1. A ozgáokról általában A világegyeteben inden ozog. Az anyag é a ozgá egyától elválazthatatlan. A ozgá időben é térben egy végbe. Néhány ozgáfora: táradali, tudati, kéiai, biológiai, echanikai. Mechanikai ozgáokat fogjuk vizgálni. A ozgá lehet: helyváltoztató helyzetváltoztató, egyzerre indkettő. Azokat a ozgáokat, aelyek helyváltoztató, helyzetváltoztató ozgáokból tevődik öze, echanikai ozgáoknak nevezzük. Kérdéek: 1) Mit nevezünk echanikai ozgának? ) Mi a különbég helyváltoztató é a helyzetváltoztató ozgá között?
. A echanikai ozgá térbeli jellezői A pontzerű tet a valóágo tetek odellje, aely odell a tetek kiterjedéét ne vezi figyelebe, pontzerűnek, töegpontoknak tekinti azokat. (az egéz tet töege egy pontba özpontoul) Pontzerűnek tekinthető a tet, ha a lényege távolágokhoz képet kiterjedée elhanyagolható. A tetek ozgáuk orán valailyen vonalat írnak le. A ozgá pályája: az a vonal (görbe) aelyen a tet ozog. Egyene vonalú Görbevonalú Szabályo Szabálytalan kör ellipzi parabola hiperbola rézege. :( Az idő alap fizikai ennyiég, aely kalár fizikai ennyiég. Jele a ki t. Mértékegyége a áodperc (ecundu). Mértékegyég jele: ki Időpont: Mikor kérdéel válazolunk időponttal. Idő egyeneen (időtengelyen) egy pont. Időtarta: Meddig kérdére válazolunk időtartaal. Az időtarta két időpont között eltelt idő. Időtengelyen két időpont közötti zakaz. -jel, ejtd: delta, a egváltozára utaló jel. Időtarta ateatikai felíráa: t t t1 Példa: t 1 1 t 15 időpontok között t t t1 15 1 5 az időtarta. A t t1 t 1 15 5 helytelen záolái ód!
Legyen a tet a t 1 időpontban a pálya A -val jelölt pontjában (kiindulái pont) t időpontban pedig a pálya B -vel jelölt pontjában (végpont). a Tehát a ozgá A -ból B irányba történik. Elozdulá vektor: a kiindulái pontból a végpontba utató vektor. Vektorennyiég. Út: A ozgá pályájának az a réze, aelyet a tet egy alatt fut be. Skalárennyiég. t időtarta Neve: út Jele: ki Mértékegyége: éter Mértékegyég jele: ki Radián: jele (görög fi) értékegyégének neve: radián, é annak jele: rad. 36 -nak rad felel eg. Az fokú zög é a radián között egyene arányoág áll fenn. ~ zög átváltáa radiánba: 36 18 radián átváltáa zögbe: 18 R ugarú körív kizáítáa -ből: i R Kérdéek: 1) Mi a pontzerű tet fogala? ) Mozgá zepontjából ikor ne tekinthető pontzerűnek a tet? 3) Mi a különbég a pálya é az út között? 4) Mi a különbég az út é elozdulá között? 5) Mely eetben egyenlő az elozdulá nagyága az út nagyágával? 6) Milyen kapcolat van a pálya é az elozdulá között?
3. A echanika feloztáa Két fő területe van: kineatika dinaika A tatika a dinaika peciáli eete. Kineatika: ozgáegyenleteket ír fel, aelyből bárely időpillanatra ki lehet záolni a tet által egtett utat, ebeégét é gyoruláát. Dinaika: azt vizgálja, hogy ilyen erő hatáára ilyen ozgá jön létre, vagy az erőből következtet a ozgáállapotra.
4. Egyene vonalú ozgáok kineatikai é dinaikai leíráa Egyene vonalú ozgáok feloztáa Egyene vonalú a ozgá, ha a ozgá pályája egyene. Egyene vonalú ozgáok: egyene vonalú egyenlete ozgá (ebeégvektor változatlan) egyene vonalú egyenleteen változó ozgá, (ebeégvektornak cak az abzolút értéke változik, de egyenleteen) egyene vonalú változó ozgá. (ebeégvektornak cak az abzolút értéke változik, vegyeen )
5. Az egyene vonalú egyenlete ozgá a) Kíérlet é a belőle levont következteté A vízzinteel zöget bezáró Mikola-cőben a buborék egyenlő idő alatt egyenlő utat tez eg. Kétzer, hározor hozabb idő alatt a buborék által egtett út i kétzer, hározor nagyobb. Az ilyen típuú ozgá orán a egtett út időegyégenként ugyan annyival (egyenleteen) változik, ezért egyenlete ozgának nevezzük. Mivel pedig pályája egyene vonalú, ezért az ilyen ozgátíput özefoglalóan egyene vonalú egyenlete a ozgának nevezzük. Tehát a egtett út é egtételhez zükége időtarta között egyene arányoág áll fen. ~ t Tehát a két fizikai ennyiég hányadoa állandó. t áll (arányoági tényező) Ezt, a ozgára jellező hányadot ebeégnek nevezzük. Egyene vonalú egyenlete ozgánál a tet által egtett bárely kiciny út egyeneen arányo a egtételhez zükége időtartaal t. Az arányoági tényező a ozgá állandó ennyiég, ait a ebeégnek nevezünk. v t Ha a kezdőtávolág, a kezdőidőpont, akkor az özefüggé alakban i felírható. t Egyenletrendezéel kapható: v vt, t v
b) A ebeég Vektor fizikai ennyiég. Száraztatott fizikai ennyiég. Neve: ebeég jele: ki v Mértékegyége: (éter per ekundu) Átváltá: -ból h k (kiloéter per órába) zorozni kell 3,6-del. Vizaváltánál oztani kell 3,6-del.
c) Az egyene vonalú egyenlete ozgát jellező grafikonok Az út-idő grafikon Egyene vonalú egyenlete ozgánál az út idő grafikon egyene. Lineári kapcolat. Ha t=-kor a kezdő távolág akkor az út tengely pontjából indul ki az egyene. Ha t=-kor a kezdő távolág, akkor a koordináta rendzer origójából indul ki az egyene. A ebeég-idő grafikon A ozgá állandó ennyiége a ebeég. Ezért a ebeég-idő grafikon az idő tengellyel párhuzao egyene. A ebeég-idő grafikon alatti terület érőzáa a egtett út érőzáával egyezik eg.
d) Egyene vonalú egyenlete ozgá dinaikai feltétele Egy tet akkor végez egyene vonalú egyenlete ozgát, ha a tetre ható erők eredője nulla. F
Mintafeladatok Egyenlete ozgá 1) Az eberi haj növekedéének ebeége c 4. Mennyit nő a haj egy nap alatt? év Megoldá: c A 4 azt jelenti, hogy egy év alatt 4 c növekedé következik be. év c c c Azt kell eghatározni, hogy 4 ennyi -nak felel eg. év nap d Egy 1év=365 nap. Ezt az év helyére beírjuk. c c 4 c c 4 4,196 év 365d 365 d d Tehát naponta:,196 c a hajzál növekedée. Mivel 1 1c, ezért naponta,196 a hajzál növekedée éterben kifejezve.. Egy gépkoci egyenleteen halad az egyene orzágúton. Az utaok 1 perc (perc=in) alatt 13 kiloéterkövet záolnak eg. Hány a ebeége. Mennyit utat a kezdő kiloéter ebeégérő óra. Megoldá: Adatok felvétele. t 1in 6 13k 13 Száolá. Mivel egyenlete ozgáról van zó, ezért alkalazható v. t 13 13 13 Helyetteítük be az értékeket. v 1. 6 6 6 6 Tehát a ebeég v 1. 6 k A kiloéter ebeégérő óra a ebeéget értékegyégben utatja. h Tehát áodik kérdére, azzal tudunk válazolni, ha a v 1. 6 ebeéget átváltjuk k -ba. k k v 1.6 1.63,6 77,99 A kiloéter ebeégérő óra h h h k v 77,99 ebeéget utat. h
3. Két autó indul egyzerre egyá ellől. Hány éterre leznek egyától fél óra k úlva, ha az egyik, 5,4 a áik18 ebeéggel halad. h Megoldá k v1 5,4 5,4 :3,6 14 h v 18 t 3 in 3 6 18 Kizáoljuk, hogy ennyi utat tez eg az egyik autó, é ennyit a áik autó. 1 v1t 14 18 5 vt 18 18 34 A két tet közötti távolág a egtett utak közötti különbéggel egyenlő. 34 5 7 1 A két autó félóra úlva 7-re leznek egyától. Máik egoldái ód: 1 vt v1t v v1 t 18 14 18 4 18 7
6. Változó ozgá Változó a ozgá, ha ebeégének nagyága, vagy ozgáának iránya, vagy indkettő változik. Átlagebeég : a változó ozgá eetén a egtett öze útnak é a egtételhez zükége telje időnek hányadoa. Az a ebeég, aellyel a tet a ozgá pályáján egyenlete ebeéggel végighaladva ugyan annyi idő alatt tenné eg a telje utat. Mi a jelöléére: v átl jelölét haználjuk. Pillanatnyi ebeég: nagyon kici időtartahoz tartozó átlagebeég. Az a ebeég aellyel a tet a ozgáát a ozgát létrehozó erők egzűnte után ozogna egyenleteen, egyene vonalú pályán. Mi a jelöléére: v pill jelölét haználjuk.
Mintafeladat 4. Egy gépkoci v 1 5 ebeéggel halad 1 percig, azután v 15 ebeéggel folytatja útját 15 percig. Mennyi az öze egtett útja? Mennyi a ozgái ideje? Mennyi az átlag ebeége? Megoldá v 1 5 v 15 t1 1in 1 6 6 t 15in 15 6 9 Kizáoljuk, hogy ennyi utat tez eg az egyik illetve a áik ebeéggel 1 v1t 1 5 6 15 vt 15 9 135 Özeen egtett út 15 135 85 1 Telje ozgáidőtarta t t1 t 6 9 15 öze 85 vátl 19 t 15 telje Ezzel a ebeéggel egyenleteen haladva a gépkoci ugyanannyi idő alatt tezi eg az utat.
7. Egyene vonalú egyenleteen változó ozgá a) Kíérlet é a belőle levont következteté Az egyene vonalú egyenleteen változó ozgá Galilei-lejtő egítégével zeléltethető. Négy párhuzao pályán egyzerre indítunk el egy-egy golyót. A golyók útját cengők zárják el. Az elő pályán a golyó a cengőig 1 c hozú utat tud egtenni, a áodikon 4 c-t, a haradikon 9 ct, a negyediken 16 c-t. Ha a golyókat egyzerre elindítjuk úgy halljuk, hogy egyenlő időközönként koppannak a cengőkhöz. Kétzer, hározor, négyzer hozabb idő alatt a golyó által egtett út négyzer, kilenczer, tizenhatzor nagyobb. Az ilyen típuú ozgá orán a egtett út időegyégenként négyzeteen változik. Ezért a ozgát változó ozgának nevezzük. Látni fogjuk hogy a tet ebeége az idővel egyeneen arányo, pályája egyene vonalú, ezért a ozgát egyene vonalú egyenleteen változó ozgának nevezzük. A nulla kezdőebeég eetén a tet által egtett út é az eltelt időtarta négyzete között egyene arányoág áll fen. ~ t Tehát a két fizikai ennyiég hányadoa, t állandó. A tet pillanatnyi ebeége é az eltelt időtarta között egyene arányoág áll fen. v ~ t Tehát a két fizikai ennyiég hányadoa állandó. v t áll (arányoági tényező) Ezt, a ozgára jellező hányadot gyorulának nevezzük. Ha a> a ebeég egyenleteen nő az idővel. Ha a< a ebeég egyenleteen cökken az idővel.
b) Gyorulá Az egyene vonalú egyenleteen változó ozgá állandó ennyiége a gyorulá. A gyorulá záértéke egutatja, hogy egy áodperc alatt ennyivel változik eg a tet ebeége. A gyorulá jele: ki a. Mértékegyége: v v v 1 t t a v vt v a t t Egyenletrendezéel adódik: v v at at Ha kezdő időpont t=, akkor az özefüggéeket alakban i írhatjuk. v v v t a t t v v at at Egyenleteen változó ozgá eetén a pillanatnyi ebeéget egkapjuk, ha a tet kezdőebeégéhez hozzáadjuk a t idő alatt v at bekövetkező ebeégváltozát. A gyorulá vektorennyiég, aelynek nagyága é iránya van. Száraztatott fizikai ennyiég. v Példa: A tet -ról 36 -ra t 8 alatt gyorul fel. Mekkora a 36 16 v vt v gyoruláa? a t t 8 8
c) Az egyene vonalú egyenleteen változó ozgát jellező grafikonok c) Gyorulá-idő grafikon A gyorulá-idő grafikon az időtengellyel párhuzao zakaz. A grafikon alatti terület érőzáa a t idő alatt bekövetkező ebeégváltozá érőzáával egyezik eg. e) Pillanatnyi ebeég-idő grafikon A ebeég-idő grafikon alatti terület érőzáa a egtett úttal egyezik eg. f) Út-idő özefüggé eghatározáa, é -t grafikon. A ebeég-idő grafikon alatti területből eghatározható: v vt t Ebbe a képletbe, ha a pillanatnyi ebeégre vonatkozó özefüggét beírjuk: v vt v v at v at a t t t vt t Ez a négyzete úttörvény. Az egyenleteen változó ozgá út idő grafikonja fél parabola.
g) Egyene vonalú egyenleteen változó ozgá dinaikai feltétele Egy tet akkor végez egyene vonalú egyenleteen változó ozgát, ha a tetre ható erők eredője állandó. F állandó
Mintafeladat c) Mekkora utat tez eg 7 alatt? Megoldá v t 5, 5 a? v t? Mivel egyenleteen gyoruló ozgáról van zó, ezért az erre a ozgátípunál tanult özefüggéek haználható. Mivel az alábbi képletben cak a v t ieretlen, ezért az abból kifejezhető egyenletrendezéel. v vt t Mindkét oldalt: egzorozzuk -vel oztjuk t-vel t Mindkét oldalból kivonjuk v -t.,5 1 1 t v Tehát az elért ebeég Gyorulá Behelyetteítünk: v, t 5 5 5, v at özefüggéből kifejezhető, ert cak a gyorulá ieretlen benne. Mindkét oldalból kivonunk v -t. Mindkét oldalt oztjuk t -vel.,, vt v, a, 4 t 5 5 5 A gyorulá a,4 (egjegyzé: 1 1 : : ) 1 a A 7 alatt egtett út, vt t özefüggéből (négyzete úttörvény) eghatározható, ert benne a fenti adatok alapján cak az út ieretlen.,4 a vt t 7 7, 49, 98 A 7 alatt egtett út,98.
Megoldá v a 5 v at egyenletben két ieretlen van. v vt t egyenletben két ieretlen van. a vt t egyenletben egy ieretlen van, az idő, ezért előzör ezt haználjuk. Az időt kifejezzük. Figyelebe vezük, hogy Mindkét oldalt kettővel zorozzuk, a-val oztjuk é gyököt vonunk! a v t t a t v at egyenletbe behelyetteítünk. Figyelebe vezük, hogy v. v at a a a a a 5 14,14