07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk általános egyenletek megoldására. Ezeken felül a logaritmus és exponenciális definíciók és összefüggésekre és ötletekre lesz csak szükségünk, hogy képesek legyünk elvégezni a feladatokat. Határozzuk meg a logaritmus értékét: log 3 9 =, mert 3 = 9 log 8 = 3, mert 8 3 = log 6 =, mert = 6 log 9 9 3 = log 9 = log 9 9 3 = 3 3 9 Hatvány azonosságok és logaritmus definíciójának segítségével számítsuk ki: 5 +3 log 5 = 5 5 3 log 5 = 5 5 log 5 3 = 5 3 = 0 0 6+lg 8 = (0 6+lg 8 ) = 0 6+ lg 8 = 0 3+lg 8 = 0 3+lg 9 = 0 3 0 lg 9 = 000 + 9 = 009 Hozzuk egyszerűbb alakra az azonosságok és definíció segítségével: log k x+3 log k y = log k x +log k y 3 = log 5 log k k 5 k (x + y 3 + k 5 ) Egyenletek megoldásának néhány módja Új alap és számológép használata x = 5 log x = log 5 x log = x = log 5 x = log 5 = lg 5 =,3 lg / vesszük a két oldal logaritmusát / azonosságot használva kivisszük a hatvány kitevőjét / új, 0-es alapra térünk át, hogy számológéppel számolhasunk Azonos hatványalap és összevonása 5 5 x 3 5 5 x + 5 x = 55 / összevonjuk az ismeretlent tartalmazó hatványokat 5 x = 55 5 x = 5 / vesszük az oldalak logaritmusát log 5 5 x = log 5 5 x log 5 5 = log 5 5 x = Több azonos hatványalap és összevonása 3 x + 3 x+ = x+ + x+ / azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket 3 x 3 + 9 3x = x + x 6 / 3 3 x + 7 3 x = x 6 + x 8 / összevonjuk a tagokat 8 3 x = 5 x 3 x = x,5x = 5 = 7 8 lg,5 x = x lg,5 = lg 7 x = lg 7 : lg,5 =,6 / : 8 / : x / vesszük a két oldal 0-es alapú logaritmusát (számológéppel) / azonosság alapján kiemeljük a log-on belüli ismeretlent
07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Hasonló alapú hatványalapok átírása 3 8 7 x+ = 9 (x ) 3 3 3 3x+ = 3 (x ) / észrevesszük, hogy átírhatóak az alapok 3 hatványaira / rendezzük a hatványkitevőket 3 3 6 3 3x+3 x = 3 3 +6+3x+3 x = 3 3 0+3x = 3 x / exp.fgv.szig.mon. 0 + 3x = x / 0-ra redukálunk x 3x 0 = 0 x ; = b± b ac a x = 3+3 x = 3 3 = 3± 9+ 0 = 6 = = 0 =,5 / II. fokú egyenlet megoldása = 3± 69 = 3±3 Alapátírással, hatványazonosságokkal és értékkészletvizsgálattal 3 x 5 x 3 = 5, / észrevesszük, hogy 5, = 7 5 = 33 5 ha nem láttuk meg, akkor vesszük a 0-es alapú logaritmusokat és számológéppel oldjuk 3 x 5 x 3 = 33 5 / 5 / : 3 3 3 x 5 x = / kiemelünk azonossággal a b = (a + b) (a b) (3 x+ ) x 5 x = / hatványszorzat azonosság (3 x+ 5) x = / vizsgálat egy hatvány értéke akkor és csak akkor, ha az alapja, vagy a kitevője 0 3 x+ 5 = / : 5 3 x+ = 5 = 5 / vesszük a két oldal 0-es alapú logaritmusát (számológéppel) lg 3 x+ = lg 5 (x + ) lg 3 = lg 5 x = lg 5 lg 3 x = 3,6 x = 0 x = / log azonossággal kivisszük a hatványkitevőket / : lg 3 / Másodfokú egyenletre vezető logaritmussal 3 x+ 3 x+ = 6 / azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket 3 x 3 3 x 3 = 6 3 3 x 9 3 x = 6 / : 3 3 x 3 3 x = 5 / 3 x y y 3 y = 5 y 3y 5 = 0 y ; = b± b ac a y = 3+5 3 x = 9 x = = 3± 9+ 5 = 8 = 9 / 0-ra redukálunk = 3± 5 = 3±5 y = 3 5 = = 6 3 x = 6 ellentmondás, 3 x > 0
07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus azonossággal és definícióval lg(x 6) + lg(x ) = 3 lg 5 kikötés: x 6 > 0 x > 6 x > 0 x > 7 lg(x 6) + lg(x ) = 3 lg 5 / közös alapú logaritmusra hozni lg(x 6) + lg(x ) = lg 000 lg 5 / azonosságok segítségével összevonni lg[(x 6)(x )] = lg ( 000 5 / log.fgv.szig.mon. (x 6)(x ) = 0 / zárójel kibontás x x x + 8 = 0 x 6x + = 0 x ; = b± b ac a x = 6+8 x = 6 8 = 6± 676 = = 6±8 = kikötésnek nem felel meg / 0-ra redukálás Logaritmus definíció segítségével log log 3 log x = = log 3 log x 3 = log x 9 = x / log definíció szerint haladunk lépésenként Logaritmus definíció segítségével log [ + log 5 (3 + log 3 x)] = = + log 5 (3 + log 3 x) / / logaritmus definíció szerint = log 5 (3 + log 3 x) / logaritmus definíció szerint 5 = 3 + log 3 x / 3 = log 3 x / logaritmus definíció szerint 3 = x = 9 Kikötéssel egyeztetve ellentmondás lg(3x 5) lg(x ) = kikötés: lg(3x 5) lg(x ) 3x 5 > 0 x > 5 3 x > 0 x > lg(x ) 0 x x = / lg(x ) lg(3x 5) = lg(x ) / log.fgv.szig.mon. 3x 5 = x / +5 / x x = x = nem megoldás, mivel ellent mond a kikötésnek Közös logaritmus alapra áttéréssel log 6 x + log x = log 36 x 3 log 6 x log 6 x = log 6 x 3 log 6 x = 3 x = 6 6 / áttérünk 6-os alapú logaritmusra / log 6 x / ( ) / log def szerint 3
07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Új hatványalappal és azonos alapú logaritmussal, definícióval és gyökös egyenlettel x log x = 5 / észrevesszük a hatványát x log x = 9 log x log x = log 9 = 9 = 9 / vesszük a -es alapú logaritmusukat log x log x = (log x) = 9 / log azonossággal kivisszük a hatványkitevőt / log x = 3 log x = 3 x = 3 = 8 x = 3 = 8 Grafikus megoldással 3 x = x + az egyenlet két oldalát függvényként kezelem és ábrázolom: x 3,9 x,6 Egyenlőtlenség reláció fordulással log 0,5 (x ) < log 0,5 3 x > 3 x > 5 log.fgv.szig.mon.csökken (csökken, tehát fordul a reláció!)
07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig A könyv megvásárolható egyben, nyomtatva - ára szintenként 000 Ft A könyv készítője: Koczog András matematikus, biológus info@matematikam.hu Forrás www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu/letoltes www.konyv.matematikam.hu www.fb.com/matematikam.hu info@matematikam.hu Matematika korrepetálás, felkészítés Online matematika feladatok Letölthető matematika feladatsorok Matematika könyvem témakörei, fejezetei A tanítás és matek facebook oldala Üzenet a könyvvel és az oktatással kapcsolatban Évek óta foglalkozom matematika oktatással - az általános iskolás korosztálytól kezdve az érettségizőkön át egészen az egyetemi szintig készítek fel diákokat a különböző megmérettetésekre. Végzettségemet tekintve okleveles matematikus és biológus vagyok, illetve webszerkesztő és hivatásos túravezető. Szerencsémre ezekre nem mint feladat, hanem mint hobbi tudok tekinteni, így továbbra is lelkesen képzem magamat ezen területeken. 008-ban sikerült befejeznem a jegyzetet, majd 0-ben a diplomám megszerzése után újra nekiláttam a fejezetek "modernizálásának", az egész anyagot kibővítettem, és igyekeztem még inkább használhatóvá tenni. Most már teljes bizonyossággal elmondhatom, hogy a könyv elég a közép- és az emelt szintű érettségihez is. Reklám www.turaoldal.hu www.elovilag.turaoldal.hu www.blog.turaoldal.hu www.fb.com/turaoldal.hu info@turaoldal.hu Minden, ami túrázás, túlélés, természet A Kárpát-medence és környékének élővilága Cikkek a túrázással és a természettel kapcsolatban A turaoldal.hu lapok facebook oldala Üzenet a természettel és a túrázással kapcsolatban 5