Többpólusú hidrodinamikai megoldások és a magasabb rendű harmonikusok nehézion-ütközésekben

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szakdolgozat Többpólusú hidrodinamikai megoldások és a magasabb rendű harmonikusok nehézion-ütközésekben Szabó András Fizika BSc III. évfolyam Témavezető: Csanád Máté ELTE TTK Atomfizikai Tanszék 214. május 22.

2 Kivonat A nagyenergiás nehézion-fizikában az utóbbi évtized legfontosabb eredménye az ütközések nyomán kialakuló, erősen kölcsönható kvark-gluon folyadék felfedezése volt. A kísérletek tanúsága szerint ezen elemi részecskék plazmája tökéletes folyadékként viselkedik, ami lehetőséget ad relativisztikus hidrodinamikai modellek alkalmazására. Az ütközések során létrejövő extrém magas nyomás és energiasűrűség szétveti ezt a közeget, mely a tágulás során lehűl. A nyalábok találkozási pontjai köré épített detektorokban a keletkező fotonokat, leptonokat és a kvarkplazmából kifagyó különböző hadronokat tudjuk detektálni, majd a különböző mennyiségek eloszlásaiból következtethetünk a kiindulási állapot tulajdonságaira. A mag-mag ütközéseket két egymásba szaladó gömbként értelmező elképzelés speciális, elliptikus kezdeti feltételeket szab. Az ebből adódó impulzustér-beli aszimmetriát a v 2 koefficiens (a Fourier-felbontás második együtthatója) méri, ez a nehézion-fizika egyik legfontosabb megfigyelhető mennyisége. A valóságban azonban az atommagok nem gömb alakúak, így a pontos geometriája minden ütközésnek egyedi. Az elmúlt évek egyik fontos kísérleti eredménye az elliptikus szimmetriától való eltérést mutató v 3 és v 4 együtthatók mérése volt. Ennek leírása érdekében olyan egzakt, relativisztikus hidrodinamikai megoldásokat kerestem, amelyek ezen aszimmetriát is figyelembe veszik. Az így talált új modell tetszőleges pólusú szimmetriát tud kezelni (és e tekintetben első az egzakt relativisztikus hidrodinamika területén), illetve ezek szuperpozíciójából is kiadja a mérhető mennyiségeket, azaz tetszőleges profilú kezdeti feltétel beállítható. Kiszámítottam tehát az együtthatókat különböző aszimmetriákat feltételező egzakt megoldások esetén, és ennek különböző paraméterektől való függését vizsgáltam, illetve összevetettem az adatokkal. 1

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Kvark-gluon plazma Erősen kölcsönható közeg Tökéletes folyadék Hidrodinamika Alapegyenletek Megoldások Mérhető mennyiségek A v n harmonikusok mérése Új megoldások Az elliptikusságtól való eltérés Új megoldás 1+2 dimenzióban Kiterjesztés 1+3 dimenzióra Megoldások többszörös szimmetriával Mérhető mennyiségek származtatása Egyrészecske impulzuseloszlás Spektrum és v n mennyiségek Numerikus számítások Eredmények Paraméterektől való függés Mérési adatokra illesztés Összefoglalás 3 A. Alkalmazott módszerek 31 B. Kritérium a skálaváltozóra 31 C. Az eredményekhez tartozó egyéb ábrák 32 2

4 1. Bevezetés Régóta ismeretes, hogy az atommagot alkotó nukleonok nem elemi részecskék, alapvetően három kvarkból állnak, azaz barionok. Számos fajta bariont ismerünk rajtuk kívül, ilyenek a, Λ, Ξ és még sorolhatnánk. A kvark-antikvark párokból álló részecskéket - ilyenek például a pionok (π), kaonok (K) - mezonoknak nevezzük. A fenti két csoport tagjait, és általában a kvarktartalmú részecskéket hadronoknak hívjuk. A kvarkok jelenlegi tudásunk szerint elemi részecskék, rajtuk kívül ilyenek még a leptonok (elektron, müon és tau a megfelelő neutrínókkal), illetve a kölcsönhatásokat közvetítő részecskék (foton, gluon és a bozonok). A tudomány mai állása szerint ezen elemi részecskéket és tulajdonságaikat a részecskefizika Standard Modellje jól leírja. A nehézion-fizikai kísérleteket atommagokkal végzik, hiszen ezek elektronok híján töltéssel rendelkeznek, így hatékonyan gyorsíthatók. A protonokban és neutronokban lévő kvarkokat az erős kölcsönhatás tartja össze, melyet a gluonok közvetítenek. Ugyanennek a kölcsönhatásnak az eredménye a magerő, mely a nukleonokat tartja össze a magon belül. Az erős kölcsönhatást részletesen leíró elmélet a kvantum-színdinamika (Quantum Chromo Dynamics - QCD), mely jól rávilágít a kölcsönhatás természetére. A részecskék QCD töltését egy jól működő analógia alapján színnek nevezzük. Az elmélet szerint hétköznapi energiasűrűség mellett a kvarkok csak színsemleges részecskékbe zárva, barionok és mezonok formájában figyelhetők meg, mert bármilyen munka, amit abba fordítanánk, hogy egy kvarkot elkülönítsünk, végül egy újabb kvark-antikvark pár keltésére fordulna. Ez a jelenség a kvarkbezárás. Az erős kölcsönhatás egy másik tulajdonsága némiképp kiutat jelent ebből a merev szabályból: a kölcsönhatás csatolási állandója az energiával csökken. Extrém nagy energia esetén a csatolási állandó lényegesen is le tud csökkenni, így ilyen körülmények között a kvarkok és gluonok kiszabadulnak a hadronokból, ezt nevezzük aszimptotikus szabadságnak. Ahogy a jelenség neve is mutatja, teljes szabadságról csak aszimptotikusan, végtelen energián beszélhetnénk, ami természetesen nem valósulhat meg. Az erős kölcsönhatás ezen tulajdonságai nagy jelentőséggel bírnak a kozmológiában. Az univerzum fejlődésének történetét különböző elméletek írják le, melyek közül a legszélesebb körben elfogadott valószínűleg az inflációs kozmológia. Bár a folyamat részletei bonyolultak, általánosan elmondható, hogy a Világegyetem tágul. Ha időben visszafelé tekintjük ezt a folyamatot, egyre nagyobb energiasűrűségről és nyomásról beszélhetünk, míg a Nagy Bummot követő első néhány mikromásodpercnél elérjük azt az állapotot, amikor a körülmények még megfelelőek voltak ahhoz, hogy az aszimptotikus szabadság megnyilvánulásaként a kvarkok és a gluonok színtöltéssel rendelkező objektumként, a hadronokból kiszabadulva tudtak létezni [1]. Ekkor egy speciális közeget alkottak, melyet kvark-gluon plazmának nevezünk. A korábban említett bezáró jelleg magyarázza a gyorsítók kiemelkedő szerepét a részecskefizikában. A megfelelő elektromágneses terekkel felgyorsított és pályán tartott atommagok ultrarelativisztikus sebességet érnek el, így labor rendszerből nézve Lorentz-kontrahált korongként képzelhetőek. Egy tipikus kísérleti elrendezésben ilyen atommagokból álló nyalábokat ütköztetnek össze. A nyalábok mozgási energiája elegendő ahhoz, hogy az említett extrém körülmények megvalósulhassanak: az ütközés utáni energiasűrűség és nyomás ugyanis annyira nagy, hogy létre tud jönni a kvarkok és gluonok plazmája, bár igen rövid időre. A közeg rögtön tágulni kezd, így a térfogat növekedésével csökken az energiasűrűség. A kritikus hőmérsékletet elérve a színes részecskék visszafagynak színsemleges hadronokká, és ebben a formában haladnak tovább. Az ütközési pontok köré épített detektorokkal a keletkező fotonokat, leptonokat, és a már ismert állapotban lévő hadronokat fogjuk érzékelni. Ezeknek a részecskéknek a tulajdonságait a detektorok széles skálája méri, és akármilyen 3

5 1. ábra. Arany atommagok ütközésének állomásai: a két koronggá lapult mag egymással szemben halad (a), majd az ütközésben az átfedő zónákból színes részecskék szabadulnak ki (c,d). közeg jött is létre az ütközés során, nekünk ezen mennyiségek eloszlásaiból kell következtetnünk annak mibenlétére. Elképzelhető tehát, hogy a nagyenergiás nehézion-fizikában olyan állapotban sikerült az anyagot létrehozni, melyben a természetben évmilliárdók óta nem megfigyelhető. Mára elfogadottá vált az az elképzelés, hogy a létrejövő közeg fizikai tulajdonságait tekintve folyadék. A továbbiakban áttekintjük, hogy milyen kísérletek és elméleti meggondolások vezettek a folyadék-kép kialakulásához, hogy a tágulás mely szakaszában, és pontosan hogyan írhatjuk le folyadékként a táguló kvarkplazmát. 2. Kvark-gluon plazma A fent említett közeg tulajdonságait célzó első kísérletek a CERN SPS (Super Proton Synchrotron) nevű gyorsítójában zajlottak, de pontosabb képet először az Egyesült Államokbeli Brookhaven National Laboratory intézményben működő Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) kísérleteiben tudtak adni. A kísérleteket azóta elvégezték a CERN LHC (Large Hadron Collider) gyorsítójával is, az eredmények pedig megerősítették az eddig tapasztaltakat. Az alábbiakban röviden összefoglalom az eredmény szempontjából fontos felfedezéseket, illetve ismertetek néhány alapfogalmat Erősen kölcsönható közeg A RHIC-ben jellemzően proton-proton (p+p), deutérium-arany (d+au) és arany-arany (Au-Au) ütköztetéseket végeznek, egy Au-Au ütközésben jelenleg a nukleon-párokra jutó tömegközépponti ütközési energia 4

6 2 GeV környéki. Az LHC-ben tipikusan p+p, p-pb, Pb-Pb ütközések zajlanak jóval nagyobb, néhány TeV tömegközépponti energián. Amikor két atommag ekkora energián ütközik, valamekkora valószínűséggel lezajlanak kemény folyamatok, melyek során nagyenergiás részecskezápor (jet) keletkezik. Ennek a hatáskeresztmetszete olyan, hogy ütközésenként maximum egy jet-pár várható (igen ritka esetekben fordul elő több). A kemény folyamatokat párokban való keletkezés jellemzi, mely után az impulzusmegmaradás miatt a létrejött részecskék ellenkező irányba haladnak, majd további részecskékre fragmentálódnak, így az ilyen részecskezáporokat is párokban várjuk. Az ütközések kapcsán definiálni szoktuk az impakt paramétert, amely a sebességvektorok által meghatározott egyenesek távolságát mondja meg. Ez alapján az ütközéseket centralitás osztályokba soroljuk, melyeket a centrálistól a periférikus felé haladva százalékosan adunk meg. A mérések során feltűnt, hogy egyrészt kevesebb nagyenergiás részecskét detektálnak a vártnál, másrészt gyakran hiányzik a jet egyik fele [2, 3]. A jelenség jellemzően nagy centralitású eseményeknél volt számottevő, így magyarázat lehetett egy erősen kölcsönható közeg létrejötte, amely képes lelassítani a nagy energiájú részecskéket. Periférikus ütközéseknél a létrejövő közeg mérete (mely a kísérletek alapján femtométer nagyságrendű) nem elég nagy, a kölcsönhatás nem tart elég hosszú ideig, így ritkábban és kevésbé markánsan jelentkezik az elnyomás. A jet keletkezés általános esetben az ütközési zóna valamelyik széléhez közelebb várható, így ez arra is magyarázat lenne, hogy miért csak a zápor egyik felét nem detektáljuk. Az ütközésekhez kapcsolódó fogalom a nukleáris módosulási faktor. Az ütközések elemi eseményeit nukleonnukleon bináris ütközéseknek képzelve ezeknek, illetve az összesen résztvevő nukleonoknak a száma adott centralitás esetén meghatározható. Így két nehezebb mag (pl. Au+Au) összelövése esetén keletkező részecskék számát (N Au ) össze tudjuk vetni a nukleon-nukleon (p+p) ütközésekben keletkezők számával (N p ) olyan módon, hogy utóbbit megszorozzuk az Au+Au ütközésben várható bináris ütközések számával(n bin ). Ha két nehezebb mag ütközése pusztán bináris ütközések összege, akkor e kettő megegyezik, azonban ha az ütközés ettől eltérő módon zajlott, akkor eltérést fogunk tapasztalni. Egy Au+Au ütközés nukleáris módosulási faktorát (R AA ) a következőképpen definiáljuk: R AA = N Au N bin N p (2.1) Ilyen módon kiértékelve az adatokat azt vehetjük észre, hogy míg a pionokra kapott módosulási faktor lecsökken a centralitással, az erősen nem kölcsönható fotonok esetében nem áll fenn ez az eltérés [4], az értékek R AA = 1 körül fluktuálnak (2. ábra). Ez további érv az erősen kölcsönható közeg mellett. Az elmélet alátámasztására végeztek ellenpróbát deuteron-arany ütközésekkel, ekkor semmilyen centralitásnál nem észlelték a jet elnyomást, ez szintén a kisebb közeggel magyarázható [5]. A jelenséget kimutatták az LHC kísérleteiben is [6, 7] Tökéletes folyadék A folyadék kép kialakulásához vezető egyik fontos felfedezés az volt, hogy a létrejövő részecskék mozgási energiája Boltzmann eloszlást követ, azaz egy infinitezimális energiaintervallumba eső mozgási energia P (E)dE e E k B T valószínűséggel valósul meg. A mért eloszlásban a hőmérséklet körülbelül 17 Kelvinnek adódott, ami jó összhangban van a QCD jóslataival, a kifagyást ekörül várjuk [8]. 5

7 2. ábra. Az Au+Au ütközésekben mért nagyenergiás semleges pionokra és a fotonokra vonatkozó magmódosulási faktor a résztvevő nukleonok számának (N participant ) függvényében (ez utóbbi a centralitással arányos). A fotonok módosulási faktora 1 körül fluktuál, a centralitás növekedésével azonban egyre kevesebb nagyenergiás piont észlelünk. A naiv kép a mag-mag ütközéseket geometriailag két, egymásba szaladó korongként kezeli. Általános, nem teljesen centrális ütközés esetén ezeknek az átfedő tartománya jól közelíthető ellipszissel, ami speciális kezdeti feltételeket szab. A későbbiekben a nyalábirányra merőleges impulzuseloszlást Fouirer-sor alakban fogjuk felvenni, így gondolkozzunk most is így. Egy geometriailag szabályos ellipszis esetén, ha a nulla fokot valamelyik szimmetriatengelynél vettük fel, akkor a szinuszos tagok nem jelennek meg a sorfejtésben. Abból a megfontolásból, hogy a φ = 9 -ra is szimmetrikus függvényt kapunk, a páratlan indexű koszinuszos tagok együtthatója is nulla. Számunkra az egyik legérdekesebb tényt pont ennek a szimmetriának a sérülése fogja jelenteni, melyet természetesen a szabályos ellipszistől való eltérés okoz. Hogy a közeg tulajdonságaihoz közelebb kerüljünk, ennek a kezdeti geometriai aszimmetriának a végállapoti impulzuseloszlásbeli megjelenését érdemes vizsgálnunk. A globális elliptikus jellegen belül minden ütközés egyedi, az elemi résztvevők - a nukleonok - véletlenszerűen fednek át egymással. A nukleon-nukleon ütközésekből keletkező részecskék impulzusának irány szerinti eloszlása többé-kevésbé egyenletes. Amennyiben a létrejövő közeg gáz, a tágulás során az átlagos szabad úthossz nagy, az ütközések ritkák, úgy a globális elliptikus jelleg a tágulás során nem (vagy alig) alakul ki, a detektált impulzuseloszlásban nem lesz jelentős. Amennyiben a közeg folyadék, a tágulás során gyakori a részecskék közti ütközés, akkor a kezdeti elliptikus geometria megjelenik az impulzuseloszlásban. Hogy ezt számszerűsíthessük, vezessük be a transzverz síkbeli egyrészecske impulzuseloszlást, ezt jelölje N(p t, α) (lásd részletesebben a fejezetben). Ekkor N(p t, α)dp t dα a (p t, α) és (p t + δp t, α + δα) közötti transzverz impulzussal kifagyó részecskék száma. Itt is, és a továbbiakban is a nyalábirányra merőleges (transzverz) impulzus szögváltozója α, míg az analóg térkoordinátáé φ. Válasszuk le a szögfüggést, és írjuk 6

8 3. ábra. Két mag átfedő tartománya első közelítésben ellipszoid, ennek a speciális kezdeti geometriának a szerepét tanulmányozzuk a detektált impulzusban. Fourier-sor alakba: ( ) N(p t, α) = N(p t ) 1 + v n cos(nα) + w m sin(mα) n=1 m=1 (2.2) Ekkor a sort úgy normáltuk, hogy a konstans tag együtthatója egy legyen. Teljesen elliptikus esetben, ha a szögkoordinátát valamelyik szimmetriatengelytől mérjük fel, akkor α = és α = π/2 szögekre nézve is páros függvényt kapunk, így a szinuszos tagok elvileg teljesen elhagyhatóak, illetve a páratlan indexű koszinuszosak is. A kísérletek tanúbizonysága szerint utóbbiak (v 3,v 5,...) egyenként vizsgálva az ütközéseket jelen vannak, a kihívást éppen annak a modellnek a megtalálása fogja jelenteni, amely ezt visszaadja (lásd részletesebben a 4. fejezetben). A későbbiekben látni fogjuk, hogy a v n együtthatók ekkor cos(nα) várhatóértékét (a modellben), illetve átlagát (a mérésekben) jelentik a szögeloszlásban. Ezek közül v 2 a legfontosabb, hiszen a kétfogású szimmetriát, és ezzel cos(2α) átlagát ez méri. Ha a közeg folyadék, akkor az impulzuseloszlásban megjelenő globális elliptikus jelleget v 2 szignifikáns értéke fogja tükrözni (3. ábra). A kísérletek során a v n együtthatók mérése alapján az anyag halmazállapota folyadéknak bizonyult [9]. Az adatok precíz feldolgozása a magasabb rendű harmonikusokra vonatkozott, melyek alapján arra jutottak, hogy a folyadék kinematikai viszkozitása kicsi, sőt, elhanyagolható [1]. A kísérletekből az is kiderült, hogy nemcsak a magasabb páros rendű együtthatók bírnak szignifikáns értékkel, de például v 3 is [11]. Az elhanyagolható viszkozitás a további modellalkotás szempontjából nagyon kedvező, hiszen a nem-disszipatív hidrodinamika elveit alkalmazhatjuk a közeg leírására [12]. 7

9 4. ábra. Au-Au ütközés lefoályásának téridőbeli vázlata. A már termalizálódott, táguló közegben folyamatosan keletkeznek fotonok és leptonok, míg hadronok a kritikus hőmérséklet elérésekor fagynak ki. 3. Hidrodinamika 3.1. Alapegyenletek A 2.2 fejezetben részletezett okokból az ütközések során létrejövő kvark-közeg tökéletes folyadékként kezelhető, azaz elhanyagolható viszkozitású és hővezetésű, és a precíz számolások érdekében a relativisztikus hidrodinamikát kell alkalmazni. A kvarkanyag fejlődése a téridőben a 4. ábrán látható vázlatosan. Körülbelül 2 GeV transzverz impulzusig beszélünk hidrodinamikáról, az ennél nagyobb energiával érkező részecskéket más folyamatok vezérlik. Az időbeli intervallum is meg van szorítva: az ütköző magokból keletkező részecskék sokasága először nem alkot termális közeget, míg a kifagyás után nem beszélhetünk folyadékról. Amíg a hadronok pillanatszerűen jönnek létre, fotonok és leptonok folyamatosan keletkeznek a táguló közegben. A detektált hadronok impulzuseloszlásában a folyadék kifagyás előtti állapotát szeretnénk felfedezni. A továbbiakban c = 1 és k B = 1 egységrendszerben fogunk számolni. Az alapegyenletek: µ (nu µ ) = (3.1) µ T µν = (3.2) A (3.1) a kontinuitási egyenlet relativisztikus megfelelője, ahol u µ a folyadék lokális áramlási sebessége, n pedig egy szám-sűrűség, amit valamilyen megmaradó mennyiséghez rendelünk hozzá. Ez lehet a barionszám, vagy közelítőleg a ritkaság, viszont amennyiben a hozzá tartozó kémiai potenciál értéke nullához közeli, akkor egyik sem jó választás, ekkor az entrópiasűrűség veheti föl a szerepét. Ebben az esetben az entrópiasűrűséget σ-val jelölve a kontinuitási egyenlet alakja µ (σu µ ) =. A termodinamika alapegyenleteiből az energiaimpulzus-tenzor kontinuitása alapján (3.2) lokálisan megmaradó entrópiasűrűség adódik, azaz lokálisan adiabatikus tágulás. Az energiaimpulzus-tenzor (T µν ) alakja: T µν = (ɛ + p)u µ u ν pg µν, (3.3) 8

10 ahol ɛ az energiasűrűség, p a nyomás, g µν pedig a metrikus tenzor. Ezt úgy nyerjük, hogy a tenzor eredeti alakját a téridőponthoz rendelt folyadékdarabhoz boostoljuk. ɛ T µν = p p p Az egyenletrendszer változóit az anyag állapotegyenlete köti össze, amely az ɛ(p) függést mondja meg. Nemrelativisztikus esetben ideális gázra ɛ = 3 2p, relativisztikus esetben nem ennyire egyértelmű, valamilyen lineáris kapcsolatot tételezünk fel: (3.4) ɛ = κp (3.5) ahol κ állapotegyenleti paraméter. A legtöbb megoldás konstans κ-t használ, azonban létezik a megoldások egy olyan osztálya, ahol valamilyen tetszőleges κ(p) vagy κ(t ) függést tételeznek fel [13]. A κ(t ) esetben, mivel c s hangsebességre érvényes: c s = p ɛ (3.6) ezért ilyenkor κ = 1/c 2 s. Elsőrendű fázisátalakulásként kezelve a hadronizációt próbálkoztak egy úgynevezett zsákállandó bevezetésével, ekkor az állapotegyenlet ɛ B = κ(p + B) alakúnak adódott, ám a mérési eredmények és egyéb elméleti megfontolások ezt nem támasztották alá. Minden jel arra mutat, hogy a hadronizáció során a termodinamikai mennyiségek és deriváltjaik folytonosan változnak, cross-over típusú átmenetről beszélünk. A hőmérséklet definíciója: p = nt (3.7) 3.2. Megoldások Landau Khalatnikov-megoldás A relativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit először Landau vezette le, és ő vetette fel a folyadékmodell alkalmazását is a relativisztikus részecske-ütközések leírására. Egy megoldás is származik tőle, amely gyorsuló, viszont 1+1 dimenziós és implicit, utóbbi miatt bonyolult vele számolni [14] Hwa Bjorken-megoldás Az először Hwa által megtalált megoldás gyorsulásmentes és 1+1 dimenziós, viszont explicit, ami nagy előnye a Landau Khalatnikov-féléhez képest [15, 16]. Bjorken szerepe abban volt jelentős, hogy az alkalmazások szempontjából jobban használható alakra hozta a megoldást. Ebben a formában jól alkalmazható a kezdeti energiasűrűség becslésére, így elsősorban erre használják. 9

11 A Csörgő Csernai Hama Kodama-megoldás A mi szempontunkból a legfontosabb megoldást Csörgő és társai találták meg 23-ban [17, 18]. Ez az egyetlen relativisztikus, 1+3 dimenziós ellipszoidális szimmetriát feltételező (azaz nem gömbszimmetrikus) megoldás. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a termodinamikai mennyiségekre (pl. T (x) hőmérséklet) nézve állandó felület egy adott sajátidő pillanatban ellipszoid. Ez a skálatulajdonság az s skálaváltozón keresztül van a megoldásba építve, amelynek értéke az említett ellipszoid mentén konstans. s = r2 x X(t) 2 + r2 y Y (t) 2 + r2 z Z(t) 2, (3.8) ahol r x,r y,r z a derékszögű koordináták, X(t), Y (t), Z(t) skálaparaméterek pedig az időnek függvényei. A megoldás szigorúan véve nem gyorsuló, a sebességmezőt az asztrofizikában alkalmazott Hubble-sebességmezőhöz hasonlóan írták le. Ezt az univerzum izotróp tágulására alkalmazzák azzal az alapelvvel, hogy annak nagyobb a sebessége, ami messzebb van (hiszen messzebbre jutott). Ez tehát egy sebességeloszlást ír le, mely a térben távolabb lévő térfogathoz nagyobb sebességet rendel. A sebességmező kifejezése: ( ) u µ Ẋ = γ 1, X r x, Ẏ Y r Ż y, Z r z (3.1) és (3.2) egyenletekbe visszahelyettesítve kiderül, hogy Ẋ,Ẏ,Ż időben konstans kell hogy legyen, így X,Y,Z az időnek lineáris függvényei. A 4. fejezetben azt is látni fogjuk, hogy konstans tagot nem engedhetünk meg, tehát X = Ẋt, Y = Ẏ t, Z = Żt. A sajátidő kifejezése a jól ismert alakú, ezt visszaírva a sebességmező kifejezésébe nyerjük: (3.9) τ = x µ x µ = t 2 x 2 (3.1) u µ = xµ τ (3.11) itt x µ a négyeskoordináta, τ pedig a sajátidő. A termodinamikai mennyiségek leírásához bevezették s skálaváltozó egyelőre tetszőleges ν(s) függvényét, mellyel a mennyiségek alakjai: ( τ ) 3/κ 1 T (x) = T (3.12) τ ν(s) ( τ ) 3+3/κ p(x) = p (3.13) τ ( τ ) 3 n(x) = n ν(s) (3.14) τ Ekkor n(x) = p(x)/t (x) a már ismert számsűrűség, T (x) a hőmérséklet, p(x) a nyomás, p = n T, κ állapotegyenleti paraméter pedig tetszőleges konstans, a mérhető mennyiségek származtatásakor ki fog esni (ld fejezet). Ennek a modellnek a kiterjesztése a már említett tetszőleges κ(p) vagy κ(t ) függést alkalmazó megoldás [13]. A skálaváltozó függvényét ν(s) = e bs alakban szokás felvenni, ahol ilyen konvenció szerint b egy pozitív szám. A hőmérséklet így a középponttól távolodva csökken, természetesen a tágulással ezt is várjuk; b a csökkenés mértékére jellemző, azaz a hőmérsékleti gradienssel arányos mennyiség. A hadronizációt sajátidőben pillanatszerűnek gondoljuk, τ így a kifagyás sajátideje (a kifagyás τ-függését később δ(τ τ ) alakban fogjuk felvenni). 1

12 Egy nemrelativiszitikus megoldás Az itt részletezett megoldás nagyon hasonló a fejezetben bemutatotthoz. A nemrelativisztikus hidrodinamika egyenleteit az állapotegyenlet kapcsolja össze, ami ebben az esetben ɛ = κp + mn, ahol p = nt. Közös vonása az előző megoldással, hogy szintén Hubble-sebességmezőt használ és ellipszoidális önhasonlóságot feltételez. A sebességmező és a skálaváltozó alakjai: ) (Ẋ v = X r Ẏ x Y r Ż y Z r z (3.15) s = r2 x X 2 r 2 y Y 2 r 2 z Z 2 (3.16) ahol X,Y, és Z most is időfüggő skálaparaméterek. A számsűrűséget és a hőmérsékletet faktorizáljuk oly módon, hogy a térkoordinátáktól csak a skálaváltozón keresztül függjenek. Ekkor n(r, t) = f(t)g(s), T = (r, t) = h(t)τ(s). A megoldásban a termodinamikai mennyiségek alakja ilyenkor a következő: n(r, t) = X Y Z XY Z e s/2 (3.17) ( ) 1/κ V T (r, t) = T τ(s) (3.18) V és érvényes a következő megszorítás: ẌX = Ÿ Y = ZZ = T m. Ekkor X, Y és Z a skálaparaméterek a kifagyás pillanatában. A 3.3. fejezetben még lesz szó a forrásfüggvényről és a mérhető mennyiségekről. A S(r, p)d x d p forrásfüggvény ebben a nemrelativisztikus esetben azt adja meg, hogy hány részecske keletkezését várjuk r hely kis környezetében p és p + δp tartományba eső impulzussal. ] (p mv)2 S(r, p) = Nn exp [ 2mT (3.19) Ennek a térintegrálájból kaphatjuk meg az egyrészecske impulzuseloszlást (lásd bővebben a fejezetben), ami ebben az esetben viszonylag könnyen megkapható: [ ] N(p) = N exp p2 x p2 y p2 z tmt x tmt y tmt z (3.2) T x = T + m X 2 (3.21) T y = T + my 2 (3.22) T z = T + mz 2 (3.23) ahol T x, T y és T z úgynevezett effektív hőmérsékletek, a Maxwell-Boltzmann eloszlásban ugyanis ezek veszik fel a hőmérséklet szerepét. 11

13 A Nagy Csörgő Csanád-megoldás Ez a megoldás egzakt, d+1 dimenziós, gyorsuló és explicit alakban előáll. Jól használható a kezdeti energiasűrűség és az ultra-relativisztikus ütközéseknél lejátszódó reakciók élettartama becslésére, továbbá meghatározható belőle a (dn/dy) rapiditás-eloszlás, ahol a rapiditás definíciója: y = 1 2 ln E + p z E p z (3.24) és ennek relativisztikus megfelelője η. Ekkor a sebességmező és a nyomás kifejezései: u µ = (cosh λη, sinh λη) (3.25) p = p ( τ τ ) λd κ+1 κ B (3.26) ekkor d a térdimenziók száma, λ a gyorsulás mértékét leíró paraméter, míg B az a zsákállandó, amit már megemlítettünk a 3.1. fejezetben is, és amellyel az állapotegyenlet ɛ B = κ(p+b). A paraméterek alkalmas megválasztásával ez a megoldás visszaadja a Hwa Bjorken félét Mérhető mennyiségek Hogy az elméletet össze tudjuk hasonlítani a kísérletekkel, a meglévő megoldásainkból mérhető mennyiségeket kell származtatnunk. Ebben a fejezetben ezek közül tekintjük át a legfontosabbakat A forrásfüggvény Mivel a detektorba érkezéskor a kvarkfolyadék már visszafagyott hadronokká, így ahhoz, hogy értelmezni tudjuk a kapott impulzuseloszlást, tudnunk kell valamit a kifagyásról. Ezt értelmezzük a részecskekeletkezés forrásfüggvényével: S(x, p)d 4 xd 4 p azt adja meg, hogy x téridő-koordinátának infinitezimális környezetében hány részecske keletkezik p és p + δp közötti impulzussal. A függvény pontos alakja: S(x, p)d 4 x = N n(x)exp [ p µu µ ] H(τ)p µ d 3 Σ µ (x)dt (3.27) T (x) ] A kifagyás valószínűségének leírásához a Boltzmann-Jüttner eloszlást alkalmazzák, ez az n(x)exp [ pµuµ T (x) alakú faktor. A hadronizációt a sajátidő mentén leíró tagot H(τ)dτ = δ(τ τ )dτ alakban vesszük fel, feltételezve, hogy a kifagyás sajátidőben pillanatszerű. Az N szorzó normálási tényező, míg d 3 Σ µ (x) = uµ d 3 x u a kifagyási hiperfelület vektormértéke, mely párhuzamos u µ -vel és merőleges a τ = konstans felületre. A mértéket p µ -vel Lorentz-szorozva a részecskék fluxusát kapjuk. Ezeket beírva a forrásfüggvénybe nyerjük: [ S(x, p)d 4 x = N n(x)exp p µu µ ] (x) δ(τ τ ) p µu µ T (x) u d4 x (3.28) 12

14 Egyrészecske impulzuseloszlás és v n koefficiensek Az adatokkal összevethető mennyiségeket alapvetően a forrásfüggvény különböző kiintegrált alakjaiból származtatjuk, ehhez koordinátázzuk az ütközési teret. A nyalábirányba eső tengely legyen z, erre merőlegesen vegyük fel a transzverz síkot r és φ koordinátákkal, így egy hengerkoordináta-rendszert nyerve. A négyesimpulzust vegyük egy adott tömeghéjon (m 2 = p µ p µ ) így hármasimpulzust kapunk, amit paraméterezzük hasonlóan, p z nyalábirányú és p t transzverz impulzusokkal, utóbbi nagysága legyen a skalár p t, szögváltozója pedig α. A mi szempontunkból lényeges származtatott mennyiségek: N(p) = S(x, p)d 4 x (3.29) N(p t, p z ) = 1 2π 2π N(p)dα (3.3) (3.29) a teljes releváns téridőben p impulzussal keletkező részecskék száma, amely tehát tartalmazza a transzverz impulzus eloszlását. Ezt felösszegezhetjük p t minden α szögére, ekkor a (3.3) egyenlethez jutunk. Ezen a ponton fontos tisztázni a transzverz irány kitüntetett szerepét. A nyalábok összelövésekor a magokat alkotó nukleonoknak csak egy - centralitástól függő - hányada vesz részt az ütközésben, a többi a nyalábirány (z-tengely) körül szóródik. Az ütközés előtt a magok z irányban hordoznak szignifikáns impulzust, ezért az erre merőleges síkba mutató impulzussal keletkező részecskék fognak az ütközésben történtekről hírt vinni (kvantitatívabb indokás olvasható a fejezetben). A detektorok is jórészt a transzverz síkban vannak, így a további cél azoknak az eloszlásoknak a vizsgálata, ahol p z =. Előre bocsátjuk, hogy a 4. fejezetben ismertetett új megoldások szempontjából is lényeges lesz ez a tény, ugyanis a nyalábirányú komponenst gyakorlatilag ott is le fogjuk csatolni a transzverz síkról és kvalitatívan is máshogy fogjuk kezelni. Amennyiben p t szögeloszlása érdekel, úgy a (2.2) egyenletben látható módon a szögfüggés Fourier-sorát írjuk fel. Idézzük fel ezt az összefüggést: N(p t, α) = N(p t ) ( 1 + v n cos(nα) + n=1 ) w m sin(mα) m=1 (3.31) Ahogy azt a 2.2. fejezetben is említettük, geometriailag szabályos ellipszis esetén a két szimmetriatengely miatt mind a szinuszos, mind a páratlan koszinuszos tagok együtthatói nullák lennének. A 4. fejezetben látni fogjuk, hogy ez miért nem teljesül a gyakorlatban. A v n mennyiségeket a következőképpen lehet számolni: v n (p t ) = 2π N(p t, α) cos(nα)dα N(p t ) = cos(nα) (3.32) Mivel a nevező gyakorlatilag normálás, így ezzel cos(nα) szögeloszlásbeli várhatóértékéhez jutunk. Ez alapján az úgynevezett elliptikus folyást (azaz a kétfogású szimmetria mértékét) jellemző mennyiség cos(2α) várhatóértéke: v 2 (p t ) = 2π N(p t, α) cos(2α)dα N(p t ) (3.33) 13

15 Ezek a mennyiségek mind a hadronikus, mind a fotonikus eloszlásra [19] származtathatóak. A mérhető mennyiségeket vizsgálva szembeszökő, hogy azok mind a forrásfüggvényből származnak valamilyen módon, amely pedig a közeg kifagyáskori állapotára jellemző, annak időfüggéséről semmit nem mond A v n harmonikusok mérése A fejezetben bevezetett v n harmonikusok a nehézion-fizika legfontosabb mérhető mennyiségei közé tartoznak, így ebben a fejezetben áttekintünk két módszert, amikkel a kísérleti meghatározásuk kivitelezhető. A kvark-gluon plazma tágulásakor megfigyelt kollektív viselkedést általánosan is szokták folyásnak (angolul flow) nevezni. Ezzel a terminológiával a v n mennyiségek az anizotróp folyás (v 2 az elliptikus folyás) mérőszámai Az eseménysík módszere Szintén említettük a fejezetben a transzverz sík kitüntetett szerepét. A folyás jelensége valójában minden irányban bekövetkezik, így nyalábirányban is. Ha a folyási felületet ellipszoidnak képzeljük el, akkor általános esetben ennek egyik főtengelye sem esik egybe a nyalábiránnyal, a z tengely és a hozzá legközelebb eső főtengely között egy θ flow szög van. Emiatt alapesetben el kell forgatnunk a koordinátarendszert a harmonikusok analíziséhez. Az elfordulás θ flow szöge azonban közelíthető θ flow p x /p nyaláb módon, ami az általunk vizsgált energián kicsi, így ennek a torzulásnak a hatása elhanyagolható, elegendő az elforgatás nélküli transzverz síkot tekinteni [2]. A Fourier komponensek használatának egyik kulcsa az úgynevezett reakciósíkok meghatározása. Definiáljuk először is a másodrendű reakciósíkot, amely az ütköző magok sebességvektorait foglalja magában, ez jelöli ki v 2 számításakor a szögkoordináta kezdőpontját, amely a laborrendszerhez képest Ψ 2 szöggel van elforgatva. Mivel a laborrendszer síkja nem releváns az adatok kiértékelésénél, így egyszerűen a másodrendű reakciósíkot szoktuk reakciósíknak hívni. Fontos megjegyezni, hogy ezen módszer kitalálásakor még nem voltak teljesen tisztában a magasabb rendű reakciósíkok szerepével. A... módon jelölt átlagolás általában az eseményekre való átlagolást is tartalmazza, amit ekkor úgy végeztek el, hogy az egy eseményből kapott eloszlások másodrendű reakciósíkjait forgatták egymásba. Mivel az atommagok nem tökéletes, homogén anyageloszlású gömbök, v 3, v 4 és az őket követő együtthatók értéke jelentős lehet, de ehhez az egyedi eseményekből származó, az adott harmonikushoz tartozó reakciósíkokat átlagolás előtt egymásba kell forgatni. A 5. ábrán a Glauber modell alapján készült Monte-Carlo szimuláció eredménye látható, ez is jó demonstrációja a gömbszimmetriától való eltérésnek. A cos(3α), cos(4α), stb. komponensek rá vannak szuperponálódva az impulzuseloszlásra. Mindegyik koszinuszhoz szoktunk választani egy fáziseltolódást (Ψ 3, Ψ 4,... ), ezek a másodrendű reakciósíkhoz viszonyítva definiálják a magasabb rendű reakciósíkokat. Ezzel konzisztensen cos(2α) kezdőfázisát sokszor nullának választjuk, ezzel ignoráljuk a laborrendszerhez képesti - lényegtelen - orientációt. A 3.33 kifejezést így módosítva kapjuk: v n = cos(n(α Ψ n )) (3.34) 14

16 5. ábra. Illusztráció két ütköző atommag nukleoneloszlásáról. Ebben az esetben még szemmel is jól kivehető egy hárompólusú komponens az ütközésben résztvevő nukleonok (melyeknek számossága N Participants ) elhelyezkedésében. ahol Ψ n az n-edrendű reakciósík. A kísérletileg meghatározott reakciósíkot eseménysíknak szoktuk hívni, amit természetesen a detektált részecskék segítségével határoznak meg. Az n-edik eseménysík fázisszögét a következő összefüggéssel adjuk meg: (w i sin(nα i )) Ψ n = tan 1 i /n (3.35) (w i cos(nα i )) i ahol az összegzés a részecskékre történik, a w i faktorok pedig súlyok. A súlyok használata különböző módokon történhet attól függően, hogy milyen mennyiségben vizsgáljuk a folyást (esetünkben ez többnyire a p t transzverz impulzus). Egy v n harmonikus bármelyik Ψ m eseménysík segítségével meghatározható amennyiben n egész számú többszöröse m-nek. A kísérletileg meghatározott harmonikusokat a vn mért kapjuk meg. = cos(n(α Ψ m )) összefüggéssel Mivel egy eseményben véges mennyiségű részecske keletkezik, amiknek a szögeloszlását véges pontossággal fogjuk detektálni, így a kísérletileg meghatározott v n értékek ezzel a hibával terheltek lesznek. A szakirodalom szerint erre korrigálni lehet, ha elosztjuk vn mért -t az eseménysík felbontásával. A valódi reakciósíkhoz viszonyítva a Fourier kifejtésben szereplő együttható ezzel [2, 21]: ahol k egész szám és optimális esetben n = km. v n = v mért n / cos(km(ψ m Ψ r )) (3.36) A detektorok akceptanciája szögben nem állandó és sehol sem tökéletes, így ez is egy olyan tényező, amire korrigálni kell. Ezt is több módon szokták kivitelezni. Az egyik legelterjedtebb módszer, hogy sok eseményen 15

17 keresztül gyűjtik a részecske detektálásokat, és feltételezik, hogy a véletlenszerű orientáció miatt az eloszlás az akceptancia eloszlásához tart, majd ennek az inverzét használják a korrekcióhoz Kumulánsok módszere A v n koefficiensek kísérleti meghatározására használhatjuk a részecskék korrelációját is [22]. Jelöljük φ j -vel a j-edik részecske detektálási szögét, ahol j = 1,..., M és M az adott eseményben keletkezett részecskék száma, avagy az esemény multiplicitása. Az azimutális (transzverz síkbeli) sokrészecske korrelációt vegyük föl exp [in(φ φ k φ k+1 φ k+l )] alakban, ahol n indexeli a vizsgált harmonikust, a braket pedig olyan átlagolást, ahol először az összes lehetséges k és l részecskék kombinációjára átlagolunk, majd az összes eseményre. Tekintsünk kétrészecske korrelációt, azaz k = l = 1. Ekkor e in(φ1 φ2) = e inφ1 e inφ2 + e in(φ1 φ2) (3.37) ahol e in(φ1 φ2) definíció szerint a másodrendű kumuláns. Ez a mennyiség tulajdonképpen a fizikai korrelációt méri és nem terhelt olyan technikai jellegű hatásokkal, mint például a detektor anizotróp akceptanciája. Ez belátható olyan módon, ha tekintünk egy hipotetikus, tökéletes detektort. Ekkor ugyanis e inφj =, mivel ebben az esetben nem a reakciósíkhoz viszonyítunk, a labor-rendszerbeli orientáció pedig véletlenszerű. Ekkor a jobb oldal első tagja eltűnik és a kumuláns a mért kétrészecske korrelációval lesz egyenlő, azaz e in(φ1 φ2) = e in(φ1 φ2), tehát ideális detektor mellett is megjelenik. Egy reális detektort tekintve azonban (3.37) jobb oldalának első tagja sem tűnik el, így ekkor a kumuláns e in(φ1 φ2) = e in(φ1 φ2) e inφ1 e inφ2 (3.38) Tehát a kumuláns abban az esetben tűnik el, amennyiben a detektor is tökéletes és a részecskék korrelálatlanok. Analóg módon definiálhatjuk a negyedrendű kumulánst a k = l = 2 eseten keresztül. Ekkor a négyrészecske korrelációs függvény e in(φ1+φ2 φ3 φ4) = e in(φ1 φ3) e in(φ2 φ4) + e in(φ1 φ4) e in(φ2 φ3) + e in(φ1+φ2 φ3 φ4) (3.39) ahol e in(φ1+φ2 φ3 φ4) a negyedrendű kumuláns. Ha a részecskék párosával korreláltak, akkor a négyrészecske korrelációs függvényben nemnulla járulékot adó lehetséges párokat (3.39) jobb oldalának első két tagjával adhatjuk meg. Adhat járulékot dierkt négyrészecske korreláció is, de ez el van nyomva 1/M 3 -el, míg e in(φ1+φ2 φ3 φ4) mért értéke 1/M 2 -el arányos [23]. Szimmetria megfontolásokból felírhatjuk a (3.39) egyenletet a következő alakban is: e in(φ1+φ2 φ3 φ4) = 2 e in(φ1 φ3) 2 + e in(φ1+φ2 φ3 φ4) (3.4) Korrelációt nem csak folyási folyamatok tudnak okozni, vannak úgynevezett nem-folyási (nonflow) járulékok is, ilyen lehet például a jet-keletkezés. A nem-folyási járulékok a kétrészecske korrelációhoz 1/M-el 16

18 arányosak, míg egy adott v n vizsgálatakor a folyás vn-el 2 arányos. Ez alapján a másodrendű kumulánst akkor használhatjuk a harmonikusok meghatározására, ha v n 1/ M. Jobb helyzetből indulhatunk, hogyha négyrészecske korrelációt tekintünk és a negyedrendű kumulánst. Ekkor ugyanis a nem-folyási járulékok a kumulánshoz 1/M 3 -el, míg a folyási járulékok vn-el 4 arányosak. Ebben az esetben a kumulánst a folyási járulék dominálja amennyiben v n 1/M 3/4, ami nagy M esetén jelentős javulás. Megjegyzendő még, hogy fizikailag a k = l korrelációk a relevánsak, az offdiagonális (k l)tagok ugyanis a kumulánshoz elhanyagolható járulékot adnak. A kumulánsok előállítására elegáns módszert kínál a következő függvény: G n (z) = M j=1 ( ) 1 + z e inφj + ze inφj = M M j=1 ( 1 + 2x cos(nφ ) j) + 2y sin(nφ j ) M (3.41) ahol z = x + iy most egy komplex változó, nem a nyalábirány koordinátája és z = x 2 + y 2. Ha ezt a függvényt azonos M multiplicitású eseményekre átlagoljuk és hatványsorba fejtjük nyerjük: G n (z) = 1 + z e inφ1 + z e inφ1 + M 1 M ( ) z 2 2 e in(φ1+φ2) + z 2 2 ein(φ1+φ2) + zz e in(φ1 φ2) +... (3.42) Ez alapján G n (z) függvényt sorbafejtve z k z l rendig egy konstans faktor erejéig megkapjuk a (k + l)- részecske korrelációt. A generátorfüggvényt G n (z) segítségével a következő képpen definiáljuk: C n (z) M ( ) G n (z) 1/M 1 (3.43) Ezt z és z szerint hatványsorba fejtve megkapjuk a kumulánsokat: C n (z) k,l z k z l k!l! e in(φ1+ +φ k φ k+1...φ k+l ) (3.44) Tökéletes detektort feltételezve a k l tagok eltűnnek, mivel ekkor C n (z) csak z -től függ. A diagonális (k = l) tagok a fizikailag relevánsak, jelöljük őket c n {2k} módon, ekkor c n {2k} = e in(φ1+ +φ k φ k+1...φ 2k ) (3.45) A v n együtthatók származtatása nem triviális feladat, c n {2k} mérésével azonban becsülhetőek [22]. Ha az ebből számolt folyási harmonikust v n {2k}-val jelöljük, akkor adott harmonikus a különböző generátorfüggvényekkel a következő módokon származtatható: v n {2} 2 = c n {2} (3.46) v n {4} 4 = c n {4} (3.47) v n {6} 6 = c n {6}/4 (3.48) 17

19 Érdemes megbecsülni a számolt v n {2k} és a valódi v n közti δv n {2k} eltérést, melynek két fő forrása a korreláció nem-folyási járulékai és az események véges száma. A nem-folyási 2k-részecske korreláció járuléka M 1 2k nagyságrendű, így az ebből adódó szisztematikus hiba: Hogy ez a hiba ne nőjön túl nagyra, teljesülnie kell a v 2k n v n {2k} 2k v 2k n = O(M 1 2k ) (3.49) M 1 2k relációnak, ami nagy k határesetben: v n 1/M (3.5) A nem-folyási járulékok okozta szisztematikus hiba (3.5) teljesülése esetén így δv n {2k} (Mv n ) 1 2k, tehát k növelésével jelentősen csökkenthető. Tekintsük most az események véges számából (N ev ) adódó statisztikus hibát. A c n {2k} kumuláns 2krészecske korrelációt mér egy adott, M multiplicitású esemény során. Nagy M esetén 2k eseményt durván M 2k -féleképpen választhatunk ki M-ből. Az események számát is figyelembe véve így összesen M 2k N ev kombinációban választhatjuk ki a részecskéket, az ebből adódó statisztikus hiba pedig: v n {2k} 2k v 2k n ( ) 1 = O M 2k N ev (3.51) A szisztematikus hibától eltérően ez láthatóan növekszik k-val. A (3.49) és (3.51) kifejezéseket összevetve az optimális k-ra a következő összefüggés adódik: 2k opt 2 + ln N ev ln M (3.52) A gyakorlatban általában a 2k = 4 eset, azaz a negyedrendű kumuláns használata a legmegfelelőbb. 4. Új megoldások 4.1. Az elliptikusságtól való eltérés Az alábbiakban megmutatom hogyan lehet olyan megoldásokat konstruálni, amik az eddigi - elliptikus - jellegen túl általánosabb geometriájú kezdeti feltételeket is kezelni tudnak [24, 25]. Vizsgálódjunk a transzverz síkban: az eddig talált megoldások mind kétfogású, elliptikus szimmetriát feltételeznek, és a v 2 együttható értékére adnak jóslatot. Ez azt jelenti, hogy bármilyen modell, amiben a skálaváltozónak az elliptikus alakja szerepel, v 3 = -t fog adni. A fejezetben kitértünk a reakciósíkok szerepére. Említettük, hogy bár az elliptikus jelleg a legerősebb minden esetben, az egyes eseményekből származó eloszlásokat átlagolás előtt a magasabb rendű reakciósíkokba forgatva jelentősen megnőnek a magasabb harmonikusok értékei. Ennek oka, hogy az ütköző 18

20 atommagok átfedő tartománya bár első közelítésben elliptikus, valójában véletlenszerűen átfedő nukleonokból áll. Így a magasabb rendű folyási felületek bár mindig jelen vannak, egymáshoz (és az elliptikushoz) képesti orientációjuk véletlenszerű, ez definiálja a magasabb rendű reakciósíkokat (6. ábra). A reakciósíkok egy kapcsolódási pontot jelentenek a modell és a mérések között: a modellbe kézzel beletesszük, a tényleges ütközések adataiból való származtatásuk azonban nem triviális, a fejezetben erre láthattunk egy példát. Az új megoldással szembeni elvárásunk tehát, hogy zárt alakban kezelni tudja a kívánt geometriát és fázistolásokkal definiált magasabb rendű reakciósíkokat. 6. ábra. A reakciósíkok szemléltetése. Az ütközésben résztvevő participánsok (lila nukleonok) által meghatározott geometriát több, fázistolással egymásra rakódott felharmonikussal írhatjuk le. Ezeknek a súlyát az ɛ 2, ɛ 3, stb. aszimmetria paraméterek fogják megadni, és a fázistolások definiálják a magasabb rendű reakciósíkokat (színes nyilak) Új megoldás 1+2 dimenzióban Világos, hogy a realisztikusabb geometriát az s skálaváltozón keresztül kell a modellbe építeni, ehhez pedig érdemes átgondolnunk, milyen szabadságunk van s megkonstruálásában. Hogy az alapegyenleteket kielégítse, egy jó skálaváltozónak tudnia kell az alábbi egyenlőséget: u µ µ s = (4.1) Ennek a részletes indoklása a B csatolmányban megtalálható. Csörgő és társai [17] írása alapján a legáltalánosabb megfelelő s formája s = F (s x, s y, s z ) vagy s = G(s x, s y, s z), ahol F és G tetszőleges függvényei s i és s i (i derékszögű index) mennyiségeknek, melyek alakja: s i = r2 i t 2 (4.2) s i = r2 i τ 2 (4.3) 19

21 7. ábra. s = konstans görbék N = 2, 3, 4 esetekre Látható, hogy a (3.8) alak megfelel ennek a kritériumnak. Kezdetben tekintsük ezt két dimenzióban és írjuk át polárkoordinátákra: s = r2 x X 2 + r2 y Y 2 (4.4) s = r2 (1 + ɛ cos(2φ)) (4.5) R2 Ekkor s egy adott értékéhez tartozó ellipszisnek R a karakterisztikus mérete és ɛ az excentricitása. Minden trigonometrikus függvény tekinthető valamilyen s i vagy s i függvénynek, hiszen pl. a transzverz síkban r cos(φ) = x, ezt pedig szabadon bővíthetjük t-vel vagy τ-val. Ebből a meggondolásból a koszinusz r 2 x +ry 2 függvény argumentuma lehet N φ is: s = r2 R 2 (1 + ɛ N cos(nφ)) (4.6) Ilyen módon átírva a koszinusz periodicitását biztos, hogy s φ-ben egy periódus alatt N-szer veszi fel ugyanazt az értéket (7.ábra). Ebben a pillanatban ɛ időfüggése még nem tisztázott, ez az alapegyenletekbe visszahelyettesítve derül majd ki. Ebből az alakból származtathatunk egy megoldást, amelyet a 3.2 fejezetben részletezett általánosításából nyerhető: u µ = γ ( 1, ) Ṙ Ṙ r cos φ, R R r sin φ ( γ 2 R 2 ) 1/κ 1 T = T R 2 f(s) (4.7) (4.8) p = p ( γ 2 R 2 R 2 n = p(x) T (x) = n ) (κ+1)/κ (4.9) ( γ 2 R 2 ) R 2 f(s) (4.1) ekkor γ = 1 1 r 2Ṙ2 /R 2, u t a transzverz tágulási sebesség, mely egy négyessebesség komponens, így elvileg lehetne nagyobb 1-nél (c = 1). Amennyiben R = u t t alakú, akkor visszakapjuk az u µ = xµ τ alakú sebességmezőt és ekkor R = u t τ. A κ állapotegyenleti paraméter ebben az esetben is tetszőleges konstans, γr R 2 = τ τ,

22 f(s) a skálaváltozó tetszőleges függvénye, amennyiben f() = 1, ekkor ugyanis: T = T (τ = τ, s = ) (4.11) p = p(τ = τ, s = ) (4.12) A formulák tudják a kívánt szimmetriát, kérdés, hogy megoldásai e a relativisztikus hidrodinamika egyenleteinek. A 3.2. fejezetben említettük, hogy X(t),Y (t) és Z(t) skálaparaméterek csak egy időben lineáris tagot tartalmazhatnak. Ez a fejezet elején tárgyalt meggondolásokból, s alakjából következik, egy konstans tag ugyanis sértené a (4.2) és (4.3) alakokat. Bár a fenti megoldásban az s skálaváltozó R = u t t esetén gyakorlatilag a Csörgőék által megadott s alakú skálaváltozók közé tartozik, azért nem vetjük el rögtön annak a lehetőségét, hogy az új megoldásban több szabadságunk is legyen R(t)-ben. Visszahelyettesítve a (3.1) és (3.2) egyenletekbe két megszorítás adódik: egyrészt ɛ =, azaz ɛ-nak ebben a modellben időben állandónak kell lennie, másrészt kapunk egy differenciálegyenletet R(t)-re: R = Ṙt (4.13) Ennek a megoldása R(t) = konst t, tehát az R(t) = u t t alakra kell szorítkoznunk. Általában egy megoldás helyességét egyszerűen a (3.1) és (3.2) alapegyenletekbe való visszahelyettesítéssel ellenőrizhetjük. Ez néha meglehetősen hosszú számolás, és sok esetben leegyszerűsíthetjük a dolgunkat. Vegyük ugyanis észre, hogy minket elsősorban a skálaváltozó érdekel, ez pedig csak a (3.1) kontinuitási egyenletben szerepel. Ha u µ, T (x), n(x) és p(x) helyességéről már meggyőződtünk és csak s-et módosítjuk, akkor elegendő a (4.1) egyenlet teljesülését ellenőrizni (lásd a B csatolmányban). Hosszadalmas lenne minden új megoldás teljesülését bemutatni, így nézzük meg csak ezt az 1+2 dimenziós esetet, a többi hasonlóan végezhető. Hogy az említett kritériumnak utánaszámolhassunk, konstruáljuk meg µ operátor komponenseit polárkoordinátákban: t f(t, r, φ) = f t x f(t, r, φ) = cos φ f r sin φ r y f(t, r, φ) = sin φ f r + cos φ r f φ f φ (4.14) (4.15) (4.16) Ezzel µ s komponensei: t s = N t s (4.17) x s = N r y s = N r sin φ s cos φ r cos φ s sin φ + r Felhasználva, hogy u µ (4.7) beli alakjában R = u t t, így r N (1 Nɛ sin Nφ) (4.18) RN r N (1 Nɛ sin Nφ) (4.19) RN Ṙ R = 1/t az indexek összeejtésével a következőhöz 21

23 jutunk (a sebességmező γ szorzóját ki sem írjuk): N t s + N t s cos2 φ 1 t cos φ sin φ rn R N (1 Nɛ sin (Nφ)) + N t s sin2 φ + 1 t rn cos φ sin φ (1 Nɛ sin (Nφ)) = RN (4.2) Látszik tehát, hogy ebben a 2+1 dimenziós esetben valóban kielégítettük a megfelelő egyenleteket. A további felírt megoldások mind viszonylag gyorsan ellenőrizhetők (4.1) segítségével, külön nem fogjuk részletezni a számolásokat Kiterjesztés 1+3 dimenzióra A fenti megoldást többféleképpen lehet általánosítani három térdimenzióra, természetesen minden változatot vissza kell helyettesíteni az alapegyenletekbe. A fejezetben beszéltünk a transzverz sík kitüntetett szerepéről. Ezt szem előtt tartva az N fogású szimmetriát meghagyhatjuk csak a nyalábirányra merőleges síkban, és a formulákhoz additív módon hozzáírhatunk egy z irányú tagot, ehhez pedig a hengerkoordináták fognak illeszkedni. Ez azért is szerencsés, mert így nem keverednek a nyaláb- és a transzverz irányú komponensek és a számolás is könnyebbé válik. s-nek. s = r2 R 2 (1 + ɛ N cos(nφ)) + z2 R 2 (4.21) ( ) u µ Ṙ Ṙ Ṙ = γ 1, r cos φ, r sin φ, R R R z (4.22) ( ) 3 γr κ 1 T (x) = T (4.23) R f(s) p(x) = p ( γr R n(x) = p(x) T (x) = n ) 3+ 3 κ (4.24) ( ) 3 γr f(s) (4.25) R Ebben az esetben γ = 1 1 ρ 2Ṙ2 /R 2, ahol ρ2 = r 2 + z 2, κ tetszőleges konstans, f(s) tetszőleges függvénye Bár a továbbiakban ezt az alakot fogjuk használni, felírok egy gömbi koordináta-rendszerbeli megoldást is, amely z irányban is tudja az N-pólusú szimmetriát: 22

24 s = r2 R 2 [1 + ɛ a(cos(nφ)(1 cos(nθ)) + ɛ b cos(nθ)] (4.26) ( ) u µ Ṙ Ṙ Ṙ = γ 1, r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, R R R r cos θ (4.27) ( ) 3 γr κ 1 T (x) = T (4.28) R f(s) p(x) = p ( γr R n(x) = p(x) T (x) = n ) 3+ 3 κ (4.29) ( ) 3 γr f(s) (4.3) R Ekkor r 2 = r 2 x + r 2 y + r 2 z, és γ = 1 1 r 2Ṙ2 /R 2, ɛ a és ɛ b különböző irányokra vonatkoztatott excentricitás, κ a már jól ismert tetszőleges konstans, f(s) szintén a már alkalmazott tetszőleges függvény Megoldások többszörös szimmetriával Az 1+3 dimenziós megoldásban N, azaz a szimmetria (vagy épp aszimmetria) paramétere csak a skálaváltozóban jelenik meg. Így amennyiben azt szeretnénk, hogy a modell több, egymásra szuperponálódott forgási szimmetriát tudjon kezelni, elég a skálaváltozót módosítani, hiszen ez hivatott a termodinamikai mennyiségekre nézve konstans felületeket leírni. Mint azt láttuk korábban, valamilyen s alakú skálaváltozót kell felírnunk, csak most több, különböző súlyokkal egymásra szuperponált szimmetria tulajdonságokkal. Ezt sokféleképpen megtehetjük, és a különböző s-ek között a mérési adatokra illesztéssel tudunk majd dönteni. Az alábbi alak praktikus lenne abból a szempontból, hogy az r és z koordináták csak egy hatványon szerepelnek benne és csak a koszinuszos tagokra szummázunk, ezzel gyakorlatilag a minimálisan elegendő változtatást eszközöljük: [ s = r2 R N ɛ N cos(n(φ ψ N )) ] (4.31) A ψ N fázistolások szerepéről már volt szó a 4. fejezetben, azonban mivel φ-ben körintegrálni fogunk, így a fizikai mennyiségekben nem várunk emiatt változást. A hidrodinamikát leíró egyenletekben a differenciáloperátor tud hatni a szummán belül tagonként, így nem okoz problémát ez az alak, továbbra is megoldásról beszélünk. Az adatokra illesztésnél azonban az fog kiderülni, hogy sokkal jobban leírja a jelenséget a következő skálaváltozó: s = N r N R N [1 + ɛ N cos(n(φ ψ N ))] (4.32) Ezzel olyan megoldáshoz jutunk, amivel az egyes esetek kombinálásával szinte tetszőleges profilú kezdeti feltétel kezelhetővé válik (8. ábra). 23

25 8. ábra. s = konstans felületek egymásra szuperponált aszimmetriák esetén Foglaljuk össze mire jutottunk. Egy különálló ütközésben a geometriai kezdeti feltételekben a legmarkánsabb az elliptikus jelleg, de a fluktuációk miatt már az ütköző tartomány esetében is sérül ez a szimmetria. A tágulás során a térmennyiségek (minden jel szerint) (3.1) és (3.2) egyenleteknek megfelelően propagálódnak. A sajátidő mentén pillanatszerűnek feltételezett kifagyás után detektáljuk a részecskéket, és impulzuseloszlást mérünk. A modellben ezt a részt a forrásfüggvény oldja meg, amelybe most már az új megoldást is beírhatjuk. Az egymásra rakódott kettő- három- stb. pólusokból annyit veszünk be, amennyit indokoltnak vélünk, a v n mennyiségek származtatása innentől kezdve jórészt matematikai/programozási feladat. 5. Mérhető mennyiségek származtatása Megkonstruáltuk tehát a kívánt tulajdonságokkal bíró megoldásokat, ám az adatokkal való összevetéshez származtatni kell az egyrészecske spektrumot és a v n együtthatókat. A konvenció továbbra is az, hogy a transzverz sík szögkoordinátáját φ, míg a transzverz impulzusét α jelöli Egyrészecske impulzuseloszlás Idézzük fel a (3.29) kifejezést: N(p) = S(x, p)d 4 x Számoljunk ki néhány mennyiséget, amikre szükség lesz. A fejezetben beszéltünk róla, hogy a p z = eloszlásokra vagyunk kíváncsiak. Az f(s) függvényt vegyük fel e bs alakban: p µ u µ = p µx µ = Et r xp x r y p y τ τ T (x) = p(x) ( n(x) = T τ ) 3/κ e bs τ p µ u µ skalárszorzatot átírva hengerkoordinátákba kapjuk: (5.1) (5.2) r x p x + r y p y = rp t (cos φ cos α + sin φ sin α) = rp t cos(α φ) (5.3) p µ u µ = p µx µ τ = Et rp t cos(α φ) τ (5.4) 24

26 Ezeket behelyettesíthetjük a forrásfüggvénybe, amelyet d 4 x szerint integrálva kapjuk meg az egyrészecske impulzuseloszlást: [ N(p t, α) = n e bs exp Et rp t cos(α φ) f(s) τt ( τ ) ] 3/κ δ(τ τ ) τ τ t Et rp t cos(α φ) d 4 x (5.5) τ Mivel a függvény sajátidőben Dirac-delta, érdemes t-ről τ-ra áttérni és elvégezni az integrált. Ezen kívül írjuk át a d 3 x mértéket hengerkoordinátáknak megfelelően. Ekkor: τ τ dt τ t dτ t τ 2 + r2 + z 2 d 3 x rdrdφdz N(p t, α) = n e bs exp [ ] E τ 2 + r2 + z 2 rp t cos(α φ) e bs τ T E τ 2 + r2 + z 2 rp t cos(α φ) τ 2 + r2 + z 2 rτ drdφdz (5.6) Vegyük észre, hogy a κ függés csak τ τ kitevőjében jelenik meg, így a Dirac-delta integrálásakor ez a függés kiesik, tehát a mérhető mennyiségek szempontjából tetszőleges állandó. Fontos viszont látni, hogy a forrásfüggvény a hadronizáció pillanatában írja le a rendszert, viszont ha a kapott mennyiségek illesztésével rögzítenénk a paramétereket és kifagyástól kezdve visszafelé vizsgálnánk az időfejlődést(τ < τ -ra), az már κ-függő lenne, tehát a dinamikai változókban már számítana Spektrum és v n mennyiségek (3.3) és (3.33) a következőképpen néznek ki a p z = esetben: N(p t ) = 1 2π v n (p t ) = 2π 2π N(p t, α)dα (5.7) N(p t, α) cos(nα)dα N(p t ) Az integrál N = 2 esetén elvégezhető a megfelelő közelítésekkel, tetszőleges, vagy kettőnél nagyobb N- re durva egyszerűsítésekkel lehetne esetleg analitikus alakra jutni, az adatokkal való összevetéshez ebben a pillanatban marad a numerikus út. Megjegyzendő azonban, hogy az α integrál jó eséllyel elvégezhető analitikusan, hiszen létezik a következő I n (x) = 1 π π (5.8) e x cos φ cos(nφ)dφ, (5.9) integrális alak I n (x) a módosított Bessel-függvényre, és az integrál α-ban ilyen alakra hozható. 25

27 5.3. Numerikus számítások Mivel numerikus módszerekhez fordultunk, újra kell gondolni a célkitűzéseket. A hidrodinamikai modellnek hosszú előélete van, ebből néhány paraméter körülbelüli értékeit tudhatjuk [18]. A kifagyó részecskék közül a pionok spektrumára vagyunk leginkább kíváncsiak, az ő tömegük M = 14 MeV. Ami a transzverz impulzust illeti, nagyjából a p t = MeV tartományra vagyunk kíváncsiak, bár azt várjuk, hogy 2 GeV fölött már nem a hidrodinamika írja le a folyamatokat. A τ paramétert tipikusan 7, 7 fm/c környékén várjuk, hőmérsékletben a T = 2 MeV körüli intervallum az érdekes. Összességében két módon érdemes eljárnunk. Egyrészt a mérhető mennyiségek paraméterektől való függését vizsgálhatjuk, ehhez vesszük a paramétereknek valamilyen konfigurációját, és ehhez képest mindig csak egy paramétert változtatva kiszámítjuk a spektrumot és a v n mennyiségeket p t függvényében. Másrészt a mért adatokra illesztéssel vizsgálhatjuk a paraméterek centralitás függését. Mivel a téridőre való integrálásból az időt el lehetett végezni, így a három térkoordináta maradt. Néhány teszt után az adódott, hogy a megfelelő optimalizálással három egymásba ágyazott egydimenziós integrál számítási ideje tolerálható, nem érdemes Monte-Carlo típusú programokat írni. A hengerkoordináták előnye, hogy három végtelen intervallum helyett a φ integrálás határai jól definiáltak. A z és r koordináták intervallumra szűkítését megpróbáltam a következő változó-helyettesítéssel kiküszöbölni: +1 f(x)dx = f f(x)dx = 1 1 f ( ) t 1 + t 2 1 t 2 (1 t 2 dt (5.1) ) 2 ( ) t 1 dt, (5.11) 1 t (1 t) 2 értelemszerűen z-ben a végtelen, r-ben a félvégtelen esetet véve. Az algoritmus egy nyílt Newton-Cotes formula, a Milne szabály volt, amely egy negyedrendű módszer és egy felosztáson belül három belső pontot használ, így elkerüli a határértékben végtelenből adódó szingularitásokat. A függvény azonban túl lokalizáltnak bizonyult ehhez az eljáráshoz, túl kevés mintavételezési pont esett a releváns tartományra, így az eredmény nagyon lassan konvergált a felbontás finomításával. Jobb megoldás volt adni egy becslést a függvény szélességére, és ennek a néhányszorosán végezni a számítást. Mivel ehhez valóban elég egy durva becslés, ezért kirajzoltattam a függvényalakot mindenféle paraméterértékekre, szem előtt tartva, hogy a lehető legszélesebb részt is fel tudjam mérni. A számításhoz áttértem egy zárt formulára, a Simpson 3/8 szabályra, mely egy [a, b] intervallum fölötti integrált a következő módon közelít: b a f(x) = b a 8 (f + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ), (5.12) ahol f i = f(a + i b a 3 ). Mivel α-ban a függvény cos(nα) jellegű, így v n számításakor ebben a változóban nem volt indokolt a Simpson 3/8-hoz hasonló pontos (és így lassabb) algoritmusra, így α-ban csak téglalap módszerrel számoltam, és ez is meglepően hamar konvergált a felosztással. 26

28 jelölés érték megnevezés T (MeV) 2 központi kifagyási hőmérséklet u t, 6 transzverz tágulási sebesség b (1/fm), 8 hőmérsékleti gradiens τ (fm/c) 7, 7 kifagyás sajátideje ɛ 2, 5 elliptikus excentricitás ɛ 3, 25 trianguláris excentricitás ɛ 4, 8 négypólusú excentricitás 1. táblázat. Összefoglaló a standardnak használt értékekről. A paraméterektől való függések vizsgálatánál egyszerre egyet változtattunk. 6. Eredmények 6.1. Paraméterektől való függés Kezdjük az eredménygörbék paraméterektől való függésével. Az 1. táblázatban egy összefoglaló olvasható a standardnak használt értékekről, az ezektől való eltérések vizsgálatánál mindig csak egyet változtattunk. Az első lényeges tapasztalat, hogy a spektrum nem érzékeny ɛ N értékekre. Ezt várjuk is, hiszen nem gondoljuk, hogy több vagy kevesebb részecske keletkezne tisztán a geometriai elrendeződéstől. A C.1. ábrán a pion, kaon és protonspektrum látható fix ɛ N -re, illetve a pionspektrumot ábrázoltam más excentricitások mellett is, ám a görbék ábrázolási pontosságon belül egymáson futnak. Ez azt is jelenti, hogy a spektrum számításánál a korábbi megoldásokat nem kell ilyen módon korrigálni, ezeknek pedig adott esetben létezik analitikus megoldása. Végezhetünk egy önellenőrzést olyan módon, hogy csak egy páros, illetve csak egy páratlan aszimmetria paramétert teszünk a modellbe. A várakozás az, hogy a páros-páratlan harmonikusok nem keverednek, azaz csak ɛ 2 használata esetén lesz v 2 és v 4, azonban v 3 = -ra számítunk (C.2. ábra). Ezzel szemben ɛ 2 = ɛ 4 = és ɛ 3 esetén csak v 3 -ra várunk nemnulla értékeket (C.3. ábra). A b-től való függést a C.4. ábra, míg u t -től valót a C.5. ábra grafikonjai szemléltetik. Ezektől a paraméterektől a görbék nem csak kisebbek vagy nagyobbak lesznek, hanem a jellegüket is erősen változtatják. A T paramétertől való függést szemlélteti a C.6. ábra, ezen a hőmérséklettel csökkenő trend látható. A C.7. ábrán a τ változtatásával kapott görbéket láthatjuk, erre gyakorlatilag mondatjuk, hogy nem érzékenyek a folyási együtthatók Mérési adatokra illesztés Az integrálási algoritmust a ROOT programcsomag [26] Minuit2Minimizer illesztési és hibaszámítási algoritmusába ágyaztam és a PHENIX által mért 2 GeV-es Au-Au ütközésekből származó adatokra illesztettem [27]. Az illesztési paraméterek kezdetben ɛ 2, ɛ 3, ɛ 4, u t és b voltak, de az eredmények arra utaltak, hogy ha b és u t is illesztési paraméter, akkor túlhatározott a probléma, korreláció van a paraméterek között. Ennek feloldására rögzített b érték mellett próbálkoztam, ekkor az algoritmus jól konvergált. 27

29 % Phenix v 2 Phenix v 3 Phenix v 4 v n p t [GeV] 9. ábra % Phenix v 2 Phenix v 3 Phenix v 4 v n p t [GeV] 1. ábra A ábrákon az illesztett görbéket és a mért pontokat láthatjuk b =, 8 mellett. Mivel p t = 2 GeV fölött már nem a hidrodinamikát gondoljuk a helyes modellnek, így ebben a tartományban nem illesztettünk, az itt mért pontok az ábrákon szürkével vannak jelölve. A korreláció miatt érdemes úgy eljárni, hogy végigpásztázva a b-ben relevánsnak gondolt tartományt és vizsgálva a χ 2 értékeket egy intervallumot adjunk b értékére. Az illesztésekből kapott χ 2 értékeket b függvényében különböző centralitásoknál a C.8. ábrán tanulmányozhatjuk. Ez alapján b =, 5 és b =, 2 között jó illeszkedést kapunk, ezen az intervallumon kívül jelentősen elromlik az illesztés. Hasonló áttekintő ábrához és így egy jó önellenőrzéshez jutunk ɛ 2 ugyanilyen ábrázolásával (C.9. ábra). A hitelesnek vélt tartomány jó analógiában van a C.8. ábrán tapasztalttal. Láthatóan van b-függés ɛ 2 -ben, így összességében b-re egy konfidencia intervallumot érdemes adni. A paraméterekre kapott értékek a 2. táblázatban vannak összefoglalva. A paramétereket és a statisztikus hibát a jó tartományra való átlagolással nyertük. A b-függés miatt fellépő szisztematikus hibát bővebben a 2. táblázat alatt részletezzük. A további paraméterek vizsgálatánál is így jártunk el, az ilyen módon kapott centralitásfüggést mutatja 28

30 % Phenix v 2 Phenix v 3 Phenix v 4.12 v n p t [GeV] 11. ábra % Phenix v 2 Phenix v 3 Phenix v 4.15 v n p t [GeV] 12. ábra % Phenix v 2 Phenix v 3 Phenix v 4.15 v n p t [GeV] 13. ábra 29

31 -1% 1-2% 2-3% 3-4% 4-5% ɛ ±.2.34 ± ± ± ±.6 ɛ 3.99 ± ± ± ± ±.4 ɛ 4.44 ±.2.69 ±.2.96 ±.3.11 ± ±.12 u t.739 ± ± ± ± ±.3 2. táblázat. A PHENIX 2 GeV-es Au-Au adataira való illesztés paraméterei statisztikus hibával, a jó illeszkedést mutató tartományra átlagolva. A paraméterek b-függése miatt fellép egy szisztematikus hiba, ez centralitástól függetlenül 27% ɛ 2 -re, 8% ɛ 3 -ra, 9% ɛ 4 -re és 17% u t -re. 14. ábra. A paraméterek centralitásfüggése, a PHENIX 2 GeV-es Au-Au ütközések eredményeire illesztésből. A sávok a b függés miatti szisztematikus hibát szemléltetik. a 14. ábra. Ez alapján azt látjuk, hogy a centralitásosztály növekedésével ɛ 2 jelentősen nő, míg ɛ 3 -ban és ɛ 4 -ben egy enyhébb növekedést látunk. Ezt várjuk is: a nagyobb centralitásosztályokhoz periférikusabb ütközések tartoznak, ezekben az elliptikus jelleg markánsan felerősödik. A magasabb rendű aszimmetria-paraméterek már a fluktuációk következményei, így ezek kevésbé drasztikusan nőnek, míg u t -ben nem tapasztalunk jelentős változást. 7. Összefoglalás Ezen dolgozat elsődleges célja az ismert hidrodinamikai modellek kiterjesztése volt: a többpólusú (és így reálisabb) kezdeti feltételek megfelelő kezelésére alkalmas megoldás megtalálása, és a megfigyelhető mennyiségek származtatása. Röviden áttekintettük a kvarkfolyadék megismerésének lépéseit, és ezzel a hidrodinamika mint eszköz létjogosultságára is fény derült, majd bemutattam a mérhető mennyiségeket, és hogy miként kell őket származtatni a modellből. Az új megoldás egzakt, 1+3 dimenziós, nem elliptikus, és ezzel az első ilyen megoldás a relativisztikus hidrodinamikában. Láttuk, hogy több ilyen megoldás összege is megoldás, ezzel adaptálódhatunk a kezdeti feltételekhez. Az is kiderült, hogy szigorúan véve amit megtaláltunk az egy ismert 3