Fizika Mechanika óai felaatok megolása 5. hét Síkbeli polákooináta-enszeben a test helyvektoa, sebessége és gyosulása általános esetben: = e Ha a test köpályán mozog, akko = konst., tehát sebessége : éintő iányú, nagysága, ahol a szögsebesség [s ]; gyosulása, aminek sugá (aiális) iányú komponense, a centipetális gyosulás a sebességvekto iányának változását okozza, ez a köpálya közepe felé mutat és nagysága a cp = = v / = v ; éintő (tangenciális) iányú komponense a sebességvekto nagyságának változását okozza, nagysága, ahol a szöggyosulás [s ]. Ha a t és v egy iányúak, akko a test (szög)sebessége nő, ha ellentétesek, akko csökken. Kömozgás esetén a teste ható eőket sugá iányú, éintő iányú és a köpálya síkjáa meőleges komponenseke bontjuk (hengekooináta-ensze). Ha a t =, akko a test egyenletes kömozgást végez. (a cp = nem lehetséges, met az azt jelentené, hogy a test egyenes vonalú mozgást végez.) Vízszintes síkban fekvő köpálya esetén a nehézségi eő (ill. fee felület esetén a megfelelő komponense) meőleges a köpálya síkjáa, a kényszeeő (felület, kötél, ú) ellensúlyozza. Függőleges síkban fekvő köpálya esetén viszont a nehézségi eőnek van tangenciális komponense (kivéve az alsó és a felső pontot) a sebesség nagysága változik (hacsak nincs egyéb tangenciális eő pl. súlóás, e az alábbi felaatokban ilyennel nem találkozunk). 5/. Asztalon m =,5 kg-os golyót l =,5 m-es fonálon v = 5 m/s kezősebességgel meglökünk úgy, hogy a kezősebesség meőleges a fonála. Mekkoa lesz s múlva a golyó sebessége és a fonáleő? A csúszási súlóási együttható =,. A test mozgásegyenlete ma = + + F f + F s, komponensei a köpálya síkjáa meőlegesen: ma = Fny Fny = ; sugá iányban a fonáleő a kö középpontja felé mutat: macp = Ff ; éintő iányban a súlóási eő a sebességgel ellentétes iányba mutat: mat = Fs = Fny=. Utóbbiból at = g = konst. v(t) = v g t ; behelyettesítve v() = 5, m/s ; a fonáleő peig F m m, behelyettesítve F f =,5 /,5 = N. Megjegyzés: itt nincs ételme negatív sebességnek, a v(t) = v g t függvény csak v= -ig évényes! Onnantól a teste ható eők eeője zéus. 5/. Egy = cm sugaú gömb belsejében a sugá fele magasságában elhelyezkeő vízszintes síkban egy golyó keing. Számítsuk ki a keingési iőt! 5 /
Mivel a teste éintő iányú eő nem hat, ezét állanó sebességgel keing. A (függőleges) nehézségi eő és a (gömb aott pontbeli éintősíkjáa meőleges, tehát a gömb középpontja felé mutató) nyomóeő eeője vízszintes kell legyen (különben a pálya nem vízszintes lenne), ez aja a test centipetális gyosulását: + = F e = ma = ma cp, Legyen a nyomóeőnek a függőlegessel bezát szöge. Az eőket felajzolva látható, hogy F e = tg. Vagy megkaphatjuk ugyanezt a mozgásegyenlet függőleges: = cos és sugá iányú: ma cp = sin komponenseiből kifejezve: = /cos, ma cp = sin/cos. Másészt ma cp = m, ahol = /T (T a peióusiő), és a köpálya sugaa (a keingés síkjában): = sin. Tehát F e = m = m ( sin) = tg = g/( cos) A geometiai feltételekből látható, hogy cos = (/) / = ½, tehát = 6 T,4443 s. Egyéb keesztmetszetű vályúka (paabola, stb.) l. a gyakoló és zh felaatokat! F e =ma cp / = / / 5/3. Egy köhinta kúp alakú, az alapköének sugaa = 3 m, a közepén a magassága h =, m. a) Milyen foulatszámnál kezenek el a köhinta ülései emelkeni? b) Mekkoa ekko a kötéleő, ha a benne ülő gyeek tömege az üléssel együtt 36 kg? h h F k A test (gyeek+ülés) mozgásegyenlete vektoi alakban: ma = + F k + Mivel a test vízszintes síkban keing köpályán (azokat a foulatszámokat vizsgálva, amiko még nem emelkeik el az ülés a kúpos észől), a gyosulása a vízszintes síkú köpálya közepe felé mutató centipetális gyosulás. Az eőket sugá iányú és függőleges komponenseke bontva tehát ma cp = F k cos sin (I.) = F k sin + cos (II.) (Az éintő iányú gyosulást figyelmen kívül hagyjuk, met nem azt vizsgáljuk, hogy a foulatszám fokozatosan nő, hanem különböző állanó szögsebességű állapotokat hasonlítunk össze.) 5 /
a) Előszö vizsgáljuk meg általánosan: fejezzük ki a nyomóeőt a foulatszám függvényében! a (II.) egyenletből F k = ( cos) / sin, ezt behelyettesítve az (I.) egyenletbe ma cp = ( cos) cos / sin sin = / tg / sin. Mivel ma cp = m = m(f), ezét m(f) = / tg / sin = cos m(f) sin. Látható, hogy a nyomóeő a nyugalmi cos étékől az f foulatszám növelésével csökken. Az ülések akko kezenek el emelkeni, amiko a = : cos m(f kit ) sin =, behelyettesítve f kit,3393 s. Jelen esetben elég lett volna az elemelkeés pillanatát ( =) vizsgálni, ekko a mozgásegyenletek ma cp = F k cos = F k sin A másoikból F k = / sin, ezt beíva az elsőbe m(f kit ) = (/sin) cos stb. b) A (II.) egyenletből = esetén: F k = / sin 68,8 N. (Bonyolultabb megolás, ha kifejezzük a kötéleőt a foulatszám függvényében: F k = = sin + m cos (f), maj behelyettesítjük f kit étékét.) 5/4. Függőleges síkban köpályán halaó epülőgép sebessége 8 km/h. a) Mekkoa legyen a köpálya sugaa, hogy a legfelső pontban a pilóta súlytalan legyen? b) És mekkoa legyen a köpálya sugaa, ha azt szeetnénk eléni, hogy a pilóta g gyosulást éezzen a talpa felé? A b) esetben a pilóta azt látná, hogy amit elenge, a lába felé esik; ha vizet önt, akko az a lába felé folyik, és meg is tuja inni a pohából, ahogy ezt az alábbi vieón is lehet látni: https://www.youtube.com/watch?v=g99ho_exapu v = 8 km/h = 3 m/s x x a) A legfelső pontban a pilótáa csak a nehézségi eő hat, mivel súlytalan, azaz a epülőgép nem hat á nyomóeővel: ma = A gyosulása a köpálya középpontja felé mutató centipetális gyosulás, tehát = ma cp = mv / = v /g = 9 m. b) A legfelső pontban a epülőgép függőlegesen lefelé nyomja a pilótát (fejjel lefelé ül a gépben). ma = + Mivel a nyomóeő éppen nagyságú: + = = ma cp = mv / = v /g = 45 m. 5/5. Az hajlásszögű egyenes lejtő éintő iányban csatlakozik az sugaú köív keesztmetszetű vályúhoz. A súlóás elhanyagolható. Egy testet kezősebesség nélkül elengeünk a lejtő H magasságú pontjából. Ajuk meg a teste ható nyomóeőt tetszőleges kiinulási H magasság esetén a z kooináta függvényében a vályú jobb olali (kéke színezett) észée! 5 / 3 H z
ma = + éintő iányú: ma t = m = cos sugá iányú: ma cp = m = ± sin A centipetális gyosulást az sugáiányú komponensének és a nyomóeőnek az eeője aja, ebből tehát ki tujuk fejezni a nyomóeőt, ha ismejük a centipetális gyosulást az aott pontban, amihez szükség van a (szög)sebesség helyfüggésée. Elvileg a fenti iffeenciálegyenlet-ensze megolása a (t) és az (t) függvény, amiből előállítható az ( ) függvény ez azonban most így nem lenne megolható, e közvetlenül az ( ) függvényt meg tunánk hatáozni (l. az 5/4. felaatot). Viszont mivel a súlóás elhanyagolható, egyszeűbben ki tujuk fejezni a sebességet enegia-megmaaást felíva a magassággal: H = z + ½ mv v = g(h z) A v(z) függvény ismeetében peig a sugá iányú egyenletből kifejezhető (z). z z H H Az alsó íven ma cp = sin, és itt sin = ( z)/, tehát ma cp = ( z)/ = + (z )/ A felső íven ma cp = + sin, és itt sin = (z )/, tehát ma cp = + (z )/ Tehát attól függetlenül, hogy a test az alsó vagy felső íven van és az sugáiányú komponense befelé vagy kifelé mutat, ma cp kifejezése megegyezik. (Mivel -nek a sugáiányú vetületée van szükségünk, felíhatjuk az és az e egységvekto skalászozatát, abból is megkaphatjuk ezt.) -t kifejezve ma cp -vel és abba a fenti v -et behelyettesítve = ma cp (z )/ = mv / (z )/ = (H z)/ (z )/ = (H 3z+)/ ( =, ha z = (H+)/3, annál feljebb tehát nem jut el a test a vályúban, elválik a falától.) Gyakoló felaatok a záthelyie 5/6. Köpályán egyenletesen lassuló mozgással mozgó anyagi pont egy félkö megtétele közben elveszti sebessége felét. Hol áll meg? konst. t, t / t előszö t iő alatt a sebessége a felée csökken: (t ) = t = / () és megtesz egy félköt, azaz (t ) = t ½ t = () maj további t iő alatt a sebessége /-ől nulláa csökken: (t ) = / t = (3) ()-ből t = /( ), (3)-ból t = t, ()-ből = 3/(8), amivel (t ) = /t ½ t = /3, azaz még egy hato köt tesz meg. 5 / 4
5/7. Egy szögsebességgel fogó vízszintes koongon egy m tömegű anyagi pont helyezkeik el. A tapaási súlóási tényező t. Milyen sugáon belül maa a koonghoz képest nyugalomban a fenti tömegpont? Mivel F t = ma cp = m és F t t, m t t /. 5/8. Milyen szöggel kell az = 5 m sugaú kanyaban az úttestet megönteni, ha a ajta halaó autók sebessége 7 km/h? A cél az, hogy ónos esőben (amiko =) se csússzanak meg olaliányban az autók. A nehézségi eő és a (lejtő síkjáa meőleges) nyomóeő eeője vízszintesen a köpálya közepe felé mutat és a test centipetális gyosulását aja. Az eőket felajzolva látható, hogy ma cp = tg, azaz ma cp = mv / = tg tg = v / (g) =,8 38,66. 5/9. (DS. 6.9, volt Bevezető fizikán) Kúpinga hossza l, a kúpszög. Mekkoa a keingési iő? F k x ma cp A nehézségi eő és a kötéliányú húzóeő eeője vízszintesen a köpálya közepe felé mutat és a test centipetális gyosulását aja. Az eőket felajzolva látható, hogy ma cp = tg, másészt ma cp = m. A köpálya sugaa = sin. Tehát ma cp = m = m sin = tg g cos T T cos g 5/. Félgömbben a sugá egynegyeénél ill. háomnegyeénél keing egy-egy golyó, vízszintes síkban, súlóás nélkül. Mennyi a keingési iők aánya? 5/. Az y = (,5cm )x egyenletű paabola y tengely köüli fogatásával nyet paaboloi belsejében az y = cm és az y = 4,5 cm magasan elhelyezkeő síkokban két golyó keing. a) Milyen sebességgel keingenek? b) Mennyi iő alatt tesznek meg egy foulatot? 5 / 5
y a) A nehézségi eő és a fogási paaboloi aott pontbeli éintősíkjáa meőleges nyomóeő eeője vízszintesen a köpálya közepe felé mutat és a test centipetális gyosulását aja. F A métékegységek miatt íjuk fel a paabola egyenletét ny úgy, hogy bevezetünk egy a paamétet: y = ax, és tujuk, hogy a =,5 cm = x. Behelyettesítésko ma cp ee figyelni kell; legegyszeűbb cm-ben számolni, e akko g-t is át kell számolni cm/s -be: g = cm/s. x A paabola éintője y/x, ahol tehát y/x = (ax )/x = ax, vagyis az éintőnek az x = y/x = ax. Az eőket felajzolva látható, hogy ma cp = tg ; másészt ma cp = mv /. A köpálya sugaa minig az aott y magasság felhasználásával a paabola egyenletéből visszaszámolható x éték, azaz x = cm, x = 3 cm. Ezekből ma cp = mv / = mv /x = tg = ax v = ax g v 63, cm/s, v 94,9 cm/s. b) = v/ = v/x = g = /T T = / g, s a keingés helyétől függetlenül. 5/. Egy sugaú félgömb peemétől súlóásmentesen legöülő m tömegű golyó mekkoa eővel nyomja a félgömb fenekét? A köpálya alsó pontján a félgömbe meőleges, függőlegesen felfelé mutató nyomóeő és a függőlegesen lefelé mutató nehézségi eő eeője felfelé mutat a köpálya közepe felé: ma cp = G = G + ma cp = + mv / A sebességet kiszámíthatjuk az enegia-megmaaásból (a súlóás elhanyagolható): = ½ mv v = g Tehát = + mv / = + = 3 5/3. Fee lejtő átmegy függőleges köpályába. A lejtőn legalább milyen magasságból kell a testet elengeni, ha azt akajuk, hogy végigmenjen a köpályán (a legfelső pontnál se váljon el)? A súlóás elhanyagolható. Mekkoa nyomóeő hat a teste a köpálya legalsó pontján? A köpálya legfelső pontján a pálya által a teste kifejtett nyomóeő függőlegesen lefelé mutat, így ma cp = + = ma cp = mv /. A nyomóeő nem lehet negatív: : mv / v g. ezt beíva a v g feltételbe g(h ) g h 5/. 5 / 6
A köpálya legalsó pontján a pálya által a teste kifejtett nyomóeő függőlegesen felfelé mutat, így ma cp = = ma cp + = m v lent / +. A sebesség az enegia-megmaaásból kifejezve: h = ½ m v lent v lent = gh, és ezt a nyomóeőbe beíva = h/ +. Mivel h 5/, ezét (5/) + = 6. A nyomóeő a legalsó ponton 6, tehát a test gyosulása legalább 6g! (Hullámvasút!) 5/4. sugaú félgömb tetejéől (A pont) súlóásmentesen csúszik le egy golyó. a) Íjuk fel a golyó mozgásegyenletét! Bontsuk fel a golyóa ható eőket és a gyosulást éintőleges és aiális komponenseke! b) Mekkoa a golyó szögsebessége a B pontnál? c) Mekkoa eővel nyomja a golyó a gömböt a B pontnál? ) A golyó a C pontnál hagyja el a gömböt. Mekkoa az szög? e) Mennyi a golyó sebessége a C pontnál? f) A golyó a D pontnál é fölet. Milyen távol van a D pont a félgömbtől? A B C D. a) A golyótól a félgömb középpontjához húzott sugának a függőlegessel bezát szöge, a szögsebesség tehát. A golyó mozgásegyenlete vektoi alakban: ma = +. Bontsuk fel a nehézségi eőt tangenciális és aiális komponense, és íjuk fel a test gyosulását polákooináta-enszeben: tangenciális komponens: ma t = m /t = sin () aiális komponens: ma cp = m = cos () b) Szükségünk lesz az () függvénye. Ezt kétféleképpen kaphatjuk meg: A iffeenciálegyenlet-ensze megolásával: EZT A MEGOLDÁST NEM KELL TUDNI ZH-N! Az () egyenlet átalakításával az szögsebesség iőfüggése ( /t) helyett nézhetjük a szögsebességnek az szögtől való függését ( /): m m m sin. t t Ezt szepaáljuk és integáljuk: g sin g( cos ) / = g ( cos ). Ugyanezt kifejezhetjük az enegia-megmaaásból is: 5 / 7
a golyó magasságban zéus sebességgel inul, és cos magasságban v = sebessége van: = cos + ½ m ( ) g( cos ) c) A () egyenletből = cos m. Az előbb kifejeztük -t az függvényében, helyettesítsük be ie: = cos ( cos) = (3 cos ). ) A golyó akko hagyja el a gömböt, amiko =, azaz cos = /3 48,. e) A golyó sebességének nagysága a C pontban v = ( ) = g ( cos ) = g /3,58, iánya peig az éintő iánya, azaz v = cos g ( cos ) i sin g ( cos ) k,7 i,9 k. f) Ha a félgömb középpontjába helyezzük az oigót, a golyó az = ( sin ) i + cos k,745 i +,667 k pontból inul (C pont). Tehát z(t) =,667,9 t ½ gt. z =, ha t,. és ekko x(t ) =,745 +,7 t =,, azaz a félgömbtől, távolsága é fölet a golyó. 5/5. Az egyenes lejtő éintőként csatlakozik a kö keesztmetszetű függőleges vályúhoz. A lejtőn h magasságból kezősebesség nélkül elinul egy test. Ajuk meg azt a z(h) függvényt, ami leíja, hogy a h magasság függvényében milyen z magasságban fog elválni a test a köpályától! Ábázoljuk is a függvényt (ügyelve az ételmezési tatománya)! A test súlóás nélkül csúszik. h G z- z A teste hat a G nehézségi eő és a vályú falától számazó nyomóeő, tehát a mozgásegyenlet: ma = G +, aminek éintő iányú komponense ma t = sin és aiális komponense ma cp = cos + ; utóbbiból a nyomóeő = ma cp cos, ahol cos = (z )/. Ahhoz, hogy a nyomóeőt ismejük függvényében, ismeni kell a cp -t függvényében. Mivel a súlóás elhanyagolható, számolhatunk enegia-megmaaásból: 5 / 8
h = z + ½ mv v = ( ) = g(h z) a cp = = g(h z)/ és = (h z)/ (z )/ = (h 3z+)/. Ott válik el a test a vályútól, ahol =, azaz (h 3z+)/ = a keesett z(h) függvény tehát z = (h+)/3 = /3 + /3 h /3 tengelymetszetű és /3 meeekségű egyenes, e annak csak az a szakasza, ahol z étéke és közé esik (met a vályú alsó felében nem válik el a golyó, és z = esetén meg má végigmegy a vályún). Az < z < feltételből < h < 5/. z /3 5/ h Köpálya általános gavitációs eővel 5/6. Milyen távolságban keingenek a Föl középpontjától az ún. álló műholak? (szögsebességük megegyezik a Föl szögsebességével) A teste egyetlen eő hat, a Föl vonzóeeje, ez tatja köpályán: ma cp = m = mm Föl / = 3 m Föl, ahol = 6,67 - m 3 kg - s -, m Föl = 6 4 kg, Föl = 6,37 6 m, = /T = /(466) = 7,7-5 s - amiből = 4,3 6 m. Számolhatunk úgy is, hogy és m Föl étéke helyett felhasználjuk azt, hogy a Föl felszínén = mm Föl / Föl, azaz m Föl = g Föl vagyis m = mm Föl / = Föl / g = 3 Föl 5/7. Számítsuk ki a Hol centipetális gyosulását kétféleképpen: a a) gavitációs eőtövényt, b) kömozgás aatait felhasználva. A Hol pályájának sugaa kb. 6-szoosa a Föl sugaának ( Föl 64 km), a Hol keingési ieje 7 nap. 5 / 9
Nem zh felaat: kancsal fecske, avagy inkább kancsal gólya (vagy még inkább nomális molylepke) A kancsal gólya szeetne a fészkée epülni. Ő azt hiszi, hogy egyenesen a fészke felé epül, e kancsalsága miatt minig az őt a fészekkel összekötő egyenessel állanó szöget bezáva epül. A gólya sebességének nagysága állanó (v). Oaé-e valaha a fészkée? Síkbeli polákooináta-enszeben a sebességvekto, azaz a sebességvekto aiális komponense, tangenciális komponense. Legyen a fészek az oigóban, a gólya helyvektoa. Bontsuk fel a gólya sebességét aiális és tangenciális komponenseke:. A aiális komponenst tekintve tehát () = v cos Integálva: = (v cos) t, azaz a gólya távolsága a fészektől lineáisan csökken, és t = / (v cos) iő alatt =, vagyis a gólya beé a fészkébe! A kéést tehát megválaszoltuk, e nézzük meg azt is, milyen pályán epül a gólya. A tangenciális komponenst tekintve () = v sin, ahol a gólya kancsalságának szöge, ez konstans, a fészektől a fecskéhez t iőben húzott helyvektonak a iőben húzott helyvektoal bezát szöge. (t)-t behelyettesítve ( vt cos ) v sin, t szepaálva és integálva: t vcos t ln v cos t vsin, vcos vsin amiből vcos tg ln t. t esetén ez a függvény végtelenhez tat, vagyis a gólya végtelen vcos sokszo foul köbe, amíg beé a fészkébe, e ezt véges iő alatt és véges úton teszi. Hatáozzuk meg a gólya pályáját! Az egyik lehetőség, hogy az (t), (t) függvényekből kiküszöböljük t-t: = (vcos)t t = ( )/(v cos) és vcos tgln tg ln vcos ; a másik lehetőség, hogy az () és () iffeenciálegyenletet elosztjuk egymással: vt vsin tg, szepaáljuk: v vcos tg és integáljuk: tg ln Ez az ún. logaitmikus spiális egyenlete, melynek jellemzője, hogy egy-egy teljes foulatot megtéve a középponttól mét távolság métani so szeint (minig ugyanannyia észée) csökken: -et kifejezve ()-ből = e /tg, egy foulatot megtéve = +, tg így e konst. e tg tg, fészek v gólya 5 /