BIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA ALAPJAI1

BIZTOSÍTÁSI MATEMATIKA ALAPJAI1 Készítette: FEGYVERNEKI SÁNDOR,2 March 7, 2009 1 Előadás vázlat 1.0 verzió 2 Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 1.1 Követelmények............................... 1 1.2 A tantárgy leírása............................. 1 1.3 Jelölések................................... 2 2. Matematikai modellek 4 2.1 Valószínűség fogalma........................... 4 2.1.1 Klasszikus valószínűségi mező.................. 6 2.1.2 Geometriai valószínűségi mező................. 9 2.1.3 Relatív gyakoriság......................... 10 2.1.4 Feltételes valószínűség...................... 10 2.2 Valószínűségi változó és jellemzése.................. 12 2.2.1 Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői............ 16 2.2.2 Néhány folytonos eloszlás és jellemzői........... 18 2.2.3 Nagy számok gyenge törvényei................. 21 2.2.4 Centrális határeloszlás-tétel................. 21 2.3 Matematikai statisztikai alapok.................... 22 2.3.1 Minta, mintavétel.......................... 22 2.3.2 A statisztikai minta jellemzői.................. 23 2.4 Egyéb matematikai alapok........................ 25 2.4.1 Halmazok............................... 25 2.4.2 Kombinatorika............................ 26 3. Életbiztosítás 29 3.1 Alapfogalmak, jelölések......................... 29 3.2 Halandósági táblák............................ 30 3.3 Halandósági modellek........................... 31 i

ii TARTALOMJEGYZÉK 4. Neméletbiztosítás 32 4.1 Kockázati modellek............................ 32 5. Díjszámítási elvek 34 6. Kamatláb, jelenérték 37 6.1 Bevezetés................................... 37 6.1.1 Kamatláb (rate of interest).................. 37 6.1.2 Jelenérték (present value)................... 37 6.1.3 Megtérülési ráta (rate of return).............. 40 6.1.4 Folytonosan változó kamatláb................. 40 6.2 Geometriai Brown-mozgás........................ 43 Irodalomjegyzék 47

1 1. Fejezet Bevezetés 1.1. Követelmények A tantárgy lezárása beszámolóval történik. A számonkérés módja írásbeli, amelynek hossza 60 perc. A beszámoló két részből áll: elméleti és gyakorlati. Elméleti kérdések témakörei: 1. Kamatszámítási alapok jelenérték. 2. Valószínűség-számítási alapismeretek. 3. Életbiztosítási modellek. 4. Neméletbiztosítási modellek. 5. Díjkalkuláció alapelvei. Gyakorlati kérdések témakörei: 1. Halandósági tábla használata. 2. Kárgyakoriság meghatározása. 3. Kárnagyság számítása. 4. Kamat- és járadékszámítás. 1.2. A tantárgy leírása A tantárgy megnevezése: Biztosítási matematika alapjai Kódja: GEMAK101MT6 Az elsajátítandó ismeretanyag rövid, néhány soros leírása: Matematikai alapok: Sorozatok, függvények, határérték. Deriválás és integrálás alapjai. A valószínűség egyszerűsített fogalma és alkalmazásai. Pénzügyi alapfogalmak: Kamat, diszkontálás, járadékszámítás, jelenérték meghatározása. Értékpapírok elméleti árfolyama, hozam és megtérülés. Kockázati modellek. Biztosítási alapfogalmak: biztosítás, biztosított, biztosító, biztosítási esemény, díj és kár. Biztosítási ágak: személybiztosítás (élet, baleset, betegség), nem-életbiztosítás

2 FEJEZET 1. BEVEZETÉS (vagyon, felelősség, viszont). Életbiztosítási alapismeretek. A díjkalkuláció alapelvei. Járadékszámítási módszerek, képletek. Járadékbiztosítások számítása. Biztosítási kockázat: Az egyéni kockázat modellje. Nevezetes kárgyakoriság eloszlások. Nevezetes káreloszlások. Díjkalkulációs elvek: várható érték elv, maximális veszteség elve, a szórásnégyzet és a szórás elve. Kockázat és káreloszlások illesztése. Alkalmazások, esettanulmányok. Javasolt segédlet: www.uni-miskolc.hu/ matfs/oktatás honlapon a című segédlet. Biztosítási matematika alapjai 1.3. Jelölések N a természetes számok halmaza (pozitív egészek). Z az egész számok halmaza. Q a racionális számok halmaza. R a valós számok halmaza. R 2 {(x, y) x, y R}. A B az A részhalmaza a B-nek. A B az A és B halmaz közös része. A B az A és B halmaz összes eleme egy halmazban. A az alaphalmaz A halmazon kívüli elemei. A\B A B. k << n k sokkal kisebb, mint n. [a] a egész része. a := b a legyen egyenlő b. f( ) : D R az f leképezés, D az értelmezési tartomány, a pont a változót helyettesíti.

1.3. JELÖLÉSEK 3 f(d) az f leképezés értékkészlete. F (a + 0) a jobboldali határérték, azaz F (a 0) a baloldali határérték, azaz exp(x) e x. lim F (x). x a+0 lim F (x). x a 0 Q.E.D. quod erat demonstrandum ezt kellett bizonyítani. egy levezetés vagy magyarázat vége. (a) (b) (a)-ból következik (b). létezik olyan. bármely (minden egyes). a b (mod m) a b osztható m-mel.

4 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2. Fejezet Matematikai modellek 2.1. Valószínűség fogalma A mindennapi nyelvben a véletlen általában előreláthatatlant vagy ismeretlent jelent. Így, ha valaki az autóbuszok beérkezését figyeli anélkül, hogy a menetrendet ismerné, azt mondhatja, hogy a buszok véletlenszerűen érkeznek. Miután áttekinti az egynapi tapasztalatait, mindössze annyit mondhat, hogy a menetrendhez képest bizonyos váratlan eltérések mutatkoznak. A véletlenszerűség ezen vonására, az előreláthatatlanságra, általában nem szokás hivatkozni a véletlen pontos matematikai definíciójában. Ha a szükséges szigorral akarjuk a véletlent definiálni, meg kell mondanunk, hogy kinek, milyen körülmények között és milyen eszközök felhasználása mellett volt az esemény előreláthatatlan. Egy ilyen definíciót miindannyiszor felül kellene vizsgálni, valahányszor a tudomány előrehaladása lehtővé teszi egy korábban előreláthatatlan esemény jóslását. Tekintsük a legegyszerűbbnek gondolt, véletlen kísérletet, azaz egy szabályos pénzdarab feldobását (zárjuk ki a zavaró eseteket: megáll az élén, nem esik le, elgurul). Ez azt jelenti, hogy kétféle eredmény lehet: fej (jelölje 0) és írás (jelölje 1). Dobjuk fel a pénzdarab 200-szor és jegyezzük fel a sorozatot. Az ilyen lehetséges sorozatok száma 2 200 = 1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376 1.6 10 60. Ha látunk egy ilyen sorozatot, akkor ez alapján tudunk-e valamit mondani a pénzdarabról. Mikor mondhatjuk, hogy véletlen kísérleteket végeztünk? Egy véletlennek tekintett kísérlet esetén hogyan készíthetünk mérőszámokat, törvényszerűségeket és hogyan ellenőrizzük ezeket? Léteznek-e tökéletes végtelen véletlen sorozatok? A válasz igenlő, sőt némely nagyon szabályosnak látszó sorozat is kielégítheti a feltételeket. 2.1. Definíció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeinek összeségét eseménytérnek (mintatér) nevezzük. Jele: Ω. Az Ω elemeit elemi eseményeknek nevezzük. 2.2. Definíció. Az Ω részhalmazainak egy F rendszerét σ-algebrának nevezzük, ha (1) Ω F, (2) A F, akkor A F, (3) A, B F, akkor A B F,

2.1. VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 5 (4) A 1, A 2, F, akkor A 1 A 2 F. Az F elemeit pedig eseményeknek nevezzük. 2.3. Megjegyzés. 1. Ha csak (1), (2), (3) teljesül, akkor az F halmazrendszert algebrának nevezzük. 2. Ha A, B F, akkor A B F. 2.4. Példa. (a) F = {Ω, } mindig σ-algebra. (b) Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }, ekkor F = {Ω,, {5}, {1, 2, 3, 4, 6}} σ-algebra. (c) Ha Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } és {i} F, (i Ω) azaz minden egy elemű halmaz esemény, akkor a σ-algebra tulajdonságai szerint minden részhalmaz esemény. Tehát Ez véges esetben általában így van. F = P(Ω) = 2 Ω. 2.5. Definíció. Az Ω halmazt szokás biztos eseménynek, az halmazt pedig lehetetlen eseménynek nevezni. Továbbá, az A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet eredménye eleme az A halmaznak. 2.6. Megjegyzés. Az A B esemény bekövetkezik, ha legalább az egyik közülük bekövetkezik, míg az A B esemény akkor következik be, ha mind a kettő bekövetkezik. 2.7. Definíció. A P : F R nemnegatív leképezést valószínűségnek nevezzük, ha (1) P (Ω) = 1, (2) A B =, akkor P (A B) = P (A) + P (B), (3) A 1, A 2,... egymást kölcsönösen kizáró események (azaz A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,... ), akkor ( ) P A i = i=1 P (A i ). i=1 2.8. Megjegyzés. 1. Az (1)-(3) tulajdonságokat szokás a valószínűség axiómáinak nevezni. 2. Véges Ω esetén a (3), az ún. σ-additivitás, nem szükséges. 2.9. Következmény.

6 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK (1) P ( A ) = 1 P (A). (2) P ( ) = 0. (3) P (B\A) = P (B) P (A B). (4) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). (5) Ha A B, akkor P (A) P (B). (6) Ha B n+1 B n és 2.10. Megjegyzés. i=1 B n =, akkor lim n P (B n ) = 0. 1. Az 5. következményt szokás a valószínűség monotonitásának is nevezni. Ennek fontos következménye, hogy ha A F, akkor 0 P (A) 1, mert A Ω. 2. Hasonlóan a 6. következmény a valószínűség folytonossága. 2.11. Definíció. Az (Ω, F, P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük. 2.1.1. Klasszikus valószínűségi mező 2.12. Definíció. Ha az elemi események száma véges és valószínűségük megegyezik, akkor a valószínűségi mezőt klasszikusnak nevezzük. 2.13. Megjegyzés. 1. A definíció nagyon rövidnek tűnik, ha arra gondolunk, hogy egy speciális helyzetben megadja a teljes matematikai modellt (a valószínűségi mezőt). Felmerül a kérdés, hogy a modell minden része szerepel-e benne. A válasz igen. Ha az elemi eseményeknek van valószínűsége azt úgy kell értelmezni, hogy az alaphalmaz minden egy elemű részhalmaza esemény. Ekkor viszont F = 2 Ω, azaz F a hatványhalmaz. 2. Legyen Ω = n és jelölje az elemi eseményeket ω i (i = 1, 2,..., n). Ekkor ( n ) n 1 = P (Ω) = P {ω i } = P ({ω i }) = np ({ω i }). i=1 Tehát P ({ω i }) = 1 (i = 1, 2,..., n). n i=1

2.1. VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 7 3. Legyen A Ω tetszőleges, ekkor felírható A = {ω i1, ω i2,..., ω ik } alakban. Ekkor ( k ) P (A) = P {ω ij } = j=1 k j=1 P ({ω ij }) = kp ({ω i }) = A Ω. Ezzel minden részhalmaznak meghatároztuk a valószínűségét. Tehát az ún. klasszikus képlet: kedvező esetek száma valószínűség = összes esetek száma. 2.14. Példa. Dobjunk fel egy dobókockát kétszer. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább egy hatost dobunk! Megoldás: A két dobás eredménye egy számpár, azaz Jelölje A a legalább egy hatost, ekkor Tehát a keresett valószínűség Ω = {(i, j) 1 i, j 6}, Ω = 36. A = {(i, 6) 1 i 6} {(6, j) 1 j 6}, A = 11. P (A) = A Ω = 11 36. VISSZATEVÉSES MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevéssel kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k n. ( ) n s k (N s) n k k p k = P (ξ = k) =. N n Legyen p = s N, akkor P (ξ = k) = Tehát csak a selejtaránytól függ a valószínűség. ( ) n p k (1 p) n k. k

8 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.15. Példa. Legyen egy dobozban 3 piros és 7 kék golyó. Visszatevéssel húzunk 100-szor. Mennyi a valószínűsége, hogy a piros húzások száma(ξ) (a) 28 ξ 33, (b) 20 ξ 40. Megoldás: (a) P (28 ξ 33) = P (ξ = 28) + P (ξ = 29) + + P (ξ = 33). (b) P (28 ξ 33) = 33 k=28 P (20 ξ 40) = 33 k=28 P (ξ = k) = 33 k=28 ( 100 k ) 0.3 k (1 0.3) 100 k. ( ) 100 0.3 k (1 0.3) 100 k 0.4828916007. k 40 k=20 ( 100 k ) 0.3 k (1 0.3) 100 k 0.9786143845. 2.16. Megjegyzés. Legyen a húzások száma 10000. P (2850 ξ 3200) = 3200 k=2850 ( ) 10000 0.3 k (1 0.3) 10000 k 0.9995078261. k VISSZATEVÉS NÉLKÜLI MINTAVÉTEL: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevés nélkül kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k min{n, s}. 2.17. Megjegyzés. p k = P (ξ = k) = ( )( ) s N s k n k ( ). N n 1. Az n elemű sokaságból n k

2.1. VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 9 számú visszatevéses és n(n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! visszatevés nélküli k elemű minta vehető. 2. A p k valószínűségek definíciójából következik, hogy amelyből n k=1 p 0 + p 1 + + p n = 1, ( ) n s k (N s) n k = N n, k illetve ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) s N s s N s s N s N + + + =. 0 n 1 n 1 n 0 n Legyen a selejtek, a nem selejtek és a kiválasztottak száma is n, ekkor az előző azonosság ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) n n n 2n + + + =. 0 1 n n FELADAT: n elemű sokaságból visszatevéssel k elemű mintát veszünk. Keressük meg annak az eseménynek a valószínűségét, hogy a mintában egyetlen elem sem fordul elő kétszer! Megoldás: Kedvező esetek: visszatevés nélküli mintavétellel is megkaphatnánk. A keresett valószínűség: p = n(n 1)... (n k + 1). n k 2.1.2. Geometriai valószínűségi mező A geometriai valószínűségi mező bevezetése, a valószínűség definíciója a klasszikus valószínűségi mező analógiájára történik. Bevezetése, alkalmazása során kiderül, hogy a szükséges elméleti alapokat majd csak a valószínűségi változóknál illetve a véletlen vektoroknál definiáljuk. A következő definíciót fogadjuk el a szemlélet alapján a klasszikus valószínűségi mező mintájára. 2.18. Definíció. Legyen Ω R n, amelynek létezik és véges a nagysága(jelölje m(ω)). Továbbá legyen Ω minden eleme(pontja) azonos esélyű és A Ω, amelynek szintén létezik az m(a) nagysága. A P (A) = m(a) m(ω)

10 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK mennyiséget az A valószínűségének nevezzük. 2.19. Megjegyzés. 1. P (A) = m(kedvező esetek). m(összes eset) 2. Egy halmaz nagyságán a hosszát, területét, térfogatát(mértékét) értjük. 2.1.3. Relatív gyakoriság 2.20. Definíció. Adott egy valószínűségi mező. Vizsgáljuk az A esemény bekövetkezését. Végezzünk el egy Bernoulli-kísérletsorozatot, amelynek a hossza n. Jelölje az A esemény bekövetkezéseinek a számát k A. Ezt az A esemény gyakoriságának nevezzük. Míg az r A = k A n mennyiséget pedig relatív gyakoriságnak nevezzük. Mivel 0 k A n, ezért 0 r A 1. k Ω = n, tehát r Ω = 1. Ha A B =, akkor k A B = k A + k B, ezért r A B = r A + r B. 2.21. Megjegyzés. Jól látható, hogy a relatív gyakoriság tulajdonságai megegyeznek a valószínűségével és mégsem jó igazi mérőszámnak. 2.1.4. Feltételes valószínűség 2.22. Példa. Dobjunk fel egy dobókockát kétszer. Jelölje A, B azt az eseményt, hogy a dobások összpontszáma 6 illetve 7. Legyen C az az esemény, hogy az első dobás páros szám. Ekkor Ω = {(i, j) 1 i, j 6}, Ω = 36.

2.1. VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 11 P (A) = 5, 36 mert A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}. P (B) = 6, 36 mert B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. P (C) = 18, 36 mert C = {(i, j) i = 2, 4, 6, 1 j 6}. P (A B) = 0, mert A B =. P (A C) = 2, 36 mert A C = {(2, 4), (4, 2))}. P (B C) = 3, 36 mert B C = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)}. A továbbiaknál tételezzük fel, hogy C bekövetkezett, azaz az első dobás páros szám. Ekkor az összes eset csak a C halmazra korlátozódik. C az alaphalmaz. Ekkor P (A, ha C bekövetkezett) = 2, mert A C = {(2, 4), (4, 2)}. 18 P (B, ha C bekövetkezett) = 3, mert B C = {(2, 5), (4, 3), (6, 1)}. (1) 18 2.23. Definíció. Az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük a mennyiséget, ha P (B) > 0. P (A B) = P (A B) P (B) 2.24. Definíció. Az A 1, A 2,... eseményrendszert teljes eseményrendszernek nevezzük, ha A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,..., és A i = Ω. 2.25. Tétel. (teljes valószínűség) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges B esemény esetén P (B) = P (B A i )P (A i ). i=1 2.26. Tétel. (Bayes) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges pozitív valószínűségű B esemény esetén i=1 P (A k B) = P (B A k)p (A k ). P (B A i )P (A i ) i=1

12 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.2. Valószínűségi változó és jellemzése 2.27. Definíció. A ξ : Ω R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha {ξ < x} = {ω ω Ω, ξ(ω) < x} F x R. 2.28. Definíció. Az F (x) = P (ξ < x) formulával meghatározott valós függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. 2.29. Tétel. Az F valós függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x) = 0, x 2. lim F (x) = 1, x 3. F (a) F (b), ha (a < b), azaz monoton növekvő, 4. lim F (x) = F (x 0), x 0 R, azaz balról folytonos. x x 0 0 2.30. Tétel. Legyen F a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a, b R, ekkor 1. P (a ξ < b) = F (b) F (a), 2. P (ξ = a) = F (a + 0) F (a). 2.31. Definíció. A ξ valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek ξ(ω) halmazának számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. 2.32. Megjegyzés. Diszkrét valószínűségi változó esetén a lehetséges értékek felírhatók egy sorozatként. 2.33. Definíció. Legyen a ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek sorozata x 1, x 2,.... A p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,... ) valószínűségek sorozatát eloszlásnak nevezzük. 2.34. Tétel. Ha p 1, p 2,... eloszlás, akkor p i 0 (i = 1, 2,... ) és p i = 1. 2.35. Definíció. Ha létezik f nemnegatív valós függvény, melyre i=1 F (x) = x f(t)dt, x R, akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény.

2.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ÉS JELLEMZÉSE 13 2.36. Megjegyzés. 1. A sűrűségfüggvény nem egyértelmű. 2. A sűrűségfüggvény létezése azt jelenti, hogy az F eloszlásfüggvény abszolút folytonos. 2.37. Tétel. Az f valós függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + f(t)dt = 1. 2.38. Definíció. A valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha létezik a sűrűségfüggvénye. 2.39. Tétel. Legyen a ξ folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel és a, b R, ekkor P (ξ = a) = 0, és P (a ξ < b) = 2.40. Definíció. b a f(x)dx. 1. Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges, azaz a lehetséges értékek x 1, x 2,..., x n és p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,..., n), akkor a n i=1 x i p i mennyiséget várható értéknek nevezzük. 2. Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek számossága megszámlálhatóan végtelen, azaz a lehetséges értékek x 1, x 2,..., és p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,... ), akkor a i=1 x i p i

14 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha x i p i < +. 3. Ha ξ folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel, akkor a mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha i=1 + xf(x)dx + x f(x)dx < +. A ξ valószínűségi változó várható értékének a jelölése: E(ξ). 2.41. Megjegyzés. A definícióban az abszolút konvergenciát, azért követeljük meg, hogy a várható érték egyértelmű legyen. A várható érték röviden Ω ξdp. 2.42. Példa. Legyen a ξ valószínűségi változó egy dobókockával dobott pontszám. Határozzuk meg a várható értékét! Megoldás: P (ξ = 1) = = P (ξ = 6) = 1 6, tehát E(ξ) = 6 kp (ξ = k) = k=1 6 k=1 k 1 6 = 21 6 = 3.5. 2.43. Példa. Legyenek a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei x n = ( 2)n, (n N), és P (ξ = n x n ) = 1. Határozzuk meg a várható értékét! 2n Megoldás: x n P (ξ = x n ) = ( 1) n 1 n. n=1 Ez viszont nem abszolút konvergens, így nem létezik a várható érték. 2.44. Példa. n=1

2.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ÉS JELLEMZÉSE 15 Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye 0, ha x 0, x F (x) = 2, ha 0 < x 5, 25 1, ha x > 5, Határozzuk meg a várható értékét! Megoldás: Létezik a sűrűségfüggvénye: 2x, ha 0 < x 5, f(x) = 25 0, egyébként. 0 E(ξ) = xf(x)dx = x 0dx + 5 0 x 2x 25 dx + 5 x 0dx = 0 + 10 3 + 0 = 10 3. 2.45. Tétel. 1. E(aξ + b) = ae(ξ) + b, a, b R. 2. Ha m ξ M, akkor m E(ξ) M. 2.46. Definíció. Legyen ξ valószínűségi változó és g valós függvény. Ha az η = g(ξ) függvény valószínűségi változó, akkor a ξ transzformáltjának nevezzük. 2.47. Megjegyzés. A transzformált eloszlásfüggvénye F η (y) = P ({ω g(ξ(ω)) < y}). 2.48. Tétel. Ha g differenciálható és g (x) 0, akkor ξ folytonos valószínűségi változó esetén η = g(ξ) folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f ξ (g 1 (y)) d f η (y) = dy g 1 (y), ha a < y < b, 0, egyébként, ahol a = min( lim g(x), lim g(x)), x x + b = max( lim g(x), lim g(x)). x x +

16 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.49. Tétel. Ha η = g(ξ) a ξ valószínűségi változó transzformáltja, akkor g(x i )P (ξ = x i ), E(η) = i=1 + g(x)f ξ (x)dx, ha ξ diszkrét, ha ξ és η folytonos. 2.50. Definíció. Az E((ξ E(ξ)) 2 ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Jele: D 2 (ξ). 2.51. Definíció. A E((ξ E(ξ)) 2 ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó szórásának nevezzük. Jele: D(ξ). 2.52. Definíció. Az E(ξ k ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó k-adik momentumának nevezzük. 2.53. Definíció. Az E((ξ E(ξ)) k ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó k-adik centrális momentumának nevezzük. 2.54. Tétel. 1. D(aξ + b) = a D(ξ), a, b R. 2. D 2 (ξ) = E(ξ 2 ) E 2 (ξ). 3. D 2 (ξ) = E((ξ a) 2 ) + (a E(ξ)) 2. 4. min a R E((ξ a)2 ) = D 2 (ξ), és ekkor a = E(ξ). 2.2.1. Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői 1. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS Legyen n N, A F, és végezzünk el egy n hosszúságú Bernoulli-kísérletsorozatot. Továbbá, legyen ξ az A esemény bekövetkezéseinek a száma. Ekkor ξ eloszlása ( ) n P (ξ = k) = p k q n k, (k = 0, 1,..., n), k ahol P (A) = p és q = 1 p, és a ξ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük. Jelölés: ξ B(n, p). 2.55. Tétel. E(ξ) = np, D 2 (ξ) = npq. 2.56. Megjegyzés.

2.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ÉS JELLEMZÉSE 17 A visszatevéses mintavétel binomiális eloszláshoz vezet. 2. POISSON-ELOSZLÁS Legyen λ > 0 rögzített konstans és λ = np n, ekkor lim n,λ=np n ( n k )p kn(1 p n ) n k = e λ λk, ahol k = 0, 1,.... k! A ξ valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük λ > 0 paraméterrel, ha eloszlása Jelölés: ξ P oisson(λ). P (ξ = k) = e 2.57. Tétel. E(ξ) = λ, D 2 (ξ) = λ. λ λk, ahol k = 0, 1,.... k! 3. GEOMETRIAI ELOSZLÁS A binomiális eloszlás bevezetésekor használt jelölések mellett a ξ valószínűségi változó jelentse az A esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát. A ξ eloszlása 2.58. Tétel. E(ξ) = 1 p, D2 (ξ) = q p 2. 2.59. Megjegyzés. P (ξ = k) = pq k 1, ahol k = 1, 2,.... A η = ξ 1 valószínűségi változót is szokás geometriai eloszlásúnak nevezni. Az η eloszlása P (η = k) = pq k, ahol k = 0, 1, 2,.... 2.60. Tétel. E(η) = q p, D2 (η) = q p 2. 2.61. Megjegyzés. Viszont és Tehát P (η = k + m η m) = P ({η = k + m} {η m}). P (η m) {η = k + m} {η m} = {η = k + m} P (η m) = pq m ( 1 + q + q 2 +... ) = pqm 1 q = qm. P (η = k + m η m) = pqm+k q m = pqk = P (η = k). Ezzel beláttuk a geometriai eloszlás emlékezet nélküli tulajdonságát.

18 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.2.2. Néhány folytonos eloszlás és jellemzői 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Legyen a, b R és a < b. A ξ egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye 1, ha a < x < b, f(x) = b a 0, egyébként. Jelölés: ξ U(a, b). Az eloszlásfüggvény 2.62. Tétel. E(ξ) = a + b 2, D2 (ξ) = 2.63. Megjegyzés. 0, ha x a, x a F (x) =, ha a < x b, b a 1, ha x > b. (b a)2. 12 Az egyenletes eloszlás adja a geometriai valószínűségi mező elméleti alapját. 2.64. Tétel. Ha F szigorúan monoton növő eloszlásfüggvény és ξ F eloszlású, akkor η = F (ξ) egyenletes eloszlású a [0, 1] intervallumon. Fordítva, ha ξ U(0, 1), akkor η = F 1 (ξ) éppen F eloszlású. 2. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS A ξ exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = Jelölés: ξ Exp(λ). Az eloszlásfüggvény F (x) = { λe λx, ha x 0, 0, egyébként. { 0, ha x 0, 1 e λx, ha x > 0. 2.65. Tétel. E(ξ) = 1 λ, D2 (ξ) = 1 λ 2.

2.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ÉS JELLEMZÉSE 19 Örökifjú tulajdonság: P (ξ a + b ξ a) = P (ξ b), ahol a > 0, b > 0. 3. NORMÁLIS ELOSZLÁS Legyen m R, σ > 0. Az η normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 ) ( σ 2π exp (x m)2, x R. 2σ 2 Jelölés: η N(m, σ 2 ). Ha m = 0 és σ = 1, akkor a valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölje a sűrűségfüggvényét ϕ és az eloszlásfüggvényét Φ. Ha ξ standard normális eloszlású, akkor az η = σξ + m valószínűségi változó F eloszlásfüggvényére jellemző, hogy ( ) x m F (x) = Φ. σ 2.66. Tétel. E(ξ) = m, D 2 (ξ) = σ 2. 2.67. Megjegyzés. 1. A ϕ függvény írja le a Gauss-görbét(harang görbét). 2. Φ(0) = 0.5. A standard normális eloszlásfüggvénye Φ(x) = x ) 1 exp ( u2 du, x R Φ( x) = 1 Φ(x). 2π 2 Ha ξ standard normális eloszlású, akkor az η = σξ + m (m R, σ > 0)valószínűségi változó F eloszlásfüggvényére jellemző, hogy ( ) x m F (x) = Φ. σ Néhány standard normális eloszlás érték: x p Φ(x p ) = p P (m x p σ < η < m + x p σ) 1 0.8413447460 0.682689492 1.96 0.9750021049 0.950004210 2 0.9772498680 0.954499736 3 0.9986501020 0.997300204 4 0.9999683288 0.999936658 6 0.9999999990 0.999999998.

20 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.68. Tétel. (Moivre-Laplace) Legyen a ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású n és p paraméterrel és 0 a < b n egész, akkor b ( ) n P (a ξ b) = p k q n k k k=a b np + 1 a np 1 Φ 2 Φ 2 npq npq. 4. WEIBULL ELOSZLÁS A Weibull-eloszlás paramétereire többféle elterjedt jelölésrendszer van. Az eltérő jelölések használatát egyértelműen magyarázza, hogy a Weibull-eloszlás igen széles körben, a legkülönfélébb tudományterületeken alkalmazták, valamint a paramétereknek sokféle meghatározási módja is ismeretes és az egyes megoldásoknál a változók átírása jelentős egyszerűsítéseket eredményez. Mi a következőkben az { 1 exp( x c ), ha x 0 F c (x) = 0, ha x < 0 jelölést alkalmazzuk a standard Weibull-eloszlás jelölésére. Ebből a lineáris transzformáltak eloszlása F c ( x a ). b Tehát ez az eloszláscsalád háromparaméteres, amelyből a c az ún. alakparaméter (típusparaméter). Viszont lényeges, hogy aszimmetrikus eloszlás. 2.69. Megjegyzés. Az eloszlás c = 1 esetén az exponenciális eloszlást, c = 2 a Rayleigh eloszlás adja, míg c = 3.57 közelében az eloszlás közel szimmetrikussá válik és jól közelíti a normális eloszlást. Megfelelő paraméter választással az is elérhető, hogy a Weibull- eloszlás jól közelítse a lognormális és Gamma-eloszlásokat. 5. GAMMA-ELOSZLÁS Legyen α > 0, λ > 0. Az ξ Gamma-eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye 1 f(x) = Γ(α) λα x α 1 e λx, ha x > 0, 0, ha x 0. Jelölés: ξ Gamma(α, λ).

2.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ ÉS JELLEMZÉSE 21 2.70. Tétel. E(ξ) = α λ, D2 (ξ) = α λ 2. 2.71. Megjegyzés. 1. Ha α = 1, akkor éppen az exponenciális eloszlást kapjuk. 2. Független exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege Gamma-eloszlás. 3. χ 2 n-eloszlás: α = n 2, λ = 1 2, azaz ξ Gamma( n 2, 1 2 ). 2.2.3. Nagy számok gyenge törvényei 2.72. Tétel. (nagy számok gyenge törvénye) Legyen ξ 1, ξ 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Létezik a szórásnégyzet. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P ξ ) 1 + + ξ n E(ξ 1 ) ε = 0. n + n 2.73. Megjegyzés. Legyen A esemény, P (A) = p, és S n az A esemény gyakorisága az első n kísérletből egy Bernoulli kísérletsorozatnál. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P S ) n n + n p ε = 0. S n B(n, p), így P ( S ) n n P (A) ε p(1 p) nε 2 1 4nε 2. 2.2.4. Centrális határeloszlás-tétel 2.74. Tétel. (centrális határeloszlás-tétel) Legyen ξ 1, ξ 2,... független, azonos eloszlású n valószínűségi változók sorozata és létezik az E(ξ i ) = µ és D 2 (ξ i ) = σ 2 > 0. Ha S n = ξ k, akkor ( lim P Sn nµ n + σ n ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. ) < x = Φ(x), x R, 2.75. Megjegyzés. Speciális esete a Moivre-Laplace tétel. k=1

22 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.3. Matematikai statisztikai alapok A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen fogalmazhatjuk meg: Következtetés tapasztalati adatokból események ismeretlen valószínűségeire vagy valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényeire és ezek paramétereire. (Vincze, 1975). Továbbá a matematikai statisztika feladata olyan módszerek kidolgozása, amelyek segítségével tapasztalati adatokból a keresett elméleti értékekre a lehető legtöbb információt nyerhetjük. De feladata maguknak a kísérleteknek a tervezése és számuk optimalizálása is. A statisztikai következtetés: a bekövetkezés esetlegessége. Csak a valószínűség ismert (átlagosság, az esetek 100p százaléka, relatív gyakoriság). Nem tudjuk megmondani, hogy bekövetkezik vagy nem. A matematikai statisztika főbb fejezetei: becsléselmélet (pont, intervallum), hipotézisvizsgálat, a mintavétel elmélete. 2.3.1. Minta, mintavétel Minthogy mind a hipotézisvizsgálat mind a becsléselmélet következtetései tapasztalati megfigyelések alapján történik, ezért a mintavétel elmélete a matematikai statisztika alapvető és egyben bevezető fejezetének tekinthető, amelynek egyes részei csak az elmélet különböző részei során tárgyalhatók. Pl. egy kísérlet tervezése már attól függ, hogy a kísérlet kimenetele alapján milyen becslési vagy hipotézisvizsgálati módszert alkalmazunk. 2.76. Definíció. Az (Ω, F, P) hármast statisztikai mezőnek nevezzük, ahol P = {P ϑ ϑ Θ R k }. 2.77. Megjegyzés. Feladat az igazi ϑ paraméterre való következtetés. Egy ξ valószínűségi változó kerül megfigyelésre, amelynek lehetséges értékei az X mintateret alkotják és ennek bizonyos részhalmazai a B σ-algebrát. A statisztikai mező generálja hozzá a valószínűségeket. Legyenek ezek P, ahol ha B B, akkor {ω ξ(ω) B} F, P ϑ(b) = P ϑ ({ω ξ(ω) B}). Tekinthetjük ezt is statisztikai mezőnek. Valójában a következtetés ξ-ről történik ϑ-ra. 2.78. Definíció. A ξ 1, ξ 2,..., ξ n valószínűségi változók összességet mintának nevezzük, ha azonos eloszlásúak.

2.3. MATEMATIKAI STATISZTIKAI ALAPOK 23 2.79. Megjegyzés. 1. Ha a valószínűségi változók függetlenek, azonos eloszlásúak, akkor független mintának nevezzük (a legfontosabb esetekben a minta ilyen lesz). 2. Gyakorlati követelmény: jellemezze az összeséget, ahonnan származik, továbbá minél több információ az ismeretlen eloszlásra. Hogyan biztosítható, hogy teljesüljön az azonos eloszlás, függetlenség, véletlenszerűség. 3. Megkövetelt nagyságrendek: (a) nagy minta (százas nagyságrend): elméleti érték becslése, (b) kis minta (4-30): statisztikai hipotézis ellenőrzése (a kísérlet költséges, sokszor kell elvégezni). 4. A mintavétel módszerei: (a) egyszerű véletlen; (b) kétfokozatú, többfokozatú, szekvenciális (részsokaságok monotonitása, csomagolás, költség); (c) rétegezett, csoportos (egylépéses, kétlépéses). 2.80. Definíció. Az x 1, x 2,..., x n tényleges mérési adatok összességet mintarealizációnak nevezzük. 2.3.2. A statisztikai minta jellemzői 2.81. Definíció. Legyen ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) X, ekkor t(ξ) statisztika, ha t mérhető függvény. 2.82. Megjegyzés. Statisztika a mintaelemek mérhető függvénye. A következőkben megadunk néhány használatos statisztikát: Átlag (mintaközép): ξ = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n n A minta elemeit sorba rendezzük. ξ 1 jelölje a legkisebbet. A rendezett minta: 2.83. Megjegyzés. ξ 1 ξ 2 ξ n. Ne felejtsük el, hogy függvények esetében pontonként kell alkalmaznunk a rendezést. 2.84. Definíció. Adott az F eloszlásfüggvény és a p valószínűség. Az x p p-kvantilis, ha p = F (x p ). Ha p = 0.5 mediánnak, míg 0.25 és 0.75 esetén alsó illetve felső kvartilisnek nevezzük.

24 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 2.85. Megjegyzés. Jelölje ξ p a p-kvantilis tapasztalati megfelelőjét, azaz ξ p = ξ[np]+1, ekkor aszimptotikusan ( ) 1 p(1 p) ξ p N x p,, f 2 (x p ) n ahol f az F -hez tartozó sűrűségfüggvény. A medián tapasztalati megfelelője ξ 1, ξ 2,..., ξ n esetén. ξm+1, ha n = 2m + 1, med{ξ i } = ξ m + ξm+1, ha n = 2m. 2 Medián abszolút eltérés: Mintaterjedelem: ξ n ξ 1. MAD{ξ i } = med{ ξ i med{ξ i } }. n i=1 Tapasztalati momentumok: n. Tapasztalati szórásnégyzet és korrigáltja: n (ξ i ξ ) 2 s n 2 = i=1 ξ k i, s n2 = n n (ξ i ξ ) 2 i=1. n 1 Szórási együttható: s n ξ (szórás nagysága az értékekhez képest, ξ > 0). Tapasztalati eloszlásfüggvény: 0, ha x ξ 1, Fn(x) k = n, ha ξ k < x ξ k+1 (k = 1, 2,..., n 1), 1, ha ξn < x. 2.86. Tétel. (Glivenko a matematikai statisztika alaptétele) Ha a ξ 1, ξ 2,..., ξ n független minta, akkor ( ) P lim sup Fn(x) F (x) = 0 = 1. n <x<+ 2.87. Megjegyzés. Még sokféle statisztika használatos. Ezek közül ki kell emelni a hisztogrammokat, amelyekkel itt most nem foglalkozunk.

2.4. EGYÉB MATEMATIKAI ALAPOK 25 2.4. Egyéb matematikai alapok 2.4.1. Halmazok A halmaznak és a halmaz elemének fogalmát csak axiomatikus módszerrel lehet definiálni, ezért szemléletünk alapjám ismertnek tekintjük a fogalmakat. Az a A azt jelöli, hogy a eleme az A halmaznak. A halmazt elemeinek, vagy elemei tulajdonságainak felsorolásával adjuk meg. 2.88. Definíció. Az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük, ha bármely a A esetén a B is igaz. Jele: A B. 2.89. Definíció. Az A halmaz egyenlő a B halmazzal, ha A-nak és B-nek ugyanazok az elemei. Jele: A = B. 2.90. Megjegyzés. A = B, akkor és csak akkor, ha A B és B A. 2.91. Definíció. Ha egy halmaznak nincs eleme üres halmaznak nevezzük. Jele:. 2.92. Definíció. Két halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Jele: A B, azaz A B = {x x A vagy x B}. 2.93. Definíció. Két halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek mindkét halmaznak elemei. Jele: A B, azaz A B = {x x A és x B}. 2.94. Definíció. Két halmaz különbségének nevezzük a kisebbítendő halmaznak azokat az elemeit, amelyek a kivonandónak nem elemei. Jele: A\B, azaz A\B = {x x A, de x B}. 2.95. Definíció. Ha B A, akkor az A\B halmazt a B halmaz A-ra vonatkozó komplementer halmazának (komplementerének) nevezzük. Jele: A B. 2.96. Megjegyzés. Ha egyértelmű, hogy a komplementer melyik halmazra vonatkozik, akkor egyszerűen a B jelölést használjuk. 2.97. Definíció. Az A és B halmazok diszjunktak, ha A B =. 2.98. Definíció. Az {(a, b) a A, b B} halmazt két halmaz Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele: A B. 2.99. Definíció. Relációnak nevezzük két halmaz Descartes-féle szorzatának egy részhalmazát.

26 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK Néhány egyszerű azonosság (műveleti tulajdonság): A B = B A, A B = B A, A = A, A B = A B, A B = A B, (De Morgan) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), n n B\A = B A, B\ A i = (B\A i ). 2.4.2. Kombinatorika A matematika azon területe, amely egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával illetve az elemek megszámlálásával foglalkozik. Legyen A = {a 1, a 2,..., a n }, B = {b 1, b 2,..., b m }, ahol A = n és B = m. Ekkor i=1 A B = n m. Ezt szokás a kombinatorika szorzási alapelvének tekinteni. Nyilvánvalóan i=1 max{n, m} A B n + m, amelyben a balodalon egyenlőség van, ha A B vagy B A. Míg a jobboldalon akkor van egyenlőség, ha A B =. Ezt szokás a kombinatorika összeadási alapelvének nevezni. Az A halmaz k szoros (k N) Descartes-szorzatát röviden A k -nal jelöljük. 2.100. Definíció. Ha x A k, akkor az x elemet az A halmazhoz tartozó n elem k ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük. 2.101. Megjegyzés. Másképpen az A halmazból k szor választunk visszatevéssel és a kihúzás sorrendje is számít. Az n elem k ad osztályú ismétléses variációinak a száma A k = n k a szorzási alapelv alapján. Legyen x ( A 2 \{(a, a) a A} ), ekkor x egy olyan rendezett pár, amelyben az elemek azonos halmazból vannak, de nem ismétlődhetnek. Ekkor A 2 \{(a, a) a A} = n 2 n = n(n 1).

2.4. EGYÉB MATEMATIKAI ALAPOK 27 2.102. Definíció. Ha x A k (k n) és az x elemei mind különbözőek, akkor az x elemet az A halmazhoz tartozó n elem k ad osztályú variációjának nevezzük. 2.103. Megjegyzés. Másképpen az A halmazból k szor választunk visszatevés nélkül és a kihúzás sorrendje is számít. Az n elem k ad osztályú variációinak a száma n (n 1) (n k + 1) a szorzási alapelv és az előző másod osztályú eset alapján. 2.104. Definíció. Ha k = n, akkor a variációt permutációnak nevezzük. 2.105. Megjegyzés. A permutáció lényegében az A halmaz elemeinek a felsorolása, egy sorrendje. Felfogható, mint egy g függvény, ahol g : A A-ra. A permutációk száma n (n 1) 1 = n!. 2.106. Definíció. Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazát n elem k ad osztályú kombinációjának nevezzük. 2.107. Megjegyzés. Másképpen az A halmazból k szor választunk visszatevés nélkül és a kihúzás sorrendje sem számít. Az n elem k ad osztályú kombinációinak a száma ( ) n(n 1) (n k + 1) n! n = k! k!(n k)! =, k hiszen k! darab olyan variáció van, amelyik ugyanazt az egy kombinációt adja. 2.108. Tétel. (binomiális) Ha a, b R és n N, akkor (a + b) n = n k=1 ( ) n a k b n k. k 2.109. Megjegyzés. n k=1 ( ) n = 2 n. k 2.110. Definíció. Ha egy n elemű halmazból visszatevéssel kiválasztunk k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, akkor azt n elem k ad osztályú ismétléses kombinációjának nevezzük. 2.111. Megjegyzés. Tekintsük a következő problémákat:

28 FEJEZET 2. MATEMATIKAI MODELLEK 1. Hány megoldása van az x 1 + x 2 + + x n = k egyenletnek, ha n, k N, és x i (i = 1, 2,..., n) nemnegatív egész? 2. Adott n darab doboz és k darab egyforma golyó. Hányféleképpen helyezhetjük el a golyókat a dobozokba, ha egy dobozba több golyó is kerülhet, és csak az számít, hogy egy dobozban a végén hány golyó van és az nem, hogy mikor került bele? 3. Van n + 1 darab egyforma pálcikánk és k darab egyforma karikánk. Helyezzük el a pálcikákat és a karikákat egy egyenesre úgy, hogy az első és az utolsó pálcika. Hányféleképpen lehetséges ez? Megoldás: Kezdjük a 3. problémával. Valójában n + k 1 darab (n 1 pálcika, k karika) elemet kell elhelyeznünk. Ha megadjuk a kraikák helyét, akkor a maradék helyeken lesznek a pálcikák. Az egyformaság pedig azt jelenti, hogy nem kell figyelnünk a sorrendre. Tehát az elhelyezések száma n + k 1 elem k ad osztályú kombinációinak a számával egyezik meg, azaz ( ) n + k 1. k Ha a 2. probléma esetén szorosan egymás mellé tesszük a dobozokat és kivesszük a dobozok alját, akkor n + 1 darab dobozfal vagy másképpen pálcika, s a 2. probléma megegyezik a 3. problémával. Jelölje a 2. problémában az i edik dobozba került golyók számát x i (i = 1, 2,..., n), ami azt jelenti, hogy minden dobozokba való elhelyezés megad egy megoldást az egyenlethez. Tekintsük át mégegyszer a 2. problémát. Minden golyó elhelyezésekor az n doboz egyikét választhatjuk és minden alkalommal ugyanazon az n doboz közül választunk. Tehát a k darab golyó elhelyezése n dobozba pontosan megegyezik n elem k ad osztályú ismétléses kombinációjával. 2.112. Definíció. Legyen 0 < α < esetén Ezt nevezzük Gamma-függvénynek. Γ(α + 1) = 2.113. Tétel. A Gamma-függvényre telejesül, hogy (1) Γ(α + 1) = αγ(α), (2) Γ(n + 1) = n!, ha n N, (3) ln Γ konvex a (0, ) intervallumon. 0 t α e t dt. 2.114. Megjegyzés. Néhány speciális érték Γ(1) = 1, Γ ( 1 2) = π.

29 3. Fejezet Életbiztosítás 3.1. Alapfogalmak, jelölések T élettartam (születéskor) F (t) = P (T t) eloszlásfüggvény (F (0) = 0, F (ω) = 1) F (t) = P (T > t) túlélésfüggvény f(t) = d t dt F (t) sűrűségfüggvény, F (t) = 0 f(s)ds. Feltételes valószínűségek, jelölések, összefüggések: P (T x + t T > x) = t q x, P (T > x + t T > x) = t p x, tp x + t q x = 1, tp 0 = F (t), Halálozási intenzitás: tq 0 = F (t). azaz µ(t) = lim h 0 P (T < t + h T > t) h F (t) = exp t = d ln F (t), dt µ(s)ds, 0

30 FEJEZET 3. ÉLETBIZTOSÍTÁS tp x = exp t 0 µ(x + s)ds. 3.2. Halandósági táblák A díjkalkuláció egyik legfontosabb eleme a halandósági tábla. Erre azért van szükség, mert azt nem tudjuk előre, hogy egy konkrét ügyfél hány évig fog még élni, de ha egy nagy számú közösséget vizsgálunk, ott már megfigyelhetők bizonyos törvényszerűségek. Megállapítható például, hogy egy x éves férfi esetében mekkora a valószínűsége annak, hogy bizonyos éven belül meghal. A halandósági tábláknak két csoportja van; az egyik az ún. néphalandósági tábla. Ez népszámlálási adatokon alapul, és a teljes lakosságra vonatkozik. A másik csoportot a szelekciós táblák képezik. Ezt a lakosság bizonyos csoportjainak adatai alapján készítik el, például foglalkozás, lakóhely, családi állapot stb. szerint. Jelölések: l 0 az alap populáció nagysága (általában 100000). l x az x kort túlélők száma (x itt egész). d x az elhalálozások száma x korban. Ha a táblázat nem determinisztikusnak tekintett, akkor ezek várható értékek. Gyakori, hogy x és (x + 1) között az eloszlást egyenletesnek tekintik. tp x = l x+t l x, tq x = l x l x+t l x. 1q x = l x l x+1 l x = q x. Részlet az 1990-es halandósági táblából: x l x d x q x e x 35 94077 381 0.00405 32.60 36 93696 412 0.00440 31.73 37 93284 445 0.00477 30.87 38 92839 479 0.00516 30.02 39 92360 518 0.00561 29.17 40 91842 562 0.00612 28.34

3.3. HALANDÓSÁGI MODELLEK 31 e x az adott korban a várható élettartam: e x = ω x 0 tp x dt = l x+1 + l x+2 + l x+3 +... l x. 3.3. Halandósági modellek Szokásos modellek, példák: 1. Exponenciális µ(t) = λ, F (t) = e λt. 2. Weibull µ(t) = βα β t β 1, (α > 0, β > 0), ( ( )) t β F (t) = exp. α 3. Gompertz-Makeham µ(t) = α + βe γt, (α > 0, β > 0), ( ) F (t) = exp αt β eγt 1. γ 3.1. Példa. Az 1982-es dániai halandósági táblát jól közelíti, ha α =5 10 4 β =7.5858 10 5 γ = ln(1.09144).

32 FEJEZET 4. NEMÉLETBIZTOSÍTÁS 4. Fejezet Neméletbiztosítás 4.1. Kockázati modellek Egyedi kockázati modell: S = X 1 + X 2 +... X n. X i a kár nagyságát jelöli. Ha n elég nagy és teljesülnek a centrális határeloszlás-tétel feltételei, akkor alkalmazható a normális eloszlás, egyébként valószínűségi változók összegének (konvolúció) eloszlását kell meghatározni, ami általában nem könnyű. Kollektív kockázati modell: S = X 1 + X 2 +... X N. X i a kár nagyságát, míg N a gyakoriságot (darabszám) jelöli. Általában feltehető, hogy X i és N független, ekkor E(S) = E(N)E(X 1 ), ha az X i valószínűségi változók azonos eloszlásúak. Továbbá, D 2 (S) = E 2 (X 1 )D 2 (N) + E(N)D 2 (X 1 ). Gyakorisági (kárszám) modellek: Poisson-eloszlás, binomiális eloszlás, negatív binomiális eloszlás. Ez utóbbi speciális esete a geometriai (Pascal) eloszlás. NEGATÍV BINOMIÁLIS ELOSZLÁS: ( ) α + k 1 P (N = k) = q k (1 q) α, k = 0, 1, 2,..., k ahol 0 < q < 1, α > 0. Ha α = 1 a geometriai eloszlást kapjuk. P (N = k) = Γ(α + k) Γk + 1Γ(α) qk (1 q) α.

4.1. KOCKÁZATI MODELLEK 33 Kárnagyság modellek: lognormális eloszlás, Pareto-eloszlás, Γ-eloszlás, exponenciálisok keveréke. Irodalom szerint: tűzkár (lognormális, Pareto, exponenciálisok keveréke), gépkocsi töréskár (Γ-eloszlás), betegség időtartama (csonkított lognormális, exponenciálisok keveréke). LOGNORMÁLIS ELOSZLÁS: f(x) = 1 σx 2π exp ( ) (ln x m)2, σ > 0, x > 0. 2σ 2 PARETO-ELOSZLÁS: f(x) = αβα, α > 0, x > β > 0. xα+1 EXPONENCIÁLISOK KEVERÉKE: f(x) = pαe αx + (1 p)βe βx, α > 0, β > 0, 0 p 1, x > 0. Kollektív kockázati modell hosszútávra: U(t) = u + ct S(t), ahol u a kezdeti többlet (tőke), ct a biztosításidíj befizetés és S(t) az aggregált kárösszeg.

34 FEJEZET 5. DÍJSZÁMÍTÁSI ELVEK 5. Fejezet Díjszámítási elvek A biztosítások díja általában három részből tevődik össze: kockázati díjrész, biztonsági pótlék, vállalkozói díjrész. Az életbiztosítások díja két részből áll: kockázati díjrész, vállalkozói díjrész. A kockázati díjrészt nettó díjnak szokták nevezni, a kockázati díjrész és a vállalkozói díjrész összegét bruttó díjnak. A kockázati díjrész szolgál a vállalt kockázatok fedezetéül, a biztosító ebből a díjrészből felhalmozott forrásokból fizeti ki biztosítási esemény bekövetkezésekor (halál, elérés) a biztosítási szerződésben vállalt szolgáltatásokat. Mivel azonban az életbiztosítások esetében a káralakulás igen nagy biztonsággal meghatározható, ezért életbiztosítások esetében nem szoktak biztonsági pótlékot kalkulálni. A vállalkozói díjrész a biztosító költségeit kell hogy fedezze, a biztosítót mint vállalkozót illeti meg, aki a pénzét befekteti a gazdaságba. A biztosítási díj kalkulációját bizonyos alapadatok felhasználásával és a valószínűségszámítás törvényszerűségeire építve a biztosításmatematikusok (aktuáriusok) végzik. A díjkalkuláció alapelve az ún. ekvivalencia elv, amely így szól: a bevételek jelenértékének várható értéke egyenlő a kiadások jelenértékének várható értékével, azaz π(x) = E(X), ahol X a követelést jelöli és valószínűségi változó. A fenti képletben a várható érték fogalom azt jelenti, hogy nagy számú, azonos paraméterekkel rendelkező szerződésre érvényes, hogy a bevételek jelenértékének meg kell egyeznie a kiadások jelenértékével. A jelenérték kifejezés a képletben azért fontos, mert az ajánlat felvételekor meghatározott biztosítási összeg kifizetése egy távoli, nem pontosan meghatározott időben következik majd be, az ennek megfelelő díjat pedig már az ajánlatfelvételkor ismerni kell. Egyszerűbben: az azonos típusú életbiztosítások jelenleg fizetendő biztosítási díját úgy kell meghatározni, hogy a befizetett díjak fedezetet nyújtsanak a jövőben kifizetésre kerülő biztosítási szolgáltatásokra. Az ekvivalencia elvet kifejező egyenletben a bevételek és a kiadások jelenértékre vetítve szerepelnek, mert a bevételek ( a díjak befizetése) különböző időpontokban jelentkeznek és a kiadások sem mind egyidejűleg merülnek fel. A különböző időpontban jelentkező pénzeket így csak akkor lehet összehasonlítani, ha egységesen mérjük őket. Ennek számszerűsítéséhez a jelenérték számítás módszerét kell alkalmazni.

35 A jelenérték kiszámításához el kell dönteni, hogy a diszkontálást milyen kamatlábon végezzük. Ez a kamatláb az ún. technikai kamatláb. Ez egy olyan, a biztosító által választott és rögzített kamatláb, melyet minden biztosító alkalmaz a díjkalkulációnál és a tartalékszámításnál. A technikai kamatláb megválasztásánál azt kell figyelembe venni, hogy csak olyan kamatlábbal kalkulálhat a biztosító, amelyet hosszú távú szerződéseinél is biztosnak tekinthet. Technikai kamatláb az ügyfél részére ez egyben garantált hozamot is jelent. A biztosító garantálja, hogy a díjtartalék befektetésével legalább ekkora hozamot ér el, s juttat vissza a szerződőnek, még abban az esetben is, ha a biztosító befektetései nem érnék el ezt a hozamszintet. Az életbiztosítók nagyságát és piaci erejét a díjbevétel mellett elsősorban a díjtartalék nagyságával szokták jellemezni. A díjtartalék az ügyfél által fizetett díjakból a későbbi kifizetésekre (elérés, halál) felhalmozott pénzösszeg. A díjtartalék nem egyenlő az ügyfél által befizetett díjak összegével. A díjtartalék másképp alakul a tiszta kockázati és a tőkerésszel rendelkező biztosításokq-nál, ezért külön kell vizsgálni a két esetet. A biztosító úgy számolja ki a kockázati életbiztosítás díját, hogy (ha az ügyfél nem végez értékkövetést) az ügyfél minden évben ugyanannyi díjat fizessen. Az első években az alacsonyabb kor miatt a kockázat jóval kisebb, mint a tartam vége felé. Ezáltal a tartam elején befizetett díjak nagyobbak lesznek, mint azt a kockázat indokolná, a tartam végén pedig kisebbek. A tartam elején jelentkező relatív díjtöbblet miatt jelentkezik a kockázati biztosítás díjtartaléka. A tényleges és szükséges díj különbsége az első években a díjtartalékba kerül, amiből azután folyamatosan pótolják a későbbi években felmerülő hiányt. Az elérési életbiztosításoknál a tartam alatt fokozatosan jöjjön létre az a pénzösszeg, amelyet lejáratkor biztosítási összegként a biztosító köteles kifizetni az ügyfélnek. Az elérési biztosítás díjtartaléka a befizetett díjak elérési szolgáltatásra szánt díjrészei révén folyamatosan nő, hasonlóan mint egy kamatozó bankbetét, azzal a különbséggel, hogy a növekedés üteme gyorsabb a díjtartalék esetében (mert a tartam folyamán meghaltak pénze is növeli a még élők számláján lévő díjtartalékot). T artam elején a díjtartalék értéke 0, tartam végén egyenlő a biztosítási összeggel. A díjtartalék növekedésének három forrása van: a rendszeresen beérkező díj, a díjtartalék hozama (a technikai kamat mértékéig) és a tartam közben elhunytak díjtartalékának egy része. Azt, hogy egy adott pillanatban mekkora lesz a díjtartalék, kamatos kamatszámítással nem lehet megállapítani. A vegyes életbiztosítás díjtartaléka felfogható úgy is, mint egy kockázati és egy elérési biztosítás díjtartalékának az összege. A vegyes életbiztosítás díjtartalékának nagyságára az elérési biztosításnál említett tényezőkön túl még az is hatással van, hogy a tartam folyamán történő haláleseti kifizetéseket is a díjtartalékból fedezik.

36 FEJEZET 5. DÍJSZÁMÍTÁSI ELVEK A díjfüggvénytől megkövetelt tulajdonságok: 1. Nemnegatív terhelés: 2. Maximális veszteség: 3. Monotonitás: 4. Szubadditivitás: π(x) E(X). X m π(x) m. X Y π(x) π(y ). π(x + Y ) π(x) + π(y ). Díjszámítási elvek és tulajdonságaik: 1. Várható érték elv: π(x) = (1 + a)e(x), (a > 0). Teljesül a nemnegatív terhelés, a monotonitás, a szubadditivitás és nem teljesül a maximális veszteség tulajdonsága. 2. Szórás elv: π(x) = E(X) + ad(x), (a > 0), ahol D(X) a szórás. Teljesül a nemnegatív terhelés, a szubadditivitás és nem teljesül a maximális veszteség, a monotonitás tulajdonsága. Jól alkalmazható a centrális határeloszlás-tétel alapján a normális eloszlás. 3. Szórásnégyzet elv: π(x) = E(X) + ad 2 (X), (a > 0). Teljesül a nemnegatív terhelés és nem teljesül a maximális veszteség, a monotonitás, a szubadditivitás tulajdonsága. 4. Exponenciális elv: π(x) = 1 a ln E ( e ax), (a > 0). 5. Esscher elv: 6. Kvantilis: π(x) = E ( Xe ax) E (e ax ). π(x) = (min{m P (X > m) a}.

37 6. Fejezet Kamatláb, jelenérték 6.1. Bevezetés 6.1.1. Kamatláb (rate of interest) P tőke (principal) r kamatláb Kamatos kamat (compound interest) P + rp = P (1 + r) 6.1. Megjegyzés. 1. Félévenkénti. 2. Havi 3. P 1 az évvégi tőke. Effektív kamatláb: Folytonos kamatos kamat: r eff = P 1 P P P lim (1 + r ) n = P e r. n n 6.2. Megjegyzés. Duplázási szabály. r = 0.01 (n 70), 0.02 (35), 0.07 (10). n ln(2). r 6.1.2. Jelenérték (present value) Kölcsön felvétel és adás esetén a kamatláb r és a kamatos kamat periódikusan. Mennyi a jelenlegi értéke i periódus (időtartam) után a v kifizetésnek (összeg)? P V = v(1 + r) i.

38 FEJEZET 6. KAMATLÁB, JELENÉRTÉK Legyen a = (a 0, a 1,..., a n ) és b = (b 0, b 1,..., b n ) kifizetési sorozatok. Tegyük fel, hogy P V (a) = n a i (1 + r) i i=0 n b i (1 + r) i = P V (b). i=0 Kérdés: Milyenek legyenek a kifizetési sorozatok? 6.3. Példa. Adottak a következő kifizetési sorozatok. A. 12, 14, 16, 18, 20; (80) B. 16, 16, 15, 15, 15; (77) C. 20, 16, 14, 12, 10; (72) JELENÉRTÉK TÁBLÁZAT r A B C 0.1 59.21 58.60 56.33 0.2 45.70 46.39 45.69 0.3 36.49 37.89 38.12 Jelzálog kölcsön (mortgage loan): L az összeg (amount) n a hónapok száma A havi törlesztés r kamatláb A jelenérték: A 1 + r + A (1 + r) 2 + + A (1 + r) n = A r [ 1 (1 + r) n ] = L. 6.4. Megjegyzés. 1. Számítsuk ki a j-edik hónap után maradó jelzálog összeget! 2. Mennyivel csökken a j-edik hónapban a jelzálog? Legyen b = (b 1,..., b n ) és c = (c 1,..., c n ) pénz kifizetési sorozatok és r a kamatláb. Milyen feltételek mellett teljesül minden pozitív r kamatláb esetén, hogy P V (b) = Elégséges feltételek: n b i (1 + r) i i=1 n c i (1 + r) i = P V (c)? i=1

6.1. BEVEZETÉS 39 1. b i c i, (i = 1, 2,..., n). 2. Legyen i B i = b j és C i = j=1 i c j, ha (i = 1, 2,..., n). Ekkor elegendő B i C i, (i = 1, 2,..., n). 3. Ha B n C n, akkor elegendő, hogy k k B i C i, ha (k = 1, 2,..., n). i=1 i=1 6.5. Megjegyzés. Bizonyítás a Descartes-féle előjelszabály alapján. j=1 Legyen a i = b i+1 c i+1, (i = 0, 1,..., n 1). 1. a i 0, (i = 0, 1,..., n 1). k 1 n 1 2. a i = B k C k 0, (k = 1,..., n). Legyen a n = a i, és P (x) = a 0 + a 1 x + i=0 + a n x n. Ekkor P (1) = 0, és a P (x) = [a 0 + (a 0 + a 1 )x + + (a 0 + a 1 + + a n 1 )x n 1 ](1 x). Továbbá, a P (x) polinomnak csak egy pozitív zérushelye van, és P (x) elöjele megegyezik (1 x) előjelével. Tehát i=0 a 0 + a 1 x + + a n x n > 0, ha 0 < x < 1, n 1 a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 > a i x n = x n (B n C n ) 0. i=0 Legyen x = 1. Tehát ha 0 < x < 1, akkor r > 0. 1 + r 3. Felhasználva az előzetes jelöléseket legyen k 1 a i = A k 1 = B k C k, i=0 A feltételek szerint A n 1 0, és (k = 1,..., n). k A k 0, (k = 0, 1,..., n 1). Alkalmazzuk az előző i=0 bizonyítást az A k (k = 0, 1,..., n 1) esetre. Ekkor azt kapjuk, hogy A 0 + A 1 x + + A n 1 x n 1 0, ha 0 < x < 1. (A 0 + A 1 x + + A n 1 x n 1 )(1 x) 0, ha 0 < x < 1. a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1 A n 1 x n 0, ha 0 < x < 1.