*M M* Višja raven Emelt szint MATEMATIKA

Átírás

1 Š i f r a k a n d i d a t a : A j e l ö l t k ó d s z á m a : Državni izpitni center *M M* Višja raven Emelt szint MATEMATIKA Izpitna pola 1 1. feladatlap Sobota,. junij 007 / 90 minut 007. június., szombat / 90 perc SPOMLADANSKI ROK TAVASZI IDŐSZAK Dovoljeno dodatno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese s seboj nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, računalo brez grafičnega zaslona in brez možnosti računanja s simboli, šestilo in dva trikotnika, lahko tudi ravnilo. Kandidat dobi dva ocenjevalna obrazca in dva konceptna lista. Engedélyezett segédeszközök: a jelölt töltőtollat vagy golyóstollat, ceruzát, radírt, csak műveleteket végző zsebszámológépet, körzőt és háromszögvonalzót vagy vonalzót hoz magával. A jelöt két értékelőlapot és két vázlatlapot is kap. SPLOŠNA MATURA ÁLTALÁNOS ÉRETTSÉGI VIZSGA Navodila kandidatu so na naslednji strani. A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható. Ta pola ima 0 strani, od tega 4 prazne. A feladatlap terjedelme 0 oldal, ebből 4 üres. RIC 007

2 M M NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne izpu{~ajte ni~esar! Ne obra~ajte strani in ne za~enjajte re{evati nalog, dokler Vam nadzorni u~itelj tega ne dovoli. Prilepite kodo oziroma vpi{ite svojo {ifro (v okvir~ek desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalna obrazca). V tej izpitni poli je 1 nalog, re{ujete vse, in sicer na strani, kjer je besedilo naloge. Ocenjevalci ne bodo pregledovali konceptnih listov. Pi{ite z nalivnim peresom ali s kemi~nim svin~nikom. ^e se zmotite, napisano pre~rtajte. Grafe funkcij ri{ite s svin~nikom. Pazite, da bo Va{ izdelek pregleden in ~itljiv. Pri re{evanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vmesnimi ra~uni in sklepi. Na strani 3 in 4 je standardna zbirka zahtevnej{ih formul, ki jih ni treba znati na pamet. Morda si boste s katero med njimi pomagali. Re{itev v izpitni poli ni dovoljeno zapisovati z navadnim svin~nikom. ^e ste nalogo re{evali na ve~ na~inov, nedvoumno ozna~ite, katero re{itev naj ocenjevalec to~kuje. Vsako nalogo skrbno preberite. Re{ujte premi{ljeno. Zaupajte vase in v svoje sposobnosti. [tevilo to~k, ki jih lahko dose`ete je vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Semmit se hagyjon ki! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg ezt a felügyelő tanár nem engedélyezi! Ragassza vagy írja be kódszámát (a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelőlapokra)! Ez a feladatlap 1 feladatot tartalmaz. Mindegyiket oldja meg, éspedig azon az oldalon, ahol a feladat található! Az értékelők a vázlatlapokat nem nézik át! Töltőtollal vagy golyóstollal írjon! A rossz válaszait húzza át! A függvénygrafikonokat ceruzával rajzolja be! Ügyeljen arra, hogy munkája áttekinthető és olvasható legyen! A feladat megoldásának világosan és korrekten kell mutatnia az eredményhez vezető utat, a köztes számításokkal és következtetésekkel együtt! A 3. és 4. oldalon található azoknak a képleteknek a standard gyűjteménye, amelyeket nem kell fejből tudnia, de egy részük talán segítségére lesz a feladatok megoldásában. A feladatlapra nem szabad ceruzával írni a megoldásokat!. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék! Figyelmesen olvassa el mindegyik feladatot, majd megfontoltan oldja meg őket! Bízzon önmagában és képességeiben! Összesen 80 pont érhető el. Eredményes munkát kívánunk!

3 M M 3 Formule ( )(... ) n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 a + b = a + b a a b + a b + a b ab + b n Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: a = ca 1, b = cb 1, vc = a b 1 1 Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: R = abc, r = s = a + b + c 4S S s, Kotne funkcije polovičnih kotov: sin x =± 1 cosx ; cos x =± 1+ cosx ; tan x = sin x 1+ cosx Kotne funkcije trojnih kotov: sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Adicijski izrek: sin( x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y tan x + tan y tan( x + y) = 1 tanx tany Faktorizacija: x + y x y x + y x y sin x + sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sin sin sin( x ± y) sin ( y ± x) tan x ± tan y =, cotx ± coty = cos x cos y sin x sin y Razčlenitev produkta kotnih funkcij: sin x sin y = 1 [ cos( x + y) cos ( x y) ] cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ] sin x cos y = 1 [ sin( x + y) + sin ( x y) ] ( Razdalja točke T x, y ) od premice ax + by c = 0 : ax + by c 0 0 (, p) = dt 0 a + b Ax ( y 1 1) B( x y ) ( 3 3) ( )( ) ( )( ) Ploščina trikotnika z oglišči,,,, C x, y : S = 1 x x y y x x y y Elipsa: e = a b, ε = e a ; a > b Hiperbola: e = a + b, ε = e a, a je realna polos p Parabola: y G,0 = px, gorišče Integrala: dx 1 arc tan x C x + a = a a +, dx arc sin x = + C a x a

4 4 M M Képletek ( )(... ) n+ 1 n+ 1 n n 1 n n n 1 a + b = a + b a a b + a b + a b ab + b n A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: a = ca 1, b = cb 1, vc = a b 1 1 s a + b + c A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: R = abc, r = S s, = A félszögek szögfüggvényei: sin x =± 1 cosx 4S cos x =± 1+ cosx tg x = sin x 1+ cosx ; ; A szög háromszorosának szögfüggvényei: sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x, cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x Addíciós tételek: sin x + y = sin x cos y + cos x sin y ( ) cos( x + y) = cos x cos y sin x sin y tgx + tgy tg( x + y) = 1 tgx tgy Tényezőkre bontás: x + y x y x + y x y sin x + sin y = sin cos, sin x sin y = cos sin x + y x y x + y x y cos x + cosy = cos cos, cos x cos y = sin sin sin ( x ± y) sin( y ± x) tgx ± tgy = cos x cos y, ctgx ± ctgy = sin x sin y A szögfüggvények szorzatának felbontása: sin x sin y = 1 [ cos( x + y) cos ( x y) ] ; cos x cos y = 1 [ cos( x + y) + cos( x y) ]; sin x cos y = 1 [ sin( x + y) + sin ( x y) ] ( A T x, y pont távolsága az egyenestől: 0 0 0) ax + by c = 0 ax + by c 0 0 (, p) = dt 0 a + b Ax (, y ) B ( x, y ) C ( x, y ) 3 3 S = 1 x x y y x x y y e = a b, ε = e a ; a >b e = a + b, ε = e a Az,, csúcsú háromszög területe: 1 1 Ellipszis: ( )( ) ( )( ) Hiperbola:, az a valós féltengely Parabola: y = px, fókuszpont p G,0 Integrálok: dx 1 arctg x a a C x + a = +, dx arc sin x = C a + a x

5 M M Ali je število deljivo z naslednjimi števili? Obkrožite DA ali NE. Osztható-e az szám a lenti számokkal? Karikázza be az IGEN vagy NEM szót! Število je deljivo z 1. DA NE A szám osztható 1 -gyel. IGEN NEM Število je deljivo z. DA NE A szám osztható -vel. IGEN NEM Število je deljivo s 3. DA NE A szám osztható 3 -mal. IGEN NEM Število je deljivo s 4. DA NE A szám osztható 4 -gyel. IGEN NEM Število je deljivo s 5. DA NE A szám osztható 5 -tel. IGEN NEM Število je deljivo s 6. DA NE A szám osztható 6 -tal. IGEN NEM Število je deljivo z 9. DA NE A szám osztható 9 -cel. IGEN NEM Število je deljivo z 10. DA NE A szám osztható 10 -zel. IGEN NEM Število je deljivo s 5. DA NE A szám osztható 5 -tel. IGEN NEM Število je deljivo s 100. DA NE A szám osztható 100 -zal. IGEN NEM (5 točk pont)

6 6 M M 0. Narišite premici z enačbama y = 3 in y = x +3 ter izračunajte ploščino trikotnika, ki ga premici oklepata z ordinatno osjo. Ábrázolja az y = 3 és y = x + 3 egyenletű egyeneseket, és számítsa ki azon háromszög területét, amelyet a két egyenes és az ordinátatengely határol be! (6 točk/pont) y x

7 M M 7 z 1 z 03. Dani sta kompleksni števili z 1 = 3+ 4i in z = 1 i. Izračunajte z1 + z, 1, z in z 1. z1 1 z Adott két komplex szám: z 1 = 3+ 4i és z = 1 i. Számítsa ki: z1 + z,, z és z 1! (8 točk/pont)

8 8 M M 04. Izračunajte najmanjšo višino v trikotniku s stranicami a = 6, 5 cm, b = 7 cm in c = 7, 5 cm. Számítsa ki az a = 6, 5 cm, b = 7 cm és c = 7, 5 cm oldalú háromszögben levő legkisebb magasságot! (6 točk/pont)

9 M M 9 x+ 3 x+ 1 1 = Rešite enačbo 3. Oldja meg a x+ 3 x+ 1 1 = 3 3 egyenletet! (5 točk/pont)

10 10 M M 06. Iz števk 1,, 3, 4, 7, 9 sestavljamo trimestna števila z različnimi števkami. Állítson össze az 1,, 3, 4, 7, 9 számjegyekből különböző háromjegyű számokat! a) Koliko števil lahko sestavimo? Hány számot tudunk összeállítani? b) Koliko lihih števil lahko sestavimo? Hány páratlan számot tudunk összeállítani? c) Koliko števil, večjih od 300 in manjših od 500, lahko sestavimo? Hány olyan számot tudunk összeállítani, amelyek nagyobbak 300 -nál és kisebbek 500 -nál? (6 točk/pont)

11 M M Točke A ( 0, 0), B ( 7, 0), C (3, 3) so oglišča trikotnika. Narišite točke v koordinatni sistem. Izračunajte dolžino stranice a = BC, velikost kota β = ABC in skalarni produkt AB AC. Dolžino stranice in skalarni produkt izračunajte natančno, kot pa zaokrožite na minute. Az A ( 0, 0), B ( 7, 0) és C (3, 3) pontok egy háromszög csúcsai. Rajzolja meg a pontokat a koordinátarendszerben. Számítsa ki az a = BC oldal hosszát, a β = ABC szög nagyságát, és az AB AC skaláris szorzatot! Az oldal hosszát és a skaláris szorzatot számítsa ki pontosan, a szöget pedig kerekítse percekre! y (7 točk/pont) x

12 1 M M 08. Krivulja z enačbo y = 4 ima dve tangenti z naklonskim kotom 135. Zapišite enačbi teh x tangent. Az y = 4 egyenletű görbének két 135 hajlásszögű érintője van. Írja fel mindkét érintő x egyenletét! (8 točk/pont)

13 M M Izračunajte abscisi presečišč grafov funkcij f ( x) = x + x in g( x) = x + x + 1 ter ploščino lika, ki ga grafa omejujeta. Számítsa ki az f ( x) = x + x és g( x) = x + x + 1 függvénygrafikon metszéspontjainak az abszcisszáit, és azon síkidom területét, amelyet a két grafikon határol be! (8 točk/pont)

14 14 M M π sin( x) cos x 10. Naj bo sin x 0. Poenostavite izraz in ga zapišite kot enočlenik. sin x π sin( x) cos x Legyen sin x 0. Egyszerűsítse a kifejezést, és írja fel ezt egytagú sin x kifejezésként! 3 3 (6 točk/pont)

15 M M Izračunajte prvi člen in količnik naraščajočega geometrijskega zaporedja, če je a + a3 = 1 in a a =. Zapišite prve štiri člene tega geometrijskega zaporedja Számítsa ki a növekvő mértani sorozat első tagját és hányadosát, ha a a a =! Írja fel ezen mértani sorozat első négy tagját! a3 = 1 és (8 točk/pont)

16 16 M M f x = x + 1 x + x 3 koordinatnima osema, pola in enačbo vodoravne asimptote. 1. Narišite graf funkcije ( ) (brez uporabe odvoda). Zapišite presečišči grafa s Rajzolja meg az f x 1 ( x) = + függvény grafikonját (a derivált alkalmazása nélkül)! Írja x + x 3 fel a grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait, a pólusokat és a vízszíntes aszimptota egyenletét! y (7 točk/pont) x

17 M M 17 PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

18 18 M M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

19 M M 19 PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

20 0 M M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL