Villamosságan II főiskolai jegyze Íra: Isza Sándor Debreceni Egyeem Kísérlei Fizika anszék Debrecen,
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal aralom aralom emaikus árgymuaó 3 Bevezeés 4 Válóáramú hálózaok 5 Válóáramok 5 Elekrokémiai egyenérék 5 Effekív érék 5 Harmonikus áram, feszülség 5 Fourier-éel 5 Harmonikus feszülséggel, ill árammal gerjesze hálózaok 7 Harmonikus gerjeszésű hálózaok árgyalása forgó vekorok segíségével 9 Harmonikus gerjeszésű hálózaok árgyalása komplex mennyiségekkel 9 Komplex feszülség Komplex áramerősség Komplex impedancia Soros -kör
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 3 oldal válóáramú hálózaok 5 effekív érék 5 effekív áramerősség 5 effekív feszülség 5 négyszögfeszülség effekív éréke 5, 6 elekrokémiai egyenérék 5 a feszülség elekrokémiai egyenéréke 5 az áramerősség elekrokémiai egyenéréke 5 négyszögfeszülség 5, 6 kiölési ényező 5, 6 periódusidő 5 válakozó áram 5 válóáram és válófeszülség 5 harmonikus áram és feszülség 5 ampliúdó 5 fázisszög5 Fourier-éel5 impedancia8 indukív jellegű ag 9 kapaciív jellegű ag 9 körfrekvencia5 ohmikus jellegű ag 9 soros -kör7 iszán reziszens ag 9 válóáramú hálózaok árgyalása forgó vekorokkal 9 válóáramú hálózaok árgyalása komplex mennyiségekkel 9 komplex áramerősség komplex feszülség komplex impedancia soros -kör, válozó áram 5 válozó feszülség 5 emaikus árgymuaó
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 4 oldal Bevezeés Ez a jegyze elsősorban a villamosmérnök hallgaók második féléves Villamosságan c árgyához íródo segédanyagkén, de úgy gondoljuk, mások is haszonnal lapozgahaják elekronikai, elekrodinamikai ismereeik bővíése, mélyebb megalapozása érdekében A jegyze az első féléves jegyze szerves folyaása, így árgyalási módja, felépíése is azzal megegyező, ezér ezekről i már nem ejünk szó Debrecen, szepember
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 5 oldal Válóáramú hálózaok Válóáramok Ha I állandó, ill U állandó válozó áramról, ill feszülségről beszélünk Ha léezik olyan, amelyre I ± k I, ill U ± k U, a válozó áramo válakozó áramnak, ill feszülségnek hívjuk neve periódusidő, SI egysége definíciójából fakadóan s szekundum A periódusidő reciproká frekvenciának nevezzük: ν, SI egysége Hz s herz + Ha I, ill U + Elekrokémiai egyenérék, válóáramról, ill válófeszülségről beszélünk A válakozó áram elekrokémiai egyenérékén annak az egyenáramnak az áramerősségé érjük, amely periódusidő ala ugyanannyi ölés szállí, min a szóban forgó válakozó áram: + + Iek I I I d ek d Az áram elekrokémiai egyenérékének minájára a feszülség elekrokémiai egyenéréké is szokás definiálni: Uek U Az elekrokémiai egyenérék fogalmával a válóáramo úgy is definiálhajuk, hogy ez olyan válakozó áram, amelynek elekrokémiai egyenéréke nulla Effekív érék A válakozó áram effekív áramerősségén annak az egyenáramnak az áramerősségé érjük, amely periódusidő ala egy ohmikus agon ugyanannyi hő ermel, min a szóban forgó válóáram: + + eff d eff d I I I I Az áramerősség effekív érékének minájára a feszülség effekív éréké is szokás definiálni: Ieff U Harmonikus áram, feszülség I I sin +ϕ, ill U U sin +ϕ I, és U neve ampliúdó, + ϕ fázisszög A szinuszfüggvény π szerini periodiciása mia π + + π πν neve körfrekvencia, SI egysége definíciójából kövekezően A harmonikus feszülsége, ill áramo definiáló összefüggésekből kiolvashaó, hogy az s ampliúdó a feszülség vagy áram abszolúérékének legnagyobb éréke A harmonikus feszülség vagy áram egyérelmű megadásához három adara van szükség: U, és ϕ, ill I, és ϕ Fourier-éel Ha f periódusú valós érékű függvény, amellyel léezik a f inegrál, akkor minden olyan nyíl inervallumon, amelyen akkor + kcos + ksin k k, ahol f a a k b k + π, k,, 3,, ak f cos és bk f sin Ha a harmonikus áramoka udjuk kezelni, akkor ilyenekből bármilyen periodikus áramo összerakhaunk + f variációja korláos, Haározzuk meg az ábra szerini lefuású négyszögfeszülség elekrokémiai egyenéréké és effekív éréké az ábrán érelmeze kiölési ényező k % % függvényében!
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 6 oldal Az ábráról leolvashaóan a feszülség egy-egy perióduson belül k ideig U, majd k ideig Ennek figyelembevéelével U k -k U k ek d U U k ku, és Ueff U U k ku U U ek eff 5 k% Haározzuk meg az ábra szerini lefuású négyszögfeszülség elekrokémiai egyenéréké és effekív éréké az ábrán a kiölési ényező függvényében! U U Az ábráról leolvashaóan a feszülség egy-egy perióduson belül k ideig, majd k ideig Ennek figyelembevéelével k U U Uek U k k U, k és k U U Ueff + 4 U 4 + k U U U U k + k k 4 4 4 4 4 U ájuk, hogy a feszülség effekív éréke nem függ a kiölési ényezőől, éréke annyi, minha Haározzuk meg annak a négyszögfeszülségnek az effekív éréké a kiölési ényező függvényében, amelynek ampliúdója U, elekrokémiai egyenéréke pedig a kiölési ényezőől függelenül nulla! U U U k -k egyenfeszülségről lenne szó U max U k -k U eff U U ek 5 k% A kiölési ényező érelmezése szerin a négyszögfeszülség k ideig U max, k ideig U min, ahol a felada feléele szerin Umax Umin U U max és U min éréké abból haározhajuk meg, hogy a feszülség elekrokémiai egyenéréke nulla: k Umax + Umin U max k + min k k min + U + kumin ku + Umin Umin ku, k eff U és ek max Umin + U k U 5 k% Ezek figyelembevéelével: k k U k + ku k + Ueff k U + k U k U min k k k k k U _ U Haározzuk meg az ábra szerini lefuású négyszögfeszülség elekrokémiai egyenéréké és effekív éréké az ábrán az ábrán érelmeze k és U függvényében! k < U, ha < k, A feszülség időfüggése k U Ennek figyelembevéelével U U, ha k < k k k U Uek U U + k k k k Ennek a kifejezésnek a kiszámolásá ké részre bonjuk: k U [ ] U k k k k ku, U U k -k
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 7 oldal [] [ ] U U U k U k k k k k k k U k k k U k U k + k + ku ku A ké részeredmény egyesíésével ek ku + k U U A feszülség effekív éréké is ké részre bonva haározzuk meg: k U Ueff + U k k k k ; k U [ 3] U 3 3 3 3 k k k 3 k 3 3 ku, U k 3 U U U + k k [] k k k k k k k k + k 3 3 k k U k k + 3 3 k k k 3 k 3 U k k + k + 3 k k k + k + k + k + k + k U + U k k 3 k k + k + k 3k + + k + k k + k k k + U U U U U k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 A ké részeredmény egyesíésével: k Ueff ku + U U Ueff U 3 3 3 3 Az eredményekből lájuk, hogy mind a feszülség elekrokémiai egyenéréke, mind az effekív éréke függelen a k ényező érékéől U ek eff 5 k% Haározzuk meg az U U sin időlefuású feszülség elekrokémiai egyenéréké és effekív éréké! U [ ] ek U sin U cos U cos cos U ; π sin [] [ ] Ueff U sin U U U cos + U 4 + U cos cos U U U 4 + 4 U U eff, sinα ahol kihasználuk, hogy sin α sin α cos α sin α sin α Megjegyzés sin α 4π ájuk, hogy a harmonikus lefuású feszülség elekrokémiai egyenéréke nulla, így joggal nevezhejük az ilyen feszülsége válófeszülségnek, ill az I I sin jellegű áramoka válóáramoknak Ezen érelemszerűen a engely meni elolás sem váloza, úgyhogy mondhajuk, a harmonikus válófeszülség, ill válóáram álalános alakja: U U sin + ϕ és I I sin + ϕ, vagy U U cos + ϕ és I I cos + ϕ hiszen a π -vel örénő balra olás a szinusz-függvény koszinusz-függvénnyé ranszformálja Harmonikus feszülséggel, ill árammal gerjesze hálózaok Haározzuk meg az ábra szerin soros körön eső feszülség időfüggésé, ha a gerjeszés bizosíó áramgeneráor I I cos harmonikus feszülsége bizosí!
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 8 oldal di Alkalmazzuk a hurokörvény álalánosíásá az áramkörre amely szerin a ekercse úgy vehejük figyelembe, minha raja ± feszülség esne: d di U + U + U di Behelyeesíve a konkré áramköri elemek karakeriszikájá: I + I U + Kihasználva, hogy a gerjesző áram harmonikus, I I cos + sin I sin U Az körfrekvenciájú harmonikus függvények összege is körfrekvenciájú harmonikus függvény, így I cos + sin sin U cos + ϕ Ahhoz, hogy U ismeré váljon, U- és ϕ - kell meghaároznunk U maximuma azon max melle van, amelyre d I I I max max I max I max max I max du cos + sin sin sin + cos cos I-lal végigoszva sin max + cosmax cosmax sinmax + cosmax sin g max max cosmax Haározzuk meg U -: U I cos max sin max sin max I cos max sin max + ájuk, hogy U érékének konkreizálásához sin és cos max éréké kell meghaároznunk gmax -szal kifejezve mer ennek éréké ismerjük: sinα sinα gα sinα cos α gα g α g αsin α sin α sinα ; gα g α cos α cos α cosα cosα sin α + g α cosα cosα + g α Ezek felhasználásával: cos max ; sin max + + + + Ezeke U kifejezésébe behelyeesíve: U I + I I + I I I A Z mennyiség ellenállás jellegű, neve: impedancia ájuk, hogy az impedancia ugyanolyan kapcsolaban áll a harmonikus feszülségampliúdóval és áramampliúdóval, min az ellenállás a pillananyi feszülséggel, ill áramerősséggel fonos azonban, hogy szemben az ellenállással, nem a feszülség és az áramerősség pillananyi éréke közö állapí meg kapcsolao, hanem a harmonikusan válozó feszülség és áram csúcsérékei közö:, maxi- U Z I U és I csúcsérékei nem azonos pillanaban kövekeznek be I I cos maximuma akkor van, amikor muma pedig akkor, amikor max + ϕ, vagyis ha ϕ max Felhasználva, hogy ; U U cos + ϕ max
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 9 oldal ag max, ovábbá, hogy g α gα, ϕ ag ag Ha >, akkor ϕ >, vagyis U cos balra van elolva, akkor a feszülség az áramerősséghez képes sie, az áramkör indukív jellegűnek mondjuk Hasonlóan, ha <, akkor a feszülség az áramerősséghez képes késik, az áramkör kapaciív jellegűnek mondjuk Ha, ohmi- kus jellegű vagy iszán reziszens áramkörről beszélünk: ilyenkor Z Az impedancia az egyes áramköri elemekre külön-külön is meghaározhaó: ha az,, agok mindegyikén I I cos áram folyik á soros kapcso- lás, akkor Áramköri elem Pillananyi feszülség U U Ellenállás I I U a feszülség az áramhoz képes Impedancia U Z I U, cos fázisban van Z I di π ekercs U Isin Icos π + -vel sie I I π U I sin cos π -vel késik Kondenzáor Harmonikus gerjeszésű hálózaok árgyalása forgó vekorok segíségével U, Z I U, Z I Az előző felada megoldásá más, sokkal rövidebb és éppen ezér könnyebben áekinheő úon is megkaphajuk: keressük ismé az I U Icos Isin + sin függvény maximumá! Vegyük észre, hogy az I cos kifejezés olyan, minha egy I nagyságú, szögsebességgel forgó vekor első komponense lenne Hasonlóan lehe az I sin mennyisége egy I nagyságú vekor második komponensekén szemlélni Felhasználva, hogy π π sin cos +, és sin cos így valamennyi ago egy-egy vekor első komponensekén szemlélheünk, a vizsgálandó összefüggés: π I π U Icos + Icos + + cos Így, amikor az U függvény maximumá keressük, fogalmazhaunk úgy, hogy három forgó vekor folyonosan válozó veüleeiből képze összeg maximumá kell meghaároznunk Felhasználva, hogy a vekorok veüleeinek összege egyenlő a vekorok összegének veüleével, kereshejük az összegvekor veüleének maximumá is Ez viszon nyilvánvalóan egyenlő az összegvekor nagyságával, így a megoldás menee igen jelenős mérékben leegyszerűsödik: a kíván eredmény egy egyszerű vekorábráról leolvashaó Az ábrából az összegvekor nagyságának megállapíásához szükséges adaoka kiemelve: Harmonikus gerjeszésű hálózaok árgyalása komplex mennyiségekkel Min a maemaikai bevezeőben ismeree komplex arimeikából ismerees, a komplex számok kifejezeen a síkbeli vekorok elforgaásával ill forgaásával kapcsolaos műveleek haékony formalizálására alkalmasak arra vannak kialálva Mivel pedig láuk, hogy a válóáramokkal kapcsolaos számolások igen haékony segédeszközei a forgó vekorok, a számolások még haékonyabbá éele érdekében célszerűnek lászik a válóáramokra vonakozó számolásoka komplex mennyiségekkel végezni:
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal, vagyis az az szögsebes- Komplex feszülség Az U U sin + ϕ válófeszülséghez az ˆ ˆ e j U U, komplex mennyisége rendeljük, ahol ˆ Im Uˆ U U, és ϕ ag e Uˆ séggel forgó vekor, amelynek abszolúéréke U, a pillanahoz arozó szögelfordulása pedig ϕ Komplex áramerősség Az I I sin + ϕ válófeszülséghez az ˆ ˆ e j Im Iˆ I I, komplex mennyisége rendeljük, ahol Î I, és ϕ ag e Iˆ forgó vekor, amelynek abszolúéréke I, a pillanahoz arozó szögelfordulása pedig ϕ Komplex impedancia, vagyis az az szögsebességgel Az a komplex mennyiség, amellyel egy áramköri elemen áfolyó válóáramhoz rendel komplex áramerősség ampliúdójá megszorozva az áramköri elemen eső válófeszülséghez rendel komplex feszülség ampliúdójá kapjuk: U ˆ ˆˆ ZI A definícióból kiolvashaó, hogy a komplex impedancia abszolúéréke a valós impedanciával egyenlő: ˆ ˆ U U Z Z Iˆ I, irányszöge pedig a feszülség és az áramerősség fázisszögének különbsége: ˆ ˆ U ϕ Z ϕ Uˆ ˆ ˆ ϕ ϕ I I A felír összefüggésből láhaó, hogy a komplex impedancia ugyanolyan kapcsolaban áll a komplex feszülségampliúdóval és áramampliúdóval, min az ellenállás a pillananyi feszülséggel, ill áramerősséggel Ennek alapján a válófeszülséggel, ill -árammal gerjesze hálózaoka a komplex impedancia segíségével ugyanazokkal az eszközökkel árgyalhajuk, min az egyenáramú hálózaoka, vagyis a Kirchhoff-örvények és az Ohm-örvénnyel analóg szerepben álló U ˆ ˆˆ ZI összefüggés felhasználásával A kövekezőkben összefoglaljuk a sandard áramköri elemek komplex impedanciájá: Áramköri elem Komplex impedancia a feszülség az áramhoz képes Fázisszög Ellenállás Uˆ Zˆ Iˆ fázisban van ϕ ekercs Kondenzáor Uˆ Zˆ Iˆ j Uˆ Zˆ j Iˆ j π π -vel sie ϕ π π -vel késik ϕ Haározzuk meg a soros -körön eső feszülsége a raja áfolyó harmonikus gerjeszőáram körfrekvenciájának függvényében! Válasszuk meg a harmonikus gerjesző áramo I I sin alakban Az -kör komplex impedanciája Zˆ + j, aminek felhasználásával a körön eső feszülség komplex ampliúdója ˆ ˆ U ZI + j I Ebből a feszülség csúcséréke U Z I I Ennek a függvénynek minimuma van azon melle, amelyre min, vagyis az min körfrekvenciánál A felír összefüggésből kiolvashaó, hogy min lim, és lim U ˆ I Im U Haározzuk meg mos az -körön eső feszülség fázisszög-különbségé az áramhoz viszonyíva: ϕ ˆ ag ag ag U e Uˆ I Mivel a minimális impedanciához arozó melle min, U min I, és ϕ Uˆ min, vagyis a soros -körön eső feszülség ilyenkor fázisban van a gerjesző árammal A felír összefüggésből kiolvashaó, hogy lim ϕ min π ˆ ag, vagyis alacsony frekvencián a soros -kör iszán U π kapaciív jellegű; lim ϕ ˆ ag, vagyis magas frekvencián a soros -kör iszán indukív jellegű U
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal Haározzuk meg a soros -kör egyes elemein eső feszülségnek a kör egészén eső feszülséghez való viszonyának szélsőéréké a gerjesző áram körfrekvenciájának függvényében!, I Az ohmikus agra vonakozóan:, Ennek a függvénynek nyilvánvalóan azon melle van szélsőéréke mégpedig maximuma, amelyre, s ekkor I,,, I Az indukív agra vonakozóan:, Ennek a függvénynek azon melle van szélsőéréke mégpedig könnyen beláhaóan I maximuma, amelyre a deriválja nulla: d d + + + 4 +, + +,, + + 4 max U, max áhaó, hogy ha, akkor max Ezen a frekvencián a vizsgál arány, max, I A kapaciív agra vonakozóan:, Ennek a függvénynek azon melle van szélsőéréke mégpedig könnyen beláhaóan I maximuma, amelyre a deriválja nulla: d + + + +, 3 d + + áhaó, hogy ha + max + U, max, akkor max Ezen a frekvencián a vizsgál arány, max
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal Soros rezonancia Az a frekvenciá, amely melle a gerjesző áram álal az -körön eső feszülségnek minimuma van, rezonanciafrekvenciának nevezzük: áuk, hogy az feléel eljesülése melle ugyanezen a frekvencián az indukív és a kapaciív agon eső feszülség relaív éréke maximális A rezonanciafrekvenciá megadó összefüggés homson-képlenek nevezzük A δ mennyisége csillapíási ényezőnek nevezzük Ezzel a kapaciív agon eső feszülség relaív érékének maximuma a kövekezőképpen is megadhaó: δ max Haározzuk meg a párhuzamos -körön áfolyó áramo a raja eső harmonikus gerjeszőfeszülség körfrekvenciájának függvényében! Válasszuk meg a harmonikus gerjesző feszülsége U U sin alakban Az -kör komplex impedanciája ˆ Z, ami- + + j + j j nek felhasználásával a körön folyó áram komplex ampliúdója ˆ U I j U ˆ + Ebből az áram csúcséréke: I + U Z Ennek a függvénynek minimuma van azon melle, amelyre min, vagyis az min körfrekvenciánál A felír összefüggésből kiolvashaó, min hogy lim I, és lim I ˆ U Im I Haározzuk meg mos az -körön áfolyó áram fázisszög-különbségé a feszülséghez viszonyíva: ϕˆ ag ag ag I e Iˆ U Mivel a minimális impedanciához arozó melle min, U I min, és ϕˆ min, vagyis a párhuzamos -körön áfolyó áram ilyenkor I min π fázisban van a gerjesző feszülséggel A felír összefüggésből kiolvashaó, hogy lim ϕ ˆ ag, vagyis alacsony frekvencián a párhuzamos kör iszán indukív jellegű; lim ϕ ˆ ag, vagyis magas frekvencián a soros -kör iszán kapaciív jellegű I π I Haározzuk meg a párhuzamos -kör egyes elemein áfolyó áramnak a kör egészén áfolyó áramhoz való viszonyának szélsőéréké a gerjesző áram körfrekvenciájának függvényében! I, U Az ohmikus agra vonakozóan: I, Ennek a függvénynek nyilvánvalóan azon melle van szélsőéréke mégpedig maximuma, amelyre, s ekkor + U I, I, I, U Az indukív agra vonakozóan: I, Ennek a függvénynek azon melle van szélsőéréke mégpedig + U + könnyen beláhaóan maximuma, amelyre a deriválja nulla:
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 3 oldal d + d áhaó, hogy ha + + + + +, + max I, akkor max Ezen a frekvencián a vizsgál arány I, max, max + I, U A kapaciív agra vonakozóan: I, Ennek a függvénynek azon melle van szélsőéréke mégpedig könnyen beláhaóan + U maximuma, amelyre a deriválja nulla: d + + + +, 3 d + + áhaó, hogy ha + max + U, max, akkor max Ezen a frekvencián a vizsgál arány, max Párhuzamos rezonancia Az a frekvenciá, amely melle a gerjesző áram álal az -körön eső feszülségnek minimuma van, rezonanciafrekvenciának nevezzük: áuk, hogy az feléel eljesülése melle ugyanezen a frekvencián az indukív és a kapaciív agon eső feszülség relaív éréke maximális A rezonanciafrekvenciá megadó
Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév 4 oldal max összefüggés homson-képlenek nevezzük A δ mennyisége csillapíási ényezőnek nevezzük Ezzel a kapaciív agon eső feszülség relaív éré- kének maximuma a kövekezőképpen is megadhaó: δ Zˆ ˆ ˆ + Z j Z + ˆ j + j Z + j + j ˆ ˆ ˆ Z + Z + Z j + Ha j, vagyis, akkor Zˆ + j Ha eljesül ovábbá, hogy <<, akkor Z ˆ j j a rezgőkörön eső feszülség és az áfolyó áram fázisban van Ilyenkor az impedancia iszán valós A harmonikus válóáram eljesíménye áuk, hogy a harmonikus gerjeszésű hálózaok különböző elemein folyó áram és a raja eső feszülség álalában nincs fázisban Olyan helyze is gyakran áll elő, amikor egy-egy hálózai elemen éppen ellenkező irányú áram folyik, min amilye az éppen raja eső feszülség indokolna Ilyenkor a pillananyi eljesímény negaív A kövekezőkben megvizsgáljuk, hogyan függ a eljesímény álagos éréke az áramköri elemen áfolyó áram és a raja eső feszülség fáziskülönbségéől Effekív eljesímény + + A pillananyi eljesímény periódusidőre ve álaga: P eff P U I Haározzuk meg az effekív eljesímény azon a harmonikus árammal ájár áramköri elemen, amelyen a feszülség és az áram fázisszögének különbsége ϕ! Válasszuk az áfolyó áram időfüggésé I I cos alakúnak, ekkor a felada feléele szerin U U cos + ϕ Ennek felhasználásával az effekív eljesímény: UI UI UI UI Peff I cosu cos + ϕ coscos + ϕ cos + ϕ + cosϕ cos cos cos + ϕ + ϕ ϕ cosϕ UI cosϕ UI UI U I cosϕ cosϕ cosϕ Ueff Ieff cosϕ, ahol kihasználuk, hogy cosα cos β cos α + β + cos α β ájuk, hogy az effekív eljesímény megadhaó az áramköri elemen eső effekív feszülséggel és effekív árammal kifejezve, de függ az áram és a feszülség π fázisszögének különbségéől is Ha a fázisszög-különbség, akkor az effekív eljesímény Ez a helyze a iszán indukív, ill kapaciív agokon fordul elő Megjegyzés évén a cosϕ függvény páros cos ϕ cosϕ, a harmonikus áram eljesíménye szemponjából mindegy, hogy az áramkör indukív vagy kapaciív jellegű-e, csupán a feszülség és az áram fázisszög-különbségének abszolúéréke befolyásolja a eljesímény