Valószínűségszámítás Valószínűség (probablty) 0 és 1 között valós szám, amely egy esemény bekövetkezésének esélyét fejez k: 0 - (sznte) lehetetlen, 0.5 - azonos eséllyel gen vagy nem, 1 - (sznte) bztos Vannak más mérőszámok s esélyek számszerűsítésére! Odds (esélyhányados) 0 - (sznte) lehetetlen, 1 - azonos eséllyel gen vagy nem, - (sznte) bztos Logt (az odds logartmusa, szmmetrkus) - (sznte) lehetetlen, 0 - azonos eséllyel gen vagy nem, - (sznte) bztos valószínűségszámítás (probablty theory) Azzal foglalkozó tudományág, hogy bzonyos (egyszerűbb) események valószínűségét smertnek feltételezve, hogyan számíthatjuk k más (bonyolultabb) események valószínűségét. statsztka (statstcs vagy statstc) (statstcs) nagyszámú megfgyelt, mért adat összegzésével, az nformácó knyerésével és szemléltetésével (leíró statsztka, descrptve statstcs), lletve egy mnta adataból a populácó tulajdonságara való következtetéssel (nduktív statsztka, statstcal nference) foglalkozó tudományág (ndukcó: konkrét, egyed általános) (statstc) a mntából számított mérőszám, mutató (pl. mntaátlag) mnta (sample) A vzsgálandó egyedeknek vagy objektumoknak az a köre, amelyeket ténylegesen megvzsgálunk, azaz amelyeknek adatan következtetésenk alapulnak megfgyelés egység (observatonal vagy expermental unt) A populácó, lletve a mnta egy eleme, egy egyed vagy objektum, amelynek adatat feljegyezzük (lehet egy állat, egy élőhely, egy állatpopulácó, stb.) asszocácó (assocaton) Összefüggés két jellemző között (pl. testsúly-testmagasság, vagy hajszín-szemszín); ha két jellemző összefügg, akkor az egyk jellemző smerete egy egyeden a másk jellemzőről s több-kevesebb nformácót szolgáltat (statsztka) populácó ~ alapsokaság (populaton) A vzsgálandó egyedeknek vagy objektumoknak az a (teljes) köre, amelyre a vzsgálat rányul, azaz amelyre következtetésenket vonatkoztatn szeretnénk
korrelácó (correlaton) Specáls (de gyakor) összefüggéstípus két jellemző között poztív korrelácó: "ksebbel ksebb, nagyobbal nagyobb jár együtt" negatív korrelácó: "ksebbel nagyobb, nagyobbal ksebb jár együtt" sztochasztkus (stochastc) (összefüggés, törvényszerűség) Olyan összefüggés, amelyben a véletlennek s szerepe van aszmptotkus (tulajdonság) (asymptotc) Nagy mntákra érvényes (tulajdonképpen ha a mntanagyság végtelenhez tart) Az asszocácó általánosabb fogalom, mnt a korrelácó! (vszonyuk mnt a rovar / bogár ) függetlenség (ndependence) Két jellemző olyan vszonya, amkor nncs közöttük összefüggés: lyenkor az egyk jellemző smerete egy egyeden semmlyen nformácót nem nyújt a másk jellemzőre nézve (statsztkalag) szgnfkáns (statstcally sgnfcant) A mntában megfgyelt tulajdonság (összefüggés, különbség, stb.) túllép azt a szntet, amt még könnyű szívvel a véletlen számlájára írhatnánk. Ezért úgy gondoljuk, hogy a megfgyelt tulajdonság nem csak a mntára, hanem a populácóra s jellemző. Gondoljunk rá így: nem szgnfkáns ~ könnyen lehet, hogy a véletlen játéka (semmt sem bzonyít) szgnfkáns ~ lehet ugyan, hogy véletlen, de a véletlen lyet csak rtkán produkál Hogy szakmalag s érdekes-e, amt megfgyeltünk, az más kérdés (szakmalag releváns vagy rreleváns). Az a legszebb, ha felfedezésünk szakmalag s releváns és statsztkalag s szgnfkáns. A valószínűségszámítás és a statsztka vszonya Tpkus valószínűségszámítás kérdésfeltevés: Ha egy betegség előfordulás aránya (prevalenca, prevalence) a populácóban 20%, menny a valószínűsége, hogy 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk? Tpkus statsztka kérdésfeltevések: Ha 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk, akkor mt állíthatunk a betegség populácóbel prevalencájáról? Ha 50 véletlenszerűen választott egyed között két beteget találunk, akkor vajon tartható-e az az elképzelés (hpotézs, hypothess), hogy a betegség populácóbel prevalencája 20%?
Az első statsztka kérdésfeltevést becslésnek (estmaton), a másodkat hpotézsvzsgálatnak (hypothess testng) nevezzük. Az első kérdésre kétféle választ szokás adn. Pontbecslés (pont estmaton) esetén a válasz egy szám: 4%. Intervallumbecslés (nterval estmaton) esetén a válasz egy úgynevezett konfdenca-ntervallum (confdence nterval): a populácóbel prevalenca 95% valószínűséggel 0.7% és 13.7% között van. A 95% a konfdenca ntervallum megbízhatóság szntje (confdence level). A másodk kérdésre a válasz gen-nem jellegű. Igen, tartható, a megfgyelés nem mond ellent a hpotézsnek, eltérésük nagy valószínűséggel a véletlennek tulajdonítható. Nem tartható, a hpotézst elvetjük, mert a megfgyelés oly mértékben ellentmond nek, am már nem írható a véletlen számlájára. (Ha a hpotézs gaz lenne, lyen megfgyelés csak csekély valószínűséggel fordulhatna elő). "A megfgyelt adatok (50 elemű mntában 2 beteg) alapján 0.13% tévedés valószínűség mellett (~ 99.87% megbízhatóság sznten ~ P=.0013) elvetjük azt a hpotézst, hogy a betegség populácóbel prevalencája 20%." Ennek kszámításához kell a valószínűségszámítás! Megtartás-elvetés konvenconáls határa: 5 vagy 1% tévedés valószínűség. A valószínűségszámítás legfontosabb alapfogalma Esemény alapfogalom, nem defnáljuk (mnt pl. a halmaz), ntutíve egy kjelentésnek felel meg, pl. "páros számot dobtam", "esk az eső", stb., de több kjelentés s megfelelhet ugyanannak az eseménynek a megfgyeléskor egyértelműen legyen eldönthető, hogy bekövetkezett, vagy nem Műveletek eseményekkel ugyanaz a matematka struktúra, mnt a halma zoknál: "Boole-algebra" (a logkában s ugyanaz a struktúra!) Két esemény, A és B összege az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A és B közül valamelyk akár mndkettő, akár csak az egyk bekövetkezk. Az A és B események összegét A+B-vel jelöljük. A vagy B Két esemény, A és B szorzata az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A és B mndketten bekövetkeznek. Az A és B események szorzatát AB-vel jelöljük. A és B Az összeg és szorzat nem csak 2, hanem több, sőt megszámlálhatóan végtelen sok eseményre s kterjeszthető. Egy A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amelyk pontosan akkor következk be, ha A nem következk be. Az A esemény ellentettjét A C -vel jelöljük. nem A Bztos esemény (I), lehetetlen esemény (O vagy )
A műveletek tulajdonsága: Összeadás Szorzás Ellentett Több művelet együtt A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+A=A AB=BA (AB)C=A(BC) AA=A C ( A ) C = A C I = C = I A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) A+A c =I AA c =O (A+B) c =A c B c (AB) c =A c +B c Relácók események között Ha két esemény, A és B között olyan a vszony, hogy ha A bekövetkezk, akkor bztos, hogy B s bekövetkezk, akkor azt mondjuk, hogy A maga után vonja B-t, és úgy jelöljük, hogy A B A lehetetlen esemény bármelyk eseményt maga után vonja, azaz bármely A eseményre O A, valamnt az s, hogy bármely A eseményre A I. A B pontosan akkor áll fenn, amkor az alább összefüggések: A+B=B, lletve AB=A. Ugyanúgy, mnt a halmazoknál, az A\B=AB C összefüggéssel defnálható a kvonás művelete s. Szemléletesen fogalmazva, az A és B események különbségén azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, amkor az A esemény bekövetkezk, de B nem. Az A eseményt összetett eseménynek (vagy más szóval felbontható eseménynek) nevezzük, ha előállítható két, tőle különböző A 1 és A 2 esemény összegeként, azaz A=A 1 +A 2 alakban (méghozzá úgy, hogy A 1 A, A 2 A). Természetesen A=A+O alakban bármelyk esemény előállítható, ezt trváls felbontásnak nevezk, de most ezt kzártuk az A1 A, A2 A feltételekkel. Könnyű megmutatn, hogy egy A esemény pontosan akkor összetett, ha létezk egy olyan A-tól s és a lehetetlen eseménytől s különböző esemény, amelyk maga után vonja A-t, azaz létezk olyan B, amelyre B A, B O és B A. Az A eseményt elem eseménynek nevezzük, ha A nem összetett esemény. Gyakran találkozhatunk az alább rokon értelmű kfejezésekkel s: felbonthatatlan esemény, atom, kmenetel, az eseménytér egy pontja. Az összetett eseményről mondottakból az következk, hogy ha az A esemény elem, akkor csak A=A+O alakú összeggé bontható. Ha A elem esemény, akkor a lehetetlen eseményen és magán A-n kívül nncs olyan esemény, amely A-t maga után vonná. Az A és B eseményeket egymást kzáró eseményeknek nevezzük, ha nem következhetnek be egyszerre, azaz ha szorzatuk a lehetetlen esemény: AB=
Az A 1, A 2, A 3,..., A n eseményeket teljes eseményrendszernek nevezzük, ha az A események páronként kzárják egymást, és az összes A összege a bztos esemény, azaz ha bármely j-re AAj=O, és A = I. n = 1 Példák: egy A esemény és az ellentettje, A C az összes elem esemény Ha az eseménytér nem véges, akkor az események között műveleteket megszámlálhatóan végtelen sok operandusra s értelmezzük, azaz feltételezzük, hogy megszámlálhatóan végtelen sok esemény összege, lletve szorzata s esemény. Az A 1, A 2, A 3,... A,... események összegén azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, ha az A események közül legalább egy bekövetkezk. Az A 1, A 2, A 3,... A,... események szorzatán azt az eseményt értjük, amelyk pontosan akkor következk be, ha az A események mndegyke bekövetkezk. Egy véges sok elem eseményből álló eseményteret véges eseménytérnek nevezünk. Mnden összetett esemény előállítható elem események összegeként, méghozzá az összeadandók sorrendjétől eltekntve egyértelműen. Az összes elem és összetett események száma n 2, ha az elem események száma n. ESEMÉNYEK (eseményalgebra) összeg A+B szorzat AB ellentett esemény A C bztos esemény I lehetetlen esemény O HALMAZOK (halmazalgebra) egyesítés (unó) A B metszet A B komplementer halmaz A C alaphalmaz H üres halmaz LOGIKAI KIJELENTÉSEK (kjelentéskalkulus) logka "vagy" A B logka "és" A B tagadás A azonosan gaz állítás azonosan hams állítás h Valószínűség A valószínűség P(A) az A eseményhez rendelt 0 és 1 között valós szám P: {az események halmaza} [0,1] függvény nem negatív értékű addtív: ha A és B kzárók, akkor P(A+B) = P(A) + P(B) sőt σ-addtív: ha A 1, A 2,... páronként kzárók, azaz A A j, akkor P( A ) = P(A ) (A valószínűség mérték: nem negatív, addtív halmazfüggvény) Az olyan eseményteret, amelyben valamlyen módon értelmeztük az események valószínűségét, valószínűség mezőnek nevezzük. A maga után vonja B-t A B részhalmaz vszony A B mplkácó A B
A valószínűség tulajdonsága: (axómák, ezekből a több tulajdonság már levezethető) Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 közé esk, azaz 0 P(A) 1. A lehetetlen esemény valószínűsége 0, azaz P(O) = 0. A bztos esemény valószínűsége 1, azaz P(I) = 1. Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, akkor B valószínűsége legalább akkora, mnt A-é, azaz A B P(A) P(B). Valószínűségszámítás fogások: számolás a komplementer esemény valószínűségéből: P(A) = 1 P(A C ) felbontás kzáró részekre és azok valószínűségenek összegzése felbontása elem eseményekre és azok valószínűségenek összegzése Tovább tulajdonságok, amelyek egyszerűen bzonyíthatók: Ha az A 1, A 2, A 3,..., A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+...+P(A n )=1. Véges eseménytérben az összes elem esemény valószínűségének összege 1. (Mert az összes elem esemény teljes eseményrendszert alkot.) Végtelen eseménytér esetén feltesszük azt s, hogy a megszámlálhatóan végtelen összeg valószínűsége s megkapható a tagok valószínűségének összegeként, ha a tagok páronként kzáró események. Klasszkus valószínűség mező véges sok elem esemény, mnd egyenlő valószínűségű (események ~ az elem események halmazának részhalmaza) Ekkor egy A esemény valószínűsége úgy számítható k, hogy azon elem események számát, amelyek bekövetkezése esetén A s bekövetkezk, osztjuk az összes elem események számával. Más skálák: valószínűség (P), odds (O) és logt (L) P O=, 1 P L O e P=, L= ln O, P= L 1+ O 1+ e P 0.01.1.25.5.75.9.99 1 O 0.010.111.333 1 3 9 99 L - -4.60-2.20-1.99 0 1.99 2.20 4.60 15 10 5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5 valószínűség -10 odds logt Feltételes valószínűség, események függetlensége Felmerülhet az a kérdés, hogy az A esemény esélye növekednek vagy csökkennek-e akkor, ha a B esemény bekövetkezk. Egy E eseménynek egy F esemény bekövetkezése mellett, számszerűen kfejezett esélyét az E eseménynek F-re (mnt feltételre) vonatkozó feltételes valószínűségének (condtonal probablty) nevezzük, és P(E F)-fel jelöljük. (Jegyezzük meg, hogy a feltétel áll hátul!) A és B között poztív kapcsolatról beszélünk, ha P(A B) > P(A), negatív kapcsolatról beszélünk, ha P(A B) < P(A). Abból, hogy bzonyos események gyakran együtt járnak, nem következk, hogy okság kapcsolat lenne közöttük.
Ha P(A B) = P(A), azaz a B bekövetkezése nem befolyásolja A esélyet, akkor azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek (ndependent). Ha egy valószínűség mezőben (azaz egy olyan eseménytérben, ahol az eseményekhez valószínűség s hozzá van rendelve) egy F esemény valószínűsége nem 0, akkor a P(E F) feltételes valószínűséget az alább képlettel szokás defnáln: P(EF) P(E F) = P(F) Az F eseményre vonatkozó feltételes valószínűség tulajdonsága rendre megegyeznek a (feltétel nélkül) valószínűségével, azaz bármely E esemény F-re vonatkozó feltételes valószínűsége 0 és 1 között számérték, 0 P(E F) 1, ha az F bekövetkezése esetén a E bekövetkezése lehetetlen, akkor P(E F) = 0, ha az F bekövetkezése esetén a E bztosan bekövetkezk, akkor P(E F) = 1, ha az E 1 maga után vonja E 2 -t, akkor P(E 1 F) P(E 2 F), ha az E 1 és az E 2 események kzárják egymást, akkor P((E 1 +E 2 ) F) = P(E 1 F) + P(E 2 F), és e tulajdonság nemcsak két, hanem akárhány (véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok) tagú összegre s gaz. A feltételes valószínűség defnícójából közvetlenül adódó P(AB) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Könnyű belátn, hogy ha A és B függetlenek, akkor A és B C, A C és B, valamnt A C és B C s függetlenek. összefüggés alapján könnyű megmutatn, hogy mnd a poztív, mnd a negatív kapcsolat, mnd pedg a függetlenség szmmetrkus, ugyans ha P(AB) P(A)P(B), akkor P(A B) P(A) és P(B A) P(B) s gaz, ha P(AB) P(A)P(B), akkor P(A B) P(A) és P(B A) P(B) s gaz, ha P(AB) = P(A)P(B), akkor P(A B) = P(A) és P(B A) = P(B) s gaz. Egy A eseménynek egy B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségéből a fordított feltételes valószínűséget, vagys B-nek A-ra vonatkozó feltételes valószínűségét az alább képlettel fejezhetjük k: P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Két esemény függetlenségét általában a feltételes valószínűség fogalmát kkerülve egyenesen a P(AB) = P(A)P(B) feltétellel szokták defnáln. Ennek egyk előnye, hogy a szmmetra szemmel látható, a másk pedg, hogy a feltételes valószínűségnél az osztás matt szükséges P(B)>0 feltételt feleslegessé tesz. Ha ezt a defnícót fogadjuk el, akkor gaz az, hogy egy 0 vagy 1 valószínűségű esemény bármely eseménytől független.
Relatív gyakorság Ismételjünk meg egy kísérletet vagy megfgyelést azonos körülmények között N-szer és számoljuk meg, hogy valamely E esemény az N smétlésből hányszor következett be! A bekövetkezések számát (jelöljük n E -vel) az esemény abszolút gyakorságának ne vagy egyszerűen gyakorságának, az re = hányadost pedg az esemény relatív N gyakorságának nevezzük. Példa: Ha 15-ször dobunk egy dobókockával, és ebből 3-szor dobunk hatost, akkor ebben a kísérletsorozatban a hatos dobásnak, mnt eseménynek a gyakorsága 3, a relatív gyakorsága pedg 3/15=0.2. Egy E eseménynek egy F esemény bekövetkezése mellett feltételes relatív gyakorsága, r E F azt jelent, hogy ha csak azokat az smétléseket nézzük, amelyekben F bekövetkezett, és számoljuk, hogy ezeknek mekkora hányadában következett be E. Azaz ha n F az F bekövetkezésenek számát jelöl, n EF pedg az E és F együttes bekövetkezésenek számát, akkor n EF r E F = = nf A relatív gyakorság (a feltételes s) 0 és 1 között szám, mnt a valószínűség, sőt ugyanazok a tulajdonsága. r r EF F A nagy számok gyenge törvénye Más néven a nagy számok Bernoull-féle törvénye Tétel: Legyen A egy kísérlet egyk lehetséges eredménye, valószínűsége legyen P(A)=p. Ismételjük meg a kísérletet n-szer egymástól függetlenül, és h A (n) jelölje az A esemény relatív gyakorságát ebben a kísérletsorozatban. Ekkor tetszőleges ks ε és δ poztív számokhoz található olyan N, hogy n N esetén A fent tétel következménye: ( h ( n) P( A) < ε) 1 δ P A Ha az smétlések számát, N-et növeljük (ha N ), akkor egy esemény relatív gyakorsága egyre kevésbé tér el az esemény valószínűségétől. A teljes valószínűség tétele A teljes valószínűség tétele azt mondja k, hogy ha smerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamenny E 1, E 2,..., E n eseménye, mnt feltétel mellett, akkor ebből az A esemény feltétel nélkül valószínűségét az alább képlettel határozhatjuk meg: P n ( A) = P( A E) P( E). = 1 Példa: Egy betegség előfordulásának valószínűségét korcsoportonként smerjük. Az E események: a vzsgált személy fatal (E 1 ), középkorú (E 2 ) vagy dős (E 3 ), az A esemény pedg azt, hogy a szóban forgó betegségben szenved. Tehát smerjük a P(A E 1 ), P(A E 2 ) és a P(A E 3 ) valószínűségeket, és ezek alapján szeretnénk meghatározn a P(A) valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy egy, a vzsgált népességből találomra (a korára való tekntet nélkül) kválasztott személy a szóban forgó betegségben szenved.
Tegyük fel, hogy az egyes feltételes valószínűségek számszerűen a következők: P(A E 1 )=0.05, P(A E 2 )=0.1, P(A E 3 )=0.2. Ha a kormegoszlás 60%, 30%, 10%, azaz P(E 1 )=0.6 P(E 2 )=0.3 P(E 3 )=0.1 akkor a képlet szernt számolva P(A) = P(A E 1 )P(E 1 )+P(A E 2 )P(E 2 )+P(A E 3 )P(E 3 ) = 0.05 0.6+0.1 0.3+0.2 0.1 = 0.08, Bayes tétele Thomas Bayes (1702-1761) A tétel akkor használható, ha smerjük egy A esemény feltételes valószínűségét egy teljes eseményrendszer valamenny E 1, E 2,..., E n eseménye, mnt feltétel mellett, és ebből szeretnénk meghatározn az egyes E eseményeknek az A-ra vonatkozó feltételes valószínűségét. Tudjuk, hogy P(B A) = P(A B)P(B) P(A) Ezt alkalmazva most a keresett valószínűség: P(E A) Ebből és a teljes valószínűség tételéből: P(E A) = n k= 1 P(A E k = P(A E )P(E ) )P(E k P(A E )P(E ) ) P(A) Példa: Az előző példához vsszatérve azt keressük, hogy ha tudjuk valakről, hogy beteg, de nem smerjük a korát, akkor mlyen valószínűséggel tartozk az dősek közé. P(A E 1 )=0.05, P(E 1 )=0.6 P(A E 2 )=0.1, P(E 2 )=0.3 P(A E 3 )=0.2. P(E 3 )=0.1 P(A E3)P(E3) P(A E3)P(E3) P(E 3 A) = = = n P(A E )P(E ) P(A E1)P(E1) + P(A E 2 )P(E 2) + P(A E3)P(E3) k= 1 k 0.2 0.1 0.02 = = = 0.25 0.05 0.6+ 0.1 0.3+ 0.2 0.1 0.08 k A P(E 1 ), P(E 2 ),..., P(E n ) valószínűségeket a pror valószínűségeknek, a P(E 1 A), P(E 2 A),..., P(E n A) feltételes valószínűségeket pedg a posteror valószínűségeknek nevezk. A Bayes-tétel azért nagyon fontos a statsztkában, mert gyakran az a helyzet, hogy egy kísérlet kmenetelét (azaz, hogy az E 1, E 2,..., E n események közül melyk következk be) különféle okok matt nem tudjuk megfgyeln, meg tudunk vszont fgyeln egy ezzel több-kevesebb kapcsolatban lévő A eseményt, és lyenkor az A bekövetkezéséből (vagy be nem következéséből) szeretnénk levonn valamlyen következtetést az E eseményekre nézve.
Geometra valószínűségek A geometra valószínűségek segítségével megvzsgáljuk néhány példán a modellalkotás lehetőséget. Példa: Találomra ránézek az órámra. Menny a valószínűsége, hogy a másodpercmutató épp valahol a 4-es és a 6-os között van? I. megoldás (klasszkus modell): Az órám másodpercmutatója ugrk, 60 lehetséges helyzete van, amelyek mndegykének azonos a valószínűsége. Az, hogy a 4-es és a 6-os között van, 9 lehetséges helyzetet jelent, ha magát a 4-est és a 6-ost nem számítjuk (vagy számítsuk?!). Tehát a keresett valószínűség 9/60. (11/60?) II. megoldás (geometra modell): A másodpercmutató folytonosan halad, helyzete a kör bármely pontja lehet. A lehetséges helyzetek (az elem események) száma végtelen, sőt, nem megszámlálhatóan végtelen. Intutív megoldás: a 4-estől a 6-osg terjedő körív a körvonal 1/6-a, tehát a valószínűség legyen 1/6. Szmmetra-okokból feltettük, hogy mnden elem esemény egyenlően valószínű, abból pedg az következk, hogy mndegyk elem esemény 0 valószínűségű. Így az elem események valószínűségenek összeadogatásával mndg csak 0-t kaphatunk. Ezért választottuk a geometra úton származó ntutív megoldást, hszen logkus a feltevés, hogy a több ugyanekkora rész s ugyanakkora valószínűségű. Gondoljuk végg, mlyen feltevéseken alapul ez az érvelés! Ugyanakkora részek valószínűsége egyenlő Kétszer akkora rész valószínűsége kétszer akkora, háromszor akkora rész valószínűsége háromszor akkora, stb. Egy esemény valószínűsége a nek megfelelő halmaz nagyságával (hosszával?) arányos A teljes halmaz a bztos eseménynek felel meg, tehát valószínűsége 1. Összefoglalva: Geometra valószínűség modell: a valószínűségek hozzárendelésének alapja nem darabszám (mnt a klasszkusban), hanem geometra mérték (a példában hosszúság volt). Feltételek: az elem események halmaza egy geometra alakzat (most épp vonal volt, de lehet síkdom, test s) neve: fázstér azonos geometra mértékű halmazok (most épp hosszúság volt, de lehet terület, térfogat s) valószínűsége egyenlő Következmény: Egy esemény valószínűsége arányos a nek megfelelő halmaz geometra mértékével Következmény: Bármely esemény valószínűsége = a nek megfelelő halmaz geometra mértéke, osztva a teljes eseménytér (a fázstér) geometra mértékével. Megjegyzések: Sokszor választhatunk, hogy egy problémát a klasszkus vagy a geometra modellel írunk le. Szempontok: Melyk realsztkusabb (valójában mlyen az órám) Melyk kezelhető könnyebben matematkalag Mndg meg kell fontoln, teljesülnek-e a modell feltétele! (Ez a klasszkus modellre s gaz!!!) A geometra modellben vannak olyan 0 valószínűségű események, amelyek nem lehetetlenek! Tehát: 0 valószínűségű lehetetlen! Az, hogy az eseménytér vonal, síkdom, vagy test, attól függ, hány független paraméter van a feladatban (amelyek egymástól függetlenül változhatnak)
Bertrand-paradoxon (Mt jelent az, hogy találomra választan?) (Joseph Lous Bertrand: Calcul des probabltés, 1889) Egy körnek válasszuk k találomra egy húrját. Menny a valószínűsége, hogy a húr hosszabb lesz, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala? I. megoldás 1. lépés: válasszuk k a húr egyk végpontját a körvonalon. 2. lépés: ha a húr másk végpontját a körvonal jelzett részén vesszük fel, akkor lesz a húr hosszabb, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala. Mvel a jelzett rész a körvonal 1/3-a, P(a húr hosszabb lesz) = 1/3 II. megoldás 1. lépés: válasszuk k egy tetszőleges sugarat a körben. 2. lépés: ha a sugár egy pontjában merőlegest húzunk a sugárra, a kör egy húrját kapjuk. Ha a pontot a sugár jelzett részén vesszük fel, akkor lesz a húr hosszabb, mnt a körbe írható szabályos háromszög oldala. Mvel a jelzett rész a sugár fele, P(a húr hosszabb lesz) = 1/2 A paradoxon feloldása Ha így választunk találomra, az esetek 1/2-ében, ha amúgy, akkor az esetek 1/3-ában kapunk a szabályos háromszög oldalánál hosszabb húrokat. (Sőt, még sok megoldás van, más és más valószínűségekkel )