V sivo polje ne pišite. / A szürke mezőbe ne írjon!

Átírás

1 *M M*

2 /0 *M M0* NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli. Prilepite kodo oziroma vpišite svojo šifro (v okvirček desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalni obrazec). Svojo šifro vpišite tudi na konceptna lista. Izpitna pola vsebuje 1 kratkih nalog. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 80. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s standardno zbirko zahtevnejših formul na strani 3. Rešitve, ki jih pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom, vpisujte v izpitno polo v za to predvideni prostor. Rišete lahko tudi s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev zapišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z 0 točkami. Stran 17 je rezervna; uporabite jo le, če vam zmanjka prostora. Jasno označite, katere naloge ste reševali na tej strani. Osnutki rešitev, ki jih lahko naredite na konceptna lista, se pri ocenjevanju ne upoštevajo. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni. Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg azt a felügelő tanár nem engedélezi! Ragassza vag írja be kódszámát (a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelő lapra)! Kódszámát a pótlapokra is írja rá! A feladatlap 1 rövid feladatot tartalmaz. Összesen 80 pontot érhet el. A feladatlapban a feladatok mellett feltüntettük az elérhető pontszámot is. A feladatok megoldásakor használhatja a 4. oldalon található standard képletgűjtemént. Válaszait töltőtollal vag golóstollal írja a feladatlap erre kijelölt helére! Rajzoláshoz használhat ceruzát is. Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd válaszát írja le újra! Az olvashatatlan megoldásokat és a nem egértelmű javításokat 0 ponttal értékeljük. A 17. oldal tartalék; ide csak akkor írjon, ha elfog a hele. Egértelműen jelölje meg, melik feladatok megoldását írta erre az oldalra! A pótlapokra készített vázlatokat az értékelés során nem vesszük figelembe. A válasznak tartalmaznia kell a megoldásig vezető műveletsort az összes köztes számítással és következtetéssel egütt. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egértelműen jelölje, melik megoldást értékeljék! Bízzon önmagában és képességeiben! Eredménes munkát kívánunk!

3 *M M03* 3/0 Formule n n n-1 n- n-3 n-3 n- n-1 a + b = ( a + b)( a - a b+ a b a b - ab + b ), če je n liho naravno število n n ( )( n-1 n- n-3 n-3 n- n-1 a - b = a- b a + a b+ a b a b + ab + b ), če je n Î Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: a = ca 1, b cb 1, Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: R = abc, r = S, 4S s Kotne funkcije polovičnih kotov: sin x = 1-cosx, cos x = 1+ cosx, Adicijski izrek: sin( x + ) = sinxcos+ cosxsin cos( x + ) = cosxcos-sinxsin tanx + tan tan( x + ) = 1 - tanxtan tan x = sinx 1+ cos x = vc = ab 11 s = a + b + c Faktorizacija: x + x - x + x - sinx + sin = sin cos, sinx - sin = cos sin x + x - x + x - cosx + cos = cos cos, cosx - cos =- sin sin sin( x ) tanx tan = cosxcos Razčlenitev produkta kotnih funkcij: sinxsin =- 1 écos( x + ) -cos( x-) ù ë û cosxcos = 1 écos( x + ) + cos( x-) ù ë û sinxcos = 1 ésin( x + ) + sin( x-) ù ë û Razdalja točke (, ) T x od premice ax b c 0: Ploščina trikotnika z oglišči Ax (, ) B( x, ) (, ) 1 1, S = 1 x -x - - x -x - ( )( ) ( )( ) dt, p + - = ( ) 0 0, Elipsa: e = a - b, e = e, a > b a Hiperbola: e = a + b e, e =, a je realna polos a p Parabola: = px, gorišče G æ ç, 0 ö è ø ( ) Kompozitum funkcij: ( g f)( x) = g f( x) n k Pnpk k p p - n k Bernoullijeva formula: (,, ) = ( ) ( 1- ) Integral: d 1 ò x arc tan x C x + a = a a + C x : ax + b -c = a + b

4 4/0 *M M04* Képletek n n n n n n n n a b a b a a b a b... a b ab b, ha n páratlan természetes szám n n n n n n n n a b a b a a b a b... a b ab b, ha n vc A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: a ca 1, b cb 1, A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: R abc, r S, 4S s A félszögek szögfüggvénei: sin x 1 cosx ; cos x 1 cosx ; tan x sin x 1 cos x Addíciós tételek: sin x sin xcos cos xsin cos x cos xcos sin xsin tan x tan tan x 1 tanxtan Összegek szorzattá történő alakításának képletei: x x x x sin x sin sin cos, sin x sin cos sin x x x x cos x cos cos cos, cos x cos sin sin sin x tan x tan cos x cos A szorzatok összeggé történő alakításának képletei: sin xsin 1 cos x cos x cos xcos 1 cos x cos x sin xcos 1 sin x sin x A, T x pont távolsága az ax b c Az A x, B x, Cx, 1 1,, dt, p ab 11 s a b c egenletű egenestől: csúcsú háromszög területe: S 1 x x1 3 1 x3 x1 1 Ellipszis: e a b, e, a b a Hiperbola: e a b e,, a a hiperbola valós féltengele a Parabola: p px, G,0 a parabola fókuszpontja Összetett (kompozítum) függvén: ( g f )( x) g( f( x)) Bernoulli-képlet: Integrál: d x k n k n k Pnpk (,, ) p (1 p) 1 arc tan x x a a a C 0 ax b c a b

5 *M M05* 5/0 1. V pravokotnem koordinatnem sistemu v ravnini so narisane premice p, q in r. Te tri premice in abscisna os oklepajo paralelogram ABCD (gl. sliko). Zapišite enačbe premic ter izračunajte ploščino in obseg paralelograma. Rezultata naj bosta točna. A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoltuk a p, q és r egeneseket. Az említett három egenes és az abszcisszatengel határolja az ABCD paralelogrammát (lásd az ábrát). Írja fel az egenesek egenletét, és számítsa ki a paralelogramma területét és kerületét! Az eredmének legenek pontosak! r A B D p C q x Enačba premice p : A p egenes egenlete: Enačba premice q : A q egenes egenlete: Enačba premice r : Az r egenes egenlete: Ploščina paralelograma ABCD : Az ABCD paralelogramma területe: Obseg paralelograma ABCD : Az ABCD paralelogramma kerülete: () () (7 točk/pont)

6 6/0 *M M06*. Na sliki so narisane množice A, B in A képen ábrázoltuk az A, B és A = B B Ç C C. Zapišite množice z naštevanjem elementov. C halmazokat. Írja fel a halmazokat az elemeik felsorolásával! A = È A= A- C = B ( AÇBÇ C) = C B (5 točk/pont)

7 *M M07* 7/0 3. Rešite enačbe. Rezultati naj bodo točni. Oldja meg az egenleteket! Az eredmének legenek pontosak! x + x = 4 4 x = log4 x = 4sinx = () (3) (7 točk/pont)

8 8/0 *M M08* 4. Izračunajte velikosti notranjih kotov štirikotnika ABCD in dolžino diagonale f BD. Számítsa ki az ABCD négszög belső szögeinek nagságát és az f A 8 cm a 1 cm D d 8 cm b 8 cm g C 1 cm BD átló hosszúságát! B (8 točk/pont)

9 *M M09* 9/0 5. Naj bo ( ) z = x 4-3i + 5i+ i, z Î. Izračunajte realno število x tako, da bo veljalo Rez = Im z. Legen ( ) z = x 4-3i + 5i+ i, z Î. Számítsa ki az x valós számot úg, hog fennálljon az Rez = Imz összefüggés! (5 točk/pont)

10 10/0 *M M10* 3 6. V prostoru so dani vektorji a = ( 1,, -1), b = ( 3, -,-1 ) in c = ( 1, 1, ). 3 Az térben adottak a következő vektorok: a = ( 1,, -1), b = ( 3, -,-1 ) és c = ( 1, 1, ) Računsko pokažite, da sta vektorja a in b pravokotna. Számítással mutassa be, hog az a és b vektorok merőlegesek egmásra! () 6.. Izračunajte dolžini vektorjev a in c ter velikost kota med njima. Velikost kota zaokrožite na dve decimalni mesti. Számítsa ki az a és c vektorok hosszúságát, valamint az általuk bezárt szöget! A szög nagságát kerekítse két tizedesjeg pontossággal! (5) (7 točk/pont)

11 *M M11* 11/0 7. V dani koordinatni sistem narišite elipso z enačbo 4x = 0. Zapišite gorišči elipse. Zapišite enačbo krožnice, ki ima središče v desnem temenu dane elipse in se dotika ordinatne osi. Ábrázolja a 4x = 0 egenletű ellipszist a megadott koordináta-rendszerben! Írja fel az ellipszis mindkét gújtópontját (fókuszpontját)! Írja fel annak a körvonalnak az egenletét, amelnek középpontja az adott ellipszis jobb csúcspontjában van, és érinti az ordinátatengelt! x (7 točk/pont)

12 1/0 *M M1* 8. Izračunajte, za katere x so x -3, x -1 in 1- x zaporedni členi aritmetičnega zaporedja. Számítsa ki, hog mel x számok esetén lesznek az x -3, x -1 és 1- x számok eg számtani sorozat egmást követő elemei! (5 točk/pont)

13 *M M13* 13/0 9. Na sliki je graf polinoma p tretje stopnje. A képen a harmadfokú p polinom grafikonja látható. p x 9.1. Zapišite predpis polinoma p v faktorizirani obliki (ničelni obliki). A p polinom hozzárendelési szabálát írja fel gökténezős alakban! 9.. V dani koordinatni sistem narišite graf polinoma sx ( ) = px ( ) + 1. (5) Ábrázolja az sx ( ) = px ( ) + 1 polinom grafikonját a megadott koordináta-rendszerben! (6 točk/pont)

14 14/0 *M M14* 10. Racionalna funkcija f ima predpis f( x) = x + 3. Zapišite točki E ( ) x + 1 x1, 1 in E ( x, ), ki sta 1 lokalna ekstrema funkcije f. V kateri točki ima funkcija lokalni minimum in v kateri lokalni maksimum? Odgovor utemeljite. Az f racionális törtfüggvén hozzárendelési szabála f( x) = x + 3. Írja fel az E ( ) x + 1 x1, 1 és 1 E ( x, ) pontokat, amelek az f függvén lokális szélsőértékei! Melik pontban van a függvén lokális minimuma, és melikben a lokális maximuma? Válaszát indokolja meg! (8 točk/pont)

15 *M M15* 15/0 11. Dani sta realni funkciji f in g s predpisoma ( ) f x = x in gx ( ) = 6- x. Izračunajte ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij f in g. Adottak az ( ) f x = x és gx ( ) = 6- xhozzárendelési szabállal megadott f és g valós függvének. Számítsa ki a függvének grafikonjai által határolt síkidom területét! (7 točk/pont)

16 16/0 *M M16* 1. V kvadratu s stranico a je narisana daljica AT (gl. sliko), tako da je razmerje ploščin nastalih likov : 3. Izračunajte razmerje dolžin : DT TC. Az a oldalú négzetben látható AT szakaszt (lásd az ábrát) úg rajzoltuk meg, hog a keletkezett síkidomok területének arána : 3. Számítsa ki a DT : TC hosszúságok aránát! D A a T C a B (8 točk/pont)

17 *M M17* 17/0 REZERVNA STRAN TARTALÉK OLDAL

18 18/0 *M M18* Prazna stran Üres oldal

19 *M M19* 19/0 Prazna stran Üres oldal

20 0/0 *M M0* Prazna stran Üres oldal