Réthy Zsolt GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK FELHASZNÁLÁSÁVAL Doktor (PhD) értekezés Témavezető: Dr. Erdély József DSc. egyetem tanár Nyugat-Magyarország Egyetem Fapar Mérnök Kar Czrák József Faanyagtudomány és Technológák Doktor Iskola 2003 4
GYÁRTÁSI FOLYAMATOK OPTIMALIZÁLÁSA A MINŐSÉGÜGYBEN ALKALMAZOTT KOMPROMISSZUMMODELLEK FELHASZNÁLÁSÁVAL Értekezés doktor (PhD) fokozat elnyerése érdekében Írta: Réthy Zsolt Készült a Nyugat-Magyarország Egyetem Czrák József Faanyagtudomány és Technológák Doktor Iskola (F4 jelű) Rosttechnka tudományok programja keretében. Témavezető: Prof. Dr. Erdély József DSc. Elfogadásra javaslom (gen / nem) A jelölt a doktor szgorlaton... % -ot ért el, (aláírás) Sopron,... a Szgorlat Bzottság elnöke Az értekezést bírálóként elfogadásra javaslom (gen /nem) Első bíráló (Dr.......) gen /nem (aláírás) Másodk bíráló (Dr.......) gen /nem (aláírás) (Esetleg harmadk bíráló (Dr.......) gen /nem (aláírás) A jelölt az értekezés nylvános vtáján...% - ot ért el Sopron,.. a Bírálóbzottság elnöke A doktor (PhD) oklevél mnősítése..... Az EDT elnöke 5
Tartalom 1 Bevezetés...6 1.1 Kutatás célok meghatározása...8 2 Irodalm áttekntés...9 2.1 Mnőségjavító technkák. Kísérlettervezés....9 2.1.1 Modellezés...10 2.1.2 Kísérletek csoportosítása...11 2.1.3 2 p típusú teljes faktoros kísérlet tervek...13 2.1.4 Taguch-féle kísérlettervezés...16 2.2 A kompromsszummodell...18 2.2.1 A Derrnger-Such kompromsszummodell...21 2.2.2 A nemdfferencálható pontok kváltására rányuló módosítás...25 2.2.3 Realsztkus d-függvények...27 2.2.4 Genetkus algortmus alapú kompromsszumfüggvények...28 3 Kockázattal számított módosított kompromsszumfüggvények...32 3.1 Képesség mutatók...32 3.2 A kockázat értelmezése elfogadás határok függvényében...34 3.3 Példák veszteségfüggvényekre...37 3.3.1 A gyártás dő kockázatának meghatározása adott költségfüggvényekkel az alsó/felső elfogadás határra...37 3.3.2 Kockázat számítása alsó/felső elfogadás határokra eltérő veszteség-függvényekkel...40 3.4 Sx Sgma módszertanon alapuló kompromsszummodell...41 3.4.1 A Sx Sgma módszertan...41 3.4.2 A Sx Sgma alapú kompromsszummodell...43 3.5 A célértéktől való eltérés valószínűségével számított kompromsszumfüggvények...46 3.5.1 A teljes kompromsszumfüggvény számítása...50 3.6 Kompromsszumfüggvények értékenek ábrázolása mnőségpolgonban...51 3.7 A kompromsszummodellre épülő szakértő rendszer...54 3.7.1 Szakértő rendszer Mcrosoft Excel alatt...58 3.8 Felejtő értékelés...59 3.8.1 Az egy évre vsszamenő adatok csoportjanak elkülönítése dőszak súlyozással...59 3.8.2 Paraméterek és dőszakok szernt súlyozás...61 3.8.3 Perodkus jelenségek kemelése súlyozással...63 4 Esettanulmány...65 4.1 Az egyes paraméterek mérés módja (Réthy (1999))...66 4.1.1 Nyersanyagjellemzők...66 4.1.2 Gépállapot-jellemzők...67 4.1.3 Klíma jellemzők és technológa beállítások...68 4.2 Vevő gények meghatározása és optmalzálás...69 4.2.1 A Derrnger-Such modell szernt számítás...69 4
4.2.2 A célértéktől való eltérés valószínűségével számított kompromsszumfüggvény...74 4.3 Az eredmények összehasonlítása...77 5 A következtetések összefoglalása (tézsek)...80 5.1 A tézsekben használt fogalmak értelmezése...80 5.2 1. Tézs: A célértéktől való eltérés valószínűségével számított kompromsszumfüggvények...81 5.3 2. Tézs: A mérnök és a menedzsment rendszer együttműködésének megvalósítása a kompromsszumfüggvény alkalmazásánál...83 5.4 3. Tézs: A kompromsszummodell eszköztárának kterjesztése...88 6 Összefoglalás...90 5
1 Bevezetés Egy konstrukcó par jellegű létrehozása, a rendszeres szolgáltatásnyújtás legtöbbször a termékterv alapján még nem egyértelmű. Szakmaterülettől függően jelentős szabadsága marad a kvtelezésnek. Gyakran a technológa lépcsők száma vagy jellege s megválasztható, de a gyártás paraméterek, a technológa beállítások, a szolgáltatások belső mutató sznte mnden esetben önálló megfontolás tárgyát képezk (Koczor(1999)). A mnőségrányítás megpróbálja a folyamatparaméterek kölcsönhatását kezeln. Nem egyszerűen káros hatások elkerülése vagy elérendő célok megvalósítása a tevékenység lényege, hanem a köztes állapotok közül kell kválasztan a konkrét helyzethez gazodó optmumot; nagy rugalmassággal, szubjektív gények értelmezésével, múltbel tapasztalatok felhasználásával és a döntéshozatalhoz lleszkedő gyorsasággal. Az eltérő mnőség elvárások más és más folyamat-kvtelezést gényelnek. Ennek következtében sajátos technkát kell alkalmazn a több, egy dőben megjelenő elvárás kelégítésére. Ennek a technkának van olyan eleme, mely analtkus függvények segítségével tervezhető. A dolgozat az ly módon előálló döntés helyzetek megkönnyítésére létrehozott mnőségjavító technkákkal, ezen belül az úgynevezett kompromsszummodellekkel (Harrngton (1965)), azok lehetséges felhasználásával lletve kegészítés lehetőségevel foglalkozk. A kompromsszummodellek egymásnak ellentmondó feltételrendszernek eleget tenn tudó, az egyes paraméterek fontosságát ndkáló egyed súlyozást s megvalósító többváltozós függvényekkel írják le az optmalzáln kívánt folyamatot. 6
A kompromsszummodell eredet formájában és a legtöbb módosított formájában nem kezel a folyamat statsztka paraméteret. Egy olyan új modell kfejlesztésére tettünk kísérletet, amely egy adott paraméter célértéktől való eltérésének hatását veszteségfüggvénnyel leíró és a veszteség valószínűségének fgyelembe vételével a célértéktől való eltérés kockázatát reprezentáló kockázat modellen alapul. Az általánosság megtartása érdekében lehetőség van arra, hogy egyes folyamat-paramétereket változatlan formában, az eredet modell szernt kezeljünk. Elsmerve a meglévő kompromsszummodellek előnyet, amelyeket elterjedtségük és gyakor alkalmazásuk s bzonyít, az alapmodell rugalmasságából adódk, hogy ksebb-nagyobb kegészítésekkel adott problémák kezelésére még nkább alkalmassá válnak. A kompromsszummodell használhatóságának növelésére hasonlóan Derrnger (1994) módszertanához, megpróbálván nem egy egyszerű modellben, hanem komplex módszertanban gondolkodn az gényfüggvények egymáshoz és a mnőség szntekhez, lletve az optmumhoz való vszonyát megjelenítő ábrázolástechnkát, és az optmumkereséshez felhasznált adatsorok súlyozott fgyelembevételére felejtő mechanzmust dolgoztunk k. Az általunk javasolt módosított függvények gyakorlat alkalmazását egy textlpar alkalmazás adatsoran, egy fonoda szakértő rendszer keretében mutatjuk be, összehasonlítva a Derrnger Such (1980) modellel kapott eredményekkel. A jól megalapozott döntés-előkészítés lehetőséget ad a felelős személynek, hogy a megfelelő nformácók brtokában dönthessen. A kompromsszummodell körültekntő alkalmazása hatékony eszközt ad a döntéshozók kezébe a folyamat optmalzálására. 7
1.1 Kutatás célok meghatározása A dolgozatban a kompromsszummodellre vonatkozó rodalom krtkus áttekntésén túl a bevezetésben említett célokat rendszerezve az alábbak vzsgálatára tettünk kísérletet: A célértéktől való eltérés valószínűségével számított gényfüggvények lleszkedése a kompromsszummodell flozófájához, lletve számítás módjához. Az így kapott eredményekből levonható következetések az alkamazhatóság tekntetében. A feldolgozott adatok kértékelésének különböző módja: o felejtő értékelés, amely az adatok súlyozott fgyelembevételét, ezáltal a folyamatparaméterek dőbel változásának leírását célozza; o szemléltető megjelenítés, amely menedzsmenteszközként a kompromsszummodell alkalmazása során kapott értékek összevetését tesz lehetővé. A kompromsszummodellre épülő szakértő rendszer fonópar alkalmazásának gyakorlat bemutatása. A kompromsszummodell kterjesztése más, meghatározott krtérumokkal rendelkező tömeggyártás folyamatokra. 8
2 Irodalm áttekntés 2.1 Mnőségjavító technkák. Kísérlettervezés. A technológa kalakításában szerepet játszó jelentősebb tényezők a következők (Koczor(1999)): a konstrukcó által kjelölt elvárások, a névleges értékek környezetében meghatározott tűrésértékek, a termék-előállítás jellemző darabszáma (tételnagyság, a szolgáltatás smétlődés peródusa), a gyártás folyamat dőbel jellege, az alváltozatok száma, a rendelkezésre álló termelőeszközök és más erőforrások, a folyamathoz lleszkedő kszolgálás és karbantartás dőbel jellege. A gyártás folyamattal kapcsolatos előírásoknak egyértelműen tsztázna kell a folyamat lépéset, a lényeges beállítás értékeket, az ellenőrzés pontokat és a folyamattal kapcsolatos felelősségeket. Ennek során válnak külön a gyártástervező technológus és a folyamat közvetlen rányítását végző dszpécser feladata. A mnőségügy tevékenységek központ eleme a folyamatok szabályozása. A szabályozás fogalma alatt érthetünk műszak, gazdaság vagy szervezés tevékenységet, szakaszos vagy folytonos vsszacsatolásokat, változó vagy állandó szntű szabályozásokat (amkor a beavatkozásnak nncs az eltérés mértékétől függő nagysága, hanem mnden esetben azonos szntű). Ugyanakkor valamenny tudatos mnőségügy beavatkozásra jellemző, hogy csaks akkor van esély a szabályozás skerességére, ha a beavatkozás pontok és az eredmények között összefüggéseket 9
smerjük. Ezt az smeretet azonban meg kell szereznünk. Az smeretszerzés két úton történhet (Schnell (1990)): már megsmert természet, közgazdaság vagy humán törvényszerűségek (elméletek) adott helyen történő alkalmazásával (deduktív modell), lletve tsztán kísérlet úton, amkor a folyamatelemek ok szernt kapcsolódása helyett a mennység összefüggések elemzésére tesszük a hangsúlyt (nduktív modell). A gyakorlatban általában a kétféle megközelítés optmáls keverékét érdemes alkalmazn. Legtöbbször a kísérletezéshez használt hpotézsek megfogalmazásánál lehet felhasználn a problémával kapcsolatos elmélet smereteket (deduktív megközelítés), eközben kjelölve a problémának azt a részét, melyben a tapasztalat adatok alapján tájékozódunk (nduktív modell). 2.1.1 Modellezés A hpotézsek megfogalmazása során lehetőség van az összefüggések pontos felírására, mely felírásban csak korlátos helyet hagyunk a kísérletnek. Ekkor a modell felállítása során meghatározzuk az összefüggés pontos struktúráját, és csak a matematka kfejezés egyes paraméterenek, az adott probléma esetében érvényes értékenek meghatározására végzünk kísérleteket. Vannak esetek, amelyekben a modell struktúráját sem lehet előzetesen meghatározn, mert túlságosan összetett a probléma. Ilyenkor lépésenként fnomítható a modell s, az egyes struktúrákhoz meghatározott paraméterek alapján. A kísérlettervezés lényege, hogy tapasztalat értékeket rögzítünk, melyeknél logkalag különválasztunk bemeneteket, független változókat és optmalzálandó jellemzőket. 10
Már a jellemzők meghatározása, azok beállítása és mérése s egy modellezés (elvonatkoztatás) folyamat, melynél azt feltételezzük, hogy: amennyben a bemenet szntet változtatn akarjuk, azok szntje tetszés szernt pontossággal beállíthatók, valamnt ha a kísérlet tér mnden jellemzője állandó marad, akkor azonos bemenetre azonos kmenet keletkezk (Koczor(1999)). 2.1.2 Kísérletek csoportosítása A kísérletek egyk csoportosítás lehetősége a bemenetek változtatásán alapul (Koczor (1999)). Eszernt beszélhetünk aktív és passzív kísérletekről. Passzív kísérletezésről akkor beszélünk, ha tudatosan nem befolyásoljuk a bemeneteket, csak (tudatosan) társítjuk a hozzájuk tartozó kmenet jellemzőkkel. Az így kapott összetartozó adatokból határozzuk meg a jellemzők között kölcsönhatásokat. Passzív kísérleteket akkor érdemes alkalmazn, ha: a bemenetek kellő mértékben változnak magukban s; ha a bemenetek módosítására nncs lehetőségünk, vagy nagy kockázattal jár; ha az értékelhető bemenet és kmenet értékek kellő számban, stabl kapcsolatban állnak rendelkezésre. Aktív kísérletnek nevezünk mnden olyan esetet, amkor a bemeneteket tudatosan állítjuk be. Ilyenkor a probléma kapcsán megfogalmazott kérdések megválaszolásához kell megtervezn a kísérlet pontokat. A kísérletek célja szernt megkülönböztethetünk: optmáls kísérleteket és 11
kísérletes optmalzálást. Az optmáls kísérlet a megszerzett nformácók elmélyültségét, az dőzítést vagy egyéb szempontokat fgyelembe véve határozza meg a kísérlet pontok számát, smétlését és a kísérlet térbel és dőbel lefolytatását. A kísérletes optmalzálással legtöbbször egy matematka modell szélsőértéket keressük a lehető leghatékonyabb eljárással. 2.1.2.1 Kísérlet pontokból meghatározott összefüggések A kmenet jellemző és a bemenet paraméterek kapcsolatát matematka eszközökkel írjuk le (Koczor (1999)). A kapcsolat meghatározásánál lényeges a következőkre fgyeln: a kapcsolat jellege, a kapcsolat szorossága és a kapcsolat ránya. A kapcsolat szorosságát a matematka kfejezés következetességének értékelésére használjuk. Meghatározható belőle, hogy a függvénykapcsolat alapján előre jelzett értékek mekkora bztonsággal következnek be. Mnél jobban fed az összefüggést leíró modell a tapasztalat értékeket, annál nkább beszélhetünk determnsztkus kapcsolatról. Mnél kevésbé, annál nkább következtethetünk arra, hogy a rendszer sztochasztkus változásokat tartalmaz. A kapcsolat korrelácóval jellemezhető szorosságát legtöbbször a modell fnomításával kíséreljük meg javítan. Két változó korrelácója passzív kísérletek esetén pontpárokból álló véletlen pontfelhőként ábrázolható. A megtervezett aktív kísérletek esetében a bemenet szntváltozások száma és 12
a vzsgálatok smétlésének száma határozza meg a kísérlet pontok teljes számát. Az egyváltozós kísérletek többváltozósra való kterjesztését gyakran nevezk klasszkus kísérletnek. Ezzel kapcsolatosan két probléma s adódk: az egyes bemenetek szntváltozásanak módszertana és a kísérlet pontok hrtelen emelkedő magas száma. A klasszkus aktív kísérletek bemenetenek változtatásánál a változókat egyenként módosítják, mközben a több faktorszntet állandó sznten tartják. Ekkor az egyes bemenetek hatása egymástól függetlenül jelenk meg és értékelhető k. A kísérletek száma, amennyben p faktorunk van és egy-egy faktor esetében n szntváltoztatást hajtunk végre: p N = n. A kísérletek száma ematt már néhány faktor esetén s több ezres, esetenként mllós mérés számot jelent. Ennek alapján vagy a többváltozós problémák kísérletes vzsgálatáról kell lemondan, vagy a kísérlettervezés módszert kell gyökeresen megváltoztatn annak érdekében, hogy az elvégzendő kísérletek számát jelentősen csökkenthessük. E problémák megoldására alakultak k a faktoráls kísérlettervezés módszertanok lletve a Taguch-féle kísérlettervezés. 2.1.3 2 p típusú teljes faktoros kísérlet tervek A teljes faktoros kísérlet tervek esetében a mnőségre ható tényezők faktorok különböző szntje mellett vzsgáljuk a mnősítő jellemző értékét (Kemény Deák (1990)). A 2 p típusú kísérlet tervek esetében 13
p faktort tartalmaz a terv, mnden faktort két sznten vzsgálunk, a pontok (beállítások) száma pedg N=2 p. Három faktor esetében például egy kocka sarka jelentk a beállítások összes kombnácóját. z j 0 Amennyben -vel jelöljük a j-edk faktort, a faktor alapszntjét a következőképpen számíthatjuk: z j A 0 z j ( j = 1, K, p) z max mn z j + z =. 2 0 j j értékekkel jellemzett pontot a terv centrumának nevezk. A z j varácós ntervallum defnícója max mn z j z j z j =. 2 A faktorok transzformácója: x j = z j z z j 0 j, j = 1, K, p. Ilyen módon a faktorokat +1 lletve 1 értékekre transzformáljuk. Két faktor esetén a kísérlet terv táblázatos megadása: x 1 x 2 1 + + 2 - + 3 + - 4 - - 1. táblázat: Kétfaktoros kísérlet terv A 2p típusú teljes faktoros kísérlet tervek ortogonáls tulajdonságúak, vagys a faktorokra teljesül, hogy 14
x j x k = 0, ha j k; j, k = 1, K, p. A feltételezett modell (elmélet regresszós függvény): Y = β + β1x1 + β 2x2 + K + β px p 0. A regresszóban és a konfdenca-vzsgálatokban célszerű egy szmbolkus x 0 változót bevezetn, amelynek értéke mndg +1, így a β 0 paraméter a többvel azonosan kezelhető, helyette β 0 x 0 írható. Y = β x + x + x + K+ 0 0 β1 1 β 2 2 β p x p. Az így kbővített kísérlet terv: x 0 x 1 x 2 1 + + + 2 + - + 3 + + - 4 + - - 2. táblázat: Kétfaktoros kísérlet terv a szmbolkus x 0 változó bevezetésével A paraméterek becslésére, mnthogy ortogonáls változókról van szó, a következő formulák használhatóak: b j y x j = 2 x j = y x N j ahol N a kísérlet terv pontjanak (beállításanak) száma. Az ortogonaltás következtében a b j együtthatók egymástól független becslések, vagys az egyes faktorok hatása más faktorokétól függetlenül vzsgálható annak ellenére, hogy a kísérlet tervben több faktor szntjét változtatjuk egyszerre. 15
2.1.4 Taguch-féle kísérlettervezés Taguch (Kemény Deák (1999)) szernt a mnőségre ható tényezők két fő csoportba oszthatók: kézben tartható (kontroll-) faktorok és zajfaktorok, amelyeket nem tudunk módosítan, vagy nem ér meg módosítan az adott folyamat esetén. Kontroll-faktorok Folyamat Mnősítő jellemző Zajfaktorok 1. ábra: A folyamat mnőségére ható tényezők A Taguch-féle kísérlettervezésben ksszámú kísérlettel megmutathatjuk, hogy a kontroll-faktorok közül melyek és hogyan hatnak a várható értékre és/vagy az ngadozásra. A faktoráls kísérlet tervekhez hasonlóan a faktorokhoz sznteket rendelünk, két faktor esetén ezek +1 és -1. A zajfaktorokat a következő csoportokba oszthatjuk: külső zaj: használat körülmények, környezet feltételek változása; belső zaj: dőbel vagy a használat során bekövetkező változások, gyártás esetén a berendezés kopása, elállítódása; 16
egyedenként különbség: az egy dőben, azonos körülmények között gyártott termékpéldányok mnőség jellemzőjének ngadozása. A cél e zajoknak ellenálló, robusztus termék lletve gyártás kalakítása. A szórásra ható kontrollfaktorok értékét úgy állítjuk be, hogy a szórás a lehető legksebb legyen, a várható értékre hatókét pedg úgy, hogy az átlagérték megegyezzen a célértékkel (lletve mnél közelebb essen hozzá). A beállításokat a teljes faktoros (pl. 2 p típusú) lletve részfaktoros (pl. 2 p-k típusú) kísérlet terveknek megfelelően végezzük el. Az előbb előnye, hogy a faktorok között kölcsönhatásokat kértékelhetjük, az utóbb pedg ksebb kísérlet volument gényel. A Taguch módszer az utóbb fajta terveket írja elő, pl. az L 4 jelű terv három faktor hatásanak kértékelésére alkalmas 2 3-1 beállítást, míg az L 8 jelű terv 7 faktor hatásanak értékelésére 2 7-4 beállítással. A kétszntes tervek eredményere csak lneárs függvényt lleszthetünk, míg háromszntes tervek esetén lehetséges másodfokú függvény llesztése. Ilyen pl. az L 9 terv, amely 3 4-2 beállítást ír elő. Mnden beállításnál több smételt kísérletet kell elvégezn, hogy az egyes faktoroknak ne csak az átlagra, hanem a szórásra gyakorolt hatását s vzsgálhassuk. Ahhoz, hogy a zajfaktorok okozta ngadozásról mnél több nformácóhoz jussunk, e kísérleteket a zajfaktorok legkülönbözőbb értékenél kell elvégezn. Ennek eléréséhez Taguch külső és belső részből álló terveket ajánl. A belső terv egy rész-faktorterv, míg a külső terv amelynek mnden egyes beállítására végre kell hajtan a teljes belső tervet csak a zajfaktorokat tartalmazza. A jel/zaj függvényt a következőképpen defnálja a modell: SN 2 µ = 10lg 2 σ Azon faktorok beállításával, amelyek a jel/zaj vszonyra hatnak, a jel/zaj vszonyt maxmalzáljuk, az átlagra ható faktorok megfelelő 17
beállításaval pedg a mnősítő jellemző átlagos értékét állítjuk be az előírt értékre. A kísérletezés lletve a kértékelés során több feltételezéssel élünk (pl. lneartás), amelyek matt utólagos ellenőrző kísérletekre van szükség. 2.2 A kompromsszummodell A kompromsszumfüggvény alapötlete E.C. Harrngton-tól származk (Harrnton (1965)). Harrngton ckkében felvázolja azt az par lletve a mnőségügy számára a gyakorlatban előforduló esetet, amkor egy folyamat kmenetet a bemenetek függvényeként írhatjuk le és e kmeneteket a lehető legjobb értékre szeretnénk beállítan. Módszerével a dmenzó és nagyságrend szempontjából akár nagyon különböző kmenet függvényeket a [0,1] tartományra transzformálja. D, d1, d2, d3 x d1 d2 d3 D 2. ábra: d függvények és D-függvény egyváltozós függvények esetén 18
Mvel rtkán áll rendelkezésünkre egzakt függvénykapcsolat a bemenet és kmenet paraméterek között, mérésenk alapján e függvénykapcsolatot egy általunk smert függvénnyel közelítjük. A bemenet változókat jelöljük x j -vel (j=1..n), a kmenet változókat y -vel (=1..q). Ha meghatározzuk az egyes y -knek az x j -ktől való függését, az így kapott regresszós függvényeket ez után olyan alakra hozzuk, hogy összemérhetőek legyenek, így kapjuk az y * függvényt, amely 0 és 1 közé esk, majd ennek felhasználásával a d-függvényt vagy gényfüggvényt. Az gényfüggvények tartalmazzák az egyes kmenetekkel kapcsolatos vevő elvárásokat. Az y * és d-függvény számítása attól függ, hogy az adott kmenet változóra mlyen elfogadás korlátot határoztunk meg. Az elfogadás korlát a számítás szempontjából kétféle lehet, egyoldal (maxmum vagy mnmum), lletve kétoldal. Egyoldal elfogadás határ esetén a d-függvény számítása: = b + b y és d = e, * y 0 1 y * e ahol b 0 és b 1 becsült regresszós állandók, kétoldal elfogadás határ esetén pedg y * 2y ( ymax + ymn) = y max és y mn * n ( y ) d = e, ahol 1 ln ln d =. ln y n * 19
d 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 Kváló Jó Jó (kereskedelm mnőség) y mn y max y -1 0 1 y * d 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 Kváló Jó Jó (kereskedelm mnőség) Elfogadhatatlan Elfogadhatatlan -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 y * 3. ábra: A Harrngton-féle gényfüggvény kétoldal lletve egyoldal elfogadás határral d Jelentés 1.00 Elv felső határérték 1.00-0.80 Kváló mnőség 0.80-0.63 Kereskedelm mnőségnél jobb 0.63 Kereskedelm mnőség (=1-1/e) 0.63-0.37 Elfogadható (de nem jó) 0.37 Alsó elfogadás határ (=1/e) 0.00 Elv alsó határérték 5. táblázat: A d-függvény által meghatározott mnőség szntek Az optmum a d-függvényekből képzett együttes függvény jelen esetben a geometra átlaguk maxmuma. A geometra átlagolással 20
elérjük, hogy több célfüggvényünk helyett könnyebben kezelhető, egyetlen célfüggvényünk legyen (lásd fentebb): D = q q = 1 d q ( y ) = q d ( f ( x, x, K, x )) = 1 1 2 n Célunk, hogy ezen érték 1-hez mnél közelebb essen, tehát a D- függvényt maxmalzáljuk. A D-függvényt teljes kompromsszumfüggvénynek, vagy kívánatosság ndexnek (Desrablty Index, DI) nevezzük. A [0,1] tartományon belül a dmenzó nélkül d függvény jelentését különböző közbenső értékhatárokhoz kötötték (5. Táblázat). 2.2.1 A Derrnger-Such kompromsszummodell A gyakorlat életben sokkal nkább használják a továbbfejlesztett, Derrnger-Such féle kompromsszumfüggvényt (Derrnger - Such (1980)). E függvény az eredet modellt rugalmasabbá tesz, amennyben lehetővé tesz a célértékre történő optmalzálást és a célértéktől jobbra és balra különböző súlyozást enged, amvel a függvényt sokkal nkább a szükségletekhez gazíthatjuk. A módosított kompromsszumfüggvény a következőképpen számítható: d DS 0, ha y < ATH βl y ATH, ha ATH y T T ATH ( y) : = β r FTH y, ha T < y FTH FTH T 0, ha FTH < y ahol T a célérték (Target), ATH és FTH az alsó lletve felső elfogadás határ (a Harrngton-függvényhez hasonlóan kezelhetőek az egyoldal határok s), β pedg a súlyozás az egyes oldalakra. 21
d 1 β r < 1 β r = 1 β r > 1 ATH T FTH y d 1 β r < 1 β r = 1 β r > 1 T FTH y 4. ábra: A Derrnger-Such-féle kompromsszumfüggvény (a.) kétoldal lletve (b.) egyoldal határ esetén A modell rugalmassága révén helyettesít a Harrngton-függvényt és használhatóság szempontjából k s egészít. Ugyanakkor az eredet ötlet, hogy analtkusan jól kezelhető, egyszerű függvényünk legyen, sérül, mvel a tartományonként defnált d DS függvény tartalmaz nemdfferencálható pontokat. E hátrány ellenére (amelyet más modellekben kküszöböltek) széles körben alkalmazzák. Ennek oka az s, hogy azonos függvénycsalád segítségével tudja kezeln a szmmetrkus, aszmmetrkus lletve a célértékre vagy maxmumra történő optmalzálás problémákat. Többek között a STAVEX (Acos (1999)) szoftver s ezeket a függvényeket használja. 22
d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 D d 1 DI Mnősítő jellemzők d-értéke 5. ábra: Az optmáls beállítás gényfüggvény-értékenek hsztogramja 2.2.1.1 A mnősítő jellemzők egyensúlya Derrnger ckkében (Derrnger (1994)) kfogásolja, hogy a mnőségügy szakemberek nem veszk kellőképpen fgyelembe a mnősítő jellemzők egyensúlyát, amely jellemzők már általunk s említett módon egymást hatását ronthatják (lásd 5. ábra). Bzonyos vegypar termékek esetében, amelyek adott formula alapján készülnek, nem rtka, hogy akár húsz jellemző kompromsszumát kell megtaláln. E kompromsszumkereséshez egy összetett módszertant javasol, amely a Harrngton-modell általa javasolt (Derrnger Such (1980)) módosított változatából, és a Response Surface Methodology-ból (eredményfelület-módszertan) tevődk össze. Ezen összetett módszertan a Desrablty Optmzaton Methodology (DOM, Kívánatosság Optmalzálás Módszertan). A súlyozásra az eredet Harrngton-modellben alkalmazott súlyozással szemben amely kzárólag belső súlyozást alkalmaz, amkor az y-d adatpárok alapján dől el a mnősítő jellemzők fontossága azt javasolja, hogy az egyes d-függvények ktevője legyen a súlyozás alapja. 23
y 1 y 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 Kompromsszumfüggvény x 1 y 3 y 4 x 2 x 2 x 1 x 1 6. ábra: A teljes kompromsszumfüggvény és az egyes gényfüggvények összefüggése A többváltozós modellt, a kmenetek és a bemenetek egymástól való függését szemléltet a 6. ábra (Derrnger (1994)). 24
2.2.2 A nemdfferencálható pontok kváltására rányuló módosítás A kompromsszumfüggvények szélsőértékkeresése esetében probléma, hogy a Derrnger-Such-féle d-függvények tartalmaznak nemdfferencálható pontokat. Ennek érdekében Castllo Montgomery McCarvllve (1996) egy változtatás javasolnak, amely e pontok környezetét polnomokkal helyettesít, ly módon az egész függvényt dfferencálhatóvá téve, és lehetővé téve a grádens alapú szélsőértékkeresést. Ezen kívül az eredet súlyozással szemben s alternatívát kínálnak. 1 d T y 7. ábra: Szakaszonként folytonos kompromsszumfüggvények A 7. ábrán, a vastag vonallal jelölt függvénynél látható, hogy az optmum a célérték (T) közelében van, ahol d=1, és a függvény ebben az egy pontban nem dfferencálható. A vékony vonallal jelölt d- függvénynél három nemdfferencálható pont van. Annak érdekében, hogy e pontok környezetében az eredet d-függvényeket dfferencálható függvényekkel helyettesítsük, negyedfokú polnomokat használunk közelítésre. Mnmum negyedfokú polnomra van szükség, mvel köbös szplájnok nem nyújtják a kellő rugalmasságot a jó közelítéshez (lásd alább): 2 3 4 ( y) = A + By + Cy + Dy + Ey f, 25
ahol A,,E a közelítő polnom együttható. Mnmum öt együtthatóra van szükség, mvel a polnomnak a következő feltételeket kell kelégítene: 1. A közelítő függvény (AF) értéke egyenlő kell, hogy legyen a töréspontban (T) a nemdfferencálható d-függvény (NDF) értékével; 2. AF értéke egyenlő kell, hogy legyen a T-γ pontban NDF T-γ pontban felvett értékével, ahol γ a T pont egy környezetének fele; 3. AF értéke egyenlő kell, hogy legyen a T+γ pontban NDF T+γ pontban felvett értékével; 4. AF első derváltja egyenlő kell, hogy legyen a T-γ pontban NDF első derváltjával a T-γ pontban; 5. AF első derváltja egyenlő kell, hogy legyen a T+γ pontban NDF első derváltjával a T+γ pontban; A módosított d-függvényt a következőképpen kapjuk: d ( y ( x) ) a1 + b1 y, f ( y), = a2 + b2 y, 0, y mn < y T γy T γy y T + γy T + γy y y egyébként max ahol γy a nemdfferencálható pont egy környezetét jelent. γ értéke a mnősítő jellemző elvárt értékéhez képest kcs kell, hogy legyen; a és b pedg a nemdfferencálható szakaszok együttható. 26
d 1 y 8. ábra: Közelítés polnommal egy nemdfferencálható pont környezetében 2.2.3 Realsztkus d-függvények Mnden d-függvénynek a defnícóból adódóan egy maxmuma van (unmodálsak), ebből azt lehetne következtetn, hogy a szorzatukként adódó kompromsszumfüggvény s unmodáls, de ez nncs szükségképpen így, tehát létezhetnek lokáls optmumok s (Steuer (2000)). Ennek megfelelően a klasszkus grádens alapú keresőmódszerek csődöt mondhatnak, ha nem a megfelelő pontból ndítjuk őket. Így melőtt egy kompromsszumfüggvényt optmalzálunk, meg kell győződnünk az unmodaltásról. 1 d σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 =0, σ 1 <σ 2 <σ 3 ATH T FTH y 9. ábra: Az deáls lletve a realsztkus kompromsszumfüggvény 27
A kompromsszum-modell gyengesége, hogy eredet számítás módja deáls állapotot feltételez, tehát nem vesz fgyelembe a kmenet függvények becslésekor adódó hbát, így tehát: ahol deáls esetben tehát y * f = ( x ) + ε, ε = 0, * f y = ( x), realsztkus esetben vszont, a hbákra függetlenséget és normaltást feltételezve: ε N( 0, σ ), = 1,2, K, q; Az ε hba számításba vétele sok esetben előnyös (bár elhagyható pl. ha meggyőződtünk az unmodaltásról), mvel a σ ε szórás növekedésével a DI maxmuma csökken és ugyanekkor a DI függvény jobban szétterül, tehát hasznos nformácóval szolgál a folyamat mnőségéről. ε 2.2.4 Genetkus algortmus alapú kompromsszumfüggvények Ortz és Smpson (2002) a kompromsszumfüggvényeket genetkus algortmusokkal (GA) alkalmazza. Ez a megközelítés hasonlóan a többhez egy regresszós modellt állít fel a bemenetek és a kmenetek (mnősítő jellemzők) között, a különböző dmenzójú ξ,,ξ 1 K bemenetek kódolásával (standardzálásával). E kódolt értékeket úgy határozzák meg, hogy 1 és +1 között értékeket vehessenek fel. A kódolt bemenetek ebben az esetben egy kromoszómát jelentenek, amely vektoralakban ( x, x,, ) T 2 x =. 1 K x n k 28
Ebből kfolyólag a kromoszómák úgy épülnek fel, hogy mnden egyes gén egy döntés változó értékét reprezentálja, amely 1 és +1 között lehet. Például 8 döntés változó esetén egy kromoszóma a következőképpen nézne k: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8-0.237 0.587-0.189 0.485 0.689 0.221-0.376 0.710 Mnden egyes kromoszómából egy ( yˆ, yˆ,, ˆ ) T y ˆ = 1 2 K eredményvektort kapunk a kmenetekre. Ahhoz, hogy a kompromsszumfüggvényt ntegráln lehessen a GA modellbe és hatékonyan alkalmazható legyen, bzonyos változtatások szükségesek. Az új kompromsszumfüggvénynek az alább feltételeknek kell eleget tenne: Tegye lehetővé a GA számára, hogy a nem megengedett (nfeasble) megoldásokat kértékelje és lokalzálja a megengedett területeket; tegye lehetővé a különbségtételt megengedett és nem megengedett megoldások között. Az elfogadás határokon kívül esést büntetőfüggvények segítségével kezelhetjük, ez esetben olyan módon, hogy e függvényeket közvetlenül a célfüggvényhez adjuk lletve maxmalzálás esetén levonjuk abból: D GA = D α( ŷ) ahol α ( ŷ) a büntetőfüggvény, amely az elfogadás határtól való eltérés négyzetével arányos. A büntetőfüggvényt Bazaraa Sheral Shetty (1993) a következőképpen defnálja: a büntetőfüggvény célja, hogy egy feltételes optmalzálás problémát feltétel nélkülre írjunk át, úgy, hogy y n 29