Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel! Válszát indokolj! /+ pont/. Hány drb -re végződő négyjegyű szám vn? Válszát indokolj! /+ pont/. Mivel egyenlő szám négyzete? Adj meg helyes válsz betűjelét! (Csk egy helyes válsz vn.) A./ B./ C./ D./ E./ / pont/. Oldj meg következő egyenlőtlenséget pozitív vlós számok hlmzán! Válszát indokolj! /+ pont/ 6. Egy számtni sorozt első tgj, tizedik tgj 9. Mennyi értéke? / pont/. Htározz meg vlós számok hlmzán értelmezett f ( ) függvény értékkészletét! / pont/. Egy háromszög csúcsink koordinátái: A(;), B(;-) és C(-;). ) Adj meg súlypont koordinátáit! / pont/ b) Számíts ki háromszög kerületét! / pont/ 9. Hány oldlú z konve sokszög, melyben z átlók szám? / pont/. Egy sötét szob egy fiókjábn zöld és bordó zokni vn. ) Leglább hány zoknit kell kivenni fiókból hhoz, hogy biztosn legyen leglább két zonos színű zokni köztük? b) Leglább hány zoknit kell kivenni fiókból hhoz, hogy biztosn legyen leglább két zöld zokni köztük? /+ pont/. Számítsuk ki z hegyesszög cosinusát z szög meghtározás nélkül, h sin! / pont/
Mint feldtsor II./A rész. Reggel 6 órkor egy tehergépkocsi indul A-ból B-be, 9 órkor egy személygépkocsi B-ből A- b, és ennek z átlgsebessége km/h-vl ngyobb, mint tehergépkocsié. órkor tlálkoznk, és ekkor kiderül, hogy személygépkocsi 6 km-rel több utt tett meg, mint tehergépkocsi. ) Mekkor gépkocsik átlgsebessége? /9 pont/ b) Mekkor z AB távolság? / pont/. Mely vlós és mely egész számokr értelmezhető z lábbi két kifejezés? ) lg lg /9 pont/ b) lg / pont/. A Primer Division (spnyol első osztályú focibjnokság) első négy fordulójábn lejátszott mérkőzések közül esetben nem született gól, meccsen egy, meccsen kettő, meccsen három, mérkőzésen négy, két-két mérkőzésen öt illetve ht gólt szereztek. ) Készítsen z dtokból tábláztot, oszlop- és kördigrmot! /6 pont/ b) Htározz meg z átlgot, móduszt és mediánt! /6 pont/ II./B rész. Egy mértni sorozt első három tgjánk összege. H második tgot megszorozzuk z első és hrmdik tg összegével, 6-t kpunk. Melyik ez sorozt? / pont/ 6. Oldj meg vlós számok hlmzán köveztekző egyenleteket! ) tg b) log log / pont/. Egy kiránduló osztály A helyről észk felé indul el, és km-es út után B-be érkezik. Innen nyugt felé hldnk tovább. km megtétele után C-be érnek, hol z eddigi menetiránytól blrtérnek el, és C-től, km-re lévő D helyre érnek. A BCD szög '. Milyen távol vn légvonlbn D hely kiindulás A helyétől? / pont/ Megoldás I. rész. A htványozás zonosságit felhsználv: 6 ( ) ( ) A. 6 9 9
Mint feldtsor. Ábrázoljuk tégllpot: Az átló hosszát z ABC derékszögű háromszögre felírt Pitgorsz-tétel segítségével kpjuk meg: (AB) + (BC) = (AC) + = (AC) 6 + = (AC) (AC) = 66 AC = 6. Tehát 6 m hosszúságú drótr vn szükségünk.. H olyn négyjegyű számokt keresünk, melyek -re végződnek, kkor négy számjegyből z utolsó rögzített, z első helyen pedig nem állht. A közbülső két helyre bármilyen számjegy kerülhet, tehát keresett négyjegyűek szám 9 = 9 db.. Az ( + b) = + b + b zonosság lpján:. Így helyes válsz: C.. Egy tört értéke kkor és csk kkor lehet ngyobb vgy egyenlő mint null, h számlálój és nevezője zonos előjelű. Mivel z dott tört számlálój negtív, ezért z eredeti egyenlőtlenség ekvivlens következővel: - <. Ennek megoldás: <. Mivel kpott intervllum minden eleme pozitív vlós szám, így végső megoldás: <, R. 6. Írjuk fel tizedik tgot definíció lpján: = + 9d. Behelyettesítve megdott értékeket: 9 = + 9d 9 = 9d d =. Ismét definíciót hsználv: = + d = + =, tehát sorozt ötödik tgj.
Mint feldtsor. Ábrázoljuk derékszögű koordinát-rendszerben függvényt! Az ábráról leolvshtó, hogy R F = { y R y - }.. ) A súlypont koordinátáir vontkozó képlet lpján: b c b c S ; ; zz S. ; b) Felhsználv szksz hosszár vontkozó képletet: Tehát: AB BC ( ( ) ) ( ( ) ) 6 9 6 CA ( ) ( ) 9. k AB BC CA 6 9 ( 9,). 9. Az n oldlú konve sokszög átlóink szám: n(n ). Ezt felhsználv: n(n ) = n - n = n - n - = n n, n. Az oldlk szám nem lehet negtív, így hétszögről vn szó.
Mint feldtsor. ) Hármt, hiszen h pl. először kiveszünk egy bordót, kkor már lehet, hogy második "húzásr" lesz két egyform színű zokni (h z is bordó); de h második zöld, kkor mivel hrmdikr csk z előző kettő szín közül "húzhtjuk" vlmelyiket, ezért ekkor már biztosn lesz két egyform színű zokni. b) Tizet, mert h először kivesszük z összes bordó zoknit, kkor kilencedik és tizedik lesz keresett két zöld színű zokni.. Mivel sin + cos =, így: 6 cos cos = = cos = 9 cos = 6 de h cos =. hegyesszög, kkor cos >, így: cos =. Megoldás II./A rész. Készítsünk tábláztot, melyben jelöli tehergépkocsi sebességét! v [km/h] s [km] t [h] Tehergépkocsi Személygépkocsi + ( + ) Az s = v t képlettel dolgozunk. A feldt szövege lpján tlálkozásig személyutó 6 kmrel több utt tett meg teherutónál. Írjuk fel z egyenleteket! s személyutó = s teherutó + 6 ( + ) = + 6 = = Tehát teherutó sebessége: km v teherutó =. h A személyutóé pedig: v személyutó = km. h 9
Mint feldtsor Mivel z egyik utó A-ból, másik B-ből indul, ezért z AB távolság tlálkozásig megtett utk összege: s = AB = + = km.. ) Egy összeg kkor értelmezett, h minden tgj értelmezett. A logritmus mögött csk pozitív kifejezés állht, így: és Számegyenesen ábrázolv:. Tehát z összeg következő hlmzon értelmezett: M R ; M Z. b) Ebben z esetben egy másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldni:,, 9 6. vgy esetén vesz fel prbol pozitív értékeket. M R vgy ;. ) M b b Z vgy.
Mint feldtsor b) Írjuk fel z dtsor elemeit!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6, 6, 6 z átlg:,. módusz:, hiszen ez fordul elő legtöbbször. medián: mivel elem vn, ezért. és. elem átlg:,. Megoldás II./B rész. Írjuk fel két egyenletet: () () (), 6 6 6 6 6 Tehát mértni sorozt második tgjár kétféle értéket kptunk. Fejezzük ki mértni sorozt definíciój lpján z első és hrmdik elemet másodikkl: és. I. eset: (),. Mivel diszkrimináns negtív, ezért vlós számok hlmzán nincs megoldás. II. eset:,.
Mint feldtsor () 6,, H, kkor mértni sorozt: 6.. H, kkor mértni sorozt: 6. ) tg Mivel tg sin cos 6., ezért feltétel: cos k, k Z k. Rendezve z egyenletet: tg =. Az f () = tg lpján: = l 6, l Z
Mint feldtsor = l. Ez gyöksorozt megfelel feltételnek. Minden lépésünk ekvivlens volt, így megoldás z eredeti egyenletnek is megoldás. b) log ( ) log ( ) A logritmus mögött csk pozitív érték állht, ezért: - > és - > > >. Tehát z értelmezési trtomány: > Alklmzv logritmusr vontkozó zonosságokt lkítsuk át z egyenletet: log ( ) log ( ) = log log = = log Az f () = log szigorú monotonitás mitt: = = ( ) = ( ) - = 9 ( - ) - = 9 - + 9 = 9 - +,6,,6. A feltételnek csk felel meg, és ez gyök z ekvivlens átlkítások mitt z eredeti egyenletnek is megoldás.. Készítsünk feldt szövegének megfelelő ábrát! Számoljuk ki BCD háromszögben BD szksz hosszát cosinustétellel: y = +, -, cos ' y =,99 y =, km.
Mint feldtsor Ahhoz, hogy keresett hosszúságot megkpjuk, tudnunk kell DBA szöget. Mivel CBA szög feldt szövege lpján derékszög, ezért h kiszámítjuk CBD szöget, kkor már ismerjük DBA szöget is. A BCD háromszögben írjuk fel sinus tételt: sin CD = sin DB sin, = sin ', sin =,. Ebből =,, = - =,9. Az ismert dtok lpján értéke nem megoldás. Így = 9 - =,9 Írjuk fel CDA háromszögben z cosinustételt: = DB + BA - DB BA cos,9 = 6,,6 km. Tehát D hely kiindulás A helyétől,6 km távolságr volt.