b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza)

Átírás

1 Elsőrendű logika. Formalizálja az alábbi mondatokat: a, Aki másnak vermet ás, maga esik verembe. (Univerzum az emberek halmaza) ( yv ( E( ) E(: verembe esik, V(: vermet ás y-nak b, Van olyan makacs ember, a senki más tanácsára nem hallgat. (Univerzum az emberek halmaza) M ( y H( E( M(: makacs, H(: hallgat y-ra E(: egyenlő y c, Minden racionális szám estén létezik nála nagyobb irracionális szám. (Univerzum: R) y I( N( : racionális, I(: irracionális N(: nagyobb y d, Bármely két racionális szám között található irracionális szám. (Univerzum: R) y N( zi ( N( N( : racionális, I(: irracionális N(: nagyobb y e, Minden 2-nél nagyobb páros szám felírható két prímszám összegeként. (Univerzum: R) N P T ytz E f y yz,2 N(: >y; P(: páros; T(: prím; E(: egyenlőség; f(: összeadás, f, Minden egész szám páros vagy páratlan. ( U = R) Z PT ahol Z( ): egész; P( ): páros; T( ): páratlan g, Minden aran ami fénylik. F h, Van olyan cápa, amelyik dorombol. C D(, i, Vannak repülő és futómadarak. M R ym y j, Minden egész számnál létezik nagyobb egész szám. (U = R) E ye( N( ( F( k, Malacka mindenkinél kisebb, aki idősebb Zsebi babánál (U = Százholdas pagon Minden lében van két kanál. (Univerzum a minden dolgok halmaza) Van olyan kalap, ami minden zoknihoz illik. (Univerzum a minden dolgok halmaza) Eg csak egy legény van talpon a vidéken. (Univerzum az emberek halmaza)

2 Vannak repülő és futómadarak (Univerzum az élőlények halmaza) Szaffinak van egy fekete macskája. (U = élőlények) Minden kutya teát iszik, ha álmos. (U = élőlények) Az intelligens delfinek között van, amelyik tud labdát egyensúlyozni az orrán.(u=élőlények) A páros számok oszthatók a 2 valamelyik hatványával. (U = R) Van olyan kutya, amelyik megugatja a postást. (U = élőlények) Minden bogár rovar, de nem minden rovar bogár. (U = élőlények) 2. Prene KNF, Skólem Hozza Prene konjunktív normál formára, majd Skólem normálformára: a, y B y Py yzg z M.o.: yb y Py yzg z y B y Py yzg z y B y Py yzg z y nem emelhető ki ezért új ismeretlenek kellenek: y B y Py y2zg y2,z yy 2z B y Py G y2,z y y z B y P y G y,z 2 2 Skólemizálás: c; z f(y,y 2 ) y Prene KNF Bc,y Py Gc,y, f y, y2 2 y2 b, K( (( T( ) ) y( P( ) M.o.: K( ( ( T( ) ) y( P( ) K( (( T( ) ) y( P( ) K( ( T( ) y( P( ) K( ( T ( ) y( P( ) kiemelhető itt, ezér nem kell új ismeretlen: y K( ( T ( ) ( P( ) Ez Prene de nem KNF, ezért disztributív szabályt használunk: y Skólemizálás: y K ( T( K( P( c K ( T ( K( P( c, c, ( y ( P( ) z( P( )) M.o.: ( y ( P( ) z( P( )) ( y ( P( ) z( P( )) ( y ( P( ) z( P( )) yz ( ( P( ) ( P( )) yz ( ( P( ) P( ) Prene KNF Skólemizálás: y f(; z g( ( f ( ) ( P( f ( )) P( g( ) g(, ) d, y( P( ) y ( S( T( ) Prene KNF

3 y B C ya, P( y[ c, ] A B y C y ya B( ( y (P( ) z(p( )) ( yc( 3. Rezolúció a, Igazolja rezolúcióval, hogy helyes az alábbi következtetési séma: (( Ernő ) N( ) B( ) (( T ( S( ) y ) T ( S( ( S( N( ) B( M.o.: Minden feltételt és a következmény negáltját is Skólem normálformára alakítunk: (( Ernő ) N( ) B( ) ( ( Ernő ) N( ) B( ) (( Ernő ) N( ) B( ) ( Ernő ) N( B( ) (( T( S( ) y ) ( ( T( S( ) y ) (( T( S( ) y ) y(( T( S( ) ) y(( T ( ) ( S( )) T( S( ( S( N( ) ( S( N( ) B( Értéket adunk a változóknak: Lajos Ernő y Klózok és a rezolúció: Lajos, Ernő ) N( B( N( B( T ( Lajos, Ernő ) S( Lajos, Ernő )) Lajos, Ernő )) T( B( S( N( S( N( B( H b, Igazolja rezolúcióval, hogy helyes az alábbi következtetési séma: P gb Q P yzq z f,

4 Mo.: P Q f P Q f P gb yzqz z Értékadás: Klózok: g(b); z g(b); y f(g(b)) Pgb Q f gb,g b P gb Q f gb,g b f gb,g b Q nil, c, Formalizáljuk az alábbi állításokat és rezolúcióval mutassuk meg a következtetés helyességét!. Minden 2-nél nagyobb prímszám páratlan. 2. Páratlan szám négyzete páratlan. 3. A 7 prímszám. 4. A 7 nagyobb mint Következtetés: A 2 7 páratlan. Mo:N(, ): nagyobb, mint; P( ): prím; PT( ): páratlan; f( ): négyzetre emelés művelete. N 2) P( 2. PT ( PT ( f ( ) 3. P(7) 4. N(7,2) 5. PT(f(7)) ( PT ( Prene KNF alakra hozás: N( 2) P( PT ( ypt ( PT ( f ( ) yn ( 2) P( PT ( PT ( PT ( f ( ) P(7) N(7,2) PT ( f P(7) N(7,2) PT ( Egységesítő helyettesítés: 7, y 7 Rezolúció: N( 7,2) P(7) PT(7) PT( 7) PT( f (7)) N( 7,2) P(7) PT( f (7)) P(7) N( 7,2) PT( f (7)) N(7,2) PT ( f (7)) PT( f (7)) nil (7)) f (7)) d, Döntse el elsőrendű rezolúcióval, hogy helyes-e az alábbi következtetés! A B( ( D( E( F( ( B( C( ) E( ( F( C( )

5 M.o.: A ( B( C( A ( B( C( ( A B( ) ( A C( B( ( D( E( B ( D( E( ( B D( ) ( B E( E( ( F( C( ) E ( ( F( C( ) E ( F( C( F( Értékadás: Kati )) )) Kati B() Kati C( Kati D( Kati E( A A B B E( F( C( F( B() C( E( F( C( F( H e, Döntse el elsőrendű rezolúcióval, hogy helyes-e az alábbi következtetés! R ypy zrhc Ahc Dz yay Db yzpz M.o.: R yp y R yp y y R P y R P a zrhc Ahc Dz ya y Db ya y Db yzpz yzp( Értékadás után a klózok: R h( Ph(,a hc Ahc Db Ah( c Db R ) P( h(, a) f, T ( F R C ( O F C Gábor, Fogalmazza meg a mondatok jelentését, ha az univerzum a gőték halmaza, és adottak a következők: T( = Tüskés F( = Tud fütyülni = Szereti a répatortát C( = Csíkos O( = Okos 2, Rezolúció segítségével bizonyítsa be, hogy Gábor a gőte szereti a répatortát!

6 g, Z ( L P P( T M Z Dumbó, Fogalmazza meg a mondatok jelentését, ha az univerzum az elefántok halmaza, és adottak a következők: Z( = Zöld L( = Lila fülü P( = Pöttyös fülü T( = Látott már zebrát M( = Szereti Mozartot 2, Rezolúció segítségével bizonyítsa be, hogy Dumbó a kiselefánt szereti Mozartot! h, Formalizálja az alábbi mondatokat! Az alábbi jelöléseket használja: P(: puli, K(: kutya, U(: ugat, H(: harap. Bogáncs puli. A pulik kutyák. Amelyik kutya ugat, az nem harap. Bogáncs mindig ugat. Bizonyítsa rezolúcióval, hogy van olyan puli, amelyik nem harap! i, Rezolúció segítségével igazolja, hogy az első három állítás logikai következménye a negyedik! 3. D( Marci) 4. Marci) ). B( C( 2. B( C( D( j, Az univerzum legyen a komple számok halmaza, kivéve a 0 (0+0i) számot. A prédikátumok és függvények a következők: V( tisztán valós szám P( pozitív szám N( negatív szám f( = 2 Fogalmazza meg szöveggel az alábbi formulák jelentését! () (V( (P( N()) (2) (N( P(f()) (P( P(f()) (3) P(f(i)) Bizonyítsa be rezolúcióval, hogy a fenti (),(2) és (3) állítások logikai következménye, hogy az i nem valós szám! EtraFeladat: Adottak a következő aiómák.bizonyítsa rezolúcióval a következtetést!. Minden kutya egész éjszaka üvölt. 2. Azoknál, akinek van valamilyen macskájuk, nincsenek egerek. 3. A nyugodtan alvóknak nincs semmilyük, ami éjszaka üvölt. 4. Jánosnak kutyája vagy macskája van. 5. Konklúzió: ha János nyugodtan alvó, akkor Jánosnál nincsenek egerek.

7 Mo.:.lépés: formalizálás. Kutya Üvölt 2. yrendelkezik y Macska y zrendelkezik z Egérz 3. A yrendelkezik yüvölty 4. Rendelkezik János, Macska Kutya 5. AJános zrendelkezik János,z Egérz 2.lépés: átalakítás. K Ü K Ü 2. yr y M y zrz Ez yr y M y z Rz Ez yz R y M y Rz Ez yz R y M y Rz Ez 3. A yr yüy A y R yüy ya R y Ü ya R y Ü y A R y Ü y 4. RJános, M K Skólemizálás: a: RJános,a M a Ka 5. AJános zrjános,z Ez AJános zrjános,z Ez AJános zrjános,z Ez Skólemizálás: z b: AJános RJános,b Eb Értékadás után a klózok: (A különböző formulákban a változók értékei különbözőek lehetnek, úgy kell megválasztani őket, hogy a rezolúció során ellentmondásra jussunk). Ka Üa 2. RJános,a M a RJános,b Eb 3. AJános RJános,a Ü a 4. R János,a 5. M a Ka 6. A János 7. R János,b 8. E b