Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

Átírás

1 Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

2 Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza: h x x : h x, x Konvolúció: g Fourier transzformáltja: G FT g g spektruma: G g sávszélessége: bwg X eloszlás várható értéke: X, szórása: std X 2 Szürkeárnyalatos képet leíró leképezés: I : R R Elemenkénti átlagolás: S f x h x, x0 LTI esetben: x i 1: M I x, y 1 M I x, y i

3 Tartalom Elméleti áttekintés lineáris rendszerek: LTI rendszerek leírása konvolúciós integrál Rendszer identifikáció Folytonos idejű Fourier transzformáció Képalkotás mérése lineáris rendszerekkel: Point Spread Function, Modulation Transfer Function, Noise Power Spectra, SNR, CNR NEQ, DQE

4 Lineáris rendszerek Komplex, fizikai rendszerek sosem lineárisak Linearizálás nélkül kezelhetetlenül bonyolultak Leginkább sztochasztikus folyamatok Lin. rendszerként várható értékük jellemezhető Lineáris rendszerek jellemzői Rendszer: S : A B Lineáris: S a f b g a S f b S g a, b R f, g : C A

5 Lineáris rendszerek vizsgálata Eltolás-invariáns (idő invariáns) rendszer: S f x x y x S f y Dirac impulzus: x x lim exp Impulzusválasz: h x, x S y x x Eltolás-invariáns rendszernél: 0 0 LTI rendszereket egyértelműen leírja h x, x h x x 0 0 h x

6 LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál) Közelítsük infinitezimális téglákkal f-et: S f x yˆ x : f j x hx, j x x Ha Közelítő modell helyességének feltételei: f folytonos h x, y is folytonos függvénye y -nak x 1 eltolás invariáns: Tömörebben: j S S f x lim yˆ x f x ' hx x ' dx ' x0 x ' y x : S f x f h x

7 LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál) + + :

8 LTI rendszerek válasza (konvolúciós integrál)

9 LTI rendszerek Impulzusválasz ( h) egyéb elnevezései: Súlyfüggvény Gerjesztés Válasz függvény Képalkotó rendszereknél: Point Spread Function Fizikai képalkotó rendszerek sajátosságai: Rögzített képek (projekciók, stb.): y h x 3 2 Általában x : R R, y : R R a képalkotás, és a fizikai foton interakciók függvénye

10 Egyszerű rendszerek impulzusválasza Arányos tag: (szemléltetés) Integráló tag: Diffrenciáló tag: Holtidős tag:

11 Fourier Transzformáció Folytonos függvények lineáris transzformációja: 2 2 ; f x F e j e j F f x x dx x d Euler formula: exp j 2 x cos 2 x j sin 2 x LTI rendszerek vizsgálata Fourier tartományban: ' x ' Konvolúció tétel: j2 xx ' y x h x F e d dx ' 2 ' 2 ' j y x F h x e x dx ' e j x d x ' Y F H

12 LTI rendszerek konvolúció tétel LTI rendszer sajátfüggvényei az FT bázisfüggvényei (komplex exponenciálisak): frekvenciájú szinuszos jelre adott válasz is frekvenciájú szinuszos jel: LTI

13 LTI rendszerek átviteli függvény Átviteli függvény: H FT h exp H H j H értelmezése: H rendszer erősítése (1/ tehetetlensége): ~ jel változásának sebessége Fizikailag realizálható rendszerek sávkorlátozottak:, ha bw h H 1 Általában monoton csökkenő függvény (ellenpélda: kondenzátor) H rendszer fázis tolása (késleltetése): FT f x x F exp j 2 x 0 0

14 LTI rendszerek identifikációja H meghatározása: Egységimpulzus ( x) gerjesztés Egységugrás gerjesztés: h x ds 1 x dx 1 x x ' dx ' Szinuszos vizsgálójellel (LTV-hez is jó lehet): f x A cos 2 x 0 0 cos2 y x A A x H x 0 0 exp A j sign? esetén

15 LTI rendszerek identifikációja Multiszinuszos vizsgálójel (LTV rendszerekhez is): f x A cos2 i i x i i y x H i Fourier Sorfejtése megadja értékeit S Fehér zajjal: Bemeneti zaj: teljesítménysűrűség spektruma egyenletes Kimeneti zaj: teljesítménysűrűség spektruma H 2

16 Képalkotó rendszerek jellemzése Képalkotás általános modellje: Lineáris rendszer: Lineáris rendszerek GV vizsgálat Ideális gerjesztés: dirac-delta Közelítése: pontszerű gerjesztés A gerjesztés is GV válasza egy lineáris rendszernek ( ) Közvetlenül a ( h*l ) rendszert vizsgáljuk l,,

17 Point Spread Function Általános modell (konv. integrál)- a gerjesztés képét elmosás és additív zaj degradálja: g x, y h x, y;, f, d dd x, y,, 0 f,, : gerjesztés (vizsgált objektum) xy, : additív zaj h x, y;,, : rendszer súlyfüggvénye PSF-je Inverz probléma később részletesen tárgyaljuk

18 Point Spread Function (2D 2D eset) Nem szükségszerűen izotropikus: Fényképezőgépek / mikroszkópok inhomogén lencsék okozzák az anizotróp PSF-et PA röntgen, CT, DTS esetén tipikusan anizotróp MRI esetén felvételi paraméterek függvénye Nem szükségszerűen shift invariáns: Jelentősen nagyobb probléma Közelítés shift invariáns rendszerekkel: Alapelv: PSF folytonos függvény Isoplanatic régiók

19 Point Spread Function (2D 2D eset) 2D 2D: az ideális képalkotással keletkező és a rögzített kép közötti rendszer Nem szükségszerűen izotropikus: Fényképezőgépek / mikroszkópok inhomogén lencsék okozzák az anizotróp PSF-et PA röntgen, CT, DTS esetén tipikusan anizotróp MRI esetén felvételi paraméterek függvénye Nem szükségszerűen shift invariáns: Jelentősen nagyobb probléma Közelítés shift invariáns rendszerekkel: Alapelv: PSF folytonos függvény Isoplanatic régiók Az időinvariancia elnevezése képeket bemenetként kezelő 2D rendszer esetén.

20

21 Modulation Transfer Function (modulációs átviteli függvény) Tételezzük fel, hogy a PSF pozíció független Ekkor a PSF spektrumát érdemes vizsgálni: TF (átviteli függvény): Elterjedt még az OTF / MTF felbontás is: H Optical Transfer Function: Modulation Transfer Function: F h Effektív felbontás (zaj nélkül): Képalkotásban 0.5-ös MTF érték határozza meg HH 0,0 HH bwh 0,0

22 Röntgen detektor MTF példák

23 MTF mérése MTF definiálásánál LTI modellt használtunk: Expected MTF: célja az alul-mintavételezés hatására keletkező moire hatásait degradálni Gyakori megvalósításai: Vonalpár fantom: MTF származtatható belőle Rés módszer: magas frekvencián pontosabb Él módszer: alacsony frekvencián pontosabb Általában egy irány mentén mérhető: Ami a fantom elhelyezésétől függ

24 MTF mérése vonalpár fantomok Catphan 500 FBP-vel rekonstruált axiális szelet

25 MTF mérése vonalpár fantom Digitális fényképezőgépekhez készült fantom:

26 MTF mérése: él módszer - A fantom éle a pixelek oszlopaival kis, de >0 szöget zár be. - Így lehetőség nyílik az él felül-mintavételezésére, korrigálható az alulmintavételezési probléma. - Az élre merőleges derivált adja meg a PSF-et.

27 MTF PSF közötti kapcsolat

28 MTF szerinti minősítés

29 Signal to Noise Ratio (jel / zaj viszony) Általános jelfeldolgozásban: Általában additív zaj Képalkotó rendszerek esete: f homogén objektum legyen SNR 10log P P 20log A A db x,y 10 signal noise 10 signal noise N N a homogén objektum képének kiterjedése, fontos, hogy elegendően nagy legyen Több felvételből is mérhető x, y x, y SNR I std I x,y N

30 Contrast to Noise Ratio (kontraszt / zaj viszony) Kontraszt önmagában nem jó minősítő: Gyakran főleg a zaj generálja Objektumok elkülönítését javítja a jobb kontraszt, de degradálja a nagyobb zaj CNRA, B CA, B N I x, y I x, y std I x, y x,y A A,B a két elkülöníteni kívánt objektum képe N azon régió, melyből becsülhető a képzaj: Ennek konkrét megválasztása esetfüggő Alkalmazása (mint metrika) főleg orvosi körben elterjedt x,y B x,y N

31 CNR mérése CT esetén - Fontos, hogy nem tételez fel lineáris képalkotást! - Szeleten belüli felbontás vs. sugárdózis optimalizáció - Nemlineáris rekonstrukciók minősítése Catphan 600

32 Röntgen kvantum jellemzői Kvantum: fotonok száma Fotonok eloszlása: Érzékelő felületén/ időben nem egyenletes Sugárzás inherens zaját ez a jelenség generálja Ergodikus eloszlással írható le Véletlen Poisson Folyamat: Q várható érték esetén Q szórás Ideális képalkotó rendszer: Plusz zajt nem generál ( SNR SNR ) out in

33 Noise Power Spectrum (zaj teljesítmény spektrum) A képzaj energiája frekvenciafüggő: NPS definíciója folytonos jel esetén: 1 1: M NPS lim F I I Nx, Ny, M X Y Diszkrét esetben: x y 1: M NPS lim F I I Nx, Ny, M Nx Ny x, y N, N 2 2 : detektor pixeleinek x és y irányú kiterjedése : detektor x és y irányú logikai felbontása x y (pixeleinek a száma) X x N, Y y N detektor fizikai mérete x y

34 Noise Power Spectrum (zaj teljesítmény spektrum) A képzaj energiája frekvenciafüggő:, exp2 f x y j ux vy dydx xy, NPS definíciója folytonos jel esetén: 1 1: M NPS lim F I I Nx, Ny, M X Y Diszkrét esetben: x y 1: M NPS lim F I I Nx, Ny, M Nx Ny x, y f m, nexp2 j u m M v n N N, N mn, 2 2 : detektor pixeleinek x és y irányú kiterjedése : detektor x és y irányú logikai felbontása x y (pixeleinek a száma) X x N, Y y N detektor fizikai mérete x y

35 Normalized NPS: Noise Equivalent Quanta (zaj ekvivalens kvantum) Kompenzálja a rendszer erősítését ~ Mi a detektor válasza olyan helyen, melybe Q foton érkezik (kvázi a rendszer erősítése) Noise Equivalent Quanta: Mennyi foton lenne szükséges ugyanazon képminőség eléréséhez, ha ideális lenne a képalkotás NNPS u, v NPS u, v A A 2 NEQ u, v MTF u, v NNPS u, v SNR u, v 2 2

36 Detective Quantum Efficiency (detektálási kvantumhatékonyság) Eddigi metrikáknál nem vizsgáltuk a dózistól / fotonok számától való függést: DQE u, v NEQ u, v Q Q a vizsgált detektort elérő kvantum (fotonok száma, definiálható így is a dózis) Fontos interpretáció: 2 2 DQE u, v SNR u, v SNR u, v SNR in u, v in : érzékelőelemre belépő jel (pl. röntgensugár, fotonok) SNR je A kész rendszer információ átvitelének hatékonyságát méri, értéke 0 és 1 között változik.

37 DQE számolási példák -1- Adott egy röntgen detektor, melyet az alábbi rendszer ír le: Egy ideális detektor és egy csillapító réteg soros kaszkádja (pl. CsI szcintillátor), a csillapító réteg nem változtatja az átmenő sugárzás eloszlásának típusát. A szcintillátor a felületét elérő röntgen fotonok ¼- éből generál látható fotont, plusz zajt nem generál. Q=5000 röntgen foton/ pixel éri a teljes rendszert. NEQ=? DQE=? SNRin=? SNR=?

38 DQE számolási példák -2- Adott egy röntgen detektor, mely: Ideális detektor, és zajos A/D átalakító soros kaszkádja, mely zaja ekvivalens 50 foton/pixel-el a belépő sugárzás fluxusában (inherens zaj). A kiolvasási zaj és a detektort érő fotonok zaja Poisson eloszlású, egymással korrelálatlan. Q=10000 foton/pixel éri a detektor felületét. NEQ=? DQE=? SNRin=? SNR=? Jó közelítéssel ez a két zajforrás aggregálódik (Hf. az aggregált rendszer metrikái).

39 Röntgen detektor kvantum modellje

40 És mi a valóság? Gyakorlatban integráló típusú detektorok: Detektorok erősen érzékenyek a becsapódó fotonok energiájára: Kisebb energiájú fotonok esetén kevésbé érzékenyek Gyakorlatban van egy minimum energiaküszöb Az eddig tárgyalt elmélet erősen egyszerűsít Ezen alapszik az integráló detektorok modellezése is, de az jóval bonyolultabb (ritkán használják, főleg szimulációra) DE nincs ennél jobb általános modell Vagy a nagy számok törvényére hivatkozva minden zajt Gauss zajnak feltételeznek, mely még kevésbé adekvát.