e = ρ( r )dv. N = D n df.

Ä ÃÌÊÇ ÁÆ ÅÁà ŠÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø ¾º Ð µ

Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ò Ý Ú ØÓÖØ ÖÖ Ð ÐÐ Ñ ÞÞ E, D, H Bº ÐÝÒ Þ Ò Ú ÒÝ º Ø Ö Þ Ð Ú ÐØÓÞ Ù Ø Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Þ Ø ÖÚ ÒÝ Þ ÐÝÓÞÞ º Þ Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ó ÐÑ ÞÞÙ Ñ º Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ð ¹ Ò Ø Ñ º

½º Ì ÒØ Ý V Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ñ ÐÝ Ø Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Ø ÐØ ρ = ρ( r ) Ø Ö Ó Ø ò¹ Öò ÐÓ ÞРк V Ø Ö Ó Ø Ò Ð Ú Þ Ø ÐØ e = ρ( r )dv. V V e V Þ e Ø ÐØ ÐØ Ð ÐØ ØØ D Ú ØÓÖ ÖØ Ø Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ñ Ñ Ö Ø º Ý Ø Ý Ð Ó Ý D Ú ØÓÖ ÖØ Ø Þ Ð Ð Ø Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ñ Ö¹ º ÞÙØ Ò Ô Þ Ø Þ Ð ÒØ Ö ÐØ N = D n d. Þ Ò ÒØ Ö Ð Ð ÒØ Þ Ð Ð Ø Ò Ø Ð Ð ØÖÓÑÓ Ò Ù ÚÓÒ Ð Þ Ñ º N Þ Ð ØÖÓÑÓ Ò Ù ÙÜÙ º

Ø Ô ÞØ Ð Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý D nd = ke ËÁ k = 1 k = 4π N = D n d = e. Þ N Ò Ù ÙÜÙ Ö ÒÝÓ Þ Ð Ð Ø Ð Ò Ð Ú Þ Ø ÐØ Ðº Þ Þ Þ Ù ¹Ø Ø Ðº ýø Ð ØÚ D n d = V ρdv, Ù ¹Ç ÞØÖÓ Ö Þ ¹Ø Ø Ðµ V div a dv = a nd µ D n d = V div DdV = V ρdv V (div D ρ)dv = 0,

(div D ρ)dv = 0. V Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ Þ Þ ÒØ Ö Ð V Ø Ö Ó Ø Ú Ð ÞØ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ñ Ò¹ Þ ÖÙ º Þ Ý Ð Ø Þ ÒØ Ö Ò Ù Þ Ø Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò ÐØòÒ div D = ρ. Å ÜÛ ÐÐ ¾º Ý ÒÐ Ø Ù ¹Ø Ø Ð Ö Ò Ð Ð Ò Ú Ð Ñ Ó¹ ÐÑ Þ ºµ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ý V Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò div D = 0 Ð Ð Ø Ò D ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ñ Ý Ø Ý V Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò div D 0 Ð Ð ØÖ Ú ØØ ÙÜÙ Þ ÖÙ Ø Ð Ð Ò¹ Þ

div D ÓØØ Ð Ò Þ Þ ÖÙ Ø Ð ÓÐ Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Ú Òº D ÚÓÒ Ð Ø ÐØ Ð Ò ÙÐÒ Ø ÐØ ØÓÖ ÓÐÐ Ò º Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø ÐØ Þ Ò Ù ÚÓÒ Ð ÓÖÖ Ú Ý ÒÝ Ð º À div D > 0 Ø ÐØ ÔÓÞ Ø Ú ÙÜÙ > 0 Ú Ý Ð Ñ ÒÒ Þ Ò Ù ÚÓÒ Ð º À div D < 0 (ρ < 0) ÙÜÙ < 0 Ú Ý Ð Ñ ÒÒ Þ Ò Ù ¹ ÚÓÒ Ð º Ì Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ò Ù ÚÓÒ Ð ÔÓÞ Ø Ú Ø ÐØ Ð Ò ÙÐÒ Ò Ø Ú Ø ÐØ Ò Ú Þ Ò º ÓÖÖ Ó ÒÝ Ð Þ E Ø Ö Ö ÞØ Ø D Ò Ù Ú ØÓÖ ÐÐ ÑÞ º div D = ρ Ý ÒÐ Ø Ð Ú Ø Þ Ó Ý D Ú ØÓÖØ Ö ØÐ Ò ØØ Ð Ó Ý Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ò ÒÝ Þ Ò ÐÝ Þ Ò Ð Þ Þ Ø Ö Ø Ý ÒÝ Ø ÐØ º Å Þ Ú Ð Ø Ö Ò ε¹ò Ò Ò Ò Þ º

¾º Á Ñ ÖØ Ó Ý Ú Þ Ø Ò ÓÐÝ Ö Ñ Ñ Ö Ð I Ñ Ò Ø Ö Ø Ðغ Ì ÒØ Ò Ý Ú Þ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò I Ö ò Ö Ñ ÓÐÝ º Þ Ö Ñ ÐÓ ÞÐ Ø j Ö Ñ¹ òöò Ö Ð Ñ ÐÝ I¹Ú Ð Ú Ø Þ Ô ÓÐ Ø Ò Ú Òº I = j n dq. q Ú Þ Ø Ö ÞØÑ Ø Þ Ø q j q s s Ú Þ Ø Ø Ö ÐÚ Ú Þ ÖØ Ö º Ì Ø Ð ÞÞ Ð Ó Ý Ñ Ò Ø Ö H Ø Ö Ö Ñ ÖØ Þ s Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Òº ÞÙØ Ò Ô Þ Ø H Ö Ñ ÒØ ÚÓÒ Ð ÒØ Ö Ð H ds. s

Ö Ø H ds = I. Ø Ô ÞØ Ð Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ö ÞÖ Ó Ú Þ Ø Ø H d s = ki, ËÁ k = 1 k = 4π C = 3 1010 cm/sµ Ö Ò Ñ Ó Ö Ð Ú Þ Ø Ø H ds = 0. Þ Ö Ñ ÐØ Ð ÐØ ØØ Ñ Ò Ø Ö Ð ÔØ ÖÚ ÒÝ Ø Ø Ú Ø Þ Ð Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ö ÒØ ÖÚ ÒÝ ÓÒÚ Ø Ú ÓÒ Ù Ø Ú Ö ÑÓ ÐØ Ð ÐØ ØØ Ñ Ò Ø ÖÖ ºµ

Þ ÒØ Ö Ð Þ Ö Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ø Ö Ò Øº Þ ÐÑ Ð Ø Þ Ò ÐØ Ð Ò ÖÖ Ø Ö Þ Ò ºµ Ð ÞÒ ÐÚ ËØÓ ¹Ø Ø ÐØ L a ds = (rot a ) n d µ S H ds = rot H d. I Ó ÓÐ Ð Ð Ð Ø ÒØ Ö Ð ÓÐÝ Ò Ð Ð ØÖ ÖØ Ò Ñ ÐÝ Þ s Þ ÖØ Ö Ö ÐÐ Þ s Þ Ð Ð Ø Ø ÖÓÐ Ö µº s Å Ú Ð Ú Þ Ø Ò Ú Ð j 0 Ý I = q j n dq = j d. ÞÞ Ð s H ds = rot H d = I = j d.

ÞØ Ø Ð ØÚ (rot H j ) d = 0. Þ Þ ÒØ Ö Ð Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö Òص Þ Ð Ð Ø Ú Ð ÞØ Ø Ð ØÐ Ò Ð Þ ÖÙ rot H = j. À Ñ ÖØ j ÓÖ H Ñ Ø ÖÓÞ Ø º À Ñ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ø Ú ÓÒÚ Ø Ú Ö Ñ Ý ØØ ÐØ ÓÖ rot H = j + ρ v. Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ÓÖ Ô Ù Ý Ð Ñ Ú Þ Ó Ý Ò Ú ÐØÓÞ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ñ Ò Ø Ö Ø Ðغ ÓÖ Ñ Ò Ø Ö Ø Ñ ¹ Ø ÖÓÞ ÒØ Ö Ð Þ Ú Ø Þ s H ds = ( j + ρ v + D t )d.

Å ÜÛ ÐÐ ½º ÁÒØ Ö Ð Ý ÒÐ Ø s H ds = ( j + ρ v + D t )d. Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø rot H = j + ρ v + D t, ÓÐ D t := ÐØÓÐ Ö Ñ òöò º

º Ç Ö Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ñ Ò Ð Ò Ò Ñ ØÐ Ò ÝÑ ¹ Ø Ðº Ú Þ Ø Ò ÓÐÝ Ö Ñ Ñ Ò Ø Ö Ø ÐØ Ö Ý Þ Ö ÒØ Ù Ð Ð Ø Þ º Ñ Ò Ø Ö ÐØ Ð ØÖÓÑÓ Ö ¹ ÑÓغ ÑÓÞ Ñ Ò Ò Ò Ú ÐØÓÞ Ñ Ò Ø Ö Ú Ò Ñ ÐÝ Ñ Ö Ð Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ø Ðغ Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ö ÚÓÒ Ð Þ ÖØ Ö º À Ø Ö Þ ÖØ Ú Þ Ø Ø ÐÝ Þ Ò ÒÒ Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ö ÑÓØ Ò Ø Ñ º  й Ð ÑÞ Ö Þ E Ò Ù ÐØ Ð ØÖÓÑÓ Ö Ø ÞÒ Ð Ù º Þ Ò ÞØ ÑÙÒ Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö ÓÖ Ú Þ ÔÓÞ Ø Ú Ý ÒÝ Ø ÐØ Ø Þ ÖØ Ö Ñ ÒØ Ò Ý Þ Ö Ú ÑÓÞ Ø E = E ds.

Î Ý Ò Ý Þ ÖØ Ö Ø Ö Ø Ø Ñ ÐÝ Ø Ò Ý Ð Ð Ø Ø ÖÓк Ð Ð Ø Ò ØÑ Ò Ñ Ò Ò Ù ÙÜÙ Ø Þ Þ = B d ÒØ Ö Ð Ñ º Ñ Ò ÑÓÞ Ø ÓÖ Þ ÙÜÙ Ú ÐØÓÞ º Ø Ô ÞØ Ð Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý E = d dt. Þ Ò Ù ÐØ Ð ØÖÓÑÓ Ö Ò Ý Þ Ò Ù ÙÜÙ Ý Ú ÐØÓ¹ Þ Ú Ð Ý Þ Ñ ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Þ Ò Ù ÚÓÒ Ð Ö ÒÝ Ò ÞÚ ÙÜÙ Ò µ ε = E d ds = Bd. dt

ËØÓ ¹Ø Ø ÐÐ Ð Ø Ð ØÚ µ Ed s = rot Ed rot Ed = B t d. ÐØ Ø Ð ÞØ Ó Ý Þ ÒØ Ö Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Þ Þ Þ ÖØ Ö ÒÝÙ Þ µ Ý Þ Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð Þ ÒØ Ö Ð Ð Ð Ú Ø ºµ Þ ÓÖ Ø Ð Ð Ø Ñ Ò Ò Ð Ð ØÖ B t rot E = B t. Þ Ö Ý¹ Ð Ò Ù Ø ÖÚ ÒÝ Ú Ý Å ÜÛ ÐÐ º Ý ÒÐ Ø º

º Ì ÒØ Ý V Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ñ ÐÝ Ø Þ Þ ÖØ Ð Ð Ø Ø ÖÓк Á Ñ ÖØ Ó Ý Ñ Ò Ò Ù Ú ØÓÖ ÖØ Ø Ö ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø º Þ ÖØ Ø Ø Ð ÞÞ Ð Ó Ý B Ú ØÓÖ Ð Ð Ø Ñ ÒØ Ð ÒÓÖÑ Ð Ò ¹Ö Ú ØØ ÒØ Ö Ð B n d = Bd. n Ø Ô ÞØ Ð Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ Þ ÒØ Ö Ð Ð Ð Ø Ú Ð ÞØ Ø Ð ØÐ ¹ Ò Ð Ñ Ò Þ ÖÙ Bd = 0. Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ Ð Ð Ø Ò ¹ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ù ÚÓÒ Ð Þ Ñ Ò Þ Þ ÖÙ º ÚÓÒ Ð Ò Ò Ò Ø ÖØÓÑ ÒÝÓÒ Ð Ð ÓÖÖ Ù ÞÓ Þ ÖØ Ö º V

Bd = 0. ýø Ð ØÚ Ù ¹Ç ÞØÖÓ Ö Þ Ø Ø ÐÐ Ð Ô Ù Bd = div BdV = 0. V Þ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ó ØØ Ð ØÐ Ò Þ ÖÙ º Þ Ý Ø Ð Ð Ø div B = 0. Å ÜÛ ÐÐ º Ý ÒÐ Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ò Ø ÐØ Ò Ò ÒÒ Ñ Ò Ò Ù Ú ØÓÖØ Ö Ñ Ò Ò ØØ ÓÖÖ Ñ ÒØ º

Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø Ö Ò Ð Ð rot H = j + ρ v + D t, div D = ρ, ½µ ¾µ rot E = B t, µ div B = 0. µ Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ð ÔÔÖÓ Ð Ñ Ú Ø Þ Ñ ÓØØ Ø ÐØ Ö Ñ Ð¹ Ó ÞÐ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Ø Ö º ÓØØ Ø Ø j, ρ, v Ñ ÒØ ÐÝÒ Ò Ú ÒÝ º Ã Ö Ø Ö Ø Ð Ö E, D, H, B Ú ØÓÖÓ Ø ÐÝ Ú ÒÝ Òغ

Å ÜÛ ÐÐ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ E D ÐÐ ØÚ H B Ò Ñ ØÐ Ò ÝÑ Ø Ð Þ ØØ Ø Ö Ø Ø ÐØ Ñ ÖÓ Þ Ô Ù ÒÝ Þ Ø Ð Ô¹ ÓÐ ØÓ ÐÐÒ ÒÒº Þ ÖØ Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ Þ Ø Ò Þ ÒÝ Þ Ö ÐÐ ÑÞ Ý ÒÐ Ø Ðº ½ Î ÙÙÑ Ò ε 0 E = D µ0 H = B. ¾ ÁÞÓØÖ Ô Þ Ò D = ε 0 ε r E ÐÐ ØÚ B µ0 µ r H. ε Ð ØÖÓÑÓ Ý ØØ Ø ε( r, T, ρ a ) µ Ñ Ò Ô ÖÑ Ð Ø µ( r, T, ρ a ) À ε µ ÐÐ Ò ÓÑÓ Ò ÞÓØÖ Ô Þ º

Å ÐÝ Ò Þ Ú Ò Ú Þ Ø Ò ÓÐÝ Ö Ñ Ö Þ ÞØ Ð ØÖ ÓÞ Ø Ö Ö Þ ØØ Ì ÒØ Ò Ý Ú ÓÒÝ Ú Þ Ø Þ ÞØ Ø Þ Ð ÔÓÒØ P 1, P 2 Þ ØØ ÔÓØ Ò Ð Ð Ò Ø Ð Ð Φ¹Ú Ðº Φ ÔÓØ Ò Ð Ð Ò Ò ÞØ ÑÙÒ Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö ÓÖ Ú Þ ÔÓÞ Ø Ú Ý ÒÝ Ø ÐØ Ø Þ Ö Ñ Ö ÒÝ Ò ÐÑÓÞ Ø Þ Ý ÔÓÒØØ Ð Ñ P 1 P 2 µºµ Ä Ý Ò P 1 P 2 Þ Þ Ó Þ l Ú Þ Ø Ö ÞØÑ Ø Þ Ø qº Þ Ç Ñ¹Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ú Þ Ø Ò ÓÐÝ Ö Ñ I ÒØ ÒÞ Ø Ö ÒÝÓ Φ ÔÓØ Ò Ð Ð Ò ¹ Ð q Ö ÞØÑ Ø Þ ØØ Ð ÓÖ ØÚ Ö ÒÝÓ Þ Þ l Ó Þ Ú Ð I = σ Φ q. ( ) l σ Ö ÒÝÓ Ø ÒÝ Þ Ú Þ Ø ÒÝ Ö ÐÐ ÑÞ Ñ ÒÒÝ Ò Ú Ú Þ Ø ¹ Ô º

ØØ Þ l σq I = σ Φ q, ( ) l Ñ ÒÒÝ Ø Ú Þ Ø Þ Þ ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ò Ú ÞÞ R ¹Ö Ð Ð Ð R = l σq, I = Φ R. µ µ ÒØ Ö Ð Þ º ( ) Ö Ò Ð Ð Ö Ø ÖÚ j = I q = σ Φ, l

j = I q = σ Φ, l tartson P 2 P 1 j P1 = lim l o σ Φ l = σ gradφ P1. Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ö Ý ÔÓÒØ Ò ÖÚ ÒÝ Ñ ÒÒÝ Þ ØØ Ø Ö ÑØ Ô Ó¹ Ð ØÓغ Ð ÝÚ P Ò Ü Ø Þ Ð Þ Ú Þ Ø ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Ö Þ j = σ gradφ

j = σ gradφ. Φ¹Ø Þ Ý ÒÝ ÔÓÞ Ø Ú Ø ÐØ P 1 ¹Ø Ð P 2 ¹ Ø ÖØ Ò ÑÓÞ Ø ÓÖ Ú Þ ØØ ÑÙÒ Ú Ð Ò ÐØÙ º Þ ÑÙÒ Þ = e E ÔÐ Ø Ð Ô Ò Ú Ø Þ Þ Þ Ñ ÒØ ÒØ Ö ÐÐ Ð Ý Þ Ñ Φ = P2 P 1 Ed s. Ð Ú Ø Þ Ó Ý Φ E Þ ØØ ÒÒ ÐÐ Þ E = gradφ Þ º

ÓÖ j = σ gradφ = σ E. Å Ú Ð Þ Ö Ñ Ö ÒÝ ÔÓÞ Ø Ú Ø ÐØ ÑÓÞ Ö ÒÝ Ú Ð Ø Ø Þ E Ö ÒÝ Ú Ð Ý Þ Ñ Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ð Ø Ð Ý Ø Ù j = σ E. Þ Ç Ñ¹Ø ÖÚ ÒÝ Ö Ò Ð Ð Òºµ  РÒØ Þ Ö Ñ òöò Ú Þ Ø ÖÑ ÐÝ ÔÓÒØ Ò Ö ÒÝÓ Þ Ð ØÖÓÑÓ Ø Ö Ö Ð Þ Ö ÒÝÓ Ø ÒÝ Þ σ Ú Þ Ø Ô º σ ÖØ ÐØ Ð Ò Ø ÐÝØ Ð Ñ Ö Ð ØØ Ð σ( r, T)º À σ ÐÐ Ò ÓÖ ÓÑÓ Ò Ú Þ Ø Ö Ð Þ Ð Ò º

D = ǫ0 ǫ r E, B = µ0 µ r H, j = σ E. Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ø ÒÝ Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ú ÞÞ Ñ Ú Ð Þ Ö Ð¹ Ð ÑÞ ε, µ, σ ÒÝ Ý ØØ Ø Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ò Ý Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ ØØ Ð Ý ØØ Ò Ö Ð Þ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ö Þ ØÓ Øº

Å ÜÛ Ðй Ý ÒÐ Ø ÁÒØ Ö Ð Ð ½º Hd s = d s dt Dd + I, ¾º Dd = Q, º s Ed s = d dt Bd, º Bd = 0º Ö Ò Ð Ð ½º rot H = D t + j + ρ v, ¾º div D = ρ, º rot E = B t, º div B = 0. ÒÝ Ý ÒÐ Ø ½ D = ǫ 0 ǫ r E, ¾ B = µ 0 µ r H, ÓÐ ǫ µ σ(t, r, ρ a ). j = σ E,