EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest,
Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS ÉS HIBASZÁMÍTÁS................. 7.. Feladatok.......................................... 7... Gépi számábrázolás................................ 7... Műveletek hibája.................................. 8... Függvényérték hibája............................... 9.. Megoldások......................................... 9... Gépi számábrázolás................................ 9... Műveletek hibája.................................. 9... Függvényérték hibája................................ MÁTRIX SZORZAT FELBONTÁSOK.......................... Feladatok............................................. Gauss-elimináció és determináns meghatározása.................... Mátrix inverz meghatározása.............................. LU-felbontás.................................... 6... LDU-felbontás LU-felbontás segítségével.................... 8..5. LDL T - és LL T - (Cholesky) felbontás....................... 9..6. ILU-felbontás Gauss-eliminációval........................ 9..7. QR-felbontás Gram Schmidt-ortogonalizációval...................8. Householder transzformáció.............................. Megoldások............................................ Gauss-elimináció és determináns meghatározása.................... Mátrix inverz meghatározása.............................. LU-felbontás.................................... 5... LDU-felbontás LU-felbontás segítségével.................... 6..5. LDL T - és LL T - (Cholesky) felbontás....................... 65..6. ILU-felbontás Gauss-eliminációval........................ 68..7. QR-felbontás Gram Schmidt-ortogonalizációval................. 7..8. Householder transzformáció............................ 8. VEKTOR- ÉS MÁTRIXNORMÁK, KONDÍCIÓSZÁM............. 96.. Feladatok.......................................... 96... Vektornormák.................................... 96... Mátrixnormák................................... 96... Kondíciószám.................................... 98.. Megoldások......................................... 98... Vektornormák.................................... 98... Mátrixnormák...................................... Kondíciószám.................................... 6
Tartalomjegyzék. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSÁNAK ITERÁCIÓS MÓD- SZEREI.............................................. Feladatok............................................. Egyszerű iteráció..................................... Jacobi-iteráció...................................... Gauss Seidel-iteráció................................... Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer... 5..5. Richardson-iteráció................................. 6..6. ILU-algoritmus................................... 7.. Megoldások......................................... 8... Egyszerű iteráció.................................. 8... Jacobi-iteráció...................................... Gauss Seidel-iteráció................................ 9... Paraméteres iterációk: csillapított Jacobi-iteráció és a relaxációs módszer.....5. Richardson-iteráció................................. 55..6. ILU-algoritmus................................... 6 5. Sajátérték feladatok.................................... 67 5.. Feladatok.......................................... 67 5... Sajátérték becslések................................ 67 5... Sajátértékprobléma érzékenysége......................... 68 5... Karakterisztikus polinom meghatározására alkalmas módszerek........ 68 5... Hatványmódszer és inverz iteráció........................ 69 5..5. Rangszám csökkentés................................ 7 5..6. Jacobi módszer................................... 7 5.. Megoldások......................................... 7 5... Sajátérték becslések................................ 7 5... Sajátértékprobléma érzékenysége......................... 77 5... Karakterisztikus polinom meghatározására alkalmas módszerek........ 79 5... Hatványmódszer és inverz iteráció........................ 8 5..5. Rangszám csökkentés................................ 89 5..6. Jacobi módszer................................... 9 6. Polinom interpoláció.................................... 95 6.. Feladatok.......................................... 95 6... Az interpolációs polinom Lagrange- és Newton-alakja, hibája......... 95 6... Csebisev polinomok alkalmazása......................... 97 6... Inverz interpoláció................................. 98 6.. Megoldások......................................... 98 6... Az interpolációs polinom Lagrange- és Newton-alakja, hibája......... 98 6... Csebisev polinomok alkalmazása......................... 6... Inverz interpoláció................................. 7. Hermite-interpoláció.................................... 7 7.. Feladatok.......................................... 7 7.. Megoldások......................................... 8 8. Spline interpoláció..................................... 8.. Feladatok.......................................... 8... Spline interpoláció intervallumonként polinomok segítségével.......... 8... Spline interpoláció globális bázissal........................
Tartalomjegyzék 8... Spline interpoláció B spline-ok segítségével................... 5 8.. Megoldások......................................... 5 8... Spline interpoláció intervallumonként polinomok segítségével.......... 5 8... Spline interpoláció globális bázissal........................ 9 8... Spline interpoláció B spline-ok segítségével................... 9. Nemlineáris egyenletek megoldása........................... 8 9.. Feladatok.......................................... 8 9... Polinomok gyökeinek becslése........................... 8 9... Intervallumfelezés módszere............................ 8 9... Fixpont iteráció................................... 8 9... Newton-módszer.................................. 5 9.. Megoldások......................................... 5 9... Polinomok gyökeinek becslése........................... 5 9... Intervallumfelezés módszere............................ 5 9... Fixpont iteráció................................... 5 9... Newton-módszer.................................. 6.Approximációs feladatok................................. 7.. Feladatok.......................................... 7... Általánosított inverz................................ 7... Diszkrét legkisebb négyzetek módszere...................... 7... Hilbert-térbeli közelítés.............................. 7... Ortogonális polinomok............................... 7..5. Egyenletesen legjobb közelítés........................... 7.. Megoldások......................................... 7... Általánosított inverz................................ 7... Diszkrét legkisebb négyzetek módszere...................... 75... Hilbert-térbeli közelítés.............................. 78... Ortogonális polinomok............................... 86..5. Egyenletesen legjobb közelítés........................... 89.Numerikus integrálás..................................... Feladatok............................................. Interpolációs típusú kvadratúra formulák........................ Érintő-, trapéz-, Simpson-formulák és összetett formuláik.............. Csebisev-típusú kvadratúra formulák.......................... Gauss-típusú kvadratúra formulák.......................... Megoldások......................................... 5... Interpolációs típusú kvadratúra formulák..................... 5... Érintő-, trapéz-, Simpson-formulák és összetett formuláik........... 8... Csebisev-típusú kvadratúra formulák.......................... Gauss-típusú kvadratúra formulák........................ 6.Közönséges differenciálegyenletek megoldása...................... Feladatok............................................. Explicit Euler-módszer.................................. Módosított Euler-módszer................................ Implicit módszerek................................... Megoldások............................................ Explicit Euler-módszer...............................
Tartalomjegyzék 5... Módosított Euler-módszer............................. 5... Implicit módszerek................................. 8
ELŐSZÓ Jelen példatár hiánypótló a maga nemében. A Numerikus módszerek témakörében számtalan színvonalas tankönyv és jegyzet látott már napvilágot, de a gyakorlatokon is használható példatár eddig nem volt, mely segíti az órai munkát és a zárthelyi dolgozatokra való önálló felkészülést. Igazán akkor lehet megérteni egy módszert, ha azt konkrét feladatokra alkalmazzuk. Ebben kívánunk segítséget nyújtani a példatárban összegyűjtött feladatok és azok megoldásainak segítségével. Ezt a feladat- és megoldásgyűjteményt elsősorban az ELTE IK Programtervező informatikus BSc, Informatika tanár BSc és TTK Matematika tanár BSc szakos hallgatóinak ajánljuk. Természetesen azok is haszonnal forgathatják, akik segítséget szeretnének kapni a numerikus módszerek gyakorlati alkalmazásaihoz. A példatárat ajánljuk még azok számára, akik a numerikus módszerek alapjaival feladatokon keresztül szeretnének megismerkedni. A példatárat az ELTE-n oktatott, korábban Numerikus Analízis elnevezésű tárgy tematikáját követve építettük fel. Mivel a tárgy neve és témakörei is változtak, ezért a korábbi bővebb tematika alapján dolgoztunk, arra gondolva, hogy bizonyos részekre az MSc-s hallgatóknak lehet szükségük. Minden témakör az elméleti anyag mélyebb megértése mellett hozzásegíti az olvasót a feladatok mögött meghúzódó technikák és trükkök elsajátításához is. A példatár elkészítése során a gyakorlati szempontokat is figyelembe véve törekedtünk az egyszerű példáktól az összetett és bonyolult számításokat tartalmazó példákig minél szélesebb feladatkört bemutatni. Természetesen helyet kaptak elméleti jellegű és mélyebb absztrakciót igénylő feladatok is. A feladatmegoldások elkészítése során törekedtünk a minél érthetőbb és minél részletesebb leírásokra, esetenként többféle megoldást is adtunk. A több éves sikeres oktatási gyakorlatból kikristályosodott és letisztult példák mellett számtalan új példa is belekerült az anyagba. A feladatok fejezetenként sorszámozottak. Minden fejezet két alfejezetre bomlik, egyikben a feladatok, a másikban azok megoldásai találhatóak, így a feladatok szövege után csak néhány oldalt kell lapozni a megoldásokig. Célunk ezzel az volt, hogy az egyes fejezetek önállóan is használhatóak legyenek. Ezúton szeretnénk köszönetet mondani Dr. Szili Lászlónak, a technikai problémák megoldásában nyújtott segítségéért és Dr. Hegedűs Csabának, aki ötletes és gondolkodtató példáival járult hozzá a példatárhoz. Köszönjük Dr. László Lajos lelkiismeretes lektori munkáját és értékes tanácsait. Továbbá köszönjük az ELTE Numerikus Analízis Tanszékének és az ELTE Informatikai Karának a példatár létrejöttéhez nyújtott támogatását. Ajánljuk kedves családtagjainknak, akik türelmükkel és segítségükkel hozzájárultak a példatár létrejöttéhez. Halálának 5. évfordulóján Dr. Sövegjártó András emlékének ajánljuk, aki halhatatlan érdemeket szerzett az általa oly kedvelt és szeretett tárgy, a Numerikus Analízis oktatása során. A példatárban található példák megoldásához kellemes és hasznos időtöltést kívánunk! Budapest,. november. Krebsz Anna, Bozsik József
. fejezet GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS ÉS HIBASZÁMÍTÁS.. Feladatok... Gépi számábrázolás. Vizsgáljuk meg az M(6,, ) gépi számhalmazt! a) Mennyi az elemszáma? b) Adjuk meg a nevezetes számait: ε, ε, M!. Vizsgáljuk meg az M(5,, ) gépi számhalmazt! a) Mennyi az elemszáma? b) Adjuk meg a nevezetes számait: ε, ε, M!. Vizsgáljuk meg az M(8,, ) gépi számhalmazt! a) Mennyi az elemszáma? b) Adjuk meg a nevezetes számait: ε, ε, M!. Az M (6,, ) gépi számhalmazban adjuk meg fl(, ) értékét! 5. Az M (6,, ) gépi számhalmazban adjuk meg fl(, ) értékét! 6. Az M (8,, ) gépi számhalmazban adjuk meg fl( 6 ) értékét! Hasonlítsuk össze, milyen bináris tört közelítést kapunk, illetve tizedesjegy pontosságból kiindulva! 7. Az M M(6,, ) gépi számok halmazában adjuk meg a -nek megfeleltetett gépi számot, és adjuk meg a gépi számábrázolásból származó abszolút hibakorlátot! 8. Az M (5,, ) gépi számhalmazban adjuk meg fl( ) értékét! 9. Adjuk meg a 5-nek megfeleltetett gépi számot az M(6,, ) gépi számok halmazában! Adjon a közelítésre abszolút és relatív hibakorlátot!. Az M M(6,, ) gépi számok halmazában a) adjuk meg az 6 -nak és -nek megfeleltetett gépi számokat, b) végezzük el az fl( 6 ) fl( ) gépi kivonást, c) adjuk meg a gépi számábrázolásból származó abszolút hibakorlátot fl( 6 ) -ra, fl( ) -re és az eredményre!
8. Gépi számábrázolás és hibaszámítás. Az M M(6,, ) gépi számok halmazában adjuk meg az 5 6 -nak megfeleltetett gépi számot és számítsa ki az fl( 5 6 )+fl( 5 6 ) összeget a megadott aritmetikában! Adjon abszolút hibakorlátot a számított összegre!. Az M M(8,, ) gépi számok halmazában a) adjuk meg az -nak és 6 -nak megfeleltetett gépi számokat, b) végezzük el az fl( ) fl( 6 ) gépi kivonást, c) adjuk meg a gépi számábrázolásból származó abszolút hibakorlátot fl( ) -ra, fl( 6 ) -ra és az eredményre!. Az M M(6,, ) gépi számok halmazában a) adjuk meg a -nak és π -nek megfeleltetett gépi számokat, b) végezzük el az fl(π) fl( ) gépi kivonást, c) adjuk meg a gépi számábrázolásból származó abszolút hibakorlátot fl( ) -ra, fl(π) -re és az eredményre!. Az M M(5,, ) gépi számok halmazában keressük meg a -nek és a -nak megfeleltetett gépi számot! Számítsa ki a fl( ) + fl( ) értékét a megadott aritmetikában. Adjon a közelítésre abszolút és relatív hibakorlátot!... Műveletek hibája 5. A -t, 7, 7 -mal közelítjük. Adjunk a szorzatra abszolút és relatív hibakorlátot, ha tudjuk, hogy, 7 a két tizedes jegyre kerekített értéke! 6. A -et,, 8 -mal közelítjük. Adjunk a közelítésre abszolút és relatív hibakorlátot, ha tudjuk, hogy, a és, a 8 két tizedes jegyre kerekített értéke! 7. A -t, -gyel közelítjük. Adjunk a közelítésre abszolút és relatív hibakorlátot, ha tudjuk, hogy, a három tizedes jegyre kerekített értéke! 8. Az π -t, -gyel közelítjük. Adjuk meg a közelítés abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy, a π két tizedes jegyre kerekített értéke! 9. Közelítsük az e π szorzatot, 78, -vel. Adjuk meg a közelítés abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy e és π három tizedes jegyre kerekített értékét használtuk.. Számítsuk ki a 7 6 mennyiséget, ha tudjuk, hogy 7, 8 és 6, 79 két tizedesjegyre számított közelítések! a) Adjuk meg a számított különbség abszolút és relatív hibakorlátját! b) A különbséget írjuk fel a vele ekvivalens alakba. 7 6 7 6 7 + 6 7 + 6. Ezzel a számítási móddal milyen abszolút és relatív hibakorlátot kapunk? c) Hasonlítsuk össze a kétféle számítás hibabecslését!
.. Megoldások 9... Függvényérték hibája. A π közelítésére -t használjuk. Adjuk meg a függvényérték abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy a π egészre kerekített értéke!. A e közelítésére -t használjuk (e exp()). Adjuk meg a függvényérték abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy az e egészre kerekített értéke!. A cos(, 8) közelítésére cos( π ) -t használjuk. Adjuk meg a függvényérték abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy, 8 a π -nek az egy tizedesjegyre kerekített értéke!. A sin(, 5) közelítésére sin( π 6 ) -et használjuk. Adjuk meg a függvényérték abszolút és relatív hibakorlátját, ha tudjuk, hogy, 5 a π 6 -nak az egy tizedesjegyre kerekített értéke!.. Megoldások... Gépi számábrázolás. a) A szám előjele kétféle lehet. Az első mantissza jegy mindig, a többi 5 egyenként kétféle lehet. A karakterisztika -tól -ig 7 féle lehet. Vegyük még hozzá a -t, így összesen eleme van a halmaznak. 5 7 + 9 b) ε -t, a legkisebb pozitív számot a legkisebb mantisszával és legkisebb karakterisztikával kapjuk. ε [ ] 6 ε -t, a gépi számábrázolás relatív hibáját úgy kapjuk, hogy az után következő gépi számból kivonjuk az -et. ε [ ] [ ] 6 5 M -t, a legnagyobb pozitív gépi számot a legnagyobb mantisszával és legnagyobb karakterisztikával kapjuk. M [ ] ( 6) 8 8 7, 875. a) A szám előjele kétféle lehet. Az első mantissza jegy mindig, a többi egyenként kétféle lehet. A karakterisztika -től -ig 9 féle lehet. Vegyük még hozzá a -t, így összesen eleme van a halmaznak. 9 + 89 b) ε -t, a legkisebb pozitív számot a legkisebb mantisszával és legkisebb karakterisztikával kapjuk. ε [ ] 5
. Gépi számábrázolás és hibaszámítás ε -t, a gépi számábrázolás relatív hibáját úgy kapjuk, ha az után következő gépi számból kivonjuk az -et. ε [ ] [ ] 5 6 M -t, a legnagyobb pozitív gépi számot a legnagyobb mantisszával és legnagyobb karakterisztikával kapjuk. M [ ] ( 5) 6 5, 5. a) A szám előjele kétféle lehet. Az első mantissza jegy mindig, a többi 7 egyenként kétféle lehet. A karakterisztika -től -ig 9 féle lehet. Vegyük még hozzá a -t, így összesen eleme van a halmaznak. 7 9 + 5 b) ε -t, a legkisebb pozitív számot a legkisebb mantisszával és legkisebb karakterisztikával kapjuk. ε [ ] 5 ε -t, a gépi számábrázolás relatív hibáját úgy kapjuk, ha az után következő gépi számból kivonjuk az -et. ε [ ] [ ] 8 7 8 M -t, a legnagyobb pozitív gépi számot a legnagyobb mantisszával és legnagyobb karakterisztikával kapjuk. M [ ] ( 8) 6 6 5, 975. Nézzük meg, melyik az a két gépi szám, mely a, -t közrefogja. Egy lehetséges megoldás, hogy átírjuk bináris számmá. Az egész és tört részét külön váltjuk át. Az egészrésznél maradékosan osztunk kettővel. A hányadost az első oszlopba írjuk, a maradékot a második oszlopba. A törtrésznél a törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. Mivel 6 jegyű a mantissza, ezért a kerekítéssel együtt 7 jegyre van szükségünk, ez az egész résznél jegy (lásd átváltás), a törtrésznél jegy kiszámítását jelenti. Mivel a. bináris tört jegy, ezért felfelé kerekítünk, a kapott bináris szám utolsó jegyéhez egyet hozzáadunk binárisan. A táblázatból az egészrésznél a maradék jegyek kiolvasását lentről felfelé, a törtrésznél az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. Így a, kerekítése kettes számrendszerben. lesz. 8 68 6 A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz hárommal balra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a balra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva ( [ ] + ) 6 + 7, 5.
.. Megoldások Ellenőrizzük a kapott szám helyességét. Mivel felfelé kerekítettünk, ezért meg kell néznünk a szám alsó szomszédját. Ez az ( [ ] + ) +, 5. 6 8 8 Összehasonlítva, hogy melyik szám van közelebb, -hez azt kapjuk, hogy az eredeti számunk.,, 5, 85 >,, 5, Tehát fl(, ) [ ] 7, 5. A számábrázolásból származó abszolút hibakorlát (a karakterisztikát is figyelve) az utolsó helyiérték fele, azaz fl(,) 6 6. 5. Nézzük meg, melyik az a két gépi szám, mely a, -t közrefogja. Egy lehetséges megoldás, hogy átírjuk bináris számmá. A számnak csak törtrésze van. A törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. 88 76 5 8 6 6 Látjuk, hogy az első három bináris jegy, ezeket nem ábrázoljuk a mantisszában. Utána mivel 6 jegyű a mantissza, a kerekítéssel együtt még 7 jegyre van szükségünk. Mivel a. bináris tört jegy, ezért lefelé kerekítünk. A táblázatból az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. Így a, kerekítése kettes számrendszerben. lesz. A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz hárommal jobbra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a jobbra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva ( [ ] + + ) + + 7, 975. 8 6 6 Ellenőrizzük a kapott szám helyességét! Mivel lefelé kerekítettünk, ezért meg kell néznünk a szám felső szomszédját. Ez az ( [ ] + + 8 + ) + 6 + 8 + 57, 85 6 5 5 Összehasonlítva, hogy melyik szám van közelebb, -hez azt kapjuk, hogy az eredeti számunk.,, 975, 65 <, 85, 85,
. Gépi számábrázolás és hibaszámítás Tehát fl(, ) [ ] 7 6, 975. A számábrázolásból származó abszolút hibakorlát (a karakterisztikát is figyelve) az utolsó helyiérték fele, azaz fl(,) 6 8. Látjuk, hogy a nullához közeli számokat sokkal pontosabban ábrázoljuk. 6. Írjuk át mindhárom tizedestörtet bináris számmá. A számoknak csak törtrészük van. A törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. 7 68 6 7 88 76 5 8 6 67 668 6 67 688 76 75 5 8 6 667 6668 6 667 6688 76 675 5 78 6 Látjuk, hogy az első két bináris jegy, ezeket nem ábrázoljuk a mantisszában. Mivel 8 jegyű a mantissza, a kerekítéssel együtt még 9 jegyre van szükségünk. Első esetben a. bináris tört jegy, ezért lefelé kerekítünk. A, 7 kerekítése kettes számrendszerben. lesz. A második esetben a. bináris tört jegy, ezért lefelé kerekítünk. A, 67 kerekítése kettes számrendszerben. lesz. A harmadik esetben a. bináris tört jegy, ezért felfelé kerekítünk. A táblázatból az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. A, 667 kerekítése kettes számrendszerben. lesz, vagyis ugyanazt a gépi számot kaptuk, mint az előző esetben. A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz kettővel jobbra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a jobbra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva ( [ ] + 8 + + 6 + ) 6 + 6 + + + 87 8 5 5 7, 699875. ( [ ] + 8 + + 8 + ) 8 + + 8 + + 7 56, 6699875. Keressünk két szomszédos gépi számot kaptunk, mely közrefogja az 6 -ot. Mivel a felírt tizedestörtek mind nagyobbak nála, ezért érdemes a kapott legkisebb szám alsó szomszédját megnézni. Ez az ( [ ] + 8 + + ) 6 + 6 + + 85 8 5 5 7, 66565.
.. Megoldások Mivel most már van két szomszédos gépi számunk, mely közrefogja az 6 -ot, ezért fl( 6 ) a kettő közül a közelebbik lesz. A tizedesjegyre felírt közelítésből kapjuk a keresett gépi számot ( ) fl [ ] 7, 6699875. 6 Látjuk, hogy a nullához közeli számok nagyon közel vannak egymáshoz, ezért a közelítésükre figyelni kell. 7. Nézzük meg, melyik az a két gépi szám, mely -t közrefogja. Egy lehetséges megoldás, hogy átírjuk tizedestörtbe (figyelve arra, hogy a mantisszához kellő pontosságú legyen), majd ezt az alakot átváltjuk bináris számmá., -gyel dolgozunk. Az egész és tört részét külön váltjuk át. Az egészrésznél maradékosan osztunk kettővel. A hányadost az első oszlopba írjuk, a maradékot a második oszlopba. A törtrésznél a törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. Mivel 6 jegyű a mantissza, ezért a kerekítéssel együtt 7 jegyre van szükségünk, ez a törtrésznél 6 jegy kiszámítását jelenti. Mivel a 6. jegy, ezért lefelé kerekítünk. (Ha a kerekítő jegy lenne, akkor a kapott bináris szám utolsó jegyéhez egyet hozzáadunk binárisan.) A táblázatból az egészrésznél a maradék jegyek kiolvasását lentről felfelé, a törtrésznél az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. Így, kerekítése kettes számrendszerben. lesz. 88 656 6 8 96 A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz eggyel balra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a balra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva ( [ ] + 8 + 6 + ) + 8 + + 5, 65. 6 Ellenőrizzük a kapott szám helyességét. Mivel lefelé kerekítettünk, ezért meg kell néznünk a szám felső szomszédját. Ez az ( [ ] + 8 + 6 + ) 6 + + +, 75. 6 6 Összehasonlítva, hogy melyik szám van közelebb -höz azt kapjuk, hogy az eredeti számunk., 65, 796 <, 8, 75 Tehát fl( ) [ ] 5, 65. A számábrázolásból származó abszolút hibakorlát (a karakterisztikát is figyelve) az utolsó helyiérték fele, azaz fl( ) 6 6.
. Gépi számábrázolás és hibaszámítás 8. Nézzük meg, melyik az a két gépi szám, mely -at közrefogja. Egy lehetséges megoldás, hogy átírjuk tizedestörtbe (figyelve arra, hogy a mantisszához kellő pontosságú legyen), majd ezt az alakot átváltjuk bináris számmá., 7 -vel dolgozunk. Az egész és tört részét külön váltjuk át. Az egészrésznél maradékosan osztunk kettővel. A hányadost az első oszlopba írjuk, a maradékot a második oszlopba. A törtrésznél a törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. Mivel 5 jegyű a mantissza, ezért a kerekítéssel együtt 6 jegyre van szükségünk, ez a törtrésznél 5 jegy kiszámítását jelenti. Mivel a 5. jegy, ezért felfelé kerekítünk, a kapott bináris szám utolsó jegyéhez egyet hozzáadunk binárisan. A táblázatból az egészrésznél a maradék jegyek kiolvasását lentről felfelé, a törtrésznél az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. Így, 7 kerekítése kettes számrendszerben. lesz. 7 6 98 856 7 A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz eggyel balra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a balra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva [ ] ( + + ) + + 7, 75. 8 Ellenőrizzük a kapott szám helyességét. Mivel felfelé kerekítettünk, ezért meg kell néznünk a szám alsó szomszédját. Ez az [ ] ( + + 6 + ) 6 + 8 + + 7, 6875. 6 6 Összehasonlítva, hogy melyik szám van közelebb -hoz azt kapjuk, hogy az eredeti számunk., 6875, 55 >, 795, 75 Tehát fl( ) [ ] 7, 75. Mivel 6 mantissza jegyet kellett pontosan kiszámolnunk, ezért két tizedesjegyre kerekített értékkel is ugyanezt az eredményt kaptuk volna. (, azaz tizedesjegy felel meg bináris jegynek.) 9. Nézzük meg, melyik az a két gépi szám, mely 5 -öt közrefogja. Egy lehetséges megoldás, hogy átírjuk tizedestörtbe (figyelve arra, hogy a mantisszához kellő pontosságú legyen), majd ezt az alakot átváltjuk bináris számmá. 5, 6 -tal dolgozunk. Az egész és tört részét külön váltjuk át. Az egészrésznél maradékosan osztunk kettővel. A hányadost az első oszlopba írjuk, a maradékot a második oszlopba. A törtrésznél a törtrészt szorozzuk kettővel, ez kerül a második oszlopba, az átvitelt (ha van) az első oszlopban tároljuk. Mivel 6 jegyű a mantissza, ezért a kerekítéssel együtt 7 jegyre van szükségünk, ez a törtrésznél 5 jegy kiszámítását jelenti. Mivel az 5. jegy, ezért felfelé kerekítünk, a kapott bináris szám utolsó jegyéhez egyet hozzáadunk binárisan. A táblázatból az egészrésznél a maradék jegyek kiolvasását lentről felfelé, a törtrésznél az átviteli jegyek kiolvasását fentről lefelé végezzük. Így, 6 kerekítése kettes
.. Megoldások 5 számrendszerben. lesz. 6 7 9 888 776 55 A kapott bináris számot normalizáljuk, azaz kettővel balra toljuk a bináris pontot. Így megkaptuk a mantissza jegyeit, a karakterisztika értéke a balra tolás miatt lesz. A gépi szám szokásos jelölésével felírva ( [ ] + ) 8 + 9, 5. 6 Ellenőrizzük a kapott szám helyességét. Mivel felfelé kerekítettünk, ezért meg kell néznünk a szám alsó szomszédját. Ez az ( [ ] + + ) + + 5, 875. 6 6 6 Összehasonlítva, hogy melyik szám van közelebb 5 -höz azt kapjuk, hogy az eredeti számunk. 5, 875, 857 >, 9, 5 5 Tehát fl( 5) [ ] 9, 5. A számábrázolásból származó abszolút hibakorlát (a karakterisztikát is figyelve) az utolsó helyiérték fele, azaz fl( 5) 6. A relatív hibakorlát (abszolút hibakorlát/közelítő érték) δ fl( 5) 9 9 8, 89. 7. a) A megoldáshoz használjuk fel a 6. feladat megoldásában az 6 bináris közelítésére kapott megoldást:.. Mivel most csak 6 hosszú a mantisszánk, ezért 6 jegyre van szükségünk az első egyestől. A 9. jegyben lévő -es miatt felfelé kerekítünk (a kettedes pont utáni két -t nem ábrázoljuk). Így fl( 6 ) [ ]. Ellenőrizzük, hogy [ ] és az [ ] közül 6 az utóbbihoz van közelebb. ( [ ] + 8 + ) 6 + +, 665 8 8 ( [ ] + 8 + + ) + 8 + +, 6796875 6 56 56 bináris közelítését úgy kapjuk, hogy jobbra léptetjük eggyel 6 bináris közelítését (kettővel osztunk):.. Mivel 6 hosszú a mantisszánk, ezért 6 jegyre van szükségünk az első egyestől. A. jegyben lévő -es miatt felfelé kerekítünk (a kettedes pont utáni három -t nem ábrázoljuk).
6. Gépi számábrázolás és hibaszámítás Így fl( ) [ ]. Ellenőrizzük, hogy [ ] és az [ ] közül közelebb. ( [ ] [ ] + 8 + ( + 8 + + 6 ) 6 + + 56, 8 az utóbbihoz van, 85 56 ) + 8 + +, 89875 5 5 A kivonást csak úgy tudjuk elvégezni, ha közös karakterisztikára hozzuk a számokat és kerekítünk. Ez a karakterisztika a nagyobbik lesz, mert így lesz kisebb a hiba. Az fl( ) kerekítése [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ] A kapott eredményt normalizálni kell (a bináris pontot eggyel jobbra toljuk és csökkentjük a karakterisztikát eggyel) [ ], 85. 56 c) fl( 6 ) [ ] abszolút hibakorlátja fl( 6 ) 6 9. fl( ) [ ] abszolút hibakorlátja Az eredmény abszolút hibakorlátja fl( ) 6. 56 6.. Az 5 6-ot tizedestörttel közelítjük (figyelve arra, hogy a mantisszához kellő pontosságú legyen), majd ezt az alakot átváltjuk bináris számmá. 5 6, 8 -mal dolgozunk. A számnak csak törtrésze van, ezt árírjuk bináris számmá (lásd a korábbi megoldásokat). Mivel most 6 hosszú a mantisszánk, ezért a 7. jegyben lévő miatt lefelé kerekítünk. A karakterisztika, mivel az első bináris jegy. 8 666 66 8 656 6
.. Megoldások 7 Ellenőrizzük, hogy 5 6 fl( 5 6 ) [ ]. ( [ ] + + 6 + ) 6 ( [ ] + + 6 + az [ ] és az [ ] közül az előbbihez van közelebb. Így + 6 + + 6 5, 885 6 ) 6 + 8 + + 7, 875 Az összeadást egyszerű elvégezni, mivel a karakterisztikák megegyeznek. Elvégezzük binárisan az összadást. [ ] + [ ] [ ] A kapott eredményt normalizálni kell (a karakterisztikát eggyel növeljük a keletkezett átvitel miatt) [ ] [ ] 5 6 5, 6565. Az összeg abszolút hibakorlátja 5 6 6.. a) A megoldáshoz felhasználjuk a 6. feladat megoldásában 6 bináris közelítését:.. Az bináris közelítését úgy kapjuk, hogy balra léptetjük eggyel az 6 bináris közelítését (kettővel szorzunk):.. Ellenőrizzük, hogy, az [ ] és az [ ] közül az utóbbihoz van közelebb. Így fl( 6 ) [ ] és fl( ) [ ]. ( [ ] + 8 + + ) 8 ( [ ] + 8 + + 8 + 56, 9875 6 + 6 + + 56 85, 5 56 ) 8 + + 8 + + 7 5 5 b) A kivonást csak úgy tudjuk elvégezni, ha közös karakterisztikára hozzuk a számokat és kerekítünk. Ez a karakterisztika a nagyobbik lesz, mert így lesz kisebb a hiba. Az fl( 6 ) kerekítése [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ] A kapott eredményt normalizálni és kerekíteni kell (a bináris pontot eggyel jobbra toljuk és csökkentjük a karakterisztikát eggyel) [ ] 85, 66565. 5 c) fl( 6 ) [ ] abszolút hibakorlátja fl( 6 ) 8.
8. Gépi számábrázolás és hibaszámítás fl( ) [ ] abszolút hibakorlátja Az eredmény abszolút hibakorlátja fl( ) 8. 85 5 8.. a) A -nak megfeleltetett gépi számot már az 8. feladatban kerestük, de akkor más mantisszával. Még egy jegyet számoljunk hozzá a törtrészhez és kerekítsünk. fl( ( ) [ ] + + 6 + + ) 6 + 6 + + + 55, 7875. Ellenőrizzük, hogy az [ ] és az [ ] közül az előbbihez van közelebb. Így fl( ) [ ]. A π,, ezt írjuk át bináris törtté a korábbi megoldásokban ismertetett módon π.. fl(π) [ ] 8 568 6 7 5 ( + + ) 6 + 8 + 5, 5 8 8 Ellenőrizzük, hogy π az [ ] és az [ ] közül az előbbihez van közelebb. Így fl(π) [ ]. b) A kivonást csak úgy tudjuk elvégezni, ha közös karakterisztikára hozzuk a számokat és kerekítünk. Ez a karakterisztika a nagyobbik lesz, mert így lesz kisebb a hiba. Az átalakítás [ ] [ ]. [ ] [ ] [ ] A kapott eredményt normalizálni és kerekíteni kell (a bináris pontot eggyel jobbra toljuk és csökkentjük a karakterisztikát eggyel) ( [ ] [ ] + 8 + ) 8 + +, 75. 6 8 8 c) fl( ) [ ] abszolút hibakorlátja f l(π) [ ] abszolút hibakorlátja fl( ) 6 6. fl(π) 6 5.
.. Megoldások 9 Az eredmény abszolút hibakorlátja 8 6 6.. A -nek megfeleltetett gépi számot a 7. feladatból leolvashatjuk, most 5 jegyű mantisszát keresünk fl( ) [ ]. A -nak megfeleltetett gépi szám a 8. feladatból fl( ) [ ]. Mivel azonos a karakterisztika, egyszerű összeadni. [ ] + [ ] [ ] Az összeg 5 jegyre kerekítve és normalizálva ( [ ] + + ) 8 + + 6. Az eredmény abszolút hibakorlátja 5.... Műveletek hibája 5. A, 7 közelítés abszolút hibakorlátja a két tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,7, 5. Az, 7 relatív hibakorlátja,7,7,5,7, 9 δ,7. A szorzat hibakorlátjaira vonatkozó tételből,7,7, 7,7, 7 δ,7,7 δ,7, 58. A relatív hibakorlátot számolhatjuk a definícióból is,7,7, 7, 7, 7, 999, 58 δ,7,7. 6. A, és a 8, 8 közelítés abszolút hibakorlátja a két tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,,8, 5. Az, relatív hibakorlátja,,,5,, 55 δ,. A, 8 relatív hibakorlátja,8,8,5,8, 77 δ,8.
. Gépi számábrázolás és hibaszámítás A szorzat hibakorlátjaira vonatkozó tételből,,8,,8 +, 8,, 5 (, +, 8), δ,,8 δ, + δ,8, 55 +, 77, 5. A relatív hibakorlátot számolhatjuk a definícióból is,,8,,, 8, 99, 5 δ,,8. 7. A, közelítés abszolút hibakorlátja a három tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,, 5. Az, relatív hibakorlátja,,,5,, 5 δ,. Az osztás hibakorlátjaira vonatkozó tételből,, +,,, 5 δ, δ, +, 5. A relatív hibakorlátot számolhatjuk a definícióból is,,, 5,, 7 δ., 8. A π, közelítés abszolút hibakorlátja a két tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,, 5. A, relatív hibakorlátja,,,5,, 6 δ,. Az osztás hibakorlátjaira vonatkozó tételből,, +,, δ, δ, +, 6. A relatív hibakorlátot számolhatjuk a definícióból is, 5, 5,,,, 5 9, 8596, 5 δ., 9. Az e, 78 és a π, közelítés abszolút hibakorlátja a három tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,78,, 5. A, 78 relatív hibakorlátja,78,78,5,78, 8 δ,78. A, relatív hibakorlátja,,,5,, 6 δ,. A szorzat hibakorlátjaira vonatkozó tételből,78,,,78 +, 78,, 5 (, 78 +, ), 9 δ,78, δ,78 + δ,, 8 +, 6,. A relatív hibakorlátot számolhatjuk a definícióból is,78,, 9, 78, 8, 59956, δ,78,.
.. Megoldások. A 7, 8 és a 6, 79 közelítés abszolút hibakorlátja a két tizedesjegyre való kerekítésből adódóan,8,79, 5. A relatív hibakorlátok és Így δ,8 δ,79, 7.,8, 8,79, 79, 5, 67, 8, 5, 6., 79 a) A számított különbség,. Az abszolút hibakorlátja,,8 +,79,. A relatív hibakorlátja a definíció alapján számolva,, δ,. b) A másik módon számolva,8+,79 89,59,8 +,79, A relatív hibakorlát 89,59 89,59 + 89, 59,, 5. 86 89,59 89,59, 5 89, 59, 6 δ 89,59. c) Az első rész eredményéből látjuk, hogy a közeli számok kivonása megnöveli a relatív hibát, most -szeresre nőtt. Az relatív hibakorlát túl nagy. Ezzel ellentétben a második részben kapott eredmény relatív hibája a kiindulási értékek relatív hibájával azonos nagyságrendű. Tehát ez a számítási mód stabilabb, megbízhatóbb eredményt ad.... Függvényérték hibája. abszolút hibakorlátja a kerekítésből adódóan, 5. relatív hibakorlátja δ,5 6. A függvényérték hibájára kapott f(a) M a becslés alapján számolunk, ahol M max{ f (x) : x k a (a)}. Mivel f(x) x és f (x) ln() x, így x [, 5;, 5]-re M ln(),5 5, 77. ln(),5, 5 ln(), 5 5, 6885 ln(),5, 5 ln() 6, 95 δ A kapott értékekből látjuk, hogy az abszolút hibakorlát kb. 5-szeresre, a relatív hibakorlát pedig kb. 6-szorosra nőtt.
. Gépi számábrázolás és hibaszámítás. abszolút hibakorlátja a kerekítésből adódóan, 5. relatív hibakorlátja δ,5 6. A függvényérték hibájára kapott f(a) M a becslés alapján számolunk, ahol M max{ f (x) : x k a (a)}. Mivel f(x) x és f (x) x, így x [, 5;, 5]-ra M, 5 7. 7, 5 7, 5 7 7 8 δ A kapott értékekből látjuk, hogy az abszolút hibakorlát a 7-szereséra, a relatív hibakorlát pedig több mint a kétszeresére nőtt.. A feladat szerint most, 8 a pontos érték, helyette π -gyel dolgozunk, mert ennek ismerjük a koszinuszát (cos( π ) ). Az π abszolút hibakorlátja a kerekítésből adódóan π, 5. A π relatív hibakorlátja δ π π,8,5,8, 65. A függvényérték hibájára kapott f(a) M a becslés alapján számolunk, ahol M max{ f (x) : x k a (a)}. Mivel f(x) cos(x) és f (x) sin(x), így x [, 75;, 85]-ra cos( π ) M sin(, 75), 68. cos( π ), 68, 5,,, 8 δ cos( π ) δ. A feladatban most, 5 a pontos érték és π 6 a közelítő érték, mert a szinuszát ismerjük (sin( π 6 ), 5). A π 6 abszolút hibakorlátja a kerekítésből adódóan π, 5. 6 A π 6 relatív hibakorlátja δ π π 6 6,5,5,5,. A függvényérték hibájára kapott f(a) M a becslés alapján számolunk, ahol M max{ f (x) : x k a (a)}. Mivel f(x) sin(x) és f (x) cos(x), így x [, 5;, 55]-ra M cos(, 55), 85. sin( π 6 ),5, 85, 5, 65 sin( π 6 ), 5, 65, 5, 85 δ,5 δ sin( π 6 )
. fejezet MÁTRIX SZORZAT FELBONTÁSOK.. Feladatok... Gauss-elimináció és determináns meghatározása. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval! A, b 6. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval! 5 9 A, b 6 5. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval és számítsuk ki az A mátrix determinánsát! A, b. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval és számítsuk ki az A mátrix determinánsát! 6 A 5 5 7, b 6 7 5. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval, részleges főelemkiválasztással és határozzuk meg a mátrix determinánsát! A 7, b 5 9
. Mátrix szorzat felbontások 6. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval, részleges főelemkiválasztással és határozzuk meg a mátrix determinánsát! 7 8 A 5, b 6 5 9 7. Oldjuk meg az alábbi Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval, teljes főelemkiválasztással és számítsuk ki az A mátrix determinánsát! A, b 5 8 8. Oldjuk meg az alábbi Ax b és Ax b lineáris egyenletrendszereket Gauss-elimináció segítségével úgy, hogy az A mátrixon az eliminációt csak egyszer végezzük el! A, b 5 8, b 5 8 9. Oldjuk meg az Ax b lineáris egyenletrendszert Gauss-eliminációval!...... A..., b............. ( ) n. Oldjuk meg Gauss-eliminációval az Ax b lineáris egyenletrendszert!...... A..., b................ Mátrix inverz meghatározása. Számítsuk ki az A mátrix inverzét és determinánsát Gauss-eliminációval! A 5
.. Feladatok 5. Határozzuk meg az A mátrix inverzét Gauss-eliminációval és adjuk meg a determináns értékét! A. Határozzuk meg az A mátrix inverzét Gauss-eliminációval és adjuk meg a determináns értékét! A. Határozzuk meg az A mátrix inverzét Gauss-eliminációval és adjuk meg a determináns értékét! A 5. Határozzuk meg az A mátrix inverzét Gauss-eliminációval és adjuk meg a determináns értékét! A 6. Határozzuk meg a következő (n n)-es mátrix inverzét Gauss-eliminációval!...... A............. 7. Határozzuk meg a következő (n n)-es mátrix inverzét Gauss-eliminációval!.................. A........................ 8. Határozzuk meg a következő (n n)-es mátrix inverzét Gauss-eliminációval!.................. A......................
6. Mátrix szorzat felbontások... LU-felbontás 9. Adjuk meg az A mátrix LU-felbontását és ennek segítségével határozzuk meg a determináns értékét! A 7 7. Adja meg az A mátrix LU-felbontását és ennek segítségével határozzuk meg a determináns értékét! 5 A 7. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását és ennek segítségével határozzuk meg a determináns értékét! A 7 5 9. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását és ennek segítségével határozzuk meg a determináns értékét! A 6 9 8. Készítsük el az A mátrix LU-felbontását a Gauss-eliminációval párhuzamosan! A 7 7. Készítsük el az A mátrix LU-felbontását a Gauss-elimináció segítségével, azzal párhuzamosan! 5 A 7 5. Készítsük el az A mátrix LU-felbontását a Gauss-elimináció segítségével! A 6 9 8 6. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk a parketta elrendezést! A 7 7
.. Feladatok 7 7. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk a parketta elrendezést! 5 A 7 8. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk az oszlopfolytonos elrendezést! A 7 7 9. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk az oszlopfolytonos elrendezést! 5 A 7. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk a sorfolytonos elrendezést! 5 A 7. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását mátrix szorzás segítségével, használjuk az oszlopfolytonos elrendezést! A 6 5 7 8 9 8 9 6. Határozzuk meg az A mátrix LU-felbontását sorfolytonos, oszlopfolytonos és parketta elrendezés segítségével! 6 A 6 7 9 8. Készítsük el az A mátrix egy particionálását, ahol az átlóban álló blokkok négyzetes mátrixok. [ ] A A A A A Tegyük fel, hogy A invertálható és az LU-felbontás során odáig jutottunk, hogy A területén készen vagyunk a felbontással, A helyén pedig már megváltozott elemek vannak, de még a felbontást nem végeztük el. Mutasssuk meg, ekkor A helyén az [A A ] Schur-komplemens található!
8. Mátrix szorzat felbontások... LDU-felbontás LU-felbontás segítségével. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A 8 8 5 7 5 5. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A 8 6. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A 7. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A 6 6 8. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A 9. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A. Adjuk meg az A mátrix LDU-felbontását az LU-felbontás segítségével! A
.. Feladatok 9..5. LDL T - és LL T - (Cholesky) felbontás. Adjuk meg az A mátrix LL T -felbontását! A. Adjuk meg az A mátrix LDL T - és LL T -felbontását! A 5 6. Adjuk meg az A mátrix LDL T - és LL T -felbontását! A. Adjuk meg az A mátrix LDL T - és LL T -felbontását! A 5. Adjuk meg az A mátrix LDL T - és LL T -felbontását! A 6. Adjuk meg az A mátrix LDL T - és LL T -felbontását! A 6..6. ILU-felbontás Gauss-eliminációval 7. Mi lesz az A mátrix J pozícióhalmazra illeszkedő részleges LU-felbontása? Határozzuk meg az L, U és Q mátrixokat! A J {(, ), (, ), (, )}
. Mátrix szorzat felbontások 8. Mi lesz az A mátrix J pozícióhalmazra illeszkedő részleges LU-felbontása? Határozzuk meg az L, U és Q mátrixokat! 5 A 5 J {(, ), (, )} 9. Mi lesz az A mátrix J pozícióhalmazra illeszkedő részleges LU-felbontása? Határozzuk meg az L, U és Q mátrixokat! 5 A J {(, ), (, )} 5. Mi lesz az A mátrix J pozícióhalmazra illeszkedő részleges LU-felbontása? Határozzuk meg az L, U és Q mátrixokat! A 5 5 J {(, ), (, ), (, )} 7 5. Mi lesz az A mátrix J pozícióhalmazra illeszkedő részleges LU-felbontása? Határozzuk meg az L, U és Q mátrixokat! 5 A J {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}..7. QR-felbontás Gram Schmidt-ortogonalizációval 5. Adjuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval! 5 A 6 8 5. Adjuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval! 6 A 8 7 5. Adjuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval! A 5 7 5
.. Feladatok 55. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval!, 8 A,, 7, 7 56. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval! Oldjuk meg a feladatot kétféleképpen! A 57. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval, használjuk az egyszerűsített módszert! Ne felejtsük el a végén a normálást! 6 A 5 6 9 58. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval, használja az egyszerűsített módszert! Ne felejtsük el a végén a normálást! 6 A 5 7 5 59. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval, használjuk az egyszerűsített módszert! Ne felejtsük el a végén a normálást! 5 A 6. Határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását Gram Schmidt-ortogonalizációval, használjuk az egyszerűsített módszert! Ne felejtsük el a végén a normálást! 8 A 7 6..8. Householder transzformáció 6. Householder transzformációval hozzuk az a [ ] T vektort k e alakra! Végezzük el a transzformációt a transzformációs mátrix elemeinek kiszámítása nélkül! 6. Írjuk fel azt a Householder transzformációs mátrixot, amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza!
. Mátrix szorzat felbontások 6. Írjuk fel azt a Householder-mátrixot, amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza! Mennyi lesz k értéke? 6. Írjuk fel azt a Householder-mátrixot, amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza! Mennyi lesz k értéke? 65. Householder transzformációval hozzuk az a [ ] T vektort k e alakra! Végezzük el a transzformációt a transzformációs mátrix elemeinek kiszámítása nélkül! 66. Householder transzformációval hozzuk az a [ ] T vektort k e alakra! Végezzük el a transzformációt a transzformációs mátrix elemeinek kiszámítása nélkül! 67. Adjuk meg azt a Householder transzformációt, mely az a [ ] T vektort k e alakra hozza és végezzük is el a transzformációt a vektoron! (A mátrixot nem kell előállítani.) 68. Adjuk meg azt a Householder transzformációt(a Householder-mátrix elemeit nem kell felírni), amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza! Alkalmazzuk a vektorra a transzformációt! 69. Adjuk meg azt a Householder transzformációt(a Householder-mátrix elemeit nem kell felírni), amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza! Alkalmazzuk a vektorra a transzformációt! 7. Írjuk fel azt a Householder-mátrixot, amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza, majd alkalmazzuk a mátrixra a transzformációt! Mennyi lesz k értéke? 7. Írjuk fel azt a Householder transzformációt, amely az a [ ] T vektort k e alakra hozza! Végezzük el a transzformációt a-n, a transzformációs mátrix elemeinek kiszámítása nélkül! 7. Householder transzformációk felhasználásával hozzuk felsőháromszög alakra a Cx d lineáris egyenletrendszert és oldjuk meg! C, d 7. Householder transzformációkkal hozzuk felső háromszög alakra a C mátrixot! C 7. A D mátrixot Householder transzformációkkal hozzuk felső háromszög alakra! [ ] D 75. Oldjuk meg az Ax b egyenletrendszert, ha az A mátrixnak adott a QR-felbontása. (Az A mátrix előállítása nélkül, Q és R felhasználásával oldjuk meg a feladatot.) Q H(v), a v [ ] T által meghatározott Householder-mátrix,
.. Megoldások b [ 5 ] T és R 9... Megoldások... Gauss-elimináció és determináns meghatározása. Az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldására a Gauss-eliminációt használjuk fel. Az elimináció lényege, hogy felsőháromszög alakú lineáris egyenletrendszert hozunk létre. A k. lépésben mindig a k. egyenlettel nullázzuk (elimináljuk) az x k ismeretlent a (k + ). n. egyenletekből. Az eliminációs lépéseket a mátrix elemein és az egyenletrendszer jobboldalán (b vektoron) is el kell végeznünk. Azért, hogy az eliminációs lépéseket könnyen el tudjuk végezni a jobboldalon is, vezessük be az úgynevezett bővített mátrixos jelölést. Ez azt jelenti, hogy az együttható mátrixhoz "hozzáragasztjuk" a jobboldalt reprezentáló b vektort. 6 Az első oszlopban kezdjük az eliminációt. Az első sor változatlan marad. A mátrix első oszlopában elimináljuk a főátlóbeli elem (a ) alatti elemeket. Fentről lefelé haladva végezzük az eliminációs lépéseket. Először a mátrix a elemét elimináljuk az első sor segítségével.. lépés: Az eliminációs lépésben a. sorból kivonjuk az első sor -szeresét, tehát. sor - ( ). sor. 6 5 5 Majd a. sorban található a elemet kell eliminálnunk az. sor segítségével. Tehát a. sorból kivonjuk az. sor ( )-szeresét, azaz hozzáadjuk az -szeresét. sor + ( ). sor. 5 6 5 5 5 6 5 5 5 5 Ezzel az első oszlopban a főátlóbeli elem alatti elemeket elimináltuk a mátrixból.. lépés: A második oszlopban található főátlóbeli elemek alatt kell eliminálnunk. Ennek megfelelően a jelenlegi mátrix esetén ez egyetlen elem (a 5) eliminációját jelenti.. sor + ( ). sor.
. Mátrix szorzat felbontások 5 5 5 5 5 5 5 Általánosságban egy nxn-es mátrix esetén n oszlopban kell eliminálnunk és a j-ik oszlopban az a j+,j,..., a n,j elemeket kell eliminálnuk. 5 5 Ezzel megkaptuk a célul kitűzött felsőháromszög alakú együttható mátrixunkat. A lineáris egyenletrendszer megoldását elemi úton, visszahelyettesítésekkel is meghatározhatjuk, de emellett bemutatunk egy egyszerű és könnyen automatizálható módszert is. a) Megoldás visszahelyettesítéssel: Alulról felfelé haladva soronként kiszámoljuk az ismeretleneket. Tehát ennek megfelelően az utolsó sorból indulva az x értékét számítjuk ki a következőképpen. 5x 5 x Ennek segítségével meghatározzuk a következő, vagyis a. sor egyetlen ismeretlen értékét az x -t. 5x + 5 5 x Innen pedig az első sorba visszahelyettesítve kapjuk x értékét az alábbiak szerint. Vagyis a keresett megoldás a következő. x + + ( ) x x b) Sorműveletek segítségével diagonális alakra hozzuk a mátrixot: A módszer lényege abban áll, hogy a Gauss-elimináció végeredményeként kapott mátrixot sorműveletek segítségével egységmátrixszá alakítjuk. Ez az alak azért lesz kellemes a számunkra, mert ilyen formában a megoldás vektort a transzformációk elvégzése után egyszerűen le tudjuk olvasni. Ehhez a Gauss-eliminációhoz használt módszert alkalmazzuk "visszafelé". A metódust a mátrix utolsó oszlopában kezdjük, de még az elimináció előtt az adott oszlop főátlójában található elemet leosztjuk önmagával, hogy így biztosítsuk a főátlóban az egyest. Ezt követően a főátló feletti elemeket elimináljuk. Tehát ennek megfelelően a. sort végigosztjuk 5-tel, majd pedig a. és az. sorokban elimináljuk a főátlóbeli elem (a 5) feletti elemeket a következőképpen. 5 5 5 5 5 5 5
.. Megoldások 5 Ezt követően a. sort végigosztjuk ( 5)-tel, majd pedig az. sorban elimináljuk a főátlóbeli elem (a ) feletti elemet (a ) a következőképpen. 5 5 Vagyis a keresett megoldás könnyen leolvasható. x. Az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldását Gauss-elimináció segítségével az előző feladatban részletesen bemutattuk, így a továbbiakban csak a legfontosabb részleteket, illetve az esetleges újdonságokat mutatjuk be.. lépés: Az első oszlopban a. sorhoz hozzáadjuk az első sor -szeresét, illetve a. sorból kivonjuk az első sor -szorosát, tehát. sor + ( ). sor.. sor - ( ). sor. 5 6 9 5 5 6. lépés: A következő lépésben a. sorban kell a főátló alatti elemeket eliminálnunk, de a példánkban szerencsére nulla került az a pozícióba, így nincs szükség az eliminációra. Ezzel elkészült a felső háromszögmátrix. 9 7 Sorműveletek segítségével diagonális alakra hozzuk a mátrixot. Az eliminációt nem kell feltétlenül az utolsó oszlopban kezdenünk, hiszen előfordulhat, hogy másik oszlop esetén egyszerűbb a kézi számolás. Fontos megjegyezni, hogy a felső háromszögmátrix kialakítása esetén ez az egyszerűsítés nem használható! A mostani példában a. oszlopban kezdjük az eliminációt. 5 6 9 7 6 5 7 Ezt követően az utolsó oszlopban kell eliminálnunk, vagyis a. sort leosztjuk ( 6)-tal, majd pedig az így kapott új. sor -szeresét hozzáadjuk a. sorhoz, illetve a. sor ( )-szeresét hozzáadjuk az. sorhoz. 6 5 7 8 5 8 8 Tehát az Ax b lineáris egyenletrendszer megoldása a következő. x 8 5 8 8
6. Mátrix szorzat felbontások. A korábban már bemutatott módszer lépéseit követve kapjuk az alábbi megoldást.. lépés:.sor + ( ).sor..sor + (+).sor. A A 5 5 5 Az első lépés után szerencsére megkaptuk a felső háromszögmátrixot. Mivel a Gauss-elimináció során csak sorműveleteket végeztünk, melyek nem változtatják meg a mátrix determinánsát, így a kapott felső háromszögmátrix (A ) determinánsa megegyezik az eredeti (A) mátrix determinánsával. A felső háromszög alakú mátrixok determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata. det(a ) a a a 5 5. Ezt követően a egyenletrendszer megoldásához szükséges diagonális alakot állítjuk elő. 5 5 5 Tehát az egyenletrendszer megoldása: x. A korábbi feladatokhoz hasonlóan a megoldás lépései a következők.. lépés:.sor + ( 5 ).sor..sor + ( ).sor.. lépés:.sor - ( 9 ).sor. 6 5 5 7 Innen a determináns: 6 7 Most diagonális alakra hozzuk a mátrixot. 6 6 7 9 det(a) ( ) 86. 56 9 6 78 9 6 7 9 78 9 9