7. Moduláció átviteli függvény mérése

Átírás

1 7. Moduláció átviteli függvény mérése Bevezető A leképezőrendszerek képminőségét több ok miatt is fontos számszerűen jellemeznünk. Az egyik az, hogy a képminőség ezáltal válik specifikálhatóvá, magyarán egy leképező rendszer tervezésének elkezdésénél ez egy elengedhetetlen adat. A másik az, hogy a megtervezett és legyártott optikai rendszert bemérve el tudjuk dönteni, hogy megfelel-e a tervezéskor támasztott elvárásainknak. A harmadik ok, hogy amennyiben adott célra kell megvásárolnunk egy leképező rendszert, akkor csak számszerű adatok alapján tudjuk összehasonlítani a piacon kapható, szóba jöhető termékeket. A fentiek alapján a definiálandó paraméternek kiterjedt tárgy leképezését kell jellemeznie, célszerűen oly módon, hogy az optikai tervezésben nem feltétlenül jártas mérnökök is könnyen értelmezni tudják, ugyanakkor jól mérhetőnek és könnyen kiszámíthatónak kell lennie. Erre a célra a komplex értékű Optikai Átviteli Függvényt (angolul Optical Transfer Function, OTF)-et vezették be. Ennek amplitudóját szokták leggyakrabban mérni, ez az MTF, azaz Moduláció Átviteli Függvény (Modulation Transfer Function). Adatlap minta: részlet a Schneer-Kreuznach cég Cinegon 1.4 relatív nyílású, 8.2 mm effektív fókusztávolságú makro (CCD kamera) objektívjének specifikációjából. 9 / 1

2 Optikai Átviteli Függvény és Moduláció Átviteli Függvény (OTF, MTF) optikai tengely y x y' x' tárgysík o leképező rendszer (lineáris rendszer) z képsík i Időben koherens, skalárnak tekintett elektromágneses tér esetén a komplex elektromos téramplitudó őfüggését elhanyagolhatjuk: e iωt. A vektoriális E-t innentől az U skalár mennyiséggel jelöljük, ami megfeleltethető pl. az egyik térerősség vektorkomponensnek. Azaz, skalár közelítésben dolgozunk. Ezekkel a jelölésekkel, és a leképező rendszert lineáris rendszernek tekintve felírhatók a bemeneti és kimeneti jelek: Tárgy komplex amplitudó / intenzitás eloszlás: U o (x, y) ; I o(x, y) = U o (x, y) 2 Kép komplex amplitudó / intenzitás eloszlás: U i (x', y') ; I i(x', y') = U i (x', y') 2 Térben inkoherens (diffúz) megvilágítás esetén a intenzitásra érvényes a szuperpozíció elve: U o (x, y) = U o (x, y) 1 + U o (x, y) 2 I i (x', y') = I i (x', y') 1 + I i (x', y') 2, ahol o jelenti a tárgysíkot, i a képsíkot, 1 és 2 pedig két különböző tárgyat ill. képet. Lineáris rendszerek valamilyen bemenetre (tárgy) adott válaszát (kép) felírhatjuk az impulzusválasz függvény (PSF) segítségével, ahol PSF-el a rendszernek Dirac-delta (pontforrás) bemenetre adott válaszát jelöltük. I o (x, y) legyen a tárgy intenzitás eloszlása, I i (x', y') a képé. Ha a rendszer pontszórás függvénye (Point Spread Function optikában így nevezik az impulzusválaszt): PSF(x', y'), ami ne felejtsük intenzitás eloszlás (azaz felületegységre eső teljesítmény), a kép a következő konvolúciós integrállal írható fel: Ii ( x, y ) = I i, ( u, v) PSF( x u, y v) dudv = I i, PSF. (konvolúció-tétel) Hogy a kép teljesítményviszonyai is helyesek legyenek, a fenti képletben a PSF-et az összteljesítményére kell normálni, hogy területi integrálja egységnyi legyen: PSF ( x, y) dxdy = 1. (*) A konvolúciós módszert alkalmazzák kiterjedt tárgyak diffrakciós leképezésére. Fourier analízisből megtanultuk, hogy a konvolúció Fourier-transzformáltja a szorzás: F{I i }= F{I i, } F {PSF} = F{I i, } OTF (**) A PSF Fourier-transzformáltját optikai átviteli függvénynek (OTF Optical Transfer Function) nevezik. Ha az eális kép egyetlen szinuszos rács f térfrekvenciával, annak Fourier-transzformáltja egy f-be eltolt Dirac-delta. Ezt megszorozva az OTF-el, megakapjuk a valóságos kép Fourier-transzformáltját, ami értelemszerűen szintén Dirac-delta, egy komplex értékkel, OTF(f)-el, megszorozva. A valódi kép tehát szintén f térfrekvenciájú szinuszos rács lesz, amplitudóban átskálázva, fázisban eltolva. 9 / 2

3 I eális kép, M = 1 általános kép, M < 1 I max a = (I max I min ) / 2 b = (I max +I min ) / 2 M = a / b I min y' Ideális kép esetében a moduláció 1, legrosszabb esetben. Figyelem: az ábra egy f térfrekvenciájú és egy egyenáramú komponenst tartalmaz (f = 1/mm)! A komplex OTF okozta fázistolást általában nem szokták figyelembe venni, csak az abszolút értékével foglalkoznak. Az OTF abszolút értékét moduláció átviteli függvénynek, MTF-nek nevezik (Modulation Transfer Function). Abban az esetben, ha két különböző térfrekvenciájú szinuszos jel van jelen: egy 1/mm-es egyenáramú és egy f térfrekvenciájú hullám, mint a fenti ábrán, akkor a moduláció a következő képpen értelmezhető: I max I min A( f ) M( f ) =, I + I A() max min ahol A(f) az f térfrekvenciájú komponens amplitudúját jelöli. A valódi kép modulációja (M) az eális képével (M ) és az MTF-el kifejezve (** alapján): M( A( f ) A ( f ) MTF( f ) A f ) = = = A() A () MTF() A ( f ) MTF( f ) = MTF( f ) M () 9 / 3 ( f ), mivel a (*) normálás miatt MTF() 1. (Ha az MTF = F{PSF} értékét felírjuk 1/mm térfrekvencián, az intenzitás eloszlás teljes képsíkra vett integrálját kapjuk, ami egyenlő a nyaláb összteljesítményével. Ezért ha a PSF-et lenormáltuk az összteljesítményre, az MTF zérus térfrekvencián definíció szerint mindig egységnyi.) Ideális kép alatt a geometriai aberrációktól és diffrakciós hatásoktól mentesen leképezett, csupán nagyított/kicsinyített képet értjük. Az OTF fázisviszonyait két okból nem szokták mérni. Jelanalízisből tudjuk, hogy szimmetrikus függvény Fourier-transzformáltja valós, vagyis a fázisa minden térfrekvencián zérus. Mivel a mérésben alkalmazott műszer az optikai tengelyen lévő képpontban vizsgálja a mérendő lencserendszert, annak képfoltja (PSF) gyakorlatilag mindig forgásszimmetrikus, tehát OTF-jének fázisa gyakorlatilag konstans nulla. Az OTF zérustól eltérő fázisa az optikai tengelytől távol lévő képfoltok aszimmetria viszonyait jellemzi, amiből műszakilag értelmezhető információ nehezen nyerhető ki. Ez volt az egyik ok. A másik ok elég prózai: az OTF fázisát az amplitudónál sokkal nehezebb mérni, ezért inkább nem is foglalkoznak vele. Az MTF-et elterjedten használják kiterjedt tárgyat leképező rendszerek (pl. fényképezőgép objektív) minősítésére. A diffrakció korlátos rendszerek MTF görbéje nullára esik egy bizonyos f cutoff vágási frekvencia fölött. Inkoherens megvilágítás esetén: D f cutoff =, λ l ahol D a kilépő pupilla átmérője, l a kilépő pupillától a képsíkig mért távolság. Az F # = l/d értéket relatív nyílásnak nevezik ezt tüntetik fel fényképezőgépek blende állító tárcsáján.

4 Geometriai aberrációkat nem tartalmazó eális, ún. diffrakció korlátos rendszer MTF diagramja (MTF diffr ), és a vágási frekvencia, térben inkoherens megvilágítás esetén: 2 [ arccos( ξ ) ξ 1 ξ ] 2 ; ha ξ 1 MTF = π diffr ( ξ ) ; egyébként ahol ξ f / f cutoff (ld. Goodman: Introduction to Fourier Optics). f cutoff Az MTF mérése Az MTF mérését a legegyszerűbb, ún. képletapogatásos módszerrel végezhetjük el, az alábbi ábrának megfelelő mérési elrendezésben: Fényforrás Kondenzor Céltárgy Mérendő lencse f akromát = mm ; fényforrás: Seoul Semiconductor R4218 LED, λ = 625 ±5 nm, P = 22 mw ; detektor: EdmundOptics 5435, normal response, R =.33 A/W (625 nm), unbiased operation (I d = na), NEP W/Hz ½. Mivel szinuszos transzmissziójú céltárgyat nem lehet kereskedelmi forgalomban kapni, négyszögjelet tartalmazót viszont igen, ez utóbbival oldottuk meg a mérést. A céltárgy tehát egy ún. Siemens-csillag, amelyet saját síkjában eltolva a különböző térfrekvenciájú négyszögjelek képei letapogathatók egy detektor elé helyezett tűlyuk segítségével. A céltárgy mozgatását egy lineáris transzlátorral oldottuk meg, amelynek a mozgási irányát 3 mm hosszon ±3 µm pontossággal párhuzamosra állítottuk a céltárgy felületével. Erre azért van szükség, hogy a céltárgy mozgatásakor ne változzon a mérendő objektív fókusz pozíciója. A tűlyuk olyan kicsire (Ø5 µm) lett választva, hogy mérete kb. 1 vonalpár/mm (vp/mm) térfrekvenciáig nem befolyásolja a mérést. Annak érdekében, hogy a mérést oszcilloszkóppal lehessen elvégezni, a céltárgyat a saját középpontja körül forgatjuk. Így a tűlyuk letapogatja a 9 / 4 Akromát Tűlyuk Detektor

5 céltárgy előtte forgó képét, és egy periodikus őfüggő jellé alakítja át a térbeli intenzitás változást. A mért csúcstól-csúcsig (V pp ) és átlagos (V ave ) feszültségekből a moduláció (M) az alábbi módon számítható ki: V pp = c (I max I min ) ; V ave = c (I max + I min )/2 M = V pp / V ave / 2 A V ave átlagfeszültséget a detektor (kikapcsolt LED mellett mérhető) V sötétfeszültségével korrigálni kell! Ø5. mm Ø.1 mm 5. céltárgy (Siemens-csillag) sematikus ábra, ütés ±2 µm.46 vp/mm vp/mm A mérést úgy végezzük el, hogy a céltárgyat a mérendő objektív (minta) fókuszsíkjába pozícionáljuk, azaz a kapott kép a végtelenben keletkezik. Ezt a végtelenben levő képet egy akromát lencsével képezzük le a tűlyuk síkjába. Az akromát diffrakció korlátos (azaz eális), leképezést biztosít, tehát a mérést nem befolyásolja. A fentiek alapján nem közvetlenül az MTF-et mérjük, hiszen az szinuszos tárgy esetére van definiálva, hanem a négyszögjel átvitelt (Square Wave Response, SMTF). Ez utóbbi, a négyszögjel Taylor-sorba fejtése által egyértelműen meghatározható az MTF-ből: 4 MTF( f ) MTF(3 f ) MTF(5 f ) MTF(7 f ) SMTF( f ) = + + K π / 5

6 9 / 6

7 1. vizsgált objetkív: vizuális mérőobjektív (eális műszem ) l = 2.1 mm; D = 3.92 mm A tervezett objektív négyszögjel-átvitele: f [vp/mm] SMTF [-] f [vp/mm] SMTF [-] / 7

8 2. vizsgált objektív: PENTACON Electric 1.8/5 PENTACON Electric 1.8/5 (WJS, Modern Lens Design, 25, 322. o. alapján) Mérési feladatok 1. Fókuszálás (durva + finom) 2. Durván vízszintesen középre állunk 3. Függőleges beállítás 4. Vízszintes mozgató bekalibrálása 5. Mérőobjektív megmérése (1-5 vp/mm: 11 pont; 5-1 vp/mm: 5 pont) 6. Cutoff frekvencia meghatározása (mérés + számolás) 7. Objektív csere a Pentacon-ra 8. Beállítási folyamat megismétlése (1.-4.) 9. F1.8-nál mérés a fenti 16 pontban 1. F8.-nál mérés a fenti 16 pontban vp/mm-nél az összes blendeállás megmérése, és az optimális blende meghat. 12. Az optimális blendeállásnál mérés a fenti 16 pontban 9 / 8

9 Lineáris kalibráció Lineáris mozgató pozíció: x [mm] Csík periódus: p [mm] Térfrekvencia: f [1/mm] Min. periódus: P = mm Max. periódus: P 1 = 2.18 mm Pozíció min. periódusnál: X megmérni Pozíció max. periódusnál: X 1 megmérni Térfrekvencia min. periódusnál: F = 229 1/mm Térfrekvencia max. periódusnál: F 1 =.458 1/mm X X x = p P + X. P P 1 f p = 1/f ( ) 1 f [1/mm] p [mm] x [mm] SMTF [-] Minta táblázat a mérési adatok rögzítéséhez. 9 / 9