod(Σ)) ellentmondásmentes? Válaszát indokolja. 33. Mutassa meg, hogy ha T végesen axiomatizálható elmélet, akkor egyetlen mondattal is axiomatizálható. 34. Elmélet-e az üres halmaz? Válaszát indokolja. 35. Elméletet alkotnak-e a tautológiák? Válaszát indokolja. 36. Elméletet alkotnak-e a kielégíthetetlen formulák? Válaszát indokolja. 37. Elméletet alkotnak-e a kielégíthető formulák? Válaszát indokolja. 38. Igazolja a következőt: ha az F ítéletkalkulusbeli formula tautológia és F -ben minden p predikátumjelet egy G p elsőrendű logikai formulával helyettesítünk, akkor az így kapott F is tautológia lesz. 39. Igazolja, hogy a {,, } rendszer teljes. 40. Igazolja, hogy a {, } rendszer teljes. 41. Igazolja, hogy a {, } rendszer teljes. 42. Igazolja, hogy a {, } rendszer teljes. 43. Igazolja, hogy a {, } rendszer teljes. 44. Igazolja, hogy a { } rendszer teljes. 45. Igazolja, hogy a { } rendszer teljes. 46. Igaz-e a következő állítás: ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges Σ halmazára van olyan n 0, amire Res (Σ) = Res n (Σ)? Indokolja. 47. Igaz-e a következő állítás: ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges véges Σ halmazára van olyan n 0, amire Res (Σ) = Res n (Σ)? Indokolja. 48. Igaz-e a következő állítás: ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges Σ halmazára és tetszőleges n 0-ra Res n (Σ) Res n+1 (Σ)? Indokolja. 10

11 49. Igaz-e a következő állítás: ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges Σ halmazára és tetszőleges n 0-ra ha Res n (Σ) = Res n+1 (Σ), akkor Res (Σ) = Res n (Σ)? Indokolja. 50. Igaz-e ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges Σ halmazára, hogy Σ = Res(Σ)? Indokolja. 51. Igaz-e ítéletkalkulus-beli klózok tetszőleges Σ halmazára, hogy Res(Σ) = Σ? Indokolja. 52. Igazolja, hogy H F H F. 53. Mutassa meg, hogy H F F tetszőleges F formulára. 54. Mutassa meg, hogy H (G H) ((F G) (F H)) tetszőleges F, G, H formulákra. 55. Mutassa meg, hogy H F tetszőleges F formulára. 56. Igazolja, hogy ha Σ H (F G), akkor Σ {F } H G. 57. Mikor igaz az F formulára, hogy F s? 58. Mikor igaz az F formulára, hogy F s? 59. Mutassa meg, hogy s ekvivalencia-reláció. 60. Hány osztálya van az s relációnak? Válaszát indokolja. 61. Igaz-e, hogy nincs olyan algoritmus, mely egy elsőrendű formuláról eldöntené, hogy tautológia-e? Válaszát indokolja. 62. Igaz-e, hogy nincs olyan algoritmus, mely egy ítéletkalkulus-beli formuláról eldöntené, hogy tautológia-e? Válaszát indokolja. 63. Igaz-e, hogy nincs olyan algoritmus, mely egy elsőrendű formuláról eldöntené, hogy kielégíthető-e? Válaszát indokolja. 64. Igaz-e, hogy nincs olyan algoritmus, mely egy ítéletkalkulus-beli formuláról eldöntené, hogy kielégíthető-e? Válaszát indokolja. 65. Igazolja, hogy T 0 (t) = t tetszőleges T 0 Herbrand-struktúrára. 66. Igazolja, hogy T 0 (F [x/t]) = T 0[x t] (F ) tetszőleges T 0 Herbrandstruktúrára, x változóra és t alaptermre. 67. Mutassa meg, hogy ha Σ az elsőrendű logika klózainak egy halmaza, akkor Res (Σ) a legszűkebb olyan klózhalmaz, mely tartalmazza Σ-t és mely zárt az elsőrendű rezolúcióra! 68. Mutassa meg, hogy Σ akkor és csak akkor kielégíthető, ha Σ l=0 vagy Σ l=1 az. 69. Igaz-e másodrendű logikában a kompaktsági tétel? Válaszát indokolja. 11