SZAKDOLGOZAT. Betekintés a kvantum-információelméletbe. Bergmann Júlia. Témavezet :

SZAKDOLGOZAT Betekintés a kvantum-információelméletbe Bergmann Júlia Témavezet : Dr. Tasnádi Tamás Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet, Analízis Tanszék BME 015

El szó Quantum mechanics: Real Black Magic Calculus - Albert Einstein A szakdolgozat célja a kvantummechanika f ként matematikai ismertetése, érdekességeinek bemutatása. Ezen túl néhány, a kvantum-információelméletben meghatározó szerepet játszó fogalmat ismertetünk (összefonódottság, Bell-állapot, qubit...). A dolgozat végén kvantumkriptográai módszerekr l ejtünk szót; megmutatjuk, hogyan lehet titkosításra (is) használni a kvantummechanika különös (klasszikustól eltér ) tulajdonságait. A témához alapvet lineáris algebrai és funkcionálanalízis ismeretek szükségesek. Köszönettel tartozom témavezet mnek, Tasnádi Tamásnak, akinek a segítségével betekintést nyerhettem a kvantummechanika leny göz világába. Segítsége nélkül nem készült volna el ez a dolgozat, vagy ha mégis, akkor számtalan hibával lenne tele. Továbbá, köszönöm családomnak, hogy végtelen türelemmel és megértéssel viselték a szakdolgozat-írás folyamatát.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés a kvantummechanikába 1 1.1. A kvantummechanika axiómái.................. 1.. Mérések.............................. 7 1..1. Projektív mérés...................... 7 1... Kvantumállapotok megkülönböztethet sége....... 8 1..3. Pozitív operátor érték mérés (POVM)......... 9 1.3. A s r ségoperátor......................... 10 1.3.1. Kvantumállapotok együttese............... 10 1.3.. A s r ségoperátor általános tulajdonságai....... 1 1.3.3. Redukált s r ségoperátor................ 13 1.4. Kvantumállapotok tulajdonságai................. 15 1.4.1. Összefonódott állapot................... 15 1.4.. Heisenberg-féle határozatlansági elv........... 16 1.4.3. Bell-állapotok....................... 16 1.4.4. Bell-egyenl tlenség.................... 17 1.4.5. EPR-paradoxon...................... 19 1.4.6. Schmidt-felbontás és purikáció............. 0. Kvantuminformáció és -kommunikáció 3.1. Kvantumteleportáció....................... 3.. Összefonódottság csere (swapping)............... 5.3. Szupers r kódolás........................ 5 3. Kvantumkriptográa 7 3.1. Kvantum-kulcselosztás (QKD).................. 8 3

3.1.1. BB84-protokoll...................... 9 3.1.. B9-protokoll....................... 31 3.1.3. SARG04-protokoll.................... 31 3.. Konjugált kódolás......................... 35 3..1. Kvantumpénz....................... 36 3... Konjugált bázis...................... 37 4. Fizikai megvalósítások 39 5. Összefoglaló 4

1. fejezet Bevezetés a kvantummechanikába A kvantum szó latin eredet, jelentése mennyiség. A kvantummechanikában bizonyos zikai mennyiségek értékeinek diszkrét utal, mint például egy atom nyugalmi energiája. Annak a felfedezése, hogy a részecskék hullámszer tulajdonsággal is rendelkeznek, arra sarkallta a zikusokat, hogy atomi és szubatomi rendszereket vizsgáljanak; ezt nevezzük ma kvantummechanikának. A kvantummechanika eredetileg azt a célt hivatott szolgálni, hogy pontosabb leírást és értelmezést adjon az atomokról. A fény hullámtulajdonsága iránti tudományos érdekl dés a 17-18. században kezd dött el, amikor tudósok kísérleti meggyelésekre alapozva vetettek fel egy hullámelméletet. 1803-ban végezte Thomas Young a kétréses kísérletét, ami meghatározó szerepet játszott a fény hullámelméletének általános elfogadásában. 1838-ban Michael Faraday felfedezte a katód sugárzást, majd ezt követte Gustav Kirchho 1859-es beszámolója a feketetest-sugárzás problémájáról. Ludwig Boltzmann 1877-ben tett javaslata szerint egy zikai rendszer energiaállapota lehet diszkrét. Max Planck kvantumhipotézise (1900) kimondja, hogy a sugárzott és elnyelt energia kvantált. A kvantummechanika megmagyaráz olyan jelenségeket, melyeket a klasszikus zikából nem lehet levezetni. Ilyen jelenség például a hullám-részecske kett sség, a bizonytalansági elv vagy az összefonódás. 1

1.1. A kvantummechanika axiómái A kvantumzikában (a klasszikus zikához hasonlóan) fontos szerepet játszanak az esemény, az állapot, és a zikai mennyiség fogalmak, de mivel más struktúrára épülnek, ezért újra kell ket deniálni a kvantumvilág tulajdonságainak megfelel en. A klasszikus zikában akkor mondjuk, hogy egy esemény bekövetkezik, ha a rendszer állapota ekvivalens valamely el re kitüntetett helyzettel. Elemi eseményeknek megfeleltethet k a fázistér pontjai, eseményeknek pedig a fázistér részhalmazai. 0. Axióma. A kvantummechanikában az események hálója egy szeparábilis komplex Hilbert-tér zárt alterei (projektorai) által meghatározott nem disztributív Hilbert-háló. A rendszer állapotán az eseményhálón értelmezett valószín ségi mértéket értjük, azaz µ : L [0, 1], ahol L az eseményháló. Mivel állapotok konvex kombinációja is állapot (µ p1,p : E p 1 µ 1 (E) + p µ (E)), ezért az állapotok konvex halmazt alkotnak. Tiszta állapotoknak nevezzük a rendszer azon állapotait, melyek nem írhatók fel más állapotok kombinációjaként, azaz a konvex halmaz extremális pontjait. [3] A kvantummechanika axiómái próbák és hibák hosszú folyamata után lettek lefektetve. 1. Axióma. Minden izolált zikai rendszerhez hozzárendelhet egy komplex, szeparábilis H Hilbert-tér, a rendszer tiszta állapotának pedig megfeleltethet a Hilbert-tér egy ψ 0 vektora, amely nem nulla komplex szorzó erejéig egyértelm. A vektornak a hossza és a fázisa nem lényeges, ezért általában egységvektorral dolgozunk. A Hilbert-teret állapottérnek, míg a vektort állapotvektornak nevezzük. Egy ψ állapotban a P projekcióval jellemzett esemény bekövetkezésének valószín sége ψ P ψ. A rendszer állapota a végrehajtott preparálások, más rendszerekkel való kölcsönhatás és id fejl dés eredménye.

Az egyik legegyszer bb, kétállapotú kvantummechanikai rendszer az úgynevezett kvantumbit, vagy qubit, melyre H = C. A qubit a klasszikus értelemben vett bit kvantummechanikai megfelel je. Tegyük fel, hogy 0 és 1 ortonormált rendszert alkotnak H-ban. 0 és 1 alkotta bázist számítási bázis nak hívjuk. Ekkor a rendszer tetsz leges tiszta állapota a ψ = α 0 + β 1 alakban írható fel, ahol α és β komplex számok úgy, hogy α + β = 1 (normálási feltétel ). Amikor α 0 és β 0 azt mondjuk, hogy a rendszer a 0, 1 bázisban szuperponált állapotban van.. Axióma. Egy zárt kvantumrendszer fejl dése unitér transzformációval írható le. Azaz ha t 1 id pontban a rendszer ψ állapotban van, és t id pontban pedig ψ állapotban, akkor létezik egy csak t 1 -t l és t -t l függ U unitér operátor, amire ψ = U ψ. Természetes kérdés, hogy mely unitér operátor írja le az adott rendszer fejl dését, viszont erre nem ad választ az axióma. Vegyük sorra néhány (kvantuminformációban fontos szerepet játszó) unitér operátor hatását egy qubiten. 1. Deníció. Pauli-mátrixoknak nevezzük a következ ket: [ ] [ ] 1 0 0 i I Y 0 1 i 0 [ ] 0 1 X 1 0 Z [ 1 0 0 1 Az X és a Z mátrixok által jelölt operátort szokás bit ip illetve fázis ip operátornak hívni, ugyanis az X megcseréli a 0 és 1 értékeket, míg Z 0 -t helyben hagyja, 1 -et pedig 1 -é változtatja. Számunkra fontos még az úgynevezett Hadamard-kapu, melyet a [ ] H = 1 1 1 1 1 3 ]

mátrix reprezentál. Könnyen belátható, hogy H unitér mátrix. Ennek hatása 0 -ra és 1 -re a következ : H 0 0 + 1, H 1 0 1. A. axióma zárt rendszerr l szól, ami nem lép kölcsönhatásba más rendszerekkel. Természetesen a valóságban minden rendszerre valamilyen szinten hatással vannak más rendszerek (hacsak nem az egész Univerzumot vizsgáljuk). Mindemellett vannak olyan rendszerek, amik jó közelítéssel jellemezhet k zártként egy unitér id fejl déssel. tekinthet egy t tartalmazó zárt rendszer részeként. Ráadásul minden nyílt rendszer A. axióma leírja, hogy egy zárt kvantumrendszer állapotai milyen kapcsolatban állnak két különböz id pontban. Adható egy kinomultabb formája ennek az axiómának, melyben az állapotfejl dés folytonos id ben értelmezett, méghozzá a következ formában:. Axióma (*). Egy zárt kvantumrendszer állapotának id fejl dését a Schrödinger-egyenlet írja le: i d ψ dt = H ψ, ahol a Planck-állandót jelöli, H pedig egy rögzített hermitikus operátor, a rendszer Hamilton-operátora. Ha ismerjük egy rendszer Hamilton-operátorát, akkor a teljes dinamikáját megérthetjük, de ezt általában nehéz meghatározni. Szerencsére, a kvantum-információelmélet tárgyalásának túlnyomó részében nincs szükségünk H pontos ismeretére. Mivel a Hamilton-operátor hermitikus, így a spektrálfelbontása: H = k E k E k E k A normált E k sajátvektorhoz tartozó állapotot a rendszer energia sajátállapotának (vagy stacionárius állapotának) nevezzük, az E k sajátérték pedig az E k állapot energiája. A legkisebb energiát szokás a rendszer alapállapoti 4

energiájának hívni, a hozzá tartozó energia sajátállapotot pedig alapállapotnak. Például, tegyük fel, hogy a rendszerünk Hamilton-operátora H = ωx. Ekkor az energia sajátállapotok ( 0 ± 1 )/ és a hozzájuk tartozó energiák ± ω. Az állapoti energia ω, és az alapállapot ( 0 1 )/. A Hamilton-operátor és az unitér operátor közötti kapcsolatot a Schrödingeregyenlet megoldásával kapjuk: d ψ = ih dt ψ [ ] iht ψ t = exp ψ 0 t 1 és t id ben lév állapotok kapcsolatát vizsgálva a következ eredményre jutunk: [ ] ih(t t 1 ) ψ t = exp ψ t1 [ ] ih(t Legyen U(t 1, t ) exp t 1 ). Belátjuk, hogy ez unitér operátor. [ ] ih(t 1. Tétel. U(t 1, t ) exp t 1 ) unitér operátor. Bizonyítás. Célunk belátni, hogy UU = U U = I. Tudjuk, hogy H hermitikus. ( U = exp [ ih(t t 1 ) exp [ ih(t t 1 ) ] exp [ ih (t t 1 ) ] ) = exp [ ih (t t 1 )]. = ] [ = exp i(t t 1 ) (H H) ] = exp[0] = I 3. Axióma. Egy kvantummérés az {M m } mérési operátorokkal írható le. Az operátorok az állapottéren hatnak. Az m index a kísérlet lehetséges kimeneteleire utal. Annak a valószín sége, hogy a ψ állapotú rendszer mérésének eredmény m: p(m) = ψ M mm m ψ, 5

és a rendszer mérés utáni állapota: M m ψ. ψ M mm m ψ A mérési operátorok kielégítik a teljességi relációt, azaz ψ esetén: 1 = m p(m) = m ψ M mm m ψ, tehát M mm m = I. m Megjegyezzük, hogy ha csak a valószín ségekre vagyunk kíváncsiak (a mérés utáni állapotra nem), akkor nem kell meghatároznunk az M m operátorokat, elegend az M mm m pozitív operátorok ismerete. Egy fontos példája a mérésnek az egy qubit mérése a számítási bázisban. Ezen mérés operátorai az M 0 = 0 0 és az M 1 = 1 1 operátorok. Könnyen belátható, hogy mindkét projektor hermitikus. Legyen a mérend állapot ψ = α 0 + β 1. Ekkor: p(0) = ψ M 0M 0 ψ = ψ M 0 ψ = α p(1) = ψ M 1M 1 ψ = ψ M 1 ψ = β A mérés utáni állapotok a következ k: M 0 ψ α = α α 0 és 1. M 1 ψ β = β β 1 A két szorzó (α/ α és β/ β ) elhagyható, így a mérés utáni állapotok 0 Most tegyük fel, hogy két (vagy több) különböz rendszerb l álló kvantumrendszert szeretnénk vizsgálni. Az összetett rendszer vizsgálatára vonat- 6

kozik a következ axióma. 4. Axióma. Összetett zikai rendszer Hilbert-tere az részrendszerekhez tartozó Hilbert-terek tenzorszorzata. Ha n rendszerünk van, és az i-dik rendszer preparált állapota ψ i, akkor az összetett rendszer állapota ψ 1 ψ... ψ n = ψ 1 ψ...ψ n. 1.. Mérések A kvantummechanikai mérés er sen eltér a klasszikus mérést l, mivel a méréssel megzavarjuk a rendszert. Kétféle mérést használunk a kvantummechanikában: a projektív- vagy Neumann-mérést, illetve a pozitív operátor érték mértéken alapuló, úgynevezett gyenge mérést.a projektív mérés rendelkezik a megismételhet ségi tulajdonsággal, azaz kétszer egymás után ugyanazt a mérést végrehajtva ugyanazt az eredményt kapjuk. Ezzel szemben a gyenge mérés nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. 1..1. Projektív mérés. Deníció. Egy projektív mérést (Neumann-mérést) egy M hermitikus operátor (obszervábilis) ír le. Az obszervábilis spektrálfelbontása: M = mp m, m σ(m) ahol P m az M operátor m sajátértékéhez tartozó sajátaltérre vetít projektor. A mérés lehetséges kimenetelei megfelelnek az m sajátértékeknek. ψ állapot mérésekor annak a valószín sége, hogy m értéket kapunk: p(m) = ψ P m ψ. A kvantumrendszer állapota a mérés után közvetlenül: P m ψ p(m), 7

ebb l következik a mérés megismételhet sége. A projektív mérések a 3. axióma speciális esetei. Ha az ott szerepl mérési operátoroktól megköveteljük, hogy ortogonális projektorok legyenek (azaz M m -ek legyenek hermitikusak és m, m : M m M m = δ m,m M m ), akkor pontosan a fenti deníciót kapjuk. A projektív mérések egyik nagy el nye, hogy könnyen ki lehet számolni a várható értéküket: E(M) = m mp(m) = = m m ψ P m ψ = = ψ ( m mp m) ψ = = ψ M ψ M. Innen az M-b l kapott meggyelésekre vonatkozó szórásnégyzet [ (M)] = M M. 1... Kvantumállapotok megkülönböztethet sége A kvantumállapotok megkülönböztethet sége fontos következménye a 3. axiómának. A klasszikus világban egy rendszer különböz állapotai könnyen elkülöníthet k. Például, egy érme feldobása után mindig el tudjuk dönteni, hogy fej vagy írás lett-e. A kvantummechanikában ez a helyzet sokkal bonyolultabb. A megkülönböztethet ség megértésének megkönnyítésére képzeljük el a következ szituációt: Aliz állapotok valamilyen rögzített halmazából választ egy ψ i állapotot (1 i n) (az alaphalmaz elemei számára is és Bob számára is ismertek). Elküldi ezt az állapotot Bobnak, akinek a feladata az, hogy meghatározza az i indexet (azaz megismerje az állapotot). Tegyük fel, hogy ψ i ortonormált rendszert alkotnak. Deniáljuk a következ mérési operátort: M i ψ i ψ i minden lehetséges i indexre. Továbbá legyen M 0 I i 0 ψ i ψ i > 0. Ezen operátorok kielégítik a teljességi relációt, és ha ψ i preparált, akkor P(eredmény = i) = p(i) = ψ i M i ψ i = 1, azaz i eredmény biztosan bekövetkezik. Tehát ortonormált ψ i állapotok megkülönböztethet k. 8

. Tétel. Nem ortogonális állapotok nem különböztethet k meg megbízhatóan. Bizonyítás. Legyenek ψ 1 és ψ nem ortogonális állapotok. Indirekt tételezzük fel, hogy létezik olyan mérés, mellyel meg lehet ket bizonyosan különböztetni egymástól. Jelölje M j a j eredmény mérési operátort, f( ) pedig azt a szabályt, ami szerint döntünk (azaz f(j) = 1, ha ψ 1 a tippelt állapotunk, és f(j) =, ha ψ ). Deniáljuk a következ operátorokat: E i i:f(j)=i M j M j. Ezekre: ψ 1 E 1 ψ 1 = 1; ψ E ψ = 1. Mivel i E i = I, így i ψ 1 E i ψ 1 = 1, azaz ψ 1 E ψ 1 = 0, és ebb l E ψ 1 = 0. Írjuk fel ψ -t ψ 1 és ϕ bázisban, ahol ϕ ortogonális ψ 1 - re: ψ = α ψ 1 + β ϕ. ( α + β = 1.) Megjegyezzük, hogy β < 1, mivel ψ 1 és ψ nem-ortogonálisak. Ekkor E ψ = β E ϕ, amib l következik, hogy: ψ E ψ = β ϕ E ϕ β i ϕ E i ϕ = β ϕ ϕ = β < 1, ami ellentmond a feltételnek, miszerint ψ E ψ = 1. 1..3. Pozitív operátor érték mérés (POVM) Tekintsük az M m mérésoperátorok által meghatározott mérést. Legyen E m = M m M m > 0. Ekkor m E m = I és a ψ állapotú rendszer mérésekor az m eredmény valószín sége: p(m) = ψ E m ψ. A teljes {E m } halmazt pozitív operátor érték mértéken alapuló mérés nek vagy gyenge mérés nek nevezzük, az E m operátorokat pedig a P OV Melemeinek. Tegyük fel, hogy Aliz a következ állapotok egyikébe preparál egy qubitet: ψ 1 = 0, ψ = ( 0 + 1 )/, és elküldi Bobnak. A megkülönböztethet ség lehetetlen Bob számára, de lehetséges olyan mérés, mellyel néha megkülönböztethet k, de a mérés sosem ad téves eredményt. 9

Deniáljuk a következ POVM mérési operátorokat: E 1 1+ 1 1 ; ( 0 1 )( 0 1 ) ; E 1+ E 3 I E 1 E. Tekintsük el ször azt a helyzetet, amikor Bob a ψ 1 = 0 állapotot kapja. Ekkor 0 valószín séggel kapja E 1 -et eredményként, hiszen ψ 1 E 1 ψ 1 = 0. Tehát ha egy mérésnél E 1 -et kap eredményül, akkor biztosan tudja, hogy ψ állapot van nála. Hasonlóan megállapítható, hogy ha E eredményt kap, akkor nem lehet nála ψ. Viszont amikor E 3 -t eredményez a mérés, akkor nem tud mondani semmit sem a nála lév qubit állapotáról. 1.3. A s r ségoperátor Összetett rendszer részrendszerének vizsgálatakor általában nem lehetséges a részrendszer állapotvektorral való jellemzése. Ilyen esetben az állapotleírásra a s r ségoperátort használjuk. Ezzel az eszközzel szemléletesebb azt a jelenséget felírni, amikor az összetett rendszer tiszta állapotban van annak ellenére, hogy az alkotó részrendszerek lehetnek kevert állapotúak. 1.3.1. Kvantumállapotok együttese Vizsgáljuk azt a kvantumrendszert, melynek egyes állapotai ψ i, p i valószín ségekkel. A {p i, ψ i } párt hívjuk a tiszta állapotok együttesének. A rendszer s r ségoperátorát a következ képpen deniáljuk: ρ i p i ψ i ψ i. A kvantummechanika axiómái átfogalmazhatók a s r ségoperátor nyelvére, és némely esetben kényelmesebb ezzel számolni, mint az állapotvektorokkal. Tegyük fel, hogy egy zárt kvantumrendszer id fejl dését az U unitér operátor írja le. Ha a rendszer kezdetben p i valószín séggel ψ i állapotban volt, 10

akkor miután a fejl dés megtörtént, az U ψ i állapotban lesz p i valószín - séggel. Így a s r ségoperátor fejl dése ezzel az egyenlettel írható le: ρ i p i ψ i ψ i U i p i U ψ i ψ i U = UρU. A mérések is átfogalmazhatók a s r ségoperátor nyelvére. Végezzük azt a mérést, melyet az M m operátorok írnak le. Ha a kezdeti állapot ψ i volt, akkor annak a valószín sége, hogy m-et kapjuk eredményként: p(m i) = ψ i M mm m ψ i = Tr(M mm m ψ i ψ i ), ahol Tr( ) az operátor nyomát jelöli. A teljes valószín ség tétele alapján annak a valószín sége, hogy m-et kapunk eredményként (tetsz leges kezdeti állapotból indulva): p(m) = i = i p(m i)p i = p i Tr(M mm m ψ i ψ i = = Tr(M mm m ρ) Ha a rendszer kezd állapota ψ i volt, akkor az m eredmény mérés végrehajtása után az állapot a következ lesz: ψ m i = M m ψ i. ψ i M mm m ψ i Következésképpen a megfelel s r ségoperátor: ρ m = i p(i m) ψ i ψ i = i p(i m) M m ψ i ψ i M m ψ i M mm m ψ i. A feltételes valószín ségr l tudjuk, hogy p(i m) = p(m, i)/p(m) = p(m i)p i /p(m), így ezt behelyettesítve az el z be, kapjuk, hogy: ρ m = i p i M m ψ i ψ i M m Tr(M mm m ρ) = M mρm m Tr(M mm m ρ). 11

1.3.. A s r ségoperátor általános tulajdonságai 3. Tétel (S r ségoperátorok jellemzése). A ρ operátor valamilyen {p i, ψ i } együtteshez tartozó sz r ségoperátor akkor és csakis akkor, ha: 1. Tr(ρ) = 1; és. ρ pozitív operátor. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy ρ = i p i ψ i ψ i egy s r ségoperátor. Ekkor Tr(ρ) = i p i Tr( ψ i ψ i ) = p i = 1. Legyen ϕ egy tetsz leges vektora az állapottérnek. Ekkor ϕ ρ ϕ = i p i ϕ ψ i ψ i ϕ = = i p i ϕ ψi 0, tehát az egyik oldallal készen vagyunk. Visszafelé, tegyük fel, hogy ρ operátor kielégíti a fenti feltételeket. Mivel ρ pozitív így van spektrálfelbontása: i ρ = j λ j j j, ahol j -k ortogonálisak, és λ j R + 0 sajátértékei ρ-nak. A trace-re vonatkozó feltételb l tudjuk, hogy j λ j = 1. Így a j állapotú, λ j valószín séggel rendelkez rendszer s r ségoperátora ρ lesz. Tehát a {p i, ψ i } együttes a ρ s r ségoperátorhoz tartozó állapotegyüttes. Fontos megjegyeznünk, hogy (szemben a klasszikus zikával) egy s r - ségoperátor tiszta állapotok konvex kombinációjaként való el állítása a kvantummechanikában nem mindig egyértelm. Most már át tudjuk fogalmazni a kvantummechanika axiómáit a s r ségoperátor nyelvére. 1

1. Axióma. Minden izolált zikai rendszerhez meghatározható egy bels szorzással ellátott Hilbert-tér, a rendszer állapottere. A rendszert teljesen leírja a s r ségoperátora, ami egy pozitív, egység nyomú, az állapottéren ható ρ operátor. Ha a rendszer ρ i állapotban p i valószín séggel van, akkor a s r - ségoperátor i p iρ i. Axióma. Egy zárt kvantumrendszer id fejl dését egy unitér transzformáció írja le. Azaz, ha a rendszer t 1 id ben ρ 1 állapotban van, és t -ben pedig ρ állapotú, akkor a kett közötti kapcsolatot egy U unitér operátor adja, ami csak t 1 -t l és t -t l függ: ρ = Uρ 1 U. 3. Axióma. A kvantummérések mérési operátorok egy {M m } halmazával írhatók le. Az operátorok az állapottéren hatnak. Az m index a kísérlet lehetséges kimeneteleire utal. Annak a valószín sége, hogy a ρ állapotú rendszer mérésének eredmény m: p(m) = Tr(M mm m ρ), és a rendszer mérés utáni állapota: M m ρm m Tr(M mm m ρ). A mérési operátorok kielégítik a teljességi relációt, azaz: M mm m = I. m 4. Axióma. Összetett zikai rendszer Hilbert-tere az részrendszerekhez tartozó Hilbert-terek tenzorszorzata. Ha n rendszerünk van, és az i-dik rendszer preparált állapota ρ i, akkor az összetett rendszer állapota ρ 1 ρ... ρ n. 1.3.3. Redukált s r ségoperátor A s r ségoperátor egyik fontos alkalmazása az összetett rendszerek részrendszereinek leírása. Egy ilyen leírást tesz lehet vé a redukált s r ségoperá- 13

tor. 3. Deníció. Tekintsük az A és B zikai rendszert. Legyen a 1, a A és b 1, b B tetsz leges vektor. A Tr B parciális nyom elemi tenzorokon úgy deniált, hogy: Tr B ( a 1 a b 1 b ) a 1 a Tr( b 1 b ) = a 1 a b b 1. Ennek lineáris kiterjesztése adja az általános deníciót. 4. Deníció. Tekintsük A és B zikai rendszereket, melyek együttes állapotát a ρ AB s r ségoperátor írja le. Ekkor az A rendszerhez tartozó redukált s r ségoperátor: ρ A Tr B (ρ AB ). Tekintsük a ρ AB = ρ σ s r ségoperátor által leírt összetett rendszert, ahol ρ az A rendszerhez tartozó, σ pedig a B rendszerhez tartozó s r ségoperátor. Ekkor ρ A = Tr B (ρ σ) = ρ Tr(σ) = ρ. Hasonlóan levezethet, hogy ρ B = σ teljesül, amely eredmény intuitívan elvárhattunk. Most vizsgáljuk a ( 00 + 11 )/ állapotú rendszert. Ennek a s r ségmátrixa: ρ = ( 00 + 11 ) ( 00 + 11 ) = = 00 00 + 11 00 + 00 11 + 11 11. Az els qubit redukált s r ségoperátora: ρ 1 = Tr (ρ) = = Tr ( 00 00 )+Tr ( 11 00 )+Tr ( 00 11 ) = 0 0 0 0 + 1 0 0 1 + 0 1 1 0 + 1 1 1 1 = = = 0 0 + 1 1 = = I. Mivel Tr((I/) ) = 1/ < 1, így ez kevert állapot, annak ellenére, hogy az összetett rendszer tiszta állapotú. 14

1.4. Kvantumállapotok tulajdonságai A következ kben összefonódott állapotokkal és rájuk vonatkozó tételekkel, meggyelésekkel fogunk foglalkozni. Ezek a tulajdonságok meghatározó szerepet játszanak a kvantum-információelmélet és a kvantumkriptográa kialakulásában, fejl désében. 1.4.1. Összefonódott állapot Az összetett kvantumrendszerek egyik legérdekesebb és legrejtélyesebb jelensége az állapot-összefonódás. Kevert állapotok esetén a rendszer összefonódott, ha nem szeparálható, azaz ha s r ségmátrixa nem írható le szorzatállapotok konvex kombinációjaként: ρ = p i ρ i1 ρ i, i ahol i p i = 1 és k : p k 0, illetve ρ ij a j-dik rendszerhez tartozó s r ségmátrix (j {1, }). Egy összetett rendszer tiszta állapotát összefonódott állapotnak hívjuk, ha nem írható fel az alkotó rendszerekb l vett állapotok tenzorszorzataként. Például, tekintsük a ψ = 00 + 11 állapotot. Ehhez nem léteznek a és b állapotok, hogy ψ = ab. Tegyük fel indirekt, hogy léteznek ilyen állapotok: a = α a 0 + β a 1 és b = α b 0 + β b 1. ab = α a β a 00 +α a β b 01 +α b β a 10 +α b β b 11 = = 1 00 + 1 11 Ekkor a következ ellentmondás adódik: α a β b = α b β a = 0 α a β a = α b β b = 1. Tehát ψ összefonódott állapot. Az összefonódott állapotok meghatározó szerepet játszanak a kvantuminfor-mációelméletben; a kés bbiekben sokszor fogjuk használni a fogalmat. 15

1.4.. Heisenberg-féle határozatlansági elv Legyenek A és B hermitikus operátor, és ψ egy kvantumállapot. Továbbá legyen ψ AB ψ = x + iy, ahol x, y R. Megjegyezzük, hogy ψ [A, B] ψ = iy és ψ {A, B} ψ = x, ahol [A, B] = AB BA (kommutátor) és {A, B} = AB + BA (antikommutátor). Ebb l következik, hogy: ψ [A, B] ψ + ψ {A, B} ψ = 4 ψ AB ψ. A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség értelmében: ψ AB ψ ψ A ψ ψ B ψ. Ezeket összerakva: ψ [A, B] ψ 4 ψ A ψ ψ B ψ Helyettesítve A = C C -t és B = D D -t az utolsó egyenletbe, megkapjuk a Heisenberg-féle határozatlansági elve általában használt alakját: ψ [C, D] ψ (C) (D). Azaz nincs olyan állapot, melyben konjugált értékek egyszerre mérhet k. 1.4.3. Bell-állapotok Egy kétqubites rendszer számítási bázisállapotai: 00, 01, 10 és 11.Ezen állapotokat transzformáljuk el ször az Hadamard-kapu, majd a CNOT-kapu (controlled not) segítségével. Az Hadamard-kapu transzformátor mátrixa: [ ] H 1 1 1 1 1 Azaz az α 0 + β 1 állapothoz az α 0 + 1 + β 0 1 állapotot rendeli. 16

A CNOT-kapu egy kétqubites kvantum logikai kapu. Két inputja a kontroll qubit és a cél qubit. Ha a kontroll qubit 0, akkor a cél marad az eredeti, ha a kontroll 1, akkor a cél qubit az ellentettjére változik, azaz: 00 00, 01 01, 10 11, 11 10. A Bell-állapotok at (vagy EPR-párok at) a bázisállapotok el ször Hadamard-, majd a CNOT-kapu szerinti transzformáltjaként kapjuk. 00 ψ + 00 + 11 01 φ + 01 + 10 10 ψ 00 11 11 φ 01 10 Az EPR elnevezés Albert Einstein, Boris Podolsky és Nathan Rosen vezetéknevekb l álló mozaikszó. 1.4.4. Bell-egyenl tlenség Tegyük fel, hogy Aliznak és Bobnak küldünk egy-egy preparált részecskét. Amikor Aliz megkapja a részecskéjét, akkor végez rajta egy mérést. Kétféle mérésre képes: P Q és P R. El re nem tudja, melyik mérést fogja választani, 1/ - 1/ valószín séggel dönt valamelyik mellett (például feldob egy szabályos érmét). Az egyszer ség kedvéért feltehet, hogy az eredmény mindkét mérésfajta esetében +1 vagy 1. Legyen Q a P Q mérés értéke, R pedig a P R mérésé. Induljunk ki abból, hogy Q és R objektív tulajdonsága Aliz részecskéjének, és a mérés csupán felfedi ezt. Hasonlóan, Bob is képes két tulajdonság mérésére, P S és P T, S és T lehetséges értékekkel, melyek +1-et vagy 1-et vehetnek fel. Bob sem tudja el re, hogy melyik mérést végzi majd; amikor megkapja a részecskéjét, akkor dönt véletlenszer en. Aliz és Bob a méréseiket egy id ben hajtják végre, így az egyik eredménye nem zavarja a másik mérés eredményét, mivel zikai hatás nem tud a fénynél gyorsabban terjedni. 17

Vizsgáljuk meg a következ mennyiséget! QS + RS + RT QT = (Q + R)S + (R Q)T Mivel R, Q = ±1, így vagy (Q + R)S = 0 vagy (R Q)T = 0. Bármely eset is áll fenn, QS + RS + RT QT = ± mindig igaz. Jelölje továbbá p(q, r, s, t) annak a valószín ségét, hogy a mérések el tt a rendszer abban az állapotban van, amelyben q = Q, r = R, s = S és t = T. Ezen valószín ség azon múlik, hogy hogyan preparáljuk a részecskéket, illetve a kísérleti zajon. Legyen E( ) a mennyiség várható értéke: E(QS + RS + RT QT ) = qrst p(q, r, s, t)(qs + rs + rt + qt) qrst p(q, r, s, t) =. Továbbá: E(QS + RS + RT QT ) = qrst p(q, r, s, t)qs + + qrst p(q, r, s, t)rs + + qrst p(q, r, s, t)rt + qrst p(q, r, s, t)qt = = E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ). Összetéve a két eredményt, megkapjuk a Bell-egyenl tlenséget : E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ). Ezt az eredmény CHSH-egyenl tlenség nek is nevezik, John Clauser, Micheal Horne, Abner Shimony és Richard Holt után. Most tegyük fel, hogy a két qubitb l álló kvantumrendszer állapota: ψ = 01 10. Az els qubitet Aliz, a másodikat Bob kapja. Legyenek a mér operátorok: Q = Z 1 R = X 1 S = Z X T = Z X. 18

Ekkor a várható értékek: E(QS) = E(RS) = E(RT ) = E(QT ) = 1 E(QS) + E(RS) + E(RT ) E(QT ) = >. Ezek szerint az el z levezetésünk nem volt helyes. Ez úgy lehetséges, hogy voltak olyan feltevéseink, melyek nem teljesülnek a természetben. Két megkérd jelezhet feltevésünk volt: 1. Valószer ség feltételezése: A P Q, P R, P S, P T zikai tulajdonságoknak határozott Q, R, S, T értékük van, és a meggyelést l függetlenül léteznek.. Lokalitás feltételezése: Aliz mérése nem befolyásolja Bob mérésének eredményét. Ez a két feltételezés együtt a lokális valószín ség feltételeként ismert. Mindennapi életünkbe beleillik a két feltételezés, kézenfekv nek t nnek a világ m ködésének vizsgálatakor. Ennek ellenére, a Bell-egyenl tlenség jóvoltából tudjuk, hogy legalább az egyik helytelen. Tehát a világ nem lokálisan valószer. 1.4.5. EPR-paradoxon A modern értelmezés szerint az EPR-paradoxon (1935) lényege az az állítás, hogy a kvantummechanika nem lehet egyszerre lokális realista (valószer ) és teljes. A következ kben a David Bohm által javasolt kísérletet fogjuk végiggondolni (1951). A kísérletben egy forrásból kilövünk egy összefonódott elektronpárt, melyek együttes spinje nulla. A két részecske elég távol van egymáshoz, hogy ne legyen köztük a fénysebességnél lassabb kölcsönhatás. Ha (a tetsz legesen választott) z tengely mentén megmérjük a spinjüket, azt kapjuk, hogy ellentétes spin ek. Ugyanezt kapjuk akkor is, ha az x tengely mentén mérjük ket. 19

A Heisenberg-féle határozatlansági elv azt mondja ki, hogy két zikai mennyiséget egy id ben, teljes pontossággal nem lehet megmérni. Ennek eredményeként egy részecske spinjét két, egymásra mer leges irányban nem tudjuk egyszerre megmérni. Így, ha megmérjük az els részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az els részecske mérések el tti spinjének, mert akkor az els részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az els részecske z irányú mérésének valahogy el kell rontania a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja. A két részecske azonban ha a lokalitást elfogadjuk túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük. Azaz 1. a spin egy olyan tulajdonsága a rendszernek, amit el re meg tudunk jósolni, a rendszer megzavarása nélkül, és. az egymásra mer leges spinek egyidej leg nem bírhatnak zikai realitással. Tehát a kvantummechanika nem teljes elmélet. 1.4.6. Schmidt-felbontás és purikáció 4. Tétel. Legyen ψ egy tiszta állapota az AB összetett rendszernek. Ekkor az A és B rendszerben léteznek i A és i B ortonormált állapotok úgy, hogy ψ = i λ i i A i B, ahol λ i R + 0 olyanok, hogy i λ i = 1, úgynevezett Schmidt-együtthatók. Bizonyítás. Legyenek j és k tetsz leges ortonormált rendszerek A-ban illetve B-ben. Ekkor ψ felírható ψ = jk a jk j k 0

alakban, ahol a jk C számokból el állított mátrix A. Ezen mátrix szinguláris érték felbontása: A = UDV, ahol D nem-negatív elem diagonális, U, V pedig unitér mátrixok. Ekkor ψ = ijk u ji d ii v ik j k. Legyenek i A j u ji j, i B k v ik k és λ i d ii. Ezeket behelyettesítve kapjuk, hogy: ψ = λ i i A i B. i Mivel U unitér, és j ortonormált, így i A ortonormált rendszert alkot. Hasonlóan i B is ortonormált. Az i A és i B bázisokat a A és B rendszerhez tartozó Schmidt-bázisnak nevezzük, λ i nem-negatív együtthatók számát pedig a ψ állapothoz tartozó Schmidt-számnak. Egy rendszer Schmidt-száma valamilyen módon számszer síti az A és B rendszerek közötti összefonódás mértékét. A rendszer pontosan akkor nincs összefonódott állapotban, ha a Schmidt-száma 1. Képzeljük el, hogy kapunk egy ρ A állapotot az A kvantumrendszerb l. Ekkor lehet ségünk van arra, hogy deniáljunk egy (másik) R rendszert, és egy tiszta AR állapotot úgy, hogy ρ A = Tr R ( AR AR ). Tehát a tiszta AR állapot redukált ρ A -ra, amikor csak az A rendszert vizsgáljuk. Ezt a folyamatot nevezzük purikációnak, R-et pedig referencia rendszernek mondjuk. Megjegyezzük, hogy R egy ktív rendszer, közvetlen zikai jelentés nélkül. 5. Tétel. A purikáció folyamata mindene állapoton végrehajtható. Bizonyítás. A bizonyításhoz azt mutatjuk meg, hogy miként kell megalkotni R-et és a ρ A -hoz tartozó AR -et. Tegyük fel, hogy ρ A ortonormált felbontása ρ A = i p i i A i A. Bevezetjük R rendszert, melynek állapottere megegyezik A-éval, és i R a hozzá tartozó ortonormált bázis állapotok. 1

Ekkor AR i i A pi i R az összetett rendszer egy tiszta állapotát adja. Most meghatározzuk az A rendszer AR állapotához tartozó redukált s r - ségoperátort. Tr R ( AR AR = ij pi p j i A j A Tr( i R j R ) = = ij pi p j i A j A δij = = i p i i A i A = = ρ A Így AR egy purikációja ρ A -nak.

. fejezet Kvantuminformáció és -kommunikáció A szuperpozíció és az összefonódás jelenségét sokáig csupán lozokus szemszögb l vették gyelembe (tartották érdekesnek). Az utóbbi id ben döbbentek rá a kutatók, hogy milyen értékes forrása a kvantumkommunikációnak és a kvantumszámításoknak. Ez abból adódik, hogy klasszikus módon nem lehet modellezni a kvantumfolyamatokat, így az drasztikus mérték fejl dést kínál a számítási teljesítményben. A következ kben ismertetésre kerül a kvantumteleportáció, az összefonódottság csere és a szupers r kódolás, illetve ezek alkalmazásai..1. Kvantumteleportáció Kvantumteleportációnak nevezzük azt a folyamatot, amikor kvantuminformációt (például egy foton állapotát) továbbítunk klasszikus kommunikáció és kvantum összefonódás segítségével. A klasszikus kommunikáció alkalmazása miatt ez a folyamat nem használható klasszikus információ szuperluminális (fénynél gyorsabb) közvetítésére. 1993-ban Charles H. Bennett, Gilles Brassard, Claude Crépeau, Richard Jozsa, Asher Peres, és William Wotters publikálták el ször a folyamat ötletét, azóta különböz zikai rendszereken valósították meg a teleportációt. Az 3

eddig végzett kísérletek közül a legnagyobb távolság, amin sikeresen létrejött a folyamat, 143 km volt. [4] Tegyük fel, hogy Aliz szeretne elküldeni egy számára is ismeretlen ψ 1 = α 0 1 + β 1 1 qubit állapotot ( α + β = 1) Bobnak úgy, hogy csak klasszikus csatornán keresztül kommunikálhatnak. Aliz nem végezhet mérést a részecskéjén, mert az tönkretenné azt anélkül, hogy elegend információval szolgáltasson. A feladat megoldásához egy maximálisan összefonódott párra van szükség, melynek els részecskéje Aliznál, második részecskéje pedig Bobnál van. Legyen ez a pár a ψ 3 = 1 ( 0 1 3 1 0 3 ) állapotban. teljes rendszer állapota a következ : Ekkor a ψ 13 = ψ 1 ψ 3 = ( α 0 1 + β 1 1 ) 1 ( 0 1 3 1 0 3 ). Ebb l egyel re semmilyen méréssel nem tudunk meg információt ψ 1 állapotról, de a Bell-állapotok segítségével átírva a következ alakra hozható: [ ψ 13 = ( ) 1 ψ 1 α 0 3 β 1 3 + + ψ + 1 ( α 0 3 + β 1 3 ) + + φ 1 ( β 0 3 + α 1 3 ) + + φ + 1 ( β 0 3 + α 1 3 ) ]. Aliz Bell-bázisban Neumann-mérést hajt végre az 1-es és -es részecskén, így a saját részecskéit a Bell-állapotok egyikébe hozza, ezzel elérve azt, hogy Bob részecskéje az eredeti állapottal összefonódott állapotba kerüljön. Aliz átküldi a mérés eredményét Bobnak (klasszikus csatornán keresztül), és Bob a megfelel unitér transzformációt alkalmazva megkapja a kiinduló állapotot: Bell-analízis eredménye Megfelel operátor Bob részecskéje ψ 1 I ψ 3 ψ + 1 Z ψ 3 φ 1 X ψ 3 φ + 1 Y i ψ 3 4

A teleportáció folyamata alatt α és β értékek ismeretlenek maradnak, a küldött állapot Bobhoz kerül anélkül, hogy Aliz bármit is tudna róla. Megjegyezzük, hogy a klónozás lehetetlenségér l szóló tételt sem sértjük meg, hiszen az Aliznál lév bemeneti állapot megsz nik (a méréssel tönkre tesszük)... Összefonódottság csere (swapping) A következ kben egy olyan jelenség kerül ismertetésre, amely során két kvantumrendszer között a kvantumteleportáció segítségével úgy jön létre az összefonódás, hogy a két rendszer nem lép kölcsönhatásba egymással. Tételezzük fel, hogy Aliz és Bob ismét megosztanak egy összefonódott állapotú kvantumpárt, illetve Bob Cecillel is megoszt egy ilyen párt. Bob (a fenti módszert alkalmazva) teleportálja Alizzal megosztott részecskéjét Cecilnek. Annak ellenére, hogy Aliz és Cecil részecskéje sosem találkoztak egymással, most összefonódottak lettek. A teljes rendszer állapota a következ : ψ 134 = ψ 14 ψ 3 = ( ) ( ) = 1 0 1 1 4 1 1 0 4 1 0 1 3 1 0 3 = ψ = [ 1 + 1 ψ + 34 ψ 1 ψ 34 φ + 1 φ + + 34 φ 1 Bell-bázisban mérve az 1-es és -es részecskéket (Bobnál lév kön), a 3-as és 4-es részecske a négy Bell-állapot egyikébe kerül. φ 34 ]..3. Szupers r kódolás A szupers r kódolás egy egyszer, ám nagyszer alkalmazása az elemi kvantummechanikának. Kézzelfogható, nem-triviális úton egyesíti az alapötleteket, éppen ezért ideális példa az olyan információfeldolgozási feladatokra, melyek tökéletesíthet k a kvantummechanika alkalmazásával. Aliz és Bob szeretne klasszikus információt cserélni. Tegyük fel, hogy a két szerepl nk messze van egymástól. Aliz feladata, hogy két klasszikus bitnyi információt küldjön Bobnak, de csak egy qubiten keresztül. 5

A feladat a szupers r kódolás segítségével valósítható meg. Méghozzá úgy, hogy Aliz és Bob egy összefonódott ψ állapotú qubit párt oszt meg egymás közt, ahol φ + = ψ = 00 + 11. Aliznál az els, míg Bobnál a második qubit van. (Egy harmadik személy el re preparálja ezt a qubit párt, és szétosztja szerepl ink között.) Aliz a következ folyamat segítségével tud Bobnak kétbites információt küldeni. A két bit négyféleképpen alakulhat: 00, 01, 10 vagy 11. Ha 00-t szeretné küldeni, akkor nem tesz semmit a saját qubitjével. Ha 01-et, akkor Z-t, ha 10-et, akkor X-et, ha pedig 11-et, akkor iy -t alkalmazza. (X, Y és Z a korábban ismertetett Pauli-mátrixokkal jelölt operátorokat jelentik.) Ekkor a qubitjének az állapota: 00 : ψ 01 : Z ψ 10 : X ψ 11 : iy ψ 00 + 11 ; 00 11 ; 01 + 10 ; 01 10. Mivel ezen állapotok ortonormált bázist alkotnak, így megfelel méréssel megkülönböztethet k. Ha Aliz elküldi Bobnak a nála lév qubitet, akkor Bob (mivel már nála van a pár mindkét fele) a Bell-bázison mérést végrehajtva meghatározhatja Aliz által küldeni kívánt két bitnyi információt. Összefoglalva, Aliz képes két bit információ továbbítására egyetlen qubit segítségével. Klasszikus úton ez a feladat lehetetlen. 6

3. fejezet Kvantumkriptográa A kriptográa a biztonságos kommunikációval, rejtjelezéssel, kódolással foglalkozó tudomány. 1917-ben Gilbert Vernam kifejlesztette az úgynevezett egykulcsos módszert, az OTP-t (one-time-pad). Ez egy egyszer nek t n, mégis feltörhetetlen klasszikus kódolás. A szabályai a következ k: minden bet höz hozzárendelünk egy számot, például ha az angol ábécét vesszük alapul, akkor a következ képpen: A B C X Y Z Szóköz!,. 00 01 0 3 4 5 6 7 8 9 Legyen az üzenetünk n hosszú. Véletlenszer en generálunk egy n hosszú számsorozatot a {00, 01,, 8} számokból; ez lesz a kulcs. Most minden karakterhez hozzáadjuk a megfelel helyen lév számot a kulcsból (modulo 30), és ezt a titkosított üzenetet küldjük el. Ha a címzett ismeri a kulcsot, akkor könnyen visszafejtheti az üzenetet. Egy példa: H E L L O W O R L D! Üzenet 07 04 11 11 14 6 14 17 11 03 7 Kulcs 13 08 00 1 6 03 1 10 16 05 3 Kód 0 1 03 11 6 5 05 7 7 08 0 U M D L W Z F!! I U Az algoritmus képlettel megadva a következ : E k (M) = M + k C mod 30 7

D k (C) = C k M mod 30 Vernam bebizonyította, hogy ha a kulcs valóban véletlenszer, ugyanolyan hosszú, mint az üzenet, és csak egyszer használjuk, akkor egyetlen kém sem képes a feltörésre még akkor sem, ha végtelen ideje és számítási forrása lenne. A módszer hibája az, hogy a kulcsot mindkét félnek ismernie kell, és ezt valamilyen biztonságos csatornán kell megbeszélniük. Erre a problémára keresnek (és adnak) megoldást a most ismertetésre kerül kvantumkriptográai protokollok. A kvantumkriptográát el ször Stephen Wiesner javasolta az 1970-es évek elején a Columbia Egyetem hallgatójaként, viszont a munkáját csak 1983-ban publikálta a SIGACT News, melyben a konjugált kódolás fogalmát vezette be. Annak ellenére, hogy több mint egy évtizeden keresztül nem jelent meg az írása, elég széles körben mozgott a kézirata ahhoz, hogy ösztönözze a kvantuminformáció tudományának kialakulását a '80-'90-es években. 3.1. Kvantum-kulcselosztás (QKD) A kvantum kommunikáció az információ qubitekbe való kódolását foglalja magába. Általában ezen kvantumállapotok létrehozásához fotonokat használunk. A kvantumkulcs-elosztás (ezentúl: QKD) az ilyen állapotok tulajdonságait felhasználva garantál biztonságot. A QKD-nak többféle megközelítése is lehetséges, de szétválaszthatók aszerint, hogy a kvantumállapotok mely tulajdonságát használja ki: 1. Preparálásos és mérési protokollok A klasszikus zikával ellentétben, egy mérés hatása a kvantummechanika szerves része. Egy ismeretlen kvantumállapot mérése megváltoztatja az állapotot valamilyen módon. Ez kihasználható arra, hogy észrevegyük az esetleges kémeket, és hogy megbecsüljük a lehallgatott információ mennyiségét.. Összefonódáson alapuló protokollok 8

Mivel az összefonódott állapotú rendszerekben ha az egyik részecskén valamilyen mérést végzünk, az a másikra is hat, így egy kétszemélyes kommunikációban, ha egy harmadik személy bármit le akar hallgatni, az az egész rendszeren észlelhet (s t, az információ mennyisége is). A két megközelítés még tovább osztható a protokollok három családjába: diszkrét változójú, folytonos változójú és megosztott fázisú referencia kódolás. El ször a diszkrét változós protokollokat találtál fel, és máig azok a legelterjedtebbek, mi is azokkal foglalkozunk. 3.1.1. BB84-protokoll A BB84 egy összefonódáson alapuló, diszkrét változójú titkosítás. Nevét Charles Bennett és Gilles Brassard 1984-es publikációja után kapta. Eredetileg fotonok polarizációs állapotát használva küldték az információt. [5] A küld (Aliz) és a címzett (Bob) egy kvantum kommunikációs csatornán keresztül értekeznek, így lehet ségük van kvantumállapotok továbbítására. Fotonok esetében ez a csatorna lehet optikai kábel vagy vákuum. Továbbá egy nyílt klasszikus csatornán keresztül is kommunikálnak egymással (rádió, internet stb.). Egyik csatornának sem kell biztonságosnak lennie; a protokoll azzal a feltevéssel lett tervezve, hogy egy kém (Éva) bármilyen módon zavarhatja mindkett t. A módszer biztonsága abból adódik, hogy az információt nem-ortogonális állapotokba kódoljuk. A határozatlanságból (és a nem-másolhatóság tételéb l) adódóan ezek az állapotok általában nem mérhet k az eredeti állapot megzavarása nélkül. A BB84 két állapotpárt használ úgy, hogy a két pár egymás konjugáltja, illetve mindegyik rendszerben a két állapot egymásra ortogonális. Ezt úgy célszer elképzelni, hogy az egyik rendszerben a foton polarizációját a standard bázisban (0 és 90 ) vizsgáljuk, a másik rendszerben az Hadamard-bázisban (45 és 135 ): Bázis 0 1 + 9

Aliz véletlenszer en választja ki a bázist és az állapotot is, majd ennek megfelel en preparálja a fotonja polarizációját. Ezután elküldi Bobnak a fotont a kvantumcsatornán keresztül. Ezt körülbelül kétszer annyiszor ismétli meg, mint amilyen hosszú kulcsra van szükségük. A kvantummechanika törvényei miatt nem lehet olyan mérést végezni 4 páronként nem-ortogonális polarizációs állapoton, amellyel ezek bizonyosan elkülöníthet ek lennének. Például, ha a foton a 0 -os állapotban van, és a + bázisban mérünk, akkor jó eredményt kapunk, de ha a bázisban végezzük el a mérést, akkor 1/ - 1/ valószín séggel kapjuk a 45 vagy 135 eredményeket. Ráadásul a mérés után a bázis valamely állapotába kerül a foton, így el is veszhet a küldeni szánt információ. Mivel Bob sem tudja, hogy melyik bázisban kell mérnie, ezért a legjobb az, ha véletlenszer en választ egy bázist. Ezt minden kapott fotonnal megteszi, és feljegyzi a bázist is, és az eredményét is. Ezután Aliz és Bob egy klasszikus csatornán keresztül egyeztetik a bázisokat, de az eredményeket nem. Törlik azokat az eseményeket, amikor különböznek a bázisok, megtartják azokat, amikor megegyeznek. Mivel Bob várhatóan az estek felében rossz bázisban mért, így a megtartott állapotokból tudnak olyan hosszú 0-1 kulcsot alkotni, amilyen hosszú kulcsra van szükségük. Például a következ képpen alakulhat a folyamat: 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Aliz véletlen bázisa: + + + + Aliz véletlen állapota: Bob véletlen bázisa: + + + + Bob mérési eredményei: Kulcs: 1 0 1 1 Ahhoz, hogy ellen rizzék, jelen volt-e kém a folyamat alatt, kiválasztanak néhány bitet, és egyeztetik ket. Ha volt lehallgató, akkor az hibákat szül Bob eredményeiben. Ha p-nél több helyen különbözik a kulcs, akkor újrakezdik az egészet, mivel a kulcs biztonságossága nem garantálható. p-t k maguk választják meg, tehát ha ennél kevesebb számú bitet ismer Éva, csökkentve a kulcs hosszát tetsz legesen kicsire csökkenthetjük a kém ismereteit. 30

3.1.. B9-protokoll 199-ben Charles Bennett publikálta ezt a protokollt. [6] Aliz el állít egy véletlenszer klasszikus bitet (jelöljük a-val), és annak fényében, hogy milyen eredményt kap, a következ állapotot küldi el Bobnak: z + = 0 ha a = 0 ψ = x + = 0 + 1 ha a = 1. Ezen állapotok az X és a Z Pauli-mátrix +1 sajátértékéhez tartozó sajátállapotok. Bob is készít egy véletlenszer klasszikus bitet (a ), és ennek megfelel en választ mérési bázist: Z : 0, 1 bázisban mér, ha a = 0, és X : ± = ( 0 ± 1 )/ -ben, ha a = 1. A mérés eredményét jelölje b { 1, +1}, az X és Z 1 és +1 sajátértékeire utalva. Bob a b értékeit nyilvánosan bejelenti, de a -t titokban tartja. Aliz és Bob megegyeznek, hogy csak azokat az {a, a } párokat tartják meg, melyekre b = 1. (Ha a = a, akkor biztosan b = +1.) Ha Bob b = 1-et kap eredményül, akkor lesz a = 1 a, és ez 1/ valószín séggel következik be. A végleges kulcs Aliz számára a, Bob számára pedig 1 a. a 1 0 1 1 0 0 1 0 Állapot x + z + x + x + z + z + x + z + a 1 1 0 0 0 1 0 1 Mérési bázis X X Z Z Z X Z X b +1-1 -1 +1 +1-1 -1 +1 Kulcs 0 1 0 1 3.1.3. SARG04-protokoll Kutatók észrevették, hogy ha a BB84-es protokoll állapotait használva kicsit másképp kódoljuk az információt, akkor ez az új protokoll er sebbnek bizonyul a legyengített lézerimpulzusokkal szemben, mint a korábbiak. A SARG04 névadói Valerio Scarani, Antonio Acín, Grégoire Ribordy és Nicolas Gisin. [7] Az eljárás hasonlóan indul, mint a BB84. Aliz két véletlen n hosszú 31

klasszikus bitsorozat (a és b) szerint választja ki, hogy az i-dik qubit milyen állapotban legyen. Azaz a rendszer állapota: ψ = n ψ ai b i, i=1 ahol b i értékek jelölik ki az i-dik qubit bázisát (számítási vagy Hadamard), és a i pedig az állapotát: ψ 00 = 0 ; ψ 10 = 1 ; ψ 01 = 0 + 1 ; ψ 11 = 0 1. Aliz elküldi ψ -t Bobnak. Bob véletlenszer en választja ki, hogy az i- dik qubitet melyik bázisban mér; jelölje a választását b i. Ekkor Aliz minden qubithez kiválaszt mindkét bázisból egy-egy elemet úgy, hogy az adott qubit állapota megegyezzék a választott bázisállapotok egyikével. Mindkét állapotot nyilvánosan bejelenti. Ezután Bob végrehajtja a mérést a qubiteken: ha olyan eredményt kap, ami megegyezik valamely Aliz által bejelentett bázisállapottal, akkor nem tudhatja biztosan, hogy mi volt az eredeti állapot, viszont ha különböz eredményt kap, akkor tudja. a (állapot) 0 0 1 1 1 0 1 b (bázis) 1 0 1 0 1 1 0 0 + 1 0 1 0 1 0 + 1 ψai b i 0 1 1 Bejelentett állapotok ψ 00 ψ 00 ψ 10 ψ 10 ψ 00 ψ 00 ψ 10 ψ 01 ψ 11 ψ 11 ψ 01 ψ 11 ψ 01 ψ 11 b (Bob mérési bázisa) 0 1 0 0 0 0 1 Bob eredménye ψ 10 ψ 11 ψ 00 ψ 10 ψ 00 ψ 10 ψ 11 Hol különbözik? * * * Kulcs 01 11 01 3

Szimuláció a QKD-re (BB84) Aliz és Bob szeretnének kizárólag számukra ismert kulcsot generálni a kvantummechanika segítségével. Tekintsünk két egymásra nem ortogonális bázist: A és B. A folyamat a következő: - Aliz tudja, melyik bázisban és milyen irányú a foton polarizációja (A0, A1, B0 vagy B1) - Elküldi a fotont Bobnak, aki egy sugárelosztón átküldi, így 50-50% valószínűséggel küldi az A bázis illetve a B bázis mérőeszközébe - Ha Aliz és Bob bázisa egyezik, akkor ugyanannak az eredménynek kell kijönnie mérés után (ha különbözik, akkor csak 50-50% valószínűséggel egyeznek a mért adatok) - Klasszikus kommunikációs csatornán keresztül megbeszélik, hogy ki milyen bázisban mérte meg a foton állapotát, de az eredményeket nem! - A különböző bázisban mért eredményeket törlik, az azonosban mért eredményeket használják kulcsként. In[1]:= CreateKey@n0_D := Module@ 8n = n0<, Key = 8<; ChoiceOfBasis = Table@RandomInteger@80, 1<D, 8i, 1, n<d; ChoiceOfState = Table@RandomInteger@80, 1<D, 8i, 1, n<d; BeamSplitter = Table@RandomInteger@80, 1<D, 8i, 1, n<d; CheckIf@x_D := If@BeamSplitter@@xDD == ChoiceOfBasis@@xDD, True, FalseD; Table@ If@CheckIf@iD True, AppendTo@Key, ChoiceOfState@@iDDD, 0 + 0D, 8i, 1, n<d; Key D In[]:= Key1 = CreateKey@1000D; Length@Key1D Out[3]= 498 A fenti függvény (CreateKey[n]) egy körülbelül n/ hosszú kulcsot ad nekünk. A következőkben illusztráljuk, hogy miként nézne ki egy konkrét szöveg titkosítása a BB84 és az OTP kombinálásával. In[4]:= abc = 8"A", "B", "C", "D", "E", "F", "G", "H", "I", "J", "K", "L", "M", "N", "O", "P", "Q", "R", "S", "T", "U", "V", "W", "X", "Y", "Z", " ", "!", ",", ".", "?"< H azaz A=1, B=,..., Z=6,... L; MsgToSend = "HELLO WORLD!"; MsgInList = Characters@MsgToSendD Out[6]= 8H, E, L, L, O,, W, O, R, L, D,!<

BB84.nb In[7]:= n = Length@MsgInListD; KeyLong = Table@CreateKey@10D, 8n<D Out[8]= 880, 1, 0, 0<, 80, 1, 1, 0<, 81, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0<, 81, 1, 0, 1, 0, 0<, 80, 1, 1, 1, 0<, 81, 1, 0, 0, 0, 0<, 81, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0<, 81, 1, 1, 1, 0<, 80, 1, 0, 0, 1, 1, 1<, 81, 0, 0, 0, 0, 0<, 81, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0<< Azért generálunk körülbelül 6 hosszú kulcsot, mert az ábécénk 31 hosszú, ami kettes számrendszerben felírva: 111110, tehát 6 számjegyből áll. Ha valamelyik elem hosszabb, mint hat, akkor csak elhagyjuk a felesleges jegyeket. In[9]:= For@i = 1, i < n+1, i++, If@Length@KeyLong@@iDDD > 5, KeyLong@@iDD = Part@KeyLong@@iDD, 1 ;; 4D, 0 + 0DD; KeyNumbers = Table@FromDigits@KeyLong@@iDD, D, 8i, n<d Out[10]= 84, 6, 9, 13, 14, 1, 9, 30, 4, 8, 4, 0< Most már lefordíthatjuk a szövegünket. In[11]:= MsgInNumber = Flatten@Table@Mod@Position@abc, MsgInList@@iDDD + KeyNumbers@@iDD, 30D, 8i, n<dd Out[11]= 81, 11, 1, 5, 9, 9,, 15,, 0, 8, 8< In[1]:= MsgWeSendInList = Table@abc@@MsgInNumber@@iDDDD, 8i, n<d Out[1]= 8L, K, U, Y,,, I, B, O, V, T, H,!< In[13]:= SecretMsg = StringJoin@MsgWeSendInListD Out[13]= LKUY,IBOVTH! Most pedig dekódolás folyamata következik. In[14]:= SecMsgInList = Characters@SecretMsgD Out[14]= 8L, K, U, Y,,, I, B, O, V, T, H,!< In[15]:= SecMsgInNumbers = Flatten@ Table@Mod@Position@abc, SecMsgInList@@iDDD KeyNumbers@@iDD, 30D, 8i, n<dd Out[15]= 88, 5, 1, 1, 15, 7, 3, 15, 18, 1, 4, 8< In[16]:= DecodedMsgInList = Table@abc@@SecMsgInNumbers@@iDDDD, 8i, n<d Out[16]= 8H, E, L, L, O,, W, O, R, L, D,!< In[17]:= DecodedMsg = StringJoin@DecodedMsgInListD Out[17]= HELLO WORLD!

3.. Konjugált kódolás A határozatlansági elv megszorításokat ró ki kommunikációs csatornák néhány típusának a kapacitására. A következ kben megmutatjuk, hogy a kvantummechanika segítségével lehet ségünk nyílik a kódolás egy újszer formájára. El ször ismertetünk egy eszközt két üzenet továbbítására, melyek közül nem mindkett olvasható el. A két üzenetet tekintsük két bináris mondatként, melyeket polarizált fotonok formájában fogunk küldeni. A közvetít készülék véletlenszer en választ az els illetve a második üzenet közül (például egy érmedobással). Ha az els re esett a választás, akkor a küldend fotont függ leges vagy vízszintes irányban polarizálja attól függ en, hogy mi az els üzenet els számjegye. Ha a második üzenetet választjuk, akkor jobbvagy bal irányú cirkuláris polarizálást hajtunk végre: 1. ábra Az els csomag polarizációja [8] A fogadónál van valamilyen eszköz, amivel külön tudja választani a fény ortogonálisan polarizált alkotóelemeit térbélileg szeparált sugarakká. Ha a 35

foton lineáris polarizációját mérjük, akkor minden esély elveszik a cirkuláris polarizáció mérésére. Így, ha a fogadó arra készül, hogy az els üzentet kapja, akkor semmit nem tud meg a második üzenetb l. Fordítva, ha a másodikra készül, az els ben lév információk vesznek el. Ha a fogadó valamilyen elliptikus mérésre készül (a lineáris és a cirkuláris között félúton), mindkét üzenetb l kevesebb információt tud kinyerni, mintha csak az egyikre készülne. 3..1. Kvantumpénz A következ példában egy olyan pénzt készítünk, amit lehetetlen hamisítani. A kvantumpénz néhány izolált kétállapotú zikai rendszerb l áll. Jelölje a és b a kétállapotú rendszerek egy ortonormált bázist, illetve legyenek α = a + b és β = a b. Tegyük fel, hogy a pénz húsz elkülönített rendszerb l áll: {S i } 0 i=1. A pénzkészít forrás (bank) el állít két 0 jegyb l álló véletlenszer bináris mondatot, jelölje ezeket M i és N i. Ekkor az i-dik rendszert a következ ábrának megfelel en preparáljuk.. ábra Az i-dik rendszer állapota [8] 36

A pénznek adunk egy sorozatszámot is, amit a hagyományos módon rányomtatunk. Az állapotot leíró M és N mondatokat a forrásnál feljegyzik, majd a kvantumpénzt forgalomba helyezik. Amikor visszakerül a pénz a bankhoz, ellen rzik, hogy még mindig a kiinduló állapotban van-e. Most gondoljuk végig, mi történne, ha valaki megpróbálná hamisítani a kvantumpénzt. Nem képes megfejteni N i értékét, hiszen, mivel nem ismeri M i -t, nem tudja, milyen mérést hajtson végre az S i rendszeren. Egy olyan mérés, ami megkülönbözteti egymástól a -t és b -t, elpusztít minden lehet séget α éa β megkülönböztetésére. Tegyük fel, hogy egy pénzhamisító mégis megpróbálja, és valamilyen mérést végez az S i rendszeren. Ekkor 1/ valószín séggel rossz mérést végez, és ha ez történik, akkor a bank ellen rzésekor 1/ valószín séggel derül ki, hogy rossz az állapot. Tehát 1/4 annak a valószín sége, hogy egy jegyet a bank rossznak érzékel, azaz a hamisító túlélési esélye a teljes vizsgálat során csupán (3/4) 0 < 0.00317. 3... Konjugált bázis Ha egy részecske momentuma ismert, akkor a pozíciójáról nem tudunk semmit sem mondani, ha pedig tudjuk a pozíciót, akkor a momentuma ismeretlen. Ugyanez a kapcsolat áll fenn minden konjugált változópár között, és innen adódik, hogy terjesszük ki a konjugáció fogalmát a bázisokra. 5. Deníció. Legyenek {a} N i=1 és {b}n i=1 két ortonormált bázis az N dimenziós H Hilbert-térben. Pontosan akkor mondjuk, hogy a és b konjugált bázispárok (másképp: MUB, azaz mutually unbiased bases), ha i, j {1,..., N} : a i bj = 1 N. Bázisok halmazára pontosan akkor mondjuk, hogy konjugált, ha a benne szerepl összes bázispár konjugált. 6. Deníció. Konjugált kódolásnak nevezünk minden olyan kommunikációs sémát, melyben a használt zikai rendszer állapotai megfeleltethet k a rendszert leíró Hilbert-tér néhány konjugált bázisának elemeinek. 37

Például, a dimenziós Hilbert-térben a következ bázishármas konjugált: (i) { a, b } a a = b b = 1 (ii) (iii) { a + b, a b } a b = 0 { a +i b, a i b } Felmerülhet bennünk a kérdés, hogy legfeljebb milyen nagy bázishalmazok lehetnek konjugáltak. Igazolható, hogy egy (N 1)! dimenziós Hilberttéren létezik N darab páronként konjugált bázis (N 3). [8] Írjuk fel dim(h) = d prímtényez s felbontását d = p n 1 1 p n p n k k, ahol p n 1 1 < p n < < p n k k. Ekkor, a Hilbert-téren megadott konjugált bázispárok számát M-mel jelölve, teljesül a következ egyenl tlenség: p n 1 1 + 1 M d + 1. Így ha dim(h) = d prímhatvány, akkor a konjugált bázispárok maximális száma d + 1. Jelenleg tetsz leges egészre M értéke nem ismert. Például a legkisebb nem prímhatványra, a 6-ra sem tudjuk, hogy mennyi ez a maximális szám. Eddig nem találtak 4 bázisból álló halmazt, így azt gondoljuk, hogy d = 6-ra legfeljebb 3 elem MUB adható meg. [9] 38

4. fejezet Fizikai megvalósítások A kvantumrendszerek zikai megvalósítása sokkal nehezebb, mint a különböz protokollokat levezetni vagy megérteni. Az úgynevezett els generációs megvalósítások (melyek 000 el tt készültek) csak rövid távolságon tudtak információt küldeni és meglehet sen instabilnak bizonyultak. Az els kvantumkriptográai eszközt 1989-ben a Montréali Egyetem és az IBM közösen építette meg. A rendszer körülbelül 30 cm távolságra tudott információt küldeni. A küld zöld lézert, kvantumcsatornaként vákuumot használt. 3. ábra University of Montréal és az IBM készüléke, 1989. 39

A második generáció eszközei már sokkal stabilabbak voltak, s t, nem csak laborban végezték a kísérleteket, hanem a szabadban is. Optikai kábel segítségével 67 km messzire sikerült információt küldeni (Gen Egyetem). Az egyik leghíresebb kísérletet a Bécsi Egyetem végezte 007 márciusában Anton Zeilinger vezetésével. A Kanári-szigetcsoport két szigete között, La Palma és Tenerife, 144 km-es távolsággal a szabad ég alatt alakítottak ki BB84 protokollt használó kvantumkommunikációs csatornát. 4. ábra La Palma és Tenerife között végzett kísérlet A Bécsi Egyetem kutatói 008-ban építették ki az eddigi legnagyobb kvantumhálózatot. A hálózat öt város között jött létre, összesen 04 km hosszan. [10] 5. ábra Secure Communication based on Quantum Cryptography, 008. 40

Az eddigi legnagyobb sikert a kvantumszámításban Haig Farris, Geordie Rose, Bob Wiens és Alexandre Zagoskin érték el, akik megalkották a világ els kvantumszámítógépét, a D-Wave-et. 011. május 11-én mutatták be az els kereskedelemben kapható gépet, amelyben egy 18 qubites processzor fut. Diszkrét optimalizálásra lehet használni a hozzávet legesen 10,000,000$os masinát. A második rendszert 01-ben mutatták be. A D-Wave Two már 51 qubitet használ. Ennek segítségével egy több mint 100 változós problémát fél másodperc alatt old meg, szemben a legjobb algoritmust használó hagyományos számítógéppel, aminek erre a folyamatra több, mint fél órára van szüksége. 6. ábra D-Wave kívülr l és belülr l A D-Wave Three-t 015-re ígérik a fejleszt k, 1,15 qubittel. [11] A kvantumszámítógépek valószín leg sosem fogják teljesen leváltani a mostani logikára épül számítógépeket, mert nem általánosan lesznek gyorsabbak, csak bizonyos típusú feladatok esetén, amelyek képesek kiaknázni a kvantummechanikai alapelveket és hasznosítani a kvantumszámítások lényegét adó párhuzamosságot. A nagy áttörést nem az jelenti, hogy az egyes m veletek gyorsabbak lesznek, hanem hogy exponenciálisan kevesebb m veletre lesz szükség a végeredmény eléréséhez. 41