Automatikus tételbizonyítás

Átírás

1 Automatikus tételbizonyítás előadások Várterz Magda Kádek Tamás

2 Automatikus tételbizonyítás: előadások Várterz Magda Kádek Tamás

3 Table of Contents 1 Előszó 1 2 Bevezet 2 1 Az elsőrendű nyelv szintaxisa 2 2 Az elsőrendű nyelv klasszikus szemantikája 13 3 Logikai kalkulusok 22 3 Helyettesítek 25 1 Változók helyettesíte termekkel 25 2 Illesztő helyettesít 35 3 Feladatok 46 4 Normálformák 48 1 Konjunktív diszjunktív normálformák 48 2 Prenex alakú formulák 50 3 Skolem-normálforma 53 4 Elsőrendű klózok 58 5 Feladatok 59 5 Frege stílusú kalkulus 61 1 A predikátumkalkulus 61 2 Feladatok 69 6 Gentzen kalkulusai 70 1 A termzetes levezet 70 2 A szekventkalkulus 81 3 Feladatok 94 7 A rezolúciós kalkulus 96 1 A Herbrand-univerzum az elsőrendű klózhalmazok 96 2 Az alaprezolúció Az elsőrendű rezolúció Rezolúciós levezeti stratégiák A teljes szintek módszere A törli stratégia Befoglalási algoritmus Feladatok 142 Hivatkozások 144 iii

4 List of Tables asszociativitás kommutativitás disztributivitás idempotencia elimináció (elnyel) De Morgan törvényei kiszámítási törvények logikai jelek közötti összefüggek kétszeres tagadás negáció az implikációban kvantoros De Morgan-törvények kvantorok egyoldali kiemele, kvantorok kétoldali kiemele kvantorhatáskör-átjelöl, iv

5 Chapter 1 Előszó Informatikus hallgatók számára megkerülhetetlen a matematikai logika tanulmányozása A felsőoktatási intézmények tantervei tartalmazzák is a logika informatikában fontos fejezeteinek oktatását A Debreceni Egyetem Informatikai Karán már az alapképz során tanítjuk (a logika nyelvzeti tárgyalásmódja keretei között) a logikai nyelvek szintaxisát, klasszikus szemantikáját Mesterképzben pedig sort kerítünk a logikai kalkulusok a logikai programozás alapjainak megtanítására Logika könyvek tankönyvek sora segíti a tanulást, mégsincs könnyű dolga a hallgatónak A tanulási folyamat során (tapasztalataink szerint) zavarja a hallgatót a különböző könyvek szóhasználatában jelölrendszerében való lényeges eltér a példák hiánya Jelen munkában a logikai kalkulusokról a mesterképzben elsajátítandó ismereteket foglaltuk össze A tananyag a DE IK programtervező informatikus hallgatóinak képze során szerzett tapasztalatokat felhasználva alakult ki A gyökerek Dragálin Albert professzor ( ) matematikai logikából mesterséges intelligenciából az 1990-es években tartott debreceni előadásaiból indulnak Felhasználtuk Pásztorné Varga Katalin (ELTE, egyetemi docens) között Debrecenben tartott előadásait a 2003-ban a jelen tankönyvírók egyikével írt monográfiáját A példák feladatok egy rze a szerzőknek Robu Judittal (Babes- Bolyai Egyetem, egyetemi docens) 2010-ben írt feladatgyűjteményéből való Termzetesen felhasználtunk más, az irodalomban felsorolt forrást is Az olvasótól elvárjuk az alapképz során elsajátított logikai tananyag ismeretét, a logikai nyelvek szintaxisával klasszikus szemantikájával kapcsolatos fontos fogalmak tételek tudását Témánkat tanulmányozhatja kizárólag ebből az anyagból, ugyanakkor erősen ajánljuk előadások látogatását, vagy az irodalomban felsorolt könyvek forgatását Észrevételeiket szívesen vesszük a vartereszmagda@infunidebhu címen Debrecen, 2014 március 15 A tananyag összeállítói 1

6 Chapter 2 Bevezet Jelen tananyag olvasójáról feltesszük, hogy az elsőrendű logikai nyelv szintaxisával klasszikus szemantikájával kapcsolatos alapvető fogalmakat fontos tételeket ismeri A könyvben használt fogalommegnevezek jelölek tisztázására röviden mégis sort kerítünk A bevezető fejezet elolvasása egyúttal segíti a korábban tanult jelen tankönyvben szükséges logikai ismeretek felidézét is Logikai alapozó kurzusokon gyakran a többfajtájú elsőrendű logikai nyelv kerül bevezetre A logikai kalkulusokat ugyanakkor most egyfajtájú nyelv segítségével tárgyaljuk, így a bevezetben sem esik szó a többfajtájú nyelvekről 1 Az elsőrendű nyelv szintaxisa Egy (egyfajtájú) elsőrendű logikai nyelv ábécéje először is tartalmaz ún logikán kívüli betűket: ezeket a (21) három halmazból álló rendszerrel adjuk meg a nyelv konstansszimbólumainak halmaza Az halmaz elemei függvényszimbólumok Minden -hez tartozik egy termzetes szám, az A függvényszimbólum aritása halmaz elemei predikátumszimbólumok Minden -hez rendelünk egy termzetes számot, a 2

7 Bevezet predikátumszimbólum aritását A aritású predikátumszimbólumot propozicionális szimbólumnak (állítás szimbólumnak) is szoktuk nevezni Egy elsőrendű logikai nyelvben megszámlálhatóan végtelen sok (individuum)változó áll rendelkezünkre: (ezekre gyakran az betűkkel hivatkozunk) Az ábécé tartalmaz még logikai jeleket: a negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció összekötő jeleket az univerzális egzisztenciális kvantorokat (A továbbiakban jelölje mindig a a logikai összekötő jelek valamelyikét, pedig valamelyik kvantort) Használhatjuk még a zárójeleket a vesszőt 3

8 Bevezet A ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv termek formulák ( logikai kifejezek ) halmaza A nyelv termjeinek halmaza az a legszűkebb halmaz, melynek minden konstansszimbólum ( ha elemei) változó eleme, egy aritású függvényszimbólum elemei -nek (azaz termek), akkor az szó is eleme -nek (term) A nyelv formuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz, melynek minden alakú szó eleme (azaz formula, ún atomi formula ), ha egy 4

9 Bevezet aritású predikátumszimbólum rendre termek (elemei ha -nek), továbbá elemei -nek (formulák) változó, akkor az alakú szavak szintén elemei -nek (formulák) Egy elsőrendű logikai nyelvben egyetlen konstansnak változónak sincs közvetlen rztermje, az term közvetlen rztermjei pedig a termek Egy atomi formulának nincs közvetlen rzformulája, egyetlen közvetlen rzformulája, bal oldali közvetlen rzformulája 5

10 Bevezet, jobb oldali közvetlen rzformulája, közvetlen rzformulája ( -ban a -re kvantoros előtagként hivatkozunk, azt mondjuk, hogy ebben az előtagban a kvantor az változót nevezi meg) Egy term rztermjeinek halmaza a legszűkebb olyan halmaz, melynek eleme, ha egy term eleme, akkor eleme a term összes közvetlen rztermje is Egy formula rzformuláinak halmaza az a legszűkebb halmaz, melynek eleme, ha egy formula eleme, akkor eleme a formula összes közvetlen rzformulája is Konstansszimbólum változó szerkezeti fája egyetlen, a szimbólumot tartalmazó csúcsból áll Ez a csúcs a fa gyökere szerkezeti fájának gyökere, a gyökér 6

11 Bevezet darab gyermeke rendre szerkezeti fáinak gyökerei Atomi formula szerkezeti fája egyetlen ezt a formulát tartalmazó csúcsból áll, ami a fa gyökere szerkezeti fájának gyökere, a gyökér egyetlen gyermeke az szerkezeti fájának gyökere szerkezeti fájának gyökere, a gyökér bal oldali gyermeke az, jobb oldali gyermeke a szerkezeti fájának gyökere szerkezeti fájának gyökere, a gyökér egyetlen gyermeke az szerkezeti fájának gyökere Legyenek az az függvények a következők: 7

12 Bevezet (22) (23) funkcionális összetettsége, logikai összetettsége Egy formulában egy logikai jel hatásköre a formulának azon rzformulái közül a legkisebb logikai összetettségű, amelyekben az adott logikai jel is előfordul Egy formula fő logikai jele az a logikai jel, melynek hatásköre maga a formula A formulák leírásakor használhatunk rövidíteket Például ha néhány formulából újabbat ugyanolyan módon gyakran kzítünk, a szerkeszt módjára új (összekötő) jelet vezethetünk be A külső zárójeleket elhagyhatjuk A logikai összekötő jelekhez, a kvantorokhoz a bevezetett jelekhez erősorrendet rendelhetünk Ennek megfelelően, a jelek értelmezét a formulában az alábbi az erősebbtől a gyengébb felé haladó sorrendnek megfelelően végezzük el: 1 kvantorok (, ), 2 negáció ( ), 3 konjunkció ( ) diszjunkció ( ), 4 implikáció ( 8

13 Bevezet ), 5 bevezetett jelek Egy formulában egy változónak kétféle előfordulását különböztetjük meg Az változó egy adott előfordulása az formulában kötött, ha egy, az -et megnevező kvantor hatáskörében van Az változó előfordulása szabad, ha nem kötött Egy kvantor a kvantoros előtagban megnevezett a hatásköre közvetlen rzformulájában ennek a változónak a még szabad előfordulásait tesz kötötté (köti) Egy változóelőfordulás kötöttségének meghatározása: Egy atomi formulában minden változó-előfordulás szabad Az formulában egy változó-előfordulás pontosan akkor kötött, ha ez az előfordulás vagy -ban van már -ban kötött, vagy -ben van már A -ben kötött formulában egy változó-előfordulás pontosan akkor kötött, ha ez az előfordulás már A -ban kötött 9

14 Bevezet formulában minden előfordulása kötött Ha egy előfordulása -ban még szabad volt, akkor ezt az előfordulást a formulában a kvantor köti Egy, az -től különböző változó valamely előfordulása -ban pontosan akkor kötött, ha már -ban is kötött volt Egy változót a formula paraméterének nevezünk, ha van a formulában szabad előfordulása Egy formula paramétereinek a halmazára -val hivatkozunk A formulában a kvantor által kötött változó átnevezéről beszélünk, amikor a 10

15 Bevezet kvantoros előtagban helyett egy másik, mondjuk változót nevezünk meg, majd -ban az változó minden szabad előfordulását -ra cseréljük ki (a kapott formulát jelöljük -nal), így a formulát kapjuk A formulából szabályosan végrehajtott kötött változó átnevezsel kapjuk a formulát, ha -ban az nem paraméter, az változó egyetlen által kötött előfordulása sem tartozik egyetlen 11

16 Bevezet -t kötő kvantor hatáskörébe sem Az formula az formula variánsa (vagy egymással kongruens formulák ) ha egymástól csak kötött változók szabályosan végrehajtott átnevezében különböznek Jelöle: Annak eldönte, hogy két formula egymás variánsa-e: Egy atomi formula csak önmagával kongruens pontosan akkor, ha pontosan akkor, ha pontosan akkor, ha minden -re, mely különbözik 12

17 Bevezet összes (kötött szabad) változójától, 2 Az elsőrendű nyelv klasszikus szemantikája Egy ábécé feletti elsőrendű logikai nyelv interpretációját ( modelljét vagy algebrai struktúráját ) olyan (24) négyes határozza meg, melyben az a individuumok (objektumok) nem üres halmaza (univerzuma), függvény minden konstansszimbólumhoz egy az individuumot rendel, függvény minden aritású függvényszimbólumhoz olyan 13

18 Bevezet függvényt rendel, melynek értelmezi tartománya, értékeit -ból veszi fel, azaz a függvény pedig olyan, hogy ha a predikátumszimbólum aritása, akkor predikátum ( vagy értéket felvevő, ún logikai értékű függvény) Ha propozicionális szimbólum, akkor vagy, vagy 14

19 Bevezet Legyen az elsőrendű nyelv univerzuma Bővítsük ki a nyelvet az univerzum objektumait jelölő új konstansszimbólumokkal: (25) ahol -t a halmazból úgy kapjuk, hogy minden objektumhoz rendelünk egy új általunk -val jelölt konstansszimbólumot Egy olyan (26) függvényt, amely az elsőrendű nyelv véges sok változójához -beli új szimbólumot rendel, -értékelő helyettesítnek nevezünk a logikai kifejez értékele, ha Ha 15

20 Bevezet a logikai kifejez értékele, akkor a kifejezt úgy nyerjük, hogy -ban a paraméterek minden szabad előfordulását a által hozzájuk rendelt új konstansszimbólumokkal helyettesítjük A kibővített nyelv paramétermentes ( zárt ) logikai kifejezeit értékelt kifejezeknek nevezzük Legyen a nyelv egy interpretációja Egy értékelt term értéke -ben az alábbi rekurzív definícióval megadott -beli objektum (Egy term -beli értékét -mel fogjuk jelölni) Ha, akkor 16

21 Bevezet Ha az -hoz rendelt új szimbólum, akkor Ha egy értékelt term, ahol a termek értékei -ben rendre,, akkor (27) Egy értékelt formula értéke -ben (jelöle: ) a következő, rekurzív definícióval megadott érték: 17

22 Bevezet Ha egy értékelt atomi formula, ahol a termek értékei -ben rendre,, akkor (28) Ha értékei rendre, akkor pontosan akkor, ha ; 18

23 Bevezet pontosan akkor, ha vagy ; pontosan akkor, ha vagy Egyébként Ha értéke, akkor pontosan akkor, ha, egyébként 19

24 Bevezet A értékelt formula igaz az interpretációban, ha, egyébként a formula hamis -ben Egy elsőrendű nyelv egy formulája kielégíthető, ha van a nyelvnek olyan interpretációja -nak olyan értékele, amely mellett igaz, egyébként kielégíthetetlen (vagy logikai ellentmondás ) Egy elsőrendű nyelv egy formulája logikai törvény, ha a nyelv bármely interpretációjában bármely értékele mellett 20

25 Bevezet igaz Jelöle: Az elsőrendű formulák logikailag ekvivalensek, ha a nyelv minden interpretációjában a formulák minden közös értékele mellett azonos igazságértékű Jelöle: Legyen elsőrendű formulák (premisszák) egy halmaza egy elsőrendű formula (konklúzió) Azt mondjuk, hogy következménye a -beli formuláknak, ha a nyelv minden olyan interpretációjában a -beli a 21

26 Bevezet formulák tetszőleges olyan közös értékele esetén, mely mellett a -beli formulák mind igazak, ott is igaz Jelöle: Elsőrendű formulák egy halmaza kielégíthető, ha van olyan interpretáció a -beli formuláknak olyan közös értékele, mely mellett minden -beli formula épp igaz, egyébként a formulahalmaz kielégíthetetlen 3 Logikai kalkulusok A logika fő feladata a következtetek helyességének vizsgálata helyes következteti szabályok megalkotása Az előző szakaszban fel is idéztük a következményrelációnak a klasszikus elsőrendű logika szemantikai alapfogalmaira támaszkodó definícióját Ugyanakkor ez a definíció nem ad gyakorlati útmutatást arra vonatkozóan, hogyan ellenőrizhetjük egy következtet helyességét Jelen tananyagban több olyan mechanikus, csak a logikai nyelv szintaxisát használó szabályrendszerrel ismerkedünk meg, melyek gépiesen alkalmazhatók a következményreláció vizsgálatára Leibniz már a XVIII század elején remélte, hogy a tudósok hosszas viták helyett hamarosan ki fogják tudni számolni, kinek van igaza Az elképzel megvalósítása felé az első lépek mégis csak a XIX század végén indultak Frege ekkor dolgozott ki egy tisztán szintaktikai felépítű logikai rendszert, egy logikai kalkulust Egy logikai kalkulus a logikai nyelv megadása mellett a,,szintaktikai következményreláció'', a levezethetőség definícióját tartalmazza Ehhez első lépben megadjuk a kalkulus alapformuláit levezeti szabályait A második lép a levezethetőség fogalmának kialakítása Egy formulahalmazból levezethető a 22

27 Bevezet formula (jelöle: ) ha alapformula, vagy, illetve ha van olyan levezeti szabály, mely -t előállítja, az(ok) a formula(ák), amely(ek)ből ez a levezeti szabály -t előállítja, az(ok) -ból levezethető(ek) A levezethetőségi relációt tehát az alapformulák a levezeti szabályok segítségével definiáljuk Tehát ha változtatunk az alapformulákon vagy a levezeti szabályokon, más lesz a levezethetőségi reláció is Sokféle logikai kalkulust felépíthetünk Két kalkulust akkor tekintünk ekvivalensnek, ha azonos logikai nyelvhez kötődnek, pontosan akkor lesz az egyikben, amikor a másikban is Egy elsőrendű logikai nyelv klasszikus szemantikájában definiált következményreláció a nyelvre épülő valamely logikai kalkulus levezethetőségi relációja között szoros kapcsolatot várunk el Azt mondjuk, hogy a logikai kalkulus helyes, ha esetén mindig A logikai kalkulus pedig teljes, ha esetén mindig Egy kalkulus adekvát, ha helyes is, teljes is 23

28 Bevezet Egy logikai rendszer megalkotásakor gyakran először egy szemantikai rendszert definiálunk, majd megkísérlünk ehhez legalább helyes, de ha lehet, adekvát logikai kalkulust szerkeszteni 24

29 Chapter 3 Helyettesítek 1 Változók helyettesíte termekkel Definíció Egy olyan függvényt, amely az elsőrendű nyelv véges sok változóján van értelmezve, minden változóhoz termet rendel, termhelyettesítnek nevezünk Üres a termhelyettesít, ha az értelmezi tartománya üres (jele: ) Ha a termhelyettesít értelmezi tartománya minden -ra, -t megadhatjuk a (31) táblázattal vagy a felsorolással jelölje azt a termhelyettesítt, melyre 25

30 Helyettesítek minden esetén Vezessük be továbbá a jelölt a kifejez szerkezetétől a termhelyettesíttől függő logikai kifejezre: 1 ha, akkor, 2 ha változó, akkor, 3, 4, 5, 6 26

31 Helyettesítek, 7 Vegyük zre, hogy az értékelő helyettesítek is termhelyettesítek, ha a kifejez értékele, a kifejez éppen a -beli paraméterek szabad előfordulásainak a -val hozzájuk rendelt konstansszimbólumokkal való helyettesítnek eredményeképpen kapott értékelt kifejez Ugyanakkor nem minden kifejez termhelyettesít esetén lesz alkalmas a logika céljai számára Hogy csak ezekkel a kifejezekkel foglalkozhassunk, vezessünk be néhány fogalmat A termhelyettesít megengedett a kifejez számára, ha minden esetén 27

32 Helyettesítek minden -beli szabad előfordulása kívül esik a term valamennyi változóját megnevező kvantor hatáskörén Definíció megengedettsége számára szerkezete szerint: 1 Termek atomi formulák számára minden termhelyettesít megengedett 2 számára egy termhelyettesít megengedett, ha megengedett számára 3 számára egy termhelyettesít megengedett, ha megengedett számára is 4 számára egy termhelyettesít megengedett, ha a egyetlen változó esetén sem fordul elő 28

33 Helyettesítek a termben, b pedig megengedett Példa A számára formula számára az (32) termhelyettesít megengedett, az (33) termhelyettesít pedig nem megengedett, mert a helyettesítendő szabad előfordulású az -et kötő hatáskörében van, a helyére beírandó termben is előfordul az változó 29

34 Helyettesítek Legyen egy kifejez egy termhelyettesít Konstruáljunk meg egy -val kongruens olyan formulát, amely számára megengedett Ekkor a kifejez a termhelyettesít -ban való szabályos végrehajtásának eredménye Jelöle: Definíció meghatározása szerkezete szerint: 1 Ha term vagy atomi formula, akkor 2 30

35 Helyettesítek 3 4 a Ha egyetlen változó esetén sem fordul elő a termben, akkor b Ha van olyan változó, hogy paraméter -ben, akkor válasszunk egy új változót például -t, mely nem fordul elő sem -ban, sem termjeiben, (34) Példa A formulában az 31

36 Helyettesítek (35) termhelyettesít szabályos végrehajtásának eredménye a (36) formula Definíció Legyenek (37) egy nyelv termhelyettesítei kompozícióján a (38) termhelyettesítt értjük, ahol (39) Példa Legyenek (310) termhelyettesítek Ekkor 32

37 Helyettesítek (311) (312) A példa mutatja, hogy a kompozíció művelete egy nyelv termhelyettesíteinek halmazán nem kommutatív Tétel Egy elsőrendű logikai nyelv tetszőleges, termhelyettesítei esetén Table 31 (1) (a kompozíció asszociatív) (2) ( neutrális elem) Azaz a kompozíció műveletével a termhelyettesítek halmaza neutrális elemmel rendelkező félcsoport Lemma Legyenek egy nyelv termhelyettesítei Ekkor tetszőleges logikai kifejez esetén 33

38 Helyettesítek (313) Definíció Legyenek termhelyettesítek Az helyettesít általánosabb a -nál, ha van olyan termhelyettesít, hogy Példa Az (314) helyettesítek esetén általánosabb a helyettesítnél, mert, ahol (315) 34

39 Helyettesítek 2 Illesztő helyettesít Definíció Legyen két azonos predikátumszimbólummal kezdődő atomi formula Az olyan termhelyettesítt, amelyre (316) -t -t egymáshoz illesztő helyettesítnek nevezzük az atomok legáltalánosabb illesztő helyettesíte, ha minden illesztő helyettesíténél általánosabb Példa A a atomoknak egy illesztő helyettesíte: 35

40 Helyettesítek (317) legáltalánosabb illesztő helyettesíte: (318) Az illesztő helyettesít fogalmát kiterjeszthetjük: legyen az azonos predikátumszimbólummal kezdődő ( ) atomi formulák halmaza illesztő helyettesíte minden atompárját illeszti egymáshoz Definíció Vizsgáljuk elemeit párhuzamosan, szimbólumonként balról jobbra haladva Álljunk meg annál az első szimbólumnál, amelyik nem minden atomban egyezik meg Az ezen a pozíción kezdődő rztermek halmazát különbségi halmazának nevezzük Példa Legyen (319) 36

41 Helyettesítek különbségi halmaza (320) Robinson algoritmusa véges sok lépben meghatározza legáltalánosabb illesztő helyettesítét, ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthetők egymáshoz atomjai 1,, 2 Ha egyetlen atomot tartalmaz, akkor sikeresen vége: a legáltalánosabb illesztő helyettesíte Egyébként határozzuk meg különbségi halmazát: -t 3 Ha van -ban olyan 37

42 Helyettesítek változó term, hogy nem fordul elő -ban, akkor a 4 lépsel folytatjuk Egyébként atomjai nem illeszthetők egymáshoz Vége 4, (Megjegyezzük, hogy ) 5, a 2 lépsel folytatjuk Példa Döntsük el az illesztő algoritmussal, hogy illeszthetők-e a (321) halmaz atomi formulái egymáshoz 1, 2 38

43 Helyettesítek 3 egy változó, egy, a -t nem tartalmazó term 4 (322) 5 6 egy változó, egy, az -et nem tartalmazó term 7 (323)

44 Helyettesítek egy változó, egy, az -t nem tartalmazó term 10 (324) 11 -ban egyetlen atom van, így a legáltalánosabb illesztő helyettesít -re Példa Vizsgáljuk meg, hogy illeszthetők-e egymáshoz a (325) halmaz atomi formulái 1,

45 Helyettesítek egy változó, egy, az -t nem tartalmazó term 4 (326) 5 6 A -ben nincs változó, ezért az algoritmus azzal az eredménnyel fejeződik be, hogy atomjai nem illeszthetők Az illesztő helyettesít fogalmát másképp is általánosíthatjuk: legyen az (327) páronként azonos predikátumszimbólummal kezdődő atomi formulák halmaza Keressük a minden pár atomjait egymáshoz illesztő helyettesítt Képezzük a -beli párok atomjaiból a (328) 41

46 Helyettesítek formális egyenlőséghalmazt A formális egyenlőséghalmazba bizonyos szabályok alapján bekerülhetnek termek formális egyenlőségei, illetve ki is kerülhetnek a halmazból formális egyenlőségek Egy csupa változó - term párokból álló (329) formális egyenlőséghalmaz kiszámított alakú, ha, amikor, ( ) Az előbbi kiszámított alakú formális egyenlőséghalmaz által meghatározott termhelyettesít (330) Herbrand algoritmusa véges sok lépben meghatározza legáltalánosabb illesztő helyettesítét, ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthetők egymáshoz párjainak atomjai 1, 2 Ha kiszámított alakú, akkor sikeresen vége: az általa meghatározott helyettesít legáltalánosabb illesztő helyettesíte Egyébként válasszunk ki egy 42

47 Helyettesítek formális egyenlőséget -ból 3 4 Ha alakja, ahol változó, vagy, ahol konstansszimbólum, akkor tovább az 5 lépre, ahol változó, összetett term,, ahol konstansszimbólumok, akkor 43

48 Helyettesítek atomjai nem illesztők egymáshoz Vége, ahol függvényszimbólumok, akkor atomjai nem illesztők egymáshoz Vége, ahol függvényszimbólum, vagy, ahol predikátumszimbólum, akkor, ahol, akkor atomjai nem illesztők egymáshoz Vége, ahol, akkor 44

49 Helyettesítek formális egyenlőségeiben elvégezzük az helyettesítt, majd 5, a 2 lépsel folytatjuk Példa Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthetők-e a (331) halmaz atomi formulái egymáshoz (332) Kiszámított alakú formális egyenlőséghalmazt kaptunk, így a legáltalánosabb illesztő helyettesít -re: Példa Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthetők-e a 45

50 Helyettesítek (333) halmaz atomi formulái egymáshoz (334) 3 Feladatok 1 Határozzuk meg, hogy mely helyettesítek megengedettek a következő formula számára, majd végezzük el a szabályos helyettesítt (335) (336) 2 Bizonyítsuk be, hogy ha a kifejezben nincs -beli változókat megnevező kvantor, akkor megengedett számára ha a helyettesítő termekben nincs változó, akkor 46

51 Helyettesítek megengedett minden kifejez számára 3 Határozzuk meg az alábbi termhelyettesítek kompozícióját a b 4 Döntsük el Robinson Herbrand algoritmusaival, hogy illeszthetők-e a következő halmazok atomi formulái egymáshoz 5 Határozzuk meg, hogy amikor a Robinson-algoritmus véget ér, milyen összetettségűek lesznek a (337) halmaz egymáshoz illesztett atomjaiban a termek 6 Írjunk programot, amely Herbrand vagy Robinson algoritmusát alkalmazva megkeresi egy atomhalmaz legáltalánosabb illesztő helyettesítét 47

52 Chapter 4 Normálformák 1 Konjunktív diszjunktív normálformák Definíció Az atomi formulákat a negáltjaikat literáloknak nevezzük Elemi konjunkciónak tekintünk minden literált, továbbá egy elemi konjunkció egy literál konjunkcióját Elemi diszjunkciók szintén a literálok, továbbá egy elemi diszjunkció egy literál diszjunkciója A konjunktív normálformájú formula egy elemi diszjunkció, vagy egy konjunktív normálforma egy elemi diszjunkció konjunkciója, a diszjunktív normálformájú formula egy elemi konjunkció, vagy egy diszjunktív normálforma egy elemi konjunkció diszjunkciója Tétel Az elsőrendű logikai nyelv minden kvantormentes formulájához konstruálható vele logikailag ekvivalens konjunktív diszjunktív normálformájú formula Definíció Egy formulával ekvivalens konjunktív normálformájú formulát a formula konjunktív normálformájának, a vele ekvivalens diszjunktív normálformájú formulát a formula diszjunktív normálformájának nevezzzük A normálformára hozás lépei: 1 A logikai jelek közötti összefüggek alapján a formulába minden implikációs rzformula helyett vele ekvivalens diszjunkciót írunk 2 De Morgan törvényeivel elérjük, hogy negáció csak atomi formulákra vonatkozzon 3 A disztributivitást felhasználva addig alakítjuk a formulát, hogy a konjunkciók diszjunkciók megfelelő sorrendben kövessék egymást 4 Végül esetleg egyszerűsítünk Felhasználható ekvivalenciák: Table 41 asszociativitás Table 42 kommutativitás Table 43 disztributivitás Table 44 idempotencia Table 45 elimináció (elnyel) 48

53 Normálformák Table 46 De Morgan törvényei Table 47 kiszámítási törvények ( ) Table 48 logikai jelek közötti összefüggek Table 49 kétszeres tagadás Table 410 negáció az implikációban Példa Hozzuk a (41) formulát normálformára 1 Eltávolítjuk az implikációkat: 49

54 Normálformák (42) 2 Elérjük, hogy negáció csak atomokra vonatkozzon: (43) 3 Felhasználjuk a disztributivitást; az eredmény konjunktív normálforma: (44) 4 Egyszerűsítünk: (45) 5 Tovább egyszerűsítünk; az eredmény egyszerre konjunktív diszjunktív normálforma: (46) 2 Prenex alakú formulák Definíció Egy alakú formulát, ahol a kvantormentes formula, prenex alakú formulának nevezünk a prenex alakú formula magja Példa A, a a 50

55 Normálformák formulák prenexformulák, viszont a formula nem prenexformula Tétel Egy elsőrendű logikai nyelv tetszőleges formulájához konstruálható vele logikailag ekvivalens prenex alakú formula Definíció Egy formulával ekvivalens prenex alakú formula a formula prenex alakja A prenex alakra hozás lépei: 1 A formulában a kötött változók szabályos átnevezével elérjük, hogy a kötött változók nevei különbözzenek a formula paramétereitől, bármely két különböző kvantor más-más változót nevezzen meg a kvantoros előtagban Az így nyert, az eredeteivel kongruens, így az eredetivel ekvivalens formulát az eredeti változóiban tiszta alakjának nevezzük 2 Alkalmazzuk De Morgan kvantoros törvényeit a kvantorkiemelre vonatkozó logikai törvényeket, amíg a formulánk prenex alakú nem lesz Felhasználható ekvivalenciák: Table 411 kvantoros De Morgan-törvények Table 412 kvantorok egyoldali kiemele, Table 413 kvantorok kétoldali kiemele Table 414 kvantorhatáskör-átjelöl, 51

56 Normálformák Példa Hozzuk a (47) formulát prenexalakra 1 Változóiban tiszta alakra hozás: (48) 2 De Morgan törvényeinek alkalmazása: (49) 3 Kvantorkiemel: (410) 4 Kvantorkiemel: (411) Ha a magot normálformára akarjuk hozni, akkor célszerű előbb eltüntetni az implikációkat, a negációkat az atomi formulák elé vinni Ekkor (újabb) lehetőségek adódhatnak a kvantorok kétoldali kiemelére vonatkozóan 1 Az implikációk átírása: (412) 52

57 Normálformák 2 A kétszeres tagadás De Morgan törvényeinek alkalmazása: (413) 3 Az egzisztenciális kvantor kétoldali kiemelére vonatkozó ekvivalencia alkalmazása: (414) 4 Változóiban tiszta alakra hozás: (415) 5 Most már mindegyik kvantor kiemelhető: (416) 6 A formula magja diszjunktív normálforma, de átírható konjunktív normálformába, ha az a további feldolgozás szempontjából úgy célszerű: (417) 3 Skolem-normálforma A prenexformulában csak univerzális kvantorok vannak Az ilyen alakú formulák fontosak lesznek kőbb Definíció Univerzális Skolem-formulának nevezzük az olyan prenexformulát, amelynek a prefixumában csak univerzális kvantor szerepel Ha a Skolem-formula magja konjunktív normálforma, akkor a formulát Skolemnormálformának nevezzük Tétel Tetszőleges 53

58 Normálformák formulához konstruálható olyan univerzális Skolem-formula, mely pontosan akkor kielégíthetetlen, ha kielégíthetetlen Prenexformula,,átírása'' univerzális Skolem-formába: 1 Új Skolem-szimbólumok bevezete: A (418) prenexformula prefixumában legyen az első egzisztenciális kvantor a -edik kvantor Ha, akkor minden olyan interpretációban értékel esetén ( ), amely mellett igaz, az interpretáció univerzumában van legalább egy ( Skolem-konstans ), hogy a formula igaz lesz Ez azt jelenti, hogy ha kibővítjük az elsőrendű nyelvünket egy új konstansszimbólummal, akkor az előbbi interpretációt kiegzítve azzal, hogy -t egy Skolem-konstanssal interpretáljuk, az új, bővebb nyelv olyan interpretációját kapjuk, melyben 54

59 Normálformák is igaz Legyen most Egy interpretációban valamely értékel mellett ( ) a (419) formula pontosan akkor igaz, ha az változókat bármilyen az interpretáció univerzumából vett elemekkel értékelve mindig van legalább egy elem -ban, amellyel pedig az változót értékelve a formula igaz Azaz minden elem -eshez tartozik legalább egy, hogy 55

60 Normálformák (420) igaz Legyen (421) egy függvény, amely minden -hez egy ilyen értéket rendel Ezt a függvényt Skolem-függvénynek nevezzük Bővítsük ki az elsőrendű nyelvünket egy új aritású függvényszimbólummal Ha most az interpretációt úgy egzítjük ki, hogy -et egy ilyen Skolem-függvénnyel interpretáljuk, az új, bővebb nyelv olyan interpretációját kapjuk, melyben a (422) formula igaz 2 Az egzisztenciális kvantor elhagyása: prefixumából elhagyjuk a kvantoros előtagot, a formula magjában elvégezzük az, illetve az 56

61 Normálformák termhelyettesítt A kapott (423) illetve (424) formula az eredeti formulában szereplő első egzisztenciális kvantort már nem tartalmazza Ezzel a lépsel az eredeti formulával a kielégíthetőség szempontjából egyenértékű formulát kaptunk a kibővített nyelvben a Egyrzt minden olyan interpretációban, amelyben az eredeti formula valamely értékel mellett igaz volt, az új függvényszimbólumot (konstansszimbólumot) interpretálhatjuk egy Skolem-függvénnyel (Skolemkonstanssal) úgy, hogy az értékel mellett igaz lesz az átalakított formula is b Ha pedig az eredeti formula minden interpretációban, minden értékel mellett hamis volt, azaz kielégíthetetlen, akkor az átalakított formula is az lesz, mivel ekkor nincs Skolem-függvény (konstans) egyetlen interpretáló struktúrában sem 3 Az új Skolem-szimbólumok bevezetének a kvantoreliminálásnak a lépeit végrehajtjuk a soron következő egzisztenciális kvantorra, amíg minden egzisztenciális kvantort el nem hagytunk Példa Írjuk át Skolem-normálformába a (425) prenex-konjunktív formulát A két egzisztenciális kvantor a prefixum első két kvantora, ezért két Skolemkonstansszimbólumot kell bevezetnünk Jelöljük az -tól különböző két új konstansszimbólumot -vel 57

62 Normálformák (426) 4 Elsőrendű klózok Definíció Az elsőrendű klóz pedig egy olyan zárt univerzális Skolem-formula, amelynek a magja elemi diszjunkció Egy Skolem-normálforma magja konjunktív normálforma Ha egy zárt Skolem-normálformára,,visszafelé'' alkalmazzuk a konjunkcióra vonatkozó kétoldali kvantorkiemeli szabályt, akkor elsőrendű klózok konjunkcióját kapjuk legyen ezen klózok halmaza Világos, hogy pontosan akkor kielégíthetetlen, ha kielégíthetetlen Példa Az előző példában kapott Skolem-normálformában alkalmazzuk a kvantorkiemelre vonatkozó ekvivalenciát,,visszafelé'': (427) Hozzuk a formulát változóiban tiszta alakra: (428) Mivel egy elsőrendű klóz minden változója univerzálisan kvantált, az elsőrendű klózhalmazokban a klózok prefixumait nem tüntetjük fel Tehát a fenti elsőrendű klózhalmazt így adjuk meg: 58

63 Normálformák (429) Példa Írjuk át Skolem-normálformába a (430) prenexformulát Először írjuk át a formula magját konjunktív normálformába: (431) A Skolem-függvények egyváltozósak, vezessünk be az elsőrendű nyelvbe jelölükre két új függvényszimbólumot: -et -t A Skolem-normálforma: (432) Elsőrendű klózok konjunkciójaként felírva a formulát: (433) A változóiban tiszta elsőrendű klózhalmaz pedig: (434) 5 Feladatok 1 Hozzuk konjunktív diszjunktív normálformára a következő formulákat a 59

64 Normálformák b c d 2 Határozzuk meg az alábbi formulák prenex alakját a b c d 3 Írjunk olyan programot, amelyik előállítja egy elsőrendű formula prenex alakját 4 Határozzuk meg az alábbi formulák univerzális Skolem-normálformáját a b c d 60

65 Chapter 5 Frege stílusú kalkulus A modern logika egyik első nagy eredménye Gottlob Frege ( ) német matematikus logikai rendszere Bár Frege a rendszere felépíte során minden lépt szemantikai okokkal indokolt, nem hozott létre olyan szemantikai felépítt logikájához, mint amit a Bevezetben megadtunk Frege logikai rendszere szintaktikai felépítű rendszer, kalkulus volt A fejezetben egy a Frege rendszeréhez stílusában hasonló predikátumkalkulust mutatunk be 1 A predikátumkalkulus Definíció Az, szimbólumok A predikátumkalkulusalapsémái :

66 Frege stílusú kalkulus A predikátumkalkuluslevezeti szabályai : (51) Ha az szimbólumokat egy elsőrendű logikai nyelv formuláival helyettesítjük, a nyelv változója, pedig term, akkor az alapsémákból alapformulákat kapunk, a levezeti szabályok segítségével pedig egy vagy két (vonal feletti) formulából levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat Tétel A predikátumkalkulus alapformulái logikai törvények Ha akkor Definíció A fomulafa magasságának induktív definíciója: 1 Minden formula 62

67 Frege stílusú kalkulus magasságú formulafa, melyben 2 Ha alsó formula, nincs nála feljebb levő formula magasságú olyan formulafák, melyben az alsó formulák alakúak, akkor az (52) alakzat is formulafa A nyert formulafában az alsó formula, melynél minden formulája feljebb van A formulafa magassága pedig 3 Ha 63

68 Frege stílusú kalkulus magasságú olyan formulafa, amelyben az alsó formula, akkor az (53) alakzat is formulafa alsó formula, melynél minden formulája feljebb van, a formulafa magassága 4 Minden formulafa az 1 3 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő A formulafában azok a formulák, melyeknél nincs feljebb levő, vagy alapformulák, vagy ún hipotézisek Definíció A levezetfa egy formulafa, melyben ha -ból az általánosítás szabályával akarjuk a -t nyerni, akkor nem paraméter egyetlen, a -nál feljebb levő hipotézisben sem Példa Jellemezzük az alábbi formulafát: 64

69 Frege stílusú kalkulus magasságú formulafa alsó formula: alapformula: hipotézis: Definíció A véges formulahalmazból az formula levezethető, ha van olyan levezetfa, melyben alsó formula, a hipotisek mind elemei -nak (Jelöle, az alakzat neve szekvencia ) Ha üres, akkor hipotézismentesen vezethető le a kalkulusban (jelöle ) Példa Bizonyítsuk be, hogy 65

70 Frege stílusú kalkulus Tétel [A predikátumkalkulus helyessége] Ha, akkor Bizonyítás A szekvenciát megalapozó levezetfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk Legyen a levezetfa magassága 1 esetén vagy alapformula, ekkor, így nyilván is vagy, azaz hipotézis, ekkor minden olyan interpretációban értékel mellett, amikor minden hipotézis igaz, nyilván is igaz, tehát 2 Az indukciós feltevünk szerint legyen igaz az állítás minden -nél nem magasabb levezetfa esetén 66

71 Frege stílusú kalkulus 3 Legyen most Ha a szekvenciát megalapozó levezetfát a modus ponens levezeti szabállyal nyertük: a szekvenciákat megalapozó, legfeljebb magasságú levezetfákból Az indukciós feltev miatt ekkor igaz az állítás, tehát De minden olyan interpretációban értékel mellett, amikor a -beli hipotézisek mind igazak, ezek szerint igazak ezen interpretációkban értékelek mellett az az formula is, így a formula is Tehát is az általánosítás szabályával nyertük, tehát 67

72 Frege stílusú kalkulus alakú: az magasságú levezetfa, amiből nyertük, a szekvenciát alapozza meg, ahol Az indukciós feltev miatt ekkor igaz az állítás, tehát De minden olyan interpretációban értékel mellett, amikor a -beli hipotézisek mind igazak, ezek szerint igaz ezen interpretációkban értékelek mellett az is Mivel, a -beli formulákat igazzá tevő értékelekben -et bárhogy lehet értékelni, így az is bármilyen értékele esetén igaz, tehát a is Ezért Ezzel a tételt bebizonyítottuk Tétel [A predikátumkalkulus teljessége] Ha 68

73 Frege stílusú kalkulus, akkor A tétel legismertebb bizonyítását Leon Henkin ( ) amerikai matematikus adta meg (ez például [Smullyan]-ben is megtalálható) 2 Feladatok 1 Bizonyítsuk be, hogy 2 Bizonyítsuk be, hogy 69

74 Chapter 6 Gentzen kalkulusai A predikátumkalkulusban egy levezet megkonstruálása gyakran nagyon kényelmetlen Egyszerű formulák levezete is lehet hosszadalmas, ráadásul a levezetek nem nagyon hasonlítanak a szokásos érvelekre ben Gerhart Gentzen ( ) német logikus olyan levezeti rendszert dolgozott ki, mely szabályai a Frege stílusú kalkulusokénál jóval közelebb állnak a gyakorlatban használt érvel lépeihez Gentzen saját rendszerét a Frege stílusú rendszerekkel szembeállítva a termzetes levezet kalkulusának nevezte Tágabb értelemben termzetes levezeti rendszereknek szokták nevezni a Gentzen eredeti kalkulusához közel álló, de azzal nem tökéletesen megegyező levezeti rendszereket is Ezek közös jellemzője, hogy bár használhatnak alapformulákat is, alapvetően mégis levezeti szabályokra épülnek Most megadjuk a klasszikus elsőrendű logika egy olyan termzetes levezeti rendszerét, mely nagyon közel áll Gentzen eredeti kalkulusához A predikátumkalkulushoz hasonlóan ez a rendszer is helyes teljes, tehát bizonyos értelemben sem nem több, sem nem kevesebb annál Az alapvető különbség a hipotézisektől a levezetendő formuláig való eljutás módjában áll Hogy megkönnyítsük a levezethetőségi reláció fennállásának igazolását, levezeti sémákra vonatkozó segédszabályok egy egz rendszerére támaszkodunk A segédszabályok állításokat jelölnek: ha adva van(nak) a vonal feletti szekvenciá(ka)t megalapozó predikátumkalkulusbeli levezetfa(ák), akkor megkonstruálható a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezetfa is Segítségükkel a predikátumkalkulusbeli levezethetőség igazolható a levezet tényleges megkonstruálása nélkül Továbbá a termzetes levezet technikájának szabályai szoros analógiát mutatnak a matematikai érvel gyakorlatával, ami megkönnyíti a szekvenciák igazolását A termzetes levezet technikája mellett Gentzen kidolgozott egy másik - ún szekventekkel dolgozó kalkulust is A szekventkalkulus is igen kényelmesen használható, mivel a levezeti szabályok egyszerűen a levezetendő szekventben szereplő formulák szerkezete által meghatározott sorrendben alkalmazhatók 1 A termzetes levezet Definíció Az, szimbólumok Az azonosság törvénye (61) Strukturális szabályok 70

75 Gentzen kalkulusai (62) Logikai szabályok (63) (64) Ha az 71

76 Gentzen kalkulusai a szimbólumokat elsőrendű formulákkal, a szimbólumokat formulák multihalmazaival helyettesítjük, a nyelv változója term, akkor predikátumkalkulusbeli levezethetőségre vonatkozó állításokat nyerünk Az azonosság törvénye egyedül itt nincs vonal például azt állítja, hogy bármely formulahalmazból az formulából mint hipotézisekből levezethető a predikátumkalkulusban Az állítás bizonyítása egyszerű: egyetlen formulából, az -ból álló levezetfa bizonyítja A strukturális szabályok igazolása is nagyon egyszerű A bővít a szűkít szabálya esetén a vonal feletti szekvenciát megalapozó levezet egyúttal a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezet is A vágás szabályát a dedukció-tétel rzletes bizonyítása után vizsgáljuk meg Tétel [Dedukció-tétel] Ha akkor Bizonyítás A szekvenciát megalapozó levezetfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk Legyen a levezetfa magassága 72

77 Gentzen kalkulusai 1 esetén vagy alapformula, vagy, ekkor így vagy De ekkor 2 Az indukciós feltevünk szerint legyen igaz az állítás minden -nél nem magasabb levezetfa esetén 3 Legyen most Ha a szekvenciát megalapozó levezetfát a modus ponenssel nyertük szekvenciákat megalapozó, legfeljebb 73

78 Gentzen kalkulusai magasságú levezetfákból Az indukciós feltev miatt ekkor igaz az állítás, tehát Tehát az általánosítás szabályával nyertük, tehát alakú Az magasságú levezetfa, amiből nyertük, a szekvenciát alapozza meg, ahol Az indukciós feltev miatt ekkor igaz az állítás, tehát 74

79 Gentzen kalkulusai Tehát Ezzel a tételt bebizonyítottuk A vágás szabályára visszatérve: a dedukciós tétel szerint ha, akkor Ekkor viszont a -t a -t igazoló levezetek konkatenációja megalapozza -t A logikai szabályok igazolása sem nehéz Néhány szabály bizonyításának ötletét vázoljuk 1 Az implikáció bevezetének szabálya épp a dedukciós tétel 2 Az implikáció eltávolításának a szabálya: Ha adottak a a állításokat megalapozó levezetek, a kettő konkatenációja után alkalmazható a modus ponens, így épp -nek egy, a -ból való levezetét állítottuk elő 75

80 Gentzen kalkulusai 3 A diszjunkció bevezete: Ha adott -ból -nak a levezete, akkor az alapformulát beírva a levezetbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, máris megkaptuk a -ból az egy levezetét 4 A diszjunkció eltávolítása: Ha adottak a a állításokat megalapozó levezetek, akkor a dedukciós tétel miatt elkzíthető a a állításokat megalapozó levezetek is Ezt a két levezett konkatenáljuk, írjuk le az (65) alapformulát Kétszer alkalmazva a modus ponenst megalapoztuk, hogy Írjuk be a levezetbe a vonal alatti szekvenciából az hipotézist, ha most újból alkalmazzuk a modus ponenst, megkapjuk a -t megalapozó levezett 5 Az univerzális kvantor bevezetének szabálya éppen az általánosítás szabálya 76

81 Gentzen kalkulusai 6 Az univerzális kvantor eltávolításának szabálya: Ha adott a szekvenciát megalapozó levezet, akkor a alapformulát beírva a levezetbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, máris megkaptuk egy levezetét -ból 7 Az egzisztenciális kvantort bevezető szabály: Ha adott a szekvenciát megalapozó levezet, akkor írjuk be az alapformulát a levezetbe, alkalmazzuk a modus ponenst Így -ból levezettük -t 8 Az egzisztenciális kvantor eltávolításásának szabálya: A szekvenciát megalapozó levezetből a dedukciós tétel miatt elkzíthető a szekvenciát megalapozó levezet is Ebből az általánosítás szabálya miatt mivel adódik Ha most a levezetbe beírjuk a alapformulát (lényeges, hogy 77

82 Gentzen kalkulusai ), alkalmazhatjuk a modus ponenst Ezzel megkapjuk a egy levezetét -ból A dedukciós tétel újbóli alkalmazásával pedig igazoltuk, hogy A gyakorlatban a termzetes technikai szabályokat inkább,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor igazolni kell egy vonal alatti állítást, elegendő bebizonyítani, hogy a vonal feletti állítások igazak Ekkor világosan látható, hogy a felsorolt szabályok elég jól tükrözik a matematikusok által széles körben használt bizonyítási módszereket Például a diszjunkció eltávolítása megfelel az esetelemz módszerének Ha le kell vezetni -ből -t, akkor az esetelemz a következőképpen történik: ha igaz, akkor vagy, vagy igaz, ezért elegendő két esetet megvizsgálni Külön-külön le kell vezetni -ból -t -ből -t 78

83 Gentzen kalkulusai A negáció bevezete a matematikai gyakorlatban az indirekt bizonyítás, azaz az ellentmondáshoz való visszavezet módszere Hogy bebizonyítsuk -t, elegendő feltéve, hogy teljesül ellentmondáshoz jutni, vagyis egy -t kiválasztva -ból levezetni -t -t is Példa Bizonyítsuk be termzetes technikával, hogy (66) Felvetődhet az a kérd is, hogy ha egy formulahalmazból a predikátumkalkulusban levezethető egy formula, akkor ezt be tudjuk-e mindig bizonyítani csupán a termzetes levezet technikájával Tétel Ha, akkor ez belátható a termzetes technikával Bizonyítás A szekvenciát megalapozó levezetfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk Legyen a levezetfa magassága 79

84 Gentzen kalkulusai 1 esetén vagy alapformula, ekkor belátható a termzetes technikával (ezeket a bizonyításokat az olvasóra bízzuk), így a bővít szabálya alapján is bizonyítható termzetes technikával vagy hipotézis, azaz eleme a formulahalmaznak, akkor a az azonosság törvénye 2 Az indukciós feltevünk szerint legyen igaz az állítás minden -nél nem magasabb levezetfa esetén 3 Legyen most Ha a szekvenciát megalapozó levezetfát a modus ponens levezeti szabállyal nyertük szekvenciákat megalapozó, legfeljebb magasságú levezetfákból Az indukciós feltev miatt ekkor ezek a szekvenciák megalapozhatók termzetes technikával Az implikáció eltávolításának a szabályával pedig a 80

85 Gentzen kalkulusai -t is bizonyítottuk az általánosítás szabályával nyertük a szekvenciát megalapozó magasságú levezetfából Az indukciós feltev miatt ez a szekvencia megalapozható termzetes technikával Ekkor az univerzális kvantor bevezetének szabályával a -t is bizonyítottuk Ezzel a tételt bebizonyítottuk Ezzel beláttuk azt is, hogy a termzetes levezet kalkulusa ekvivalens a predikátumkalkulussal, így bebizonyítottuk adekvátságát a klasszikus elsőrendű szemantikával Tétel [A termzetes levezet helyes teljes] pontosan akkor látható be termzetes levezetsel, ha Példa Bizonyítsuk be a termzetes levezet segítségével, hogy a (67) formula logikai törvény 2 A szekventkalkulus Definíció Legyenek 81

86 Gentzen kalkulusai elsőrendű formulák Ekkor a (68) formulát szekventnek nevezzük Jelöle (69) vagy rövidebben, ahol az a formulák multihalmazai A szekvent tehát egy speciális alakú formula: implikáció, melyben az implikáció bal oldalán a formuláinak konjunkciós, a jobb oldalán a formuláinak diszjunkciós láncformulája áll Ha a szekventben üres, az implikáció bal oldalán a törvényt, ha 82

87 Gentzen kalkulusai üres, az implikáció jobb oldalán a kielégíthetetlen formulát kell elképzelni Ha formulák, akkor az jelöl az szekventet hivatkozza Példa Határozzuk meg, hogy az alábbi szekventek mint formulák hogyan adhatók meg: 1 (üres) szekvent a formulát, azaz logikai ellentmondást ír le 2 szekvent a, azaz a 3 Az formulát jelöli szekvent jelente az, azaz a formula 83

88 Gentzen kalkulusai 4 jelente 5 jelente pedig Világos, hogy ha egy formulát szekventté szeretnénk alakítani, azaz elő akarjuk állítani azt a szekventet, ami épp az formulát írja le, csak egy jelet kell elé írni: Definíció,,,, szimbólumok 84

89 Gentzen kalkulusai A szekventkalkulus alapsémája: (610) A szekventkalkulus levezeti szabályai: (611) (612) (613) Ha az szimbólumokat egy ítéletlogikai nyelv formuláival, a 85

90 Gentzen kalkulusai szimbólumokat pedig formulák multihalmazaival helyettesítjük, az alapsémából alapszekventeket kapunk, a levezeti szabály segítségével pedig egy vagy két (vonal feletti) szekventből levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat a nyelv változója term Tétel Minden alapszekvent által leírt formula logikai törvény A szekventkalkulus egy levezeti szabályában a vonal alatti alakú szekvent pontosan akkor logikai törvény, ha a vonal feletti szekvent vagy szekventek is logikai törvények (Tehát a szekventkalkulus levezeti szabályai megfordíthatóak) A tétel bizonyítása gyakorló feladat Definíció A szekventkalkulusbeli levezetfa a levezetfa magassága a következő: 1 A kalkulus minden alapszekventje egy (egyetlen szekventből álló) levezetfa, ez a szekvent lesz a levezetfa gyökere A levezetfa magassága 1 2 Ha magasságú olyan levezetfa, amelynek gyökere a szekventkalkulusbeli levezeti szabályban épp vonal feletti szekvent, akkor a levezeti szabállyal a vonal alatti szekventet előállítva (614) is levezetfa, ahol az szekvent a kapott levezetfa gyökere, a levezetfa magassága 86

91 Gentzen kalkulusai 3 Ha rendre magasságú olyan szekventkalkulusbeli levezetfák, melyek gyökerei valamely levezeti szabályban épp vonal feletti szekventek, akkor előállítva a levezeti szabállyal a vonal alatti szekventet, (615) is levezetfa a kalkulusban, amelyben az szekvent lesz a levezetfa gyökere, a levezetfa magassága 4 Minden levezetfa az 1 3 szabályok véges sokszori alkalmazásával áll elő Példa A szekventkalkulusban az alábbi fa 3 magasságú levezetfa, melynek gyökere a szekvent: 87

92 Gentzen kalkulusai A szekventek mellett zárójelek között megadtuk azt a levezeti szabályt, melyet alkalmazva a szekvent előállt Definíció Azt mondjuk, hogy az szekvent a szekventkalkulusban bizonyítható, ha van olyan szekventkalkulusbeli levezetfa, melynek a gyökere Jelöle: Az alábbi tétel bizonyítását az olvasóra bízzzuk Tétel [A szekventkalkulus helyessége] Ha az szekvent bizonyítható a szekventkalkulusban, akkor a formula logikai törvény Példa A szekvent a szekventkalkulusban a következő 6 magasságú levezetfával bizonyítható: 88

93 Gentzen kalkulusai Példa A (616) szekvent (ahol ) a szekventkalkulusban a következő levezetfával bizonyítható: A gyakorlatban a szekventkalkulus levezeti szabályait is,,alulról felfelé'' szoktuk alkalmazni: amikor bizonyítani szeretnénk egy szekventet, megpróbáljuk a bizonyító levezetfát a gyökeréből ( -ből) kiindulva,,alulról felfelé'' haladva felépíteni Ehhez keresni kell az épülő levezetfa minden nem alapszekvent leveléhez olyan levezeti szabályt a kalkulusban, mely segítségével a levél előállhat, a levezeti szabálynak megfelelő vonal feletti szekvent(ek)et be kell írni a kzülő levezetfába ezen levél szülőjeként (szüleiként) A szekventkalkulus levezeti szabályainak megfordíthatósága miatt lényegtelen, hogy az alkalmazható levezeti szabályok közül melyiket választjuk 89

94 Gentzen kalkulusai Most foglalkozzunk azzal a kérdsel, hogy vajon a szekventkalkulus ekvivalens-e a predikátumkalkulussal, azaz igaz-e, hogy egy szekvent pontosan akkor bizonyítható a szekventkalkulusban, amikor hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban Ha ugyanis a két kalkulus ekvivalens, akkor a szekventkalkulus teljes kalkulus is Lemma Ha a predikátumkalkulus alapformulája, akkor bizonyítható a szekventkalkulusban Bizonyítás A bizonyítást konstruktív módon végezzük el, a predikátumkalkulus alapsémáiból előállított formulák esetén rendre megkonstruáljuk a megfelelő szekvent levezetét Az 1 sémából előállított alapformula esetén a levezet A 2 sémából előállított alapformula esetén a levezet: 90

95 Gentzen kalkulusai A 11 sémából előállított alapformula esetén a levezet: A 12 sémából előállított alapformula esetén a levezet: A többi alapformula esetén a levezet megadását az olvasóra hagyjuk, a lemmát így bizonyítottnak tekinthetjük Lemma A predikátumkalkulus levezeti szabályai elérhetők a szekventkalkulusból Bizonyítás Azaz ha bizonyíthatóak a szekventkalkulusban, akkor is az, továbbá ha bizonyítható, akkor is, 91

96 Gentzen kalkulusai Az olvasóra bízzuk annak bizonyítását, ha, akkor is Ha, a levezeti szabály megfordíthatósága miatt is Ekkor alkalmazva a szekventkalkulus vágás szabályát kapjuk, hogy Ha bizonyítható, így alkalmazva a szabályt is bizonyítható Ezzel az állítást beláttuk Tétel Ha hipotézismentesen levezethető a predikátumkalkulusban, akkor bizonyítható a szekventkalkulusban, azaz ha, akkor Bizonyítás A 92

97 Gentzen kalkulusai szekvenciát megalapozó levezetfa magassága szerinti indukcióval bizonyítunk Legyen a levezetfa magassága 1 esetén a predikátumkalkulus alapformulája, ekkor 2 Az indukciós feltevünk szerint legyen igaz az állítás minden -nél nem magasabb levezetfa esetén 3 Legyen most Ha a szekvenciát megalapozó levezetfát a modus ponens levezeti szabállyal nyertük szekvenciákat megalapozó, legfeljebb magasságú levezetfákból, az indukciós feltev miatt bizonyíthatók a szekventkalkulusban De a modus ponens elérhető a szekventkalkulusból az általánosítás szabályával nyertük a 93

98 Gentzen kalkulusai szekvenciát megalapozó magasságú levezetfából, az indukciós feltev miatt bizonyítható De az általánosítás szabálya elérhető a szekventkalkulusból Ezzel a tételt bebizonyítottuk 3 Feladatok 1 Bizonyítsuk be termzetes technikával, hogy az alábbi szekvenciák megalapozhatók 2 Bizonyítsuk be termzetes technikával, hogy az alábbi következményrelációk fennállnak a b c d 3 Kzítsük el a termzetes technika ekvivalenciajelre vonatkozó levezeti szabályait ( ) 4 Kzítsük el a szekventkalkulus ekvivalenciajelre vonatkozó levezeti szabályait 5 Bizonyítsuk be, hogy az alábbi szekventek bizonyíthatók a szekventkalkulusban Mit bizonyítottunk ezzel a szekvent által meghatározott formulákról? 94

99 Gentzen kalkulusai 6 Bizonyítsuk be, hogy pontosan akkor kielégíthetetlen, ha az szekvent bizonyítható 7 Bizonyítsuk be, hogy pontosan akkor, ha az (617) szekvent bizonyítható 8 Bizonyítsuk be a szekventkalkulus segítségével a következményreláció fennállását a b c 95

100 Chapter 7 A rezolúciós kalkulus 1 A Herbrand-univerzum az elsőrendű klózhalmazok Definíció Legyen elsőrendű klózhalmaz, továbbá a -ban szereplő függvényszimbólumok halmaza, konstansszimbólumok halmaza A klózhalmaz Herbrand-univerzumán az alábbiakban definiált halmazt értjük: 1 Legyen 2 Legyenek továbbá, ha rendre, ahol 3 Végül legyen 96

101 A rezolúciós kalkulus Herbrand-bázisa a -beli termekből épített zárt atomok halmaza Példa Legyen Mivel -ban nincs konstansszimbólum, ezért legyen egy tetszőleges szimbólum -ban függvényszimbólum sincs, ezért (71) A klózhalmaz Herbrand-bázisa pedig (72) Példa Legyen Ekkor Table 71 97

102 A rezolúciós kalkulus Herbrand-bázisa (73) Példa Legyen Ekkor Table 72 Definíció Egy klózhalmaz leíró nyelve Herbrand-interpretációinak nevezzük -vel jelöljük a nyelv olyan interpretációit, melyek univerzuma éppen, minden 98

103 A rezolúciós kalkulus konstansszimbólumhoz a univerzumelemet (önmagát) rendeli, minden aritású függvényszimbólumhoz hozzárendeli azt az műveletet, amelyikre minden esetén (74) Egy elsőrendű klózhalmaz Herbrand-interpretációi tehát csak a -ban előforduló predikátumszimbólumok interpretálásában különböznek Ezért világos, hogy egy Herbrand-interpretációját a következő módon is leírhatjuk: legyen 99

104 A rezolúciós kalkulus Herbrand-bázisa legyen (75) Ekkor a Herbrand-interpretációt az literál-halmaz egyértelműen megadja Példa A klózhalmaz Herbrand-univerzuma: (76) Herbrand-bázisa: (77) Néhány Herbrand-interpretáció: Table 73 = = = Az alábbi ábrán bejelöltük az Herbrand-interpretációkat 100

105 A rezolúciós kalkulus Definíció A klózhalmaz leíró nyelvének legyen valamely univerzum feletti interpretációja Az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció -nak egy olyan Herbrand-interpretációja, amelyre teljesül, hogy van olyan (78) függvény, hogy a 101

106 A rezolúciós kalkulus zárt atom pontosan akkor igaz -ban, amikor a (,,neki megfelelő'') atom az (79) értékel mellett igaz -ben Könnyen belátható, hogy egy elsőrendű klózhalmaz nyelvének tetszőleges interpretációjához van megfelelő Herbrand-interpretáció Legyen Legyen a a következőképpen definiálva: ha, akkor a -ban szereplő extra konstanshoz rendeljen tetszőleges -beli elemet, minden (egyúttal 102

107 A rezolúciós kalkulus ) konstansszimbólum esetén legyen az az -beli elem, alakú -beli elemek esetén legyen a -beli elem Példa Legyen Legyen a következő:, az interpretációja, a predikátum- függvényszimbólumokhoz pedig az alábbi reláció- művelettáblákkal definiált relációkat műveleteket rendeli 103

108 A rezolúciós kalkulus Table 74 Table 75 Table 76 Herbrand-univerzuma: (710) Herbrand-bázisa: (711) Ekkor a megfeleltet: (712) 104

109 A rezolúciós kalkulus Az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció: (713) Példa Legyen Vegyük zre, hogy leíró nyelve az előző példabeli leíró nyelvtől csak abban különbözik, hogy ebben nincs konstansszimbólum Interpretáljuk nyelvét az interpretációval, ami csak annyiban különbözik -től, hogy konstansszimbólumot nyilván nem kell interpretálnia Most a megfeleltet során -hoz bármely univerzumelem hozzárendelhető Tartsuk meg a többi Herbrand-univerzumbeli elemre az előző példabeli megfeleltett Ha, akkor az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció a fenti Ha 105

110 A rezolúciós kalkulus, az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció (714) Tétel Ha egy interpretáció kielégít egy elsőrendű klózhalmazt, akkor az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció is kielégíti -t Bizonyítás A definíció szerint ha az -nek megfelelő Herbrand-interpretáció, akkor van olyan függvény, hogy minden esetén az a -hez ugyanazt az igazságértéket rendeli, mint az 106

111 A rezolúciós kalkulus a atomhoz az (715) értékel mellett Tétel Egy elsőrendű klózhalmaz akkor csak akkor kielégíthetetlen, ha -t nem elégíti ki a Herbrand-univerzuma feletti egyetlen Herbrand-interpretáció sem Bizonyítás 1 Tegyük fel, hogy kielégíthetetlen Ekkor -t nem elégítheti ki (semmilyen univerzum felett) egyetlen interpretáció sem, így egyetlen Herbrandinterpretáció sem 2 Tegyük fel, hogy ugyan kielégíthetetlen az általa meghatározott Herbrand-univerzumon, de nem kielégíthetetlen, azaz van olyan univerzum interpretáció, amely -t kielégíti Legyen 107

112 A rezolúciós kalkulus a -nek megfelelő Herbrand-interpretáció Az előző tétel miatt kielégíti -t, pedig a Herbrand-univerzum feletti interpretáció Ellentmondásra jutottunk, tehát ha kielégíthetetlen a Herbrand-univerzumán, akkor kielégíthetetlen Egyik tétel sem áll fenn, ha nem elsőrendű klózhalmaz Vagyis, ha zárt formulák tetszőleges halmaza, akkor általában nem igaz, hogy kielégíthetetlenségének vizsgálata esetén elég lenne -át csak a Herbrand-struktúrákkal interpretálni Példa Legyen A kvantoros formulája nem elsőrendű klóz Herbrand-univerzuma: 108

113 A rezolúciós kalkulus, Herbrand-bázisa: A formulahalmazt egyik Herbrand-interpretáció sem elégíti ki Azonban kielégíthető, hiszen az az feletti interpretáció, melyben,, kielégíti -át Definíció Legyen egy klóz, pedig Herbrand-univerzuma Legyen a 109

114 A rezolúciós kalkulus (716) termhelyettesitben Ez a helyettesít egy, a Herbrand-univerzum feletti értékele A formulát a klóz egy feletti alappéldányának nevezzük Példa A klózhalmaz klózainak Herbrand-univerzum feletti alappéldányai: (717) Tétel [Herbrand tétele] Egy elsőrendű klózhalmaz akkor csak akkor kielégíthetetlen, ha a klózai Herbrand-univerzum feletti alappéldányainak van véges, itt kielégíthetetlen rzhalmaza Példa 1 Legyen 110

115 A rezolúciós kalkulus Az elsőrendű klózhalmaz kielégíthetetlen, mert Herbrand-univerzum feletti alappéldányainak (718) 2 A egy véges kielégíthetetlen rzhalmaza kielégíthetetlen, mert Herbrand-univerzum feletti alappéldányainak (719) egy véges, kielégíthetetlen rzhalmaza Ezek az alappéldányok az (720) értékel mellett álltak elő 2 Az alaprezolúció Ha Herbrand tételét szeretnénk felhasználni egy klózhalmaz kielégíthetetlenségének vizsgálatára, a klózhalmaz Herbrand-univerzum feletti alappéldányai halmazában kell keresnünk kielégíthetetlen, véges rzhalmazt Egy elsőrendű klóz alappéldányai zárt literálok elemi diszjunkciói, tehát maguk is klózok Ebben a szakaszban most csak ilyen klózokkal dolgozunk: zárt atomok negáltjaik elemi diszjunkcióival Nevezzük őket alapklózoknak Egy atomot negáltját komplemens literálpárnak fogjuk nevezni Definíció Legyen a 111

116 A rezolúciós kalkulus alapklózokban az egyetlen komplemens literálpár A klózt a klózpár rezolvensének, az literálokat pedig a kirezolvált literáloknak nevezzük Ha, rezolvensük az üres klóz ( ) Példa Vizsgáljunk most meg néhány klózpárt, van-e rezolvensük Table 77 (a) klózpár rezolvens (b) nincs komplemens literálpár (c) nincs komplemens literálpár (d) két komplemens literálpár van (e) Tétel Legyenek 112

117 A rezolúciós kalkulus, ahol az egyetlen komplemens literálpár Bizonyítás Ha, akkor nincs a klózhalmazt kielégítő interpretáció, tehát igaz az állítás Egyébként a klózhalmazt kielégítő tetszőleges interpretáció 1 vagy olyan, hogy igaz benne, de hamis ( ), 2 vagy olyan, hogy igaz benne, de 113

118 A rezolúciós kalkulus hamis ( ) Mivel az interpretáció kielégíti a klózhalmazt, azaz itt a a klózok igazak, de hamis, ezért igaz, tehát igaz is Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy az interpretációkban pedig igaz Tehát mind, mind kielégíti a klózt 114

119 A rezolúciós kalkulus Definíció Egy alapklózhalmazból a klóz rezolúciós levezete egy olyan véges klózsorozat, ahol minden -re 1 vagy, 2 vagy van olyan, hogy a klózpár rezolvense, klózsorozat utolsó tagja,, éppen a klóz Példa Próbáljuk meg az üres klózt levezetni a 115

120 A rezolúciós kalkulus (721) klózhalmazból A levezet bármelyik -beli klózzal indítható Table 78 [ ] [ ] [ 1, 2 rezolvense ] [ ] [ 2, 4 rezolvense ] [ 3, 5 rezolvense ] [ ] [ 6, 7 rezolvense ] [ ] 116

121 A rezolúciós kalkulus [ 8, 9 rezolvense ] [ 5, 10 rezolvense ] Lemma Legyen tetszőleges alapklózhalmaz a klózsorozat rezolúciós levezet -ból Ekkor minden -re következménye az klózhalmaznak, azaz Bizonyítás 1 A levezet első klóza,, biztosan eleme -nak, tehát 2 Tegyük most fel, hogy minden -re igazoltuk már, hogy 117

122 A rezolúciós kalkulus 3 Belátjuk, hogy -re is igaz az állítás Ha, akkor Ha valamely klózok rezolvense, akkor az előző tétel miatt Az indukciós feltev miatt Ebből Tétel [A rezolúciós kalkulus helyessége] Legyen tetszőleges alapklózhalmaz Ha -ból levezethető az üres klóz, akkor kielégíthetetlen Bizonyítás Tegyük fel, hogy van olyan interpretáció, ami kielégíti 118

123 A rezolúciós kalkulus -t Az előbbi lemma szerint egy -ból való rezolúciós levezetbeli bármely klózra, tehát kielégíti a rezolúciós levezet minden klózát is De az üres klóz kielégíthetetlen, tehát nem lehet eleme a levezetnek Így tehát ha -ból levezethető az üres klóz, akkor kielégíthetetlen Tétel [A rezolúciós kalkulus teljessége] Ha a véges alapklózhalmaz kielégíthetetlen, akkor -ból levezethető az üres klóz 3 Az elsőrendű rezolúció Példa Legyen két elsőrendű klóz a (722) pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaz Ha a magjaikat az alapklózokhoz hasonlóan rezolválnánk, a 119

124 A rezolúciós kalkulus (723) klózhoz jutnánk Lássuk be, hogy (724) Ha kielégíti a klózokat, a formulák -ben minden értékel mellett igazak Tehát ha egy értékel mellett -ben hamis, akkor ott igaz, ha hamis, akkor igaz Mivel minden értékel mellett 120

125 A rezolúciós kalkulus igazsága esetén hamis fordítva, így minden értékel mellett vagy a, vagy az igaz, így Ha ilyen módon képezve elsőrendű klózok rezolvensét szeretnénk ezt rezolúciós levezeti szabályként alkalmazni, akkor igazolni kell általánosan is a példabeli állítást Tétel Legyenek most olyan elsőrendű klózok, melyek pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaznak, azaz magjai (725) alakúak, ahol a komplemens literálpár Legyen a 121

126 A rezolúciós kalkulus klóz magja Ekkor Bizonyítás Tegyük fel, hogy az interpretáció kielégíti a elsőrendű klózhalmazt Kövessük az előző gondolatmenetet Az interpretációban tetszőleges értékel mellett vagy, vagy igaz Azaz -ben igaz Észrevehetjük, hogy komplemens párt ugyan nem tartalmazó két elsőrendű klóz Herbrand-univerzum feletti alappéldányaiban mégis lehet komplemens pár Példa (726) 122

127 A rezolúciós kalkulus Egyik klózpárban sincs komplemens literálpár Alaprezolúcióval vizsgáljuk meg, hogy a klózhalmaz kielégíthetetlen-e A Herbrand-univerzum: (727) Egy alaprezolúciós levezet: Table 79 [ ] [, ] [, ] Tegyünk egy új változót a kiválasztott alapklózokban az helyébe Table 710 [ 123

128 A rezolúciós kalkulus ] [ ] [ ] Ez a levezet a (728) klózhalmazból való egy elsőrendű rezolúciós levezet Ezt a klózhalmazt úgy kaptuk az eredetiből, hogy az elsőrendű klózok magjaiban az atomi formulákban a változók helyébe olyan termeket helyettesítettünk, amelyek azonos alapú literálokat eredményeztek Ezzel a logikában egyébként nem megengedett helyettesítsel (illesztő helyettesít) kapott elsőrendű klózhalmaz alappéldányai között az eredeti klózhalmaz egymással komplemens litárokat tartalmazó alappéldányai megjelennek, de ilyen literálokat nem tartalmazó alappéldányok közül sok kiszűrődik, miközben a klózhalmaz kielégíthetősége megőrződik Tétel Legyen a elsőrendű klóz magja Tegyük fel, hogy (729) Legyen 124

129 A rezolúciós kalkulus tetszőleges termhelyettesít leíró nyelvében, (730) Ekkor tetszőleges olyan Herbrand-interpretációban, amelyben igaz, a klóz is igaz Bizonyítás Tegyük fel, hogy a Herbrand-interpretációban a klóz, azaz igaz Ekkor a Herbrand-interpretációbeli minden értékel mellett igaz, azaz Herbrand-univerzum feletti alapklózai -ban igazak Nyilván -nak a 125

130 A rezolúciós kalkulus feletti alappéldányai mind feletti alappéldányai is, hisz a termek jelennek meg az változók helyett -ben Ezek a termek viszont, ha a változóik helyére Herbrand-univerzumbeli elemeket helyettesítünk, szintén Herbrand-univerzumbeli elemek lesznek, így alappéldányaiban is előfordulnak Definíció Legyen egy elsőrendű klózban előforduló legalább két azonos alapú egyformán negált literál alapjainak halmaza Ha atomjai illeszthetők egymáshoz a legáltalánosabb illesztő helyettesíte, akkor a magú klózt a klóz faktorának nevezzük Ha a faktor egységklóz, akkor egységfaktorának hívjuk 126

131 A rezolúciós kalkulus Példa Legyen A két -vel kezdődő atom legáltalánosabb illesztő helyettesíte a (731) Ennek megfelelően a (732) klóz a klóz faktora Definíció Legyenek változóikban tiszta klózok Legyenek magjai rendre alakúak, ahol 127

132 A rezolúciós kalkulus ellentétesen negált literálok Ha az az literálok alapjai illeszthetők egymáshoz, legyen a legáltalánosabb illesztő helyettesítük Ekkor a klózok bináris rezolvense a magú klóz Definíció A a klózok elsőrendű rezolvense a következő bináris rezolvensek valamelyike: 1 a a 2 a klózok bináris rezolvense, klóz a klóz egy faktorának a bináris rezolvense, 128

133 A rezolúciós kalkulus 3 a klóz egy faktorának a 4 a klóznak a bináris rezolvense, klóz egy faktorának a klóz egy faktorának a bináris rezolvense Példa Legyen (733) Mivel mind -ben, mind -ben előfordul, a -ben átnevezzük Ezután A rezolváláshoz válasszuk az (734) literálokat Alapjaik legáltalánosabb illesztő helyettesíte: 129

134 A rezolúciós kalkulus Így tehát a a klózok bináris rezolvense (735) ahol a a literálok szerint rezolváltunk Példa Legyen (736) A faktorának magja faktorának -nek bináris rezolvense a klóz Ennélfogva a a 130

135 A rezolúciós kalkulus klózok egyik elsőrendű rezolvense Tétel Legyen a elsőrendű klózok elsőrendű rezolvense Ekkor Bizonyítás változóikban tiszta klózok Jelöljük elsőrendű rezolvensét utalva a rezolvensképz módjára a következőképpen: (737) Egy korábban bizonyított tétel miatt, ha az Herbrand-interpretáció kielégíti -t, akkor 131

136 A rezolúciós kalkulus kielégíti a klózhalmazt is Az a két literál, amely szerint rezolváltunk, a klózokban komplemens literálpár, így (738) Ez viszont azt jelenti, hogy Definíció Egy klózhalmazból való elsőrendű rezolúciós levezet elsőrendű klózok egy olyan véges sorozata, ahol minden -re 1 vagy, 2 vagy van olyan, hogy a 132

137 A rezolúciós kalkulus klózok elsőrendű rezolvense Tétel [Elsőrendű rezolúciós kalkulus helyessége] Ha egy klózhalmazból van az üres klóznak elsőrendű rezolúciós levezete, akkor kielégíthetetlen Bizonyítás Tegyük fel, hogy van az üres klóznak elsőrendű rezolúciós levezete -ból: Tegyük fel ugyanakkor, hogy van olyan interpretáció, mely kielégíti a klózhalmazt Ezért ha a rezolúciós levezetben, kielégíti -t Ha pedig a rezolúciós levezetben a klózok elsőrendű rezolvense 133

138 A rezolúciós kalkulus kielégíti a klózokat, akkor kielégíti a rezolvensüket is Ezért indukcióval könnyen látható, hogy -nek ki kellene elégítenie a klózhalmazt is De, az üres klóz pedig kielégíthetetlen, tehát -nak is kielégíthetetlennek kell lennie Példa A (739) klózhalmazból szerkesszünk meg egy elsőrendű rezolúciós levezett: Table 711 [ 134

139 A rezolúciós kalkulus ] [ faktorizáció, ] A faktorizáció az elsőrendű rezolúciós elv lényeges eleme, alkalmazása nélkül az elsőrendű rezolúciós eljárás nem lenne teljes Példa Adott a következő formulahalmaz: (740) A formulák alapján kapott klózhalmaz: (741) 1 A Herbrand-univerzum: A Herbrand-bázis: A feletti alapklózhalmaz: Alaprezolúciós levezet: Table

140 A rezolúciós kalkulus [ 1, 2 rezolvense ] [ 1, 4 rezolvense ] [ 3, 5 rezolvense ] 2 Elsőrendű rezolúciós levezet -ból, faktorizáció nélkül: Table 713 [ 1, 2 rezolvense ] [ 1, 4 rezolvense ] A levezet nem folytatható, mivel nincs olyan klózpár, amely egyetlen komplemens literálpárt tartalmazna Így az üres klózt nem kapjuk meg 3 Rezolúciós levezet -ból, faktorizációval: a Alkalmazzuk klózaira a legáltalánosabb illesztő helyettesítt (742) 136

141 A rezolúciós kalkulus b A levezet -ból: Table 714 [ 1, 2 rezolvense ] [ 1, 4 rezolvense ] [ 3, 5 rezolvense ] Tétel [Elsőrendű rezolúciós kalkulus teljessége] Ha egy elsőrendű klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor -ból van az üres klóznak rezolúciós levezete 4 Rezolúciós levezeti stratégiák 41 1 A teljes szintek módszere Legyen tetszőleges klózhalmaz A teljes szintek módszere a következőképpen állítja elő a levezethez a rezolvenseket: 1, 2 Ha, sikeresen vége Egyébként 137

142 A rezolúciós kalkulus folytassuk a 2 lépsel Ezzel a módszerrel sok egyforma klóz jelenik meg a rezolvensek között, sőt olyan rezolvens klózok is a klózhalmazba kerülhetnek, amelyekre a továbblépben biztosan nincs szükség E problémák megoldására született meg a törli stratégia 42 2 A törli stratégia Minden esetén az klózhalmazból el kell hagyni a fölösleges klózokat: a tautológiákat azokat, amelyeket más klózok,,tartalmaznak'' Definíció Jelölje rendre a a klózok literáljainak halmazát Egy klóz befoglalja a klózt, ha van olyan termhelyettesít, hogy 138

143 A rezolúciós kalkulus a befoglalt klóz Példa Legyen Ekkor Ha, akkor, tehát befoglalja -t A tautológiákat a befoglalt klózokat meg kell találni A tautológiákat a faktorizáció segítségével fedhetjük fel A befoglalási teszt azonban nem olyan egyszerű 421 Befoglalási algoritmus Legyenek klózok Legyen, ahol 139

144 A rezolúciós kalkulus a -ben előforduló változók sem -ben, sem -ben elő nem forduló különböző konstansszimbólumok Tegyük fel, hogy 1,,, 2 Ha, akkor vége: befoglalja -t Egyébként (743) 140

145 A rezolúciós kalkulus 3 Ha üres, akkor vége: nem foglalja be -t Egyébként, folytatás a 2 lépsel Példa Befoglalja-e a -t? (744) változói az a Legyen Ekkor (745) 1, 141

146 A rezolúciós kalkulus 2 Mivel, azt kapjuk, hogy (746) 3 Mivel az, az eljárást folytatva kapjuk, hogy 4 Mivel, az eljárásnak vége: befoglalja -t 5 Feladatok 1 Határozzuk meg az alábbi klózhalmazok valamely rezolúciós cáfolatát 2 Igazoljuk, hogy a 142

147 A rezolúciós kalkulus (747) formulahalmaz nem elégíthető ki 3 Elsőrendű rezolúciós kalkulussal igazoljuk, hogy az alábbi formulák logikai törvények 143

148 Hivatkozások Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving Chang Chin-Liang and Lee Richard Char-Tung Academic Press NewYork and London 1973 Bevezet a matematikai logikába Albert Dragálin and Szvetlána Búzási 1986 Matematikai logika Miklós Ferenczi Műszaki Könyvkiadó Budapest 2002 First-Order Logic and Automated Theorem Proving Melvin Fitting Springer-Verlag 1990 Logic for Computer Science: Foundations of Automatic Theorem Proving Jean Gallier Wiley 1986 Matematikai logika példatár Tamás Kádek, Judit Robu, and Magda Várterz Kolozsvári Egyetemi Kiadó Kolozsvár 2010 A matematikai logika alkalmazásszemléleltű tárgyalása Katalin Pásztorné Varga and Magda Várterz Panem Budapest 2003 Bevezet a modern logikába Imre Ruzsa and András Máté Osiris Kiadó Budapest 1997 First Order Logic Raymond Smullyan Springer-Verlag

149 Colophon A tananyag a TÁMOP-412A/1-11/ számú Gyires Béla Informatika Tananyag Tárház projekt keretében kzült A tananyagfejleszt az Európai Unió támogatásával valósult meg 145