Državni izpitni center MATEMATIKA. Izpitna pola / Feladatlap. Četrtek, 11. februar 2010 / 120 minut február 11., csütörtök / 120 perc

Átírás

1 Š i f r a k a n d i d a t a : A j e l ö l t k ó d s z á m a : Državni izpitni center *P093C10111M* MATEMATIKA Izpitna pola / Feladatlap ZIMSKI IZPITNI ROK TÉLI VIZSGAIDŐSZAK Četrtek, 11. februar 010 / 10 minut 010. február 11., csütörtök / 10 perc Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, računalo brez grafičnega zaslona in možnosti računanja s simboli, šestilo, trikotnik (geotrikotnik), ravnilo in kotomer. Kandidat dobi dva konceptna lista in ocenjevalni obrazec. Engedélyezett segédeszközök: a jelölt töltőtollat vagy golyóstollat, ceruzát, radírt, csak műveleteket végző zsebszámológépet, körzőt, háromszögvonalzót (geo-háromszögvonalzót), vonalzót és szögmérőt hoz magával. A jelölt egy értékelő lapot és két pótlapot is kap a vázlatkészítéshez. POKLICNA MATURA SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA Navodila kandidatu so na naslednji strani. A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható. Ta pola ima 4 strani, od tega 3 prazne. A feladatlap terjedelme 4 oldal, ebből 3 üres. RIC 010

2 P093-C M NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli. Prilepite oziroma vpišite svojo šifro v okvirček desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalni obrazec ter na konceptna lista. Izpitna pola ima dva dela. Prvi del vsebuje 9 nalog. Drugi del vsebuje 3 naloge, izmed katerih izberite in rešite dve. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 70, od tega 40 v prvem delu in 30 v drugem delu. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s formulami na 3. in 4. strani. V preglednici z "x" zaznamujte, kateri dve nalogi v drugem delu naj ocenjevalec oceni. Če tega ne boste storili, bo ocenil prvi dve nalogi, ki ste ju reševali. 1 3 Rešitve pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom in jih vpisujte v izpitno polo v za to predvideni prostor; grafe funkcij, geometrijske skice in risbe pa rišite s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev napišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z nič (0) točkami. Osnutke rešitev lahko napišete na konceptna lista, vendar se ti pri ocenjevanju ne upoštevajo. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni. Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figyelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg azt a felügyelő tanár nem engedélyezi! Ragassza, illetve írja be kódszámát a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe, az értékelő lapokra és a vázlathoz kapott pótlapokra! A feladatlap két részből áll. Az első rész 9 feladatot tartalmaz. A második részben 3 feladat van, ebből kettőt oldjon meg! Összesen 70 pont érhető el: 40 pont az első, 30 pont a második részben. A feladatlapban a feladatok mellett feltüntettük az elérhető pontszámot is. A feladatok megoldásakor használhatja az 5. és 6. oldalon található képletgyűjteményt. A táblázatban jelölje meg x-szel, a második rész melyik két feladatát értékelje az értékelő! Ha ezt nem teszi meg, az értékelő tanár az első két megoldott feladatot értékeli Válaszait töltőtollal vagy golyóstollal írja a feladatlap erre kijelölt helyére, a függvénygrafikonokat, a mértani ábrákat és a rajzokat ceruzával rajzolja be! Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd válaszát írja le újra! Az olvashatatlan megoldásokat és a nem egyértelmű javításokat nulla (0) ponttal értékeljük. Vázlatát írja a pótlapokra, de azt az értékelés során nem vesszük figyelembe. A válasznak tartalmaznia kell a megoldásig vezető műveletsort, az összes köztes számítással és következtetéssel együtt. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egyértelműen jelölje, melyik megoldást értékeljék! Bízzon önmagában és képességeiben! Eredményes munkát kívánunk!

3 P093-C M 3 FORMULE 1. Pravokotni koordinatni sistem v ravnini, linearna funkcija Razdalja dveh točk v ravnini: dab (, ) = ( x x ) ( y y ) y y1 Linearna funkcija: fx ( ) = kx+ n Smerni koeficient: k = x x 1 k k1 Naklonski kot premice: k = tan ϕ Kot med premicama: tan ϕ = 1 + k k 1. Ravninska geometrija (ploščine likov so označene s S ) c v Trikotnik: S = c = 1 absin γ S = s( s a)( s b)( s c), s = a + b + c Polmera trikotniku očrtanega ( R) in včrtanega ( r) kroga: R = abc, r 4S S s =, ( s = a + b + c ) Enakostranični trikotnik: S = a 3, v = a 3, r = a 3, R = a e f Deltoid, romb: S = Trapez: S = a + c v Paralelogram: S = absin α Romb: S = a sin α Dolžina krožnega loka: l = πα r 180 Ploščina krožnega izseka: S = πr α 360 Sinusni izrek: a = b = c = R sin α sin β sin γ Kosinusni izrek: a = b + c bccosα 3. Površine in prostornine geometrijskih teles ( S je ploščina osnovne ploskve) Prizma: P = S + Spl, V = S v Valj: P = πr + πrv, V = πr v Piramida: P = S + Spl, Krogla: P = 4πr, V = 4πr 3 V = 1 S v Stožec: P = πr( r + s), V 3 3 = 1 3 πr v

4 4 P093-C M sin α+ cos α = 1 4. Kotne funkcije tan α sin α cos α = 1+ tan α = 1 cos α sin( α± β) = sin αcos β ± cos αsin β cos( α± β) = cos αcos β sin αsin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α 5. Kvadratna funkcija, kvadratna enačba f ( x) = ax + bx + c Teme: Tpq, (,) ax + bx + c = 0 Ničli: x b D 1, = ± a p = b, q = D, a 4a D = b 4ac 6. Logaritmi x loga y = x a = y loga x = nloga x log ( x y) = log x + log y a a a log x log x log y = a a a y n loga x logb x = log b a 7. Zaporedja Aritmetično zaporedje: an = a1 + ( n 1) d, sn = n ( a1 + ( n 1) d) n 1 Geometrijsko zaporedje: an = a1 q n q 1, sn = a1 q 1 G0 n p Navadno obrestovanje: Gn = G0 + o, o = 100 n p Obrestno obrestovanje: Gn = G0r, r = Statistika x1 + x xn Srednja vrednost (aritmetična sredina): x = n f1x1+ fx fkxk x = f + f f 1 k

5 P093-C M 5 KÉPLETEK 1. A derékszögű koordináta-rendszer a síkban, a lineáris függvény 1 1 Két pont távolsága a síkban: dab (, ) = ( x x) + ( y y) Lineáris függvény: fx ( ) = kx+ n A lineáris függvény iránytényezője: y y k = x k k1 Az egyenes hajlásszöge: k = tanϕ Két egyenes hajlásszöge: tan ϕ = 1 + k k 1 x1 1 c v 1 Háromszög: S = c = absin γ. Síkmértan (a síkidomok területe S -sel van jelölve) a + b + c S = s( s a)( s b)( s c), s = A háromszög köré írható kör sugara( R ) és a háromszögbe írható kör sugara ( r ): R = abc, r = S, 4S s ( s = a + b + c ) 3 Egyenlő oldalú háromszög: S = a, v = a 3, r = a 3, R = a e f Deltoid, rombusz: S = Trapéz: S = a + c v Paralelogramma: S = absin α Rombusz: S = a sin α r A körív hossza: l = πα A körcikk területe: 180 S = πr α 360 a Szinusztétel: = b = c = R sin α sin β sin γ Koszinusztétel: a = b + c bccosα 3. A mértani testek felszíne és térfogata (az S az alaplap területe) Hasáb: P = S + Spl, V = S v Henger: P = πr + πrv, V = πr v Gúla: P = S + Spl, V 1 = S v Kúp: P = πr ( r + s), V = 1 πr v 3 3 Gömb: P = 4πr 4, V = πr 3 3

6 6 P093-C M 4. Szögfüggvények sin α+ cos α = 1 tan sin α α = 1+ tan α = 1 cos α cos α sin( α± β) = sin αcos β ± cos αsin β cos( α± β) = cos αcos β sin αsin β sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α 5. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet f ( x) = ax + bx + c Tengelypont: T( p, q ), p = b, q D =, D = b 4ac a 4a ax + bx + c = 0 Zérushelyek: x b D 1, = ± a x 6. Logaritmusok loga y = x a = y loga x = nloga x loga ( x y) = loga x + loga y loga x logb x = loga b log x a loga x loga y y = n 7. Sorozatok Számtani sorozat: an = a1 + ( n 1) d, sn = n ( a1 + ( n 1) d) n 1 Mértani sorozat: an = a1 q n q 1, sn = a1 q 1 G0 n p Kamatszámítás: Gn = G0 + o, o = 100 n p Kamatoskamat-számítás: Gn = G0 r, r = Statisztika Középérték (számtani közép): x x x1 + x + + xn = n f1 x1 + f x + + fk x = f + f + + f 1 k k

7 P093-C M 7 1. del / 1. rész Rešite vse naloge. / Minden feladatot oldjon meg! 1. a) Kvadrirajte: ( x 1) = Emelje négyzetre: ( x 1) = b) Kubirajte: ( x + ) 3 = Emelje köbre: ( x + ) 3 = (4 točke/pont)

8 8 P093-C M. Ob koncu ocenjevalnega obdobja je bilo v oddelku z 8 dijaki 75 % uspešnih. Drugi so bili neuspešni. Koliko dijakov je bilo neuspešnih? Az osztályozási időszak végén egy 8 diákkal rendekező osztályban a diákok 75 % -a eredményes volt, a többi nem. Hány diák nem volt eredményes? (4 točke/pont)

9 P093-C M 9 3. V pravokotnem trikotniku ABC meri notranji kot α = 3 18 '. Izračunajte vse notranje in zunanje kote tega trikotnika. Rezultate zapišite v spodnjo razpredelnico. Az ABC derékszögű háromszög belső szöge α = 3 18 '. Számítsa ki ennek a háromszögnek az összes belső és külső szögét! Az eredményeket írja be az alábbi táblázatba! Notranji koti trikotnika / A háromszög belső szögei α = α 1 = β = β 1 = γ = γ 1 = Ustrezni zunanji koti trikotnika / A háromszög megfelelő külső szögei (4 točke/pont)

10 10 P093-C M 4. Obkrožite DA, če je trditev pravilna, oziroma NE, če je trditev napačna. Karikazza be az HELYES választ, ha az állítás helyes, illetve a NEM HELYES választ, ha az nem helyes! a) Če so 1, 4, 7... prvi trije členi aritmetičnega zaporedja, potem je peti člen 13. a) Ha az 1, 4, 7... egy számtani sorozat első három tagja, akkor az ötödig tag 13. b) Diferenca aritmetičnega zaporedja, 0,, 4, je d =. b) A, 0,, 4, számtani sorozat differenciája (különbsége) d =. c) Prvi člen geometrijskega zaporedja je a 1 = 4, drugi a =. Četrti člen tega zaporedja je 16. c) A mértani sorozat első tagja a 1 = 4, a második tag a =. A sorozat negyedik tagja 16. d) Količnik geometrijskega zaporedja s prvimi tremi členi, 4, 8 je k =. d) A, 4, 8 mértani sorozat első három tagjának a kvóciense (hányadosa) k =. DA / HELYES DA / HELYES DA / HELYES DA / HELYES NE / NEM HELYES NE / NEM HELYES NE / NEM HELYES NE / NEM HELYES (4 točke/pont)

11 P093-C M Narišite graf funkcije fx ( ) = cosxna intervalu ( π,3π). Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti funkcije fx ( ). Rajzolja meg az fx ( ) = cosxfüggvény grafikonját a ( π,3π) intervállumon. Írja fel az fx () függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! y (4 točke/pont) 1 π π 0 1 π π 3π π 5π 3π x

12 1 P093-C M 6. V rombu merita diagonali e = 16 cm in f = 1 cm. Narišite skico romba in izračunajte njegov obseg. A rombusz átfogói e = 16 cm és f = 1 cm. Készítse el a rombusz vázlatrajzát, és számítsa ki a kerületét! (5 točk/pont)

13 P093-C M V trgovini stane 5 kg pomaranč in kg banan 13 evrov, 7 kg pomaranč in 4 kg banan pa 0 evrov. Koliko stane v tej trgovini kilogram pomaranč in koliko kilogram banan? A boltban 5 kg narancs és kg banán 13 euróba kerül, 7 kg narancs és 4 kg banán pedig 0 euróba. Mennyibe kerül ebben a boltban egy kilogramm narancs és mennyibe egy kilogramm banán? (5 točk/pont)

14 14 P093-C M 8. Rešite enačbi: Oldja meg az egyenleteket: a) 16 x = b) log(5 x ) = 1 (5 točk/pont)

15 P093-C M Dan je polinom 3 px ( ) = x 3x x+ 3. Izračunajte ničle polinoma px (). Adott a 3 px ( ) = x 3x x+ 3 polinom. Számítsa ki a polinom gyökeit! (5 točk/pont)

16 16 P093-C M. del /. rész Izberite dve nalogi, obkrožite njuni zaporedni številki in ju rešite. Válasszon két feladatot, karikázza be a sorszámukat, és oldja meg őket! 1. Prvi trije členi zaporedja so: x, x, 3x, pri čemer je x 0. A sorozat első három tagja: x, x, 3x, ennél x 0. (Skupaj 15 točk/összesen 15 pont) a) Izračunajte x, da bo zaporedje geometrijsko, in člene zapišite. Számítsa ki az x -et úgy, hogy a sorozat mértani legyen, és írja fel a tagjait! (6 točk/pont) b) Izračunajte x, da bo zaporedje aritmetično, in člene zapišite. Számítsa ki az x -et úgy, hogy a sorozat számtani legyen, és írja fel a tagjait! c) Za x = 3 izračunajte vsoto prvih desetih členov ustreznega geometrijskega zaporedja. Az x = 3 esetén számítsa ki a megfelelő mértani sorozat első tíz tagjának összegét! (5 točk/pont) (4 točkepont)

17 P093-C M 17

18 18 P093-C M. Dani sta funkciji f ( x) = x 4x + 4 in gx ( ) = x. Adott két függvény: f ( x) = x 4x + 4 és gx ( ) = x. (Skupaj 15 točk /Összesen 15 pont) a) Izračunajte ničli in koordinati temena funkcije fx () ter natančno narišite grafa obeh funkcij v isti koordinatni sistem. Számítsa ki az fx () függvény gyökeit és a tengelypont koordinátáit, majd pontosan rajzolja meg mindkét függvény grafikonját a közös koordináta-rendszerben! b) Izračunajte koordinate presečišč grafov funkcij fx () in gx ( ). Számítsa ki az fx () és gx ( ) függvények metszéspontjainak koordinátáit! (7 točk/pont) (4 točke/pont) c) Izračunajte razdaljo med presečiščema. Rezultat delno korenite. Számítsa ki a metszéspontok közti távolságot! Az eredményen végezzen részleges gyökvonást! (4 točke/pont) y x

19 P093-C M 19

20 0 P093-C M 3. Na skici je trapez ABCD s podatki: Az ábrán az ABCD trapéz látható a szükséges adatokkal: D 4 cm C 4 cm A 7 cm B a) Izračunajte obseg in ploščino trapeza. Számítsa ki a trapéz kerületét és területét! b) Izračunajte notranja kota trapeza v ogliščih A in D. Számítsa ki a trapéz belső szögeit az A és a D csúcspontokban! c) Izračunajte natančno dolžino diagonale BD. Pontosan számítsa ki a BD átló hosszúságát! (Skupaj 15 točk/ Összesen 15 pont) (7 točk/pont) (5 točk/pont) (3 točke/pont)

21 P093-C M 1

22 P093-C M Prazna stran Üres oldal

23 P093-C M 3 Prazna stran Üres oldal

24 4 P093-C M Prazna stran Üres oldal