Untitled 2 1 Theorema Predikátumlogika 1 3 Natural Deduction (Gentzen mag/alap kalkulus) Cél: a logikai (szematikai) következményfogalom helyett a (szintaktikai) levethetõség vizsgálata. A bizonyítási szituációt egy <, >(=<KB, {G}>) páros fogja leírni Aiómaséma: < {X},{X} > Szabályok: szimmetrikus elrendezés 4 4 szabály lsd órán Memo: Az alábbi, "természetes", Gentzen típusú dedukciós rendszer szerint készítjük el a levezetéseket. Vannak feltevéseink és már bizonyított állításaink, ezek alkotják a premisszák véges halmazát: F 1, F 2,, F k Van a bizonyítandó célformulánk: G Ezért a levezetés során a kezdeti F 1, F 2,, F k ; G párt alakítjuk át, felépítünk egy bizonyítási fát, melynek levelei csak "triviális szituációk" lehetnek. Memo: Az alábbi, "természetes" levezetési szabályokat alkalmazzuk az alábbi problémáknál, G 1 ; G 2 0 ; G 1 G 2 Értelemzés: Ha a bizonyítandó állítás/formula egy implikáció, feltesszük a baloldalon szereplõ G 1 et és bizonyítjuk G 2 t. ; P 0 1, P 0 tetsz fi ("új" konstans) ; P t 2, P t tetsz kifejezés P t ; 3 P ; t tetsz kifejezés
Untitled 2 2 P 0 ; 4 P ; 0 "új" konstans Jelölési konvenció: igyekszünk csak a konstansokat indeelni, a változókat nem. Prene és Skolem Normálformák Megjegyzés. Nem célunk a kurzuson az elsõrendű rezolúció ismertetése, de a természetes nyelvi, félformális és formális definíciók analíziséhez és a (természetes) elsõrendű dedukció megértéséhez jó ismerni az alábbi normálformákat. Prene Ha a szignatúra rögzített, tetsz. elsõrendű formula logikailag ekvivalens egy prene normálformában lévõ formulával : Q1 1 Q2 2 Qn n M 1, 2, n Qi kvantor, M kvantormentes formula mag/mátri In[1]:= Theorema TS_In[2]:= Theorema Language General NormalForms TS_In[3]:=? Prene TS_In[4]:= Prene formula brings the given formula into Prene Normal Form, where all quantifiers which make up the prefi are left of the rest of the formula the matri. Prene P y Q y, Prene P Q TS_Out[4]= y P Q y, 1 P Q 1 TS_In[5]:= Prene Ε Ε 0 TS_Out[5]= Ε 0 f f a Ε a f f a Ε a 0 Ε 0 Skolem TS_In[6]:=? Skolem Skolem formula brings the given formula into Skolem Standard Form ie that it is in Prene Normal Form, its matri is in CNF, and all are eliminated by using skolem functions.
Untitled 2 3 TS_In[7]:= Skolem P, Skolem y P, y TS_Out[7]= P 2, P, y1 TS_In[8]:= Skolem Ε Ε 0 TS_Out[8]= Ε 0 f f a Ε a 1 Ε 0 Ε 0 f f a Ε Ε 0 a 1 Ε Megjegyzés. Mivel itt már minden változó univerálisan kvantifikált, ezért el is hagyhatjuk a kvantorokat; ha a formula má tri CNF ben van, akor megkapjuk az elsõrendű klózhalmazt, pl. 1 Ε 0,Ε 0, f f a Ε,Ε 0, a 1 Ε TS_In[9]:= CNF 1 Ε 0 Ε 0 f f a Ε Ε 0 a 1 Ε TS_Out[9]= 1 Ε 0 Ε 0 f f a Ε Ε 0 a 1 Ε Kategorikus Szillogizmusok Forrás: Ruzsa Máté: Bevezetés a modern logikába (Osiris Bp., 1997 ) A logika a helyes következtetések tudománya. Legelsõ eredmények Arisztotelész kategorikus szillogizmusai. Ezek a predikátumkalkulus körében elvégezhetõ vizsgálatoknak csak egy töredékét érintik, mégis itt meglehetõs szisztemat kusságot és precizitást látunk (pl. csak unér (monadikus) predikátumszimbólumok ). Mi itt egy modern rekonstrukciót követünk.
Untitled 2 4 Affirmo Nego: MindenF G (A) Egyik F sem G (E) Néhány F G (I) Néhány F nem G (O) Az elsõ alakzat (összekötõ elem a G, a konk. alanya a mellékprem. van): Fõprem. G H Mellékprem. F G Konkluzió F H Alakzatok G H H G G H H G F G F G G F G F F H F H F H F H 1(BARBARA) Proposition "1", G H Proposition "2", F G Theorem "AAA", F H Prove Theorem "AAA", using Proposition "1", Proposition "2", by PredicateProver ProofObject 1(CELARENT) Proposition "1", G H Proposition "2", F G Theorem "EAE", F H
Untitled 2 5 Prove Theorem "EAE", using Proposition "1", Proposition "2", by PredicateProver ProofObject Feladat. Írjuk fel az elsõ alakzathoz tartozó AII(DARII), EIO(FERIO) szillogizmusokat és mutassuk meg a köv helyességét HF. Vizsgáljuk meg a második alakazathoz tartozó összes lehetséges következtetési sémát és válasszuk ki közülük a helyeseket. Analízis, Számelmélet 1a Cont f, a Cont g, a Cont f g, a Részletek az órán. 2a Mutassuk meg, hogy ha a,b,c a b a c a b c Biz. (1)szerint tegyük fel, hogy a 0, b 0, c 0 tetsz, de rögz. és bizonyítsuk a 0 b 0 a 0 c 0 a 0 b 0 c 0 I (0) szerint tegyük fel, hogy a 0 b 0 a 0 c 0 II és mutassuk meg, hogy a 0 b 0 c 0 III Az oszhatóság def ja szerint [II] ekvivalens azzal, hogy c a 0 c b 0 c a 0 c c 0 IV azaz (4) szerint választhatunk olyan c 1 és c 2 konstansokat úgy, hogy a 0 c 1 b 0 a 0 c 2 c 0 V [III] bizonyítása ismét az oszthatóság def ja miatt ekvivalens a köv. formula bizonyításával: c a 0 c b 0 c 0 VI
Untitled 2 6 Tudunk e ilyen c t találni? Igen, mert a 0 c 1 c 2 a 0 c 1 a 0 c 2 b 0 c 0 VII (V) szerint, és ezzel (2) szerint a biz. kész. 2b Mutassuk meg, hogy a bc GCD a, b 1 a c a,b,c Alapötlet: használjuk a legnagyobb közös osztó lin. kombinációként való elõállítására vonatkozó lemmát. [d=gcd[a,b] {u,v} d=au+bv].