Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Átírás

1 [ ifra kandidata: A jelölt kódszáma: Dr`avni izpitni center *P07C0M* JESENSKI ROK ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA Izpitna pola / Feladatlap Torek, 8. avgust 007 / 0 minut brez odmora 007. augusztus 8., kedd / 0 perc, szünet nélkül Dovoljeno dodatno gradivo in pripomo~ki: kandidat prinese s seboj nalivno pero ali kemi~ni svin~nik, svin~nik, radirko, ra~unalo brez grafi~nega zaslona in brez mo`nosti ra~unanja s simboli, {estilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo in kotomer. Izpitni poli sta prilo`ena konceptna lista in ocenjevalni obrazec. Engedélyezett segédeszközök: a jelölt töltőtollat vagy golyóstollat, ceruzát, radírt, csak műveleteket végző zsebszámológépet, körzőt, háromszögvonalzót (geo-háromszögvonalzót), vonalzót és szögmérőt hoz magával. A feladatlaphoz egy értékelőlap és két vázlatlap van mellékelve. POKLICNA MATURA SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA Navodila kandidatu so na naslednji strani. A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható. Izpitna pola ima 4 strani, od tega prazne. A feladatlap terjedelme 4 oldal, ebből üres. RIC 007

2 P07-C0--M NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne obra~ajte strani in ne za~enjajte re{evati nalog, dokler Vam nadzorni u~itelj tega ne dovoli. Prilepite oziroma vpi{ite svojo {ifro na ozna~eno mesto zgoraj na naslovni strani in na ocenjevalni obrazec ter na konceptna lista. Izpitna pola ima dva dela. [tevilo to~k, ki jih lahko dobite za posamezne naloge, je navedeno v izpitni poli. V prvem delu re{ite vseh 9 nalog. V drugem delu izmed treh nalog izberite in re{ite dve. Pi{ite z nalivnim peresom ali kemi~nim svin~nikom. ^e se zmotite, napa~en zapis pre~rtajte in ga napi{ite na novo. Naloge z nejasnimi in ne~itljivimi re{itvami bodo ovrednotene z ni~ (0) to~kami. ^e ste nalogo re{ili na ve~ na~inov, nedvoumno ozna~ite, katero re{itev naj ocenjevalec to~kuje. Grafe funkcij, geometrijske skice in risbe nari{ite s svin~nikom. Izdelek naj bo pregleden in ~itljiv. Pot re{evanja mora biti od za~etka do rezultata jasno in korektno predstavljena, z vsemi vmesnimi sklepi in ra~uni. Na. in 4. strani so formule. Morda si boste s katero pomagali pri re{evanju nalog. V razpredelnici ozna~ite z x, kateri dve nalogi ste izbrali v. delu.. naloga. naloga. naloga Ocenjevalci ne bodo pregledovali konceptnih listov. Vsako nalogo skrbno preberite. Re{ujte premi{ljeno. Zaupajte vase in v svoje Vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót. Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg ezt a felügyelő tanár nem engedélyezi. Kódszámát ragassza vagy írja be a megjelölt keretbe a borítón, az értékelőlapon és a vázlatlapokon. A feladatlap két részből áll. Az egyes feladatoknál elérhető pontszámot a feladatlapon feltüntettük. Az első részben mind a 9 feladatot oldja meg. A második rész három feladata közül válasszon ki és oldjon meg kettőt. Töltőtollal vagy golyóstollal írjon. Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd írja le a helyeset. A zavaros és olvashatatlan megoldásokat nulla (0) ponttal értékeljük. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje meg, melyik megoldást értékelje az értékelő. A függvények grafikonjait, a mértani ábrákat és rajzokat ceruzával készítse el. Munkája legyen áttekinthető és olvasható. A megoldási eljárás legyen világos és korrekt a kezdettől egészen az eredményig, tartalmazza az összes köztes következtetést és számítást. Az 5. és a 6. oldalon vannak a képletek. Ezek segíthetnek a feladatok megoldásában. A táblázatban x-szel jelölje, melyik két feladatot választotta a. részben.. feladat. feladat. feladat Az értékelők nem nézik át a vázlatlapokat. Minden feladatot figyelmesen olvasson el. Megfontolva oldja meg a feladatokat. Bízzon önmagában és képességeiben. Munkájához sok sikert kívánunk!

3 P07-C0--M FORMULE. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini Ploščina (S ) trikotnika z oglišči Ax (, y ), B( x, y ), C ( x, y ): S = ( x x)( y y) ( x x)( y y) k k Kot med premicama: tg ϕ= + k k. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S ) Trikotnik: c v S = c = absin γ S = s( s a)( s b)( s c), s = a + b + c Polmera trikotniku včrtanega ( r ) in očrtanega ( R ) kroga: r = S, s ( s = a + b + c ) ; R = abc 4S Enakostranični trikotnik: S = a, v = a, r = a, 4 6 e f Deltoid, romb: S =, trapez: S = a + c v Dolžina krožnega loka: l = πα r 80 Krožni izsek: S = πr α 60 Sinusni izrek: a = b = c = R sin α sin β sin γ Kosinusni izrek: a = b + c bccosα R = a. Površine in prostornine geometrijskih teles (S je ploščina osnovne ploskve) Prizma in valj: P = S + Spl, V = S v Piramida: P = S + Spl, V = S v Pokončni stožec: P = πr ( r + s), V = πr v Krogla: P = 4πr, V = 4πr

4 4 P07-C0--M 4. Kotne funkcije sin α+ cos α = tg sin α α = + tg α = cos α cos α sin( α± β) = sin αcos β ± cos αsin β cos( α± β) = cos αcos β sin αsin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α 5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba f ( x) = ax + bx + c Teme: (, ) ax + bx + c = 0 Ničli: x T p q,, p = b, q = D, a 4a = b ± b 4ac a D = b 4ac 6. Logaritmi loga y = x a = y loga ( x y) = loga x + loga y log x a loga x loga y y = x n loga x = nloga x loga x logb x = log b a 7. Zaporedja Aritmetično zaporedje: an = a + ( n ) d, sn = n ( a + ( n ) d) n Geometrijsko zaporedje: an = a q n q, sn = a q 8. Statistika x + x + + xn Srednja vrednost (aritmetična sredina): x = n f x + f x + + fk xk x = f + f + + fk Varianca: σ = ( x ) ( ) ( ) x x x xn x, n f( x x) + f( x x) + + fk ( xk x) σ = f + f + + f Standardni odklon: σ = σ k,

5 P07-C0--M 5 KÉPLETEK. Derékszögű koordináta-rendszer a síkban Az Ax (, y), Bx (, y), C( x, y) csúcsú háromszög területe ( S ): S = ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) k k Két egyenes hajlásszöge: tg ϕ = + k k. Síkbeli mértan (a síkidomok területe S -sel van jelölve) c v Háromszög: S = c = absin γ a + b + c S = s( s a)( s b)( s c), s = A háromszögbe írható kör sugara ( r ) és a háromszög köré írható kör sugara ( R ): + + r = S, s = a b c = ; R abc s 4S Egyenlő oldalú háromszög: S = a, v = a, r = a, R = a 4 6 e f a + c Deltoid, rombusz: S =, trapéz: S = v πα r A körív hossza: l = 80 πr α Körcikk: S = 60 a b c Szinusztétel: = = = R sin α sin β sin γ Koszinusztétel: a = b + c bccosα. A mértani testek felszíne és térfogata (az S az alaplap területe) Hasáb és henger: P = S + S, V = S v Gúla: P = S + S, V = S v pl Egyenes kúp: P = πr ( r + s), V = πr v 4πr Gömb: P = 4 πr, V = pl

6 6 P07-C0--M 4. Szögfüggvények sin α+ cos α = sin α tg α = + tg α = cos α cos α sin ( α± β) = sin αcos β± cos αsin β cos( α± β) = cos αcos β sin αsin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α 5. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet b D f ( x) = ax + bx + c Tengelypont: T( p, q ), p =, q =, a 4a ax + bx + c = 0 Zérushelyek: x, b± b 4ac = a D = b 4ac 6. Logaritmusok loga y = x a = y loga ( x y) = loga x + loga y log x a loga x loga y y = x n loga x = nloga x loga x logb x = log b a 7. Sorozatok n Számtani sorozat: an = a + ( n ) d, s ( ) n = a + n d n Mértani sorozat: an a q n q =, s n = a q ( ) 8. Statisztika x + x + + xk f x + f x + + fk x Középérték (számtani közép): x =, x = k f + f + + fk Variancia (szórásnégyzet): σ = ( x ) ( ) ( ) x x x xk x k f( x x) + f( x x) + + fk ( xk x) σ = f + f + + f Standard eltérés (szórás): σ = σ k k

7 P07-C0--M 7. del /. rész Rešite vse naloge. / Minden feladatot oldjon meg.. Točka A je presečišče premice y = x z ordinatno osjo. Izračunajte razdaljo med točko A in točko B (, ). Az A pont az y = x egyenes és az ordinátatengely metszéspontja. Számítsa ki az A pont és a B (, ) pont közti távolságot. (4 točke/pont)

8 8 P07-C0--M. Poenostavite izraz: ab ( ab ). Egyszerűsítse a a b ( ab ) kifejezést. (4 točke/pont)

9 P07-C0--M 9. Izračunajte obseg lika na skici. Rezultat zaokrožite na milimeter natančno. Számítsa ki az ábrán levő síkidom kerületét. Az eredményt kerekítse milliméteres pontosságra. 7 cm 5 cm cm (4 točke/pont)

10 0 P07-C0--M 4. Če šestkratnik nekega števila zmanjšamo za 9, dobimo kvadrat prvotnega števila. Izračunajte to število. Ha egy bizinyos szám hatszorosából kivonjuk a 9 -et, az eredeti szám négyzetét kapjuk meg. Számítsa ki ezt a számot. (4 točke/pont)

11 P07-C0--M 5. Dan je polinom px ( ) = ( x ) ( x+ ). Zapišite stopnjo polinoma, vodilni člen in prosti člen polinoma. Adott a px ( ) = ( x ) ( x+ ) polinom. Írja fel a polinom fokszámát, a legmagasabb fokú tagját és a konstans tagját. Stopnja polinoma / a polinom fokszáma: (4 točke/pont) Vodilni člen polinoma / a polinom legmagasabb fokú tagja: Prosti člen polinoma / a polinom konstans tagja:

12 P07-C0--M 6. Določite x tako, da bodo x +, x, x prvi trije členi geometrijskega zaporedja. Zapišite člene zaporedja. Határozza meg az x -et úgy, hogy az x +, x, x egy mértani sorozat első három tagja legyen. Írja fel a sorozat tagjait. (5 točk/pont)

13 P07-C0--M 7. Tabelirajte funkcijo f ( x) = log x za vrednosti v preglednici. Táblázatban mutassa ki az f ( x) = log x függvényt a lenti táblázatban levő értékekre. x f ( x ) 6 (5 točk/pont)

14 4 P07-C0--M 8. Na skici je osni presek pokončnega (krožnega) stožca. Izračunajte višino stožca in kot v vrhu osnega preseka stožca. Az ábrán az egyenes (kör)kúp tengelymetszete látható. Számítsa ki a kúp magasságát, és a tengelymetszet csúcsánál lévő szöget. cm 0 cm (5 točk/pont)

15 P07-C0--M 5 9. Na razrednem tekmovanju so bili v teku na 00 m doseženi naslednji rezultati (v sekundah):,,,,,, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Izračunajte povprečni rezultat. Izračunajte odstotek tekmovalcev, ki so dosegli boljši rezultat od povprečja. A 00 m -es síkfutás oszályok közötti versenyében a következő eredmények születtek (másodpercekben):,,,,,, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Számítsa ki az átlageredényt. Számítsa ki azon versenyzők százalékát, akik jobb eredményt értek el az átlagosnál. (5 točk/pont)

16 6 P07-C0--M. del /. rész Izberite dve nalogi, obkrožite njuni zaporedni številki in ju rešite. Válasszon ki két feladatot, karikázza be a sorszámukat, és oldja meg őket!. Točke A( 4, 0 ), B( 4, ), C ( 0, 5) in koordinatno izhodišče so oglišča štirikotnika. Az A( 4, 0 ), B( 4, ), C ( 0, 5) pontok és a koordináta-rendszer origója a négyszög csúcsai. (Skupaj 5 točk/összesen 5 pont) a) V dani koordinatni sistem natančno narišite štirikotnik in izračunajte njegovo ploščino. Az adott koordináta-rendszerben pontosan rajzolja meg a négyszöget, és számítsa ki a területét. (6 točk/pont) b) Izračunajte vse notranje kote štirikotnika. Számítsa ki a négyszög összes belső szögét. (6 točk/pont) c) Kolikšna je dolžina daljše diagonale? Milyen a hosszabb átló hosszúsága? ( točke/pont) y 0 x

17 P07-C0--M 7

18 8 P07-C0--M. Pri zidavi 6 m visokega tovarniškega dimnika stane prvi meter 8000 evrov, vsak naslednji meter pa 000 evrov več kakor prejšnji meter. Egy 6 m magasságú gyárkémény építésekor az első méter ára 8000 euró, minden további méter 000 euróval többe kerül, mint az előző méter. a) Koliko stane zadnji meter dimnika? Mennyibe kerül a kémény utolsó métere? b) Koliko stane zidava dimnika v celoti? Mennyibe kerül az egész kémény építése? c) Ali bi lahko za 0000 evrov zgradili prvih deset metrov dimnika? Odgovor računsko utemeljite. Felépíthetnénk-e a kémény első tíz méterét 0000 euróval? A válaszát indokolja meg. (Skupaj 5 točk/összesen 5 pont) (6 točk/pont) (4 točke/pont) (5 točk/pont)

19 P07-C0--M 9

20 0 P07-C0--M. Dani sta enačbi parabole y = x x in premice y = x. Adott az y = x x parabola és az y = x egyenes egyenlete. (Skupaj 5 točk/összesen 5 pont) a) Parabolo in premico natančno narišite v dani koordinatni sistem. Az adott koordináta-rendszerben pontosan rajzolja meg a parabolát és az egyenest. (8 točk/pont) b) Izračunajte abscisi presečišč parabole in premice. Számítsa ki a parabola és az egyenes metszéspontjainak abszcisszáját. (4 točke/pont) c) Za katere x leži premica nad parabolo? Melyik x értéknél van az egyenes a parabola fölött? ( točke/pont) y 0 x

21 P07-C0--M

22 P07-C0--M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

23 P07-C0--M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL

24 4 P07-C0--M PRAZNA STRAN ÜRES OLDAL