PHARE HU3/IB/E3-L MEGBÍZHAÓSÁG-ELMÉLE Defnícók A legszélesebb körben elfogadott defnícó szernt a megbízhatóság egy elem (termék, rendszer stb.) képessége arra, hogy meghatározott működés feltételek mellett meghatározott dőtartamg vagy cklusszámban működjön. Ez a képesség valószínűséggel kfejezve határozható meg, ahol a megbízhatóság defnícója a következő: a megbízhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer egy adott dőpontban vagy meghatározott dőtartamban, megadott környezet és felhasználás körülmények között működve kelégítően (azaz meghbásodás nélkül és a meghatározott teljesítményhatárok közöt látja el eredet funkcóját. A használhatóságot a megbízhatóság és a karbantarthatóság kombnácójának teknthetjük. Ha nem végzünk karbantartást vagy javítást, a megbízhatóságot pllanatny használhatóságnak teknthetjük. A használhatóság meghatározásánál a következő defnícókat használhatjuk: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy termék vagy rendszer bármely dőpontban kelégítően működk, ahol a teljes dőbe beleértjük az üzemdőt, az aktív javítás dőt, az admnsztrácós dőt és a logsztka dőt. Másféleképpen defnálva: a használhatóság annak valószínűsége, hogy egy rendszer a kívánt dőben, adott feltételek mellett el tud látn egy meghatározott funkcót vagy feladatot. A karbantarthatóság annak valószínűsége, hogy az előírt eljárásoknak és erőforrásoknak megfelelően végzett karbantartás esetén egy termék vagy rendszer adott dőtartamon belül megfelel meghatározott feltételeknek. A meghbásodás és a megbízhatóság kapcsolata Egy rendszer valamely egységének meghbásodása azt jelent, hogy az egység a továbbakban nem képes ellátn a kívánt funkcót. együk fel, hogy a meghbásodásg tartó működés dő valószínűség sűrűségfüggvénye f(. A meghbásodások eloszlás függvénye annak a valószínűsége, hogy egy elem a [,t] dőntervallumban meghbásodk. [ where : ahol] A megbízhatóság függvény vagy túlélés függvény egy, a [,t] dőntervallum alatt meg nem hbásodó egység valószínűsége. Annak valószínűsége, hogy ugyanaz az egység a t τ t + t dőntervallumban meghbásodk, azonos azzal a feltételes valószínűséggel, hogy t dő előtt nem következk be meghbásodás, de a t τ t + t ntervallumban gen, vagys. 3.
PHARE HU3/IB/E3-L Az egység meghbásodás rátája: Valamely egység átlagos működés deje a meghbásodásg (MF): Ha az egység egy olyan rendszerben van, amelyet meg lehet javítan, vagy k lehet cseréln, akkor célszerűbb a meghbásodások között átlagos működés dőt (MBF) használn. Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges dő sokkal rövdebb, mnt az MF, akkor az MBF nagyjából megegyezk az MF értékével. Ha a javításhoz vagy cseréhez szükséges dő nem elhanyagolható mértékű, akkor az átlagos javítás dővel (MR) s számoln kell. A meghbásodás és a megbízhatóság kapcsolata: Összefoglalás Kfejezések átszámítása - - - - Megbízhatóság paraméterek értékelése mntaadatok alapján Jelölje n( azoknak az egységeknek a számát, amelyek t dő előtt nem hbásodtak meg, és legyen a megfgyelt egységek teljes száma. Ekkor R( P(> n (. Eszernt a t dőpontban fennálló megbízhatóság a t dőpontban még működő egységek átlagos mértéke. Innen már egyszerűen megkapjuk a meghbásodás valószínűség képletét: F( - n ( n(, 3.
PHARE HU3/IB/E3-L és a valószínűség sűrűségfüggvényt: f( df ( dt dn(, dt amelyekből már levezethető a mnket érdeklő képlet: n( n( t + t f ( lm t t ). Látható, hogy f( az eredet sokaság méretének megfelelően normalzált. Sok esetben több nformácót nyújt, ha az n( értékének megfelelően normalzáljuk a túlélők számát. ehát a meghbásodás (veszély) rátát a következőképpen határozhatjuk meg: n( n( t + z( lm. t n( t Feladat Gyakoroljuk a megbízhatóság jellemzők kszámítását olyan esetben, amkor egy rendszerelem két meghbásodása között hbamentes működés dőtartamának mntája adott. A mnta mérete 3 értékből áll össze, az dőegységek pedg évek. 6,4,6,3,,5 3,3 5, 6,3 4,7 6,4,5 6,6 6,7,7 6,5, 5,7,5 3,,5 4,7, 3,8,4 3,,7 7,5 3,4,7,4 7 6 5 4 3 Gyakorság hsztogram 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 Válaszolja meg a következő kérdéseket: Mekkora a rendszerelem megbízhatósága t 5 évnél? Mekkora a meghbásodás ráta t 5 évnél? Mlyen a valószínűség sűrűségfüggvény t 5 évnél? Mekkora az átlagos meghbásodás ráta? Vzsgálják meg azt az esetet, amkor a megfgyelt rendszerelemek száma, és a 3 meghbásodást tartalmazó mnta a megfgyelt rendszerelem meghbásodásaból áll össze. Vagys a megmaradt 7 rendszerelem továbbra s megfelelően üzemel. 3.3
PHARE HU3/IB/E3-L Exponencáls eloszlással leírt megbízhatóság Az exponencáls eloszlás egyke a rendszeregységek megbízhatóságának leírására használt legelterjedtebb eloszlásoknak. együk fel, hogy egy egység megbízhatósága az dő múlásával exponencáls arányban romlk., ahol λ egy poztív konstans. Ekkor a megbízhatóság és meghbásodás függvények a következőképpen foglalhatók össze: Megbízhatóság függvény A meghbásodás eloszlásfüggvénye A meghbásodás sűrűségfüggvénye Meghbásodás ráta Átlagos működés dő a meghbásodásg Rendszer-megbízhatóság (soros rendszer) Kumulatív meghbásodás ráta 3.4
PHARE HU3/IB/E3-L Készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszerek Attól függően, hogy mlyen a tartalékegységek állapota az üzembe lépés előtt, az egység tartalékolás szntjét az alább kategórák egykébe lehet soroln: () Aktív tartalékolás: a tartalékegységekre ugyanazok a szabályok vonatkoznak, mnt az alapegységekre, és megbízhatóságuk független attól, hogy mkor lépnek az alapegység helyébe. () eljesen naktív készenlét tartalékolás: a tartalékegységek kezdetben k vannak kapcsolva, és elméletleg nem hbásodhatnak meg, amíg az elsődleges egységek helyébe nem lépnek. (3) Részlegesen bekapcsolt készenlét tartalékolás: a tartalékegységek részlegesen bekapcsolt állapotban vannak addg a pllanatg, amkor az elsődleges egységek helyébe lépnek. A készenlét dő alatt meghbásodhatnak, de ennek ksebb a valószínűsége, mnt az alapegység meghbásodásának. Előfordulhat, hogy az aktív tartalékolású rendszerek nem hatékonyak. Ezeknél a rendszereknél elég, ha n rendszerelemből egyszerre k darab üzemképes, mvel azonban már kezdetben mnd az n darab üzemel, bármelyk meghbásodhat. Egy lehetséges megoldás a tartalék rendszerelemek használata. Ezeknél a rendszereknél kezdetben csak k rendszerelem üzemel. Pontosan anny, amenny a teljes rendszer üzemeltetéséhez szükséges. Valamelyk rendszerelem meghbásodása esetén mndg van azonnal beüzemelhető készenlét tartalék. Ennek alapján ezeket készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszereknek nevezzük. együk fel, hogy a rendszerünk k működőképes rendszerelemet gényel, és kezdetben n-k elérhető tartalék rendszerelemünk van. Amkor egy működő elem meghbásodk, egy kapcsoló aktválja az egyk tartalék vagy készenlét elemet (s ezzel működő elemmé tesz). A rendszer egészen addg működn fog, amíg k-nál kevesebb működőképes alkarész nem marad. Más szóval a rendszer addg működk, amíg n-k+ elem meg nem hbásodk. Most csak azt az esetet fogjuk vzsgáln, amkor egy üzemképes elemre van szükség (specáls eset, ahol k ), és n- készenlét (tartalék) elem áll rendelkezésre. Feltételezzük, hogy a kapcsoló (DS) pllanatszerűen és %-os megbízhatósággal szabályozza a készenlét elemek működésbe lépését. Az alább ábrán látható modellt használjuk ennek a helyzetnek a szemléltetésére. C DS C C n Ábra. Készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer Ha -vel jelöljük az -edk rendszerelem meghbásodásg tartó működés dejét, akkor a értékek függetlenek és egyenletesen oszlanak el,, 3,..., n értékekre. Így R ( mnden elemre azonos. Legyen a teljes rendszer meghbásodáság hátralévő dő. Mvel a rendszer csak akkor hbásodk meg, ha már mnd az n elem meghbásodott, és az + -dk elemet csak akkor helyezzük működésbe, ha az -edk elem meghbásodk, könnyen belátható, hogy + + + n 3.5
PHARE HU3/IB/E3-L Más szóval a rendszer meghbásodásának dejét egyszerűen kszámíthatjuk, ha smerjük az egyes rendszerelemek meghbásodásg tartó működés dejét. Végül meghatározhatunk egy valószínűség változót: X egy készenlét üzemmódú, tartalékolással rendelkező rendszer azon rendszerelemenek száma, amelyek t dő előtt meghbásodnak. Most a rendszer megbízhatósága egyszerűen annak valószínűsége, hogy kevesebb, mnt n alkatrész hbásodk meg a (, ntervallumban. Más szóval R(P(X<n). Kmutatható, hogy X egy λ αt paraméterű Posson-eloszlást követ, ahol α a meghbásodás ráta, ezért így írjuk fel: X ~ POISSO(λ). Javítható rendszerek használhatósága A használhatóságnak három defnícója van:. Pllanatny (pontszerű) használhatóság: a( annak valószínűsége, hogy a rendszer (vagy rendszerelem) a t dőpontban működőképes.. Határértékes pllanatny használhatóság: a defnícója a lma(. t 3. Átlagos használhatóság: a defnícója egy meghatározott dőszakaszra a a( dt. Meghatározhatjuk a határértékes átlagos használhatóságot s: a l lm a( dt. Ennek a defnícónak azonban korlátozottak az alkalmazás lehetősége. Most pedg vegyük szemügyre közelebbről a használhatóság három defnícóját. Pllanatny használhatóság. A pllanatny használhatóság leggyakrabban használt modellje az exponencáls eloszlás a( exp t λ( θ) dθ, ahol a( annak valószínűsége, hogy a rendszerelem működőképes állapotban lesz a t dőpontban feltéve, hogy a t dőpontban működőképes. Ezt megfordítva a q( használhatatlanságot így határozhatjuk meg: q( -a(. Fontos, hogy megértsük a rendszerek (és rendszerelemek) alább meghatározott általános típusat. 3.6
PHARE HU3/IB/E3-L. em javítható rendszerek. Idetartozk a fent bemutatott modell, amelyben λ(θ) a pllanatny meghbásodás rátát jelöl.. Időtől független rendszerek. A meghbásodás valószínűsége és a javítás dő (ha van) független az dőtől. 3. Javítható rendszerek, amelyek esetében azonnal felsmerk a meghbásodást (észlelt meghbásodások). 4. Javítható rendszerek, amelyek esetében a meghbásodást vzsgálattal állapítják meg (rendszeres dőközönként vzsgált rendszerként s smer. Az. típusú rendszereknél a( exp t λ( θ) dθ jelöl a rendszer használhatóságát.. típusú rendszereknél a használhatóság és a használhatatlanság értékét a következő egyenletekből kaphatjuk meg: a + u és u d q + d, u d ahol u üzemképesség dő és d üzemképtelenség dő. Ez egyértelműen deáls eset, am rtkán fordul elő a gyakorlatban. A 3. típusú rendszereknél, mvel a rendszerek javíthatóak, a használhatóság számításába belevesszük a javítás rátát s. Ezekben az esetekben a( értékét az alább közönséges dfferencálegyenletrendszerből kaphatjuk meg: da( λ( a( + μ( q(, dt dq( λ( q( + μ( a(, dt ahol λ( a meghbásodás ráta és µ( a javítás ráta. A fent dfferencálegyenlet-rendszer megoldása a következő eredményt adja: μ λ a ( + exp[ ( λ + μ) t]. λ + μ λ + μ Vegyük észre, hogy µ/ R, ahol R a javítás dők átlaga, amelyet gyakran átlagos javítás dőnek (MR) s neveznek. A 4. típusú rendszerek esetében megkaphatjuk az a( értékét feltéve, hogy az η vzsgálat ntervallum, a vzsgálat θ dőtartama és a javítás R dőtartama rögzített. Ennek az esetnek a modellezése meglehetősen bonyolult, és nem fogjuk tt tárgyaln. Az egyszerűség kedvéért a pllanatny használhatóság függvényét ábrázolhatjuk közelítőleges formában s. Ez jelentősen leegyszerűsít a használhatóság számításokat. Egy rendszeres dőközönként ellenőrzött rendszerelem esetében például, ha a javítás és ellenőrzés szakaszok az üzemdőhöz képest nagyon rövdek, és feltételezzük, hogy az ellenőrzés és a vzsgálat tökéletes, a rendszer használhatatlanságának kszámítása során fgyelmen kívül hagyhatjuk e szakaszok dőtartamát. Ezt a használhatatlanság egyenlet aylor-féle kterjesztése segítségével tudjuk bemutatn. 3.7
PHARE HU3/IB/E3-L Ebben az esetben a használhatóság és a használhatatlanság függvények értéke a következőképpen alakul mnden ellenőrzés ntervallumban: a( - λt, és q( λt. Az egyenlet felhasználásával készített, a használhatatlanságot az dő függvényeként ábrázoló grafkon alakja az alább ábrán láthatóhoz lesz hasonló. ylvánvaló, hogy amennyben az ellenőrzés és a javítás dőtartamok hosszúak, a hatásukat fgyelembe kell venn. Közelítő pllanatny használhatatlanság t Ábra. Közelítő pllanatny használhatatlanság rendszeresen ellenőrzött elemek esetében Határértékes pllanatny használhatóság. Könnyen belátható, hogy némely pllanatny használhatóság egyenletnek van határértéke. Például: μ λ μ a lm a( lm + exp[ ( λ + μ) t]. t t λ + μ λ + μ λ + μ Ezzel ekvvalens: MBF a. MBF + MR Ezt az egyenletet néha a konstans meghbásodás rátájú javítható rendszer aszmptotkus használhatóságának s nevezk. Átlagos használhatóság. A defnícó alapján az átlagos használhatóság egy dő alatt használhatóság állandó mértéke. A nem vzsgált elemeknél bármlyen érték lehet (deáls esetben ez az előírt üzemdő). Vzsgált elemeknél a általában a vzsgálat (vagy ellenőrzés) ntervallum vagy a m működés dőtartam. Ezért a nem javítható elemeknél, ha a vzsgálat ntervallum, akkor használhatjuk a pllanatny használhatóság közelítő kfejezését konstans λ értékkel. Ha feltételezzük, hogy a λt (am csak akkor gaz, ha λt <,), akkor a ( λ dt λ. Ennek megfelelően bármlyen rendszertípushoz elő lehet állítan lyen átlagolt használhatóság értékeket. A következő táblázat különböző típusú elemek átlagos használhatatlanságát mutatja. 3.8
PHARE HU3/IB/E3-L Elem típusa Átlagos használhatatlanság Átlagos használhatóság Időfüggetlen, konstans q a em javítható λ m λ m Javítható, észlelt meghbásodás λτ λτ Javítható, rendszeres dőközönként ellenőrzött + λτ + λτ R t R λ + fr + λ + f λ konstans meghbásodás ráta (/óra) m előírt üzemdő (óra) τ átlagos üzemképtelenség dő v. MR (óra) ellenőrzés ntervallum (óra) R átlagos javítás dő (óra) t átlagos ellenőrzés dőtartam (óra) f r a javítások ellenőrzés ntervallumonként gyakorsága üzemdő (üzemképesség) R t. A használhatóság számítások néhány gyakorlat esete r + Jelölje j a j-edk üzemperódus (véletlen) hosszúságát, amelynek átlaga az -edk komponensnél és D j a j-edk csere (véletlen) dőgényét, amelynek átlaga az -edk elem esetében Dˆ, ahol j,, ;,,, n, és n a vzsgált rendszer elemenek száma. A következő ábra az üzemelés és cseredőszakok váltakozását mutatja be. t ˆ, D D 3 Idő, t Ábra. Az -edk rendszerelem meghbásodásanak és javításanak váltakozása. A rendszerek használhatóságának vzsgálatánál a modell a következőket feltételez: Egy meghbásodott rendszerelem cseréje alatt mnden más elem működése felfüggesztésre kerül. A meghbásodott elem cseréje után a több elem folytatja működését. Ebben a pllanatban már nem olyan jók, mnt új korukban, hanem csak annyra jók, amennyre akkor voltak, amkor a rendszer működése leállt. 3.9
PHARE HU3/IB/E3-L 3. A t növekedésével a használhatóság függvény elér a következő staconárus értéket (határértékes pllanatny használhatóság): a ˆ ˆ + + n n μ λ D, ahol j j D D ˆ, j j ˆ, az -edk komponens meghbásodásanak száma a [,] dőntervallum alatt, λ és µ az -edk komponens átlagos meghbásodás rátája, lletőleg javítás rátája. udjuk, hogy egy rendszer átlagos használhatósága a [,] ntervallumban megfelel azon dőhányad várható értékének, amelyben a rendszer a [,] alatt ténylegesen működk, vagys a u Hogyan számoljunk, ha vzsgált rendszerelemünk van? a a u u, ahol u az -edk elem teljes működés deje a [,] ntervallumban. Ez az egyenlet általában csak akkor érvényes, ha az összes elemet ugyanazon dőpontban hozzák működésbe, és azok jelenleg s működnek. A valóságban a különböző kezdő dátumok gyakran eltérnek és néhány rendszerelemet teljesen k lehet vonn a működésből. Ezért az utolsó egyenletet így írhatjuk át: u a, ahol az -edk rendszerelem által üzemben töltött teljes naptár dő.
PHARE HU3/IB/E3-L A rendszerelemek élettartama alatt bekövetkezett események összessége ennél gyakran bonyolultabbnak tűnk, mnt ahogy az alább s látható: 3 4 5 t s t s t 3 s t f t múlt t 4 s t f t 5 s t 4 f t jelen dő Ábra. Hasonló rendszerelemek csoportjának lehetséges élettartam-eseménye f az -edk szélturbna működésének kezdés deje, t az -edk működés megszakadása, t múlt az dőadatok gyűjtésének kezdete, t jelen jelen dő t S Ilyen esetben a használhatóságnak és a megbízhatóságnak csak az alsó és a felső határértéke becsülhető meg. A megbízhatóság sztochasztkus modellezése ehéz feladat azon rendszerek működésének vzsgálata, amelyek különböző vzsgálat, javítás és kcserélés szabályzatok hatálya alá tartoznak. A rendszer (egy adott berendezés-konfgurácó) bármelyk pllanatban egy sor lehetséges állapot valamelykében lehet. Egy állapot gyakran defnálható a kelégítően működő berendezések felsorolásával. A megkülönböztetett állapotok száma általában a rendszert alkotó berendezések számától és funkcójától függ. Az alább vázolt megbízhatóság modellekben a lehetséges állapotok számát végesnek tekntjük. Feltételezzük, hogy a rendszerelhasználódás jellege megfelel a markov megközelítésnek; vagys a rendszer jövőbel működését csak annak jelenleg állapota határozza meg, s ez nem függ múltbel állapotatól. Legalább két jó okunk van arra, hogy a Markov-modellt ajánljuk az elhasználódás leírásához. Először s, ha mnden rendszerelem meghbásodása megközelítőleg exponencáls jelleget mutat, akkor az egész rendszer közelítő leírását megadhatjuk a Markov-folyamattal. Másodszor, sok fzka rendszer első rendű közelítő leírása olyan, amelyben az lyen rendszerek történetének smerete a jövő szempontjából nem hordoz értékelhető nformácót. A Markov-folyamat ennek a folyamattípusnak a sztochasztkus megfelelője. Példa. Egy adott, radarral működő jelzőrendszer kulcseleme két azonos, párhuzamosan összekötött számítógépen alapul; vagys mndkettő működk, bár csak egy van ténylegesen hasznos üzemben. A sürgős javításokat a számítógép meghbásodása esetén hajtják végre. Egy adott számítógép megelőző karbantartását t óra után ütemezzük be, ha az egyk számítógép aktív üzemben van, és a másk működésre készen áll. Ha az első számítógép meghbásodk (vagy a megelőző karbantartást végzk rajta), és a másodk az első megjavítása (a megelőző karbantartás befejezése) előtt meghbásodk, a következmény katasztrofáls lehet a rendszer jellege matt. Az egyszerűség kedvéért a rendszer lehetséges állapotat a következők szernt jelöljük. Legyen az egyk számítógép az A, a másk pedg a B. 3.
PHARE HU3/IB/E3-L A s (B s ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógép készenlét állapotban működk; A a (B a ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógép aktív állapotban van; A r (B r ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógépen sürgős javítást végeznek; A p (B p ) azt jelöl, hogy az A(B) számítógépen megelőző karbantartást végeznek. A s B a - A a B p -3 A r B p -4 A a B r -7 A r B r -6 A r B a -5 A p B r -8 A p B a - A a B s - Ábra. Két egységből álló rendszer állapottere A fent ábrán a rendszer állapottér-dagramja látható. A rendszernek összesen klenc lehetséges állapota van; ezeket és 8 között számokkal jelöltünk. A rendszer. állapota például azt jelent, hogy az A számítógép aktív használatban van, a B számítógép pedg készenlét állapotban működk. Ha a. állapotba kerülés pllanatától mért t dőntervallumon belül nem történk semmlyen meghbásodás, az A számítógépen elkezdk a megelőző karbantartást, és ezzel a rendszer az. állapotba kerül. Ha nem történk meghbásodás, akkor a rendszer a téglalap külső éle mentén jelölt állapotokat vesz fel egymás után. Ha az aktív számítógép még a másk számítógép megelőző karbantartásának befejeződése előtt meghbásodk, a rendszer természetesen leáll. A rendszer működése szempontjából pontosan három kedvezőtlen állapot létezk, mégpedg a 4., 6. és 8. állapot. Bzonyos, a meghbásodásg hátralévő működés dővel, a javítás elvégzésének dejével stb. kapcsolatos ésszerű feltételezés matt a rendszer működését egy ún. fél-markov-folyamattal lehet leírn. A rendszer felhasználóját érdekelhet a rendszer átlagos működésképtelenség deje egy adott dőntervallumban; annak valószínűsége, hogy a rendszer bármkor egyszerre több mnt x percg üzemen kívül van; vagy esetleg egy megfelelő karbantartás ütemterv. Ahhoz, hogy lyen nformácót kaphassunk, Markov-láncokat és fél-markov-folyamatokat használunk. Markov-láncok Egy dszkrét paraméterű {X(; t,, } sztochasztkus folyamatot vagy egy folytonos paraméterű {X(; t } folyamatot Markov-folyamatnak nevezünk, ha bármely t < t < < t n n-elemű dőponthalmazra és bármely valós x, x,, x n számra P[X(t n ) x n X(t )x,, X(t n- )x n- ] P[X(t n ) x n X(t n- )x n- ]. 3.
PHARE HU3/IB/E3-L Belátható, hogy ez azt jelent: ha smerjük a folyamat jelenleg állapotát, akkor a folyamat jövőbel állapota a múlttól függetlenek. Egy dszkrét dejű Markov-láncot dszkrét értékű valószínűség változók sorozatával { X ( t )} n n írhatunk le. A folyamat állapotat nemnegatív,,,, m egész számokkal jelöljük. Így valamely -ből j-be történő átmenet az -nek nevezett állapotból a j-nek nevezettbe való változást jelent. A Markov-láncot azzal határozzuk meg, hogy az állapotváltozók egylépéses átmenet valószínűséget megadjuk; vagys meg kell adnunk az átmenet feltételes valószínűségét (amelyet átmenet-valószínűségnek nevezünk) az n dőponthoz mnden, j,,,, m párra, az állapotból a j állapotba való átmenethez. Ezt a valószínűséget így jelöljük: p n [ X( n + ) j X( n) ] n, + P j. Ha az átmenet-valószínűség függvények csak az dőkülönbségtől függnek, vagys p p p, n, n, j j j akkor azt mondjuk, hogy a Markov-eljárás dőben állandósult. Elő kell írn a folyamat kezdőállapotát s. A p j számokat szokás mátrx formában megadn, és ekkor a P (p j ) egyenlőségre mnt a folyamat markov átmenet valószínűség mátrxára utalhatunk. Vlágos, hogy a p j értékek kelégítk a következőket: m j p j,, j,,, m, és p. j Mnden számunkra érdekes mennység például az -ből első alkalommal j állapotba vezető lépések várható száma, a j állapot n lépésben való előfordulásanak várható száma stb. kszámítható a P függvényeből álló mátrxokból. Példa. Az előző példában egy olyan sztochasztkus folyamatot mutattunk be, amelyet egy adott rendszer egymást követő javítása, megelőző nagyjavítása stb. hoztak létre. Összesen 9 állapottal kellett dolgoznunk, és t jelölte a megelőző nagyjavítások között ütemezett dőt. együk fel, hogy a javítás G eloszlása exponencáls, vagys t < t. Egy számítógép meghbásodását okozhatják olyan hbák, melyeket a gép működése során s észleln lehet, és olyan hbák s, amelyeket csak a gép kkapcsolása után, alapos vzsgálattal lehet felderíten. Feltételezzük, hogy az első típusú meghbásodáshoz tartozó hbaeloszlás exponencáls, vagys, G ( - exp(-μ,, F ( - exp(-λ, t < t. Az ütemezett megelőző karbantartásnak az a célja, hogy megtalálja azokat a meghbásodásokat, amelyeket a gép működése közben esetleg nem lehetne észleln. A folyamatnak egy beágyazott Markov-lánca van, amelyet az alább megadott valószínűség átmenet mátrxszal jellemezhetünk. Például a p, mvel a folyamat csak meghbásodás vagy megelőző nagyjavítás révén hagyhatja el az első állapotot. ovábbá, a p exp(-λt ) annak valószínűsége, 3.3
PHARE HU3/IB/E3-L hogy a folyamat a. állapotból közvetlenül az. állapotba kerül, vagys hogy nncs meghbásodás a [,t ] dőntervallumon belül. A 4. (8.) állapotból a rendszernek közvetlenül az 5. (7.) állapotba kell kerülne, feltételezve, hogy a megelőző karbantartás alatt lévő számítógépnek legfeljebb d percre van szüksége ahhoz, hogy aktív üzembe álljon (d értéke kcs). 3 4 5 6 7 8 λ t e t e λ t e λ λγ e λγ e λ t e 3 λγ t e λ t e λ e λγ e 4 5 λ λ + μ λ λ + μ 6 λ λ 7 λ + μ λ + μ 8 Ábra. Átmenet-mátrx átlagos működés dő a meghbásodásg, sürgős javítás átlagos dőtartama, γ megelőző λ θ karbantartás átlagos dőtartama, t ütemezett megelőző karbantartás dőszaka, d az egyk egység megelőző karbantartásához szükséges átkapcsolás dő. Esettanulmány: A meghbásodás ráta modellezése Egy, több szvattyút tartalmazó technológa rendszer kockázatelemzését végezzük. Az egyes szvattyúk meghbásodás valószínűségének becsléséhez egy olyan vzsgálat eredményet vesszük alapul, ahol szvattyút folyamatosan, a meghbásodásg működtettek. A vzsgálat eredményet az alább táblázatban adjuk meg, ahol közöljük az egyes szvattyúk meghbásodáság tartó dőt (évben).áblázat: A szvattyúk meghbásodáság eltelt dő 3.4
PHARE HU3/IB/E3-L Működés dő a Szvattyú meghbásodásg,4 3,65 3,5 4, 5,79 6,6 7,74 8,43 9,53,3 A mnta adataból kszámíthatjuk a megfgyelt meghbásodás dők átlagértékét. Ez,6 évre jön k, és ezért a meghbásodások éves száma (a meghbásodás ráta) a,95 recprok érték. Ha például feltételezzük, hogy csak az első év alatt meghbásodott szvattyúk számát használjuk (vagy csak az áll rendelkezésünkre), akkor az ahhoz tartozó meghbásodás ráta,46 lesz. Az lleszkedésvzsgálat használata alátámasztja az exponencáls eloszlású meghbásodás dők hpotézsét, vagys a valószínűség sűrűségfüggvény a következő lesz: f (.95exp(.95t ) együk fel, hogy a megbízhatóság elemzést egy másk típusú szvattyúra vzsgáljuk, melyhez csak kevés specfkus meghbásodás adatunk van. Csak három meghbásodást észleltünk (ld. az alább táblázato. Ezért úgy döntöttünk, hogy az általunk vzsgált szvattyúhoz előzetes nformácóként egy másk típusú szvattyúra vonatkozó valószínűség sűrűségfüggvényt használunk (mert az rendelkezésre áll). áblázat: Az új szvattyúk meghbásodáság eltelt dő Működés dő a Szvattyú meghbásodásg 3, 3,5 3 3,3 A probléma megoldásához a Bayes-féle megközelítést alkalmazzuk. Ebben a megközelítésben a valószínűség-eloszlás λ paraméterét ( f ( λ exp( λ ) nem pontos értéknek vesszük, hanem valószínűség változónak tekntjük, melyhez egy h(λ) valószínűség eloszlás tartozk; ez utóbbt a λ paraméter előzetes valószínűség eloszlásának hívjuk. Ezekből le lehet vezetn a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását a Bayes-tétel egyk alakjának felhasználásával: L( λ x) h( λ) h( λ x), L( λ x) h( λ) dλ Λ ahol x ˆ ( x, x, x3 ) (3.,3.5,3.3 ), és ( λ x) L az a valószínűség függvény, amelyet a meghbásodásg tartó működés dőkre elfogadott valószínűség sűrűségfüggvényre a következőképpen lehet kszámítan: 3 L ( xˆ λ) λexp( λx ). 3.5
PHARE HU3/IB/E3-L Ha feltételezzük, hogy a λ paraméterre az előzetes valószínűség eloszlás normáls eloszlást követ, amelynek paraméteret (vagys az átlagos működés dőt a meghbásodásg és a normál szórás a szvattyú-meghbásodás alapján becsültük meg, akkor k tudjuk számítan a λ paraméter utólagos valószínűség eloszlását. Ezt mutatja a következő ábra:.5,5.5,5 Posteror Utólagos Lkelhood Valószínűség.5,5 Pror Előzetes.5,5.5,5.5,5 A meghbásodás ráta előzetes valószínűség sűrűsége, a tovább mnta valószínűsége és a meghbásodás ráta utólagos valószínűség sűrűsége. Bayes szabálya különböző forrásokból származó nformácók kombnálásának módját adja meg, így a szubjektív nformácó és a kísérlet eredmények kombnálását tesz lehetővé a mennység kockázatelemzésekben. Az ábrából látszk, hogy míg a bzonytalan meghbásodás rátára vonatkozó előzetes valószínűségsűrűség szmmetrkus (és mellesleg a negatív tartományban s értelmezhető!), addg az utólagos valószínűség sűrűségfüggvényt erősen befolyásolja a valószínűség függvény, és csak a meghbásodás ráta poztív értéket enged meg. A meghbásodás valószínűségének becslése Előzetesen feltételezve, hogy a meghbásodásokg tartó működés dő exponencáls eloszlású, annak valószínűsége, hogy valamely szvattyú dőtartam alatt meghbásodk λ állandó meghbásodás ráta mellett: F( λ) exp( λ ). Mvel azonban a meghbásodás ráta bzonytalan, a meghbásodás ráta valószínűségüknek megfelelően súlyozott lehetséges értéken túl a meghbásodás valószínűségét s be kell venn a számításba, vagys F ( ) exp( λ ) h( λ x) dλ, megadva ezzel a meghbásodás teljes, feltétel nélkül valószínűségét. Ebben a példában a meghbásodás valószínűségére,38 adódk, ha a meghbásodás rátához az utólagos valószínűség sűrűségfüggvényt vesszük alapul. Ez összevethető a meghbásodás valószínűség,6-os értékével, amelyet az előzetes valószínűség sűrűségfüggvény felhasználásával kaptunk. 3.6