A FIZIKA TANÍTÁSA A TALAJÓL KÖSZÖÜLVE VISSZAPATTANÓ LABDA MECHANIKÁJA 1 ÉSZ Mikor paan föl a labda függôlegesen agy issza az eldobó kezébe? Horáh Gábor, Szferle Taás ELTE, Biológiai Fizika Tanszék Nagy-Czirok Lászlóné Kiszi Magdolna, Gudon Oliér, Nagy Norber Kiskunhalasi Fazekas Mihály Álalános Iskola Aszalienisz-érkôzések közben bizonyára ár indenki láo az aszalról furcsán isszapaanó pingponglabdá, ai a ne ár irányban paan issza, ondjuk függôlegesen, agy ég eglepôbb ódon isszafelé, egzaara az ellenfele E szokalan isszapaanási irányoka a labda speciális pörgô-ô ozgása okozza Ilyen rendkíüli iszszapaanásoka néha ás labdajáékok (például labdarúgás, röp-, kosár- és kézilabda) során is egfigyelheünk Vajon ilyen feléelek eljesülése elle paan issza egy labda a alajról pon függôlegesen, agy éppen issza az eldobó labdajáékos kezébe? Cikkünkben erre álaszolunk Az 1 részben részleesen árgyaljuk a alajról e-e isszapaanó pörgô labda echanikájá A 2 részben pedig az eléleileg leezee speciális isszapaanási irányoka állíjuk elô egy ornaereben kosár- és pingponglabdákkal, és indez filfeléelekkel, illee a belôlük készül képsorozaokkal szelélejük Írásunkkal egy sporechanikai példá uaunk arra, ikén kelheô föl a labdajáékoka kedelô és ûzô diákok érdeklôdése a fizika irán Visszapaanáskor belapuló labda függôleges irányú ozgása Tekinsük a alajról e isszapaanó, pörgô labda ozgásá Az sugarú, göb alakú labda ω szögsebességgel forogjon ízszines engelye körül, ai legyen erôleges a beesési és isszapaanási irány álal eghaározo függôleges síkra (1 ábra) A labda súlyá az üközésnél fellépô nagy alajerô elle elhanyagolhajuk, és a behorpadásáól elekine a labdá ere esnek ekinhejük Nagy-Czirok Lászlóné Kiszi Magdolna eserpedagógus, a Kiskunhalasi Fazekas Mihály Álalános Iskola aeaika-fizika szakos anára és igazgaója A haásos anulási-aníási eljárások alkalazása elle azok fejleszéséel és kuaásáal is foglalkozik A udásérképek anulás- és gondolkodásfejleszô ódszerérôl könye és folyóiracikkeke ír Tapaszalaai pedagógus szakizsgá adó képzésben a Budapesi Mûszaki és Gazdaságudoányi Egyee okaójakén is oábbadja Horáh Gábor fizikus, az MTA dokora, az ELTE Biológiai Fizika Tanszék Környezeopika Laboróriuának ezeôje A izuális környeze opikai sajáságai és az állaok láásá anulányozza, oábbá bioechanikai kuaásoka folya Száos szakai díj és kiüneés ulajdonosa Gudon Oliér 8 oszályos anuló, az iskola eheségprograjának agja, inforaika és édia eszközök és eljárások alkalazásáal, kreaí öleeiel járul hozzá a projekek sikeréhez Szferle Taás az ELTE fizika-földrajz anárszakos hallgaója, aaôr rögbijáékos BSc szakdolgozaá a rögbi fizikájáról íra Nagy Norber 8 oszályos anuló öbb erüleen eheséggondozo A Kárpá-edencei prózafelolasó ersenyen különdíjban részesül Az iskola Bozsik-prograban rész eô focicsapaának egyik erôssége 34 FIZIKAI SZEMLE 216 / 1
S y( ) 1 ábra A alajról e isszapaanó labda jellezôi : sugár, x: a labda függôleges irányú benyoódása, S: csúszó súrlódási erô, : sebességekor, x : ízszines sebességkoponens, y : függôleges sebességkoponens, ω: a ízszines szögsebességekor nagysága Köszörülésrôl akkor beszélünk, ha isszapaanáskor a labda x ( ) ízszines sebességkoponense ne egyezik eg a ω kerülei sebességéel: x ω Ilyenkor csúszási súrlódás lép föl a labda és a alaj közö, ai leginkább enisz- és pingpongecscseken figyelheô eg, de néha a labdarúgásban és ás labdajáékokban is apaszalhajuk e jelensége Aikor a labda a alajjal üközik, kissé benyoódik, ai a köekezô egyszerû ódon bizonyíhaunk: egy labda egyik felé ársuk ízbe, ajd ejsük egy száraz padlóra A labda a isszapaanása uán egy kerek, nedes folo hagy a padlón a benyoódása ia Ha a isszapaanás egy ado pillanaában a labda sugara függôleges irányban x -szel csökken (1 ábra), akkor az x -hez arozó göbsüeg V GS = π 2 (3 x) x 3 érfogaáal csökken a labda x V = 4 π 3 3 () x( ) érfogaa A V GS érfogaú göbsüegnyi belapuláskor ehá a labdaérfoga V = V V GS Miel a labda isszapaanása igen röid idôn belül egörénik, ezér a labdabeli gáz ezalai állapoálozásá adiabaikusnak (a külilággal aló hôcsere nélkülinek) ekinhejük A belapuló labdabeli gáz adiabaikus összenyoódására érényes állapoegyenle: p V κ = pvκ, ahol κ = c p /c V a labdá ölô gáz (álalában leegô) állandó p nyoáshoz, illee állandó V érfogahoz arozó c p, illee c V fajhôjének aránya Az elôbbiekbôl kapjuk a belapuló labdabeli p (x ) nyoás az x benyoódás függényében: 4 p(x) =p 3 4 3 x 3 3 x 2 Aikor a labda benyoódása x, a alajjal egy κ (1) belsô gáz álal kifeje erô p (x ) r 2 (x ) π A labdára a alaj F(x) = p(x) r 2 (x) π erôel ha issza, ahol p L a légköri nyoás, hiszen a labda alól ne szorul ki a leegô Ha a labda izes, agy izes aljzaról paan issza, akkor egy ízhárya an alaa Ekkor a ízháryabeli nyoás közelíôleg egegyezik a p L légköri nyoással, így a labdára iszszahaó alajerô ekkor is [p(x ) p L ] r 2 (x)π, agyis ekkor is csak a p (x) p L úlnyoás száí Innen adódik az x -szel belapuló, isszapaanó labdára függôlegesen fölfelé haó alajerô nagysága: F(x) = 2 x x 2 4 π p 3 4 3 x 3 3 x 2 (2) Kis benyoódásokkor x << 1, és ekkor x 2, x 3 elhanyagolhaóan kicsi Ekkor (2) a köekezôel közelíheô: F(x << 1) 2 π p x Dx, ahol D =2π p A föneik csak akkor érényesek, ha a labda fala ne ere, in a pingponglabdáé (ai kilyukasza is egarja göbalakjá, hiszen ne a belsô ölôgáz külsô légköri nyoáshoz képesi úlnyoása fúj föl göbbé, hane a labda ere fala arja a göbalako), hane hajlékony, in például a kosárlabdáé (ai kilyukasza eleszíi göbalakjá, összelaffad, er a ölôgáz úlnyoása fújja föl göbbé) De pingponglabdánál is igaz, hogy kis x benyoódások elle a rá isszahaó alajerô F (x << 1) Dx, csak a D állandó (3)-ól elérô ódon száolandó Ezér a D állandó ponos kifejezéséôl elekine a oábbiak ere falú labdákra is érényesek Newon II örénye szerin, kis x benyoódások eseén az öegû isszapaanó labda függôleges irányú ozgásának egyenlee F(x) = d2 x() d 2 = Dx(), κ (3) ai a haronikus rezgôozgás egyenlee, és a egoldása x() =A sin(ω ), ahol A a rezgés apliúdója és Ω =(D /) 1/2 =2π/T a körfrekenciája, ahonnan a rezgés periódusideje T =2π D Idôbeli szieriaokból kifolyólag, a labda alajjal örénô üközésének idôaraa r(x) = 2 x x 2 sugarú körfelüleen érinkezik, aire a p (x) nyoású ü = T 2 = π 2 p = π Ω (4a) A FIZIKA TANÍTÁSA 341
és ebbôl Ω körfrekenciája: Példának okáér, p L = 1 bar légköri nyoás eseén egy = 2 kg öegû, p =2bar=2 1 5 N/ 2 belsô nyoással =,15 sugarúra felfúj kosárlabda (4) szerini üközési ideje ü = 14,5 s Az x ( )=Asin(Ω) idô szerini deriálja a labda függôleges irányú sebességé adja: 2 ábra A és nélkül, e isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei α: beesési szög, β: isszapaanási szög, az alsó index a isszapaanás uáni égállapora ual, íg a index a kezdô érékekre Ω = π ü = = = 1 x = 2 π p y () =A Ω cos(ω ) cos y = sin y = y = x = x (4b) A labda függôleges sebességösszeeôjének nagysága a alajhoz csapódás = pillanaában y ( =) = y = sinα, ahol a labda becsapódási sebessége, α pedig a sebességekor ízszinesôl ér, lefelé irányuló szöge Innen az apliúdóra kapjuk: A = sinα 2 π p (5) Végül kapjuk a isszapaanáskor a labdára haó alajerô nagyságá az idô függényében: F() = sinα 2 π p sin 2 π p (6) F () olyan nagy, ai elle a labda g súlya elhanyagolhaó Visszapaanás e, és nélkül A alajra becsapódó, ajd isszapaanó labda ne, ha a x = cosα ízszines sebességösszeeôjének nagysága egegyezik az ω 1 kerülei sebességgel, és e ké sebességekor ellenées irányú, azaz a labda ízszines szögsebességekora balra ua, a labda haladási iránya felé néze (2 ábra): x = cosα = ω 1, ahonnan a becsapódáskori kezdô szögsebesség nagysága ω = ω 1 = cosα Miel a és ia ne lép fel csúszási súrlódási erô, ezér a labda ízszines sebességösszeeôje ne álozik Ezér a labda β isszapaanási szöge egegyezik az α beesési szöggel (2 ábra): α = β Miel ne lép fel súrlódási erô, ezér a labda forgásá se álozaja eg seilyen forgaónyoaék, így ω = ω = ω 1 = állandó Elôre pörgô, a ízszines sebessége gyorsíó és A lepaanó labda pörögjön elôre, ízszinesen balra uaó ω kezdei szögsebességekorral úgy, hogy a hárafelé uaó kezdei k = ω kerülei sebessége nagyobb legyen a ízszines irányú cosα kezdôsebességénél: k = ω > cosα = ω 1, ahonnan ω > ω 1 = cosα Így aikor kezdeben a labda a alajon arózkodik, egy elôre irányuló S = μ F() = d x d nagyságú csúszási súrlódási erô gyorsíja ízszinesen, ainek forgaónyoaéka M = S = μ F() = θ dω d, ahol μ a labda és a alaj közi csúszási súrlódási együhaó, θ pedig a labda eheelenségi nyoaéka a öegközépponján áenô engelyre onakozóan E ké differenciálegyenlee egolda kapjuk a labda ízszines sebességkoponensének üközés alai idôbeli álozására: x () = cosα és a labda szögsebességére: μ sinα 1 cos(ω) A labda addig, aíg az M súrlódási forga- ónyoaék ia lassuló ω( ) kerülei sebessége el ne éri az S súrlódási erô ia nöekô ízszines x ( ) sebességösszeeôjé Ezér a k1 ési idô a ω( k1 )= x ( k1 ) egyenlebôl kapjuk: ω() =ω μ sinα 1 cos(ω) θ k1 = 1 Ω arccos 1 θ cosα ω μ θ 2 sinα (7) 342 FIZIKAI SZEMLE 216 / 1
> < 1 x = cos y = sin y = y < x > x 3 ábra A ízszines sebessége éssel gyorsíó, elôre pörgô, isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei Aikor ár a alajon elkezd ésenesen ni a labda, akkor a k1 ési idô kisebb, in a ü üközési idô Ekkor ehá k1 < ü és x = x ( k1 )=ω( k1 ), agyis a labda, és ilyenkor a labda ízszines égsebesség-koponense 4 ábra A ízszines sebessége éssel gyorsíó, elôre pörgô, isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, azon ese felüneéséel, aikor a és a = k1 < ü idôponban ésbe egy á ég a ü üközési idô elô k x x ( = k1 < ü )= 2 cosα θ ω θ 2, alain β isszapaanási szöge (3 és 4 ábra): anβ( = k1 < ü )= k( ) x( ) k( )= () x( ) θ 2 θ ω cosα 2 k( )= () x anα (8) (9) Lehe olyan ese is, hogy aikor a labda éppen elpaanna a alajól, ég indig Ekkor a k1 ési idô nagyobb, in a ü üközési idô: k1 > ü, ahonnan x = x ( ü )<ω( ü ), és ilyenkor a labda ízszines égsebesség-koponense: x ( = ü < k1 )= (cosα 2 μ sinα), alain β isszapaanási szöge (3 és 4 ábra): anβ( = ü < k1 )= anα 1 2 μ anα (1) (11) Ilyenkor ehá a β isszapaanási szög kisebb lesz az α beesési szögnél a köekezô haárérékekkel (3 ábra): β(= k1 < ü, ω )=, β( = k1 < ü, ω = ω 1 ) = α A 4 ábra ázlaosan szelélei a ízszines sebessége éssel gyorsíó, elôre pörgô, isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során azon ese felüneéséel, aikor a és a = k1 < ü idôponban ésbe egy á, ég a ü üközési idô elô Elôre pörgô, a ízszines sebessége lassíó és Pörögjön a lepaanó labda elôre, ízszinesen balra uaó ω kezdei szögsebességekorral úgy, hogy a hárafelé uaó kezdei k = ω kerülei sebessége kisebb legyen a ízszines irányú cosα kezdôsebességénél: k = ω < cosα = ω 1, ahonnan: ω < ω 1 = cosα Így aikor kezdeben a labda a alajon arózkodik, egy hára irányuló S = μ F() = d x d nagyságú csúszási súrlódási erô lassíja ízszinesen, ainek forgaónyoaéka M = S = μ F() =θ dω d E ké ozgásegyenlee egolda kapjuk a labda ízszines sebességkoponensének idôbeli álozására az üközés ala: x () = cosα μ sinα 1 cos(ω) és a labda szögsebességére: ω() =ω μ sinα 1 cos(ω) θ (12) (13) A labda addig, aíg az M súrlódási forgaónyoaék ia gyorsuló ω( ) kerülei sebessége el ne éri az S súrlódási erô ia csökkenô ízszines x () sebességösszeeôjé Ezér a k2 ési idô egin az ω( k2 )= x ( k2 ) egyenle adja, ahonnan: k2 = 1 Ω arccos 1 θ cosα ω μ θ 2 sinα (14) k1 ü Mikor ár a alajon elkezd ésenesen gör- A FIZIKA TANÍTÁSA 343
< < 1 > x = cos x x( ) x( ) x y = sin y = y > k k( ) k( )= () k x < x 5 ábra A ízszines sebessége éssel lassíó, elôre pörgô, isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei dülni a labda, akkor a k2 ési idô kisebb, in a ü üközési idô Ekkor a labda x (= k2 < ü ) ízszines égsebesség-koponensé (8) és a β( = k2 < ü ) isszapaanási szögé (9) írja le (5 és 6 ábra) Lehe olyan ese is, hogy aikor a labda éppen elpaanna a alajól, ég indig Ekkor a k2 ési idô nagyobb, in a ü üközési idô: k2 > ü, aikor x = x ( ü )>ω( ü ) és a labda ég indig, és ilyenkor a labda ízszines égsebességkoponense x ( = ü < k2 )= (cosα 2 μ sinα), és β isszapaanási szögének angense anβ( = ü < k2 )= (5 és 6 ábra) Ilyenkor ehá a β isszapaanási szög nagyobb lesz az α beesési szögnél a köekezô haárérékekkel (5 ábra): β(= k2 < ü, ω =ω 1 )=αés anβ( = k2 < ü, ω =) = θ 7 ábra Függôlegesen fölfelé isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei, aikor a isszapaanás uán a labda ne forog: ω = = 2 anα 1 2 μ anα = 2 2 anα Ain az ω kezdô szögsebesség csökken, a β isszapaanási szög nô, és β a β(ω = ω 1 )=α β β(ω =) aroányban arad A 6 ábra ázlaosan szelélei a ízszines sebessége éssel lassíó, elôre pörgô, isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során k2 6 ábra A ízszines sebessége éssel lassíó, elôre pörgô, isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, azon ese felüneéséel, aikor a és a = k2 < ü idôponban ésbe egy á ég a ü üközési idô elô azon ese felüneéséel, aikor a és a = k2 < ü idôponban ésbe egy á ég a ü üközési idô elô Hárafelé pörgô, a ízszines sebessége lassíó és Vegyük os az az esee, aikor a labda hárafelé pörög, agyis szögsebességekora jobbra ua a labda haladási iránya felé néze, azaz ω Ekkor a köekezô háro speciális esee izsgáljuk: (i) függôleges fölfelé isszapaanás, (ii) hárafelé isszapaanás a beesési szögben és (iii) hárafelé isszapaanás, a égén éssel Függôleges fölfelé isszapaanás Ha a labda pon függôlegesen paan issza, akkor a isszapaanási szög β =9 A korábbiak alapján a ízszines sebességösszeeô (12) írja le, íg a szögsebesség idôbeli álozásá (13) β =9 akkor eljesül, ha x ( ü ) =, ahol ü a (4) szerini üközési idô Innen kapjuk az α beesési szögre: anα = 1 2μ, 8 ábra Függôlegesen fölfelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, aikor a isszapaanás uán a labda ne forog: ω = ü (15) x x( ) x = cos y = sin y = y = 9 an = 1/(2 ) x = k k( )= () ü 344 FIZIKAI SZEMLE 216 / 1
< 2 < x x( ) x = cos 9 ábra Függôlegesen fölfelé isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei, aikor a isszapaanás uán a labda forog: ω < és a isszapaanó labda ω égsô szögsebességére: y = sin y = y an = 1/(2 ) x = = 9 ω ü, anα = 1 2 μ = ω ω 2, ahol ω 2 = 2 μ θ 1 4 μ 2 > Tehá a labda csak akkor paan issza pon függôlegesen, ha a beesési szöge α = arcan 1 2 μ, (16) a isszapaanás uáni égszögsebessége pedig a (16) szerini A függôlegesen isszapaanó labda isszapaanás uáni szögsebességére ké ese leheséges: a isszapaanó labda (i) ne forog, (ii) hárafelé forog A függôlegesen isszapaan labda ne forog A (16) összefüggés szerin a függôlegesen isszapaanó labda ne forog, azaz ω =,haω = ω 2 Ekkor a 7 és 8 ábra uaja a isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei, alain ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során A függôlegesen isszapaan labda hárafelé forog A (16) összefüggés szerin a függôlegesen isszapaan labda hárafelé forog, agyis ω <,haω < ω 2 11 ábra A hárafelé isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei k k( )= () ü k 1 ábra Függôlegesen fölfelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, aikor a isszapaanás uán a labda hárafelé forog: ω < Ekkor a 9 és 1 ábra uaja a isszapaanó labda sebességekorainak koponensei és szögsebességei, alain ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során Hárafelé isszapaanás a beesési szögben Tekinsük az a speciális esee, aikor a labda ugyanabban az irányban paan issza, in ahonnan érkeze Ekkor a isszapaanási szög β = 18 α = π α A labda x () ízszines sebességösszeeôjének és ω( ) szögsebességének idôbeli álozásá (12) és (13) írja le A 11 ábráról leolashaóan: an(β = π α) = anα = sinα x ( ü ) (12) és (17)-bôl kapjuk: anα = 1 μ, (17) és (18)-a (13)-ba helyeesíe adódik a beesési szögben hárafelé isszapaanó labda ω égszögsebességére: ω ü, anα = 1 μ = ω ω 3 <, ahol ω 3 = 2 μ θ 1 μ 2 > (18) (19) Tehá a labda csak akkor paan issza hárafelé pon a beesési szögben, ha a beesési szöge x = cos α = arcan 1 μ y = sin x = x y = y = 18 és ekkor a isszapaanás uáni szögsebessége a (19) szerini A beesési szögben hárafelé isszapaanó labda a alajól aló elálás pillanaában ár éppen, de elôe égig, ha az elálás pillanaában a kerülei sebességének nagysága egegyezik a íz- A FIZIKA TANÍTÁSA 345
x k x( ) k( )= () 12 ábra A beesési szögben hárafelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, aikor a alajól aló elálás pillanaában a labda csúszásenesen, de elôe égig : x ( ü, α ) = ω( ü, α ) szines sebességkoponensééel: ü 14 ábra A hárafelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, aikor a labda a k2 idôponig, ajd uána égig a ü üközési idôponig x k x ( ü, α ) = k ( ü, α ) = ω( ü, α ), ahol ü és α kifejezésé (4) és (18) szolgálaja A (2) összefüggés csak akkor eljesül, ha a labda kezdei szögsebessége ω = ω 4 = μ θ 2 2 θ 1 μ 2 < x( ) k( )= () k2 ü x = k < (2) (21) Ekkor a 12 ábra uaja a labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során Ha iszon ω < ω 4, akkor x ( ü, α ) >ω( ü, α ), agyis a beesési szögben hárafelé isszapaanó labda a alajjal aló érinkezés ala égig : x (, α ) > ω(, α ) Ekkor a 13 ábra uaja a labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során Hárafelé isszapaanás, a égén éssel A hárafelé isszapaanó labda ése abban a k2 idôponban szûnik eg és kezd el ni, aikor a x ízszines sebességkoponense egyenlô lesz x k x( ) k( )= () x( ü, ) (, ) 13 ábra A beesési szögben hárafelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozása a alajjal aló érinkezés során, aikor a alajjal aló érinkezés ala a labda egyfolyában : x (, α ) > ω(, α ) a k kerülei sebességének nagyságáal: x ( k2 ) = k ( k2 )= ω( k2 )<,ω <, ai (12) és (13) felhasználásáal a (14) szerini k2 ési idôponra eze Ekkor a 14 ábra uaja a hárafelé isszapaanó labda ízszines sebességkoponensének és kerülei sebességének idôbeli álozásá a alajjal aló érinkezés során Végül haározzuk eg annak feléelé, hogy a alajjal aló érinkezés során egy darabig ô, ajd égül egy ideig ô labda ikor paan iszsza hárafelé ponosan a beesési szögben, aikor β = π α Ekkor a 11 ábráról leolashaóan: an(β = π α) = anα = sinα x ( k2 ) Ennek, alain (12) és (14) felhasználásáal kapjuk: ω = ω 5 = θ 2 2 θ (13), (14) és (22)-bôl kapjuk a isszapaanó labda égszögsebességére: ω( k )= cosα ü k ü cosα < < (22) (23) Ha ehá a labda kezdô szögsebessége a (22) szerini ω 5, akkor hárafelé éppen a beesési szögben (β = π α) paan issza, és ése éssé alakul ég a alajól aló elálás elô, égszögsebessége pedig a (23) szerini lesz Cikkünkben csak olyan függôleges síkban örénô isszapaanásokkal foglalkozunk, aikor a pörgô labda szögsebességekora ízszines A ferdén pörgô labda álalános esee bonyolul, er ekkor a beesési és isszapaanási irány, alain a ízszines aljza norálekora ne esik egy síkba Irodalo Szferle Taás: Fizika a rögbiben BSc Diploaunka, ELTE TTK, Biológiai Fizika Tanszék, Budapes (216) (éaezeô: Horáh G) 346 FIZIKAI SZEMLE 216 / 1