Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat a félév végén leadva 50%-ot ér. A következő információkat kérném feltüntetni Első oldalon: név, házi feladat száma (pl. 1. házi feladat vagy 3. házi feladat 2. rész (amennyiben nem sikerült egy részletben leadni)), LEADÁS DÁTUMA (nem az elkészítés időpontja, nem a határidőé), az adott házi feladathoz tartozó ívek(lapok) száma Közbülső oldalakon: oldalszám, az egyes feladatok sorszáma Utolsó oldalon:a házi feladat végét egyértelműen megjelölni Az esetleges utólagos pótlást külön házi feladatként leadni és nem összekeverni az aktuálissal (pl. az 5. szemináriumon a 4. házi feladat külön és a 3. házi feladat 2. része külön, de ugyanazzal a dátummal ellátva) A feladatok lehetőség szerint a kiírási sorrendben legyenek kidolgozva. A szép írás nem ér pontot, de az a kidolgozás se, amit nem tudok elolvasni. 1
1. hét Leadási határidő: október 11. 1. Igazoljuk, hogy egy háromszögben, melynek oldalai rendre a, b és c hosszúságúak, fennáll, hogy ahol θ az a és b oldalak által közrezárt szög. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ, 2. Adjuk geometriai igazolását a skaláris szorzat vektorok összeadására vonatkozó disztributivitásának. a (b + c) = a b + a c Útmutatás: Használjuk a skaláris szorzat a b = ab cos θ tulajdonságát. Vegyük fel az a vektort vízszintesen és vizsgáljuk a többi vektor vízszintes vetületét. 3. Négyzetes mátrixokra vonatkozóan igazoljuk az alábbi összefüggéseket: (a) A B B A (b) (A B) = B A (c) (A B) = A (B ) - szorzással szembeni asszociativitás (d) Tr(A B) = Tr(B A) (e) Tr(A B ) = Tr( A B) Alakítsuk át mátrix alakba a következőket az alábbi példa alapján. Ahol lehet adjunk többféle megoldást is: a i b j ji =? I. megoldás: a i b j ji = T r i,j a ( b ) i,j = T r II. megoldás: a i b j ji = b j ji a i = ( b ) i,j = T r (a b) a a b = ( b ) a = b a = Magyarázat: A T r(m) alatt a i m ii mennyiséget értjük. Jelentése: trace (en), spur (de), nyom (hu), az átlós elemek összege. Példa: T r(a b) = T r(a i b j ) = i a i b i = a b. azaz ( a ) b = T r b ( a ) = T r a b 2
4. b j jm A im =? 5. a i b j c j =? 6. a i b j kl D li =? 7. A ij B jk c k A il =? j,m i,l i,j,k 8. A i b k kj =? Írjuk át tenzoriális alakra a következőket (az előző feladat fordítottja): 9. 10. 11. ( d ) A ( b ) f g k j c ( b ) D D e a E =? ( c ) =? =? 12. Határozzuk meg az alábbi tenzoriális kifejezések rendjét használva az Einstein-féle összegkonvenciót. Pl. 2. hét (a) D jkl c klm a ij (b) B abc D def E kl a i F febcl H j (c) a ik b i c k D lm Leadási határidő: október 18. 1. a ij b kj l = c ikl (3. rendű) Írjuk fel kifejtve egy 4 4-es mátrix determinánsát kiindulva a determináns általános meghatározásából: det(a) ( 1) Pi 1 i 2...in a 1i1 a 2i2... a nin = ε i1i 2...i n a 1i1 a 2i2... a nin, i 1i 2...i n P i1 i 2...in ahol P i1i 2...i n az 1, 2,..., n értékek különböző permutációi, ε pedig a szemináriumon bevezetett teljesen antiszimmetrikus n-edrendű tenzor. 3
2. Írjuk fel a Levi-ivita tenzor 27 elemét. 3. Kiindulva az δ i1j 1 δ i1j 2... δ i1j n δ i2j 1 δ i2j 2... δ i2j n ε i1i 2...i n ε j1j 2...j n =...... δ inj 1 δ inj 2... δ inj n általános összefüggésből, igazoltuk a háromindexű Levi-ivita tenzor esetére az alábbi összefüggéseket: ε ijk ε lmk = δ il δ jm δ im δ jl ε ijk ε ljk = 2δ il ε ijk ε ijk = 6 Ennek alapján fejtsük ki a négyindexű Levi-ivita tenzor esetére az alábbi kifejezéseket: (a) ε ijkl ε mnol =? (b) ε ijkl ε mnkl =? (c) ε ijkl ε mjkl =? (d) ε ijkl ε ijkl =? Útmutatás: A determináns kifejtését követően 24 tagot, tagonként négy Kronecker-szimbólumot tartalmazó szorzatot kapunk. Ezekben összevonjuk az azonos indexeket tartalmazó Kronecker-szimbólumokat a tárgyalt eljárás szerint, mégpedig: a Kroneckerszimbólum összevonásban nem résztvevő indexe ráerőltetődik a másik tenzor (most az is Kronecker-szimbólum) összevonásban résztvevő indexére és az előbbi Kronecker-szimbólum eltűnik. Figyeljünk a szabad indexek számára! Az első összefüggés esetében minden tag hat szabad indexet tartalmaz. A második esetében a már korábban igazolt összefüggésből indulunk ki, további két indexet összevonva és minden tagunk negyedrendű tenzor lesz. Ne feledjük, hogy δ ii = 4 (Einstein-féle összegzési konvenció alapján) 4. Kiindulva a det(ab) = det(a)det(b) és det(a ) = det(a) összefüggésekből igazoljuk: (a) det(ab) = det(ba) (b) det(a 1 A 2... A k ) = det(a 1 )det(a 2 )... det(a k ) 5. Igazoljuk a vektori szorzatra vonatkozóan (használjuk a determináns alakot) i j k a b = a x a y a z b x b y b z : (a) (αa) b = a (αb) = α(a b) (b) antikommutativitását (c) összeadással szembeni disztributivitását (d) asszociativitás érvényességét vagy érvénytelenségét (e) Jacobi azonosságot: a (b c) + c (a b) + b (c a) = 0. (+25%) 4
3. hét Leadási határidő: október 25. 1. Legyen a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (0, 1, 0), és a 3 = (1, 1, 1) három vektor az i, j, k ortonormált bázisban felírva. (a) Ábrázoljuk a három vektort az OXYZ derékszögű koordináta rendszerben a három koordinátasíkra való vetületeikkel együtt. (b) Határozzuk meg az a 1 + 2a 2 és 2a 2 a 3 vektorokat, illetve a három vektorból képezhető összes skaláris szorzatot. (c) Határozzuk meg a c 1, c 2, c 3 skalárokat úgy, hogy a b 1 = (5, 6, 5) vektor a c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 alakba legyen felírható. (d) Ismételjük meg az előbbi műveletet a b 2 = (2, 3, 4) vektorra. (e) Lehet-e az a 1, a 2, a 3 vektorokat R 3 bázisaként használni? Válaszunkat indokoljuk! (f) Keressünk egy olyan b 3 vektort, mely a b 1 és b 2 vektorokkal együtt bázist alkot az R 3 térben. (g) Ellenőrizzük, hogy b 3 párhuzamos-e az a 1, a 2, és a 3 vektorok valamelyikével. szorzatot!) (Ne használjunk vektori (h) Ellenőrizzük, hogy b 3 benne fekszik-e az a 1, a 2, és a 3 vektorok által páronként meghatározott három sík valamelyikében. 2. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket tenzoriálisan (indexes jelöléssel, használva a Kronecker delta és Levi-ivita tenzorok tulajdonságait): (a) (a b) 2 = a 2 b 2 (a b) 2 (b) (a b) (c d) = b(a, c, d) a(b, c, d) Útmutatás: járjunk el a szemináriumon bizonyított (a b) c = b(a c) a(b c) alapján. 3. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket vektoriálisan (skaláris-, vektoriális-, vegyes szorzatokat és korábbi vektorösszefüggéseket használva, pl. a (b c) felbontása) : (a) (a b) 2 = a 2 b 2 (a b) 2 (b) (a b) (c d) = b(a, c, d) a(b, c, d) 4. Számítsuk ki az a (n) együtthatót és a zárójelben levő kifejezést az alábbi összefüggésekben: n i n j = a (2) δ ij ; n i n j n k = a (3) {... } ; n i n j n k n l = a (4) {... } n i1 n i2 n i3 n i4 n i5 = a (5) {... } ; n i1 n i2 n i3 n i4 n i5 n i6 = a (6) {... } Az előző eredmények alapján számítsuk ki: ( 8 ) n ik k=1 = a (8) {... } 5
5. (b n) 2 = ; (b n)(c n) = ; (b n) 4 = (b n) 2 (c n) 2 = ; (a n)(b n)(c n)(d n) = (a n) 6 = ; (a n) 4 (b n) 2 = ; (a n) 2 (b n) 2 (c n) 2 = (a n) 2 (b n) 2 (c n) 2 (d n) 2 = 6. Határozzuk meg az a (2n+2) és az a (2n) közötti rekurrenciás összefüggést. 6