Magas rend aszimmetriák a Buda-Lund modellben. Lökös Sándor. Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK. Fizikus MSc. ELTE, Atomzikai Tanszék. Budapest, 2014.

Átírás

1 Magas rend aszimmetriák a Buda-Lund modellben Lökös Sándor Fizikus MSc. Témavezet : Csanád Máté ELTE, Atomzikai Tanszék ELTE TTK Budapest, 2014.

2 TARTALOMJEGYZÉK 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Nehézion-zika eredményei 5 3. Hidrodinamika Klasszikus hidrodinamika Relativisztikus hidrodinamika Néhány megoldás LandauKhalatnikov-megoldás HwaBjorken-megoldás Csörg CsernaiHamaKodama-megoldás CsanádNagyLökös-megoldás Egy nem-relativisztikus megoldás A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése A modell leírása Mérhet mennyiségek Illesztés adatokra Az eredmények értelmezése A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal A magasabb rend aszimmetriák koecienseinek bevezetése Mérhet mennyiségek Nyeregponti közelítés Az invariáns spektrum és magasabb rend aszimmetriák Az elliptikus folyás és magasabb rend aszimmetriák A paraméterfüggés vizsgálata Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása Összefoglaló Köszönetnyilvánítás Függelék A hidrodinamika alapegyenleteinek térelméleti levezetése További aszimmetria koeciensek bevezetése A Bessel-függvények

3 1 BEVEZETÉS 2 Kivonat Jelen dolgozatban röviden bemutatom a nehézion-zika egy hatékony fenomenologikus módszerét, a hidrodinamikai modellek alkalmazását az ütközések nyomán kialakuló, táguló és h l anyag leírására. Egy történeti áttekintés után a hidrodinamika alapegyenleteit mutatom be, melyekre néhány megoldást is tárgyalok az azt követ fejezetben, végig szem el tt tartva az alkalmazást. Ezután a Buda-Lund modellt mutatom be és használom fel arra, hogy a mérésekb l nyerhet néhány paraméter értékének ütközési energia-függését megállapítsam. Ezt követ en általánosítom a modellt magasabb aszimmetria koeciensekre, melyek az eredetileg feltételezett ellipszoidális szimmetriát elrontják (ld. 10., 11., 12. ábrák). Az általánosított modell gyelembe vesz eggyel magasabb aszimmetriát leíró tagot, melynek bevezetése természetes, s így utat enged további koeciensek bevezetésének is. 1. Bevezetés Azért örvendeznek a képek néz i, mert szemlélet közben megtörténik a felismerés, és megállapítják, hogy mi micsoda, hogy ez a valami éppen ez, és nem más! Arisztotelész, Poétika IV. Arisztotelész szavait tágabb értelemben véve a tudós ember is egyfajta m élvez. Örvend, amikor a képben felfedez valamit, felismeri, megérti, a maga nyelvére matematikára, mondhatnánk lefordítja és további felismeréseket tesz. Örvend, hogy a kép egyre nagyobb részét látja s érti, összekapcsol több olyan képet, melyr l eddig azt hitte, más m vész munkája. Persze néha zsákutcába jut, a képr l letéved. Mégis, ha m élvez ként tekintünk a tudósra, s ezen belül a zikusra, kétségtelen, hogy ugyanaz az örvend érzése, mint a m ért nek, aki a festményen egy eddig nem ismert részletet fedez fel, vagy a m kedvel laikusnak, aki el ször lát egy képet. A Természet a m elemz tudós képe, melyet évszázadok óta néz. Azonban a m ért vel szemben, kinek vizsgált tárgyai vele egy méret ek. A tudósnak, s vele együtt a zikusnak nehezebb dolga van. A megismerést szeretné kiterjeszteni a kép olyan részeire is, melyek parányiak, vagy olyanokra, melyek nagyon messze vannak t le. Szeretné megismerni ezeket, így eszközöket épít, melyek kiszélesítik érzékelésének lehetséges korlátait. Olyan szerkezeteket gyárt, melyek a térben és id ben is nagyon távoli dolgokat teszik tapasztalhatóvá, vagy olyanokat, melyek az egészen apró részekr l adnak számot. Felbontja a kép részeit alkotó elemeire. Megkérdezi, hogy azok ténylegesen a legkisebb alkotóelemek, vagy esetleg léteznek-e kisebbek. Sok olyan része is van a képnek, melyek a múlt nagy eseményeinek nyomát rzik. Ezek a kép keletkezésének körülményir l tudnak számot adni. A zikus újra lejátssza ezeket az eseményeket és megnézi, hogy ugyanolyan nyomokat talál-e utána, mint amiket a képben már korábban is talált. Kísérletezik a kép alkotórészeivel. Szeretné megérteni miért pont olyan kép amilyen és nem másmilyen,... hogy ez a valami éppen ez, és nem más!.

4 1 BEVEZETÉS 3 1. ábra. Balra Az ellipszoidális szimmetria szemléltetése nehézion ütközések nyomán kialakuló forró plazmára [1]. Jobbra A Glauber-modellen alapuló Monte-Carlo szimuláción látszik, hogy az ellipszoidális szimmetriát szükséges lehet egy általánosabb alakkal helyettesítenünk a megoldások illetve modellek keresése során [2]. Ilyen felbontásra és id visszaforgatásra szolgálnak a nehézion ütköztet k is, ahol nehéz a- tommagok ütközéseit vizsgálva, így nagyon közel juthatunk az Žsrobbanáshoz. Olyan tulajdonságokat gyelhetünk meg közvetve, melyekkel akkor rendelkezett a Világegyetem, mikor még csak pár mikroszekundum ideje létezett. Az ütközések után nagyon rövid ideig egy olyan forró és s r anyag jön létre, melyet megolvadt nukleonok alkotnak, vagyis kvarkok és gluonok plazmája (az angol elnevezésb l rövidítve QGP). Mint azt kés bb látni fogjuk, ez a plazma kísérletileg kimutathatóan a világ legtökéletesebb folyadéka, melynek viszkozitása az elméleti minimum határához nagyon közeli. Ez a plazma tágul és h l, a kvarkok újra összeállnak részecskékké, s így jönnek létre újra hadronok, melyeket detektálva kaphatunk információt a plazma, tulajdonképpen a Világegyetem egy igen korai szakaszának tulajdonságairól. A képnek eme részét vizsgálva is saját nyelvünkre kell fordítanunk a látottakat. A nehézion ütközések leírására számos megközelítés létezik. Egyik ilyen a hidrodinamikai leírás, melynek ötlete éppen a közel nulla viszkozitásból származik. Ezekben a leírásokban a keletkezett plazmát, mint egy táguló, tökéletes folyadékot írjuk le. A kifagyáskor megy végbe a hadrongenezis, azaz a kvarkok és gluonok ekkor állnak újra össze különböz részecskékké. Ennek a fázisátmenetnek a leírása a zika egy igen érdekes és aktívan kutatott területe, melyr l több szót nem ejtünk. A kifagyott hadronokat detektálhatjuk, azok különböz tulajdonságaiból következtethetünk a forrásukra. A hidrodinamikai modellek és megoldások helyesen adják vissza az elméleti várakozásokat. A dolgozatban kés bb tárgyalásra kerül leírások közül nem egy tekinti az egyszer gömböt egy magasabb aszimmetriájú ellipszoidnak esetleg még kevésbé szimmetrikusnak. Ezen leírásoknak fontosságát indokolja, hogy az ütközés nyomán keletkezett plazma a legkisebb valószín séggel, csupán centrális ütközéseknél lehet gömbszimmetrikus. A kevésbé naiv kép látható a 1. bal ábra oldalán, ahol a keletkez anyag ellipszoidális szimmetriát mutat. Ebben az esetben azonban a maganyagot folytonos eloszlású homogén közegnek feltételezzük,

5 1 BEVEZETÉS 4 ami persze nem igaz a valódi magokra. Erre láthatunk egy Monte-Carlo szimulációt a 1. ábrán. Ez motiválja az egyre általánosabb geometriát feltételez hidrodinamikai megoldások és modellek keresését. Jelen dolgozat egyik célja egy sikeresen alkalmazott, de ellipszoidális szimmetriát feltételez hidrodinamikai modell továbbfejlesztése. A Buda-Lund modell [3] sikeresen írta le a PHENIX és a CERN SPS kísérletekben végrehajtott nehézion ütközéseket. Ebben modellben (is) egy skálaparaméter határozza meg annak a felületnek az alakját, melyen a termodinamikai menynyiségek, például a h mérséklet, a nyomás, ugyanolyan értéket vesz fel. Ez szoros kapcsolatban van a forrás geometriájával. Az 5. fejezetben részletezett modellben megjelen skálaparamétert írtam át más alakra a 6. fejezetben, amely alakot természetes módon lehetett általánosítani. A sebességtér szimmetriájának általánosítását is meg lehetett tenni.

6 2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 5 2. Nehézion-zika eredményei A modern tudomány abban különbözik a régit l, hogy nem az abszolút változatlan dolgokra, azok mozdulatlan lényegére irányul, hanem a változásokra, amelyek lefolyásukban valamilyen határozottságot mutatnak. Mezei Árpád, A szürrealizmus A Relativisztikus Nehézion-ütköztet nek (RHIC) több olyan nevezetes felfedezése volt, mely a QGP kutatása során mérföldk nek számít. Az els ilyen mérföldk az ún. jet quenching (2.ábra), vagy jet elnyomás meggyelése volt [46]. Az elnyomás azt jelentette, hogy nehézion-ütközések (pl. arany-arany) során keletkez nagy impulzusú részecske-nyalábokból (jetekb l ) kevesebbet észleltek, mint amennyire számítani lehetett. A részecskék valami az impulzusuk nagy részét a leadták. A meggyelések azt mutatták, hogy a jelenség centrális ütközéseknél nagyobb mértékben jelentkezik. Periferikus ütközéseknél, melyek során az atommagok kis része vesz részt az ütközésben, nem gyelték meg (ld. 2. ábra). A részletes vizsgálat során bevezették az ún. nukleáris modikációs faktort, ahogy az (1) egyenlet szemlélteti, mely azt mérte, hogy nehézion-ütközésekb l keletkez részecskék száma hogyan aránylik a proton-proton ütközésekb l keletkez részecskék számával. R AA = 1 N Bin.ütk. N A+A N p+p (1) ahol N Bin.ütk. az elméletileg jósolt ütközések száma az atommagok alkotórészei között (bináris ütközések), N p+p a proton-proton ütközésben keletkez részecskék száma, N A+A pedig az ion-ion ütközésben keletkez részecskék száma. Amikor ezt a faktort megmérték centrális arany-arany ütközések esetén, azt tapasztalták, hogy a nagy impulzusú részecskék száma csak 20-40%-a annak, mint amire a proton-proton ütközések alapján számítani lehetett. Ennek magyarázatára több feltételezés is született, melyek közül az egyik az anyag egy új állapotát jósolta, mely állapotban a kvarkok és a gluonok plazmát hoznak létre. Ez lefékezi az er s kölcsönhatásban részt vev részecskéket, így a nagy impulzusú részecskék száma jelent sen lecsökken. A feltevések próbájaként elvégeztek olyan kísérleteket [7], melyekben egy deuteront és egy arany atommagot ütköztettek (2. ábra). A jelenség ebben az esetben nem ismétl dött meg. Ennek magyarázata az, hogy az új anyag ezekben a kísérletekben bár szintén létrejöhetett, de olyan kis térfogatban, mely nem tudta lefékezni a részecskéket. Ezekb l a mérési eredményekb l arra lehetett következtetni, hogy az anyagnak valóban egy új formáját találták meg. Ezt az ezt követ mérések is alátámasztották. További meggyelések skálaviselkedést mutattak [8] (azaz, bizonyos mérhet mennyiségek a paraméterekt l nem egyesével, hanem azok egy bizonyos kombinációjától függnek). Ilyen

7 2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 6 2. ábra. A jet quenching jelenségének vizsgálata: a deuteron ellenpróba, a centrális és a periferikus ion-ion ütközések. A kép adatainak forrása: [5, 7] viselkedést például a hidrodinamikában lehet meggyelni. Ezek az eredmények ösztönözték azon méréseket, melyekben a QGP viszkozitását mérték. Ezek alapján kiderült [9], hogy QGP egy rendkívül kis viszkozitású, szinte tökéletes folyadék. A mérések szerint a QGP viszkozitásának értéke az elméleti minimumhoz 1 közeli: η/s (1, 1 1, 5) /4π, ahol /4π a feltételezett elméleti minimum, η/s pedig a kinematikai viszkozitás. A foton, mivel nem vesz részt az er s kölcsönhatásban, úgymond az egész reakciót végignézi, azaz fotonok a kifagyás el tt és után is, folyamatosan keletkeznek. A fotonspektrumból sikerült megállapítani [10], hogy az elméleti számításoknak megfelel en magas kezdeti h mérséklettel rendelkezik ez az anyag (hozzávet leg MeV). A rács-qcd számítások szerint körülbelül 170 MeV az a h mérséklet, mely felett megjelenhetnek kvark szabadsági fokok [11]. A mért fotonspektrumból számolt magas kezdeti h mérséklet tehát meger síti azt, hogy egy kvarkokból és gluonokból álló anyag jön létre. Ma már nem csak a RHIC-ben végeznek nehézion-zikai kísérleteket, hanem az CERN LHCban is, ahol Pb+Pb ütközéseket mérnek nagyobb energiákon. Az eredmények azt mutatják, hogy az ALICE detektor által meggyelt ütközésekben is létrejön a QGP és viselkedését hidrodinamikai modellekkel szintén jól le lehet írni. 1 Az AdS/CFT dualitásból adódó sejtés a kinematikai viszkozitás alsó határára

8 3 HIDRODINAMIKA 7 3. Hidrodinamika... a szép és a szellemi hogyan keveredik, és tulajdonképpen kezdett l fogva ugyanaz, vagyis más szavakkal: tudomány és m vészet... Thomas Mann, A varázshegy A hidrodinamikai leírás teljes megértéséhez természetesen ismernünk kell az alapegyenleteket. Ebben a fejezetben röviden leírom, hogyan kaphatjuk a klasszikus és relativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit tökéletes és viszkózus folyadékokra, mely egyenleteket a vázolt módon kívül még számtalanképpen lehet származtatni. Akár egyszer megfontolásokkal, akár a hidrodinamikára, mint térelméletre tekintve, egy Lagrange-s r ségfüggvényt felírva és az Euler-Lagrange egyenlet segítségével kiszámolva a mozgásegyenletet (ld fejezetet). A tökéletes folyadékok egyenleteire, mind a klasszikus, mind a relativisztikus esetben a következ fejezetben mutatok be megoldásokat Klasszikus hidrodinamika Az klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek egy származtatási módja a Boltzmann-egyenletb l történ levezetés. Ebben az esetben deniálunk egy eloszlásfüggvényt, f(x, v, t)-t, melynek jelentése, hogy f(x, v, t)d 3 xd 3 v valószín séggel találjuk az adott részecskét t id pillanatban egy d 3 xd 3 v fázistérfogatban. A normálás ekkor f(x, v, t)d 3 xd 3 v = N, ahol N a rendszerben található részecskék száma. A teljes id szerinti deriváltat f t + 3 i=1 ( ) f f ẋ i + v i = x i v i ( ) df dt coll (2) alakban számolhatjuk. Ez a Boltzmann-egyenlet. Könnyen megadható a tömegs r ség is ρ(x, t) = mf(x, v, t)d 3 v. Ezekkel már származtatható a kontinuitási egyenlet. El ször szorozzuk a Boltzmann-egyenlet mindkét oldalát m-mel és integráljunk d 3 v szerint (ez az eloszlásfüggvény 0. momentuma): t mfd 3 v + 3 i=1 x i mfx i d 3 v + m 3 i=1 ( ) df ( v i f)d 3 v = m d 3 v v i dt coll

9 3 HIDRODINAMIKA 8 Az els tagban felismerhetjük a tömegs r ség id deriváltját. A második tag ennél bonyolultabb: 3 (ρ v i ) (ρu), x i i=1 ahol u jelentése az átlagos sebesség az (x,t) pontban. A harmadik kifejezés egy teljes divergencia térfogati integrálja, így a GaussOsztrogradszkij-tétel értelmében zérus lesz. Az egyenlet jobb oldalán az ütközési tag is elt nik, mert igaz a tömegmegmaradás és az ütközés nem kelt vagy tüntet el részecskéket, csupán a sebességüket változtatja meg. Így kapjuk a szokásos alakban a kontinuitási egyenletet: ρ t + (ρu) = 0. Az Euler-egyenletet, vagy a Boltzmann-egyenletb l számolt alakra megszokottabb elnevezéssel, az impulzusegyenletet is származtathatjuk. Ehhez a (2) egyenletet megszorozzuk mv i -vel és integráljuk (vagyis képezzük az 1. momentumot): 3 mv j fd 3 3 ( ) v + mfv j v i d 3 f df v + m v i v j d 3 v = mv j d 3 v. t x i v i dt coll i=1 Az els kifejezés nem más mint a t (ρu j) id derivált. A második kifejezés 3 i=1 x i (ρ v j v i ) = ahol a w i az átlag sebességt l való eltérés: w i = v i u i. A harmadik kifejezést átjelölve a összefüggés alapján azt kapjuk, hogy 3 i=1 mg i [ v i (v j f) δ ij f 3 i=1 i=1 x i (ρu i u j + ρ(w i w j )), f (v j f) = v j + δ ij f v i v i ] d 3 v = 3 v i δ ij i=1 mfd 3 v = ρ v j. Mivel az ütközés során az impulzus megmarad, a jobb oldal nulla lesz. Így jutunk a 3 t (ρu j) + (ρu i u j + ρ(w i w j )) = ρ v j x i i=1 kifejezésre. Belátható, hogy a w i w j kifejezésben a diagonális elemek lényegesen nagyobbak, mint az o-diagonális elemek, így adódik, hogy a ρ w i w j felbontható egy nyomásból és egy viszkozitásból származó tagra: P = 1 3 ρ w 2 Π ij = P δ ij ρ w i w j

10 3 HIDRODINAMIKA 9 így jutunk a alakra. Ebb l kapható a t (ρu j) + 3 i=1 x i (ρu i u j + P δ ij Π ij ) = ρ v j t u j + 3 i=1 u i u j = v j 1 x i ρ 3 i=1 x i (P δ ij Π ij ) egyenlet, melyet vektoros formában felírva t u + (u )u = f 1 ρ P + 1 ρ Π. Elhagyva a viszkózus tagot, a tökéletes folyadékok hidrodinamikájának mozgásegyenletét, az Euler-egyenletet kapjuk. (A viszkózus tagot is megtartva és észrevéve, hogy a Π gradv és így Π v és az arányossági tényez η, megkapjuk a viszkózus folyadékok mozgásegyenletét, a NavierStokes-egyenletet.) Az energiaegyenletet is ugyanilyen megfontolásokkal tudjuk levezetni, csupán annyi a különbség, hogy a Boltzmann-egyenletet nem az impulzussal, hanem a kinetikus energiával szorozzuk, vagyis az eloszlásfüggvény v szerinti második momentumát képezzük. Így a következ t kapjuk: ahol t ɛ + u ɛ = P ρ u 1 ρ F + 1 ρ Ψ ɛ = 1 2 w 2 F = 1 2 w w 2 Ψ = i,j π i,j u j x i rendre a bels energia, a h uxus, a viszkozitás miatt fellép disszipáció. A fent levezetett három egyenlet, a kontinuitási egyenlet, az Euler, vagy impulzusegyenlet, illetve az energiaegyenlet tekinthet k a klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek.

11 3 HIDRODINAMIKA Relativisztikus hidrodinamika A relativisztikus esetben is alkalmazhatjuk a fenti eljárást, de a klasszikus Boltzmannegyenlet helyett természetesen a relativisztikus megfelel jét kell használnunk, melynek alakja: p µ µ f p (x) = C[f] p (x), ahol f p (x) az egy-részecske eloszlásfüggvény, a p µ az on-shell részecske négyesimpulzusa. A jobb oldalon C[f] p (x) jelöli az ütközési integrált: ahol C[f] p (x) = 1 2 d 3 p 1 p 0 1 d 3 p d 3 p 1 [f f p 0 p 1W (p, p 1 p, p 1 ) ff 1 W (p, p 1 p, p 1)] 0 1 f f(x, p ), f 1 f(x, p 1), f f(x, p), f 1 f(x, p 1 ) A részecskeszám megmaradás levezethet a részecskeszám deníciójából. Ennek deriváltja d µ n µ 3 p k = p µ k µf k = p k 0 d n µ 3 p k = p µ k f k. p k 0 N d 3 p k C kl (x, p k ) = 0, k,l=1 mert az ütközési integrál elt nik, ha a részecskeszám megmarad, csakúgy, mint a klasszikus esetben is. A töltésmegmaradást ha van értelme töltésr l beszélni a rendszerben ugyanilyen megfontolásokkal vezethetjük le: P k 0 d Q µ 3 k = p k q p 0 k p µ k f k k d µ Q µ 3 k = p k q p 0 k p µ k µf k k Az energia-impulzus megmaradást az energia-impulzus tenzor divergenciamentessége jelenti, mely az eloszlás függvény második momentumából származik. A tenzor deníciója: d T µν 3 p k = p µ k pν kf k. p 0 k

12 3 HIDRODINAMIKA 11 A fentiekhez hasonló módon adódik a divergenciamentesség. Így, ha nincs töltés a rendszerben a relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei µ n µ (x) = 0 µ T µν = 0. Az els egyenlet a kontinuitási egyenlet relativisztikus megfelel je, így a n µ egy részecske áram jelentés négyesvektor, míg a T µν az energia-impulzus tenzor, melynek alakja nyugvó tökéletes folyadékra T µν = (ɛ + p)u µ u ν pg µν Ha behelyettesítjük ezt az alakot a (3) egyenletbe és felbontjuk a zárójeleket, a következ kre jutunk: ν ((ɛ + p)u ν u µ g µν ) = u ν u µ ν ɛ + ɛu µ ν u ν + ɛu ν ν u µ + (3) + u ν u µ ν p + u ν p ν u µ + u µ p ν u ν ν g µν p = = [(ɛ + p)u ν ν u µ + (u ν u µ g µν ) ν p] + + [u µ ((ɛ + p) ν u ν + u ν ν ɛ)] = 0 Ha vesszük az egyenlet u µ -vel vett projekcióját, akkor az els zárójeles kifejezés egyenl lesz nullával és megkapjuk a relativisztikus energiamegmaradást biztosító egyenletet : (ɛ + p) ν u ν + u ν ν ɛ = 0. Ha u ν -vel szorozzuk és kivonva az eredeti egyenletb l, az Euler-egyenletet kapjuk: (ɛ + p)u ν ν u µ = (g µν u µ u ν ) ν p. Klasszikus és relativisztikus esetben is kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlenünk. Kapcsolatot kell még teremteni az energias r ség, és a nyomás között az állapotegyenlettel: ɛ = κp(t ). Itt expliciten jelöltem, hogy a nyomás függhet a h mérséklett l. Erre vonatkozó rács-qcd számolások [11], illetve implicit hidrodinamikai megoldás is létezik [12], melyet alább bemutatok.

13 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS Néhány megoldás Az egyetlen igazi tanulás: a lényünkben szunnyadó tudásnak tevékennyé ébresztése. Weöres Sándor: A teljesség felé Ebben a fejezetben a relativisztikus hidrodinamika olyan megoldásait mutatom be, melyek az alkalmazás szempontjából fontosak. A relativisztikus hidrodinamika egyenletei bonyolult nemlineáris egyenletek, megoldásuk igen nehéz. A bemutatott megoldások ezért is játszanak nagy szerepet a nehézion-zika fenomenologikus megértésében, mert az egyenletek nehezen megoldhatóságából következ en nagyon kevés megoldást, és még kevesebb a reális körülmények között alkalmazható, explicit megoldást ismerünk LandauKhalatnikov-megoldás Landau javasolta els ként a relativisztikus hidrodinamika alkalmazását nagyenergiás folyamatok, els sorban a légkörben lejátszódó proton-proton ütközések leírására. Ž vezette le a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit és az el bbi alkalmazásra egy megoldást is talált [13]. A proton-proton ütközések jellegéb l fakadóan nem volt szükséges 3+1 dimenziós megoldást felírni, így a LandauKhalatnikov-megoldás csak 1+1 dimenziós. A megoldásban a már említett összefüggést áttranszformálták a u µ (T u ν ) x µ T µν x µ = 0 + T x ν = 0 kifejezésbe. Mivel a vizsgált tartományban a Lorentz-kontrakció miatt az ütköz részeket lapított korongnak lehet tekinteni, ezért elegend csupán két koordinátával foglalkozni (melyek a t és a z koordináták): (T u 1 ) x 4 + (T u 4) x 1 = 0. Vezessük be a relativisztikus hidrodinamika egydimenziós mozgásának potenciáljaként a φ függvényt, melyb l kapható, hogy: T u 1 = φ x 1, T u 4 = φ x 4

14 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 13 ahol φ kielégíti a dφ = T u 4 dx 4 + T u 1 dx 1 relációt. Ha bevezetjük t-t x 4 helyett, u 0 = 1/ 1 v 2 -et az u 4 helyett és az x -et az x 1 helyett, akkor a dφ = T u 0 dt + T u 1 dx kifejezést kapjuk. Deniáljuk a sebességet az u 0 és u 1 u 1 = sinh α, u 0 = cosh α választással. Elvégezve egy Legendre-transzformációt T -ben, α-ban, a következ potenciál adódik: dχ = d(φ + T u 0 t T u 1 x). Ezen egyenletb l a következ egyenlet írható fel: 2 χ α 2 χ 2 c2 0 y + 2 (c2 0 1) χ y = 0, ahol y = lnt/t 0. További egyszer sítés a 3p = ɛ és c 2 0 = 1/3 kikötés, vagyis itt a κ = 3, azaz konstans: 3 2 χ α 2 2 χ y 2 2 χ y = 0. Új változókat bevezetve és átalakításokat elvégezve adódott egy megoldás, mely, bevezetve az ln t + x = τ, lnt x = η kifejezéseket (ahol a Lorentz-kontrakciót szenvedett magok vastagsága) és gyelembe véve a StefanBoltzman-határesetet (ɛ T 4 ): [ ɛ = ɛ 0 exp 4 3 (η + τ ] ητ). alakban áll el.

15 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS HwaBjorken-megoldás Hwa [14] volt, aki ezt a megoldást megtalálta. Ez a megoldás is 1+1 dimenziós, gyorsulásmentes, de explicit. Ez könnyíti az alkalmazást a LandauKhalatnikov-megoldással (LK) megoldással szemben. Hwa deniált egy f(k) impulzuseloszlás függvényt, mely azt mondja meg, hogy a meggyelhet részecskék milyen valószín séggel találhatók k µ impulzussal még a kifagyás el tt egy adott helyen. A jelenséget b = 0 impakt paraméterrel írta le tömegközépponti rendszerben. Azt feltételezte, hogy a részecskék kezd sebessége az ütközés középpontjánál a legnagyobb és kifelé egyre csökken. Így a középponttól távolodó részecskéket olyan szeletekre osztotta, melyekben az átlagos helyzetet x µ -vel jelölte. Deniálta az F (x, k) száms r ség függvényt azon részecskékre, melyek ezzel az x µ -vel jellemezhet szeletben k és k + dk között találhatóak. Az volt a feltevés, hogy létezik ilyen F (x, k) függvény és ez megteremti a kapcsolatot a folyadék makroszkópikus tulajdonságai x µ és a részecskék mikroszkópikus tulajdonságai k µ között. Deniálta a uxust: S µ = T µν (x) = k µ F (x, k) d3 k k 0 k µ k ν F (x, k) d3 k k 0 az EIT pedig alakban áll el. A részecskék száma megmarad, s így az EIT-nak is, vagyis kapunk egy kontinuitási egyenletet kapunk: µ S µ =0 (4) µ T µν =0. Ez a meggondolás egészen hasonló a Boltzmann-egyenletnél használttal. Itt F (x, k) ugyanúgy egy eloszlásfüggvény, melynek momentumaiból számolhatók ki különböz mennyiségek. A modell megadja a részecskeszám rapiditáseloszlását a sebesség függvényében : [ dn dy = γ ( ) ] 1 v, (5) z t ahol γ = 1/ 1 v 2. Lehet, hogy a tömegelem útja a Minkowski tér-id ben nem egyenes. Deniáljuk ( x µ = (t, z) a cella közepét adja) : v = dz dt, u = z t. Az u = v egyenl ség nem feltétlenül kell hogy igaz legyen, de ebben a speciális esetben feltesszük, hogy az. Így adta meg Hwa a sebesség mez t. Jelen megoldásban az (5) képlet a következ alakot ölti: dn dy = τ 0,

16 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 15 ahol τ 0 a keletkezést l a kifagyásig eltelt sajátid. Bjorken [15] a korábban meglév Hwa-féle megoldást más alakra hozta, melyb l jó közelítés adható a kezdeti energias r ségre a mértb l. A megoldáshoz Bjorken deniálta a következ függvényeket: ɛ = ɛ(τ, η) (6) p = p(τ, η) T = T (τ, η) u µ = u µ (τ, η) ahol η a rapiditás, τ a sajátid. Ez a modell is a Hwa által bevezetett sebességmez t használja: x µ /τ = u µ. Termodinamikai megfontolásokkal, a következ összefüggést kapta Bjorken az állapotegyenletre: ɛ 3p = 1 β n 3n β ahol β = T 1. Ha az EIT nyoma nem negatív (T µ µ 0), a tágulásból következik, ɛ 3p. Vagyis: n β 0. A kezdeti energias r séget pedig az alábbiakból lehet megállapítani egységnyi rapiditás intervallumra, a nulla rapiditás körül: ɛ = m t dn (R 2 πτ 0 ) dη, ahol a dn/dη a részecskeszám, R 2 π a létrejöv anyag keresztmetszetének felülete, melyet kísérleti adatokból (pl. HBT mérésb l) meg lehet becsülni, m t pedig az átlagos transzverz energiát jelenti, ha p z = 0. A rendszer longitudinális mérete a τ 0 kezdeti sajátid vel közelíthet, így a nevez ben a dη térfogat áll. Ez esetben elegend a végállapotot ismerni, mivel a gyorsulás hiánya miatt a rapiditás Lorentz-invariáns.

17 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS Csörg CsernaiHamaKodama-megoldás Ez a megoldás [16] ellipszoidális szimmetriát feltételez a táguló anyag geometriájára, vagyis 3+1 dimenziós. A korábbi relativisztikus esetekben ezek a felületek vagy szférikus szimmetriával rendelkeztek, vagy mivel 1+1 dimenziósak voltak, semmilyennel. Jelen megoldás az s skálaváltozó s = x2 X(t) + y2 2 Y (t) + z2 2 Z(t) 2 megválasztásával egy táguló ellipszoidot ír le, ahol X(t) 2, Y (t) 2, Z(t) 2 csak az id t l függ skálaparaméterek, x, y, z pedig a koordináták. Mivel táguló megoldást vizsgálunk, szükséges egy, a tágulást jellemz sebességmez választása is. Az asztrozikából kölcsönözhetünk egy ilyet, nevezetesen a Hubble-sebességmez t, mely gömbszimmetrikus. Ez egy egyszer, de hatékony felírása a robbanás-jelleg folyamatoknak. A sebesség arányos a távolsággal, Hubble felírásában v = H r, ahol H a Hubble-konstans. A vizsgált megoldásban kicsit másképp írjuk fel, de a jelentése ugyanaz lesz az általunk használt formulának is: ( ) u µ Ẋ = γ 1, X x, Ẏ Y y, Ż Z z, ahol γ = 1/ 1 v 2, X = Ẋ t, Y = Ẏ t, Z = Ż t és uµ = x µ /τ, x µ a térid négyesvektor, τ pedig a sajátid. A termodinamikai mennyiségek n = n 0 ( τ τ 0 ) 3 ν(s), (7) T = T 0 ( τ τ 0 ) 3 κ 1 ν(s), ( ) 3+ 3 τ κ p = p 0 τ 0 alakúak, ahol n a száms r ség, T a h mérséklet, p a nyomás és p 0 = n 0 T 0. A fenti sebességmez és termodinamikai mennyiségek Ẋ, Ẏ, Ż = áll. feltétel mellett megoldják a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit. Ha a ν(s) skálafüggvény egy ellipszoidot ír le: ν(s) = e bs/2. (8)

18 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS CsanádNagyLökös-megoldás Ennek a megoldásnak [12] el nye, hogy gyelembe veszi az állapotegyenletben a h mérsékletfüggést, hátránya, hogy implicit megoldás, szükség van egy explicit κ(t ) függvényre hozzá. Az állapotegyenlet alakú, a sebességmez Hubble-jelleg ɛ = κ(t )p (9) u µ = xµ τ (10) Az állapotegyenlet alakját az energiaegyenletbe helyettesítve egy h mérsékletre vonatkozó implicit egyenletet kapunk: ) dκ(t )T dt µ T T = µ ln V ahol a V a rendszer térfogatát jellemzi a részecskeszámon keresztül: n = n 0 0. Ennek az V egyenletnek megoldása egy [ V T ] 0 V = exp dκ(t )T µ T dt T 0 dt T (12) ( V0 V (11) alakú egyenlettel megadott V 0 /V. V = τ 3 választással a megoldás [ τ0 3 T ] τ = exp dκ(t )T 1 3 T 0 dt T dt (13) alakú. Itt megmaradó részecskeszámot tettünk fel, de ez nem feltétlenül igaz. Erre az esetre a GibbsDuhem-relációból származtatott állapotegyenletb l lehet számolni és [ T ) ] dt τ 3 0 τ 3 = exp T 0 ( κ(t ) T κ(t ) dκ(t ) dt alakú függvény elégíti ki, szintén Hubble-típusú sebességmez vel. (14) Feltehet, hogy az állapotegyenlet a nyomástól függ. Ekkor [ τ p ( 0 τ = exp p 0 κ(p ) (κ(p ) + 1)p κ(p ) ) ] dκ(p ) dp dp (15) alakú a megoldás. Mindezen megoldások expliciten kiszámolhatóak, ha adott κ(t ) vagy κ(p) függvény. A h mérsékletfügg kompresszibilitásra egy parametrizációt tartalmaz a [11] cikk, mely alapján [12] cikkben h mérséklet sajátid függést lehetett számolni.

19 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS Egy nem-relativisztikus megoldás Ez a megoldás [17] nem-relativisztikus, de ellipszoidális szimmetriát tesz fel hasonlóan a 4.3. fejezetben tárgyalt megoldáshoz relativisztikus megoldáshoz, egy skálafüggvény bevezetésével. Ha a nem-relativisztikus hidrodinamika egyenleteit a t n + (nv) = 0 (16) t v + (v )v = p mn (17) t ɛ + (ɛv) = p v (18) alakban írjuk fel, ahol n egy száms r ség, v a folyadékelem sebessége, m a tömege, ɛ pedig az energias r ség, akkor az V 0 n(r, t) = n 0 V e s/2 (19) ) (Ẋ v(r, t) = X r x, Ẏ Y r Ż y, Z r z (20) ( ) 1/κ V0 T (r, t) = T 0 (21) V függvények megoldása a fenti egyenleteknek, ha gyelembe vesszük az állapotegyenlet ɛ = κnt alakját és az ellipszoidális szimmetriát biztosító skálafüggvény s = Ezek a függvények csupán akkor megoldások, ha teljesül a r2 x 2X 2 + r2 y 2Y 2 + r2 z 2Z 2. (22) ẌX = Ÿ Y = ZZ = T m (23) egyenlet. Ez egy másodrend nemlineáris dierenciálegyenlet rendszer, melynek létezik egyértelm megoldása, ha adott X 0, Y 0, Z 0 és Ẋ0, Ẏ0, Ż0 kezdeti paraméterek értéke. Ezen egyenletek az ellipszoid tengelyeinek id fejl dését írják le.

20 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése A képzelet sokkal fontosabb, mint a tudás. A tudás véges. A képzelet felöleli az egész világot. Albert Einstein 5.1. A modell leírása A Buda-Lund modell egy ellipszoidálisan táguló hidrodinamikai közeget ír le, de nem egy hidrodinamikai megoldás, hanem egy végállapoti parametrizáció. A kifagyás utáni részecskék eloszlását adja meg feltételezve, hogy azok egy folyadékként viselked közegb l származnak. Egy forrásfüggvényt írja ezt le, mely tulajdonképpen egy relativisztikus Boltzmann-eloszlás, azaz Jüttner-eloszlás: S(x, p)d 4 x = g p µ d 4 Σ µ (x) (2π) 3 (24) B(x, p) + s q ahol g a degenerációs faktor, p µ d 4 Σ µ (x) a Cooper-Frye faktor, ami a kifagyási hiperfelületet parametrizálja, B(x, p) az (inverz) Boltzmann-eloszlás, s q pedig a kvantumstatisztikát választja ki (s q = ±1, 0 rendre a Fermi-Dirac, Bose-Einstein és Boltzmann statisztika.) A B(x, p) egy hidrodinamikai rendszerben a következ alakban írható: [ p µ u µ B(x, p) = exp T µ ]. (25) T Ez a Boltzmann-eloszlás relativisztikus általánosítása, a Jüttner-eloszlás. A Cooper-Frye prefaktort a p µ d 4 Σ µ (x) = p µ u µ H(τ)d 4 x (26) alakban vesszük fel, ahol H(τ) = [ 1 exp (τ τ ] 0) 2 2π τ 2 2 τ 2 (27) alakú. Néhány hidrodinamikai megoldás a H(τ) = δ(τ τ 0 ), pillanatszer kifagyást használja a leírásra, mint például a 4.3. fejezetben tárgyalt. Mint már korábban láttuk, a skálaváltozó írja le azon felület geometriáját, melyen a termodinamikai mennyiségek értéke állandó. Mivel ez a modell ellipszoidális szimmetriát feltételez, ezért az s egy ellipszoid Descartes-koordinátás alakja: s = r2 x 2X 2 + r2 y 2Y 2 + r2 z 2Z 2. (28)

21 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 20 A sebességtérr l is megköveteljük, hogy tükrözze az ellipszoidális szimmetriát: ( ) u µ Ẋ = γ 1, r x X, r Ẏ y Y, r Ż z. (29) Z Minden hidrodinamikai megoldásra igaznak kell lennie, hogy u µ µ s = 0, (30) fordítva azonban nem feltétlenül igaz, tehát ha egy sebességtér és egy skálaváltozó kielégíti a fenti egyenletet, még nem biztos, hogy egy hidrodinamikai megoldásról beszélhetünk. De olyan esetben, ha a tágulás sebessége nem relativisztikus visszaadja a 4.5. fejezetben tárgyalt nemrelativisztikus megoldást. Megadható egy h mérsékletprolt is, mely egy ellipszoidot ír le a skálaváltozó segítségével: 1 T (x) = 1 ( 1 + T ) ( 0 T s s 1 + T ) 0 T e (τ τ 0 ) 2. T 0 T s T e 2 τ 2 (31) Bevezethet k a következ jelölések: a 2 = T 0 T s T s = d 2 = T 0 T e T e = T T T T r. (32) t Az a 2 a h mérséklet térbeli, a d 2 pedig az id beli gradiensét jelenti. (Például a d 2 = 0 a pillanatszer kifagyást jelentené.) 5.2. Mérhet mennyiségek A mérhet mennyiségeket a forrásfüggvény kiintegrálásával lehet megkapni. Ennek elvégzéséhez egy közelítésre, az ún. nyeregponti közelítésre van szükség, mely úgy tekint a kiintegrálandó függvényre, mintha azt egy Gauss-függvény és egy nagyon lassan változó, majdnem konstans függvény alkotná. Ebben a közelítésben a forrásfüggvény a következ alakú: ahol S(x, p)d 4 x = g p µ u µ (x s )H(τ s ) exp [ R (2π) 3 µν 2 (x x s ) µ (x x s ) ν] d 4 x (33) B(x s, p) + s q R 2 µν = µ ν ( lns 0 ) s ahol S 0 (x, p) = H(τ) B(x, p) + s q (34) Az s index az angol saddle-point, azaz nyeregpont szóból ered és azt jelöli, hogy az adott változó a nyeregpontban kell venni. Ezt a nyeregpontot a µ ( ln S 0 (x s, p)) = 0 (35)

22 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 21 egyenlet deniálja. Kiszámolva a nyeregpontot, az S 0 második deriváltjaiba helyettesítve adható meg a (34) mátrix, melynek determinánsa lesz az integrál értéke. Ezt a közelítést használom a kés bbiekben az általánosabb modell felépítése közben is, így a részletesebb számítások ott találhatóak. Invariáns impulzuseloszlás Mivel a kísérletekben a részecskék keletkezésének helyét nem tudjuk mérni, csupán azt, hogy mekkora impulzussal jöttek létre, a forrásfüggvény nem alkalmas a kísérleti adatokkal való összehasonlításra. Azonban, ha kiintegráljuk a koordináták szerint az el z fejezetben leírt módon, kapjuk az invariáns impulzuseloszlást, mely N 1 (p) = d 4 xs(x, p) = g (2π) EV C 1 [ ] 3 (36) exp pµu µ µ(x s) T (x s) + s q alakban adódik, ahol E = p µ u µ (x s ) Ha bevezetjük a b(x s, p) = log B(x s, p) jelölést, adódik, hogy b(x s, p) = 3/2 τ V = (2π) τ [detr 2 ij ] 1/2 C = τ s. (37) t s p2 x 2m t T x + p2 y 2m t T y + ahol m t a transzverz tömeg és bevezettük a p2 z 2m t T z + m t T 0 p2 t 2m t T 0 µ 0 T 0, (38) jelöléseket. T x = T 0 + m t Ẋ 2 T 0 T 0 + m t a 2 T y = T 0 + m t Ẏ 2 T 0 T 0 + m t a 2 T z = T 0 + m t Ż 2 T 0 T 0 + m t a 2 (39) Az elliptikus folyás Az elliptikus folyást szintén a forrásfüggvényb l származtatjuk úgy, hogy az sebességtérbeli áttérünk a transzverz impulzusra a p t = p 2 x + p 2 y (40) p x = p t cos α (41) p y = p t sin α (42) p z = p z 0 (43)

23 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 22 szabályokkal. Így az impulzuseloszlás a [ ] N 1 (p) exp p2 x p2 y 2m t T x 2m t T y [ ( ) ] = exp p2 t p 2 + t p2 t cos(2ϕ) 2m t T e 2m t T x 2m t T y 2 (44) alakban írható, ahol bevezettük a 1 = 1 ( ) T e 2 T x T y (45) mennyiséget. Bevezetjük továbbá a w = p2 t ( ) 1 1 4m t T y T x (46) változót, mellyel deniálhatjuk az elliptikus folyást a v 2 = I 1(w) I 0 (w) (47) alakban, ahol I n (w) = 1 2π cos(2nα)e w cos(2α) dα (48) 2π 0 az els fajú módosított Bessel-függvény (ld fejezet). Ebben a modellben a magasabb index v n -ek elt nnek. Tehát v n folyások a szögre való kiátlagolást jelentik. Kétrészecske korreláció (HBT sugarak) A modellb l a HBT sugarak is kiszámolhatóak, melyek értékes információkat szolgáltatnak a forrás geometriájáról; tulajdonképpen ez az egyetlen út, mellyel képet alkothatunk a forrásról. A módszert eredetileg kvazárok szögátmér jének mérésére fejlesztették ki, de a mikrovilág megismerésére is kit n en használható. Lényege, hogy a kétrészecske impulzuseloszlást nem gyelhetjük meg úgy, mint két külön részecske impulzuseloszlásának szorzatát, mert a hullámfüggvényt szimmetrizálni kell. Bozonikus részecskék esetén ez adja a BoseEinstein-korrelációt (fermionok esetén FermiDirac típusú korreláció gyelhet meg). A kétrészecske korrelációs együtthatót a következ képlet deniálja: C 2 (p 1, p 2 ) = N 2(p 1, p 2 ) N 1 (p 1 )N 1 (p 2 ), (49) ahol N 2 (p 1, p 2 ) a kétrészecske impulzuseloszlás függvénye, mely tartalmazza a kvantummechanikából következ interferencia-tagot. A szimmetrizáció miatt a korrelációs függvény közötti

24 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 23 kapcsolat p 1 p 2 feltétellel, bevezetve a K = (p 1 + p 2 )/2 átlagos impulzus és a q = p 1 p 2 jelöléseket, gyelembe véve, hogy q K S(q, K) C 2 (q, K) = 1 + S(0, K) 2 (50) ahol S(q, K) = S(x, K)e iqx dx 4 (51) A a Fourier-transzformációt jelöli. Mivel bármely függvény Fourier-transzformáltja a nullában nem más, mint a függvény integrálja, ezért a nevez ben is egy Fourier-transzformált áll. A Buda-Lund modell esetén (ld. például [18]) a korrelációs függvény a C(q) = 1 + exp [ ] q0 τ 2 2 qxr 2 x 2 qyr 2 y 2 qzr 2 z 2 (52) alakban írható, ahol 1 τ 2 = 1 τ 2 + m t T 0 d 2 τ 2 0 R 2 x = X m t a 2 +Ẋ2 T 0 R 2 y = Y m t a 2 +Ẏ 2 T 0 R 2 z = Z m t a 2 +Ż2 T 0 (53) Így ezekkel a HBT sugarakat ( 1 R out = + 1 ) 1 + β Rx 2 R 0 τ 2 2 y 2 ( 1 R side = + 1 ) 1 Rx 2 Ry 2 R long = R 2 z (54) ahol az out side long koordináta-rendszer olyan, hogy az out irány a részecskék átlagos transzverz impulzusának irányába, a long a z irányba mutat, a side irány pedig az el z kett re mer legesen fekszik a transzverz síkban. Megjegyzem, hogy ha pillanatszer kifagyást tételezünk fel, akkor a τ 2 0, s ebben az esetben a R out R side igaz lenne. Azokban a modellekben, ahol a kifagyást leíró függvény egy Dirac-delta, ez igaz.

25 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE Illesztés adatokra A modellb l kiszámolható mennyiségeket az el z alfejezetben bemutattam. Ebben az alfejezetben alkalmazom a modellt mért adatokra, több különböz energián végzett mérések eredményeire és a paraméterek energiafüggését határozom meg a kapott eredményekb l. Az alábbi 1. táblázat tartalmazza az illesztett paramétereket. Ahol az illesztési hibát nem tüntetem fel, ott az adatokhoz nem állt rendelkezésemre a dolgozat írásának idején kísérletileg meghatározott hiba. Azonban az így, leolvasott hibákkal adott értékek vissza tudták adni a vártakat illesztések során. Ezért, hiba nélkül ugyan, de álljanak itt ezen értékek is. Az illesztett mennyiségek képei a különböz energiákon a 3-tól 8-ig láthatók. Kísérletek SPS PHENIX PHENIX PHENIX PHENIX ALICE Energia[GeV] , T 0 [MeV] 139± ±41 160±10 175±35 X[fm] 7.1± u t 0.55± ± ± ±1.10 Y [fm] ɛ ± ± ±1.30 Ż ± ±1.1 τ 0 [fm] 5.9± táblázat. A különböz energiákon végzett ütközések eredményeire illesztett paraméterek értékei. A 17 GeV-en mért adatokra kapott paraméterek, nem saját illesztésb l származnak, hanem a [19] cikkb l, Ezen illesztések szintén a Buda-Lund modellel készültek, de gömbszimmetriát feltételezve, ezért nincs Y, ɛ és Ż paraméter. A RHIC mérések esetén a magok arany, míg a LHC mérések esetén ólom magok voltak. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba, az illesztés során egy paraméter kivételével minden más paramétert xen kellett tartani.

26 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. Az LHC-ban 2.76 TeV energián mért invariáns impulzuseloszlás [20], elliptikus folyás [21] és HBT sugarak [22] illesztésének ábrái.

27 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A RHIC-ben mért 200 GeV tömegközépponti energiával ütköz arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [23], elliptikus folyása [24] és HBT sugarai [25].

28 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A RHIC-ben mért 130 GeV tömegközépponti energiával ütköz arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [26], elliptikus folyása [27] és HBT sugarai [28]. Ennél az illesztésnél az elliptikus folyásra csak π adatok álltak rendelkezésre.

29 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A RHIC-ben mért 62 GeV tömegközépponti energiával ütköz arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [29], elliptikus folyása [30], [31] és HBT sugarai [32]. Ennél az illesztésnél a spektrum esetén csak π 0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltött hadron adatok álltak rendelkezésre. A spektrum illesztése 2 GeV-ig történt.

30 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A RHIC-ben mért 39 GeV tömegközépponti energiával ütköz arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [33] és elliptikus folyása [34]. Ennél az illesztésnél hasonlóan, mint a 62.5GeV-esnél, a spektrum esetén csak π 0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltött hadron adatok álltak rendelkezésre.

31 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A CERN SPS-ben mért 158 AGeV energiával, azaz 17 GeV tömegközépponti energiával ütköz ólom atommagok invariáns impulzuseloszlása és HBT sugarai. Az illesztett paraméterek és ábrák forrása: [19]. A fels ábra hadronadatokat tartalmaz és az NA49 kísérletnél, míg az azonosított részecskés az NA44 kísérletnél készült. v 2 vagy magasabb aszimmetriák ekkor a modellben még nem volt.

32 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE ábra. A kifagyási h mérséklet, az aszimmetria paraméter, a transzverz és longitudinális sebesség paraméterek energiafüggése. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba, az illesztés során paramétereket xen kellett tartani Az eredmények értelmezése A 9. képeken látszik, hogy a paraméterek értéke alig függ az ütközési energiától. A kifagyási h mérsékletben ugyan meggyelhet növekedés, de ez igen lassú, hisz két nagyságrenden belül a 25%-ot is alig éri el. Ez az állandóság gyelhet meg az u t paraméterértékekben is. Az ɛ és a Ż paraméterek, mivel az aszimmetriával kapcsolatosak, érzékenyen függenek a centralitástól. Sajnos az adatok minimum bias és 0-10%-os centralitásúak voltak. Ennek ellenére az látszik, hogy hibán belül ezek is hasonló értékeket vesznek fel. Ezen illesztésekb l tehát az látszik, hogy a vizsgált paraméterek nem, vagy csak nagyon kevéssé függnek az ütközési energiától. Látható volt, hogy két nagyságrenden keresztül az értékek hibán belül ugyanakkorák maradtak, valamilyen trend határozottan nem alakult ki.

33 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal Fontos, hogy mindent mérjünk, ami mérhet, és megpróbáljuk mérhet vé tenni, ami még nem az. Galileo Galilei Ebben a fejezetben a Buda-Lund modell egy olyan általánosítását írom le, mely magasabb aszimmetriák bevezetését teszi lehet vé a sebességtérben. Az ily módon általánosított modellb l az invariáns impulzuseloszlást, valamint az elliptikus folyást és annál magasabb aszimmetriát leíró mennyiséget vizsgálom A magasabb rend aszimmetriák koecienseinek bevezetése Az el z fejezetben egy ellipszoidális szimmetriával rendelkez, táguló hidrodinamikai közeget leíró modellt tárgyaltam, melyb l mérhet mennyiségeket is ki lehetett számolni, illeszteni lehetett az adatokra. Mint arra a bevezet fejezetben is utaltam, az ellipszoidális szimmetria csupán egy közelítése a valóságnak (1). Pontosabb leírását is adhatjuk a közeg geometriájának a skálafüggvény módosításával. Ahhoz, hogy a skálafüggvényt módosítsuk, áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe, melyben az általánosítás lehet sége egyszer en adódik. Az átírt skálafüggvény s = r2 x 2X + r2 y 2 2Y + r2 z 2 2Z r2 2 R (1 + ɛ 2 2 cos(2ϕ)) + r2 z Z 2 (55) ( 1 ) alak adódik, ahol bevezettem az 1 = R 2 2 X 2 Y és 2 ɛ2 = Y 2 X 2 mennyiségeket. Ebben az X 2 +Y 2 alakban az ellipszoidális szimmetria mértékét az ɛ 2 határozza meg. Látható, hogy az ɛ 2 = 0 esetben a skálafüggvény gömbszimmetriát ír le. Az általánosítás egyszer en megtehet ha újabb, magasabb index ɛ n -eket kézzel hozzáadunk a skálafüggvényhez. Természetesen ezen a módon tetsz leges számú koeciens bevezethet az eredeti skálaváltozóban (ld. a 9.2). Jelen dolgozatban azonban csak egyet vezetek be, az ɛ 3 -at, mellyel a az elliptikus folyásnál (v 2 ) egy magasabb rend aszimmetriát jellemz mérhet mennyiséget (v 3 ) vizsgálok. Tehát a fentiek értelmében a skálafüggvényhez hozzáadva egy tagot, bevezetek egy magasabb aszimmetria faktort. Az így kapott általánosabb skálafüggvény s = r2 R 2 (1 + ɛ 2 cos 2ϕ) + r3 R 3 (ɛ 3 cos 3ϕ) + r2 z Z 2 (56) alakú lesz. Ezzel a hidrodinamikai közeg geometriája így egy általánosabb alakban adott. A valóságban a folyadékviselkedés miatt a módosított geometria a sebességteret is érinti. Vannak hidrodinamikai megoldások, melyek ugyan a skálaváltozóban gyelembe veszik az ellipszoidális

34 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 33 szimmetriát, de a sebességtérben gömbszimmetriát tesznek fel. Viszont ezen általánosítás keretében a sebességtér geometriájának módosítása is lehetséges. A sebességtér származtatható egy potenciálból, mely ellipszoidális esetben alakú. A négyes sebesség így el áll Φ = Ẋ rx 2 X 2 + Ẏ Y ry Ż rz 2 Z 2 (57) u µ = (γ, x Φ, y Φ, z Φ) (58) alakban, ahol γ az u µ u µ = 1 feltételb l számolható: γ = 1 + ( x Φ) 2 + ( y Φ) 2 + ( z Φ) 2. (59) A potenciál módosításával érhet el általánosabb alak. Vezessük be a X i X i 1 H i jelölést, s így Φ = 1 rx 2 H x ry 2 H y rz 2 H z 2 (60) alak írható, melyet átírunk hengerkoordinátás alakra: Φ = r2 2H (1 + χ 2 cos 2ϕ). (61) ( ) ahol bevezettük az 1 = 1 1 H 2 H x + 1 H y és χ 2 = Hy Hx H y+h x jelöléseket. A deriválások elvégzése és az adódó trigonometrikus azonosságok kihasználása után az u µ -re a következ alakot kapjuk: ( u µ = γ, r cos ϕ H (1 + χ 2), r sin ϕ H (1 χ 2), r ) z. (62) H z Az általánosítás ugyanúgy tehet meg, mint a skálaváltozó esetén. Egy tagot hozzáadva a potenciál Φ = r2 2H (1 + χ 2 cos 2ϕ) + r3 3H (χ 2 3 cos 3ϕ) (63) alakú lesz, mely a sebességtérben a u µ = (γ, rh ((1 + χ 2) cos ϕ) + r2 H (χ 2 3 cos 2ϕ), r H (1 χ 2) sin ϕ) + r2 H (χ 2 3 sin 2ϕ), r ) z H z alakot eredményezi. Magasabb tagokat a jelen dolgozatban nem tárgyalok. Ezt a sebességteret illusztrálom a 10., 11., 12. ábrákon. Az új alak valóban a várakozásnak megfelel en módosítja az ellipszoidális szimmetriát mind jobban egy általánosabbá alakítva, ahogy a χ 3 paraméter értékét növeljük. Az ábrákon a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. (64)

35 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL χ2 = 0 és χ3 = 0 értékek mellett gömbszimmetrikus, χ3 = 0.3 értékek hatásai egyszerre láthatóak. Az ábrán 10. ábra. A bal oldali ábrán a sebességtér míg a jobb oldali ábrán a χ2 = 0.3 és a a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket ábra. A sebességtér χ2 = és χ2 = esetben. A 0.0 χ értéke zérus. Az ábrán a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket ábra. A sebességtér χ3 = és 1.0 χ3 = esetben. A szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. 0.0 χ értéke zérus. Az ábrán a sötétebb

36 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL Mérhet mennyiségek Mint azt a kés bbi fejezetekben láthatjuk, a modellb l még közelítéssel sem adható zárt alak a meggyelhet mennyiségekre az 5. fejezetben tárgyaltakkal ellentétben, így jelen dolgozatban csak a mérhet menynyiségek aszimmetria paraméterekt l való függését vizsgálom néhány tipikusnak mondható illesztett paraméterérték mellett Nyeregponti közelítés A mérhet mennyiségek meghatározásakor a forrásfüggvényt kell kiintegrálni a koordináták szerint, ahogy ezt az 5. fejezetben már bemutattam. Azonban ez az integrál csak közelítéssel végezhet el, a nyeregponti közelítéssel, mely, csakúgy, mint az eredeti modellben, a forrásfüggvényt egy Gauss-függvény és egy lassan változó függvény szorzatának tekinti. A forrásfüggvény ebben a közelítésben a (33) egyenletnek megfelel en a következ alakú: S(x, p)d 4 x = az exponensben szerepl mátrix g p µ u µ (x s )H(τ s ) exp [ R (2π) 3 µν 2 (x x s ) µ (x x s ) ν], (65) B(x s, p) + s q R 2 µν xs = µ ν ( ln S 0 ) xs ahol S 0 = H(τ) B(x, p) + s q. (66) Vagyis, ahhoz hogy a R 2 µν mátrix elemeit kiszámoljuk, az S 0 második deriváltját kell a nyeregpontban meghatároznunk, mely pontot ennek els deriváltja deniálja: µ ( ln S 0 )(x s, p) = 0. (67) A második deriváltat ebben a pontban kiszámítva adódnak az R 2 µν kiszámítva az integrál értéke: d 4 xs(x, p) = elemei, s így a determinánst g p µ u µ (x s )H(τ s ) detr (2π) 3 B(x s, p) + s 2 1 µν. (68) q Mivel a B(x, p) egy exponenciális függvény (ld. 5. fejezet), melynél az exponensben lév kifejezés egynél sokkal nagyobb, ezért az s q elhagyható. Így alakban írható, melyb l S 0 = H(τ) B(x, p) ln S 0 = ln H(τ) + ln B(x, p) (69) ν ( ln S 0 ) xs = ν ( ln H(τ) + ln B(x, p)) xs = 0 ν (ln H(τ)) xs = ν (ln B(x, p)) xs (70)

37 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 36 feltétel adódik. Mivel H(τ)-t és B(x, p)-et ugyanolyan alakban vehetem fel, mint az eredeti modellben, vagyis a fenti feltétel komponensenként a H(τ) = 1 2π τ 2 e (τ τ 0 )2 2 τ 2 (71) B(x, p) = e pµu µ µ T, (72) τ (τ τ 0 ) 2 2 τ 2 i (τ τ 0 ) 2 2 τ 2 p µ u µ µ = τ xs T (73) xs p µ u µ µ = i xs T (74) xs alakú egyenleteket jelenti, ahol i = x, y, z. A bal oldal nem függ a helyt l egyik egyenlet esetén sem. Figyelembe véve, hogy µ/t = bs, (75) 1 T = 1 (1 + a 2 s) T 0 (76) ahol az els egyenlet a s r séget, így a b paraméter a s r ség gradiensét, a 2 paraméter pedig a h mérsékletprol aszimmetriáját jellemzi. Ezen alakok felhasználásával a fenti egyenletek ( ) a 2 τ (τ τ 0 ) 2 2 τ 2 (1 + a 2 s) x p µ u µ T 0 = = 1 (1 + a 2 s) τ p µ u µ + b τ s (77) xs T 0 T 0 (b p ) µu µ a 2 x s (78) T 0 alakban írhatóak. Az els a nyeregpont sajátid -koordinátáját határozza meg, míg a második az r is térkoordinátákat. Ezen egyenleteket kell tehát megoldani a nyeregpont kiszámításához. Egy lehet ség lenne az analitikus megoldás, mely jelen esetben nem lehetséges az egyenletek bonyolultsága miatt. Tehát valamilyen közelítést kell alkalmazni ahhoz, hogy az egyenletek zárt alakot szolgáltassanak a nyeregpontra. A sajátid re vonatkozó egyenlet A (78) sajátid re vonatozó egyenletben a bal oldalon álló derivált könnyen elvégezhet. A jobb oldalon álló mennyiségek τ szerinti deriváltját átalakítjuk t szerinti deriválttá ( ) ) a 2 1 τ τ 2 = ( 1 + a 2 s T 0 t p µ u µ + T 0 b t s γ. (79)

38 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 37 A kifejezést úgy közelítem, hogy minden r i H i -ben másod-, vagy magasabb rend tagot elhanyagolhatónak veszek (amib l következik, hogy γ 1). A kijelölt deriváltakat elvégezve és alkalmazva a közelítést adódik, hogy vagyis a nyeregpont sajátidejére t p µ u µ = E t γ p x t x Φ p y t y Φ p z t z Φ E (80) [ ] r 2 t s = t R (1 + ɛ 2 2 cos 2ϕ) + r3 R cos 3ϕ + r2 z 0 3 Z 2 (81) τ s = τ 0T 0 E τ 2 T 0 (82) egyenlet adódik, ahol a számlálóban a T 0 és az E egy nagyságrendbe esnek, azonban a τ τ 0, így jó közelítéssel igaz, hogy Ez a nyeregpont sajátid -koordinátája. τ s = τ 0. (83) A térkoordinátákra vonatkozó egyenlet A térkomponensekre vonatkozó egyenletek megoldása esetén is a τ s meghatározásakor tett közelítést használom. Így ha a Descartes-rendszerben felírt ( ) ( ) 1 + a 2 r 2 x + r2 y + r2 X 2 Y 2 z E r Z 2 i p Hi 2 i γ H i T 0 b a 2 (Eγ p x r x H x p y r y H y p z r z H z ) = egyenletekben a másodrend tagokat kicsinek vettem. A kijelölt m veleteket elvégezve és átrendezve r i -re a következ alakot kapjuk: 2r i X 2 i (84) r is = p i X 2 i EX 2 i 2H2 i (T 0b a 2 E) (85) mely, bevezetve a R i = X 2 i H i EX 2 i +2H i(a 2 E b) jelölést, az r is = p ir i T 0 (86) alakban írhatók a nyeregpont térkoordinátái (i = x, yz). A második deriváltakat tehát ezen koordináták által meghatározott tér-id pontban kell venni.

39 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 38 A második deriváltak meghatározása Az el z két alfejezetben levezettem azokat a megoldandó egyenleteket, melyek meghatározzák a nyeregpont helyét a tér-id ben. Mivel az egyenleteket analitikusan nem lehetett megoldani, közelít megoldást adtam azokra a (83) és a (86) egyenletekben. Azonban a második deriváltak meghatározása szükséges ahhoz, hogy a (66) mátrix determinánsát meghatározzuk. A Young-tétel miatt a meghatározandó mátrixról tudjuk, hogy szimmetrikus, így elegend lenne csak a f átlóbeli és feletti elemeket kiszámolni. Azonban a fenti közelítést itt is alkalmazva a mátrixnak csak f átlóbeli elemei lesznek. Rµν 2 = A deriváltakat kiszámolva τ τ B(x s, p) τ τ H(τ) R 2 ττ = 2 τ ( ln H(τ) + ln B(x s, p)) = 1 = 1 ( ) ( E τ + 2 a 2 Ẋ 2 b 2 T 0 X + Ẏ 2 Y + Ż2 Z x x B(x s, p) y y B(x s, p) ( 1 + a 2 s τ 2 τ 2 p µ u µ pµ u µ + T 0 T ) 0 = 1 τ R ii = 1 + ( ) ( ) a2 s i 2 p µ u µ pµ u µ E 2 + a 2 b i 2 s = a 2 b T 0 T 0 T 0 Xi 2 ( E T 0 a 2 b (87) z z B(x s, p) ) a 2 b τ 2 = (88) ) ( 1 H 2 x + 1 H 2 y ) + 1 Hz 2 (89) a detrµν 2 kiszámítható. Itt ennek négyzetgyökének reciprokát adom meg, mivel a spektrum kiszámításakor ez jelenik meg: detr 2 µν [ ( ) ( 1 1 E 1 = τ + 2 a 2 b 2 T 0 Hx H 2 y + 1 H 2 z (90) )] 1/2 ( ) 3/2 E a 2 XY Z b (91) T 0 8 A mérhet mennyiségek meghatározásához áttérünk a transzverz impulzusra. Ennek eloszlásához ki kell integrálni a szögre, s a fenti közelítés zikai tartalma itt jelenik meg világosabban. A detrµν 2 mátrix kiszámítása során elhagytuk annak szögfüggését a mellette álló B(x, p) exponenciális függvény mellett, mivel utóbbié jelent sebb.

40 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL Az invariáns spektrum és magasabb rend aszimmetriák Ahhoz, hogy az invariáns impulzuseloszlás viselkedését vizsgáljuk a forrásfüggvényt kell kiintegrálni a koordináták szerint. Ezt a nyeregponti közelítés segítségével el is tudtuk végezni, az eredmény pedig N 1 (p) = gp µu µ (x s )XY Z (2π) 3 8 [ ( ) ( 1 E 1 τ a 2 b T 0 Hx Hy )] 1/2 ( ) E 3/2 Hz 2 a 2 b e pµuµ (xs) T (xs) T 0 (92) alakban adódik. Ahhoz, hogy mérhet mennyiséget kapjak ebb l az alakból, áttérek a transzverz impulzusra, p t = p 2 x + p 2 y, p x = p t cos α, p y = p t sin α, p z = 0. (93) Azért tehetem meg, hogy p z = 0-t választok, mert olyan mérhet mennyiségeket számolok ki, melyeknek körülbelül nulla rapiditásuk ebben az irányban. Ezt behelyettesítve és integrálva a szögre adódik a transzverz impulzuseloszlás. Látható, hogy a kifejezések bonyolultak, az integrál analitikusan nem végezhet el, ezért numerikus módszerrel számolok tovább Az elliptikus folyás és magasabb rend aszimmetriák Azzal, hogy a szögre kiintegráltunk egy szögfüggetlen eloszlást kaptunk. Azonban a szögfügg eloszlások is fontosak. A modell általánosítása éppen azt célozza meg, hogy általánosabb szögfügg eloszlás is vizsgálható legyen a modellel. A szögfügg részt leválasztva, Fourier-sorba fejtve ( ) N 1 (p) = N 1 (p t, α) = N 1 (p t ) v n cos(nα) (94) átrendezéssel adódik adódik a deníció: v n = 2π n=1 N 0 1 (p t, α) cos(nα)dα 2π. (95) N 0 1 (p t, α)dα A folyások (ow) a sorfejtés együtthatói: v n. Az általánosított modell v 2 és v 3 aszimmetriát jellemz együtthatók leírására alkalmas, mivel csak eggyel több tagot vezettem be. (Megjegyzem, hogy ezen mennyiség nem nulla volta egy bizonyítéka annak, hogy a sqgp valóban folyadékszer en viselkedik. A térbeli aszimmetria miatt, amely az ütközések nem-centrális voltából fakad, impulzustérbeli aszimmetria is kialakulhat kollektív viselkedés esetén. Ilyen viselkedés azonban csak a folyadékképben lehet, olyan elképzelésben, melyben az sqgp gáz, nem.) Az eredeti modellben az integrálok analitikusan elvégezhet ek voltak és a módosított Besselfüggvényeket adták eredményül (ld fejezet). Az általánosított modellben azonban a zárt alakú megoldásról már a spektrum esetén is le kellett mondani. A folyások esetében is numerikus integrálással lehet eredményre jutni.

41 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL A paraméterfüggés vizsgálata El ször megvizsgáltam a különböz tömeg részecskékre milyen jelleg függvényeket kapok néhány tetsz legesen, de reálisan választott harmonikus mellett, melyek értékét feltüntettem a képeken. Ezek eredménye látható a 14. ábrán. 13. ábra. A paraméterértékek a tömegfüggés során: ɛ 2 =0.3, ɛ 3 =0.1, χ 2 =0.3, χ 3 =0.1 Látható, hogy olyan alakú függvényeket kapunk vissza, ami megfelel a kísérleti eredményeknek, mint amilyenek akár az 5. fejezetben is láthatóak. A továbbiakban már nem vizsgálok meg minden paramétert, minden mennyiségre és mindhárom részecskére, csupán pionokra. Az adott paramétereknél csak a velük kapcsolatos mennyiségeket vizsgálom, mint például az ɛ 2 hatása a spektrumra elhanyagolható, viszont annál érdekesebb az elliptikus folyásban (v 2 ) és hatásának hiánya a v 3 -ban. A fejezet végén bemutatom, hogy függ össze a térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria, mely a kollektív viselkedés jele.

42 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 41 Paraméter jele neve értéke T 0 Kifagyási h mérséklet τ 2 A kifagyás id tartama 0.01 m Tömeg a 2 H mérsékletprol aszimmetria paraméter 0.1 b S r séggradiens-paraméter -0.1 R Transzverz síkbeli méret 15 Z Longitudinális méret 5 u t, Ż Átlagos transzverz és longitudinális sebesség 0.6 ɛ 2, χ 2 Térbeli és sebességtérbeli elliptikusság -0.3 ɛ 3, χ 3 Térbeli és sebességtérbeli triangulitás táblázat. A paraméterek rögzített értékei. Amelyik paraméter változik, aktuális értékét a képen jelölöm. Ahol valamilyen paraméterérték változik, az ábrán feltüntetem fel aktuális értékét. A többi paraméter értéke minden esetben rögzített, értékét a 2. táblázat tartalmazza.

43 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 42 A kifagyási h mérséklett l való függés A T 0 paraméter a kifagyási h mérsékletet jelenti, s mindhárom mennyiségre hatással van a változása. Ez az a h mérséklet, amelyen megtörténik a hadronizáció. Az idéz jel azért szükséges, mert a megtörténik szó arra utal, hogy a hadronok keletkezése pillanatszer en megy végbe. Jelen modellben ezt nem tettük fel, én mégis ezzel a közelítéssel élek amikor a τ 2 paraméter értékét kicsinek választom. A képeken jól látszik, hogy a modell szerint magasabb h mérsékleteken több nagy impulzusú részecske keletkezik kisebb aszimmetriával. 14. ábra. A spektum, a v 2 és a v 3 h mérsékletfüggése. A modellben a magasabb h mérsékletek több nagyimpulzusú részecske tartozik. Emellett érdekes, hogy a megnövekedett hozammal párhuzamosan az aszimmetriát leíró függvények értéke csökken.

44 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 43 A h mérsékletproltól való függés Az a 2 paramétert a h mérsékletprol alakjának jellemzésére vezettük be. Azt a felületet jellemzi, amelyen a h mérséklet ugyanolyan értékeket vesz fel, s ez ugyanaz, mint a térbeli geometria, amint az a (76) egyenletben látszik. A 15. ábrán látható, hogy minél nagyobb az a 2 értéke a folyások annál kisebb értéket vesznek fel. Ennek a paraméternek a hatására a spektrum normálása változik. Mivel azonban a h mérsékletprol geometriáját jellemzi, a folyásokban szerep játszik. Matematikailag az exponens p µ u µ -vel arányos tagjának szögfüggését paraméterezi. 15. ábra. A spektrum és a folyások változása az a 2 paraméter hatására. Látható, hogy a spektrumnak csak a normálását változtatja, de a folyások függvényeit jelent sen, a bevezetett aszimmetriaparaméterekhez hasonlóan módosítja. Érdekes meggyelni, hogy kis a 2 értékekre a legnagyobb mindkét folyás értéke. Nem szabad elfelejteni, hogy ez a paraméter a h mérséklet aszimmetriáját írja le, míg a v 2 és v 3 mennyiségek a térbeli és sebességtérbeli aszimmetriát jellemzik. Kés bb részletesen kitérek rá, hogy ez a két aszimmetria tulajdonképpen nem elválasztható egyértelm en a mérési adatok segítségével.

45 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 44 A s r séggradienst l való függés A b egy s r séggradiens jelleg paraméter, hisz e µ/t = e bs alakban vezettük be. Emiatt is várjuk, hogy a b negatív értékeket vesz fel, s minél nagyobb negatív értéket vesz fel a s r séggradiens annál nagyobb. A kis b értékek már megváltoztatják a görbék meredekségét, illetve jellegét is, amint az a a 16. ábrán látható. Határesetben, amikor a b = 0, az exponensben csak a p µ u µ /T tag járuléka számít. Ez a folyások esetén közel nulla értéket eredményez, hisz a b épp a térbeli geometriát, s így a szögfüggést leíró tagot szorozza. 16. ábra. A s r séggradiens hatása a mérhet mennyiségekre. Egészen kis b értékekt l eltekintve a spektrum normálására van hatással. Azonban a folyásokra, csakúgy, mint az a 2 paraméternek, hatása a folyásokra jelent s. Mivel ennek a paraméter a s r ség csökkenését írja le a központi részt l kifelé (mivel csökkenést várható, negatív értékeket vizsgálok) az aszimmetriát befolyásolnia kell. Ez a hatás meggyelhet a v 2 és a v 3 ábráin. Érdekes meggyelni, hogy a b értékét növelve a kisimpulzusú tartomány (500MeV alatt) és az ennél magasabb impulzusú tartomány másképp viselkedik.

46 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 45 Az transzverz és longitudinális sebességekt l való függés Az u t paraméter az átlagos transzverz, a jellemzi. Ezeket a Ż paraméter pedig a longitudinális sebességet u t = R H, Ż = Z H z (96) formában vezetem be. Ezen paraméterek a spektrumot nem, míg az aszimmetriát leíró tagokat befolyásolják, amint az a 17. ábrákon látszik. Bár a = c = 1 egységrendszer használva a paraméterek értéke, ha valóban hármassebesség jelentéssel bírnának, nem lehetnem nagyobb egynél. Azonban ezek bizonyos irányok átlagsebességét jelent paraméterek, így vizsgálhatók lennének egynél nagyobb paraméterek is. 17. ábra. A várakozásnak megfelel en nagyobb átlagos sebességekhez, nagyobb folyási értékek is tartoznak. A sebesség mindkét folyás esetében fontos szerepet játszik, ezért is vezettük be a sebességtérbeli aszimmetriát leíró koecienseket.

47 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 46 A térbeli aszimmetriától való függés Az ɛ 2 és ɛ 3 paraméterek a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek. Az ɛ 2 a térbeli elliptikusságot, míg az ɛ 3 egy magasabb rend aszimmetriát, a térbeli triangularitást méri. A modell továbbfejlesztésének egyik célja éppen az volt, hogy ezt a magasabb térbeli szimmetriát bevezessem. Az ábrákon is jól meggyelhet, hogy az ɛ 2 a v 2 -höz, míg a ɛ 3 a v 3 -hoz ad járulékot. Amint az várható is, nagyobb paraméterértékre nagyobb folyásértéket kapunk. 18. ábra. A fels sorban a v 2 változása látható rendre az ɛ 2 és ɛ 3 paraméterek változásaira. Az alsó sorban ugyanezen változások gyelhet ek meg a v 3 folyás esetén. Az eddig tárgyalt a 2 és b paraméterekkel ellentétben ezen paraméterek a térbeli aszimmetria leírására vezettem be, így hatásuk a folyási függvényekre fontos. A várt viselkedés látható az ábrákon, vagyis nagyobb paraméterértékekhez nagyobb folyásértékek is tartoznak.

48 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 47 Az sebességtérbeli aszimmetriától való függés Az χ 2 és χ 3 paraméterek a sebességtérbeli aszimmetriát írják le, amint azt a (63) egyenletben bevezettem. A χ 2 az ellipszoidális, míg a χ 3 a magasabb rend aszimmetriához ad járulékot a sebességtérben. A különböz index folyások paraméterei nincsenek hatással a többire, mint azt a 19. ábra illusztrálja. Érdekes, hogy a sebességtér aszimmetriája a kisebb (500 MeV alatti) 19. ábra. A fels sorban a v 2 folyás változása látható a χ 2 és χ 3 paraméterek értékeinek változására. Az alsó sorban a v 3 folyás ugyanezen paraméterek változása mellett. A kollektív viselkedés miatt a folyási függvényekre a sebességtérbeli aszimmetria is hatással van, csakúgy, mint a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek. impulzusoknál nem játszik fontosabb szerepet. Természetesen nem elhanyagolható, de nem független a térbeli aszimmetriától a folyadékjelleg miatt, s mivel annak jelent sebb járuléka van, sebességt l függetlenül, a kisebb impulzustartományokban is, az sebességtérbeli aszimmetria csak a nagyobb értékeknél lesz jelent sebb. Ez az ábrákon is látszik; meggyelhet, hogy amikor olyan paraméter változik, melynek nincs hatása az adott folyásra, akkor csak a rögzített paraméter szabályozza az értékét: a térbeli aszimmetria. Így összehasonlítva az egymás mellett lév ábrákat látható, hogy 500 MeV körüli impulzustól ad a térbeli aszimmetriával összemérhet járulékot.

49 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása A 18. és 19. ábrák alapján látható, hogy az térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria a folyásokat mindkét paraméter befolyásolja. Megjegyzem, hogy ezen paraméterek mellett az a 2, b paraméterek és az u t, Ż-n keresztül a tágulást leíró paraméter, a H is befolyásolja a folyásokat. Már a módosított sebességtér illusztrálásakor látható (10., 11 és 12. ábrák), hogy egy általánosabb szimmetria jobban megközelíti a valóságot (1. ábra). Ez a kapcsolat a két paraméter között, mely már az eredeti modellben is megjelenik, a mérésekkel összhangban áll, s bizonyítéka a kollektív viselkedésnek. Érdemes tehát a paraméterértékek kombinációját egy szintvonalas térképen megvizsgálnunk. Ilyen térképet mind a v 2, mind a v 3 esetére készítettem. Ez látható a 20. ábrákon. 20. ábra. A vonalak közötti távolság A bal oldali képek p t =500 MeV-nél, míg a jobb oldaliak p t =1700 MeV-nél készültek. Jól látható az ábrákon, hogy a sebességtérbeli aszimmetria csak nagyobb impulzusoknál jelenik meg és ekkor a két paraméter szétválaszthatatlan, vagyis a v n értéke nem függ külön az egyik és külön a másik értékét l, hanem csak azok kombinációjától. Az értékeik külön meghatározása további vizsgálatot igényel. Ilyen lehet jelen modellel történ illesztés.