Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz"

Átírás

1 Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

2 Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi elrendezések esete Általánosított (3D) röntgen tomográfia alapjai ART rekonstrukciós eljárások Pozitron emissziós tomográfia alapjai ML-EM statisztikai rekonstrukciós eljárás Modell alapú / CS rekonstrukciós eljárások Tomoszintézis felvételi elrendezés MITS rekonstrukció Rekonstrukciós eljárások minősítése

3 Röntgen tomográfia alapjai Általánosított Beer-Lambert törvény: Emax I 0, 0 0 exp, x y I E E x d x de Emin Px0, y0 I0 E : röntgencsövet elhagyó E energiájú fotonok intenzitása (üres térfogat esetén a detektor által érzékelt fotonok száma) P x, y: pontszerű sugárforrást a detektor x, y koordinátájú pontjával összekötő szakasza a 3d térnek E, x: a vizsgált térfogat x koordinátájú pontjának lineáris csillapítási együtthatója E energián Egyszerűsített Beer-Lambert törvény: I0 Eexp d P (monokróm spektrum esete) x0, y0 : x x

4 Röntgen tomográfia alapjai Monokróm spektrumú sugárzás esete: Általánosan alkalmazott feltételezés Rekonstrukció célja a lin. csillapítási együtthatók meghatározása az alábbi összefüggés invertálásával: ln, I x y 0 Px I x dx 0, y0 Valódi röntgensugarak ezzel szemben: Polikromatikusak sugárkeményedés problémája Szóródnak: nem igaz, hogy csak a vetítősugár mentén elhelyezkedő képletek számítanak. Projekciók egyéb zajjal is terheltek : kis intenzitásnál rossz SNR

5 Röntgen alapú képalkotás Konvencionális P-A röntgen: Nincs rekonstrukció Számítógépes tomográfia (CT): Párhuzamos vetítősugarakon alapuló eljárások (kevés ilyen eszköz van csak forgalomban), cserébe egyszerű elmélet Legyező (Fan-beam) helikális CT leggyakoribb típus Cone-beam CT, ennek speciális változata a Tomoszintézis Orvosi képdiagnosztika alapvető eszköze: Mivel a röntgen sugárzás ionizál, illetve maga a vizsgálat itthon mércével drága, ezért csak indokolt esetben végzik

6 2D Radon transzformáció: Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Input: 2D Descartes - koordinátarendszerbeli kép Output: sinogram 2D polár-koordinátarendszerbeli kép Sinogram: t

7 Radon transzformáció Fourier vetítősík tétel Radon transzformáció (2D szelet 1D projekciók): Vetítősugarak merőlegesek az x tengellyel szöget bezáró egyenesre: t xcos y sin Vetítősugarak mentén integráljuk a szelet elemeit: P t f x, y x cos y sin t dxdy x, y Legyen exp 2 Fourier vetítősík tétel származtatása: x, y, t S FT P t P t j t dt S f x, y xcos y sin t exp 2 j t dtdydx, exp 2 cos sin S f x y j x y dydx x, y

8 Fourier vetítősík tétel Lényegében f spektrumának egy szakaszát kaptuk meg: F cos, sin S Vizuális interpretáció:

9 Rekonstrukció FBP alapötlete Rekonstrukció célja: Radon Transzf. invertálása Fourier vetítősík tétel értelmében a vizsgált szelet spektrumainak bizonyos részeit ismerjük: Az ismert részeket illesszük egy üres spektrumba Polár koordinátás frekvencia sugarának függvényében a spektrum mintavételi helyeinek eltérő a távolsága: K 2 2 Korrekció: spektrumba illesztés előtt -val súlyozzunk frekvenciatérben (ez az ún. rámpaszűrés).

10 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása FT inverze:,, exp 2 f x y F u v j ux vy dvdu u, v Fourier vetítősík miatt a spektrumot polárkoordináta-rendszerben ismerjük: u cos ; v sin 2,, exp 2 cos sin f x y F j x y Jdd 0 0 u u J..., dudv Jdd v v Továbbiakban k : x cos y sin 2 f x, y F, exp j2 k d d 0 0

11 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Vágjuk szét a külső integrált: 2 j2 k j 2 k f x, y F, e dd F, e dd f, a sinogram egy oszlopa, melynek definíciójából (Radon transzf.) következik, hogy F, F,, hiszen: Felhasználtuk, hogy k x cos y sin, illetve cos cos és sin, exp 2 exp 2 F P t j t dt P t j t dt t t t F, P lexp j2 l dl F, l t l l sin

12 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Vágjuk szét a külső integrált: 2 j2 k j 2 k f x, y F, e dd F, e dd P l f l, a sinogram egy oszlopa, S melynek F definíciójából, f, (Radon transzf.) következik, hogy F, F,, hiszen: Felhasználtuk, hogy k x cos y sin, illetve cos cos és sin, exp 2 exp 2 F P t j t dt P t l t 1 j t dt t t t F, P lexp j2 l dl F, l t l l sin

13 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Alakítsuk át egyszerű behelyettesítésekkel a második integrált: 2 j 2 k j2 k F, e d d F, e d d j 2 k j, e, e 2 k 1 F d d F dd k cos x sin y j 2 k j2 k, e 1, e F dd F dd

14 Szűrt visszavetítés (FBP) származtatása Lássuk mit sikerült kifőznünk: j 2 k j 2 k,, e, e f x y F dd F dd f x, y F, exp j2k dd Q k d : Q k S exp j2 k dekvivalens a projekciók (sinogram oszlopai) rámpa szűrővel történő szűrésével f x, y Q x cos y sin d : az ú.n. visszavetítés

15 Szűrt visszavetítés értékelése Rámpaszűrő: 0, f N 0, fpn f Ideális rekonstrukció feltételei: 180 -ból rögzített projekciók arc sin f Projekciók felbontása elegendően nagy: f tipikus az 1cyc/mm PN 2 f N Zajt az eljárás expliciten nem kezeli, ez jelentős problémaforrás. f PN képtérben

16 Szűrt visszavetítés implementációja Rámpaszűrés frekvenciatérben történik: 5 5-ös szűrő esetén már a frekvenciatartománybeli szűrés a gyorsabb (ennek főleg régebben volt jelentősége). Visszavetítés kép / időtartományban: Frekvenciatartományban interpolálnunk kellene a spektrum ismert egyeneseiből a DFT által mintavett frekvenciák értékét (mely messze nem triviális). Szűrések, projekciók visszavetítése egyenként (sugaranként) jól párhuzamosítható

17 Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Detektorok DQE-je a frekvencia függvényében monoton csökken zajos magas frekvencia (PET esetén a röntgenes esetnél jóval rosszabb). Ráadásul magas frekvencián távolabb vannak a spektrum ismert értékei (ezért kell a rámpa szűrés is). Legegyszerűbb megoldás az alul-áteresztés: Az alul-áteresztés és a visszavetítés sorrendje tetszőleges Erőforrásigény miatt érdemes a rámpa szűrőt megszűrni: P h h P h h Ramp Lowpass Ramp Lowpass Klasszikus inverz problémák mely algoritmusaira hasonlít az eljárás?

18 Szűrt visszavetítés zajérzékenysége Rámpa szűrő módosítottjaival szűrünk: Szűrők átviteli függvényének abszolút értéke: Egy CAT MTF-je a szűrők függvényében (példa):

19 Szűrt visszavetítés működése Demo videó az FBP rekonstrukciójáról: A szinogramban oszlop-folytonosan helyezkednek az 1D projekciók. A videón jól követhető a limitált szögtartomány által okozott artifakt: Magas frekvenciás komponensek (pl. fantom széle) kis szögtartományból is jól rekonstruálódik. Alacsony frekvenciás komponensek viszont erősen szétmosódottak (jellegzetesen V alakban). Vetítősugarakra merőleges élek rekonstruálhatóak jól.

20 FBP Fan-beam geometria esetén Eddig párhuzamosak voltak a vetítősugarak: Gyakorlatban egy ilyen CT nem igazán realizálható Fan-beam vetítősugaras helikális CT (ú.n. CAT):

21 FBP Fan-beam geometria esetén Alapötlet: a mért intenzitások átcsoportosítása párhuzamos vetítősugár alapú geometria szerint: Lényegében új, párhuzamos vetítősugár szerinti virtuális projekciókat állítunk elő a fan-beam projekciókból. Átcsoportosítás Fan-beam projekciók Virtuális párhuzamos projekciók

22 FBP Cone-beam geometria esetén CBCT rendszerek - Cone-Beam geometria: Flat-panel detektort használ, a sugarak kúpszerűen (innen az elnevezés) vetülnek a detektorra:

23 Cone-beam geometria szerinti vetületek FBP rekonstukciója - FDK Feldkamp, Davis, Kress CBCT-s algoritmusa: Klasszikus szűrt visszavetítéssel rekonstruál Közelítően helyes algoritmus ideális esetben sem tökéletes Ideális rekonstrukció esetén is Cone-beam artifakt

24 Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Általános modellje a (röntgen) képalkotásnak: g x, y h x, y;, f, d dd x, y,, 0 Mérésekkel rendelkezünk: g x, y Teoretikusan ismerjük a rendszer PSF-jét: Beer- Lambert törvény szerint, ami nem modellez sem szóródást, sem a fotoelektromos kölcsönhatás során keletkező divergáló sugarakat. Rekonstrukció célja f,, meghatározása Érdemes megjegyezni, hogy a Beer-Lambert törvénynél ez egy általánosabb modell, de monokróm sugarakat feltételez, gyakorlatban nem tudunk vele dolgozni túl nagy komplexitás.

25 Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Megfigyelési modell diszkretizáltja g H f η : g tartalmazza az összes vetítősugár fotodiódákon mért intenzitások negatív logaritmáltját (tehát minden projekció minden pixeléhez tartozó intenzitását tartalmazó vektor). H a vetítő mátrix,, : i-edik pixelbe csapódó fotonok a j-edik voxeltől mennyire csillapodnak (ez anyag független). η H i j az additív zaj nem modellezett hatások determinálják Lényegében ez is inverz probléma: Ugyanúgy jelentős a zajérzékenység, mint 2D esetben Ellentétben nagyságrendekkel több változó (akár 1E7)

26 Projekciók keletkezésének általános 3D modellje Ez így túl általános, de jobban modellezi a valóságot. Gyakorlatban viszont H az i-edik pixelbe csapódó fotonok i, j által g tartalmazza a j-edik voxelben az összes megtett vetítősugár útjának fotodiódákon a hossza (csak mért primer sugárzás). intenzitások Ezzel negatív a megkötéssel logaritmáltját H egy (tehát ritka, ú.n. minden sávmátrix-á projekció válik. minden pixeléhez tartozó intenzitását tartalmazó vektor). Megfigyelési modell diszkretizáltja g H f η : H i j H a vetítő mátrix,, : i-edik pixelbe csapódó fotonok a j-edik voxelben lévő anyagtól mennyire csillapodnak. η az additív zaj nem modellezett hatások determinálják Lényegében ez is inverz probléma: Ugyanúgy jelentős a zajérzékenység, mint 2D esetben Ellentétben nagyságrendekkel több változó (akár 1E7)

27 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Kaczmarz iterációval történik megoldása: Rekonstrukciónál a f H g megoldás lenne az ideális, de: Túl nagy H mérete a ma elérhető számítási teljesítményhez Ráadásul H nagyon ritka, melyet általános algebrai módszerek nem képesek hatékonyan kihasználni Eljárás alapötlete: g H f lényegében N db (vetítősugarak száma), M dimenziós hipersík egyenlete Ha létezik egzakt inverz, akkor a hipersíkok az M dimenziós tér ugyanazon pontjában metszik egymást. Ha túlhatározott, akkor nincs metszéspont, ha alulhatározott akkor az M dimenziós teret egy résztartományra szűkítik. g H f

28 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) Az eljárás k+1. iterációban merőlegesen vetíti az aktuális -et g H f hipersíkra ( i k N ): f (mod ) f a -re merőleges azon síkon helyezkedik el, mely távolsága az origótól Tehát i i,: H i,: 1 g f f H H i i,: k k T i,: k g H f H T i i,: i,: H f k g,: H i i i,: Hi,: 1 2, a merőleges vetítés után teljesül, amiből kifejezve: T k k k i,: i,: i T f f H f g H T H, behelyettesítve: H i,: i,:

29 Algebrai rekonstrukciós technika (Gordon ART) k 1 k k i,: interpretációja: k k g H f a rögzített projekciók és az aktuális ( f ) rekonstrukció modell szerinti vetületének a különbsége (vetületi hiba) T T H H H : a vetületi hibát vetíti vissza Eljárás tulajdonságai: Sok, könnyen számolható iteráció, melyek nem párhuzamosíthatóak Konvergál, ha megfigyeléseink konzisztensek, ellentétben limit hurokba szorul, mely belsejében helyezkedik el az f H g. Hátránya, hogy nem kezeli a projekciók zaját, ezért túlilleszkedésre hajlamos (lényegében egy ML becslés Gauss eloszlású likelihood-dal) Szükség van egy f f g H f i,: i,: i,:,: i i T f 0 H H -ra: gyakran FBP / BP eredménye T H i,: i,:

30 Kaczmarz iteráció példa N=2, M=2 esete: i-edik kényszerrel konzsiztens vektorok halmaza Ha a két merőleges hipersík egymásra merőleges, akkor két iteráció alatt megvan a metszéspont Ha a hipersíkok párhuzamosak, akkor az iteráció nem áll le (limit hurokba kerül) Minél nagyobb a két egyenes által bezárt szög, annál gyorsabb a konvergencia.

31 Limit hurok viselkedés Gordon ART inkonzisztens projekciók esetén limit hurokba lép: Stabil limit hurkok viselkedés: a rendszer állapotváltozója hurok trajektóriába ragad

32 Algebrai rekonstrukciós technika Egyidejű ART (SART): (Simultaneous ART) Hibaképzés nem vetítősugaranként, hanem projekciónként: 1 f f g H f k k k S i js j j,: : i-edik projekció pixeleit előállító vetítősugarak halmaza Tetszőleges f 0 esetén is konvergál egy LS becslőhöz: Ha több LS becslő van, akkor az f Jól párhuzamosítható: i -hoz L2 szerinti legközelebbihez Azonos projekcióhoz tartozó vetítősugarak menti levetítés és visszavetítés egymástól független Zajra túlilleszkedés tulajdonsága változatlanul megmaradt Ez az eljárás is ekvivalens egy ML becsléssel H 0 H T j,: H j,: j,: T

33 Algebrai rekonstrukciós technika (Simultaneous Iterative Reconstructive Technique) Egyidejű Iteratív Rekonstrukciós eljárás: Összes projekció, összes pixele szerint egyszerre képez hibát: 1 f f g H f k k k j j j,: Hasonló konvergencia tulajdonságok, mint az SART-nél: Pontosan ugyanazon becsléshez konvergál Jól párhuzamosítható, de: Egyszerre csak egy projekció le / visszavetítése nem módosítja többször u.a. voxelt (egyébként versenyhelyzet). Gyakorlatban több számolás szükséges a konvergenciához, mint a másik két ART-nél Létezik olyan változat, mely kezeli a polikróm energia spektrum miatt kialakuló sugárkeményedés artifaktumot. H H T j,: H j,: j,: T

34 Algebrai rekonstrukciós technika (Multiplikatív ART) Eddig Additív ART-ket néztünk: Kezdeti iterációk során lassabban haladnak Pozitivitási kényszert nem lehet kikényszeríteni Multiplikatív ART-k: Hibát multiplikatív módon származtatják pl.: f k A hibát f k 1 j 1 H j,: i i k g 1 g H f j j,: k f értéke méri Kezdeti iterációk hatékonyabbak, de gyakran divergál, vagy a végén túlságosan lelassul. H j,i

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2016 ősz

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2016 ősz Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 14.-15. előadás 2016 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone

Részletesebben

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2015 ősz

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika előadás 2015 ősz Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 14.-15. előadás 2015 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone

Részletesebben

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2018 ősz Előadások témája Röntgen tomográfia fizikai és matematikai alapjai 2D Radon transzformáció, szűrt visszavetítés: Fan beam / Cone beam felvételi

Részletesebben

Képrekonstrukció 3. előadás

Képrekonstrukció 3. előadás Képrekonstrukció 3. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Computed Tomography (CT) Elv: Röntgen-sugarak áthatolása 3D objektum 3D térfogati kép Mérések

Részletesebben

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Élet a konvex optimalizáción túl CT-s szimuláció, 10 projekcióból (ΔΘ=18 ): Konvex: L2-TV Valóban ritkasági priorral Lineáris tomoszintézis Speciális

Részletesebben

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

Rekonstrukciós eljárások. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Rekonstrukciós eljárások Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Pozitron emissziós tomográfia alapelve Szervezetbe pozitron kibocsátására képes radioaktív izotópot tartalmazó anyagot visznek cukoroldatban. Sejtek

Részletesebben

Képrekonstrukció 4. előadás

Képrekonstrukció 4. előadás Képrekonstrukció 4. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Vetület-szelet tétel szemléletesen A θ szögű vetület 1D FT-ja az eredeti kép 2D FT-jának

Részletesebben

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 6. Előadás tartalma Spektrumszivárgás Képfeldolgozás frekvencia tartományban: 2D Spektrum gépi ábrázolása Szűrések frekvenciatartományban

Részletesebben

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz 5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Folytonos

Részletesebben

7. Előadás tartalma. Lineáris szűrők: Inverz probléma dekonvolúció: Klasszikus szűrők súly és átviteli függvénye Gibbs jelenség

7. Előadás tartalma. Lineáris szűrők: Inverz probléma dekonvolúció: Klasszikus szűrők súly és átviteli függvénye Gibbs jelenség 7. Előadás tartalma Lineáris szűrők: Klasszikus szűrők súly és átviteli üggvénye Gibbs jelenség Inverz probléma dekonvolúció: Inverz probléma ormális elírása Dekonvolúció nehézsége Közismert algoritmusok:

Részletesebben

Nem roncsoló tesztelés diszkrét tomográfiával

Nem roncsoló tesztelés diszkrét tomográfiával Nem roncsoló tesztelés diszkrét tomográfiával Dr. Balázs Péter, adjunktus Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék SZTE TTIK, Informatikai Tanszékcsoport A teszteléshez használt CT berendezés lapdetektor

Részletesebben

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 6. ea ősz

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 6. ea ősz Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 6. ea. 2015 ősz Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza:

Részletesebben

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz

Képalkotás modellezése, metrikái. Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Képalkotás modellezése, metrikái Orvosi képdiagnosztika 2017 ősz Jelölésjegyzék Rendszer válasza f gerjesztésre: Dirac-delta: x ; egységugrás: 0 idejű Dirac-delta gerjesztése a rendszer válasza: h x x

Részletesebben

Hadházi Dániel.

Hadházi Dániel. Hadházi Dániel hadhazi@mit.bme.hu Orvosi képdiagnosztika: Szerepe napjaink orvoslásában Képszegmentálás orvosi kontextusban Elvárások az adekvát szegmentálásokkal szemben Verifikáció és validáció lehetséges

Részletesebben

Jelfeldolgozás bevezető. Témalaboratórium

Jelfeldolgozás bevezető. Témalaboratórium Jelfeldolgozás bevezető Témalaboratórium Tartalom Jelfeldolgozás alapjai Lineáris rendszerelmélet Fourier transzformációk és kapcsolataik Spektrális képek értelmezése Képfeldolgozás alapjai Néhány nevezetesebb

Részletesebben

PET gyakorlati problémák. PET rekonstrukció

PET gyakorlati problémák. PET rekonstrukció CT Computed Tomography 3D képalkotó eljárások Csébfalvi Balázs E-mail: cseb@iit.bme.hu Irányítástechnika és Informatika Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2 / 26 CT Történeti áttekintés

Részletesebben

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea ősz

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea ősz Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea. 2016 ősz 6. előadás tartalma Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Spektrumszivárgás

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 7-8. ea ősz

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 7-8. ea ősz Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 7-8. ea. 2015 ősz 7. előadás tartalma Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Frekvenciaszivárgás

Részletesebben

Dekonvolúció a mikroszkópiában. Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ

Dekonvolúció a mikroszkópiában. Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ Dekonvolúció a mikroszkópiában Barna László MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet Nikon-KOKI képalkotó Központ 2015 Fourier-Sorok Minden 2π szerint periodikus függvény előállítható f x ~ a 0 2 + (a

Részletesebben

Diszkréten mintavételezett függvények

Diszkréten mintavételezett függvények Diszkréten mintavételezett függvények A függvény (jel) értéke csak rögzített pontokban ismert, de köztes pontokban is meg akarjuk becsülni időben mintavételezett jel pixelekből álló műholdkép rácson futtatott

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

A maximum likelihood becslésről

A maximum likelihood becslésről A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának

Részletesebben

Haladó lineáris algebra

Haladó lineáris algebra B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc

Részletesebben

Képalkotó diagnosztikai eljárások:

Képalkotó diagnosztikai eljárások: Képalkotó diagnosztikai eljárások: Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o Transzmissziós o Indukciós o Emissziós alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes diagnosztikai

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

Képalkotó diagnosztikai eljárások

Képalkotó diagnosztikai eljárások Képalkotó diagnosztikai eljárások Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o transzmissziós o reflexiós o emissziós elv alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes

Részletesebben

Grafikonok automatikus elemzése

Grafikonok automatikus elemzése Grafikonok automatikus elemzése MIT BSc önálló laboratórium konzulens: Orosz György 2016.05.18. A feladat elsődleges célkitűzései o eszközök adatlapján található grafikonok feldolgozása, digitalizálása

Részletesebben

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III. Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak

Részletesebben

Képrestauráció Képhelyreállítás

Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció Képhelyreállítás Képrestauráció - A képrestauráció az a folyamat mellyel a sérült képből eltávolítjuk a degradációt, eredményképpen pedig az eredetihez minél közelebbi képet szeretnénk kapni

Részletesebben

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk

Részletesebben

Az Orvosi Fizika Szigorlat menete a 2012/2. tanévtől

Az Orvosi Fizika Szigorlat menete a 2012/2. tanévtől Az Orvosi Fizika Szigorlat menete a 2012/2. tanévtől 1. A szigorlat menete A szigorlatot a Fizikus MSc orvosi fizika szakirányos hallgatók a második vagy harmadik szemeszterük folyamán tehetik le. A szigorlat

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Képalkotó diagnosztikai eljárások:

Képalkotó diagnosztikai eljárások: Képalkotó diagnosztikai eljárások: Soroljon fel néhány orvosi képalkotáson alapuló diagnosztikai eljárást, mely o Transzmissziós o Indukciós o Emissziós elv alkalmazásán alapul. Mire szolgálnak az egyes

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele

ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Orvosi tomográkus képalkotás/ct technika alapja

Orvosi tomográkus képalkotás/ct technika alapja Orvosi tomográkus képalkotás/ct technika alapja Kis Sándor Attila DEOEC, Nukléáris Medicina Intézet Outline 1 Bevezetés 2 A planáris transzmissziós leképzési technikák esetén a vizsgált objektumról összegképet

Részletesebben

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.

Részletesebben

A tér lineáris leképezései síkra

A tér lineáris leképezései síkra A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz

Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz Ellenőrző kérdések a Jelanalízis és Jelfeldolgozás témakörökhöz 1. Hogyan lehet osztályozni a jeleket időfüggvényük időtartama szerint? 2. Mi a periodikus jelek definiciója? (szöveg, képlet, 3. Milyen

Részletesebben

19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata

19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata 19. A fényelektromos jelenségek vizsgálata PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolyam Mérőpár: Balázs Miklós 2006.04.19. Beadva: 2006.05.15. Értékelés: A MÉRÉS LEÍRÁSA Fontos megállapítás, hogy a fénysugárzásban

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény

Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér

Részletesebben

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz

Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( ) Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:

Részletesebben

Wavelet transzformáció

Wavelet transzformáció 1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan

Részletesebben

Mérési hibák 2006.10.04. 1

Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérési hibák 2006.10.04. 1 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák_labor/2 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség

Részletesebben

L-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.

L-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}. Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra Homogén koordináták bevezetése térben A tér minden P pontjához kölcsönösen egyértelműen egy valós (x, y, z) számhármast rendeltünk hozzá. (Descartes-féle

Részletesebben

Pontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20.

Pontműveletek. Sergyán Szabolcs Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar február 20. Pontműveletek Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2012. február 20. Sergyán (OE NIK) Pontműveletek 2012. február 20. 1 / 40 Felhasznált irodalom

Részletesebben

Villamosságtan szigorlati tételek

Villamosságtan szigorlati tételek Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok

Részletesebben

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék

Jelek és rendszerek 1. 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék Jelek és rendszerek 1 10/9/2011 Dr. Buchman Attila Informatikai Rendszerek és Hálózatok Tanszék 1 Ajánlott irodalom: FODOR GYÖRGY : JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, Budapest, 2006

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris

Részletesebben

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció 15. Digitális Alakzatrekonstrukció Méréstechnológia, Ponthalmazok regisztrációja http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312 https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/viiima01

Részletesebben

Képrekonstrukció 6. előadás

Képrekonstrukció 6. előadás Képrekonstrukció 6. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Szegedi Tudományegyetem Diszkrét tomográfia (DT) A CT-hez több száz vetület szükséges időigényes költséges károsíthatja

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás 5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

4. Szűrés frekvenciatérben

4. Szűrés frekvenciatérben 4. Szűrés frekvenciatérben Kató Zoltán Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) Unitér transzformációk Az unitér transzformációk olyan lineáris,

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Lineáris leképezések

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Digitális képek szegmentálása. 5. Textúra. Kató Zoltán.

Digitális képek szegmentálása. 5. Textúra. Kató Zoltán. Digitális képek szegmentálása 5. Textúra Kató Zoltán http://www.cab.u-szeged.hu/~kato/segmentation/ Textúra fogalma Sklansky: Egy képen egy területnek állandó textúrája van ha a lokális statisztikák vagy

Részletesebben

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax) III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei

Részletesebben

A röntgendiagnosztika alapjai

A röntgendiagnosztika alapjai A fotonenergia növelésével csökken az elnyelődés. A röntgendiagnosztika alapjai A csökkenés markánsabb a fotoeffektusra nézve. Kis fotonenergiáknál τ m dominál. τ m markánsan változik az abszorbens rendszámával.

Részletesebben

Képrekonstrukció 10. előadás. Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék

Képrekonstrukció 10. előadás. Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Képrekonstrukció 10. előadás Balázs Péter Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika Tanszék Ultrahang terjedése Fakorhadás vizsgálata (P. Divós, F. Divós) Hullámfront terjedése 20 μs-onként Diffrakciós tomográfia

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel

Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Akusztikai tervezés a geometriai akusztika módszereivel Fürjes Andor Tamás BME Híradástechnikai Tanszék Kép- és Hangtechnikai Laborcsoport, Rezgésakusztika Laboratórium 1 Tartalom A geometriai akusztika

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D

Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D Vetítések Transzformációk, amelyek n-dimenziós objektumokat kisebb dimenziós terekbe visznek át. Pl. 3D 2D Vetítések fajtái - 1 perspektívikus A párhuzamos A A' B A' B A vetítés középpontja B' Vetítési

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.

Matematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot. 3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Digitális képek feldolgozása Előfeldolgozás Radiometriai korrekció Geometriai korrekció Képjavítás Szűrők Sávok közötti műveletek Képosztályozás Utófe

Digitális képek feldolgozása Előfeldolgozás Radiometriai korrekció Geometriai korrekció Képjavítás Szűrők Sávok közötti műveletek Képosztályozás Utófe Távérzékelés Digitális felvételek előfeldolgozása (EENAFOTOTV, ETNATAVERV) Erdőmérnöki szak, Környezettudós szak Király Géza NyME, Erdőmérnöki Kar Geomatikai, Erdőfeltárási és Vízgazdálkodási Intézet Földmérési

Részletesebben