Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával

Átírás

1 Intelligens Rendszerek I. Tudásábrázolás formális logikával 2007/2008. tanév, I. félév Dr. Kovács Szilveszter Miskolci Egyetem Informatikai Intézet 106. sz. szoba Tel: (46) / mellék

2 A tudásábrázolás elvárt jellemzői Patrick Winston szerint 1. A fontos dolgokat világosan adja meg. 2. Fedje fel a természetes korlátokat, megkönnyítve a számítások néhány fajtáját. 3. Legyen teljes. 4. Legyen tömör. 5. Legyen átlátható számunkra. 6. Legyen alkalmas gyors feldolgozásra. 7. Rejtse el a részleteket, de tegye elérhetővé azokat szükség esetén. 8. Létezzen rá számítógépi eljárás. A jó tudásábrázolás az MI feladatok megoldásánál fél siker. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 2.

3 Tudástípusok Deklaratív Strukturált Procedurális Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 3.

4 Deklaratív tudás Csak ismeretek, összefüggések és alkalmazási utasítások nélkül Leírása: logikai kifejezések fogalmak objektumok Technikák: formális logika O-T-É hármas Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 4.

5 Tudásábrázolási módszerek Szimbolikus (formális) logika (ítéletkalkulus, elsőrendű logika) Szabályalapú rendszerek Szemantikus hálók Keretek, script-ek Neurális hálózatok Modellalapú Hibrid Deklaratív Strukturált Procedurális Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 5.

6 Tudásábrázolás formális logikával A logikáról: A logika a bölcselés tudománya, a helyes gondolkodás művészetének tana. A logika osztályozása: Logika Arisztotelészi (hagyományos) Propozíciós Logika (Ítéletkalkulus) Szimbolikus (formális) Predikátum logika (Elsőrendű logika) Nem klasszikus szimbolikus logika: - modális - temporális - többértékű -intuicionista - valószínűségi - Fuzzy logika Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 6.

7 udásábrázolás formális logikával: propozíciós logika Egyéb elnevezések: kijelentéskalkulus, ítéletkalkulus, nulladrendű predikátum-kalkulus. Propozíció: egy kijelentő mondat formában megadott állítás, mely az adott kontextusban egyértelmű igaz, vagy hamis logikai értékkel bír. A propozíciós logika olyan egyszerű nyelvtani kapcsolatokat alkalmaz a legegyszerűbb "atomi mondatok" között, mint az és, vagy, nem. Atomi mondatok: A= A víz száz fokon forr. B= A macskák ugatnak. Az ilyen atomi összetevők (objektumok) egyértelműen megítélhetők az igaz, vagy hamis értékek valamelyikével. (Általános tapasztalat szerint A igaz, B hamis). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 7.

8 udásábrázolás formális logikával: propozíciós logika A propozíciós logika tárgya, célja összetett szerkezetek kiértékelésére formális szabályt adni. A kiértékelésben az atomi összetevők (objektumok) igazságértékeit kell csak figyelembevenni, jelentésüktől eltekintünk. Atomi kijelentések helyett szimbólumok: Esik az eső A Eltekintünk a természetes nyelvi jelentéstől Nem természetes átalakítás, pl.: A: Jóska megbetegedett. B: Jóska elment az orvoshoz. Hétköznapi értelemben A és B jelentése eltér B és A összetett kijelentésétől. Csak az igaz, vagy hamis értéke fontos számunkra A- nak és B-nek. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 8.

9 A propozíciós logika szintaxisa Jelkészlet Elválasztójelek:, ( ) Logikai operátorok (műveleti jelek): {csökkenő precedenciasorrendben} negáció 'nem' konjunkció 'és' diszjunkció 'vagy implikáció 'ha... akkor... 'következik ekvivalencia 'akkor és csak akkor 'azonos' Logikai változók (ítéletváltozók): p, q, r, Logikai konstansok (ítélet-, predikátumkonstansok): T, F (True, False), (igaz, hamis). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 9.

10 A propozíciós logika szintaxisa A propozíciós logika (kijelentéskalkulus, ítéletkalkulus) formuláit a jelkészlet elemeiből a szintaxis szabályai szerint építjük fel: Atomi formula (atom) Minden ítéletkonstans atom : T, F Minden ítéletváltozó atom : p, q, r, Formula (jól formált formula): Minden atomi formula egyben formula Ha A és B formulák, akkor a A, A B, A B, A B, A B kifejezések is formulák. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 10.

11 A propozíciós logika szemantikája Egy logikai formulának az igazságértéke ad jelentést, mely igazságértéket a szemantika szabályai szerint kapja meg. A jelentésadás lépései: 1. Interpretálás 2. Kiértékelés A formula interpretálása: minden egyes ítéletváltozójához az igaz, vagy a hamis értéket rendeljük minden lehetséges módon. Egy hozzárendelés egy interpretációt ad. Az interpretációk száma a propozíciós logikában véges: 2 n ahol n a változók száma. pl.: A := (p q) (r ( s)) két lehetséges interpretációja: I 1 : (p,q,r,s) = (T,T,F,F) I 2 : (p,q,r,s) = (F,T,T,F)... Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 11.

12 A propozíciós logika szemantikája Kiértékelés Az interpretált formula kiértékelését a logikai műveleti jelek szemantikája alapján végezzük: Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 12.

13 A propozíciós logika szemantikája Kiértékelés A formula kielégíthető, ha létezik olyan interpretációja, ami igaz. A formula kielégíthetetlen, ha nem létezik olyan interpretációja, ami igaz. A formula érvényes, ha valamennyi interpretációja igaz. Egy következtetési folyamat teljes, ha az összes igaz következmény levezetésére képes. Pl.: Ha süt a nap, nem tanul Péter. süt a nap : p tanul Péter : q A:= p ( q) A lehetséges 4 interpretáció egyike: p= T, q= F, a kiértékelt formula: T ( F); T T; T, az A állítás kielégíthető, de nem érvényes (p= T, q= T) Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 13.

14 Logikai azonosságok a propozíciós logikában Összetett kijelentések kiértékelését, illetve egyszerűsítését, vagy kijelentések egyenértékűségének belátását segítik a logikai azonosságok. Igazságtáblával igazolhatók, pl.: A, B, C esetén 2 3 =8 eset, mindkét oldalon ugyanazt adja. A B = ( A B ) ( B A) A B = A B Funkcionálisan teljes logikai primitívek pl. a metszet, az unió és a tagadás segítségével az összes többi logikai művelet is kifejezhető. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 14.

15 Logikai azonosságok a propozíciós logikában A False = A A True = A A True = True A False = False A A = True A A = False Univerzális határok Univerzális határok Univerzális határok Univerzális határok Kiegészítés Kiegészítés Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 15.

16 Logikai azonosságok a propozíciós logikában Kettős tagadás: A = A Idempotencia: A A = A Kommutativitás: A B = B A (felcserélhetőség) A B = B A Asszociativitás: (A B) C = A (B C) (társíthatóság) (A B) C = A (B C) Abszorpció: A (A B) = A (elnyelés) A (A B) = A Disztributivitás: A (B C) = (A B) (A C) (széttagolhatóság) A (B C) = (A B) (A C) DeMorgan összefüggés: (A B) = A B (A B) = A B Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 16.

17 Logikai azonosságok a propozíciós logikában B1. Idempotence B2. Commutativity B3. Associativity B4. Absorption B5. Distributivity B6. Universal bounds B7. Complementarity B8. Involution B9.Dualization a+a=a, a a=a a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c), (a b) c=a (b c) a+(a b)=a, a (a+b)=a a (b+c)=(a b)+(a c), a+(b c)=(a+b) (a+c) a+0=a, a+1=1 a 1=a, a 0=0 a+ a=1, a a=0, 1=0 (a+b)= a b (a b)= a + b Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 17.

18 Kielégíthetetlen és érvényes kifejezések A kielégíthetetlen logikai kifejezések és az érvényes kifejezések fontos szerepet játszanak a tételbizonyításban. A tétel azt jelenti, hogy állításokból logikailag következik a konklúzió. Tautologikus törvény: A B = A, ha A tautológia, A B = B, ha A tautológia. A logikai kifejezés tautológia, azaz érvényes kifejezés akkor, ha minden lehetséges helyettesítése igaz. Kielégíthetetlenségi törvény: A B = B, ha A kielégíthetetlen, A B =A, ha A kielégíthetetlen. A logikai kifejezés kontradikció, azaz kielégíthetetlen kifejezés akkor, ha minden lehetséges helyettesítésre hamis értéket ad. Természetesen a formulák többsége egyes interpretációkban hamis, más interpretációkban igaz, azaz kielégíthető. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 18.

19 Megjegyzés: háromértékű logika A harmadik logikai érték: ½ : nem meghatározott ab Łukasiewicz Bochvar Kleene Heyting Reichenbach ½ 0½1½ ½½½½ 0½1½ 0½10 0½1½ ½0 0½½½ ½½½½ 0½½½ 0½00 0½½½ ½½ ½½11 ½½½½ ½½½½ ½½11 ½½11 ½1 ½11½ ½½½½ ½11½ ½11½ ½11½ ½ ½1½½ ½½½½ ½1½½ ½1½½ ½1½½ Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 19.

20 Tételbizonyítás a propozíciós logikában Egy propozíciós logikai formula érvényességének igazolására alkalmas módszerek: Igazságtáblás Formális levezetés Rezolúció A tétel igaz állításokból és egy, azokból állítólag következő konklúzióból áll. A tételbizonyítás feladata formális szabályok gépies alkalmazásán keresztül igazolni, hogy a konklúzió a premisszák következménye. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 20.

21 Következtetési szabályok Modus ponens És kiküszöbölés És bevezetés Vagy bevezetés Dupla negáció kiküszöbölés Egységrezolúció Rezolúció Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 21.

22 Következtetési szabályok Modus ponens (implikáció kiküszöbölés) ha tudjuk, hogy az α βimplikáció igaz és α igaz, akkor következtethető (igaz) a β értéke α β, α β És kiküszöbölés ha tudjuk, hogy α 1 α 2 α 3 α n igaz, akkor következtethető (igaz) az α i értéke α 1 α 2 α 3 α n α i Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 22.

23 Következtetési szabályok És bevezetés ha tudjuk, hogy α 1, α 2, α 3,, α n igaz, akkor következtethető az α 1 α 2 α 3 α n értéke α 1,α 2,α 3,..., α n α 1 α 2 α 3 α n Vagy bevezetés ha tudjuk, hogy α i igaz, akkor következtethető (igaz) az α 1 α 2 α 3 α n értéke α i α 1 α 2 α 3 α n Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 23.

24 Következtetési szabályok Dupla negáció kiküszöbölés ha tudjuk, α értékét, akkor következtethető (igaz) az α értéke α α Egységrezolúció ha tudjuk, hogy az α β igaz és a β hamis, akkor következtethető (igaz) az α értéke α β, β α Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 24.

25 Tételbizonyítás a propozíciós logikában A rezolúció szabálya: α β, β γ α γ Mivel β nem lehet egyszerre igaz és hamis, ezért valamelyik premisszában, előfeltételben a másik tagnak (α, vagy γ ) igaznak kell lennie, tehát az α γ igaz. A rezolúció módszere kiemelkedik a többi közül, mivel ez a bizonyítási módszer alkalmazható a predikátum logikában is. Implikációként felírva: α β, β γ (az implikáció tranzitivitása) α γ α β= α Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 25.

26 Tételbizonyítás a propozíciós logikában A rezolúció módszerével egy tételről (állításról) egyértelműen belátható ha az kielégíthetetlen. A rezolúciós módszer lépései: A kielégíthetetlenség bizonyításához konjunktív normál forma alakra (KNF) hozzuk az összetett formulát és a rezolúció ismételt alkalmazásával, fokozatos egyszerűsítéseken keresztül jutunk el az ellentmondáshoz. (KNF elég csak egy részéről belátnunk, hogy kielégíthetetlen) A rezolúció alkalmazása a propozíciós logikában (ítéletkalkulus) korlátozott, mivel bonyolultabb problémák leírására ez a logika nem ad eszközöket. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 26.

27 Tételbizonyítás a propozíciós logikában A konjunktív normálforma Klózok konjunkciója, ÉS kapcsolata Az eredeti formulával ekvivalens Egyszerű felépítése miatt gépiesen kezelhető. A klóz literálok diszjunkciója (VAGY kapcsolata), vagy egyetlen literál. A literál egy ítéletváltozó (logikai változó), vagy annak negáltja. Példa: Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 27.

28 Tételbizonyítás a propozíciós logikában Formulák konjunktív normálformára hozásának lépései: 1. Azonosságok kiküszöbölése: A B = ( A B ) ( B A) 2. Implikációk kiküszöbölése: A B = A B 3. A negálás hatáskörének redukálása: (A B) = A B (A B) = A B 4. Klózok konjunkciójának létrehozása: A (B C) = (A B) (A C) 5. Implikációs normál formára alakítás: A B C D átalakul A B C D A diszjunktív normál formából elhagyva a konjunkció operátorokat, a formula literálokra esik szét, melyek halmazára alkalmazzuk a rezolúció szabályát ciklusban. Ily módon a rezolúció egy olyan könnyen automatizálható eljárás, melynek segítségével egy klózhalmaz, illetve a neki megfelelő konjunktív normál forma kielégíthetetlenségét belátjuk. A klózhalmaz egyszerűsítése rezolválható klózpárokon keresztül történik. Rezolválható klózpár: egyetlen ellentett literálpárt tartalmaznak, pl: p A, p B ahol A és B közvetlenül tovább már nem rezolválható klózok (A B). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 28.

29 Tételbizonyítás a propozíciós logikában A rezolúciós folyamat során a rezolválható párok rezolválása eredményeként adódó rezolvens klózt a halmazhoz adjuk. A klózhalmaz kielégíthetetlenségét az jelzi, hogy végül hamis klózt kapunk. A rezolúció algoritmusa: Procedure Rezolúció 1. KLÓZHALMAZ feltöltése 2. do 3. Rezolválható klózpár C i, C j kiválasztása a KLÓZHALMAZ-ból 4. Rezolválás: C ij R(C i,c j ) 5. KLÓZHALMAZ bővítése C ij rezolvenssel 6. while C ij False end Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 29.

30 Tételbizonyítás a propozíciós logikában Példa: KNF: (p q) ( p r) ( r s) q s p q p r q r r s q s q Rezolúció: α β, β γ α γ s s False A rezolúció teljességének tétele garantálja, hogy egy kielégítetlen formula klózhalmazából kiindulva, minden lehetséges módon képezve a klózpárok rezolvensét, véges sok lépésben eljutunk az üres klózhalmazhoz. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 30.

31 Tételbizonyítás a propozíciós logikában Példa: KNF: (p q) ( p r) ( r s) q s Implikációs normál forma: (q p) (p r) (r s False) (True q) (True s) q p p r q r r s False q s False True q a b = a b a b c d = (a b) (c d) a b ( False) = (a b) False False c d = True (c d) True s False True s True True False Rezolúció: α β, β γ α γ Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 31.

32 Tételbizonyítás a propozíciós logikában Ha egy tudásbázisból következik egy állítás: (TB Állítás) : igaz, átírva konjunkcióra: (TB Állítás) : hamis A bizonyítandó tétel tagadott alakját a tudásbázishoz adva az egészről azt kell bizonyítanunk, hogy kielégíthetetlen Jó rá a rezolúció! Ehhez konjunktív normál forma alakra (KNF) hozzuk az összetett formulát és a rezolúció ismételt alkalmazásával, fokozatos egyszerűsítéseken keresztül jutunk el az ellentmondáshoz. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 32.

33 Predikátum logika További elnevezések: elsőrendű logika, elsőrendű predikátumkalkulus, vagy egyszerűen predikátumkalkulus. A világ objektumokból áll, melyeknek saját azonosítójuk van. Predikátum: objektumok sajátságainak és az objektumok közötti kapcsolatok, viszonyok, relációk szimbolikus formában való megadására alkalmas állítás, mely egy adott interpretációban egyértelmű igaz, vagy hamis minősítéssel bír. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 33.

34 Predikátum logika A predikátum logika jellemzői: Kijelentéseink tartalmát is leírja, mivel az állítások az individuumkonstansok, individuumváltozók és individuumfüggvények révén egy tartomány (alaphalmaz, domain) elemeire vonatkozhatnak. Az ítélet-, vagy logikai függvények, azaz a predikátumok használatával indivíduum paraméterektől függő igazságú állítások fogalmazhatók meg. Új logikai operátorok, a kvantorok segítségével kifejezhetjük a "minden" és a "létezik" fordulatokat is. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 34.

35 Predikátum logika Az propozíciós logikában is volt formula (amely igaz/hamis értékkel bírt), de az csak ítéletkonstans, ill. ítéletváltozók logikai kapcsolatából állt össze Predikátum logika: itt az objektumok (amik a logikai értékkel bírnak) termek (konstansok, változók, és függvényeik) relációja. Az interpretáció módja eltér a propozíciós logikáétól, és ebből eredően a predikátum logikában egy formulának végtelen sok interpretációja lehetséges az alaphalmaz, és az azon értelmezett függvények és predikátumok tetszőleges választhatósága miatt. Magasabb rendű logika: megengedi az objektumok relációját is. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 35.

36 Predikátum logika Bonyolultabb tételek bizonyíthatók, mint a propozíciós logikában: Pl.: Premisszák, ismert tények: (1) Van olyan hallgató, aki minden tárgyat szeret. (2) A szócséplést egyik hallgató sem szereti Igaz-e a fenti állítások ismeretében a következő állítás? Bizonyítandó állítás: (4) Egyik tárgy sem szócséplés. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 36.

37 A predikátum logika szintaxisa Jelkészlet: Elválasztójelek:, ( ) [ ] Logikai operátorok (műveleti jelek): Kvantorok: univerzális kvantor ("minden"): egzisztenciális kvantor ("létezik" vagy "van olyan"): (precedencia: ) Elemkonstansok (individuumkonstansok): a, b, c,...,vagy nevek (például: János, asztal). Elemváltozók (individuum változók): x, y, z... Függvényszimbólumok (individuumfüggvények): f, g, h,..., vagy például: testvére(józsi ) Laci Itéletkonstansok (logikai konstansok): True, False. Itéletváltozók (logikai változók): p, q, r... Predikátumszimbólumok (logikai függvény): P, Q, R,..., vagy például: testvérek( x, y ), P(x,y). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 37.

38 A predikátum logika szintaxisa A jelkészlet elemeiből a kifejezések 3 osztálya alkotható meg: Term-ek, Atomi formulák (Atomok) és Jólformált formulák (Formulák). Term (individuum konstans, individuum változó, individuum függvény): Minden elemkonstans (individuum konstans) term. Pl.: a,b,...,asztal, szék, stb. Minden elemváltozó (individuum változó) term. Pl.: x, y. Ha f egy n-argumentumú függvényszimbólum és t1,...,tn term-ek, akkor f(t1,...,tn) is term. Pl.: f(a,x), gyereke(pál,x), színe(haj,időskorban) ősz, színe(haj,fiatalkorban) szőke. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 38.

39 A predikátum logika szintaxisa Atomi formula (kiértékelve True, vagy False): Minden ítéletkonstans atomi formula. ( True, False ) Minden ítéletváltozó atomi formula. ( p, q, r, ) Ha P egy n-argumentumú predikátumszimbólum (logikai függvény) és t 1,...,t n term-ek, akkor P(t 1,...,t n ) atomi formula. Pl.: házaspár(pál,irén) True. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 39.

40 A predikátum logika szintaxisa Formula (jólformált formula): Minden atomi formula egyben formula. (True, p, P(a,b) ) Ha A ésbformulák, akkor a ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) kifejezések is formulák. Ha az A egy formula és az x egy elem (individuumváltozó), akkor a ( x)a, ( x)a kifejezések is formulák. Pl.: ( x) testvére (x,pál) Precedenciasorrend:, pl.: ((( x)a) (B) helyett: ( x)a B Példa: Vagy van egy részeg, vagy nem volt már ital. A:= részeg(x)=r(x), C= volt ital. ( x)r(x) C. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 40.

41 A predikátum logika szintaxisa Kötött változó: Minden előfordulása a formulában kvantor hatása alatt áll. ( x) P(x,y) x kötött változó, y nem kötött változó. ( x) [P(x,y) ( y) Q(x,y)] mindkét x kötött [] miatt, y első előfordulása nem kötött, második előfordulása kötött. Mondat: olyan formula, melyben minden változó összes előfordulása kötött. Csak mondatokkal foglalkozunk. Példa mondatra: ( x) [P(x) ( y) Q(x,y)]. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 41.

42 Feladat: Állítások: Példa a formulázásra (1) Van olyan hallgató, aki minden tárgyat szeret. (2) A szócséplést egyik hallgató sem szereti (3) Egyik tárgy sem szócséplés Formalizálás: Alkalmazott predikátumok: H(x): az x egy hallgató T(y): az y egy tárgy C(y): az y egy szócséplés S(x,y): az x szereti y-t. A formalizált állítások: F1: ( x)[h(x) ( y)(t(y) S(x,y))] F2: ( x)[h(x) ( y)(c(y) S(x,y))] F3: ( x)[t(x) C(x)] Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 42.

43 A predikátumkalkulus szemantikája Az elsőrendű predikátumkalkulus formuláinak is hasonlóan adunk jelentést, mint az ítélet-kalkulusban: először interpretáljuk, majd kiértékeljük a formulát. (Eredmény: True, vagy False). Interpretáció: Individuumtartomány (az értelmezés alaphalmazának) megválasztása: jele D, nem üres. Hozzárendelések: Minden individuumkonstans-szimbólumnak feleltessük meg D egy elemét. (a:= asztal ) Minden n-argumentumú individuumfüggvényhez (pl.: f(a,b) ) rendeljünk hozzá egy D n D leképezést. ( gyermeke(a,b) c, gyermeke(pál,irén) Jutka ). Minden n-argumentumú predikátumfüggvénynek feleltessünk meg egy D 2 {T,F} leképezést, ahol T a logikai igaz, F pedig a logikai hamis értéket jelöli. (Pl.: házaspár(pál,irén) True ). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 43.

44 A predikátumkalkulus szemantikája Kiértékelés: Ha az A és B formulák igazságértéke ismert, akkor a ( A), (A B), (A B), (A B), (A B) formulák igazságértékét a logikai műveleti jelek propozíciós logikánál megadott igazságtáblái alapján határozzuk meg. A ( x)a formula igazságértéke pontosan akkor T az adott interpretációban, ha az A formula igazságértéke minden x D esetén True, egyébként ( x)a értéke False. A ( x)a formula igazságértéke pontosan akkor True az adott intrepretációban, ha az A formula igazságértéke legalább egy x D esetén True; egyébként ( x)a értéke False. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 44.

45 A predikátum formula igazságértéke Predikátum formula igazságértéke az interpretáció függvénye Pl: ( x) [P( f (x,x), b) P(x, b)] formula esetén Értelmezések: a., D a természetes számok halmaza. Megfeleltetések: b := 1 f(x,y) := x y ( f a szorzást jelölő függvény) P := egyenlő ( P legyen az egyenlőség relációja) Ezekkel a formula: ( x) [(x 2 = 1) (x = 1)] T= igaz, a természetes számok körében. b., D az egész számok halmaza. Megfeleltetések: mint fent. A formula értéke F=hamis, mert x = -1 esetén x 2 = 1 -ből nem következik, hogy x = 1. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 45.

46 Predikátum-logikai formulák kielégíthetősége Kielégíthető az a formula, amelyik valamely interpretációban igaz. Érvényesnek nevezünk egy formulát, ha minden interpretációban igaz. Például a ( x)p(x) ( y) P(y). Kielégíthetetlen az a formula, amely minden interpretációban hamis értékű. Például a ( x)p(x) ( y) P(y). Az érvényes, illetve a kielégíthetetlen formulák a fontosak számunkra, ugyanis a tételbizonyítást egy formula érvényességének, illetve kielégíthetetlenségének a belátására lehet visszavezetni. Probléma: az elsőrendű predikátumkalkulus egy formuláját nem tudjuk az összes lehetséges interpretációban kiértékelni, mivel végtelen sok alaphalmazt lehet megadni. Megoldás: a rezolúciós eljárás, mellyel egy formula érvényessége, vagy kielégíthetetlensége belátható. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 46.

47 Logikai azonosságok a predikátum kalkulusban Két formula ekvivalens, ha minden interpretációban ugyanaz az igazságértékük. A propozíciós logikában megadott azonosságok itt is érvényesek További azonosságok: Q jelölheti a, vagy a jelek bármelyikét. Jelöljön A(x) olyan formulát, amelyben az x változó előfordul, B pedig olyat, amely az x-et nem tartalmazza. (Qx)A(x) B = (Qx)(A(x) B) (Qx)A(x) B = (Qx)(A(x) B) (( x)a(x)) = ( x)( A(x) ) (( x)a(x)) = ( x)( A(x) ) ( x) A(x) ( x) B(x) = ( x) (A(x) B(x)) ( x) A(x) ( x) B(x) = ( x) (A(x) B(x)) (Q1x) A(x) (Q2x) B(x) = (Q1x) (Q2y) (A(x) B(y)) (átnevezés!) (Q1x) A(x) (Q2x) B(x) = (Q1x) (Q2y) (A(x) B(y)). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 47.

48 Rezolúció a predikátum logikában Bonyolultabb tételek bizonyíthatók, mint a propozíciós logikában, ugyanakkor a bizonyítás lépései is jóval összetettebbek. A következőkben egy egyszerű példát mutatunk, amely rámutat a predikátum logikán belüli rezolúció egyik erősségére: A bizonyítás folyamán individuumváltozó - individuumkonstans hozzárendeléseket is végez, amely révén arra is választ kapunk, hogy milyen feltételek mellett igaz a tétel. Pl.: Feladat: Értik-e a hallgatók a rezolúciót? Premisszák, ismert tények: (1) A hallgatók értelmesek. (2) Az értelmesek mindent értenek, ami egyszerű. (3) Az értelmeseknek a rezolúció egyszerű Igaz-e a fenti állítások ismeretében a következő állítás? Bizonyítandó állítás: (4) A hallgatók értik a rezolúciót. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 48.

49 Rezolúció a predikátum logikában A rezolúció módszerével egy tételről (állításról) egyértelműen belátható ha az kielégíthetetlen. A kielégíthetetlenség bizonyításához konjunktív normál forma alakra (KNF) hozzuk az összetett formulát és a rezolúció ismételt alkalmazásával, fokozatos egyszerűsítéseken keresztül jutunk el az ellentmondáshoz. Ha a KNF klózok egy része ellentmondó (ezt vizsgálja a rezolúcióval), akkor az egész formula kielégíthetetlen. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 49.

50 Tételbizonyítás a predikátum logikában Ha egy tudásbázisból következik egy állítás: (TB Állítás) : igaz, átírva konjunkcióra: (TB Állítás) : hamis A bizonyítandó tétel tagadott alakját a tudásbázishoz adva az egészről azt kell bizonyítanunk, hogy kielégíthetetlen Jó rá a rezolúció! Ehhez konjunktív normál forma alakra (KNF) hozzuk az összetett formulát és a rezolúció ismételt alkalmazásával, fokozatos egyszerűsítéseken keresztül jutunk el az ellentmondáshoz. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 50.

51 Rezolúció a predikátum logikában Pl.: Feladat: Értik-e a hallgatók a rezolúciót? Premisszák, ismert tények: (1) A hallgatók értelmesek. (2) Az értelmesek mindent értenek, ami egyszerű. (3) Az értelmeseknek a rezolúció egyszerű Igaz-e a fenti állítások ismeretében a következő állítás? Bizonyítandó állítás: (4) A hallgatók értik a rezolúciót. Formulázás: Alkalmazott predikátumok: hallgató(x) - az x az egy hallgató értelmes(x) - az x értelmes érti(x,y) - az x érti az y-t egyszerű(y) - az y egyszerű Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 51.

52 Rezolúció a predikátum logikában (1) A hallgatók értelmesek. (2) Az értelmesek mindent értenek, ami egyszerű. (3) Az értelmeseknek a rezolúció egyszerű. Bizonyítandó állítás: (4) A hallgatók értik a rezolúciót. A premisszák és következmény formalizált alakban: (1) x hallgató(x) értelmes(x) (2) x,y értelmes(x) egyszerű(y) érti(x,y) (3) x értelmes(x) egyszerű (Rezolúció) (4) x hallgató(x) érti(x,rezolúció) Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 52.

53 Rezolúció a predikátum logikában A premisszák és következmény formalizált alakban: (1) x hallgató(x) értelmes(x) (2) x,y értelmes(x) egyszerű(y) érti(x,y) (3) x értelmes(x) egyszerű (Rezolúció) (4) x hallgató(x) érti(x,rezolúció) A premisszák és a negált következmény formalizált alakban: (1) hallgató(x) értelmes(x) (2) értelmes(x) egyszerű(y) érti(x,y) (3) értelmes(x) egyszerű (Rezolúció) (4) hallgató(x) érti(x,rezolúció) Negálva: (4): hallgató(x) érti(x,rezolúció) Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 53.

54 Rezolúció a predikátum logikában A klózhalmaz: ( hallgató(x) értelmes(x)) ( értelmes(x) egyszerű(y) érti(x,y)) ( értelmes(x) egyszerű (Rezolúció)) hallgató(x) érti(x,rezolúció) A rezolúciós folyamat lépései: hallgató(x) értelmes(x) hallgató(x) Rezolúció: α β, β γ α γ értelmes(x) értelmes(x) egyszerű(y) érti(x,y) érti(x,rezolúció) egyszerű(y) érti(x,y) y Rezolúció (helyettesítés) egyszerű(rezolúció) értelmes(x) egyszerű (Rezolúció) hallgató(x) értelmes(x) értelmes(x) hallgató(x) hallgató(x) False Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 54.

55 Példa: Rezolúció a predikátum logikában Predikátum kalkulus: KNF: Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 55.

56 Példa: Rezolúció a predikátum logikában Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 56.

57 MI orintált programozási nyelvek: PROLOG PROLOG (Programming in Logic, Logika alapú programozás) Alain Colmerauer, Bob Kowalski, Predikátum konstanson alapuló általános célú programnyelv, amely azonban legelőnyösebben logikai problémák megoldására alkalmazható. A PROLOG létrehozására kihatott az a tapasztalat, amelyet a korábbi MI programozási nyelvekkel szereztek: minél több a rendszerbe épített lehetőség, a rendszer annál inkább lelassul. Deklaratív programnyelv: elegendő megadnunk csak a problématerületre vonatkozó tényeket, szabályokat és a megválaszolandó kérdést, ill. minősítendő állítást, és a program generálja a megoldáshoz vezető lépéseket és szolgáltatja a választ. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 57.

58 A PROLOG programozási nyelv Jellemzői: Az eljárások és a tények a mintaillesztés során kerülnek elő. Betartja a bemenőállítások sorrendjét. A keresést automatikus visszalépéssel (back track) hajtja végre, amelyet azonban a programozó a! (cut, vágás) operátorral módosíthat. Ez a lehetőség ellentmond a logikai programozás ideális koncepciójának: a programozó feladata csak a logikai probléma megadása, a problémaleírás algoritmikus kiértékelését pedig a gépnek kell elvégeznie. Kowalski képlete: algoritmus = logika + vezérlés Jelentése a következő: egy algoritmus mindig két komponenst tartalmaz implicit formában: a logikai összetevőt, amely megadja a kérdéses problémára vonatkozó tudást, a vezérlési összetevőt, mely megtestesíti a megoldási stratégiát az adott probléma esetére Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 58.

59 A PROLOG programozási nyelv További jellemzők: Bevezetésre került a symbol típus (domain), hogy a predikátumlogika individuumkonstansai, -változói és - függvényei a valóság egy részletét leképezhessék. Fontos adatszerkezet a lista. A listafeldolgozás a mintaillesztésen és a rekurzión alapul. A függvények a predikátumfüggvényeken alapulnak, és nincs különbség a bemenő és a kimenő változók között. A bemeneti állítások (szabályok, clauses) formátuma korlátozott: P if Q and R and S. fej törzs A fej egyetlen predikátum, a törzs pedig atomi formulák (többnyire predikátumok, azaz logikai függvények) negációt nem tartalmazó konjunkciója (csak and lehet). Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 59.

60 A PROLOG programozási nyelv További jellemzők: Mivel a törzs atomi formulák konjunkciója, azaz Horn-halmaz, így azt mondhatjuk, hogy a PROLOG a Horn halmazokra a rezolúció elvét alkalmazza. A felhasználóra hagyja a rezolúciós stratégia megvalósítását: néhány megszorítást tett a bemenőállításokra, és az illesztés a bemenőállítások (clauses, tények és szabályok) megadott sorrendjében hajtódik végre. A rendszer így tömörebb lett és gyorsabb végrehajtást tesz lehetővé. Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 60.

61 A PROLOG programozási nyelv Pl: Ismertek az alábbi tények: Cleopátra szebb Ginánál. Gina szebb Ursulánál. Kérdés: Ki sokkal szebb Ursulánál? A feladat megválaszolására alkalmas PROLOG program: Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 61.

62 A PROLOG működése Szemléltetés fagráffal Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 62.

63 A PROLOG működése Szemléltetés fagráffal (az első helyettesítés rögtön sikeres) Az első tény behelyettesítése a mondat első helyére Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 63.

64 A PROLOG működése Szemléltetés fagráffal (az első helyettesítés sikertelen) Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 64.

65 Ajánlott irodalom Jelen előadás fóliái részben az alábbi források alapján készültek: Dr. Dudás László: Mesterséges Intelligencia Módszerek, Miskolci Egyetem, Alkalmazott Informatikai Tanszék, Stuart J. Russel Peter Norvig: Mesterséges Intelligencia modern megközelítésben, Panem-Prentice-Hall, Budapest, 2000, ISBN Fekete I. - Gregorics T. - Nagy S.: Bevezetés a mesterséges intelligenciába, LSI Oktatóközpont, Budapest, Michael Negnevitsky: Artificial Intelligence: A Guide to Intelligent Systems, Addison Wesley, Pearson Education Limited, ISBN Dr. Kovács Szilveszter M.I. 9. / 65.