1/1. Fontosabb passzív kétpólusok (R, L, C, ) jellemz!i. Karakterisztikák, tárolt energia.

Átírás

1 /. Fontosabb passzív étpóluso (,,, ) jellemzi. Karaterisztiá, tárolt energia. étpólus egy tetszlegesen bonyolult villamos hálózat, amely ét villamos csatlaozóponttal rendelezi. Passzív a étpólus, amely eletromos energiát csa elvenni épes. Egy étpólus meghatározott, ha ismert a ivezet apcsain mérhet eszültség és a rajta átolyó áram. Kétpólus Graiusan ábrázolva az áramot a eszültség üggvényében, a étpólus araterisztiáját apju. passzív étpólus elépítése szerint lehet: ; ; ; vagy eze ombinációi. passzív étpóluso araterisztiája megszereszthet, ha tetszleges eszültségértée esetén az átolyó áramot meghatározzu és a apott értéeet ábrázolju. /. araterisztia meredesége meghatározható bármely összetartozó - értébl: tg Ellenállás esetén: tg ha, aor 9 ha #, aor Egy étpólus helyettesít apcsolása az a legegyszerbb, legevesebb áramöri elemet tartalmazó apcsolás, amelyne araterisztiája megegyezi a étpólus araterisztiájával. passzív étpóluso helyettesít épe egy impedancia, melyne abszolút értée és ázisszöge megegyezi az eredeti étpólus impedanciájával. zonos típusú étpóluso helyettesít épe egyetlen passzív áramöri elembl áll: 3 + ( $ 3 ) di dt du dt du dt Különböz típusú elemebl elépített passzív étpóluso helyettesít épe egy adott revencián egy olyan, maximálisan ét elemet tartalmazó apcsolás, amelyne a vetorábrája megegyezi a helyettesítend étpólusével. _ Elször megszeresztjü a apcsolás vetorábráját és épezzü a vetoro Z eredjét: Egy soros rezgör rezonanciarevencia alatti revencián: - apacitív jelleggel ( ha < X > X ) rezonancia revencia eletti revencián: -indutív jelleggel rendelezi (tehát ha > X < X ) i di dt -

2 /3. X X X X Z X X X X Z /4. ndutivitást idben váltaozó áram mágneses terébe helyezve a teercs ét d% végpontja özött eszültség induálódi: ui () t %() t a elület luxusa dt Ez az összeüggés a Faraday-éle induciótörvény. vezetben aor is eszültség induálódi, ha a vezet által örülvett elület idben változó mágneses luxusát a vezet árama hozza létre: % ( t ) i ( t ) di u dt ondenzátor olyan étpólus, amely ét, egymástól elszigetelt eletródából áll. u (t) eszültség generátor apcsaira apcsolva a ondenzátort, anna pozitív pólusából pozitív, negatív pólusából negatív töltése áramlana a ondenzátor eletródáira. ondenzátoron a Q töltés az eletródá özötti eszültséggel arányos. Q [ c] arad F arányossági tényez a ondenzátor apacitása. ondenzátor eletródáira töltést juttatva a ondenzátorral energiát özlün. Ez az energia a pillanatnyi teljesítménnyel ejezhet i: P ( t) u ( t) i( t) Ha a ondenzátor eletródáina töltése a t pillanatban nulla és a t t pillanatban ± Q, aor ez utóbbi állapotban t t Q W P( t) dt u( t) i( t) dt Felhasználva, hogy Q( t) u( t) az u( t) jelöléssel Q W Q a apacitású, Q töltés, eszültség ondenzátorban tárolt energia. ondenzátor eletromos energia tárolására alalmas étpólus. a ondenzátor energiája. z indutivitás mint étpólus, épes energiát tárolni. Ezt az energiát mágneses energiána hívju. Ha az indutivitás árama a t pillanatában nulla és t t ban i( to ), aor ezalatt az id alatt az indutivitással özölt energia: t t di W u ( t ) i( t ) dt i( t ) dt idi dt Mivel energia. Összeoglalva: % % így W az indutivitásban tárolt Általánosan Egyen Szinuszos Kapcsolás árolt Disszipált Sorba Párhuzamosan energia teljesítmény n e n e # i i # di & j' dt ( dt #& [] j' n e # e i i e i n # i n n e # i i i i i # i []: j j j j' '

3 /. Feszültség és Áramgenerátoro araterisztiája, ideális és valós generátoro, termel és ogyasztó, villamos muna, teljesítmény deiníciója. z atív étpóluso elépítésü szerint lehetne: - ideális és valóságos eszültséggenerátoro, - ideális és valóságos áramgenerátoro, - az elze ombinációi. valóságos eszültség és áramgenerátoroat elemi atív étpólusona nevezzü. valós eszültséggenerátort az: g b egyenlettel írhatju le, ahol a apocseszültség és b a generátor bels ellenállása. z ideális eszültséggenerátor bels ellenállása nulla, vagyis imeneti eszültsége nem ügg a terheláramtól. z ideális eszültséggenerátor helyettesít épe és araterisztiája: g + - b t g z ideális eszültséggenerátor váltaozóáramú szempontból rövidzár, mivel bels ellenállása nulla. valóságos eszültséggenerátor egy ideális eszültséggenerátorból és egy soros veszteségi ellenállásból épül el. ( g ) valóságos eszültséggenerátor helyettesít épe és araterisztiája: g + - g t valóságos eszültséggenerátor jellemzi: - üresjárási eszültség: ü g - rövidzárási áram: g r /. g - bels ellenállás: b g g g g eszültséggenerátort nem szabad rövidrezárni, mivel b esetén g r # valóságos áramgenerátort az g g egyenlettel írhatju le, z ideális áramgenerátor helyettesít épe és araterisztiája: g - + b # t g b ahol b # z ideális áramgenerátor váltaozó áramú szempontból szaadást épvisel, mivel #. valóságos áramgenerátor helyettesít épe és araterisztiája: g - + g t b valóságos áramgenerátor egy ideális áramgenerátorból és egy vele párhuzamos veszteségi ellenállásból épül el. valóságos áramgenerátor jellemzi: - üresjárási eszültség: ü g g - rövidjárási áram: r g - bels ellenállás: b g /3. g g g nagy.

4 z áramgenerátort nem szabad megszaítani, mivel # ü g b b # esetén Egy áramörben vonatoztatási irányt veszün el az áramra és eszültségre. választott pozitív iránnyal azonos irányú mennyiségeet pozitív eljellel vesszü, az ellentétes irányúaat negatív eljellel. ogyasztón olyó áram és a rajta lév eszültség iránya azonos. termeln a valóságos irányo ellentétese. Fogyasztó pl. ellenállás. termelben válasszu szét a töltéseet, villamos energiát hozun létre másajta energiából. ogyasztóban a töltése iegyenlítdne, villamos energiából másajta energia jön létre. termelet és ogyasztóat özös néven áramöri elemene nevezzü. eszültségorrást atív, az ellenállást passzív áramöri elemne nevezzü. Villamos jellemzel iejezhetjü a munát és a teljesítményt. z egyenáram munája a ogyasztóban: Ha az eszültség eletromos mez hatására, valamely ogyasztón t id alatt Q t töltés halad át, aor az eletromos mez által enntartott ersség áram munája: [ ] W Q t W J W t teljesítmény az idegységre es muna: P P termel teljesítménye negatív, a ogyasztóé pozitív. z idben változó eszültség és áram teljesítménye: pillanatnyi teljesítmény: P u i P ( t ) u ( t ) i ( t ) Hatásos teljesítmény, a pillanatnyi teljesítmény egy periódusra vett átlaga: P P () t dt [ P] W z idben változó eszültség és áram esetén a munát integrálással apju: t W u idt t z eletromos munát a gyaorlatban wh-ban adjá meg. 6 Wh 3.6 J eljes áramörben, örolyamat során az eletromos mez munát nem végez, mert az eletromos mez örvényerssége zérus. eljes áramörben csa a generátor és (idegen, beitatott) mez épes munát végezni: Wg $ Q $ t ermius egyensúlyban a ogyasztó éppen annyi hmennyiséget ad le örnyezeténe mint amennyi munát az eletromos mez végez. W t /4.

5 3/. Ága, csomóponto, üggetlen huro villamos hálózatoban. Kirchho-egyenlete. póluso összeapcsolásána a helyét a hálózat csomópontjána nevezzü. z egyes étpóluso a hálózat ágai. Eze olyan áramuta, amelyeen nincs elágazás. csomópontot legalább három áramág találozása jelenti. hálózat ágait jelent étpóluso árama és eszültsége özötti apcsolat: u,i u i ellenállás esetén, az Ohm törvény írja le, azaz a eszültség arányos az árammal: 3/. Kirchho. : Egy hálózat esetén, egy zárt elületet választva úgy, hogy az egy csomópontot vegyen örül megállapítható, hogy a csomópontba beolyó áramo összege egyenl az onnan iolyó áramo összegével. ehát csomópontra nézve, az egyes áramerssége algebrai összege zérus.: n i i g i eszültségorrás esetén, a generátor eszültsége üggetlen az áramtól: z els Kirchho-egyenlet a villamos hálózatora a töltésmegmaradás elvét ejezi i. Kirchho. : i g u az áramorrás esetén, a generátor árama üggetlen a eszültségtl: Huroban a eszültsége algebrai összege zérus. Ha a hurora választun egy örüljárási irányt és az ága ezzel megegyez irányú eszültségeit pozitív, az ezzel ellentétes irányúaat negatív eljellel vesszü igyelembe, aor a hurot alotó ága eszültségeine algebrai összege zérus: u,i u,i du i dt di dt a ondenzátor árama, eszültségéne id szerinti deriváltjával arányos: az indutivitás eszültsége, áramána id szerinti deriváltjával arányos: n i i másodi Kirchho-egyenlet az energia megmaradás elvét ejezi i a villamos hálózatora. Kirchho-egyenlete a hálózato általános törvényei. hálózatban találhatóa zárt örö. zo a örö, amelyeet úgy járhatun örbe, hogy egy-egy ágon csa egyszer haladun végig, hurona nevezzü.

6 4/. hevenin és Norton tétele. ineáris egy hálózat ha passzív elemeire érvényes az Ohm-törvény. nvariáns ha elemeine értée nem ügg az idtl. hevenin tétel : ármely lineáris, invariáns hálózat ét pontjára nézve, helyettesíthet egy valóságos eszültséggenerátorral. e ts z o le g e s e n b o n y o lu lt h á ló z a t etszolegesen b onyolu lt h áló zat? b Üresjárásieszültség : g b z ellenállás ell nézve a hálózat helyettesíthet egy valóságos eszültségorrással. terhelésen átolyó áram meghatározható, ha ismerjü a iválasztott ét pont özötti üresjárási eszültséget ( ), valamint a ét pont ell mérhet bels ellenállást. z üresjárarási eszültséget megapju ha ellenállást eltávolítju. z b bels ellenállás meghatározásához a eszültségorrásoat rövidre ell zárni, az áramorrásoat pedig meg ell szaítani. Eor : + Norton tétel : g b ármely lineáris, invariáns hálózat orrásárama, helyettesíthet egyetlen valóságos áramorrással. etszolegesen bonyolult hálózat g b b g b Z 4/. etszolegesen bonyolult hálózat? z pontoat rövidre ell zárni. Eor a ét pont özött z rövidzárási áram olyi. Eor g Z. Ha eltávolítju az ellenállást, aor mérhet az b bels ellenállás. Ehhez a hálózat összes eszültségorrását rövidre zárju, az áramorrásoat pedig megszaítju. g + g Z g g g b z b hevenin példa: b g b V Z?,? b ( 4 5 ) ( + 8) 3 5 # + $ # $ b 3 ( 4 5 ) + + ( ) + ( ) V b

7 4/3. max V P W P 5 5.4W b Norton példa: V 3 4 b ?,?, P? max b zárlati áram b max b max Z 3 3 b V 3 P, b 66.66V 4 3 P W 4 8 generátor aor adja le a maximális teljesítményét, ha 3 b. 5/. Villamos hálózato számítása több üggetlen generátor esetén. szuperpozíció tétel. z egyenáramú hálózatoat étpóluso alotjá. z egyenáramú hálózatban egy ismeretlen mennyiség meghatározásához (eszültség, áramersség vagy ellenállás) egy egyenlet elírására és megoldására van szüség. Egy egyenáramú hálózat számítása aor egyszer, ha a hálózatban csa egy energia orrás van. Egyszer a megoldás aor is, ha a sorba vagy párhuzamosan apcsolt energiaorráso egy energiaorrással helyettesíthet és nincs a hálózatban áthidaló ág. lyenor nem szüséges a Kirchho törvénye alapján az egyenletrendszer elírása. megoldás általában az, hogy meghatározzu a apcsolás ered impedanciáját, ebbl az ered áramersséget, eze ismeretében egy-egy huro, vagy csomóponti egyenlet segítségével a többi ismeretlent is. Szuperpozíció elve: szuperpozíció nem csa egyenáramú hálózatban mödi Kevert rendszerben is haszhálható de lineárisna ell lennie Kirchho - egyenlete linearitásából özvetlenül adódi a szuperpozíció elve. Ha egy hálózat több generátort tartalmaz, aor mindegyi generátor a hálózat bármelyi ágában a többi generátortól üggetlenül hozza létre a maga részáramát. Egy-egy ilyen részáram tehát úgy számítható, hogy a többi generátor eszültségét nullána teintjü. z illet ágban olyó tényleges áram ezen részáramo algebrai összege. ehát a szuperpozíció tétele szerint, a eszültség és áramgenerátoro együttes hatása egy elemen, megegyezi az egyes energiaorráso hatásaina összegével. Kiszámítju a hálózat egy eszültség vagy áramgenerátorána hatására ezen az ágon létrejöv áramot (vagy eszültséget). Ehhez a hálózat többi orrását meg ell szüntetni, vagyis a eszültségorrásoat rövidzárral, az áramorrásoat szaadással ell helyettesíteni. Ezzel a megszüntetett eszültségorrás eszültsége és a megszüntetett áramorrás árama zérus. Valamennyi áram és eszültségorrás hatására az illet ágon megjelen áramot (vagy eszültséget) ülön-ülön iszámítju és az így apott értée eljeles összege adja a lineáris hálózatban az ág áramát (vagy eszültségét). eintsü az ábrán látható hálózatban az egyes ága áramát a szuperpozíció elvéne elhasználásával. ' ' ' 3 ' + 3 3

8 5/. Ha, aor: ' ' ' Ha, aor indexcserével: '' '' '' z eljeleet is igyelembe véve a tényleges áramoat iszámítju, ha az alábbi egyenletebe helyettesítjü: ' ' ' +.) Határozza meg az ábrán látható hálózat ellenállásána áramát és eszültségét a szuperpozició elvéne elhasználásával 5/3. mödi : V 3 4 ' mödi : V # + ' + 7.3V ) Határozza meg az ábrán látható hálózat 4 ellenállásána áramát és eszültségét a szuperpozíció elvéne meghatározásával V 9V # # 3 3# 4 5# 5 4#?,? V 5 # 3# 4# 3 3# 4? 3 4 mödi : 4 ( 5 ) ( 3 ) ' 4V mödi : ( 3) V ' V 7.4 5

9 6/. Huroáramo módszere Egy b számú ágból álló hálózat analíziséhez b számú lineárisan üggetlen Kirchho-egyenlet elírása szüséges. z egyes ága eszültsége és árama özötti apcsolato elhasználásával a Kirchhoegyenleteben vagy az ága áramát, vagy az ága eszültségét hagyju meg ismeretlenne és így egy b ismeretlenes egyenletrendszert oldun meg. z ismeretlene számána csöentésére többéle módszer ismert. huroáramo módszerével az ismeretlene és így a elírandó egyenlete száma m b n +, ahol b az ága, n a csomóponto száma a vizsgált hálózatban. Elsne i ell választani a hálózatna azt a b n + számú huroját, amelyre a huroegyenleteet el aarju írni. Ezene a huroegyenletene lineárisan üggetlenene ell lenniü. Ez azt jelenti, hogy az m számú egyenletben valamennyi ág eszültségéne szerepelnie ell legalább egy egyenletben. Feltételezzü, hogy az egyes ága árama a ijelölt huroban olyó huroáramo szuperpozíciójával adható meg. huroáramo ielégíti a Kirchho csomóponti egyenleteet. gyanis a huroáram amelyi csomópontba beolyi, abból i is olyi. z ágana eze szuperpozíciójával elírt árama szintén teljesíti a csomóponti egyenleteet. huroáramoal így valóban elegend a huro egyenleteet elírni. Mivel a elírható lineárisan üggetlen huro - egyenlete száma a huroegyenlete számával megegyezi, a eladat megoldható. módszert a övetez példán igyelhetjü meg. z összeüggéseben a huroáramo, ágáramo, eszültsége önényesen elvett vonatoztatási irányát a megelel eljel türözi. z ábrán látható hálózatban áramorrás nincs. J 3 6/. hálózat ágaina száma: b 6, csomópontjaina száma: n 4 és ebbl a elírandó huroegyenlete száma: m b n + 3. huroáramo módszerével a övetez egyenleteet írhatju el: ( ) + g + + g + ( ) ( + ) g + + ( ) J J J J J 3 3 J J J J J J + J + J + J + J 4 3 g6 6 3 g 3 Eze az egyenlete lineárisan üggetlene. Ez abból látható, hogy pl. az 3 ellenállás eszültsége az els, az 5 -é a másodi, az 6 -é a harmadi egyenletben szerepel, és a többiben nem. z egyenleteet a három ismeretlen huroáram ( J, J, J 3 ) szerint rendezve: + + J J J 3 3 g g J J J g J J J g g6 egyetlenrendszert apju. Ezebl a hálózat ellenállásaina és orráseszültségeine ismeretében, a J, J, J 3 huroáram meghatározható. huroáramo szuperpozíciójával pedig J + J J + J 3 J J J J J g az ellenálláso és eszültségorráso árama. () 4 J () (3) 3 g J g6 (4) Feladat, a huroáramo módszerével: 3 g 4 g g 3 4 V 8 4 4?

10 6/3. huroáramo módszere a eszültséggenerátort támogatja, tehát 6/4. g g 4 8 6V g 3 4 g ( + + ) ( + ) # # # $ % $ % $ % $ % $ % $ % $ & % ' $ & % $ ' & 4% ' ( ) + + g 4 g g / / / / #.5.5 X 4 4 Mási eladat, a huroáramo módszerével: 5 X 3 5? X 4V

11 7/. somóponti potenciálo módszere generátoroat is tartalmazó hálózat egy-egy ágán és így a hálózat bármely ét csomópontja özött eszültség lép el. eszültsége alapján az egyes csomópontohoz potenciált rendelün úgy, hogy a hálózat egyi csomópontjána potenciálját önényesen zérusna választju és a többi csomópont potenciálja az illet csomópont és a zérus potenciálú csomópont özötti eszültség. ehát a i potenciálú ( i ) és a j potenciálú ( j ) csomópont özötti ág eszültsége: K Ábra: K i (i) K (j) a. ábra i (i) K (j) j K b. ábra j ahol K vonatoztatási iránya az ( i )-tl a ( j ) elé mutat. csomóponti potenciálo módszerénél a csomóponto potenciálját teintjü ismeretlenne, az önényesen zérus potenciálúna választott csomópont ivételével. Ha a vizsgált hálózatban a csomóponto száma n, aor az ismeretlen csomóponti potenciálo száma: n. csomóponti potenciáloal a Kirchhohuroegyenlete automatiusan teljesülne. számításhoz a linerárisan üggetlen csomóponti egyenleteet ell elírni. Eze száma n, vagyis az egyenlete száma megegyezi az ismeretlen csomóponti potenciálo számával. Ha a vizsgált hálózat eszültségorrást nem, ill. csa heveningenerátort tartalmaz, aor a hevenin-generátort a hálózat egy ágána teintjü. K hálózat ágai ebben az esetben ellenálláso, áramorráso és hevenin generátoro lehetne. z elz ( b.) ábrán lév ágra a elvett vonatoztatási irányo igyelembevételével a + i j K K K gk egyenlet írható el, ahol K az i és a j csomópont özötti ág eszültsége, K az árama. Ha az ág egyetlen ellenállásából áll (a. ábra) aor, + egyenletben szerepl i j K K K gk. z egyenletbl az ág árama iejezhet: i j K gk gk K K K 7/. módszer bemutatása: eintsü a övetez hálózatot. 4 g4 () 4 g 5 () 5 (4) 4 hálózatban a csomóponto száma: n 4. ( 4 ) jel csomópont potenciálját zérusna választju. mási három csomópontra a csomóponti potenciáloal a övetez egyenleteet írhatju el: 3 + g g4 + g + 3 g g g 3 + g 6 3 z egyenleteet a csomóponti potenciálo szerint rendezve: (3) + + % & 3 g g4 # $ g # + $ g % 3 5 & % & g 3# $ g g6

12 7/3. Ezebl az egyenletebl a csomóponti potenciálo iszámítható és az ága eszültsége ezeel iejezhet: /4. G + G + G G 3 3 g G + G + G g ovábbá + és g 4 4 g 4 a hevenin-generátoro belsó ellenállásána eszültsége. Ha a hálózatban ( c. ábra ) ét csomópont, pl. az ( i ) és az ( ) özött eszültségorrás vagy rövidzár van: i aor i gm.5 5 / V $ () (i) c. ábra gm vagyis az ismeretlen csomóponti potenciálo száma a eszültségorráso és rövidzára számával csöen. lyen esetben az ( i ) és a ( ) jel csomópontra nem írun el csomóponti egyenletet. ét csomópont potenciáljána apcsolatát leíró i gm egyenletet és a többi csomópontra vonatozó egyenleteet, vagyis együttvéve n számú egyenletet írun el. Ezebl a csomóponti potenciálo iszámítható.. példa g g () Számítási példá a csomóponti potenciálo módszerére:. példa g g 5 8 # G.5S 4# G.5S 4# G.5S 3 3 # G.5S 4 4? g b () 3 4 g g g 5 5# G.S # G S 3.5# G3.8S 4 4# G4.5S 5 # G5.5S? 5

13 7/5. ( ) G + G G g G + G + G + G G G + G + G 4 3 g.8 / / ( +.8 ) 4( +.8 ) $.8V 4.3, /. Szinuszos áramú hálózato. Komplex számítási módszer. mpedancia, reatancia. váltaozó áram elnevezés alatt a gyaorlati szóhasználatban szinuszosan váltaozó áramot értün. váltaozó áram esetében az áram iránya és általában nagysága is periódiusan változi. periódiusság azt jelenti, hogy egy bizonyos idtartam eltelte után a jelala megismétldi. periódus (egy teljes hullám) lezajlásána idejét periódusidne nevezzü, és -vel jelöljü. z egy másodperc alatt létrejöv teljes hullámo száma a reencia, jele : Összeüggése a periódusidvel: [ ] s [ ] hertz Hz s ehát a periódius árammal (eszültséggel) gerjesztett lineáris, invariáns hálózatoban az áramo és a eszültsége idben periódiusan változna. hálózat bármely i(t) áramára és u(t) eszültségére: i(t) i (t) i (t+) ahol értée a t idpillanat választásától ügg. t u (t) u (t +) z id üggvényében szinuszosan váltaozó áram a övetez módon adható meg: i( t) sin( t + ) m # # rad [] s m a jel amplitúdója, a örrevenciája, pedig pedig a ezdázisa. i(t) m t váltaozó áram egyszer özépértée az áram egy periódusra vett átlaga: K i() t dt

14 8/. z egyszer özépértéet eletrolitius özépérténe is nevezi. Egy szinuszosan váltaozó jel egyszer özépértée zérus, hiszen a üggvénygörbe alatti pozitív és negatív eljel területe azonos nagyságúa. szinuszos áram abszolút özépértée a jel abszolút értééne egy periódusra vett átlaga: a m sin t dt Valamely váltaozó áram eetív értée a jel egy periódusra meghatározott négyzetes özépértée. Fiziailag az eetív érté azt az egyenáramot jelenti, amely egy ellenálláson a periódusid alatt a váltaozó áram által termelt hvel azonos mennyiség ht termel. Szinuszos jel eetív értée: általános periodius jel: # sin td t # i () t dt 8/3. Szinuszos jelre vonatozóan: m cs m omplex számítási módszer bevezetése: z egyenáramú örö elemeine villamos állapotát egyetlen adat megharáozta. szinuszosan váltaozó áramú öröben egy elem eszültségéne vagy áramána ismeretéhez ét adat szüséges. ineáris elemebl álló szinuszos hálózat esetén bármelyi elem eszültsége és árama szintén szinuszos váltaozású és azonos revenciájú. Eltérés van viszont a mennyisége amplitúdójában és ázishelyzetében. Nem célszer a számításoat özvetlenül a szinuszüggvényeel végezni. Vizsgálju meg hogyan összegezhet a hálózat egy csomópontjában összeutó ága áramai. i sin t i 3? # i 5sin( t + ) 4 5 # 4 i() i t Egy szinuszosan váltaozó jel eetív értée a csúcsérté m m -ed része: ormatényez ( ) az eetív és az abszolút özépérté hányadosa: Szinuszos jel esetén: $ # m a m. csúcstényez ( cs ) a csúcsérté és az eetív érté hányadosa: cs m $ csomóponti törvény minden egyes pillanatban érvényes. eladatot azonban Kirchho. törvénye segítségével csa elvileg oldhatju meg. z eredményebl nem tudju megállapítani a eresett áram amplitúdóját és ázishelyzetét. ( Gyaorlatilag bonyulult. ) z áramo áganént eltér ázishelyzetü öveteztetésben tehát nem adható össze az amplitúdó egyszer összegzésével. Nem azonos idpontban éri el maximális értéüet. szinuszos váltaozó áramú örö számításához legcélszerbb a omplex számítási módszert alalmazni. Komplex írásmóddal az i t cos t + valós idüggvényhez az it () omplex idüggvényt rendeljü hogy m i( t) e i( t) legyen, vagyis a omplex idüggvény valós része a valós idüggvény.

15 8/4. valós idüggvényrl a omplex idüggvényre való áttérés a dierenciálással és integrálódással rendre elcserélhet. d d e i( t) i( t) e i( t) dt i( t) dt dt dt omplex idüggvény dierenciálása j -val való szorzást, integrálása pedig j -val való osztást jelent. Komplex amplitudó: j m e omplex amplitúdót m j t e -vel szorozva apju a omplex idüggvényt: j t i( t) me 8/5. ( berajzolt vetor a t pillanatra vonatozi): omplex vetor az id üggvényében az óramutató járásával ellenez irányban örbe orog. z ilyen omplex orgó vetor neve szinor. szinor valós tengelyre vett vetülete a valós idüggvényt adja. t idponthoz tartozó szinor éppen a omplex amplitúdó: j m e omplex amplitúdó -ed része a omplex eetív érté: m it e j t e j t omplex eetív érté a szorzóban ülönbözi a omplex idüggvénytl. valós idüggvény id szerinti deriválása, ill. integrálása a omplex eetív értében is j -val való szorzást, ill. osztást jelent. t Ábrázolju az valós idüggvényt. i( t) cos( t + ) m Ezt -ed részére csöentve apju a omplex eetív érté épét: m j e omplex amplitúdó vagy a omplex eetív érté vetorát azorna hívju. azorral történ szemléltetés esetén egy hálózat több áramát és eszültségét ábrázolhatju egyetlen ábrán. Ezt a hálózat azorábrájána nevezzü. m i ( t tengely a üggleges és az i tengely a vízszintes): eszültsége arona: z áramo azora: it () z i( t) e e m j j t mennyiséget ( omplex idüggvény ) a omplex számsíon ábrázolhatju. Egy hálózat azor ábrájána elészítéséhez a t pillanatot tetszlegesen választhatju. Ez azt jelenti, hogy a hálózatban egy áram vagy eszültség azor valós tengellyel bezárt szögét szabadon választhatju és ezzel a hálózat valamennyi áramána és eszültségéne ezdázisát rögzítettü.

16 8/6. Ha a hálózatban a jele örrevenciával szinuszosan változna és az egyi áram omplex eetív értée: ( + j.5), aor és arctg Így a omplex eetív érté: 6.6.8e j 8/7. z impedancia valós része az rezisztencia, más néven ohmos ellenállás. Képzetes része az X reatancia vagy medd ellenállás. z impedancia Z abszolút értéét látszólagos ellenállásna hívju. az impedancia ázisösszege. e Z Z cos és X Z Z sin m omplex idüggvény enne e j t -vel való szorzata: z impedancia reciproa az admittancia, jele: Y m j( t 6.6 ) j( t 6.6 ) i( t).8e +.58e + m 6.6 e valós idüggvény enne valós része, vagyis: i( t) e i( t).58cos( t ) Egy indutivitás vagy ondenzátor eszültségéne és áramána omplex eetív értée arányos egymással. omplex eszültség és áramérté özötti arányossági tényez neve omplex impedancia. z impedancia ellenállás dimenziójú, egysége: Z # $ % % ajzjele: z ellenállás, az indutivitás és a ondenzátor impedanciája: Z Z j Z Z j Ez az Ohm.-törvény általánosítása szinuszos áramú hálózato esetére. z ered ellenállás általánosítása az ered impedancia, amely omplex mennyiség: j Z + jx Ze Z z admittancia vezetés dimenziójú, egysége: Y s & j Y G + j Ye Z tt G a (hatásos) vezetés vagy ondutancia és a szuszceptancia. G e Y Y cos Y & Y sin m z impedancia és az admittancia özös neve: immittancia. Sorosan, ill. párhuzamosan apcsolt impedanciá eredje a sorosan, ill. párhuzamosan apcsolt ellenálláso eredjéhez hasonlóan számítható. z eltérés hogy ellenállás értée helyett omplex impedanciá szerepelne az összeüggéseben. z X indutív reatancia értelmezése: Egy öninduciós tényezj teercsben a eszültség 9 -al siet az áram eltt. Ha az áramot valós sívetorna tételezzü el, aor a 9 o -al siet eszültség vetora épzetes lesz. z indutív reatancia is épzetes lesz: z vetorelordulást jelent. X X - t jelent. j -vel szorzás minden esetben 9 -al való

17 8/8. 9/. Párhuzamos rezgör i X j m # i e # z indutivitásból és apacitásból álló öröben gerjesztés hatására rezgése eletezne. jelenség iziai magyarázata: övetez ábra szerint párhuzamosan apcsolt veszteségmentes indutivitás és apacitás ún. párhuzamos rezgört épez. z X apacitív reatancia értelmezése: Egy apacitású ondenzátornál az áram 9 -al siet a eszültség eltt. Ha az áramot valós sívetorna ogju el, aor a 9 -al és eszültség vetora a negatív épzetes tengelybe esi. X z X jelent. -j -vel való szorzás minden esetben -9 -al való vetorelordulást jelent, mivel & j j X i j -j c - m # i e # Mivel mindét esetben egy-egy ideális hálózati elemrl van szó, a revenciaügg látszólagos ellenállásvetoru is a épzetes tengelybe esi. Ha bármilyen ohmos jelleg veszteséget is igyelembe veszün, aor ez a vetor már általános helyzetvé váli. Ebben az esetben impedanciáról vagy admittanciáról beszélün. Ha a ondenzátort eszültségre töltjü, benne W W s energia halmozódi el. Ezután a rezgört zárva a teercsen elször gyorsabban, majd lassabban növev isüt áram indul meg. ondenzátor energiája csöen, a teercsben pedig változó mágneses tér alaul i, öninduciós eszültség eletezi és mágneses energia halmozódi el. mior a villamos ertér nullára csöen, az indutivitáson átolyó áram és a benne ellép energia maximális: W W s z öninduciós eszültség az áramot enntartani igyeszi, az indutivitás tehát mint áramorrás saját energiájából a ondenzátort ismét eltölti az elz töltéséhez épest ellentétes polaritással. mágneses energia ismét villamos energiává alaul, s ez az ún. lengési olyamat ellenez irányban megismétldi. Ha a rezgör ideális, vagyis veszteségmentes, a rezgés állandó amplitúdójú. valóságban nem létezi veszteségmentes rezgör. valós (veszteséges) rezgörben olyó áram amplitúdója idben exponenciálisan csöen. rezgör veszteségeit az párhuzamos veszteségi ellenállással vehetjü igyelembe: x

18 9/. Valós párhuzamos rezgör: 9/3. Egyenl abszolút értée, de ázisülönbségü 8 o. Így összegü valóban nulla. ehát ideális párhuzamos rezgört tápláló generátor árama antirezonancián zérus. z ideális párhuzamos rezgör azarábrája a három alapvet esetre : érjün vissza az ideális (veszteségmentes) párhuzamos rezgörhöz, enne impedanciája: j Z z áramersség omplex eetív értée: Z _ Ha a rezgör eszültségéne omplex eetív értée. z indutivitás és a ondenzátor árama: és j j < Végül veszteséges párhuzamos rezgört teintve : > zon az örrevencián, amelyen az impedancia iejezésében a nevez nulla, azaz vagyis az örrevencián az impedancia végtelenné váli. Eor. Ezt az esetet antirezonanciána hívju. ntirezonancancián az ered áram nulla, de sem, sem nem nulla: enne impedenciája nem valós, hanem omplex mennyiség. z eddig elmondotta más megogalmazásban : z ábrán eltüntetett párhuzamos rezgör esetében az elemeen átolyó áramo :,, X X j j

19 9/4. Párhuzamos apcsolásnál a eszültséget ell iindulási pontna teinteni. eszültséghez viszonyítva az egyes áramo: 9/5. rezgörö egyi legontosabb jellemzje az ún. jósági tényez. jósági tényez a rezgör medd teljesítményéne és a veszteségi teljesítményne a hányadosa : medd teljesítmény Q veszteségi teljesítmény rezgör sávszélességéne azt a revenciatartományt nevezi, amelyen belül a rezgör impedanciáján es eszültség a maximális eszültségne legalább szerese. z a eszültséggel azonos ázisban van, az 9 o -ot ési, az pedig 9 o - al siet a eszültséghez épest. sávszélesség ogalmána szemléltetése ( ): párhuzamos rezgör ázisszöge: tg# # $ % X X & párhuzamos rezgör impedanciája és árama a revencia üggvényében: rezonanciarevencia Ha X < X, aor apacitív, ha pedig X > X, aor indutív jelleg lesz a rezgör. bban a speciális esetben, amior X X, a teercs és a ondenzátor egymás hatását özömbösíti. z impedancia értée eor a legnagyobb az áramersség pedig a legisebb ( rezonancia revencián ).

20 /. Soros rezgör Soros rezgörne a váltaozó áramú áramörbe sorosan apcsolt indutivitást és apacitást nevezzü: Ha a rezgör ellenállása nulla, aor ideálisna mondju. valóságos rezgörö mindig veszteségese. z indutivitás vesztesége mellett a ondenzátoré elhanyagolható. z indutivitás vesztesége a vele sorba apcsolt ellenállással vehet igyelembe. Soros apcsolás esetén valamennyi áramöri elemen ugyanaora áram olyi eresztül. z áram által oozott eszültséges és az ohmos ellenálláson azonos ázisban, az indutivitáson 9 o -os sietéssel, a apacitáson pedig 9 o -os éséssel alaul i. eszültségesése (,, ) eredje ( ) a apcsoláson átolyó áram és az ered impedancia ( Z ) szorzata lesz: /. Ha X > X, aor indutív, ha X < X, aor pedig apacitív lesz az áramör. bban a speciális esetben, amior X X, a teercs és a ondenzátor egymás hatását iegyenlíti. z impedancia értée eor a legisebb, gyaorlatilag az ohmos ellenállás értéével megegyez, a ázisszög pedig nulla lesz. teercsen ill. a ondenzátoron az azonos nagyságú, de ellenez eljel eszültség ilyenor soal nagyobb lehet mint a orráseszültség, ezt az állapotot eszültségrezonanciána nevezi. Feszültségrezonancia esetén tehát a soros rezgör impedanciája az ohmos ellenállással egyenl és az áram értée ebben az esetben a legnagyobb. zt a revenciát amelyen a eszültségrezonancia jelensége ellép, rezonanciarevenciána nevezi és val jelöli. iinduló eltétel tehát: X X % $ soros rezgör impedomciája és árama a revencia üggvényében: Z veszteséges soros rezgör impedanciája:, Z + X X X X apcsolás ázisszöge: # arctg X X ezonanciarevencián a periódusid: $ homson-éplet z eddigieet összegezve imondhatju, hogy ha a soros rezgör rezonanciarevenciája megegyezi a orráseszültség revenciájával, aor a rezgör impedanciája a legisebb és árama a legnagyobb. ezonancián az impedancia valós érté.

21 /3. deális rezgörben, vagyis impedanciája rezonancián nulla. soros rezgör azorábrája a három alapvet esetre: (, rezonancia örrevencia ) /4. rezgört a jósági tényez mellett a sávszélességgel is szotá jellemezni. sávszélesség anna a mértée, hogy a rezgörne az üggvényben ábrázolt áramersségéne abszolút értée, az ún. rezonancia görbe milyen merede. < > z ellenálláson a eszültség mindegyi esetben generátoron megjelen eszültség: j smételve a orábban megogalmazottaat: ha <, aor a rezgör apacitív jelleg ha, aor a rezgör ellenállás jelleg ha >, aor a rezgör indutív jelleg g rezgör veszteségéne mértéét a Q jósági tényezvel jellemezzü. jósági tényez az indutivitás és az ellenállás eszültsége valós amplitúdójána hányadosa: Q Minél isebb a rezgör vesztesége, annál nagyobb a jósági tényezje. ezonancia örrevencián Q Ez maximumát, vagyis rezonancia örrevencián éri el. Van ét olyan revencia (, ) a maximumna sávszélesség:, amelyenél az áramersség abszolút értée enne -ed része. jósági tényez és a sávszélesség özötti apcsolat: Q hányadost relatív sávszélességne nevezzü.

22 /. eljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatoban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény. Szinuszos áramú hálózatban az áram és a eszültség idben változi. Így a pillanatnyi teljesítmény is változi az idben. Ha étpólusna teinthet vizsgált hálózat eszültségéne ezdázisát zérusna választju, aor a eszültség és az áram pillanatértée: cos cos ( # ) u t t i t t Így a pillanatnyi teljesítmény: m co s co s ( # ) p t u t i t t t m m m /. Ez az ún. hatásos energia. z energia mási része, az ún. medd energia nem hasznosítható, mert a teercseben mágneses energiára, a ondenzátoroban pedig eletromos energia tárolódi. Ez utóbbi mezenergiáat a P < szaaszban a ogyasztó hasznos munavégzés nélül visszajuttatja a váltaozó áramú áramorrásna. medd energia tehát hol az áramorrástól a ogyasztó elé, hol pedig a ogyasztótól az áramorrás elé áramli. Párhuzamosan apcsolt ogyasztóon átolyó áram ( más elnevezéssel: látszólagos áramersség ) általában y szöggel ési vagy siet az eszültséghez ( más elnevezéssel: látszólagos eszültséghez ) épest, ezért vetoriálisan ét összetevre bontható, mégpedig a eszültséggel azonos ázisú h hatásos és rá merleges m medd összetevre. teljesítmény pillanatnyi értéét meghatározó üggvény graionja a teljesítmény görbe (wattgörbe). Ezt úgy apju, hogy a eszültség és az áram pillanatnyi értéeit pontról pontra összeszorozzu. Ábra: cos h sin m y y sorosan apcsolt áramöri elemere jutó látszólagos eszültség szintén ét omponensre bontható. z látszólagos áramersséggel azonos ázisú h hatásos eszültségre és rá merleges m medd eszültségre. z egyázisú váltaozóáram pillanatnyi teljesítménye az id üggvényében olyan étszeres örrevenciájú oszinuszgörbe, amelyne tengelye az idtengely ölött cos magasságban van, amplitúdója pedig. pillanatnyi teljesítmény lehet pozitív ( P > ), de lehet negatív és ( P < ). zon idintervallumban, amior P >, az áramorrás energiát ad át a ogyasztóna. ogyasztó az általa elvett energiána azonban csa egy részét tudja hasznosítani. Ábra: cos h sin m

23 /3. Párhuzamos apcsolásban az látszólagos eszültség és a vele azonos ázisú h hatásos áramersség szorzata a P hatásos teljesítmény: P h cos y Soros apcsolás esetén a P hatásos teljesítmény az h hatásos eszültség és az látszólagos áramersség szorzata: Mivel cos cos P h co s y, általánosan vegyes apcsolás esetén is a P hatásos teljesítmény: P cos Z cos cos Z hatásos teljesítmény a váltaozó áram tényleges teljesítmény, mert számunra csa ez hasznosítható. Ha a eszültséget V-ben, az áramersséget -ban adju meg, a hatásos teljesítményt W-ban apju meg. Mérésére az eletrodinamius teljesítménymért használju. ehát a [ ] P cos P W cos neve teljesítménytényez. Ellenállás esetén és így cos. deális indutivitásnál 9, ondenzátornál pedig # 9 Ezeben az eseteben cos, vagyis nincs hatásos teljesítmény. Hatásos teljesítményne hívju a pillanatnyi teljesítmény egy periódusra vett átlagát: P () P t dt. /4. Párhuzamos apcsolás esetén az látszólagos eszültség és az m medd áramersség szorzata a Q medd teljesítmény: Q m sin y Soros apcsolásban a Q medd teljesítmény az m medd eszültség és az látszólagos áramersség szorzata: Q sin Általánosan - vegyes apcsolás esetén is a Q medd teljesítmény: m [ ] Q sin Q var medd teljesítmény a teercs és a ondenzátor energiána ülönbségével arányos mennyiség. ogyasztó ezt az energiaülönbséget juttatjá vissza a hálózatba, hasznos munavégzés nélül. Ellenállás esetén sin, vagyis nincs medd teljesítmény. deális indutivitásnál sin, ideális ondenzátornál sin #, a medd teljesítmény pozitív, ill. negatív eljel. Ez azt jelenti, hogy a periódusid negyede alatt a generátorból energia áramli a reatanciába, amely ezt tárolja. övetez negyedperiódusban a tárolt energia a reatanciából a generátorba áramli. Ez a olyamat / idnént periodiusan ismétldi. z látszólagos eszültség és a ázisülönbséggel eltolt látszólagos áramersség szorzata az S látszólagos teljesítmény. S [ S] V ülönböz típusú teljesítménye özötti apcsolato: S P + Q P Scos Q Ssin

24 /5. Ha a eszültség és az áramersség eetív értéét j e ill. e $ j% omplex alaban adju meg, aor az omplex értéét az omplex értééne onjugáltjával szorozzu meg. j% & # j% e e ' onjugált z így adódó teljesítmény az S & omplex látszólagos teljesítmény: j$ # j% j S e e e cos + j sin /. Háromázisú rendszere. Vonali és ázismennyisége zoat a generátoroat, amelyene a teercseirl eltér ázishelyzet eszültségeet vehetün le, többázísú generátorona nevezzü. eszültségorrásént möd teercseet terhel impedanciáal összeötve többázisú rendszert apun. Generátoro soszögapcsolásánál, az egyes generátoro egyi vége a mási generátor elejéhez csatlaozi és a csatlaozási pontohoz ivezetése apcsolódna. z egyes generátoro eszültségét áziseszültségne, áramát ázisáramna nevezzü. ivezetése özötti eszültséget vonali eszültségne, a ivezetése áramát vonali áramna nevezzü. többázisú hálózato özül a leggyaoribb a háromázisú. Háromázisú hálózat soszögapcsolását háromszög, vagy deltaapcsolásna nevezzü. (. Ábra) átható, hogy itt a áziseszültsége megegyezne a vonali eszültségeel: v v 3 v3 Enne cos valós része a hatásos, sin épzetes része a medd teljesítmény. omplex teljesítmény abszolút értée a látszólagos teljesítmény: S S vonali áramo pedig ét ázisárammal ejezhet i: v v 3 v3 3 háromszög : v v 3

25 /. Generátoro csillagapcsolásánál valamennyi generátor egyi ivezetése özös ponthoz csatlaozi. özös pont neve: csillagpont vagy nullpont. csillagponthoz apcsolódna a ázisvezet és ha van ilyen ét csillagapcsolás nullpontját valamilyen impedancián eresztül összeöt nullvezet. háromázisú csillagapcsolást ipszilon ( Y ) apcsolásna is szotá nevezni. (. ábra ) ázisáramo és a vonali áramo egyenle, vagyis: v v 3 v3 vonali eszültsége pedig ét áziseszültséggel ejezhet i: v v 3 v3 3 csillag : v v 3 /3. ehát az ési. u eszültséghez épest az u o - al, az Komplex írásmóddal is elírhatju a három eszültséget: ( mutasson valós tengely irányába ) j e e e j j 4 u pedig 4 o - al u a pozitív Ha a pozitív valós tengely ügglegesen elelé mutat, aor a három eszültség vetorábrája (4. ábra) Szimmetriusna mondun egy négyvezetées rendszert ha a 3. Ábrán látható vezetée özött a eszültsége idbeni leolyása rendre: u sin t max max max ( ) ( ) u sin t u sin t 4 4. ábra Pozitívna mondju a ázissorrendet, ha az óra járásával ellentétes irányba orgó vetoro egy épzelt jel eltt ; ; sorrendben haladna el. Negatív a ázissorrend, ha a épzelt jel eltt az egyes vetoro ; ; sorrendben haladna el.

26 3/. Feszültség, áram és teljesítmény viszonyo szimmetrius és aszimmetrius csillagapcsolású háromázisú ogyasztó esetén. Egy háromázisú rendszer abban az esetben szimmetrius, ha a generátoro eszültségei mellett a ogyasztó és a vezet is szimmetriusa. ehát mindegyi ázist azonos impedanciával ell terhelni. szimmetrius háromázisú eszültsége nagysága azonos, az egymást övet eszültsége özött a ázisésés: 3 radián ázisoat a, b, c betel jelölve a eszültsége idüggvényei: u u sin # t m u u m sin ## t $ $ % 3 & u u m sin ## t $ $ % 3 & 3/. teercsvégehez csatlaozó vezet a ázisvezet, a csillagponthoz apcsolódó pedig a ( null ) vezet. csillagpont és a áziso özött lév eszültsége a áziseszültsége, az egyes áziso özött mérhet a vonaleszültsége. csillagapcsolás vonaleszültségei: b $ a c $ b a $ c Megállapíthatju, hogy a csillagapcsolás vonaleszültségei is szimmetriusa. (.b. ábra). vonaleszültség eetív értée 3 szorosa a áziseszültség eetív értééne: v 3 vonaleszültsége összege a hurotörvény értelmében minden esetben zérus. szimmetrius háromázisú táplálás háromszögapcsolásaor egy teercs végét a övetez teercs elejéhez ötjü és így egy zárt hurot hozun létre. (. ábra) Egy háromázisú teercsrendszer összeötéséne ét módja a csillag és a háromszögapcsolás. csillagapcsolásban az egyes teercse ezdetét összeötjü a özös pontot pedig csillagpontna nevezzü. (. ábra). ábra ármelyi ét vezet özött egy teercs eszültség mérhet. vonal és a áziseszültség azonos: v l. ábra szimmetrius áziseszültsége pillanatértée összege: a + b + c vonaleszültsége összege ebben az esetben is zérus. Négyvezetées (ivezetett csillagpontú) háromázisú rendszerre három ülönböz érté impedanciát apcsolva: (3. ábra)

27 3/3. 3/4. Háromvezetées ( ivezetett csillagpont nélüli ) rendszer: ( 4. ábra ) Szimmetrius terhelés esetén Z Z Z Z 3. ábra z, eszültségeet vonali eszültségene nevezzü. ogyasztó áramai rendre: Z Z Z Z % Z % Z $ $ $ és eszültségeet áziseszültségene, az, és ázisáram megegyezi a vonali árammal. nullvezetéen olyó áram: + + Mivel a háromázisú rendszere szimmetrius, a áziseszültsége abszolút értéei egyenl egymással: vonali eszültsége abszolút értéei is egyenle egymással: v z áziseszültség és az v vonali eszültség özötti apcsolat: 3 v 4. ábra szimmetria miatt a ogyasztóra jutó áziseszültsége és vonali eszültsége abszolút értéei egyenl egymással. ovábbá: ogyasztó ázisáramai: v v 3 v z egyes ázisáramo az impedanciá jellegétl üggen szöggel ésne vagy sietne a saját eszültségühöz épest, és a csillagpont a vonali eszültségebl alotott szabályos háromszög özéppontjában van. szimmetrius terhelés esetén a vonali eszültségebl alotott háromszög megmarad szabályos háromszögne, de az impedanciá ülönbözsége miatt a ogyasztó áziseszültségei asszimetriusa leszne. csillagpont most nem esi a szabályos háromszög özéppontjába.

28 3/5. Ha a csillagpont eszültséggel tolódi el és a szimmetrius áziseszültségeet vesszvel, az aszimmetrius áziseszültségeet pedig vessz nélül jelöljü, aor: 3/6. $ ' $ ' $ ' Ha a ázis impedanciá: Z, Z, Z aor a ázisáramo: Z Z Z csillagpontra elírt csomóponti-törvény szerint: csillagpont eltolódás: + + ' ' ' Y + Y + Y Y Y + Y + Y Z e e 3 ' v ' $ j ' $ j4 z eddig leírta más orrásból megogalmazva: csillagapcsolású termel-csillagapcsolású ogyasztó ( 5. ábra ) táplálás és a terhelés csillagpontjait nulla impedanciájú vezet öti össze ( Z v ). ázisvezet impedanciája is elhanyagolható Z. özvetlen összeötése miatt a ogyasztó áziseszültségei azonosa a táplálás eszültségeivel: z áramo: a b 3 c a b c a b c Z Z Z3 vezet árama a három ázisáram összege, ami a szimmetrius rendszer öveteztében zérus: ' a + b + c ( a szimmetrius eszültsége a hálózatban szimmetrius áramoat eredményezne ) eljesítmény: Mivel a háromázisú rendszer három egyázisúból tevdi össze, így a ázisteljesítménye összege adja a háromázisú teljesítményt. hatásos teljesítmény: P P + P + P v

29 3/7. ogyasztó egy ázisána hatásos teljesítménye: medd teljesítmény: látszólagos teljesítmény: sszimmetrius terhelés esetén: P cos& Q Q + Q + Q S P + Q P P + P + P S S + S + S cos& ( özepes teljesítmény tényez, iziai értelme nincs ) Szimmetrius terhelés esetén az egyes áziso teljesítménye és teljesítménytényezje azonos, ezért és így Hasonló módon: és így P P P cos& P 3 cos& Q Q Q sin& Q 3 sin& Most mind a három ázisban azonos a ázistolás, ezért cos& P S vonali értéeel is iszámíthatju a teljesítményt: 3/8. így Háromszögapcsolásban így P 3 cos& v P 3 cos& Eze szerint mind csillag, mind háromszögapcsolásban a vonali értéeel iejezett hatásos teljesítmény: P 3 cos& Hasonlóéppen imutatható, hogy a medd teljesítmény: és a látszólagos teljesítmény: Q 3 sin& S v v v v v v v v 3 v v szimmetriusan terhelt háromázisú rendszer teljesítményéne pillanatértée az idben nem változi és megegyezi az átlagteljesítménnyel, ugyanis a három pillanatteljesítmény összege: p p + p + p három ázis (,, ) pillanatteljesítménye: v 3 p cos& $ cos # t $ & ázis az -hoz épest o - al ési: p cos& $ cos ' ( # t $ ) $ & ( ) * ázis 4 o - al ési az -hoz épest: p cos& $ cos ' # t $ 4 $ & ( ) * sillagapcsolásban v 3 v pillanatteljesítménye összege minden idpillanatban zérus, így p P 3 cos&

30 4/. Feszültség, áram és teljesímény viszonyo szimmetrius és aszimmetrius deltaapcsolású háromázisú ogyasztó esetén. Egy háromázisú rendszer abban az esetben szimmetrius, ha a generátoro eszültségei mellett a ogyasztó és a vezet is szimmetriusa. ehát mindegyi ázist azonos impedanciával ell terhelni. szimmetrius háromázisú eszültsége nagysága azonos, az egymást övet eszültsége özött a ázisésés: 3 radián ázisoat a, b, c betel jelölve a eszültsége idüggvényei: u u sin # t m u u m sin ## t $ $ % 3 & u u m sin ## t $ $ % 3 & 4/. teercsvégehez csatlaozó vezet a ázisvezet, a csillagponthoz apcsolódó pedig a (null) vezet. csillagpont és a áziso özött lév eszültsége a áziseszültsége, az egyes áziso özött mérhet a vonaleszültsége. csillagapcsolás vonal eszültségei: b $ a c $ b a $ c Megállapíthatju, hogy a csillagapcsolás vonaleszültségei is szimmetriusa. (.b. ábra ) vonaleszültség eetív értée 3 - szorosa a áziseszültség eetív értééne: v 3 vonaleszültsége összege a hurotörvény értelmében minden esetben zérus. szimmetrius háromázisú táplálás háromszögapcsolásaor egy teercs végét a övetez teercs elejéhez ötjü és így egy zárt hurot hozun létre. (. ábra ) Egy háromázisú teercsrendszer összeötéséne ét módja a csillag és a háromszögapcsolás. csillagapcsolásban az egyes teercse ezdetét összeötjü, a özös pontot pedig csillagpontna nevezzü. (.a. ábra ). ábra ármelyi ét vezet özött egy teercs eszültsége mérhet. vonal és a áziseszültség azonos: v. ábra szimmetrius áziseszültsége (pillanatértée v. vetoro) összege: a + b + c vonaleszültsége összege ebben az esetben is zérus. ehát a ogyasztóat háromszög alaban apcsolva ( 3. ábra ), a ogyasztóra jutó eszültség megegyezi a vonali eszültséggel: v

31 4/3. 4/4. sszimmetrius terhelés esetén a ázisáramo rendre: Z Z Z vonali áramo pedig az elzeben elírt csomóponti egyenletebl iszámítva: $ j $ j 4 V V V e e z eddig leírta más orrásból megogalmazva: 3. ábra sillagapcsolású termel-delta apcsolású ogyasztó ( 4. ábra ) Szimmetrius a terhelés, ha a ogyasztó impedanciái azonosa eor: ( Z Z Z Z ) Z Z v ázisáramo az impedanciá jellegétl üggen szöggel ésne vagy sietne a saját eszültségühöz épest, tehát a ázisáramo egyenle egymással és irányu o -al tér el egymástól. vonali áramoat megapju, ha a 3. ábra,, pontjaira elírju a csomóponti egyenleteet: $ $ $ Szimmetrius terhelés esetén a vonali áramo abszolút értéei is megegyezne egymással és a özöttü lév szög o. v 3 háromszögbe apcsolt azonos impedanciá ( Z Z Z 3 Z ) mindegyie egy vonaleszültséget ap, amelye szimmetrius háromázisú rendszert alotna. ogyasztói impedanciá árama is szimmetrius lesz: 3 Z Z Z vonali áramoat a csomóponti törvény segítségével határozhatju meg: $ $ $ av 3 bv cv 3

32 4/5. vonali áramo tehát a szimmetrius ázisáramo ülönbségeént adódna és így 3 -szor nagyobb abszolút érté szimmetrius rendszert alotna: 4/6. medd teljesítmény: Q Q + Q + Q v 3 Deltaapcsolású termel-deltaapcsolású ogyasztó ( 5. ábra ) látszólagos teljesítmény: sszimmetrius terhelés esetén: S P + Q P P + P + P S S + S + S cos% ( özepes teljesítmény tényez, iziai értelme nincs ) Szimmetrius terhelés esetén az egyes áziso teljesítménye és teljesítménytényezje azonos, ezért P P P cos% termel és a ogyasztó egyes ázisaina eszültsége azonos, így a ogyasztó áramai: 3 Z Z Z3 Mivel a termel és a ogyasztó is szimmetrius ( Z Z Z 3 ), az,, 3 szimmetrius áramrendszer és így az av, bv és cv vonali áramo nagysága: v 3 eljesítmény: Mivel a háromázisú rendszer három egyázisúból tevdi össze, így a ázisteljesítménye összege adja a háromázisú teljesítményt. és így Hasonló módon: és így P 3 cos% Q Q Q sin% Q 3 sin% Most mind a három ázisban azonos a ázistolás, ezért cos% P S vonali értéeel is iszámíthatju a teljesítményt: hatásos teljesítmény: P P + P + P ogyasztó egy ázisána hatásos teljesítménye: P cos% sillagapcsolásban v 3 v

33 4/7. így P 3 cos% Háromszögapcsolásban v így P 3 cos% v v v v v 3 5/. Millmann-tétel (cillagpont eltolódás). z ábrán látható apcsolást vizsgálju: Eze szerint mind csillag, mind háromszögapcsolásban a vonali értéel iejezett hatásos teljesítmény: P 3 cos% Hasonlóéppen imutatható, hogy a medd teljesítmény: Q 3 sin% v v v v és a látszólagos teljesítmény: S 3 v v szimmetriusan terhelt háromázisú rendszer teljesítményéne pillanatértée az idben nem változi és megegyezi az átlagteljesítménnyel ugyanis a három pillanatteljesítmény összege: p p + p + p három ázis (,, ) pillanatteljesítménye: p cos% $ cos # t $ % ázis az -hoz épest o - al ési: p cos% $ cos ' # t $ $ % ( ) * ázis 4 o - al ési az - hoz épest: p cos% $ cos ' ( # t $ 4 ) $ % ( ) * pillanatteljesítménye összege minden idpillanatban zérus, így p P 3 cos% z ábrában a az alapul választott csomópont. Ehhez viszonyítva eressü a mási csomópont ( ) eszültségét, - t. z Ohm-törvény alapján: G G G G ' eszültségere a hurotörvénybl apju, hogy ' ' 3 ' z pontra elírva a csomóponti törvényt: Helyettesítés után: + + G G + G + G G + G + G ' 3 c ' endezés után apju a csillagpont (nullpont) eltolódást: ' G + G + G G + G + G + G 3 c * **

34 5/. épletben szerepl mennyisége jelentése: G, G, G, G a vizsgált csomópontban találozó vezetése.,, 3 e vezetése mási végpontjána eszültsége -hoz viszonyítva. Eze adotta. ( G mási végpontjána eszültsége -hoz viszonyítva zérus, tehát a számlálóban G elvileg szerepel. ) a ét csomópont özötti eszültség. meghatározása után a ** -gal jelölt egyenleteel,, számolható, majd a * -gal jelölt egyenleteel az áramoat apju meg. Millmann-tétel máséppen: eintsü a övetez hálózatot. 5/3. ehát: XY G + G G + G + G e e 3 Millmann-tétele értelmében tehát egy hálózat ét tetszés szerinti pontja özötti eszültségülönbséget megapju, ha a ét pontot összeöt ága generátoraina üresjárási eszültségeit megszorozzu saját ágaina vezetésével és a szorzato összegét elosztju a ét pontot összeöt összes ága vezetéseine összegével. Millmann-tétel ismertetése máséppen: Háromázisú csillagapcsolású generátorból és csillagapcsolású ogyasztóból álló hálózatra. hálózat: hálózat X és Y csomópontja özött mérhet eszültséget -vel jelöljü. Ez a eszültség a hálózat minden ága segítségével iszámítható: 3 e XY e XY XY G G G3 endezzü át mindhárom egyenletet: G + G e XY G + G e XY G XY 3 Ha e három egyenletet összeadju, a csomóponti törvény értelmében: Ebben az esetben a Millmann-tétel: Y + Y + Y Y + Y + Y + Y 3 g g 3 g3 _ Y a ét csillagpontot összeöt admittancia. Ha a gerjesztés szimmetrius, azaz aor g g g3 g a és a Y + a Y + ay 3 g Y Y Y Y