Logikai következmény, tautológia, inkonzisztens, logikai ekvivalencia, normálformák

Átírás

1 08EMVI3b.nb 1 In[2]:= Theorema Ítéletlogika 1 Ismétlés Szintaxis Szemantika Logikai következmény, tautológia, inkonzisztens, logikai ekvivalencia, normálformák 2 Kalkulusok Kalkulus Levezethetõség Dedukciós rendszer, helyesség(correctness/soundness), teljesség(completeness), adekvátság(adequate) ( G, G) 3 Rezolúció Lépések 1. G bizonyítása helyett G inkonzisztenciájának bizonyítása 2. CNF, klózhalmaz Példa A, A B B A, A B, B formulahalmaz kielégíthetetlen. Klózhalmaz: {{A},{ A,B},{ B}} I. II. III. 3 üres klóz levezetése a rezolúciós lev. szabállyal A kalkulus egyetlen (!) levezetési szabálya: Legyen L ill. L L egy komplementer literálpár, és L L 1 L 2 L n, L L 1 L m literálok diszjunkciója. Ekkor a két formula rezolvense a L 1 L 2 L L 1 L m formula, vagy másképp fogalmazva, az új formula a két formulából a rez. lev. szabály alkalmazásával keletkezett. Röv. Α : L 1 L 2 L Β : L 1 L m

2 08EMVI3b.nb 2 Megj. Α Β a L Α és L Β formulák log. következménye! (azaz a szabály és így a kalkulus helyes) Meglepõbb, hogy teljes is: valahányszor egy formulahalmaz inkonzisztens, mindannyiszor levezethetõ az üres klóz! Biz A példában szereplõ klózokból levezthetõ az üres klóz I. II. rezolváltja B (*) * és III. rezolváltja 1. feladat 1 Probléma. A, C, B A C B premisszák + negált célformula: A, C, ((B A) C), B A levezetés menete: inkonzisztencia bizonyítása, üres klóz levezetése. klózhalmaz {{A},{ C},{ A, B,C},{B}} Rez [2 3] { A, B} Rez [1,*] { B} Rez [4,**] {} TS_In[3]:= Assumption "1", A Assumption "2", C TS_In[5]:= Assumption "3", B A C TS_In[6]:= Proposition "Goal", B TS_In[7]:= Prove Proposition "Goal", using Assumption "1", Assumption "2", Assumption "3", by ResolutionProver TS_Out[7]= Megjegyzés. A ResolutionProver által konstruált levezetést lásd a mellékelt Proof31 es file ban.

3 08EMVI3b.nb 3 2. feladat 2. Probléma. A B C, D A, B D C Feladat: Adjuk meg a levezetési feladatot a Theorema rendszernek és elemezzük a levezetést! TS_In[8]:= Assumption "21", A B C TS_In[9]:= Assumption "22", D A TS_In[10]:= Assumption "23", B TS_In[11]:= Proposition "Goal2", D C TS_In[12]:= Prove Proposition "Goal2", using Assumption "21", Assumption "22", Assumption "23", by ResolutionProver TS_Out[12]= Megjegyzés. A ResolutionProver által konstruált levezetést lásd a mellékelt Proof32 es file ban. 3. feladat 3. Probléma. Formalizáljunk majd mutassuk meg a következtetés helyességét a rezolúciós kalkulussal (PR138)! P1: Ha nincs pénzem, Agáta látni sem bír és elmegy P2: Ha Agáta csomagol és elmegy elviszi a magnót is. P3: Nincs pénzem és Agáta csomagol C: Agáta elviszi a magnót. + Feladat: Adjuk meg a levezetési feladatot a Theorema rendszernek és elemezzük a levezetést! TS_In[17]:= Assumption "31", N A1 A2 TS_In[18]:= Assumption "32", A2 A3 A4 TS_In[19]:= Assumption "33", N A3 TS_In[20]:= Proposition "Goal3", A4

4 08EMVI3b.nb 4 TS_In[21]:= Prove Proposition "Goal3", using Assumption "31", Assumption "32", Assumption "33", by ResolutionProver TS_Out[21]= Megjegyzés. A ResolutionProver által konstruált levezetést lásd a mellékelt Proof33 as file ban. 4 Példa Smullyan LT 1 Theorema H1: Egyes szobában hölgy van H2: Kettes szobában hölgy van T1: Egyes szobában tigris van T2: Kettes szobában tigris van A1: Elsõ szobában hölgy van, a másodikban pedig tigris. A2: Egyik szobában hölgy van, a másikban pedig tigris. TS_In[13]:= Assumption "A1", H1 T2 TS_In[14]:= Assumption "A2", H1 T2 H2 T1 TS_In[15]:= Proposition "Conclusion", False TS_In[16]:= using Assumption "A1", Assumption "A2", by ResolutionProver TS_Out[16]= Megjegyzés. A ResolutionProver által konstruált levezetést lásd a mellékelt Proof34 es file ban. Assumption "B1", H1 T2 Assumption "B2", H1 T2 H2 T1 Proposition "Conclusion", H2 using Assumption "B1", Assumption "B2", by PropositionalProver using Assumption "B1", Assumption "B2", by ResolutionProver

5 08EMVI3b.nb 5 5 2szobás, a második és a harmadik rab Feladat. Oldjuk meg a feladványt és elemezzük a levezetéseket. Megoldási javaslat 6 Normálformák Ismét programcsomagbetöltés! Theorema Language General NormalForms Memo: CNF stands for Conjunctive Normal Form? CNF CNF formula brings the given formula into Conjunctive Normal Form. If GoInsideQuantifiers True, also quantified subformulas are brought to CNF. CNF A A B B A B B A CNF A A CNF A B A B CNF A B C A B A C Projektfeladat: hogyan lehetne egy nulladrendű formulát CNF be konvertálni?