Metastabil viselkedés hálózatok dinamikájában

Simkó Marcell Metastabil viselkedés hálózatok dinamikájában Molekuláris bionika mérnöki BSc Témavezető: Garay Barnabás 2014 1

Alulírott SIMKÓ MARCELL, a Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai és Bionikai Karának hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint, vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával megjelöltem. Ezt a szakdolgozatot más szakon még nem nyújtottam be. Simkó Marcell 2

Tartalom 1. Tartalmi összefoglaló... 4 2. Bevezetés... 6 3. A feladat pontos meghatározása... 8 4. Irodalmi áttekintés... 11 4.1. A metastabilitás biológiai vonatkozásai... 11 4.2. Metastabil jelenségek matematikai vizsgálata... 17 5. Az önálló kutatómunka ismertetése... 20 5.1. A heteroklinikus bifurkáció detektálása és folytatása... 21 5.2. Az egyensúlyi helyzetek feltérképezése... 23 5.3. Az egyensúlyi helyzetek bifurkációi, összeköttetései... 27 5.4. A kritikus görbék felderítése, a paramétertartomány kiterjesztése... 30 5.5. Az aktivációs függvény és a gain szerepe... 34 5.6. Vizsgálatok a sajátértékekről... 36 5.7. Az egyenletrendszer GPU gyorsíthatóságának vizsgálata... 39 6. Értékelés, kitekintés... 43 7. Összefoglalás... 46 8. Köszönetnyilvánítás... 47 9. Irodalomjegyzék... 47 10. Mellékletek... 48 3

1. Tartalmi összefoglaló Az elmúlt évtizedekben a dinamikus rendszerek tudományos irodalmában a stabil és instabil viselkedés mellett megjelent a metastabilitás fogalma is, mely bár a szó szoros értelmében az instabilitás egyik fajtája, eltérő tulajdonságai, és gyakorlati fontossága miatt mégis érdemes külön minőségként tárgyalni. Ebben a szakdolgozatban áttekintést adok a metastabilitás megjelenéséről a szakirodalomban, majd kutatást végzek egy metastabil viselkedést mutató differenciálegyenlet-rendszerrel kapcsolatban. Az irodalmi áttekintő első felében megvizsgálom a metastabilitás biológiai vonatkozásait. Meggyőződök róla, hogy a jelenség számos agyi folyamatban döntő szerepet játszik. Fellelhető például az érzékelésben, a mozgatásban, a rövid távú memóriában, és az absztrakt gondolkodásban is. Kiemelem a stabil heteroklinikus csatorna (SHC), és az úgynevezett nyeregérték fontosságát. Az irodalomkutatás második része a metastabil dinamika matematikai, kvantitatív vizsgálati módszereit tárgyalja. Szóba kerül az általam vizsgált rendszer is. Bár kutatásaink hasonló jellegűek, a paramétertartomány más részeit tekintjük, és más szempontok szerint. Az én kutatásaim tárgyát képző egyenletrendszert véges sok diszkrét cella egydimenziós, gyűrű topológiájú összekötése alkotja. Az egyenletek egy celluláris neurális hálózat (CNN) dinamikáját írják le, külső gerjesztés nélkül. A kapcsolási súlyok terében egy kritikus görbe mentén heteroklinikus bifurkáció történik, és a periodikus pálya megszűnése mellett számos egyensúlyi helyzet keletkezik. Feltérképezem ezeket az egyensúlyokat egy brute force jellegű módszerrel, majd csoportosítom őket diszkrét Fourier transzformáció (DFT) használatával. Ezek után megvizsgálom az egyensúlyi csoportok paraméter menti folytatását, majd az egyes csoportok összeköttetéseit a MatCont programrendszer segítségével. Megállapítom a kritikus görbe összetett voltát, és felderítem a rajta történő bifurkációkat. Felrajzolom az összes kritikus görbét a vizsgált tartományon. Vizsgálatokat végzek a nemlineáris átviteli karakterisztika hatásait illetően. Az egyensúlyi helyzetek körül sajátérték számításokat végzek, és elméleti magyarázatot adok a rendszer bizonyos furcsa tulajdonságaira. Az időtartománybeli szimulációk felgyorsítása érdekében elkészítem az egyenletrendszer GPU implementációját, és összehasonlítom a CPU és GPU programok futási idejeit. 4

Summary In recent decades, the scientific literature of dynamic systems introduced a new concept besides stability and instability: metastability, which is strictly speaking a form of instability, but due to its different properties, and practical importance it makes sense to consider it as a separate quality. In this thesis I give an overview of the relevant literature dealing with metastability, and perform research on a system of differential equations showing metastable dynamics. In the first half of the literature review the biological aspects of metastability are examined. Its crucial role in certain neurological processes is considered, such as in perception, motion, working memory, and abstract thinking. The importance of stable heteroclinic channels (SHC), and so-called saddle values is seen. The second part of the review deals with the mathematical, quantitative observation of metastable dynamics. The equations central to this thesis are also discussed, although using a different set of parameters, and different points of view. The system considered here consists of a finite number of discrete cells, forming a one dimensional ring (1-torus). The equations describe the dynamics of a cellular neural network (CNN) without external stimuli. In the space of connection weights, there exists a critical curve, along which heteroclinic bifurcation occurs. With the death of a periodic orbit several equilibrium points appear. The number and exact coordinates of these equilibria are determined using a brute force search. They are then put into clusters with the aid of discrete Fourier transform (DFT). Continuation of these equilibria along parameters is measured, and connections among the clusters are uncovered, using the MatCont toolbox. The compound nature of the critical curve is discovered, and the bifurcations happening on the curve are identified. All critical curves are shown in the observed region of the parameter space. Measurements are made concerning the effects of different nonlinearities and gain values. Eigenvalues near the equilibria are calculated, and a theoretical explanation is given for the strange properties of the system. In order to speed up simulations in the time domain, a GPU implementation of the differential equations is prepared, and running times of CPU and GPU programs are compared. 5

2. Bevezetés A dinamikus rendszerek klasszikus elméletében, mely a newtoni mechanikában gyökerezik, a rendszer állapotát egy ponttal jellemezzük valamilyen (sok dimenziós) térben. Ebben az úgynevezett fázistérben a dinamikus rendszer elemzése során olyan speciális objektumokat keresünk, mint például egyensúlyi helyzetek és periodikus pályák, melyek a rendszer időbeli viselkedése szempontjából különösen fontosak. Ezek az objektumok a klasszikus nézet szerint vagy stabilak, vagy instabilak. Amennyiben a rendszernek létezik fizikai realizációja, a stabilitás kérdése sokszor egyértelmű, hiszen az idő előrehaladtával a rendszer szinte mindig egy stabil állapotba konvergál, legyen az egyensúly, vagy periodikus pálya. Az instabil egyensúly pedig, bár elméletileg létezik, gyakorlatilag nem érdekes, hiszen ebből az állapotból a legkisebb perturbáció ki tudja mozdítani a rendszert, mely azután már egy stabil állapothoz tart. Ezzel természetesen mindenki tisztában van, aki próbált már ingát alátámasztani, vagy gombostűt egy sima, kemény felületen felállítani. Amennyiben mégis sikerül a feladat, az is csak annak köszönhető, hogy a súrlódás, anyagi egyenetlenségek, stb. miatt a kérdéses egyensúly stabillá vált, bár vonzási medencéje kicsiny. Az elmúlt évtizedekben megjelent azonban egy új fogalom is: a metastabilitás. Szigorúan véve a metastabilitás csupán mennyiségileg újdonság, ezek az objektumok a szó szoros értelmében instabilnak tekintendők. Mégis érdemes külön minőségként tárgyalni, hiszen látni fogjuk, hogy a metastabil állapotok a gyakorlatban is tartósan léteznek, szemben instabil társaikkal. Továbbá látni fogjuk azt is, hogy a metastabil rendszerek fontos szerepet játszanak a természettudományokban is, tehát nem csupán elméleti fogalomról van szó, melyet az unatkozó analízis professzorok találtak ki az előadások közti kávészünetekben. De mi is az a metastabilitás? Megfelelő struktúrájú, celluláris jellegű dinamikus rendszerekben (is) tapasztalhatjuk azt a jelenséget, miszerint egyes egyensúlyi helyzetek és periodikus pályák bár instabilak, az instabilitás mértéke rendkívül kicsi. Mi több, a rendszer méretével (cellák számával) exponenciálisan csökken, így a nagy méretű rendszerek tartósan képesek működni az állapottérnek eme instabil zónájában. Elegendően sok idő múlva a rendszer konvergál egy stabil állapotba, azonban gyakorlati példákban ez az idő sokszor meglepően hosszú. Ezek a hosszú tranziens jelenségek lassan változnak és hirtelen szűnnek meg, így egy felületes szemlélő számára stabilnak tűnhetnek. Ezt a viselkedést hívjuk metastabilitásnak. 6

A metastabilitás számos példán keresztül megfigyelhető mind a gyakorlati életben, mind tudományokban. Közismert például, hogy a lavinák, illetve a futóhomok látszatra stabilak, azonban kicsiny perturbációk hatására katasztrofális viselkedést képesek mutatni. Hasonlóan egy túlhűtött oldat átlagosnak tűnik mindaddig, míg valamilyen szennyeződés el nem indítja a kristályosodást. Atomok közötti metastabil kötések teszik lehetővé polimerek, így többek között a DNS, RNS és fehérjék felépítését is. Bár ez utóbbi példa elengedhetetlen alapját képzi az emberi szervezet, illetve általánosságban bármilyen biológiai rendszer létezésének, a metastabilitás sok helyzetben kifejezetten nem kívánt jelenség. Egy elektronikus áramkör tervezésénél például az a cél, hogy a rendszer minél gyorsabban rátaláljon egy stabil állapotra. A metastabilitás ennek pont az ellenkezőjét eredményezi, így használhatatlanná válhat az áramkör. Egyértelmű tehát, hogy ezzel a jelenséggel érdemes, sőt, kifejezetten fontos foglalkozni. A metastabilitás megjelenik az elméleti biológiában is. Ahogy azt az irodalmi áttekintésben látni fogjuk, számos agyi folyamat (érzékelés, gondolkodás, memória, irányítás, stb.) nem létezhetne metastabil dinamika nélkül. Az agy eme funkcióinak megértéséhez és helyes modellezéséhez elengedhetetlen a matematikai jelenség ismerete. Mivel azonban az emberi agy sokkal nagyobb annál, hogy közvetlenül vizsgáljuk, szükséges a metastabilitást kisebb rendszerekben tetten érni és kutatni. A szakdolgozat célja egy olyan differenciálegyenlet-rendszer vizsgálata, melyben megjelenik a metastabilitás, mint dinamikus viselkedés. Az egyenletrendszer egyszerű struktúrájú, és jól paraméterezhető, így könnyen lehet szerteágazó vizsgálatokat végezni mind időtartományban, mind az egyes paraméterek függvényében. Az általam végzett munka egyik része programozási jellegű, célja dinamikai szimulációk implementálása különböző platformokon, és ezek teljesítményének összevetése. A másik rész bifurkációs vizsgálatok végzése, az egyes paraméterek mentén numerikus homotópia folytatással. A dolgozat felépítése a következő: a bevezetés után ismertetem az olvasót a vizsgált egyenletrendszerrel, valamint részletesen körülírom a dolgozat célkitűzéseit, feladatait. Ezt követi egy irodalmi áttekintés, melyben felidézek és elemzek releváns cikkeket. Ezen cikkek egy része a metastabilitással általánosságban foglakozik, másik része pedig konkrétan az általam vizsgált egyenletrendszert tekinti. Ezután részletezem az önálló kutatásom menetét és eredményeit, kitérve a kiírt témapontok teljesítésének mértékére, valamint a további kutatás lehetséges irányaira. 7

3. A feladat pontos meghatározása A metastabil viselkedés fellelhető egyszerű, illetve egyszerűnek tűnő differenciálegyenletrendszerekben is. Az általam vizsgált rendszert véges sok diszkrét cella egydimenziós, gyűrű topológiájú összekapcsolása alkotja. Az egyenletek formailag egy celluláris neurális hálózat (CNN) dinamikáját írják le. A rendszer α és β paraméterei alkotják a CNN feedback template-jét, avagy a kapcsoltsági súlyokat, a szomszédsági mátrix elemeit. További paraméterek a cellák N száma, a σ nemlineáris karakterisztika (más néven átviteli függvény, aktivációs függvény), és az abban szereplő g gain. A CNN-re külső gerjesztést (bemenetet és bias-t) nem kapcsolunk. Ebben a dolgozatban csak az α, β > 0 síknegyeddel foglalkozom ( kooperatív régió ). x n = x n + ασ(gx n 1 ) + βσ(gx n+1 ) n = 1, 2, 3,, N x 0 = x N x N+1 = x 1 A σ aktivációs függvénnyel kapcsolatban a következő alapvető elvárásokat támasztjuk: R [ 1; 1] folytonos, szigorúan monoton növekvő, páratlan függvény, lim σ(x) = ±1. Feltesszük x ± továbbá, hogy σ (0) = 1, ez a gain paraméter segítségével változtatható. Amennyiben dinamikus szimulációkat futtatunk, hamar világossá válik, hogy az (α; β) síkon egymástól élesen elkülönülő tartományok vannak. Ha az α jelentősen eltér a β-tól, a rendszert szinte bármilyen állapotból indítva látszólag periodikus viselkedést tapasztalunk: egy utazóhullám halad körbe a gyűrűn (1. ábra). Ez egy metastabil oszcilláció, mely sok perióduson keresztül stabilnak tűnik, majd viszonylag hirtelen összeomlik két homogén és stabil egyensúlyi helyzet egyikébe, lásd 2. ábra. Ezen egyensúlyi helyzetek koordinátái: x + (α + β, α + β,... ) x ( α β, α β,... ) Egyensúly továbbá az origó (0, 0,... ), mely azonban instabil (nyeregpont). Ebben a régióban nincs több egyensúlyi pont, így ezt bistabil tartománynak hívjuk. Megjegyzendő, hogy a két stabil egyensúly egy egyszerű pitchfork során keletkezik az origóból az α + β = 1 egyenes mentén. 8

8 6 0 0.72 1.44 2.16 2.88 3.6 4.32 5.04 5.76 6.48 7.2 7.92 8.64 9.36 8 6 4 4 2 2 x n 0-2 1 2 3 4 5 6 7 8 n x 1 0-2 t -4-4 -6-6 -8-8 1. Ábra: Utazóhullám a metastabil periodikus oszcillációban. Az ábra az összes cella értékét mutatja egy adott időpillanatban. 2. Ábra: Metastabil periodikus oszcilláció halála. A grafikon egyetlen cella értékét mutatja az idő függvényében. Az oszcilláció sok száz perióduson keresztül stabilnak tűnhet. N = 8, α = 4, β = 3. 3. Ábra: Az 1. kritikus görbe. A kritikus görbe az (α; β) síkot láthatóan két részre osztja. 1.: multistabil (kritikus) tartomány, 2.: bistabil tartomány. Szemléltető jellegű ábra, pontosabb eredményt közöl az 5.4. fejezet. Ezzel szemben az α = β egyenes közelében nem tapasztalunk oszcillációkat. Sok egyensúlyi helyzet létezik viszont, melyek száma ráadásul exponenciálisan nő N függvényében. Ezt a két régiót éles határ választja el (a továbbiakban 1. kritikus görbe, lásd 3. ábra), mely határvonal helyzete tapasztalat szerint független N-től, de legalábbis a függés annyira gyenge, hogy a numerika nem képes kimutatni. (Speciális σ esetén a függetlenség matematikailag bizonyított. [1]) 9

Az (α; β) paraméterpár helyett egy lineáris transzformációval bevezethetjük a γ = α + β; δ = α β paramétereket, a továbbiakban ezeket fogom használni. A csere oka a rendszerben lévő belső szimmetria, tudniillik α és β felcserélhető. A transzformáció után γ fejezi ki a kapcsolás nagyságát, δ pedig az aszimmetria mértékét. A már tárgyalt homogén egyensúlyi helyzetek koordinátái ennek megfelelően ±γ, a metastabil oszcillációk koordinátáinak alsó-/felső korlátja úgyszintén. Mivel az egyenletrendszer minőségileg különböző viselkedést mutat a paramétertér különböző pontjaiban, fontos meghatározni a munka során használt értékeket. A (γ; δ) kapcsolási síkon főként a γ = 7 egyenes menti változásokat vizsgáltam, szabadon változó δ mellett. A cellák számának (N) megválasztása is kényes kérdés, mert sok effektus exponenciálisan bonyolultabb nagy N esetén, kis N használatakor viszont nem létezik metastabilitás. Fontos megjegyezni azt is, hogy páratlan N esetén más szimmetriaviszonyok uralkodnak a rendszer topológiájában, így ez az eset külön kezelendő. A szakdolgozat készítése során N = 8 cellát használtam. Ha külön nem jelzem az aktivációs függvényt, akkor σ(x) = tanh(x), és g = 1. Más választási lehetőségek: x + 1 x 1 σ pwl (x) = 2 σ atan (x) = 2 π tan 1 ( π 2 x) Az ez irányú kutatások hosszú távú fő célja, hogy közelebb vigyenek a metastabilitás kvantitatív tulajdonságainak megértéséhez. Ahogyan azt később látni fogjuk, ez sajátértékek mérésén keresztül lehetséges. A sajátértékek kiszámítása különböző egyensúlyi helyzetek környezetében zajlik, így szükséges ismerni a nem triviális egyensúlyok pontos koordinátáit, illetve az ezekben a pontokban történő esetleges bifurkációkat. A szakdolgozat célja, hogy keresést végezzek az összes egyensúly felderítése érdekében (adott paraméterértékek mellett), a MatCont programcsomag segítségével feltérképezzem azok paraméter menti összekötöttségét és bifurkációit, és számolásokat végezzek a sajátértékek viselkedésének megértéséhez. A rendkívül hosszú lefutású metastabil tranziensek miatt az egyenletrendszer időtartományban történő szimulációja kifejezetten számításigényes, ezért célkitűzés a szimuláció implementációjának elkészítése GPU platformon is. Méréseket végzek a gyorsítás nagyságát illetően. 10

4. Irodalmi áttekintés A metastabilitás fogalma az utóbbi 15-20 évben kezdett el rendszeres jelleggel megjelenni a tudományos irodalomban. A jelenséget tárgyaló cikkek spektruma igen széles: egyes szerzők csupán metaforaként használják természetes történések megmagyarázásához, míg mások a mögöttes matematikai okok megértésére koncentrálnak. Ebben a fejezetben először olyan cikkeket tekintek át, melyek a metastabilitás biológiai vonatkozásait vonultatják fel. Ezek rávilágítanak a metastabil nyeregpontok, illetve az azok összekötéseiből alkotott metastabil heteroklinikus pályák fellelhetőségére az emberi agyban, párhuzamot vonva a biológiai funkció, és a matematikai modell között. Ahogy azt látni fogjuk, ez a párhuzam megjelenik a gondolkodás számos aspektusában, mint például észlelés, memória, döntéshozatal, érzelmek, stb.. Az irodalomkutatás második felében olyan forrásokat mutatok be, melyek a metastabilitás jelenségét matematikai szemszögből kutatják, illetve konkrétan az általam is vizsgált effektust, és differenciálegyenlet-rendszert tanulmányozzák, bár más paraméterértékek mellett. 4.1. A metastabilitás biológiai vonatkozásai Pár évtizeddel ezelőttig az agy működésének biológiáját főleg két, jól elkülöníthető típusú kutatás vezérelte: az agy absztrakt, modell szintű leírása, illetve a sejt szintű, elektrofiziológiai méréseken alapuló megfigyelések. Csak nemrégiben kezdtek megjelenni a celluláris összekötöttséget középpontba állító, és az ilyen topológia matematikai következményeit biológiai szempontból elemző kutatások, melyek hihető magyarázatot voltak képesek adni számtalan, addig érthetetlen agyi jelenségre. Ez lendületet adott a dinamikus rendszerek elméletének biológiában való felhasználásához, mely új matematikai fogalmak beépülését hozta magával a kognitív tudományokba. A dinamikus rendszerek agytudománnyal kapcsolatos alkalmazhatóságába jó bevezetést ad [2]. Rögtön az első bekezdésekben kiemeli, hogy sok agyi funkció megértésekor nem elég (sőt, nem is kifejezetten fontos) a határértékben felvett stabil egyensúlyok, periodikus pályák, illetve egyéb attraktorok szerkezetével foglalkozni (ahogy azt hangsúlyozza [3] is), hiszen azok nem 11

tükrözik az agy dinamikus természetét, mely az élőlény viselkedésének szempontjából túlbecsülhetetlen jelentőségű. Sokkal több információt tartalmaz ezzel szemben a tranziens, mely nagyon hosszú lefutású lehet [4] [5], és ennek megfelelően nem csak a végállapota számít, hanem az is, hogy milyen úton jutott el a végállapotba. Az egyszerű matematikai tankönyvekből vett példákkal ellentétben az agyi állapotok fázistere rendkívül összetett. Az egyensúlyi helyzetek számára alig lehet becslést adni, hiszen az a neuronok számának exponenciális függvénye lehet [4] [5]. Ezeknek az egyensúlyoknak a döntő többsége nyeregpont kell, hogy legyen, hiszen már láttuk, hogy a stabil egyensúlyok nem képesek megmagyarázni az agy dinamikus természetét, sőt, kifejezetten hátráltatják azt. Egy megfelelő sajátértékekkel rendelkező nyereg képes arra, hogy a dinamikát erősen irányítsa, de ne ölje meg ahogy azt egy erősen vonzó egyensúly tenné. Ezek a dinamikát vezérlő nyeregpontok össze lehetnek kötve szeparatrixok által, így egy heteroklinikus láncot alkotva. A heteroklinikus lánc, illetve a sok, erősen vonzó nyeregpontból álló stabil heteroklinikus csatorna (SHC) dinamikáját egyszerű képen szemlélteti [2] 1. ábrája. Az ilyen SHC-ket a rövid távú memóriához, illetve kognitív folyamatok végrehajtásához hasonlítja [2] 2. ábrája, melyet relevanciája és összefoglaló jellege miatt én is beillesztek, lásd 1. ábra. Ezen az ábrán a különböző dinamikák, fázis portrék megjelenését láthatjuk agyi folyamatokban. A periodikus, illetve majdnem periodikus pályák nem meglepő módon az időzítésben, és az időbeli jelek (de)kódolásában játszanak szerepet. Más dinamikus folyamatok kapcsolódnak az érzelmi és érzékelési funkciókhoz, megint mások az egyes agyhullámok megjelenéséhez. Én személy szerint fontosnak érzem hangsúlyozni, hogy az ábra elsődleges célja szemléltetés és lehetséges összefüggések felvonultatása, nem pedig konkrét, egzakt tudományos eredmények ismertetése. Ennek ellenére sokrétű összefoglaló jellege figyelemre méltó. A [2] cikk további része a stabil heteroklinikus csatornákon illetve ciklusokon keresztül magyarázza a nyertes nélküli verseny (winnerless competition, WLC) modelljét, melynek létezésére az agyban példaként a szaglás érzékszervét hozza fel. Magyarázatot ad továbbá a szekvenciális rövid távú memória (sequential working memory, SWM) kapacitásának korlátozottságára, melyet az SHC-ben lévő nyeregpontok számához köt. A WLC-hez köthető továbbá az absztrakt szabad asszociáció is [3]. Az általam végzett kutatáshoz képest fontos különbség, hogy a [2]-ben tárgyalt heteroklinikus csatornák és körök stabilak, azaz a SHC közeléből induló trajektóriák sosem hagyják 12

el az SHC környezetét. Ezzel szemben én egy metastabil rendszerrel foglalkozom, melyben a periodikus pálya taszít, bár a taszítás rendkívül gyenge voltának köszönhetően nagyon sokáig (de véges ideig) érvényesül a periodikus pálya hatása majdnem periodikus oszcilláció képében. Az SHC stabilitására [2] megfogalmaz egy elégséges feltételt, melyhez a csatornában nyeregpontok lévő két sajátértékét használja fel: ν i > 1 stabil i 1. Ábra: Dinamikus jelenségek és lehetséges agyi funkcióik. Forrás: [2] ν i = R(λ 2) λ 1 λ 1 > 0 > R(λ 2 ) Ez utóbbi ν i számot nyeregértéknek hívjuk (saddle value), és jelentősége azért nagy, mert ez határozza meg a metastabilitás mértékét. Kiszámításához a nyereg körüli linearizálás Jacobi mátrixát használjuk. Ha ν i > 1, akkor a nyerget disszipatívnak hívjuk, és ennek szemléletes jelentése az, hogy a nyereg körüli vonzás erősebb, mint a taszítás. [3] további magyarázatot fűz a nyeregérték jelentőségéhez, ugyanis az erős vonzásnak köszönhetően egy kifejezetten disszipatív struktúra zajtűrő tulajdonságot mutat. Bár én ebben a dolgozatban nem foglalkozok a rendszerhez adott zaj hatásaival, [1] megmutatta egy elektromos áramköri szimuláción, majd fizikailag is implementált áramkörön, hogy az áramköri elemek nagy pontatlansága ellenére az általam is vizsgált egyenletrendszer dinamikája kiszámítható, látszólag 13

stabil. [3] ennél tovább megy, és kifejezetten hasznosnak ítéli a kis mértékű zajt. Az SHC alkalmazhatóságát egy egyszemélyes játékon keresztül mutatja be, melyben a játékos célja adott nyereségfüggvény maximalizálása. Ezután megmutatta, hogy a stratégia bemenetéhez adott multiplikatív zaj növeli a teljesítményt egy bizonyos szintig, majd efelett az optimális szint felett hirtelen leesik a nyereség. Ez a hirtelen veszteség annak köszönhető, hogy a túl nagy perturbáció hatására a trajektória elhagyja az SHC-t, mely így nem tudja tovább vezetni a dinamikát a kívánt irányba. Az SHC zajtűrése az, ami képes megmagyarázni az emberi agy azon paradoxikus tulajdonságát, hogy képes egyszerre (meta)stabil és mégis flexibilis lenni. A cikk érdeme, hogy feloldja ezt az ellentmondást, azonban véleményem szerint kritikát érdemel a számításokhoz használt játék pontos és világos specifikációjának hiánya, mely nélkül én nem tudnám reprodukálni az eredményt. A rendszerhez adott zaj stabilizáló hatásairól olvashatunk [6]-ben is. Az agy anatómiailag megállapított hierarchikus szerveződését használja fel [7], amelyben egy három szintű kognitív hálózat implementálja az elme daraboló (chunking) képességét. Ez az a képesség, ami miatt egy fejezetekre, bekezdésekre, mondatokra és végül szavakra bontott szöveget sokkal könnyebben és gyorsabban meg tudunk érteni, mint ugyanazt a szöveget tagolatlanul. Ez a darabolás több szinten megy végbe, és az egyes szinteken szükség van egy belső dinamikára. Az szerzők választása egy Lotka-Volterra modellre esett, melyet már korábbi cikkeikben is használtak [2] [3]. A szintek közötti aszimmetrikus kapcsolás lehetővé teszi a hierarchikus viselkedést, mely hierarchia felelős az adat tömörítéséért, megnövelve így a (rövid távú) memória kapacitását, és megkönnyítve a megértést. A cikk relevanciáját az jelenti, hogy bemutatja az SHC által vezérelt dinamikát egy közvetett példán keresztül, bevezetve így a metastabilitást a közismert Lotka-Volterra egyenletrendszerbe. Az előzőeknél konkrétabb neurológiára, illetve neurológiai mérésekre alapoz [8]. Az általa felvetett ötlet az, hogy először a koordinációelmélet dinamikus törvényeit megértve, majd ezeket a törvényeket a hierarchikus neuronhálózat különböző szintjeire alkalmazva lehet hatékonyan megmagyarázni az agy viselkedését. E gondolkodásmód alapvető feltételezése, hogy a különböző szintek irányításában ugyanazok a törvények vesznek részt, csupán fizikai realizációjukban különbözve. Ehhez példaként és alátámasztásként a különböző skálájú elektrofiziológiai mérések (egy sejt potenciál, lokális mezőpotenciál, ECOG/EEG, különböző agyterületek EEG-je, és végül különböző emberek közötti hiper EEG) adataiból kikövetkeztetett neurális szinkronizáció hasonlóságait hozza fel. A hierarchia végigjárása két úton történik: egyrészt a sejtdinamika felől a 14

makroszkopikus viselkedés felé, másrészt fordítva, a viselkedési mintázatok felől a sejtmezők felé. A cikk utolsó fejezetében végzi a számunkra érdekes összehasonlítást szinkronizáció és metastabilitás között, azzal érvelve, hogy a metastabilitás tulajdonképpen a szinkron működés, és az egyes agyterületek autonóm működése közötti optimális egyensúlyt valósítja meg: a metastabil viselkedés kezdetén jelentkező erős vonzás a szinkronizációt segíti, míg az utána következő taszítás az egyedi viselkedésért felel. Ennek a cikknek a fő érdeme, hogy rávilágít arra, hogy ha az agy működését szeretnénk megismerni, akkor nem a konkrét fizikai építőelemeket és kapcsolatokat érdemes vizsgálni, hiszen azok egyedről egyedre változhatnak. Sokkal fontosabb a koordinációdinamika törvényeit felderíteni, mely bár nehezebb feladat, siker esetén nagyobb hordereje, és messzemenőbb következményei vannak. Ehhez a távoli eredményhez a cikk főleg filozófiai fejtegetései sajnos nem visznek sokkal közelebb, de legalább körvonalazzák az odavezető út nehézségeit, és lehetséges megközelítéseit. A szinkronizáció és a metastabilitás agyban való mérésének nehézségeire hívja fel a figyelmet [9]. A cikk egy általános elméleti modellt épít az agy koordináció-dinamikai leírásához, mely magyarázatot ad az agynak a fent tárgyalt ellentmondásos (szinkronizáció autonóm működés), metastabil viselkedésből származó bizonyos tulajdonságaira, mint például az önszerveződésre. A modell segítségével megmutatja az egyes agyterületek közötti EEG-vel mért szinkronizáció esetlegesen hamis voltát, mely közvetlenül az agyszövet térfogati (elektromos) vezetésének köszönhető. Ez olyan mérési hibára ad lehetőséget, mely a metastabilitás meghatározását különösen nehézzé teszi. (Megjegyzés: a metastabilitás detektálása ezen effektus nélkül is kihívás, hiszen a metastabilitás lényege, hogy az ilyen objektumok stabilnak tűnnek.) A cikk hangsúlyozza továbbá a metastabilitás (agyterületek közötti) kommunikációban és információ kódolásban betöltött szerepét. A szakdolgozatban végzett kutatásomhoz hasonló jelenséggel foglalkozik a szerző egy másik cikke [10], ahol alapvetően multistabil rendszerekről van szó (bevezetésnek ajánlom: [11]), azonban a fázistéren történő bifurkációknak köszönhetően metastabil viselkedés is kialakul, nagyon hasonlóan ahhoz, ahogy az én általam vizsgált differenciálegyenlet-rendszer (α; β) (illetve (γ; δ) ) paramétersíkján lévő kritikus görbe mentén. Továbbá hasonlóság az is, hogy a szimmetriasértő δ paraméter 0 értékéhez közel találjuk a multistabil, tőle távol pedig a metastabil tartományt mindkét kutatásnál. (A szimmetriasértés hatásait elemzi [5] is.) A cikk a metastabilitás jelentőségét az alábbi pontokban összesíti: 15

A metastabilitás felelős a heterogén agyterületek koordinációjáért. A metastabilitás minden további külső folyamat (energia, zaj, stb.) nélkül képes megvalósítani a sok egyensúlyi állapotot meglátogató dinamikát, mely így nem ragad le egyetlen stabil egyensúly közelében. (Bár, ahogy korábban láttuk [3] [6], zaj hozzáadása növelheti a teljesítményt.) A metastabilitás a szélsőséges elméleteket egyesíti, képes őket egyszerre megmagyarázni. (Ezt is láttuk korábban, [8].) A metastabilitás biztosítja a teljes agyi komplexitás kifejeződését. Pontosabban fogalmazva: a kvantitatív komplexitás maximumát úgy érhetjük el, hogy a metastabilitás révén optimalizáljuk a korábban látott szélsőségek közötti egyensúlyt. Hasonlóan [6]-hez, [12] is a testtartás koordináció-dinamikájával foglalkozik. A leírt kísérletben az emberi fej és tömegközéppont mozgását vizsgálták nyitott és csukott szemmel, valamint egy és két lábon állva. Metastabilitást találtak a mért adatok relatív fáziseloszlásának vizsgálatakor. A tapasztalt phase trapping és phase scattering jelenségek megfelelnek egy metastabil egyensúly stabil és instabil irányainak, ahogy azt korábbi cikkekben [2] [8] is láthattuk. E fázisjelenségek kvantitatív mértékét az említett cikkeknél tárgyalt nyeregérték határozza meg. Egy egynél nagyobb nyeregérték hatására a vonzás erősebb, mint a nyújtás, így a phase trapping dominál. Az ilyen rendszerekkel kapcsolatban láttuk korábban [3] [6] a zaj stabilizáló hatását. Összefoglalva kijelenthetjük, hogy a metastabilitás egyáltalán nem csak elméleti matematikai fogalom, hiszen ahogy láttuk, a biológiában is számtalan helyen ránk köszön. Ebben az alfejezetben példáit láttuk annak, hogy a dinamika metastabilitást mutató objektumai hogyan játszanak szerepet olyan létfontosságú agyi folyamatokban, mint például érzékelés [11], absztrakt döntés [3] [11], és emlékezés [2] [7], valamint pszichés betegségekben [2]. Meggyőződhettünk a heteroklinikus csatornák fontosságáról [2] [3]. Az absztrakt agyi folyamatokon kívül láttunk példát egy makroszkopikus viselkedésben, a testtartásban megjelenő metastabilitásra is [6] [12]. Tapasztaltuk a zaj stabilizáló hatását [3] [6], és láttuk a metastabilitás detektálásának nehézségeit [9]. 16

4.2. Metastabil jelenségek matematikai vizsgálata Az eddig vizsgált cikkek ugyan a metastabilitás jelenségét, és a hozzá kapcsolódó objektumokat tárgyalták, azokat főleg biológiai kutatások melléktermékeként kezelték. Látni fogjuk azonban, hogy a metastabilitás nem csak a biológusok számára fontos és érdekes, hanem a mérnökök, illetve matematikusok számára is. Az ebben a fejezetben tárgyalt források kvantitatív matematikai kutatások eredményeit közlik, melyek közelebb visznek a mögöttes matematikai elmélet megértéséhez. Az általam is vizsgált egyenletrendszerrel foglalkozik [5]. Elsősorban szimmetrikus csatolást vizsgál, azaz a szakdolgozat jelöléseit használva δ = 0. N = 6, 7, 8 dimenziós rendszereket tekint, γ = 1 mellett. Aktivációs függvényként tanh(x) et használ, akárcsak én. Ilyen paraméterek használata mellett vizsgálta az origó bifurkációit a gain függvényében. (Az én ilyen irányú méréseimet az 5.5. fejezetben találja az olvasó.) Az origó sajátértékeire vonatkozóan explicit képletet ad, a stabilitás kritériuma g < 1. Ebben a pontban egy pitchfork bifurkáció során keletkezik két stabil, homogén egyensúly, melyek nem bifurkálódnak tovább. Az origón viszont egy további pitchfork történik, mely inhomogén, instabil egyensúlyok keletkezéséért felelős. Ezek a pontok később stabilizálódnak, a négy szinten történő bifurkációk részleteit lásd [5] 1.a ábráján, vagy a szakdolgozat 5.5.1. ábráján. Míg én csak páros dimenziós rendszerekkel foglalkozok, [5] megvizsgálja a páratlan N = 7 esetet is. Itt lényegesen egyszerűbb a fent tárgyalt diagram, csupán két pitchfork és egy fold található. Az első bifurkáció a páros esettel megegyező, stabil homogén egyensúlyok létrehozásáért felel. Ezután egy degenerált pitchfork során 2 pár egyensúly születik, egy szimmetrikus és egy aszimmetrikus, melyek a páros esettel ellentétben nem bifurkálódnak tovább. Később, egy nyereg-csomó bifurkáció során keletkezik egy stabil és egy instabil egyensúlyi pont, mindkettő inhomogén. Ezek után a szerző az inhomogén egyensúlyi helyzetek stabilitását vizsgálja sajátértékeken keresztül. A Jacobi mátrix legnagyobb (valós részű) sajátértéke nullához nagyon közeli, és exponenciálisan csökken N függvényében. Ez az exponenciálisan gyenge taszítás eredményezi a metastabilitás jelenségét. Az egyensúlyi helyzeteknél valamivel bonyolultabb a tranziens oszcillációk vizsgálata. Ehhez érdemes az utazóhullám pozitív részének hosszát tekinteni, tudniillik e hossz változásának 17

sebességéből kikövetkeztethető a lecsengés ideje. Erre a szerző ad egy explicit képletet, mely analitikai levezetése ugyan nem alkalmazható erre a diszkrét rendszerre, a mért adatok alátámasztják annak minőségbeli helyességét. A közölt eredmények nagy magabiztossággal támasztják alá az instabilitás exponenciális gyengeségét egyrészt a rendszer méretének függvényében, másrészt a kezdeti feltételben lévő hullám pozitív részének hossza függvényében. Ebben a cikkben is történnek vizsgálatok a zaj hatását illetően. Először mérés történik a fehér zajból indított szimulációk futási idejét illetően. Az idők hisztogramját log-log diagramon ábrázolva sejthető egy hatványtörvény szerinti eloszlás, melyre alátámasztó jellegű analitikai levezetéseket is ad a szerző. Ezek után a cellák kapcsolási súlyaihoz (mely eddig homogén és szimmetrikus volt) ad fehér zajt. Ennek eredménye hasonló ahhoz, amit már több cikkben is láttunk [3] [6], ugyanis a közepes amplitúdójú zaj stabilizálja a bifurkációk által létrejövő egyensúlyokat és periodikus pályákat. Ezek után vizsgálatok történnek a determinisztikusan aszimmetrikus kapcsoltságról. (A szakdolgozatban én főleg ilyen rendszert kutatok.) Ebben az esetben megfigyeléseket tesz a heteroklinikus bifurkáció tényéről, és leméri annak helyét a gain függvényében. Az 5.5. fejezetben én is végzek hasonló méréseket, bár a dolgozat nagy részében a g = 1 esettel foglalkozom, és inkább a δ változásait vizsgálom. A gain függvényében történő bifurkációkat illetően a szerző nem állapít meg minőségbeli eltérést a szimmetrikus esetben kapott eredményektől. Az aszimmetria hatását megvizsgálja az átviteli függvény tekintetében is, azaz eldobja azt a feltevést, miszerint a karakterisztika páratlan függvény. E szimmetriasértés hatása nem triviális. Az aszimmetria növelésével nő a legnagyobb sajátérték, azaz gyengül a metastabilitás. Ez a gyengülés azonban nem csak mennyiségbeli, hanem minőségbeli is, tudniillik az exponenciális metastabilitás lineárisra csökken mind a rendszer méretének függvényében, mind pedig a korábban is vizsgált kezdeti feltétel ( pozitív hullámhossz ) függvényében. A cikk legmesszebb menő vizsgálata a topológia megváltoztatásával történik. Konkrétan kiterjeszti az egyenletrendszert kétdimenziós, négyszomszédságú, toroid peremfeltételű hálózatra is. Természetesen ebben a rendszerben is vannak homogén egyensúlyok, valamint az egydimenziós eset inhomogén egyensúlyainak is van megfelelője, ha az egyik topológiai dimenzió mentén konstans módon kiterjesztjük azokat. Ezeken kívül azonban megjelennek új minőségek is, például pozitív szigetek, melyek nyereg-csomó bifurkációk során keletkeznek. A tranziens lecsengés ideje függ az ilyen szigetek határának görbületétől, ugyanis nullához közeli görbület 18

esetén lassabb a cellaértékek változása. Ennek megfelelően az egydimenziós topológiából következő, konstans módon kiterjesztett állapotok erősebb metastabilitást mutatnak. Ennek ellenére véletlen inicializáció mellett továbbra is exponenciálisan csökken a legnagyobb sajátérték, és a tranziens ideje továbbra is hatványtörvény szerint alakul. A szerző egy másik cikke [4] egy hasonló rendszert vizsgál, mely szintén gyűrű topológiával rendelkezik, azonban a cellák közötti kapcsolat egyirányú, és az egyenletrendszer alapját a három dimenziós FitzHugh-Nagumo modell képzi. Ebben a hálózatban is találunk periodikus oszcillációkat, illetve utazóhullámokat. Mivel itt egy jel összetettebb, mint [5] ban, több féle vizsgálódási lehetőség is van. Mérni lehet bizonyos inkonzisztenciák terjedési sebességét, például: két szomszédos neuron egyszerre tüzel. Ez a terjedési sebesség az egyes inkonzisztenciák távolságának exponenciálisan lecsengő függvénye, így nagy rendszer esetén ugyanolyan metastabil jelenséget tapasztalunk, mint a szigmoid cellákat használó hálózatban. Nagyon hasonló eredményeket kapunk továbbá, ha fehér zajt használunk kezdeti feltételnek, illetve ha zajt adunk a kapcsoltsághoz. E cikk fontosságát az jelenti, hogy a korábban is tapasztalt és lemért konkrét matematikai jelenségeket egy biológiai valósághoz közelebb álló modell segítségével is leírta, megerősítve azt az elképzelést, miszerint az emberi agyban is jelen vannak, és fontos szerepet játszanak a dinamika metastabilitást mutató objektumai. Sajnos ezek a kutatások szinte kizárólag numerikus tapasztalatot és mérési adatokat közölnek, szigorú bizonyítások nélkül, ezért nem ismerjük a levont következtetések hatáskörét és bizonyosságát. Ebben a fejezetben megismertettem az olvasót a metastabilitással foglalkozó szakirodalom egy releváns részhalmazával. Számtalan példáját láttuk az emberi agyban fellelhető metastabilitásnak, az érzékelés, emlékezés, absztrakt gondolkodás, mozgás, stb. kapcsán, majd betekintést nyertünk a szakdolgozat témájaként szolgáló konkrét egyenletrendszer kvantitatív vizsgálati lehetőségeibe. Ezek a vizsgálatok jellegükben hasonlóak az általam végzett kutatáshoz, azonban a paramétertér más tartományait térképezték fel, és más szempontok szerint. 19

5. Az önálló kutatómunka ismertetése Ismert, hogy differenciálegyenletekben a paraméterek bizonyos értékeinél hirtelen kvalitatív változások történhetnek még akkor is, ha a dinamikát leíró egyenlet jobboldala szép függvény. Ilyen minőségbeli változás lehet egyensúlyi helyzetek összeolvadása, áthaladása egymáson, új egyensúlyi helyzetek születése, stabilitás változás, illetve ezen esetek kombinációi. Ugyanez megtörténhet periodikus pályákkal is. Ezeket a változásokat bifurkációnak hívjuk. Az általam vizsgált rendszerben is történnek bifurkációk a (γ; δ) sík bizonyos görbéi mentén, ezeket hívom kritikus görbéknek. Ebben a fejezetben az 1. kritikus görbén belüli tartománnyal, illetve a kritikus görbén való áthaladással foglalkozom. Ahogy azt korábban láttuk, a bistabil tartományban ( δ > δ krit, azaz erősen aszimmetrikus kapcsoltság) mindössze három egyensúlyi helyzet létezik: két stabil és egy instabil. Ezen kívül létezik egy metastabil periodikus pálya is. Ha azonban δ 0, a periodikus pályát nem találjuk, helyette viszont nagyon sok egyensúlyt látunk. Ennek a fejezetnek a felépítése a következő: az első alfejezetben megvizsgálom a periodikus pálya megszűnésének módját a δ változtatása mellett, és az így kapott egyensúlyok sorsát vizsgálom a kritikus tartományban. Ezután a kritikus tartományban lévő összes egyensúlyi helyzetet felderítem (adott γ mellett). A harmadik alfejezetben az egyensúlyi helyzetek csoportjaiból indított bifurkációs vizsgálatok eredményét közlöm, kitérve az egyes csoportok összekötéseire. Ezután, már a γ paramétert is változtatva pontosan feltérképezem a kritikus görbék helyzetét a (γ; δ) síkon. A kritikus görbék egy furcsa tulajdonságából adódóan vizsgálatot indítok az átviteli karakterisztika megváltoztatásának következményeit illetően. Ezek után megmérem a rendszer bizonyos sajátértékeit. Végül, az utolsó alfejezetben kísérleteket végzek az egyenletrendszer GPU gyorsíthatóságával kapcsolatban. 20

5.1. A heteroklinikus bifurkáció detektálása és folytatása Az bistabil tartományban jelenlévő metastabil periodikus pálya mentén haladva azt vesszük észre, hogy N db meghatározott pont közelében a dinamika lelassul. Ahogy közeledünk egy kritikus δ krit értékhez, a lokális sebességminimumok értéke nullához konvergál, majd a kritikus görbét elérve a dinamika teljesen megáll ezekben a pontokban, azaz egyensúlyi helyzetek keletkeztek. Innentől kezdve nem beszélhetünk periodikus pályáról, ugyanis az egy heteroklinikus bifurkáció során átalakult egy heteroklinikus ciklussá, melyet N db egyensúlyi helyzet (nyeregpont) alkot [1]. A nyeregpontok össze vannak kötve instabil sokaságok által. Ezeken kívül további egyensúlyi helyzetek is létrejönnek. Megállapítottam az egyensúlyi helyzetek számát, megvizsgáltam szerkezetüket, és bifurkációs vizsgálatokat végeztem azok összekötéseinek megállapítására, ezeket az eredményeket ismertetik a következő fejezetek. Mivel a bistabil tartományban lévő metastabil periodikus pályát könnyű megtalálni, első lépésben abból indultam ki. Elindítva egy oszcillációt fokozatosan csökkentettem a δ-t, közelítve a kritikus görbéhez. Figyeltem a dinamika sebességének minimumhelyeit, hiszen ott születnek majd az új egyensúlyi helyzetek. Egy periódus alatt N db minimumot figyeltem meg. Amikor a dinamika ezekben a pontokban megállt, tudtam, hogy elértem a kritikus görbét. Az így kapott N db egyensúly jó kiindulási alapot jelentett a további kutatáshoz. Az eddigi szimuláció egy általam írt Visual Basic tesztkörnyezetben történt, melyet az előző szemeszter önálló laboratóriumi kutatásához készítettem. Ebben a differenciálegyenletrendszert elsőrendű explicit Euler módszerrel oldottam meg. A kritikus tartománybeli vizsgálat azonban nem időtartományban történt, hanem a MatCont nevű ingyenes programcsomaggal. A MatCont egy toolbox a MATLAB környezethez, melyet közönséges differenciálegyenletrendszerek bifurkációs vizsgálatához fejlesztettek ki. Ebben a paramétereket változtatva lehet vizsgálni az egyensúlyi helyzetek és periodikus pályák összekötöttségét, bifurkációit. A toolbox használható MATLAB konzolból ill. script-ből is, melyhez a Cl_MatCont nevű csomag szükséges, én azonban a saját grafikus felhasználói felülettel rendelkező MatCont változatot használtam. A szakdolgozat írásakor a toolbox legfrissebb verziója 5p4, a kísérletek ezzel készültek. A közvetlenül a kritikus görbe mellett szimulált periodikus pálya adataiból kapott egyik egyensúlyt felhasználva MatCont szimulációt indítottam. Ebben a kísérletben a γ-t továbbra is konstans értéken tartva, a δ-t változtatva figyeltem az egyensúlyi helyzet koordinátáinak 21

változását. Az eredményként kapott görbe N-szer átszeli oda-vissza a kritikus tartományt, és végül önmagába zárul. A tartomány szélén pedig kijelöli azt az N db egyensúlyt, melyek a periodikus pálya halálát okozták. Az eredményt az 1. ábra mutatja be, mely egyelőre szemléltető jellegű, további elemzést az 5.3. fejezetben fogunk látni. 1. Ábra: A heteroklinikus bifurkáció révén keletkezett egyensúlyok összekötöttsége. A kritikus tartomány szélein keletkező N db egyensúly nem csak a dinamika, hanem paraméter menti folytatás útján is össze van kötve. Az ábrán a δ függvényében látjuk az egyik koordináta változását. A BP pontok jelentőségét az 5.3. fejezet mutatja be. 22

5.2. Az egyensúlyi helyzetek feltérképezése Az előző alfejezetben bemutatott bifurkációs mintázat a kritikus régió belsejében 16 db egyensúlyért felelős. Ha dinamikus szimulációkat futtatunk, azonnal látjuk, hogy az egyensúlyi helyzeteknek ez csak töredéke. Szükség van tehát egy módszerre, mely segítségével az összes egyensúlyt felderíthetjük, és rendszerezhetjük. Ennek megoldására egy MATLAB script-et készítettem. (Lásd 1. melléklet.) A script leegyszerűsített pszeudokódja a következő: 1. Sorsuljunk M db pontot véletlenszerűen a [ γ; γ] N kockából! 2. Indítsunk minden pontból egy Newton iterációt, mely megkeresi a differenciálegyenletrendszer jobboldalának zérushelyeit (azaz az egyensúlyi helyzeteket)! 3. A Newton iteráció eredményeként kapott pontok számát figyeljük M növelése mellett! (A többször megkapott pontokat egy adott hibahatáron belül természetesen csak egyszer számoljuk.) 4. Ha M növelése már láthatóan nem hoz be új egyensúlyokat, viszonylagos biztonsággal kijelenthetjük, hogy az összes egyensúlyt megtaláltuk. Nyilvánvaló, hogy a fenti algoritmus brute force jellegű, alapja az N dimenziós [ γ; γ] N kocka teljes térfogatának végigjárása. Mivel e térfogat, valamint az egyensúlyi helyzetek száma is exponenciálisan nő N függvényében, magas N esetén (N > 14) gyakorlatilag nem kivitelezhető ez a módszer. Ha minden egyensúly vonzó jellegű lenne, Newton iteráció helyett egyszerű dinamikával is megtalálhatnánk őket, ezt azonban nem feltételezhetjük. A Newton iteráció hátránya, hogy elvégzéséhez az egyenletrendszer Jacobi mátrixát invertálni kell, a mátrix speciális szerkezete miatt ez pedig nem egyszerű, illetve sok numerikus hibát rejt magában. Egy másik nehézség, hogy egyes egyensúlyok Newton-konvergencia medencéje (azaz azon pontok halmaza, melyekből a Newton iteráció az adott egyensúlyba konvergál, ez nem egyezik meg a dinamikus vonzási medencével!) kicsi, gyorsan változó deriváltakkal, így csak relaxált Newton iteráció használható, melynek azonban több iterációra van szüksége a konvergenciához. Az egyensúlyi helyzetek egyenlőségének vizsgálatához természetesen szükség van egy ε küszöbértékre, melynél (geometriai értelemben) közelebbi pontokat egyenlőnek tekintjük. Hasonló ε-t használhatunk a Newton iteráció kilépési feltételeként. 23

A futtatáskor használt paraméterek, illetve meta-paraméterek a következők voltak: N 8 γ 7 δ M 5000 Newton relaxáció 0,1 24 0-0,2798 (változó) Newton maximális iterációk száma 200 (=20/0,1) ε 0,00001 1. Táblázat: Az egyensúlyi helyzetek felderítésekor használt paraméterek és meta-paraméterek. A metaparaméterek megfelelő értékét sok tesztelés eredményeként állapítottam meg. A script eredményeként kapott egyensúlyok száma függött δ-tól. Ez azt jelenti, hogy a kritikus tartományon belül sem állandó az egyensúlyi helyzetek száma. A tartomány szélén (pl. δ = 0,26) 99 db egyensúlyt találtam, a közepéhez közel (pl. δ = 0,05) 131 db-ot. A δ = 0 eset speciális szimmetriákat vezet be az egyenletrendszerbe, így ezt az esetet egyelőre elkerültem. Azt vettem észre, hogy a δ különböző értékeinél más eredmény sosem születik, mindig vagy 99, vagy 131. Ez arra enged következtetni, hogy a 32 új egyensúly hirtelen, egy második, belső kritikus görbe mentén keletkezik. Ennek részleteit később láthatjuk. Az egyensúlyok koordinátáit szemügyre véve, illetve triviális elméleti megfontolások alapján is beláthatjuk, hogy az egyensúlyok között vannak azonosnak tekinthetők. A rendszer toroid határfeltétele és homogén csatolása miatt létezik egy ciklikus szimmetria, a σ átviteli karakterisztika páratlansága miatt pedig egy egyensúly -1 szerese is egyensúly. Ezek miatt a szimmetriák miatt nem kell mind a 99/131 egyensúllyal egyenként bajlódni, csoportokba lehet őket szedni. A csoportosításhoz a diszkrét Fourier transzformációt hívtam segítségül. Ha az egyensúlyok DFT spektrumának abszolút értékét hasonlítjuk össze, sem a -1 szeres szorzás, sem az eltolás hatása nem vehető észre. Megjegyzendő, hogy a δ = 0 egyenesen egy újabb szimmetriával kell számolni, ugyanis itt a szimmetrikus csatolás miatt a koordináták ciklikus eltolásán kívül azok tükrözése is egyensúlyhoz vezet. Ez egy dihedrális szimmetriát vezet be, mellyel azonban itt nem fogok részletesen foglalkozni. A DFT ezt a szimmetriát is kiszűrné. Az egyensúlyok koordinátáinak vizsgálatakor azt is észrevehetjük, hogy azok egyfajta hullám szerkezettel rendelkeznek, annak ellenére, hogy időben ezek a hullámok nem terjednek.

Ennek magyarázataként felidézném az 1. kritikus görbén történő heteroklinikus bifurkáció jellegét. A δ finom közelítésével a periodikus illetve majdnem periodikus megoldások (melyek tulajdonképpen utazóhullámok) periódusideje végtelenhez divergál. Amikor elérjük a kritikus görbét, az oszcilláció megszűnik, azonban a hullámalak pontosan a heteroklinikus bifurkáció mibenlétének köszönhetően megmarad. Az egyensúlyok DFT klaszterezése után 99 helyett már csak 9, 131 helyett pedig csak 11 lényegileg különböző egyensúllyal kell számolni. Az egyensúly csoportotokat a 2. táblázat mutatja be, * jelöli azt a két csoportot, melyek csak kis δ esetén léteznek. A táblázat első oszlopa az egyes csoportokban lévő egyensúlyok számát jelöli, mely szám a hullámalak belső szimmetriáitól függ. Egy aszimmetrikus hullámalak 16 egyensúlyt definiál, a fent leírt eltolás és -1 szeres szorzási lehetőség miatt. Ha azonban a hullámalak pozitív fele pontosan ugyanolyan, mint a negatív fele, akkor a -1 szeres szorzás nem eredményez új egyensúlyokat, ennek megfelelően az ilyen hullámalakhoz csak 8 db egyensúly tartozik (3. és 4. csoport). A homogén egyensúlyok pedig értelemszerűen az eltolásra invariánsak, így ezekből csak 1 (origó) illetve 2 (±γ) található (1. és 2. csoport). Az 1. és 2. csoport létezik a bistabil tartományban is. A 3. és 4. csoportban lévő egyensúlyi helyzeteket találtam meg az 5.1. fejezetben. Az egyes csoportokhoz tartozó egy-egy egyensúly koordinátáit szám szerint a táblázat tartalmazza, illetve két egyensúlyt grafikusan is megmutatok (1-2. ábra). A grafikus ábrázoláson szépen látszik a hullámszerkezet, melyhez hasonlót az időben változó utazóhullámoknál láttunk. 25

Csoport sorszáma Egyensúlyok száma Reprezentatív koordináták 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 7 7 7 7 7 7 7 7 3 8-0.867 1.008 6.171 5.957 0.867-1.008-6.171-5.957 4 8 3.279 6.986 3.718 0.056-3.279-6.986-3.718-0.056 5 16-0.976 0.827 5.867 7 6.999 4.333 0.237-1.791 6 16-6.996-3.719-0.056 3.274 3.708 0.056-3.279-6.99 7 16* 7 5.919 0.846-1.023-2.837-0.034 3.354 6.991 8 16* -0.269 1.711 0.993-0.801-5.817-7 -6.999-4.437 9 16 3.718 0.056-3.279-5.947-0.867 1.008 6.171 6.996 10 16 6.99 5.957 0.867-1.008-6.167-3.718-0.056 3.279 11 16-5.957-0.867 1.008 5.129 0.867-1.008-6.171-7 2. Táblázat: A DFT klaszterezés eredményeként kapott 11 egyensúly csoport. Feltüntetésre került az egyes csoportokban lévő egyensúlyok száma, és egy-egy reprezentatív egyensúly koordinátái a többi egyensúly ennek eltoltja, illetve -1 szerese. * jelöli azt a két csoportot, mely csak kis δ-nál, a 2. kritikus görbén belül jelentkezik. N=8, γ=7, δ=0,05 8 8 6 4 2 6 4 x n 0-2 -4-6 1 2 3 4 5 6 7 8 n x n 2 0-2 1 2 3 4 5 6 7 8 n -8-4 1. Ábra: Egy szimmetrikus egyensúlyi helyzet koordinátái. Az ábrázolt pont a 2. táblázat 3. csoportjához tartozik. 2. Ábra: Egy aszimmetrikus egyensúlyi helyzet koordinátái. Az ábrázolt pont a 2. táblázat 5. csoportjához tartozik. 26